2 Procedimentos para Ajuste e Tratamento Estatístico de Dados Experimentais

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1 48 Procedmetos para Ajuste e Tratameto Estatístco de Dados Expermetas. Itrodução Modelos matemátcos desevolvdos para descrever eômeos íscos a partr de observações expermetas devem ser baseados em dados obtdos de orma coável, quer em quatdade, quer em qualdade, a m de garatr a sua valdade. Este Capítulo trata do cálculo do úmero de corpos de prova (CP) que devem ser testados para se obter dados expermetas detro de um dado ível de coaça prevamete estabelecdo; e do ajuste destes dados de um modelo ao cojuto destes dados, usado o método de Leveberg-Marquardt (L-M). Este procedmeto permte um ajuste global de múltplas curvas expermetas, logo ão se lmta apeas ao ajuste local de cada curva medda. Em relação ao plaejameto dos expermetos, o tocate a especcação do úmero de corpos de prova, empregou-se uma errameta estatístca cohecda como teste de hpótese, além de outros cocetos que serão vstos mas adate.. Metodologa de Ajuste de Dados Expermetas O ajuste global de um cojuto de dados expermetas é dspesável para a avalação da qualdade dos modelos propostos para descrevê-los. Todava, esta metodologa em sempre é seguda a aálse de propredades mecâcas, sedo lametavelmete ada comum avalá-las localmete, ajustado modelos a curvas dvduas, às vezes de orma totalmete empírca, por tetatva e erro (Alves e Joes 00; Joes 997; Pexho 004). Desta orma, ca rremedavelmete prejudcada a comparação etre as propredades de um materal meddas em codções dversas, mas que devem ser descrtas por um mesmo modelo. Por exemplo, os parâmetros de J-C, um dos modelos mas usados para descrever o eeto da taxa de deormação as ases plástca das curvas, devem

2 49 ser vstos como uma propredade do materal, logo devem ser aplcáves a todas as curvas meddas. Esta tarea é trabalhosa, mas dspesável, pos ão az setdo ser ter um cojuto de parâmetros deretes para cada curva medda ( o que equvale a se gerar uma Equação derete para cada uma delas). Para se ter uma déa da quatdade de dados empregados esta tese, para as taxas letas oram meddas cerca de lhas cotedo as varáves tempo, orça, deormação e deslocameto. Assm, para cada CP, oram meddos cerca de dados expermetas. Portato, para aalsá-los, o desevolvdo um procedmeto geral e um programa dedcado. O Método dos Mímos Quadrátcos, coorme MONTGOMERY, RUNGER e HUBELE (004), é amplamete dvulgado e comumete usado em mutas aplcações de egehara para ajustar uma ução lear a um cojuto de dados expermetas. A qualdade do ajuste localmete obtdo é avalada pelo coecete de determação (R ), de acordo com a Equação (40) e Fg. 4. Fgura 4 Dstâca de um poto (x ; y ) à reta y = a + bx R y ( y a bx ) y (40) ode R é coecete de determação, y a varável depedete, depedete e é úmero de pares ordeados (x ; y ) x é a varável Este procedmeto, portato, ão é adequado para ajustar smultaeamete váras curvas ão-leares a dados obtdos em dversas codções expermetas. Por sto, este trabalho o empregado o algortmo de Leveberg- Marquardt (L-M), que permte ajustar a uma dada Equação geérca a um co-

3 50 juto de dados expermetas em váras codções (o osso caso, sob dversas taxas de deormação), de modo a obter a cada passo um erro quadrátco cada vez meor. Caso cotráro ão podera se avalar o comportameto cojuto das meddas. No algortmo L-M deseja-se mmzar a soma dos desvos quadrátcos etre valores meddos e os calculados em cada poto, utlzado a expressão (4), coorme CASTRO e MEGGIOLARO (009). S [ y ( x p)] (4) ode S dca a soma dos desvos quadrátcos etre valores meddos e os calculados em cada poto, é o úmero de potos expermetas, y dca os valores expermetas, x são os valores da varável depedete, p são valores - cas e ( x p) é a ução que mmza S. A cada teração do algortmo o valor de p é substtuído por p+q, sedo ecessára a learzação da ução a orma: O termo J( x,p) é o Jacobao de ução, sedo calculado pela expressão: ( x,p q) ( x p) J( x,p).q (4) ( x,p) ( x,p) ( x,p) J ( x,p),,..., (43) p p pm ode m é o úmero de parâmetros da ução, da ução em relação de p. ( x,p) são as dervadas parcas p m O vetor correção q pode ser obtdo de modo teratvo usado a expressão (44): T T q J( x, p).j( x, p). J( x, p).[ y ( x, p)] (44) Os valores de p são atualzados a cada teração através do uso da expressão (45): p p q (45)

4 5 O erro e(p) é calculado pela expressão (46) para cada valor de p: e( p) y y y m ( x ( x... ( x, p), p), p) m (46) Apesar de cohecdo há bastate tempo (o proposto em 944 por Leveberg, e redscutdo em 969 por Marquardt) BARCELOS, ANDRADE e BOA- VENTURA (009), o método de L-M ada ão está dspoível em um programa comercal para o tratameto de dados expermetas geércos de orma coável. Por sto, o ecessáro desevolver este trabalho um programa especíco em lguagem Mathcad R3, com terace amgável e tutva, para aplcá-lo aos dados aqu meddos, vde Apêdce C e o luxograma da Fg. 5. Icalmete os dados expermetas são mportados o ormato txt para o ambete do Mathcad; em seguda são dedas algumas varáves a orma matrcal; a tercera etapa é calculado o jacobao da ução de teresse; a quarta etapa são etos os cálculos dos valores de p e q coorme Equações 4 e 44; por m os dados são plotados smultaeamete com a Equação ajustada. Para comprovar a versatldade do programa desevolvdo, ele o usado para ajustar dados de propagação de trca por adga empregado-se a Equação de Forma modcada com 4 parâmetros (Equação 45). Os dados expermetas são reeretes ao aço 300M e ao aço API-5L X60, segudo CASTRO e MEGGI- OLARO (009). O aço 300M tem aplcações smlares ao aço SAE 4340, com valores de teacdade e resstêca à tração maores. Já o aço API-5L X60 é comumete empregado em tubulações que trasportam gases e dversos tpos de óleo, especalmete em dutos o Brasl.

5 5 Fgura 5 Fluxograma smplcado do algortmo L-M da dn ode da/dn é a taxa de propagação de trca, A, m, p, α são costates a serem determadas, A. ΔK ΔKth( αr ) p K c K max m (47) Δ K é a varação do ator tesdade de tesão, K c é a teacdade à ratura, Kmáx é o ator de tesdade de tesões máxmo, ΔKth é o lmar de propagação e R é a razão etre a tesão míma e a máxma. A Fg. 6 lustra os dados obtdos o esao de propagação de trca por adga do aço 300M, para R=0,70 e R=0,05. A curva ajustada por L-M possu as costates da Equação (45) a Tabela 7. A Fg. 7 lustra os dados obtdos o esao de propagação de trca por adga para o Aço API 5L-X60, para R=0,70 e R=0,0. A curva ajustada por L-M possu as costates da Equação 45 lstadas a Tabela 7, com valores de R próxmos da udade, demostrado a boa qualdade dos resultados obtdos.

6 53 Fgura 6 Ajuste de dados para o aço 300M Fgura 7 Ajuste de dados para o aço API 5L-X60 Tabela 7 Costates ajustadas por L-M. Materal / Costates A m p α R Aço 300M,0. 0-8,44 0,8 0,58 0,9 Aço API 5L-X60,5. 0-8,58 0,79 0,9 0,95

7 54.3 Tratametos Estatístco de Dados Expermetas Para a obteção de uma base de dados estatstcamete coável, o ecessáro empregar errametas capazes de especcar o úmero mímo de a- mostras para cada tpo de expermeto, segudo um crtéro para avalar se os testes orecem resultados equvaletes ou ão..3. Determação do Número de Corpos de Prova. Em trabalhos expermetas, deseja-se obter um cojuto de dados que represete elmete o comportameto em estudo testado o meor úmero possível de amostras, porém matedo um ível de coaça desejado. Um grade úmero de amostras é desejado por aumetar os custos e o tempo de processameto dos esaos. Por outro lado um úmero sucete de amostras o valor estatístco dos esaos. Uma maera de estmar o úmero de amostras é utlzado a Expressão (48): Z N Ω α / S ode N é o úmero de corpos de prova ecessáros a serem esaados, Z α/ é o valor crítco que correspode ao grau de coaça desejado, S é o desvopadrão, e é a margem de erro. (48) O valor crítco Z α/ é ução do grau de coaça, vde Tabela 8 [MONT- GOMERY, RUNGER e HUBELE (004)], que lsta os valores mas utlzados as aplcações da egehara. Tabela 8 Valores crítcos Z α/ assocados ao grau de coaça a amostra Grau de Coaça (ível de sgcâca) Valor Crítco Z / 90% 0,0,645 95% 0,05,960 99% 0,0,575

8 55.3. Crtéro de Avalação dos Resultados. Para obter um crtéro de avalação dos resultados expermetas empregouse o coceto de testes de hpóteses, coorme MONTGOMERY, RUNGER E HUBELE (004), resumdo da segute orma (Equação 49): H o : H : (49) H o é a hpótese de que a méda dos resultados obtdos em ambas as amostras são guas, H é a hpótese de que a méda dos resultados obtdos em ambas as amostras ão são guas, µ é a méda obtda a amostragem, e µ é a méda obtda a amostragem. Para se vercar qual hpótese deve ser aceta, calcula-se t cal pela expressão (50). tcal x x S p (50) tcal é valor tabelado para dstrbução t-studet em ução do úmero de graus de lberdade e do ível de sgcâca, x, x são valores médos amostras,, dcam o úmero de amostras para cada expermeto e combado, coorme a Equação (5). S p ( )S ( )S Sp é o desvo-padrão a qual S, S são os desvos-padrão de cada amostra e S p é o desvo-padrão combado. O desvo-padrão de cada amostra é calculado pela expressão (5): (5) S, ( x x ) ( ) (5) O valor de t tab depede do ível de sgcâca ( α = 5%) e dos graus de lberdade (GL), Fg. 8, que são ução do tamaho da amostra, ode GL (53)

9 56 Fgura 8 Dstrbução t-studet. Para comparar o valor da estatístca do teste t cal com o valor tabelado t tab com ( + -) graus de lberdade (Equações 54 e 55): Caso : H o será rejetada se: t t cal α /, (54) Caso : H o será aceta se: t t cal α /, Neste trabalho o adotado o ível de sgcâca de 0,05, que correspode a 95% de grau de coaça. Na determação do úmero de corpos de prova o empregada a Equação (46), sedo adotados: Z α/ =,96 ; S = 9,5 e =0, orecedo assm um total de 4 (quatro) CPs para cada taxa em estudo, coorme MONTGOMERY, RUNGER E HUBELE (004) e MOLIN, KULAKOWSKI e RIBEIRO (005). Estes valores oram adotados tedo em vsta os resultados prelmares obtdos em ACH et al (00). Assm, após a realzação de cada cojuto de 4 esaos oram cudadosamete recalculados os valores de CPs ecessáros para assegurar o grau de coaça de 95%, sedo vsto o capítulo 3 que o maor valor obtdo para o de 3,9, sedo assm eror a 4. Desta orma o úmero de CPs determado se mostrou o sucete. Para executar o teste de hpóteses oram estabelecdos os segutes passos: (55). Formulação de H 0 e H ;. Escolha de uma dstrbução amostral adequada; (t-studete) 3. Escolha de um ível de sgcâca e deção da regão crítca; 4. Cálculo de uma estatístca de teste; (Equação 50) 5. Comparação do valor teste com a regão crítca; Equações 54 e 55) 6. Rejetar H 0 se o valor teste excede a regão crítca ou acetar em caso cotráro.

10 57 A Fg. 9 mostra as tpos de testes de hpóteses empregados: testes u e blateras. Fgura 9 Tpos de teste de hpótese Usualmete α é gual a % ou 5%. Dessa orma, quado α = %, temos z=,58 e quado α = 5%, temos z=,64. Dessa maera para % de ível de sgcâca, tem-se a regão crítca gual a,58 e, de orma semelhate, para 5% temos,64. (Fg. 30) Fgura 30 Regão Crítca