Macroeconometria Aula 3 Revisão de estatística e teste de hipótese

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1 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese 3.5. Estmação No estudo das probabldades, o objetvo é calcular a probabldade de evetos préespecfcados. De agora em date o objetvo muda. A partr de uma amostra de uma dstrbução de probabldades especfca pretedemos apreder alguma cosa sobre os parâmetros da dstrbução, sto é, estaremos teressados em estmar os parâmetros da dstrbução de probabldade. O objetvo em estatístca é descobrr alguma cosa sobre os parâmetros descohecdos de uma dstrbução de probabldade. Os mecasmos mas usuas para ferr alguma cosa sobre estes parâmetros são:.- Estmação potual. O objetvo é chutar os valores do parâmetro descohecdo..- Estmação por tervalo.- O objetvo é ecotrar um tervalo que coteha o parâmetro de teresse com uma probabldade especfcada. 3.- Teste de hpóteses.- O objetvo é crar cojecturas sobre os valores possíves do parâmetro e verfcar se estas cojeturas são muto ou pouco provável (sto é, testar as hpóteses) Todos estes procedmetos são baseados a oção de amostra aleatóra Amostra aleatóra O problema básco da ferêca estatístca é fazer afrmações sobre uma população com base os dados de uma amostra. Para gahar formação sobre os parâmetros descohecdos de uma dstrbução de probabldade usamos um cojuto de varáves aleatóras depedetes e detcamete dstrbuídas. Isto equvale a repetr a experêca aleatóra que está sedo descrta pelo modelo em questão vezes, em codções dêtcas e de maera depedete. A partr dos valores observados das varáves,,..., calcularemos fuções que os permtrão apreder sobre os parâmetros descohecdos do modelo. Estas fuções serão chamadas de estatístcas. Defção (Estatístca) cguterrez@fgvmal.br

2 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese Uma estatístca (ou estmador) θ ) é uma fução de uma amostra aleatóra,,... Formalmete: θ ) F(,,...) Observe que uma estatístca ão é fução de parâmetros descohecdos, ela só evolve as varáves a amostra aleatóra, ou seja, pode ser dretamete computada a partr dos valores observados em uma amostra. O objetvo agora é ecotrar estatístca que srvam como bos estmadores potuas de parâmetros descohecdos. Propredades dos estmadores Exste mutos estmadores a lteratura, portato, também é mportate defr crtéros que os permtam dzer que uma estatístca é melhor que outra para estmar um dado parâmetro. Um bom estmador é aquele que satsfaz três propredades: ) Não-tedecoso.- Um estmador θ ) é dto ão-tedecoso de θ se: E ( ) θ ) θ ) Efcete.- Sejam ) θ e ) θ dos estmadores ão tedecosos de θ. ) θ é dto ser efcete que ) θ se: ) ) Var θ ) < Var( θ ) ( ) Cosstete.- Um estmador θ ) é dto ser cosstete se quado a amostra cresce, o estmador θ ) se aproxma (coverge em probabldade) para o verdadero θ. Portato, um estmador deve ser selecoado de modo que seja ão tedesoso, cosstete e o mas efcete. cguterrez@fgvmal.br

3 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese cguterrez@fgvmal.br 3 Estatístcas mas usadas Cosderado,,..., uma amostra aleatóra de uma dstrbução qualquer as estatístcas mas comus calculadas a partr desta amostra são:.- Méda amostral.- Varâca amostral ( ) S 3.- Desvo padrão amostral ( ) S S 4.- Coefcete de correlação amostral etre duas amostras aleatóras ( e Y) ( )( ) ( ) ( ) Y Y Y Y Y, ρ Qualquer destas estatístcas (ou estmadores) é uma fução da amostra (,,..., ). Note que como a amostra é aleatóra etão as estatístcas também serão varáves aleatóras. Portato, sedo varáves aleatóras, está mplícto uma dstrbução de probabldade desses estmadores com uma determada méda e varâca populacoal

4 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese 4 (por mecoar os prmeros mometos) que também podem ser estmados através da mesma formação amostral. Méda e varâca da méda amostral Supohamos que as característcas de uma população sejam detfcadas pela varável aleatóra, com parâmetros populacoas E ( ) µ evar ( ). Seja uma amostra aleatóra desta população (,,..., ). Etão, pode-se demostrar que a méda e varâca amostral pode ser escrta em fução dos parâmetros populacoas da varável aleatóra : E ( ) µ e Var ( ) Note que a esperaça da méda amostral é a mesma da varável populacoal, e a varâca de é gual à varâca de dvdda pelo tamaho da amostra. Hpótese de ormaldade A hpótese de ormaldade é muto mportate a hora de realzar um teste de hpótese ou ferêca da população. É possível assumr que a varável aleatóra tem dstrbução de probabldade ormal. Com esta hpótese demostra-se que também terá dstrbução ormal. Ou seja, o caso de ormaldade, a méda amostral preserva a le de formação populacoal. No etato, a maora das aplcações, a dstrbução da varável ão é cohecda e, cosequetemete, a de. Afortuadamete exste um famoso teorema, cohecdo como Teorema Cetral do Lmte, que permta obter uma aproxmação para a dstrbução de. A desvatagem deste teorema é que precsamos um úmero razoável de observações para ele ter valdade. Teorema Cetral do Lmte cguterrez@fgvmal.br

5 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese 5 Seja,,,..., uma amostra aleatóra de uma população com E ( ) µ evar ( ). Etão, quado o tamaho da amostra cresce, a dstrbução de aproxma-se da Normal com parâmetros µ e, ou N(µ, ). Portato, com uma amostra grade, o teorema cetral do lmte garate ormaldade para a dstrbução de probabldade da méda amostral. Uma observação mportate este teorema é que ão há ehuma restrção sobre a forma da dstrbução populacoal da varável aleatóra. Estmação da méda e varâca populacoal Os parâmetros de teresse de uma população que comumete são alvo de estmação são: a méda populacoal E ( ) µ e a varâca populacoal Var ( ). Que estmadores utlzaremos para estes parâmetros? Porque? Podemos utlzar os estmadores potuas da méda e varâca amostral. É cohecdo que estes estmadores tem as boas propredades de um estmador. Logo, ) µ (méda amostral) ) S ( ) (varâca amostral) Estmação por tervalo A estmação potual os dá uma úca estatístca da amostra, que é utlzada para estmar o verdadero valor de um parâmetro da população. Como vsto a méda artmétca da amostra,, é uma estmatva de poto da méda da população e a varâca da amostra, S, é uma estmatva de poto da varâca da população,. Porém, como esta estmatva pode mudar de amostra a amostra, como o caso de, esta varação deve ser levada em cosderação ao ser forecda uma estmatva da característca da população. Para que sso seja alcaçado, uma estmatva de tervalo, cguterrez@fgvmal.br

6 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese 6 relatva ao parâmetro de teresse da população, é desevolvda, levado em cota a dstrbução de amostragem da estatístca do parâmetro da população. O tervalo que é costruído terá uma cofaça ou probabldade especfcada de estar estmado corretamete o verdadero valor do parâmetro da população. Portato, a estmação de um tervalo de cofaça cosste em determar um tervalo, Ic, em geral smétrco, do tpo Ic (estmador potual erro; estmador potual + erro). A probabldade do parâmetro de teresse θ a ser testado, P( θ Ic ) é deotado por: P( θ Ic ) -α em que (-α ) é uma probabldade defdo como sedo o ível de cofaça do tervalo. α pode ser terpretado como a probabldade do tervalo ão coter o parâmetro θ. Normalmete, deseja-se que α seja pequeo, os valores usualmete utlzados os trabalhos empírcos são 0,0, 0,05 e 0, ou %, 5% e 0% respectvamete. Observe que, para dferetes estmatvas potuas do parâmetro de teresse, teremos dferetes estmatvas do tervalo de cofaça. O tervalo de cofaça é costruído com base a dstrbução amostral do estmador potual. No exemplo a segur mostramos a costrução de tervalos para a méda populacoal. Exemplo: Seja,,,..., uma amostra aleatóra Normal de uma população com E ( ) µ evar ( ). Tomemos como o estmador potual de µ. Cosderado que a varâca seja cohecda, pode-se demostrar que a méda e varâca amostral pode ser escrta em fução dos parâmetros populacoas da varável aleatóra : E ( ) µ e Var ( ) N( µ, ) Normalzado para a varável aleatóra Z temos: cguterrez@fgvmal.br

7 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese 7 Z µ ( µ ) N ( 0,) Ao defr α, por exemplo 5%, a probabldade P( θ Ic ), para a varável ormalzada Z, fca defdo automatcamete como: P ( z Z ) α α / zα / Substtudo-se Z pela sua expressão acma, detro da probabldade, chega-se a expressão equvalete que defe o tervalo de cofaça: P zα / µ + zα / α e o tervalo de cofaça para µ com ível de sgfcâca de α % é dado por: z µ + z α / α / Exercíco: Como muda o tervalo de cofaça para este parâmetro se a varâca populacoal ão é cohecda? 3.6. Teste de Hpótese O teste de hpótese é uma fase da fereça estatístca que, da mesma forma que a estmatva do tervalo de cofaça, é baseada em formações sobre a amostra. A déa é ferr sobre um parâmetro populacoal apartr da estmatva desse parâmetro através de uma amostra. A hpótese de que o parâmetro da população seja gual à especfcação da empresa é chamada de hpótese ula (H 0 ). Etretato, se os resultados da amostra dcarem que cguterrez@fgvmal.br

8 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese 8 H 0 pode ser rejetada, os pesqusadores poderão ferr que uma hpótese alteratva (H a ). A hpótese ula, H 0, dca a hpótese (umérca) a ser testada. A hpótese ula sempre se refere a um parâmetro. Por exemplo: O tempo médo para a coclusão do mestrado a FGV é 6 meses H0: µ 6 meses A hpótese alteratva, H, é o que ocorrera se a hpótese ula fosse falsa. Por exemplo: o tempo médo para a coclusão do mestrado a FGV é dferete de 6 meses Ha: µ 6 meses. Em resumo, dos potos-chave resume as hpóteses ula e alteratva:.- A hpótese ula, H 0, é a hpótese que é sempre testada..- A hpótese alteratva, H a, é desevolvda como sedo o oposto da hpótese ula e represeta a coclusão apoada, se a hpótese ula for rejetada. Observação: A hpótese ula, H 0, sempre se refere a um valor especfcado do parâmetro da população (tal como µ ), e ão a uma estatístca da amostra (tal como ). Exemplo : Supoha que deseja testar o grau de assocação lear etre duas varáves: Demada de Eerga (Y) e Temperatura () da cdade de Ro de Jaero, segudo a relação: Y β + erro A assocação de Y e depede da sgfcâca do parâmetroβ. Por tato testamos: H 0 : β 0 cguterrez@fgvmal.br

9 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese 9 H a : β 0 Um aumeto de temperatura faz com que o cosumo de eerga aumete. Por tato, esperamos que exsta uma relação lear etre essas varáves. Ou seja, esperamos que o resulados do teste rejete a hpótese ula Estatístca do teste A estatístca de teste é costruída cosderado como verdadera à hpótese ula. t c ˆ µ µ H 0 ˆ µ em que µ é o parâmetro a ser testado, µ H o valor do parâmetro µ sob a hpótese ula, 0 ˆ µ o desvo padrão do estmador ) µ. O teste t c pode assumr duas dstrbuções: Caso : Se o parâmetro for cohecdo a estatístca t c terá dstrbução Normal-Padrão (Gaussaa). Caso : Se o parâmetro ão for cohecdo a estatístca t z terá dstrbução t-studet. Em geral o parâmetro ão é cohecdo, estmado-se a partr da amostra. Utlzamos esta estatístca para calcular os potos crítcos que são os que defem a regão de rejeção (às vezes chamada de regão crítca) e uma regão de ão-rejeção como mostrado a fgura. No exemplo ateror cosderamos uma relação lear etre Y e segudo Y β + erro. Supoha que o parâmetro β fo estmado a partr de uma amostra de dados ) β, com desvo padrão ) 0, 6. Qual é a estatístca do teste? β Solução: cguterrez@fgvmal.br

10 Macroecoometra 008. Aula 3 Revsão de estatístca e teste de hpótese 0 Substtudo a equação da estatístca do teste temos: t c β β ) β H0, 0 0,6 Quado trabalhamos com a méda amostral é ecessáro costrur uma ova varável aleatóra. Exemplo : Supoha o produtor de lete em pó afrme o rótulo de sua embalagem que o seu produto em peso líqudo de 500 gramas. Para testar essa afrmatva, fo coletada uma amostra de 0 udades do produto e pesados, regsrado uma méda amostral de 495 gramas e um desvo padrão de s0 gramas. Supoha que quera testar a hpótese ula de que o produto tem realmete peso líqudo de 500 gramas, cotra a hpótese alteratva de que o produto tem peso líqudo meor que 500 gramas. H0: µ 500 gramas Ha: µ 500 gramas. produtor de lete em pó afrme o rótulo de sua embalagem que o seu produto em peso líqudo de 500 gramas. Para testar essa afrmatva, fo coletada uma amostra Exemplo: Calcule a estatístca de teste para o exemplo ateror. Como o desvo padrão da população é estmado através da amostra estamos o caso em que a estatístca de teste é t-studet. Idetfquemos os parâmetros; 0, ˆ s0 gramas, ˆ µ 495 gramas Logo, µµ t z ˆ P-Valor cguterrez@fgvmal.br