TEORIA DE ERROS MEDIDAS E GRÁFICOS

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1 Uversdade Federal de Juz de Fora Isttuto de Cêcas Eatas Departameto de Físca TEORIA DE ERROS MEDIDAS E GRÁFICOS Prof. Carlos R. A. Lma Edção Março de 010

2 ÌNDICE CAPÍTULO 1 - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA Itrodução Apresetação de resultados Aálse das médas A medaa O modo A méda harmôca A méda geométrca A méda artmétca Aálse da dspersão O desvo médo O desvo padrão Curvas teórcas de dstrbução estatístca CAPÍTULO - A DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA Itrodução A dspersão e a dstrbução ormal Itervalos de Cofaça CAPÍTULO 3 - DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA DE STUDENT CAPÍTULO 4 - MEDIDAS E ERROS Gradezas Físcas e Padrões de Medda Classfcação dos Erros Algarsmos Sgfcatvos Propagação de Erros CAPÍTULO 5 - CONSTRUÇÃO DE ESCALAS E GRÁFICOS Itrodução Escala Lear Escala Logarítmca Papes moolog e loglog Gráfcos Itrodução Costrução de gráfcos Relações leares Método Gráfco Método dos Mímos Quadrados Gráfcos de Fuções Não- Leares Fuções Polomas Fuções Epoecas Uso de papés loglog para learzar fuções polomas Uso de papés moolog para learzar fuções epoecas REFERÊNCIAS

3 CAPÍTULO 1 - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA 1.1- Itrodução Um pesqusador socal procura obter coclusões sobre um grade úmero de sujetos. Por eemplo, os de dvíduos que compõem a população Braslera, os habtates da cdade de Juz de Fora, ou os 8000 estudates da Uversdade Federal de Juz de Fora. Cada um desse grupos, vestgados pelo pesqusador socal, é deomado teccamete de população ou uverso. A população cosste de um cojuto de dados com alguma característca comum, seja ela, acoaldade, cdadaa ou matrícula a Uversdade Federal de Juz de Fora. Como, em geral, a população é composta de um úmero muto grade de dvíduos, dados ou observações, o pesqusador socal raramete aalsa esse grupo. Em lugar dsso, é aalsado somete uma amostra, que se costtu de um úmero meor de dados retrados da população. O pesqusador procura trar coclusões de sua amostra e estede-las para toda a população. O processo de amostragem faz parte do da-a-da de todas as pessoas. Por qual outro processo sera possível obter formações sobre alguma medda, se ão amostrado-se aquelas que se é capaz? Por eemplo, pode-se coclur que vale a pea vestr a bolsa de valores depos de saber que algumas pessoas gaharam dhero com essas aplcações. Os métodos de amostragem utlzados por um pesqusador são, em geral, mas elaborados e sstemátcos do que aqueles que se poderam utlzar o da-a-da. Sstematcamete, o pesqusador procura obter uma amostra mas represetatva possível de toda a população. Se todos os dados puderem partcpar da amostra, dz-se que o método utlzado é o de amostragem aleatóra e, se este ão for o caso, dz-se que o método é o de amostragem ão aleatóra. Propõe-se aqu fazer uma breve dscussão sobre as téccas dspoíves para o tratameto estatístco de meddas, erros e dsposções gráfcas em processos de observações epermetas. Estem duas propredades estatístcas báscas assocadas a um cojuto de dados de uma amostra: Tedêca da maora dos dados materem-se em toro de um valor cetral e tedêca destes dspersar em toro desse valor cetral. A dspersão de dados em toro de um valor cetral pode referr-se a uma medda precsa ou eata. A precsão refere-se a uma apromação de um grupo de meddas de um valor que ão é, ecessaramete, o valor verdadero e, eatdão refere-se a uma apromação de um grupo de meddas do valor verdadero. A dfereça etre precsão e eatdão pode ser melhor compreedda observado-se a Fg Precso e eato Precso e eato Imprecso e eato Imprecso eato Fg Possíves potos atgdos em um alvo lustrado a dfereça etre precsão e eatdão O aspecto mportate que se deve efatzar aqu é que se pode ter uma amostra de grade precsão, mas ão ecessaramete de grade eatdão. Essa codção pecular pode ocorrer, por eemplo, quado um bom epermetador utlza strumetos que estejam descalbrados. 1.- Apresetação de resultados É possível perceber que amostras retradas de uma determada população devem segur uma determada dstrbução. Seja, por eemplo, uma amostra cotedo um cojuto de dados represetados pelas dades de 3 pessoas de uma determada cdade, orgazadas em ordem crescete de magtude como mostra a Tab. 1.1(a). Nota-se que algumas pessoas podem ter a mesma dade e o que se busca é a méda de dades que compõe essa amostra. Pode-se costrur uma dstrbução de freqüêca com os dados dessa amostra 3

4 separado-os em sete dferetes subgrupos. As freqüêcas de dados em cada subgrupo podem ser dstrbuídas como mostra a Tab. 1.1(b) (a) Subgrupos Freqüêca Total II IIII IIIIIII IIIIIIII IIIIII III II (b) Tab (a) Tabela de dades das pessoas cosultadas, e (b) Dstrbução de freqüêcas de dades em sete subgrupos. A vatagem da dstrbução de freqüêca sobre a tabela de dados é a eposção de uma tedêca clara a um certo valor cetral. Essa tedêca pode ser melhor apresetada uma forma gráfca deomada de hstograma como mostra a Fg. 1. (a). As formações apresetadas o hstograma, jutamete com a tabela de dstrbução de freqüêcas, podem ser trascrtas uma outra forma gráfca deomada de polígoo de freqüêcas como mostra a Fg. 1. (b). Em ambos os gráfcos ota-se claramete uma tedêca cetral para determados valores da tabela de dados Freqüêca 6 4 Freqüêca Idades Idades (a) (b) Fg. 1.- (a) Hstograma das dades das pessoas e, (b) Polígoo de freqüêcas. Os dados podem ser ada plotados a forma de um dagrama de freqüêcas relatvas. Nesse caso, as freqüêcas que aparecem as abscssas do hstograma, ou o polígoo de freqüêcas, devem ser dvddas pelo úmero total de dados, que o caso é 3. A escala vertcal passa a ser a ocorrêca relatva, ou percetual do total Aálse das médas Estem váras formas de se escrever um valor médo de um grupo de dados que compõe uma amostra, sedo que, as mas mportates [01] são: A medaa, o modo, a méda harmôca, a méda geométrca e a méda 4

5 artmétca. A teção, de qualquer uma dessas defções, é gerar um valor represetatvo assocado a todos os dados de uma determada amostra A medaa, é um valor cetral etre os dados que compõe a amostra. Metade dos dados está acma desse valor e a outra abao, ão sedo ecessaramete, o meo camho etre o maor e o meor valor. Seja, por eemplo, os saláros auas em dólares, de cco professores de uma determada Uversdade Braslera, mostrados a Tab. 1.. Professor Saláro (US$) 10000, , , , ,00 Tab. 1.- Saláros auas de professores de uma determada Uversdade Braslera. O saláro médo, obtdo somado-se os saláros e dvddo-se por cco, é US$ 14100,00. Essa ão é uma boa estmatva para o saláro médo dos professores, por estar muto dstate da maora dos valores que compõe a amostra. A medaa, dada por US$ 1000,00, é um valor mas represetatvo desses saláros O modo, está assocado ao valor mas freqüete dos dados que compõe a amostra. O valor do modo deve ser obtdo da méda etre os dados do tervalo que defem o pco do hstograma A méda harmôca, é utlzada freqüetemete para se fazer estmatvas de valores típcos de taas de varação. Essas estmatvas são represetatvas quado seguem a segute relação: H 1 1 (1.1) ode são os valores de cada um dos dados da amostra e é o úmero total desses dados A méda geométrca, é utlzada para meddas que crescem como uma progressão geométrca, ou crescem proporcoalmete a um determado valor. Essas estmatvas são represetatvas quado seguem a segute equação: G (1.) Seja, por eemplo, o crescmeto aual da população de uma pequea cdade do teror do Estado de Mas Geras, como mostra a Tab ao população crescmeto Taa de crescmeto em relação ao ao ateror , , , ,0399 Tab.1.3- Dados de crescmeto populacoal de uma pequea cdade do teror do Estado de Mas Geras. De acordo com a eq. (1.), a taa méda de crescmeto da pequea cdade, será: 4 4 G 1,05111,035 1,053 1,0399 1,1601 1,0378 ou, 3,78%, que é um valor represetatvo para o crescmeto populacoal aual dessa pequea cdade. 5

6 A méda artmétca, é a mas utlzada para a determação de valores médos e, é obtda smplesmete da razão etre a soma dos valores e o úmero total de todos os dados de uma amostra, sto é 1 (1.3) Sempre que o úmero de dados da amostra tver um tamaho relatvamete grade, a utlzação da méda artmétca será mas dcada para obteção de médas represetatvas Aálse da dspersão O grau de cofabldade, ou precsão, de uma amostra, pode ser estmado utlzado-se a defção de dspersão. A dspersão é uma medda das flutuações de todos os dados de uma amostra em toro do valor médo. As formas mas mportates de se represetar a dspersão de uma amostra são fetas por meo das 06defções de desvo médo e desvo padrão [01] O desvo médo, é a méda artmétca dos desvos de cada dado da amostra em toro do valor médo, sto é 1 (1.4) É mportate que o valor absoluto seja utlzado, pos, se assm ão fosse, ter-se-a: (1.5) 0 Por se pouco represetatvo das verdaderas flutuações que, em geral, ocorrem as amostras típcas, o desvo médo é raramete utlzado para a estmatva de um resultado estatístco O desvo padrão *, é a raz méda quadrátca, ou RMS (Root Mea Square), das flutuações de cada dado da amostra em relação ao valor médo, sto é, * 1 (1.6) O desvo padrão tem uma melhor represetatvdade das verdaderas flutuações que, em geral, ocorrem as amostras típcas e, por causa dsso, é mas freqüetemete utlzado em cálculos estatístcos. É mportate otar, que: uma vez que, e. Assm, a eq. (1.6) pode ser rescrta, como: 6

7 * 1 1 (1.7) uma vez que, Curvas teórcas de dstrbução estatístca No vocabuláro básco da estatístca, clu-se o termo população pa, para represetar todas as meddas possíves de uma determada gradeza G. É otável, a Fg. 1.3, que o úmero N de subgrupos de um hstograma cresce proporcoalmete ao úmero de dados de uma amostra. Como esse processo os lmtes feror e superor dos dados da amostra ão devem ser alterados sgfcatvamete, os tervalos dos subgrupos devem se estretar progressvamete tededo a zero, quado o úmero de dados tede ao fto ( ). Nessas codções etremas, o hstograma trasforma-se uma curva suave de uma fução de dstrbução teórca como mostra a últma seqüêca da Fg ,0 1,0 0,8 N= Itervalo=1 0,8 N=0 Itervalo=0,5 Freqüêca 0,6 0,4 Freqüêca 0,6 0,4 0, 0, 0, , ,0 1,0 Freqüêca 0,8 0,6 0,4 N=100 Itervalo=0,1 Freqüêca 0,8 0,6 0,4 N= Itervalo=0,0 0, 0, 0, , Fg Efeto do aumeto do úmero de dados de uma amostra sobre a morfologa do hstograma correspodete. 7

8 A fução de dstrbução teórca tem a vatagem de poder ser tratada aaltcamete. Essa fução detfca a população de todos os dados possíves (mas ão os valores verdaderos) e, a partr do cohecmeto de suas propredades, obtêm-se formações sobre a credbldade de todo o processo de medda. Na verdade, uma amostra fta, assocada a uma determada população é, em geral, sufcete para se chegar às propredades da fução de dstrbução correspodete. Não estem mutas fuções matemátcas que se comportam morfologcamete como a fução de dstrbução mostrada a últma seqüêca da Fg Detre as poucas fuções cosderáves, podem ser destacadas as dstrbuções, Bomal, Posso e Gaussaa ou ormal [01]. A dstrbução Bomal, é utlzada em stuações em que se dspoha somete de evetos báros. Por eemplo, determação do úmero de moedas que dão cara ou coroa, quado algumas delas são jogadas para cma um certo úmero de vezes. A dstrbução de Posso, é utlzada em stuações em que os evetos são depedetes e que cada um deles ão flueca os outros. Por eemplo, determação do úmero de automóves que passam por um determado poto de uma aveda por udade de tempo em dferetes mometos do da. A dstrbução Gaussaa ou Normal, é a dstrbução que sprou os resultados de dspersão dscutdos a seção 1.4, váldos para sstemas geércos de uma úca população e que, por sso, vale a pea cosdera-la com mas detalhes, como se faz o Capítulo. 8

9 CAPÍTULO - A DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA.1- Itrodução A dstrbução ormal ou Gaussaa, é uma represetação matemátca utlzada para sstemas geércos de uma úca população. A epressão geral para essa dstrbução [01], é: z 1 1 z y e e ymáe (.1) ode, 1 y má z, y é a freqüêca relatva da varável de medda, é o valor médo de para a população e é o desvo padrão de, também para a população. O desvo padrão dá uma estmatva das flutuações ou erros aleatóros de em toro do valor médo. Como e se referem a um úmero fto de dados (população), seus valores ão são ecessaramete, os mesmos que e *, uma vez que estes se referem a um úmero fto de dados aalsados (amostra)., O valor de tem uma correlação dreta com a precsão do strumeto utlzado o processo de medda. A Fg..1, mostra as formas da dstrbução ormal como fução das varáves e z respectvamete. Note a Fg..1 (a), que a fução de dstrbução ormal determa valores úcos para os parâmetros e, embora estes ão sejam sufcetes para determar a morfologa dessa fução. Na Fg..1 (b) mostrase algumas frações percetuas da área total abao da curva defda pela dstrbução ormal. y má 1 ymáe y má 1 ymáe y y (a) Vale a pea relatar que, quado a dstrbução ormal fo crada em 1773, ela era cohecda como a le dos erros por causa da sua utlzação a represetação de erros em observações astroômcas e de outras cêcas aturas. A Tab..1 mostra a percetagem da área total abao da curva ormal para dferetes valores de z, postvos ou egatvos, a partr da orgem ( z 0 ) ,7% 95,45% 99,73% (b) z Fg..1- Morfologa da dstrbução ormal ou Gaussaa. 9

10 z 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 Fração Percetual 0,00% 19,15% 34,13% 43,3% 47,7%49,38% 49,86% 49,98% de Área Tab..1- Percetagem da área total abao da curva ormal para dferetes valores orgem z 0. z ou z a partr da A utlzação da Tab..1 pode ser lustrado com um eemplo de uma população ormal de méda 150 ud. e desvo padrão 10 ud.. Para se determar a proporção de observações etre ud. e 175 ud., obtém-se prmero, os valores correspodetes da varável z, sto é, e z 1 1, z, De acordo com a Tab..1, etre z 1,5 e z 0, tem-se uma fração percetual da área total abao da curva ormal de 43,3% e, etre z 0 e z,5, tem-se uma fração de 49,38% dessa mesma área. Assm, a fração total o tervalo etre z 1,5 e z,5 é 43,3% 49,38% 9,70%. Em outras palavras, 9,70% da área da dstrbução ormal ca detro do tervalo etre 135 ud. e 175 ud...- A dspersão e a dstrbução ormal Como mecoado aterormete, a aálse das propredades de uma população requer estmatvas de e. É razoável assumr que as melhores estmatvas para esses parâmetros são: valor médo e desvo médo *, dados as eqs..3 e.6, respectvamete. De fato, é a melhor estmatva para, o etato, * ão é a melhor estmatva para. Na verdade, a melhor estmatva de, é: * * (.) A quatdade é deomada de fator de correção de Bessel que pode ser obtda comparado valores 1 observados com o valor médo para a população [0]. Uma justfcatva da represetatvdade da correção de Bessel para a população, pode ser verfcada quado se utlza uma amostra composta apeas por uma úca medda, por eemplo, 1 5,0 ud.. Nesse caso, o valor médo é 5,0 ud. e o desvo padrão *, é: * 1 5,0 5,

11 sto é, o desvo é ulo. Isso é correto para a amostra, etretato correto para a população. Por outro lado, 1 0 * * 11 0 sto é, o desvo é determado. Isso é correto para a população pos, matematcamete, sso quer dzer que ão se tem ehuma formação sobre o desvo da população quado se tem uma amostra de apeas um úco dado. ou * Uma escolha de * para aálse da dspersão é dferete para valores grades de, uma vez que, de acordo * * com a eq. (.), para esses casos. Sabe-se que, para qualquer procedmeto de medda para uma determada etdade, o valor médo para a amostra é dferete do valor médo para a população. Na verdade, sso ão se refere a um erro aleatóro, mas sm reflete à preseça das flutuações estatístcas eretes a uma amostra com o úmero lmtado de dados. As flutuações das meddas em toro do valor médo para a população, têm melhor represetatvdade quado se utlza o coceto de dstrbução de amostrages ou méda de amostras. Como lustra a Fg.., a dstrbução de amostrages pode ser costruída a partr dos valores médos 1,, 3,... obtdos de um cojuto fto de amostras com observações cada uma, retradas da população, cohecda aqu como população pa. População Pa Amostra 1 Amostra Amostra 3 Dstrbução das amostrages Fg..- Ilustração da costrução de uma dstrbução de amostrages Essas médas, deomada de amostra estatístca, devem ter uma flutuação em toro de uma méda. De acordo com a teora estatístca, tal flutuação, cohecda como erro padrão, é obtda em termos do desvo assocado à população, por: (.3) O coceto de dstrbução de amostrages é correto para grades ou pequeas amostras, desde que a população pa seja do tpo Gaussaa. O erro padrão de uma dstrbução de amostrages pode ser utlzado para se ecotrar o úmero de observações ecessáras para gerar uma méda com determado grau de cofaça. 11

12 O gráfco da Fg..3 mostra o comportameto do erro padrão de uma dstrbução de amostrages em fução do tamaho das amostras de acordo com a eq. (.3). 6 Erro Padrão Fg..3- Comportameto do erro padrão como fução do tamaho de cada amostra. Nota-se que o erro padrão ca letamete com o aumeto de. Assm, aumetar o valor de ão é uma forma aproprada de melhorar o grau de cofaça de um resultado epermetal. Para alcaçar esse objetvo, é comum optar pelo uso de strumetos de maor precsão. No processo de eecução de um grade úmero de meddas com um determado strumeto, observações repetdas podem ocorrer com maor freqüêca. Nesse caso, os erros aleatóros serão meores do que a escala mas fa de letura do strumeto de medda. A repetção de uma medda é uma coseqüêca da lmtação da precsão do strumeto de medda, assocada a sua sesbldade..3- Itervalos de Cofaça A credbldade de um determado processo de medda está vculada a um deomado tervalo de cofaça que pode ser estmado por téccas padrões de estatístca [01]. Um tervalo de cofaça, para uma determada amostra estatístca, pode ser estmado calculado-se a probabldade de que, um certo tervalo sobre a méda da amostra, clua a méda da população, como lustra a Fg..4. Fg..4- Ilustração do coceto de tervalo de cofaça. O parâmetro, presete o tervalo de cofaça, é deomado de lmte de cofaça. Deve-se recohecer que o tervalo de cofaça está dretamete assocado à precsão de um strumeto de medda. No etato, ão este, ecessaramete, uma relação etre o tervalo de cofaça e a eatdão do processo de medda. Na seção ateror, vu-se que as médas de amostras, são dstrbuídas ormalmete e que, essa dstrbução. de amostrages, tem um valor médo gual à méda da população e um erro padrão gual a 1

13 Para uma medda partcular, ão se sabe os valores dos parâmetros e. O que se procura, a verdade, é ecotrar uma estmatva das magtudes desses parâmetros a partr de formações etraídas de uma dstrbução de amostrages. Como a dstrbução de amostrages tem uma morfologa Gaussaa, como a Fg..1(b), pode-se afrmar que a méda para a população tem uma probabldade de 99,73% de estar detro do tervalo de cofaça 3 3. Em geral, o parâmetro pode ser calculado, por: z (.4) ode z pode ser obtdo de tabelas costruídas a partr de forma padrão da dstrbução ormal para dferetes íves de probabldade ou, íves de cofaça como são cohecdos. Utlza-se também o termo íves de sgfcâca, para a dfereça percetual etre 100% e o ível de cofaça. A Tab.. mostra algus valores típcos de z jutamete com os respectvos íves de cofaça e sgfcâca. z 3,30 3,00,00 1,96 1,65 1,00 Nível de Cofaça (%) 99,90 99,73 95,45 95,00 90,00 68,7 Nível de Sgfcâca(%) 0,10 0,7 4,55 5,00 10,00 31,73 Tab..- Valores típcos de z jutamete com os respectvos íves de cofaça e sgfcâca. Para se perceber o efeto do ível de cofaça, ou sgfcâca, cosdere o eemplo de uma amostra que represeta um cojuto de meddas, com as segutes característcas: 36 ; 345 ud. e 1 ud. Nesse caso, o erro padrão da dstrbução de amostrages é 1 36 ud. e, de acordo com a Tab.. e a eq. (.4), pode-se costrur a Tab..3. Nível de Cofaça Nível de Sgfcâca Gradeza G 68,7% 31,73% 345 ud. 95,45% 4,55% ud. 99,73% 0,7% ud. Tab..3- Níves de cofaça e sgfcâca para uma amostra com 36 ; 345 ud. e 1 ud.. A eq. (.4) pode ser utlzada para estmar o tamaho ecessáro de uma amostra para gerar uma méda de credbldade especfcada. Por eemplo, supoha que se deseja estabelecer um tervalo de cofaça 5 ud., de cada lado em toro da méda, com ível de sgfcâca de 5% para a méda da população, quado se utlza um strumeto de precsão correspodete a 1 ud. Para se obter o tamaho da amostra ecessáro para que sso ocorra, deve-se otar da Tab.. que, z 1,96 para o ível de sgfcâca de 5%. Assm, da eq. (.4), tem-se: 1 5 1,96 4,7 Em outras palavras, para uma amostra cotedo, pelo meos, udades têm-se 95% de chace de que a méda da população caa detro de um tervalo de 5 udades de cada um dos lados, em toro da méda, da referda amostra. 13

14 CAPÍTULO 3 - DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA DE STUDENT Quado se dspõe de uma amostra com um úmero pequeo de compoetes ( 10 ), o desvo padrão * dea de ser uma estmatva segura para o desvo padrão da população. O problema de pequeas amostras fo tratado, o íco do século XX, por um químco rladês que assava com o ome de Studet. Em vez de calcular o erro padrão da dstrbução de amostrages das médas das amostras por e, etão, utlzálo para estmar o tervalo de cofaça por meo do parâmetro z, Studet sugeru que o seu lugar [01], adota-se: * t t 1 1 (3.1) ode t represeta um fator que corrge as dstorções promovdas pelas amostras de poucas meddas. Se essas amostras são obtdas de uma população de dstrbução ormal, cujo valor médo é, o fator t deve ser tal que caa, pelo meos, os etremos do tervalo como lustra a Fg. 3.1(a). Segudo essa fgura, tal codção fca satsfeta quado. Substtudo essa equação a eq. (3.1), obtém-se: t (3.) * De acordo com Studet, a dstrbução de amostrages de fator estatístco t é dada [01], por: 1 t t f t Y01 Y01 1 (3.3) ode Y 0 é uma costate que tem uma depedêca com de modo que a área abao da curva t seja utára, e 1 é deomado grau de lberdade da dstrbução estatístca. A Fg. 3.1(b) mostra o perfl da dstrbução de Studet, ou dstrbução t como também é chamada, para város valores de. Notase que a dstrbução t de Studet aproma-se da dstrbução ormal, sto é da fução parametrzada por z, a medda que aumeta. Seja o eemplo de meddas de uma certa etdade com as segutes característcas: 6 ; * 345 ud. e 15 ud. Para um ível de cofaça de 90%, de acordo com a Tab. 3.1, t 1,71 para 1 5, assm: 1, ,03 ud. 6 Com esse eemplo, pode-se dzer que este uma probabldade de 90% para que a méda da população assocada à etdade caa detro do tervalo 345 5,03 ud. f t 14

15 0,5 0,4 (Dst. Normal) 0,3 f(t) 0, 5 1 0,1 (a) 0, t (b) Fg (a) Codção lmar para determação do fator t e, (b) Dstrbuções t para város valores de. A Tab. 3.1 mostra valores de t para dferetes valores de graus de lberdade e de íves de cofaça [01]. t 0,99 t 0,95 t 0,90 t 0,60 t 0,50 t 0, ,66 1,71 6,31 1,376 1,000 0,77 9,9 4,30,9 1,061 0,816 0, ,84 3,18,35 0,978 0,765 0, ,60,78,13 0,941 0,741 0, ,03,57,0 0,90 0,77 0, ,17,3 1,81 0,879 0,700 0,54 15,95,13 1,75 0,866 0,691 0,536 0,84,09 1,7 0,860 0,687 0,533 5,79,06 1,71 0,856 0,684 0,531 30,75,04 1,70 0,854 0,683 0,530 60,66,00 1,67 0,848 0,679 0,57 10,6 1,98 1,66 0,845 0,677 0,56,58 1,96 1,65 0,84 0,674 0,54 Tab Dstrbução t de Studet para dferetes graus de lberdade. A eq.(3.1) pode ser utlzada também para estmar o tamaho da amostra ecessáro para gerar uma méda * com uma credbldade especfcada. No eemplo ateror ode 15 ud., pode-se pergutar, por eemplo, qual sera o úmero mímo de dados, para que a méda da população caa detro de um tervalo, para 1 ud., com um ível de cofaça de 99%. Nesse caso, a eq. (3.1), forece 1 t 0,8. * 15 15

16 A Tab. 3. mostra valores de t para algus valores de, calculados por essa equação e obtdos dretamete da dstrbução de Studet, como da Tab. 3.1, para um ível de cofaça de 99%. t tabelado para um ível de cofaça de 99% t calculado 10 3,170, ,110, ,060, ,010,884 14,980,993 * Tab. 3.- Valores de t tabelados para um ível de cofaça de 99% e calculados para 15 ud. e 1 ud.. Em outras palavras, são ecessáras pelo meos 14 meddas para que um strumeto de medda, de precsão * 15., seja capaz de gerar um ível de cofaça de 99%. estmado de ud 16

17 CAPÍTULO 4 - MEDIDAS E ERROS Gradezas Físcas e Padrões de Medda As gradezas físcas podem ser epressas em termos de um determado úmero de udades fudametas. Realzar medda sgfca fazer uma comparação etre uma quatdade e outra, defda como udade padrão. Em Partcular a mecâca, utlzam-se três gradezas fudametas, deomadas comprmetos, massa e tempo. Nesse caso, dmesões, udades e símbolos utlzados o Sstema Iteracoal de medda (SI), estão especfcados a Tab gradezas Fudametas gradezas Dervadas Nome dmesão udade símbolo comprmeto L m m massa M kg kg tempo T s s Velocdade LT ms ms Aceleração LT ms ms Força M L T kgm s Newto N Trabalho M L T N m Joule J Potêca M L 3 T J s Watt W Tab Gradezas fudametas e dervadas com suas dmesões, udades e símbolos o Sstema Iteracoal de meddas (SI). Por motvos evdetes, esse sstema é freqüetemete deomado de sstema MKS. Quado se dz, por eemplo, que um certo comprmeto vale 100 m, estarse dzedo que tal comprmeto correspode a cem vezes o comprmeto da udade padrão. As udades de outras gradezas, tas como velocdade, aceleração, trabalho, força, etc., são dervadas das três gradezas fudametas. Algus eemplos de gradezas dervadas estão lstados também a Tab Para gradezas muto grades ou muto pequeas é comum utlzar prefos múltplos ou submúltplos de potêcas de 10. Por eemplo, 3 10 m 1 mlímetro 1 mm, ou 6 10 W 1 megawatt 1 MW. Na Tab. 4. estão lstados os prefos mas comus utlzados para as gradezas físcas. As meddas de gradezas físcas podem ser dretas ou dretas. A medda dreta é o resultado da letura de um strumeto de medda, como por eemplo, um comprmeto com uma régua graduada, ou ada a de um tervalo de tempo com um croômetro. Uma medda Múltplo Prefío Símbolo ato a feto f pco p 10 ao 10 mcro 10 ml m 10 cet c 10 dec d 10 1 deca da 10 hecto h 10 3 klo k 10 6 mega M 10 9 gga G 10 1 tera T peta P ea E Tab. 4.- Prefos múltplos e submúltplos de potêca de 10 17

18 dreta é a que resulta da aplcação de uma equação matemátca que relacoa a gradeza a ser medda com outras dretamete mesuráves. Por eemplo, pode-se medr a velocdade v de um carro por meo das meddas dretas da dstâca percorrda e do tervalo de tempo t, uma vez que v t. 4.- Classfcação dos Erros Por mas crterosa que seja uma medção e por mas precso que seja o strumeto, ão é possível realzar uma medda eata. Em outras palavras, este sempre uma certeza quado se compara uma medda de uma dada gradeza físca com sua udade. De acordo com sua atureza, os erros são classfcados [03, 04], como: sstemátco, grosseros e acdetas. Os Erros Sstemátcos são provocados por fotes assocadas a strumetação ou ao método de medda utlzado, e, em prcípo, podem ser elmados ou compesados. Esses erros fazem com que as meddas estejam sstematcamete acma ou abao do valor verdadero. Como eemplo de erros sstemátcos, pode-se ctar a utlzação de uma régua graduada uma temperatura de 30 0 C, mas que fo calbrada a 0 0 C. A dlatação de sua escala resultará um erro sstemátco em todas as meddas. Os Erros Grosseros ocorrem devdo a mperíca ou dstração do operador. Como eemplos pode ser ctados, uma escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc.. Esses erros podem ser reduzdos por meo da repetção cudadosa das medções. Os Erros acdetas ocorrem devdo a causas dversas e mprevsíves dfíces de serem elmadas. Esses erros podem ter váras orges, tas como em relação aos própros strumetos de medda, ode pequeas flutuações das codções ambetas (temperatura, pressão, umdade, etc) afetam os resultados epermetas, ou em fatores assocados ao operador sujetos as varações, tas como, vsão e audção. Pode-se dzer que uma medda terá eatdão quado os erros sstemátcos forem desprezíves e uma medda terá precsão quado esse for o caso para os erros acdetas Algarsmos Sgfcatvos A medda de uma gradeza físca é sempre apromada, por mas eperete que seja o operador e por mas precso que seja o aparelho utlzado. Esta lmtação reflete-se o úmero de algarsmos que se pode utlzar para represetar uma medda. O procedmeto padrão é a utlzação de algarsmos que se tem certeza de estarem corretos, admtdo-se geralmete o uso de apeas um algarsmo duvdoso. Esses algarsmos são deomados de algarsmos sgfcatvos e a sua quatdade estará dretamete relacoada à precsão da medda. Por eemplo, pode-se dzer que o comprmeto assalado a escala graduada em cetímetros da Fg. 4.1 é de 4,8 cm. O algarsmo 4 é correto, porem o algarsmo 8 é duvdoso. Poda-se ter ldo também 4,7 cm ou 4,9 cm. O erro que se comete é de 0,1 cm e o valor da medda deve ser apresetado como 4,8 0,1 cm. Note que o erro deve afetar somete o algarsmo duvdoso da medda. cm Posção da medda Fg Medda de um comprmeto utlzado-se uma escala graduada em cetímetros. O erro estmado de uma medda deve coter somete o seu algarsmo mas sgfcatvo. Os algarsmos meos sgfcatvos devem ser smplesmete desprezados ou o mámo utlzados para efetuar arredodametos. Por eemplo, supoha que se faça um cálculo da méda e do erro de meddas de um comprmeto de uma peça com a escala da Fg. 4.1 e que o resultado ecotrado fo 9,543 cm e 0,43 cm. Como o erro da medda ecotra-se os décmos de cetímetros, ão tem setdo apreseta-lo com 18

19 algarsmos que se referem aos cetésmos e mlésmos de cetímetros. Nesse caso, a maera correta de apresetar o erro sera smplesmete 0,4 cm. No caso da méda, o algarsmo 9 é eato, o etato, o algarsmo 5 é duvdoso pos este é afetado pelo erro, e, cosequetemete, os algarsmos 4, e 3 também são duvdosos. Esses algarsmos, resultate de um cálculo, podem ser utlzados para fazer o devdo arredodameto. Com esse procedmeto, a forma recomedada de apresetar a medda referda, é 9,5 0,4. cm Durate um processo de medda epermetal, é mportate fcar ateto as segutes regras assocadas aos algarsmos sgfcatvos: 1- Zeros à esquerda do prmero algarsmo sgfcatvo dferete de zero ão são algarsmos sgfcatvos. Por eemplo, tato 5,3 cm como 0,53 m tem a mesma medda e tem 3 algarsmos sgfcatvos. Smlarmete, pode-se dzer que 0, 10 0,0 10 todos têm 1 algarsmo sgfcatvo, 3 3,10 0,3 10 todos têm algarsmos sgfcatvos, e 3 4 0, , ,3110 todos têm 3 algarsmos sgfcatvos. - Zeros à dreta de um algarsmo sgfcatvo são também sgfcatvos. Por eemplo, 5,3 cm e 5,30 cm são meddas dferetes. A prmera tem 3 algarsmos sgfcatvos e a seguda, de maor precsão, tem 4 algarsmos sgfcatvos. 3- Zero stuado etre algarsmos sgfcatvos é também sgfcatvos. Por eemplo, 5,3 cm tem 3 algarsmos sgfcatvos e,053 tem 4 algarsmos sgfcatvos. m Para que uma medda seja apresetada com um úmero de algarsmos sgfcatvos aproprado, mutas vezes é ecessáro se fazer um arredodameto do resultado. O arredodameto pode ser feto de dversas maeras, porém há uma orma acoal (ABNT NBR 5891:1977) e uma teracoal (ISO 31-0:199, Aeo B). O arredodameto, de acordo com essas ormas, segue as segutes regras: a) O últmo algarsmo de um úmero deve sempre ser matdo caso o algarsmo descartado seja feror a cco (Eemplo: 43,001 43,001 ). b) O últmo algarsmo de um úmero deve sempre ser acrescdo de uma udade caso o algarsmo descartado seja superor a cco (Eemplo: 45,6 46 ). c) No caso do algarsmo descartado ser gual a cco, se após o cco descartado estrem quasquer outros algarsmos dferetes de zero, o últmo algarsmo retdo será acrescdo de uma udade (Eemplo:,050,1 ). d) No caso do algarsmo descartado ser gual a cco, se após o cco descartado só estrem zeros ou ão estr outro algarsmo, o últmo algarsmo retdo será acrescdo de uma udade somete se for mpar (Eemplos: 4,3500 4,4 ; 1,5 1, ). Uma boa sugestão é que o arredodameto só se faz uma vez, ou seja, ão se deve fazer o arredodameto do arredodameto. Evte olhar o últmo algarsmo para arredodar o peúltmo, em seguda o atepeúltmo e assm por date até chegar ode se quer. Faça o arredodameto uma úca observação de um algarsmo. Para eecutar operações matemátcas com algarsmos sgfcatvos, deve-se prmero trasformar todas as parcelas para a mesma udade e segur as regras abao: 1- No caso de soma ou subtração, o resultado deve ser apresetado somete com um algarsmo duvdoso e o úmero de algarsmos sgfcatvos va depeder do tamaho dos algarsmos duvdosos de cada parcela da 19

20 operação. Por eemplo, a adção etre as meddas 4,3 cm com 3,37 cm, realzadas com uma escala graduada em cetímetros e outra em mlímetro, deve ser eecutada como segue: 1 4,3 cm 3,37 cm 77, cm O procedmeto adotado a operação acma, utlzado após o últmo algarsmo sgfcatvo, é um artfíco para represetar algarsmos descohecdos, e a adção de um algarsmo cohecdo com um descohecdo dará um algarsmo descohecdo. A adção de com 7 será um algarsmo descohecdo que poderá ser maor do que 10, portato, haverá a possbldade de um va um e o segudo algarsmo do resultado deverá ser acrescdo de uma udade e será duvdoso. Um resultado 4,3 cm 3,37 cm 7,67 cm estara correto do poto de vsta de algarsmos sgfcatvos, uma vez que, sso relatara a utlzação de strumetos de precsão de mlímetros quado, a verdade, um dos strumetos tha precsão apeas de cetímetros. Deve-se fcar claro que uma operação matemátca ão pode alterar a precsão de uma medda, uma vez que sso ão alterara a precsão do strumeto com o qual ela fo efetuada. Outros eemplos teressates de soma e subtração com algarsmos sgfcatvos são os que se seguem: 1 4,041 0, ,00 10, 09 0,00 0,1 19, 9 15,41 0, , 41 - No caso de multplcação e dvsão, o resultado deve ser apresetado com um úmero de algarsmos sgfcatvo gual ao da parcela que tver o meor úmero de algarsmos sgfcatvos. Essas operações podem ser efetuadas utlzado-se o mesmo artfíco adotado a soma e subtração, como se pode otar com os eemplos que se seguem: 8,348 3, ,8 7, , 13, Propagação de Erros 0

21 Normalmete devem-se utlzar valores meddos e afetados por erros para se fazer cálculos e ecotrar os valores de outras gradezas dretas. Nesses casos, é mportate cohecer como o erro as meddas dretas afeta a gradeza fal [03, 04]. Supoha que uma quatdade V seja calculada como fução de outras quatdades, y, de forma que V V, y. Supoha que, y teham sdo determados vezes, de modo, que:,, V V, y,..., V V, y,..., V V, y V V y Admtdo que o valor mas provável de V, y seja V y valores médos de e y, etão, cada valor V, y dfere de V y Esse desvo de,,,, ode e y são, respectvamete, os,, por: V V y V y (4.1) V pode ser determado por meo do cálculo dferecal, como: V V V y y (4.) ode, y y y. Como V V. Assm, da eq.(4.1), obtém-se: 1 V 0, etão o valor médo de V 1 será ulo, uma vez que, ou,,, V V y V y V, y V V 0 V V, y (4.3) Em outras palavras, o valor médo V é o valor de V calculado utlzado-se os valores médos de e y. O desvo padrão V de V pode ser obtdo a partr da eq. (4.), elevado-a ao quadrado, dvddo o resultado 1 e, em seguda, etrado-se a raz quadrada, sto é, por y y V V V V V V 1 1 y 1 y ou ada ode V V V V V y y y y y (4.4) 1

22 1 y (4.5) y 1 y 1 é deomado de coefcete de correlação [04], cujo valor depede do tpo de erro que se comete. Quado os desvos em e em y são depedetes, o somatóro presete a eq. (4.5) aula-se resultado em y 0. Isso pode ocorrer, por eemplo, a determação da velocdade de um corpo por meo de meddas de tempos e dstâcas. Se a medda da dstâca for meor que a verdadera, sso ão mplca, ecessaramete, que a medda do tempo também o seja, uma vez que elas foram fetas com strumetos dferetes. Nesses casos, a eq. (4.4), tora-se: V V V y y (4.6) Os erros depedetes são mas freqüetes do que os correlacoados, quado uma correlação é cohecda, ou suspetada, etretato, deve-se calcular utlzado-se a eq.(4.5). y A geeralzação da eq. (4.6) à fuções de mas de duas varáves é medata. Se a quatdade V for calculada como fução de quatdades y z V V, y, z,..., etão:,,,..., de forma que V V V V y z... y z (4.7) Do poto de vsta prátco, para os casos em que a quatdade V V, y e y y, pode-se calcular o valor de relações mostradas a Tab. 4.3 [03]. V medatamete em termos de e, quado se sabe as quatdades y, utlzado as Operação Relação yy y y Adção Subtração yy y y Multplcação yy y yy Dvsão 1 yy y y yy Tab Operações prátcas para os casos em que a quatdade V V, y. Nessas relações todos os termos posterores ao sal devem ser tomados em módulo. Quado o erro aleatóro calculado for ulo, o erro adotado deve ser o erro do própro aparelho, que será o meor erro possível cometdo a medda.

23 CAPÍTULO 5 - CONSTRUÇÃO DE ESCALAS E GRÁFICOS 5.1- Itrodução Os resultados de meddas podem ser apresetados com smplcdade e clareza por meo de um gráfco. Os resultados epostos um gráfco podem ser faclmete aalsados e, mutas vezes, permtem descobrr a epressão algébrca que relacoa as gradezas correspodetes. A curva apromada que se obtém cujo traçado é oretado pelos potos epermetas marcados o papel gráfco, é uma magem tutva da relação fucoal vestgada. Para se eteder como se costró corretamete um gráfco, é ecessáro ates, formular as segutes defções e coveções [04] : E.1.1- Escala: é qualquer trecho de curva, em geral uma reta, marcada por traços, os quas estão em correspodêca com valores ordeados de uma gradeza. E.1.- Passo L : é a dstâca, em cetímetro, mlímetro, etc, etre dos traços umerados cosecutvos uma escala. E.1.3- Degrau g: é a varação da gradeza em um passo. E.1.4- Módulo M : é uma costate de proporção que este etre o passo defda por: L M (5.1) g O valor de M tem sempre um mesmo valor costate, a 10, depedetemete da escolha da dstâca L g da gradeza a escala. etre traços e correspodete varação 5.1- Escala Lear A escala lear possu o passo e o degrau costates, a qual se estabelece uma correspodêca etre a udade de comprmeto a escala e o valor da gradeza aalsada. Por eemplo, 1 cm a escala correspode m a a 10 ud. da gradeza aalsada, ode m é um tero e a 1,,,5, ou 5 de acordo as ormas de desehos téccos (NB-8) [04]. Assm, de acordo com a eq. (5.1), 1 cm , 0,5 0,4 0,10. a 10 ud. a m m M cm ud,, ou, cm ud m ou, escrevedo 1 a a e m, obtém-se M a cm ud 10., com 1 a 1, 5, 4, ou a (5.) Os fatores de escala meores que 1 foram multplcados por 10 que, por sua vez, foram absorvdas pela potêca de dez 10. A Fg. 5.1 mostra o eemplo de uma escala lear, ode Passo=Cost. = cm, Degrau=Cost.1 = Joule, M= cm Joule Na escolha do módulo é mportate levar em cota, o comprmeto dspoível para o eo, a varação da gradeza aalsada e o teresse ou ão de cocdr o zero da gradeza com a orgem da escala. 3

24 cm Eerga (J) Fg Eemplo de escala lear de passo = cm, degrau = 1 J e Módulo = cm / J. O papel mlmetrado é o tpo de escala mas freqüetemete utlzada para represetar a relação fucoal etre duas gradezas. Nesse tpo de escala pode-se utlzar 1 mlímetro como passo mímo. 5.- Escala Logarítmca A costrução de uma escala logarítmca está relacoada à dvsão de certo segumeto de reta em partes proporcoas aos valores dos logartmos dos úmeros uma determada base a. Se a base utlzada essa escala for a base 10, adota-se a década logarítmca como sedo a varação etre potêcas de 10 1 cosecutvas ( 10 a 10 ), ode é um úmero tero. A Fg. 5. mostra como se costró uma escala 1 logarítmca a base 10. Nessa escala, um poto 10, é marcado uma década etre 10 e 10. Fg. 5.- Segmeto de reta oretado utlzado para costrur uma escala logarítmca a base 10. Nessa fgura, L é a dstâca do poto 10 em relação à referêca 10 e L 10 é a dstâca etre 10 e 1 10 da escala logarítmca. Na escala logarítmca a razão etre essas dstâcas e as dfereças dos logarítmos dos potos correspodetes é varate, sto é, L L L L log10 log10 log 10 log10 10 log log10 log10 log ou L10 L log10 log L log (5.3) L 10 4

25 A Eq.5.3 permte determar o logartmo de qualquer úmero a base 10 a partr da escala costruída. Smlarmete, uma base atural e,781...,ou mesmo, uma base a qualquer tem-se, respectvamete: L L l ; log a (5.4) Le La 0 É mportate mecoar que a orgem de uma escala logarítmca ão precsa car em 10 1 mas deve car uma potêca de 10 coveete. Além dsso, como ão este logartmo de úmeros egatvos ou ulos, esses ão podem ser utlzados para costrur uma escala logarítmca Papes moolog e loglog Os papes loglog, ou dlog e moolog, ou semlog, mostrados as Fgs.5.3 e 5.4, são costruídos a partr da escala logarítmca e são utlzados para learzação de fuções polomas e epoecas, respectvamete. Uma ou mas décadas da escala logarítmca podem ser utlzadas para represetar potos epermetas assocados às gradezas aalsadas. Por eemplo, se as gradezas tverem varações de 0,1 a 10, a prmera década coloca-se os valores etre 0,1 e 1, e a seguda os valores etre 1 e 10. Todas as décadas têm o mesmo comprmeto e mesmas subdvsões. Como a prmera década o prmero traço vale 0,1, etão o segudo traço vale 0,, a seguda década o prmero traço vale 1, etão o segudo traço vale, e assm por date. Cada década apreseta 10 subdvsões, que podem também estar subdvddas em, 5, ou 10 partes. Algus papes logarítmcos comercas apresetam suas décadas gualmete umeradas e, esse caso, é o epermetador que deve defr as faas de potêca de 10 que melhor lhe covém. Fg Aspectos geras dos papes loglog. 5

26 Fg Aspectos geras dos papes moolog. O papel loglog, mostrado a Fg.5.3 possu as escalas vertcal e horzotal dvddas de forma logarítmca. O papel moolog, por outro lado, mostrado a Fg.5.4, possu a escala vertcal dvdda de forma logarítmca, equato que a escala horzotal está dvddo learmete, aáloga à do papel mlmetrado. Portato, é possível colocar os valores das varáves depedetes e depedetes da fução ão lear, dretamete sobre as escalas loglog ou moolog, sem a ecessdade de efetuar cotas. Pode-se utlzar as Eq.5.3 e o papel moolog da Fg.5.4, para calcular, por eemplo, os logartmos dos úmeros e 0,0148 as bases 10 ou qualquer outro que se quera. Para sso, deve-se otar que qualquer década do eo logarítmco tem comprmeto L mm. Sabedo dsso e meddo os comprmetos L e L 1,48, dcados a fgura, obtém-se: L 9,0 mm log 0,30 L 30,0 mm 10 L1,48 5 mm log 0,0148 log 1,4810 log1,48 1,83 L 30,0 mm Os papes logarítmcos podem apresetar dferetes tamahos, mas, como este uma mesma correspodêca etre logartmos e comprmetos, ecotram-se, em todos os casos, os mesmos resultados acma Gráfcos Itrodução Um gráfco é uma curva que mostra a relação etre duas varáves meddas. Quado, em um feômeo físco, duas gradezas estão relacoadas etre s o gráfco dá uma déa clara de como a varação de uma das quatdades afeta a outra. Assm, um gráfco bem feto pode ser a melhor forma de apresetar os dados 6

27 epermetas. Podemos dzer que um gráfco é um strumeto vetado para eergar cosas que os ossos olhos às vezes ão podem alcaçar. Ao realzarmos uma medda sugere-se colocar um gráfco todos os potos epermetas e traçar curvas que se ajustem o mas apromadamete possível a esses potos. A forma dessas curvas pode aular o epermetador a verfcar a estêca de les físcas ou levá-lo a sugerr outras les ão prevamete cohecdas. É comum buscar uma fução que descreva apropradamete a depedêca etre duas gradezas meddas o laboratóro. Algumas das curvas mas comus são: lha reta, fuções polomas, raz quadrada, fução epoecal, seos, cosseos, etc Costrução de gráfcos Há algumas regras báscas que devem ser segudas a costrução de gráfcos: Colocar um título, especfcado o feômeo físco em estudo, que relacoa as gradezas meddas. - Escrever os eos coordeados as gradezas represetadas, com suas respectvas udades. No eo horzotal (abscssa) é laçada a varável depedete, sto é, a varável cujos valores são escolhdos pelo epermetador. No eo vertcal (ordeada) é laçada a varável depedete, ou seja, aquela obtda em fução da prmera. - A escala deve coter a formação do úmero de algarsmos sgfcatvos das meddas e devem ser escolhdas tas que facltem tato a costrução quato a letura dos gráfcos. A escala deve ser smples e sugere-se adotar valores múltplos ou submúltplos de úmeros teros. - A escala adotada um eo ão ecessta ser gual a do outro. - Escolher escalas tas que a precsão dos potos sobre o gráfco seja apromadamete gual à precsão dos potos que represetam os dados epermetas. Se por eemplo o gráfco é feto muto mas precsamete do que o justfcado pela precsão dos dados, os potos serão devdamete espalhados e tora-se dfícl opar sobre a forma da curva. - Escolher escalas tas que o gráfco cubra, apromadamete, 80% da folha de papel dspoível para a elaboração do mesmo. - Nuca se deve assalar os dados, correspodetes aos potos epermetas, sobre os eos coordeados. Quado todos os potos epermetas já estverem marcados o gráfco, resta traçar a curva. Esta ão precsa passar sobre todos os potos. De fato, é possível que a curva ão passe por ehum poto do gráfco. Sedo assm, ão é ecessáro que a curva teha íco o prmero e terme o últmo poto epermetal. A Fg.5.5 mostra um eemplo de costrução de um bom gráfco, cujo comportameto é caracterzado por uma fução lear. As pequeas barras, horzotal e vertcal, marcados sobre cada poto epermetal, são deomadas de barras de erro. Essas barras forecem uma estmatva dos erros aleatóros e de aparelho, assocados a cada poto epermetal, resultate do processo de medda de cada uma das gradezas. Podemse adotar os resultados dscutdos o Apêdce D para essas avalações de erro. Os erros aleatóros de cada poto epermetal são estmados, obtedo amostras estatístcas, com determado úmero de meddas, para cada gradeza evolvda a eperêca. A coordeada de cada poto epermetal será obtda calculado-se os valores médos de cada gradeza evolvda a eperêca. 7

28 Fg.5.5- Apresetação geral de um bom gráfco. A Fg.5.5 mostra um eemplo de dados epermetas cuja depedêca é caracterzada por uma reta. Os potos quadrados represetam os dados epermetas e sua dspersão é devda aos erros cometdos durate a eperêca. A lha reta cotíua represeta a curva que melhor descreve a depedêca lear da gradeza com a gradeza y Relações leares Relações leares são aquelas as quas as gradezas evolvdas estão relacoadas por uma depedêca do tpo: y a b (5.5) ode a é o coefcete agular e b é o coefcete lear. O coefcete agular correspode à clação da reta, ou seja, y, equato que o coefcete lear b é obtdo pela terseção da reta com o eo y, como dcado a Fg Na seqüêca descrevem-se dos métodos que permtem determar estes coefcetes a partr dos dados epermetas. É mportate mecoar que estes ão são os úcos métodos ecotrados a lteratura, sedo apeas os mas comus Método Gráfco Esse método é aproprado quado se tem um úmero razoável de potos epermetas 10, e sua utlzação requer uma boa dose de bom seso. O método se basea uma estmatva dos parâmetros de uma reta que melhor se ajusta sobre aos potos epermetas, a partr do cetro de gravdade b, yg desses potos dstrbuídos sobre o gráfco, ode 1 1 ; y y (5.6) 1 1 8