Laboratório de Física. Teoria dos Erros, uma Introdução. UNIVASF Sumário TEORIA DOS ERROS [] ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS...

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1 aboratóro de Físca Sumáro TEOIA DOS EOS []... - AGAISMOS SIGNIFICATIOS INTODUÇÃO AGAISMOS SIGNIFICATIOS NOTAÇÃO CIENTÍFICA OPEAÇÕES COM AGAISMOS SIGNIFICATIOS... - INTODUÇÃO À TEOIA DE EOS... 5 Teora dos Erros, uma Itrodução. UNIASF INTODUÇÃO DEFINIÇÕES OBJETIOS DA TEOIA DE EOS EOS SISTEMÁTICOS E EOS ESTATÍSTICOS HISTOGAMA AO MAIS POÁE E AO MÉDIO EO SISTEMÁTICO DISPESÃO E PECISÃO EOS AEATÓIOS DESIOS OU ESÍDUOS DESIO QUADÁTICO MÉDIO ( S MS DISTIBUIÇÃO NOMA OU DE GAUSS DESIO PADÃO ( DESIO PADÃO DA MÉDIA ( INTEAOS DE CONFIANÇA E NÍEIS DE CONFIANÇA INCETEZA PADÃO FINA AGAISMOS SIGNIFICATIOS NA INCETEZA PADÃO....8 AGAISMOS SIGNIFICATIOS NA GANDEZA....9 POPAGAÇÃO DE INCETEZAS... EFEÊNCIAS:... 4

2 Teora dos Erros [] - AGAISMOS SIGNIFICATIOS. - INTODUÇÃO. A sesbldade e precsão de todo strumeto de medda está lmtada a sua fabrcação. Mutas vezes a letura do valor de uma gradeza é termedára a dos traços cosecutvos da escala como a Fg.. Qualquer gradeza físca escalar pode ser escrta a forma: A ( a ± a u ode a é seu valor umérco, a é a sua certeza e u é a sua udade. eremos prmeramete como escrever e operar com o valor umérco de A. O valor umérco ( a poderá ser resultado de uma ou mas medções dretas ou dretas. Etretato, qualquer que seja a precsão adotada o seu úmero de algarsmos estará lmtado, devdo às codções epermetas, a um certo úmero de algarsmos que têm realmete sgfcado, sto é, aos seus algarsmos sgfcatvos..3 - NOTAÇÃO CIENTÍFICA A maera de se escrever o valor umérco em trabalhos cetífcos é preferecalmete a otação cetífca. Nesta otação escreve-se o úmero referdo-se à potêca de dez, com a partculardade de se coservar à esquerda da vírgula, apeas um dígto, dferete de zero. Fg.- Eemplo de Medda de Dstâca.. - AGAISMOS SIGNIFICATIOS A barra que está sedo medda a Fg. tem uma etremdade ajustada ao zero de uma régua marcada em cetímetros. A outra etremdade da barra ão está cocddo com ehum traço. Observa-se que o valor deste comprmeto é 7 cm mas algus décmos de cetímetro, mas ão podemos afrmar com certeza o seu valor. Ou seja, podemos apeas estmar ou avalar estes décmos de cetímetro e a apromação ao valor "verdadero" depederá da períca e da capacdade da avalação do operador. Por eemplo, supoha que três pessoas dferetes apresetem como resultado desta medda os segutes valores:. 7,3 cm 7,4 cm 7,5 cm erfcamos que há cocordâca com relação aos algarsmos e 7 e portato um coseso de que eles são "verdaderos" ou "eatos", equato que os algarsmos 3, 4, e 5 são duvdosos. Os algarsmos eatos de uma medda bem como os algarsmos duvdosos, são deomados algarsmos sgfcatvos. No eemplo acma, os três algarsmos de cada medção são sgfcatvos eatos, mas os últmos algarsmos de cada uma das medções (3, 4 e 5 são sgfcatvos duvdosos. O termo duvdoso provém do fato que o mesmo apreseta uma certeza, gerada pela própra gradeza medda, pela sesbldade do strumeto bem como pela períca do observador. Eemplos: 5,5 0 3 algarsmos sgfcatvos,34, algarsmos sgfcatvos 0, , algarsmos sgfcatvos,005,005 5 algarsmos sgfcatvos A razão de se preferr a otação cetífca a qualquer outra é que ela permte a rápda vsualzação da gradeza (a potêca de 0 e do úmero de algarsmos sgfcatvos..4 - OPEAÇÕES COM AGAISMOS SIGNIFICATIOS Uma regra prátca para a operação com algarsmos sgfcatvos é adcoar aos valores um à dreta do últmo algarsmo, realzar a operação e tomar como resultado os algarsmos ão afetados pelos. a,04 0, ,00 > 00,09

3 b 0,00-0, c 5,4-0,0003 > 9,9 Outra prátca de uso bastate geeralzada é o de escrever o resultado de multplcações, dvsões e mutas vezes operações mas compleas, com o úmero de algarsmos sgfcatvos de parcela mas pobre em sgfcatvos ou ada, com o úmero de algarsmos da mas pobre mas um algarsmo. Eemplos: a ou y 3,63 0 b ou y 6,47 0 Multplcação e Dvsão: a 8,48 3, > 5,4. c ou y,9 IMPOTANTE: Esta regra (a do mas pobre em sgfcatvos a rgor vale apeas para multplcações e dvsões. Um cohecmeto mas profudo e coerete dos sgfcatvos será cosegudo ucamete através da teora de erros, cujos fudametos veremos a segur. > 5,9 b 09 7,

4 - INTODUÇÃO À TEOIA DE EOS. - INTODUÇÃO A omeclatura sobre metrologa e as regras báscas sobre certeza foram dscutdas os últmos aos por grupos de trabalho costtuídos de especalstas dcados por dversas orgazações teracoas (BIPM, ISO, IUPAC, IUPAP, IEC, OIM e foram publcadas em dos mportates tetos: Gude to the Epresso of Ucertaty Measuremets e Iteratoal ocabulary of Basc ad Geeral Terms Metrology. Esta últma publcação fo traduzda pela INMETO em 994. Com a faldade de torar a eposção mas clara, e em coformdade com a egslação Braslera, serão apresetadas as defções e algus cometáros sobre termos mas usuas em Teora dos Erros.. - DEFINIÇÕES Medção: cojuto de operações que têm por objetvo determar o valor de uma gradeza. alor erdadero: alor cosstete com a defção de uma dada gradeza específca. O valor verdadero de uma gradeza é o valor que sera obtdo de uma medção perfeta e a determação do mesmo pode ser etedda como o objetvo fal da medção. Etretato, deve ser observado que o valor verdadero é por atureza, determado. esultado de uma medção: valor atrbuído ao mesurado, obtdo por medção. Mesurado: gradeza específca submetda à medção. Erro: resultado de uma medção meos o valor verdadero do mesurado. Isto é, é a dfereça etre o resultado de uma medção e o valor verdadero dessa gradeza. Uma vez que o valor verdadero é uma quatdade descohecda, resulta que o erro também o é, ao meos em prcípo. Desvo padrão epermetal: para uma sére de medções de um mesmo mesurado, a gradeza, que caracterza a dspersão dos resultados é dada pela fórmula: (, ode represeta a dfereça etre o resultado da -ésma medção e a méda artmétca dos resultados cosderados. Icerteza de medção: parâmetro assocado ao resultado de uma medção e que caracterza a dspersão dos valores que podem ser fudametalmete atrbuídos ao mesurado. Embora descohecdo, o mesurado tem um valor verdadero úco por hpótese. Etretato, dferetes valores podem ser "atrbuídos" ao mesurado e a certeza caracterza a dspersão destes valores. Evdetemete, a certeza só pode ser obtda e terpretada em termos probablístcos. Estem váras formas de dcar a certeza tas como a certeza padrão, certeza epadda e lmte de erro. epettvdade: grau de cocordâca etre resultados de sucessvas medções de um mesmo mesurado, efetuadas sob as mesmas codções de medções. eprodutbldade: grau de cocordâca etre resultados de medções de um mesmo mesurado, efetuadas sob codções de medções dferetes. alor médo verdadero ou méda lmte: é o valor médo que sera obtdo de um úmero fto de medções em codções de repettvdade. Erro estatístco: resultado de uma medção meos o alor Médo erdadero ( ou Méda mte. Erro sstemátco: dfereça etre o alor Médo erdadero e o alor verdadero. O Erro Sstemátco é o erro do valor médo verdadero. 5 6

5 Eatdão ou Acuráca: eatdão é o grau de cocordâca etre o resultado de uma medção e o valor verdadero do mesurado. Precsão: precsão é um coceto qualtatvo para dcar o grau de cocordâca etre os dversos resultados epermetas obtdos em codções de repettvdade. Assm, boa precsão sgfca erro estatístco pequeo, de forma que os resultados apresetam boa repettvdade. Note, etretato, que mesmo com boa precsão a eatdão ou acuráca pode ser rum caso esta erro sstemátco grade. Icerteza padrão: é a certeza em resultado fal dada a forma de um desvo padrão. Itervalo de cofaça: cosderado um tervalo etre a e b, pode-se fazer a segute afrmatva em relação a uma quatdade descohecda y: a y b Se a afrmatva tem probabldade P de ser correta, o tervalo defdo pelos valores a e b é um tervalo de cofaça P para y. Nível de cofaça: o coefcete de cofaça, ível de cofaça ou cofaça é a probabldade P de para um determado tervalo de cofaça. Por eemplo, se y v é o valor verdadero de uma gradeza, y é um resultado epermetal e é a certeza padrão: y yv y (com P 68% defe tervalo com cofaça de P 68%, para dstrbução ormal de erros e certeza obtda a partr de úmero de graus de lberdade (úmero de medções razoavelmete grade..3 - OBJETIOS DA TEOIA DE EOS Quado uma gradeza físca epermetal é determada a partr de uma medção, o resultado é uma apromação para o valor verdadero, v, da gradeza. Os objetvos da teora de erros podem ser resumdos em: a Obter o melhor valor para o mesurado a partr dos dados epermetas dspoíves. Isto sgfca determar em termos estatístcos a melhor apromação possível para o valor verdadero. b Obter a certeza o valor obtdo, o que sgfca determar em termos estatístcos o grau de precsão e cofaça a medda da gradeza físca..4 - EOS SISTEMÁTICOS E EOS ESTATÍSTICOS Geralmete, ocorrem erros de város tpos uma mesma medção. Estes erros podem ser agrupados em dos grades grupos que são: os erros sstemátcos e erros estatístcos (ou aleatóros. Cosderado o cojuto de determações (,, 3, K, de um mesurado, os erros estatístcos e erros sstemátcos podem ser dstgudos como segue: a Erro sstemátco: é um erro que afeta gualmete todas as medções. Isto é, o cojuto completo das medções apreseta-se gualmete deslocada com relação ao valor verdadero v. Erros sstemátcos podem ser de város tpos como: Erro sstemátco strumetal: erro que resulta da calbração do strumeto de medção. Erro sstemátco ambetal: erro devdo a efetos do ambete sobre a eperêca. Fatores ambetas como temperatura, pressão, umdade e outros podem troduzr erros o resultado de medção. Erro sstemátco observacoal: erro devdo a pequeas falhas de procedmetos ou lmtações do observador. Por eemplo, o efeto de paralae a letura de escalas de strumetos. b Erro estatístco ou erro aleatóro : é a medda da dspersão dos resultados em toro do valor verdadero v. Erros estatístcos (ou aleatóros resultam de varações aleatóras as medções, proveetes de fatores que ão podem ser cotrolados ou que, por algum motvo, ão foram cotrolados. Por eemplo, a medção de massa com balaça, corretes de ar ou vbrações (fatores aleatóros podem troduzr erros estatístcos a medção..5 HISTOGAMA Supoha que estejamos realzado a medção de uma quatdade (mesurado e que o aparelho empregado seja sufcetemete sesível às codções epermetas, sto é, o aparelho é sufcetemete sesível para detectar as varações aleatóras. Se estvermos teressados em valores cofáves, é atural que ão os cotetemos com apeas uma úca medção, e por sso devemos repetr a medção para 7 8

6 gaharmos cofaça o valor ecotrado. Porém, quatas medções da gradeza deverão ser obtdas para que tehamos um valor cofável? Para respodermos satsfatoramete a esta questão, ecesstamos de toda uma teora que é chamada Teora de Erros da qual daremos aqu as oções báscas. Sempre que efetuamos uma medção ela estará afetada de um erro epermetal. Isto quer dzer que ao repetrmos o processo de medção ada que com o mesmo epermetador, mesmo mesurado, com os mesmos strumetos calbrados e as mesmas codções ambetas poderemos obter valores dferetes devdo às flutuações aleatóras. Portato, em geral, os resultados obtdos (,, 3, K, mostrarão uma dstrbução de valores, sto é, os valores apresetarão uma dspersão, como a que é vsta a tabela. Para facltar o etedmeto e a terpretação dos resultados epermetas utlza-se uma comumete a represetação gráfca desses resultados, deomada hstograma. No hstograma os resultados são dstrbuídos em classes (tervalos. Cotamse quatos resultados caem em cada classe. O úmero de resultados de cada classe é chamado freqüêca absoluta. Caso seja de osso teresse, podemos usar a freqüêca relatva, que será obtda dvddo-se a freqüêca absoluta pelo úmero total dos resultados (. epresetam-se as freqüêcas pela altura de retâgulos vertcas cujas bases são os tervalos detro dos quas foram efetuadas as cotages dos resultados. eja a fgura que mostra o hstograma dos valores cotdos a tabela. X (u Número de ocorrêcas ou freqüêca,5,5 3,53 6,54 8,55 0,56 7,57 8,58 4,59 3,60 0,6 Tabela Fg. - Hstograma dos valores da Tab..6 AO MAIS POÁE E AO MÉDIO A observação do hstograma da Fg. mostra que este um valor em toro do qual as meddas tedem a se aglomerar, este valor é o valor mas provável. É estabelecdo em geral, embora arbtraramete, que o valor mas provável do mesurado é a sua méda artmétca, ou seja, o valor médo é o valor mas provável e é a que melhor represeta a gradeza medda: ( No eemplo da Tab. o valor mas provável ou valor médo é,554 u que está represetado o hstograma da Fg EO SISTEMÁTICO Supohamos que coheçamos o valor verdadero de e que ele seja o osso eemplo,054 u. Observe que este valor ão cocde com o valor mas provável calculado o tem ateror. Isso pode ter sdo ocasoado por um desvo sstemátco. Supodo que seja sto que ocorreu, para que o valor mas provável seja o valor verdadero é ecessáro fazer cocdr-lhos e sto poderá ser realzado, corrgdo-se sstematcamete cada uma das determações com o valor da dfereça etre o valor médo e o valor verdadero. No osso eemplo: (,554 -,054 u 0,500 u é o erro sstemátco. 9 0

7 A mmzação dos erros sstemátcos é a marca do bom epermetador, pos, com freqüêca, é dfícl seão mpossível elmá-los. E a desevoltura com que se lda com eles depede muto da vvêca ateror. Algumas vezes os erros sstemátcos poderão ser mmzados pela calbração do strumeto..8 - DISPESÃO E PECISÃO Ao repetrmos uma medção mutas vezes, os resultados em sempre cocdem. Esse espalhameto os valores das meddas é chamado de dspersão. A dspersão estete os valores reflete a precsão da medda, sto é, o erro epermetal assocado à medda. Quato meor a dspersão maor a precsão e vceversa..9 - EOS AEATÓIOS Dssemos que ao repetrmos as medções, elas ão se reproduzrão eatamete. Supohamos, portato que uma outra sére de medções teha sdo realzada e que o resultado teha sdo aquele apresetado a Tab.. e os hstogramas da Fg.a e Fg.b. Fg. a A smples observação dos hstogramas sugere que o resultado do cojuto é mas cofável pos apreseta meor dspersão. Um dos objetvos prcpas da Teora de Erros é estabelecer uma quatdade que meça as dspersões e coseqüetemete os íves de cofaça os valores mas prováves obtdos. Para sso, ecesstamos eamar com ateção o resultado das medções. X ( u Cojuto Número de ocorrêcas Cojuto Número de Ocorrêcas 0,99 ---,00 ---,0,0 3 3,03 6 5,04 8 5,05 0 9,06 7 6,07 8 7,08 4 5,09 3 3,0 0,, ---,3 --- Fg. b Tabela

8 3.0 - DESIOS OU ESÍDUOS Dada uma sére de meddas de uma gradeza as dfereças etre os valores meddos e o valor mas provável são chamados desvos ou resíduos: ( A prmera déa que surge para se obter uma quatdade que meça a dspersão é somar os desvos e trar a méda. Etretato, se o valor mas provável é a méda artmétca que é dada pela equação ( a méda dos desvos será ula pos: 0 Outra déa sera a utlzação da soma dos desvos tomados em valores absolutos, sto é, em módulos pos ela sera obvamete dferete de zero: 0 Este, etretato, uma quatdade mas teressate que é a soma dos quadrados dos desvos. Ela é teressate, pos, este caso, se o valor mas provável é a méda artmétca das meddas, a soma dos quadrados dos desvos é um mímo. Demostremos; os quadrados dos desvos são: ( ( ( ( ( KKKKKKKKK KKKKKKKKK A soma dos quadrados dos desvos (S será: S ( 4 amos determar a codção para que a soma S seja míma. A dervada prmera com relação a é: S como: temos: 0 S Como a dervada seguda de S é: 0 S fcado provado que S é um mímo. Deste resultado, cocluímos que o valor mas provável é aquele para o qual a soma dos quadrados dos desvos é míma e que a quatdade a ser empregada para a medda da dspersão dos dados, ou seja, a largura do hstograma deve estar relacoada com a soma dos quadrados dos desvos.. - DESIO QUADÁTICO MÉDIO ( S rms Uma dessas quatdades que podera ser utlzada para a medda da dspersão podera ser o desvo quadrátco médo ou rms (root mea square devato, defda pela relação: S rms ( (3 Ifelzmete essa quatdade ão tem o sgfcado mas amplo possível porque ela dca smplesmete como um cojuto de valores desvam-se de sua méda. Um segudo cojuto de meddas geralmete ão forecerá um valor médo dêtco ao prmero e em um cojuto dêtco de desvos. A sso chamamos de flutuação estatístca.

9 Para estabelecermos a quatdade que poderá medr a dspersão da melhor forma possível, voltemos ao osso eemplo e vejamos com mas cudado a fluêca do úmero de medções.. - DISTIBUIÇÃO NOMA OU DE GAUSS É um fato epermetal que a freqüêca dos resultados (o hstograma vara com o úmero de medções realzadas, bem como ao tomarmos outro cojuto com o mesmo úmero de medções, como mostram a Tab. e Fg a e Fg. b Observa-se que essas flutuações são mas acetuadas quado o úmero de medções é pequeo. Por outro lado, aumetado o úmero de medções as flutuações decrescem. Por eemplo, a dstrbução dos resultados para 5 medções mostra-se, geralmete muto dferete da dstrbução para 0 medções. Estem dfereças, embora bem meos acetuadas, etre dstrbução de 50 e de 00 medções e, ao compararmos os hstogramas para 500 medções com o de 000 medções veremos que as dfereças serão ada meores. Se formos melhorado a ossa técca e obtedo mas algus algarsmos sgfcatvos em cada medção, poderemos utlzar valores cada vez meores para os tervalos. Assm, quado o úmero de medções tederem para o fto e o tervalo teder a zero, o hstograma em geral tederá para uma curva lsa e smétrca com um pco de mámo em. No formalsmo da Teora de Erros, a curva da dstrbução lmte represeta de uma forma compacta toda a formação que um epermeto pode forecer. Tato o mesurado quato o sstema de medção (cludo aqu o epermetador como parte do sstema determam a posção e o formato da curva. eremos que o valor de correspodete ao mámo da curva está relacoado com o valor verdadero da gradeza, e que a largura da curva está relacoada com a precsão dos resultados e é medda pelo desvo padrão. Uma justfcatva matemátca de fução gaussaa como dstrbução de erros é ecotrada o teorema do lmte cetral, em sua forma mas geral. Numa lguagem bastate smplfcada e adaptada ao problema em questão, este teorema dz que se o erro total é a soma de mutos erros elemetares que têm dstrbuções quasquer com varâcas ftas, a dstrbução de probabldade para o erro total tede a ser gaussaa. A epressão aalítca da curva de Gauss é: f ( h e h (4 ode h é chamado de ídce de precsão. Quado h é grade a curva é estreta, dcado uma eperêca de alta precsão e quado h é pequea a curva é larga dcado uma eperêca de baa precsão (Fg.4. Podemos coclur, etão, que a dstrbução dos resultados adqure uma forma cada vez mas defda em fução do aumeto do úmero de medções e para sumarzar, dzemos que este uma dstrbução lmte quado tede para o fto e que a ausêca e erros sstemátcos, o valor tede para o valor verdadero. Fg. 3. Fg.4 - Ifluêca do ídce de Precsão Fg

10 .3 - DESIO PADÃO ( Para estabelecermos uma quatdade para a medda da dspersão com sgfcado mas amplo, empregamos o coceto de que os dos cojutos do osso eemplo são duas amostras do uverso de meddas, que poderam ser realzadas, sedo fto o úmero de meddas daquele uverso. A quatdade que é de teresse chama-se desvo padrão (, que vem a ser o desvo médo quadrátco das meddas com relação à méda do uverso de meddas. Como é mpossível fazer todas as meddas do uverso de meddas para determarmos a sua méda, o procedmeto adotado será, a partr das observações, por meo de cosderações de ordem estatístca, obter a melhor estmatva para o desvo padrão. Desta forma, a melhor estmatva para o desvo padrão será: ( (5 O sgfcado do desvo padrão é que ele dca o erro que teríamos caso fzéssemos uma úca observação. Ou, equvaletemete, o sgfcado do erro padrão de um dado cojuto de determações é que uma dada observação tem 68% de probabldade de estar o tervalo ± em toro do valor médo; 95% o tervalo ±, etc..4 - DESIO PADÃO DA MÉDIA ( Sabemos agora determar a partr de observações o desvo padrão de uma medda, sto é, sabemos estmar a partr da aálse de observações o erro que teríamos, com uma dada probabldade, caso houvéssemos realzado uma úca determação. Etretato, tedo realzado determações o melhor valor dspoível é a sua méda (,e portato estaremos mas teressados em estmar o erro em. Com esse propósto, poderíamos etão realzar város cojutos de determações, calcular os valores das respectvas médas e, em seguda, a méda das médas e este desvo padrão da méda das médas sera mas precso. Este racocío podera ser utlzado ovamete, calculado-se a méda das médas e assm defdamete, sem um fm lógco? Felzmete é possível prever teorcamete o erro a que está sujeta a méda de valores meddos, sem ter que repetr o cojuto de meddas. Este desvo é chamado de desvo padrão da méda: ( (6 ( Note que, quato maor o úmero de observações, meor será o desvo padrão da méda e, portato, maor a precsão do resultado. Este é um prcípo fudametal da estatístca. O sgfcado do erro padrão da méda de um dado cojuto de meddas é que o valor médo em 68% de chace de estar detro do tervalo ± em toro do valor médo ; 95% de estar o tervalo ±, etc. emos etão que o desvo padrão e o desvo padrão da méda têm sgfcados aálogos: desvo padrão da medda O sgfcado do de um dado cojuto de desvo padrão da méda a medda determações é que tem 68% de chace de estar detro do tervalo o valor médo ± valor médo em toro do ± valor verdadero ±, 95% o tervalo, etc. ± esumdo: A partr de um cojuto de determações de uma quatdade, a melhor estmatva para o valor verdadero será dada pela sua méda artmétca e pelo desvo padrão da méda ±, sto é: ± ode o tervalo a delmta uma faa 68, 7% de probabldade de coter o valor verdadero..5 - INTEAOS DE CONFIANÇA E NÍEIS DE CONFIANÇA Nível de cofaça P ou, smplesmete, cofaça P de uma medda é a probabldade P de que o valor apresetado esteja correto. Portato quado dzemos que o valor de uma quatdade é: ( ± com cofaça de P%. Estamos afrmado que o valor verdadero de tem probabldade de P% de estar detro do tervalo compreeddo etre, 7 8

11 Para se chegar a esse resultado, basta tegrar a desdade de probabldade f( detro do tervalo até. No caso de dstrbução Gaussaa a equação f ( detro desse tervalo dá 0,687, sto é, 68,7% de cofaça. h e h, a tegração Por outro lado podem-se obter tervalos de cofaça dferetes, basta multplcar por fatores coveetes. Damos a Tab. 3 os valores desses fatores para algus íves de cofaça váldos para grade. Níves de Cofaça Itervalos de Icerteza 0,50 0,674 0,687,000 0,80,8 0,90,645 0,95,960 0,9545,000 0,99,576 0,9973 3,000 Tabela 3 - Níves de cofaça e tervalos de cofaça para grade. Etretato, frequetemete o úmero de observações é pequeo e, portato o desvo ± ão é acuradamete cohecdo; cosequetemete será ecessáro levar em cota o úmero de observações. (Tabela 4. Nível de Cofaça Número de Observações 50 % 90 % 95 %,00 6,3,7 3 0,8,9 4,30 4 0,77,35 3,8 5 0,74,3,78 6 0,73,0,54 7 0,7,94,45 8 0,7,90,37 9 0,7,86,3 0 0,70,83,6 0,70,8,3 6 0,69,75,3 fto 0,67,64,96 Tabela 4- Itervalos de cofaça para pequeos..6 - INCETEZA PADÃO FINA Idealmete, o strumeto de medda deve sempre estar calbrado e possur sesbldade sufcete para poder observar as flutuações estatístcas. Algus dos erros sstemátcos estetes podem, às vezes, serem corrgdos e, com sso, melhorar os resultados fas da medção. Erros Sstemátcos para os quas ão é possível fazer correções são chamados Erros Sstemátcos esduas e as certezas correspodetes são deomadas Icertezas Sstemátcas esduas. No caso dos strumetos de meddas ão preecherem a codção acma, a de possuírem sesbldade sufcete para observar as flutuações estatístcas, costuma-se especfcar um erro avalado adotado-se uma das regras prátcas: o lmte de erro de um strumeto de medção é dado pela meor dvsão da escala ou metade da meor dvsão da escala. É ecessáro, etretato, esta avalação, levar em cota que este valor será tomado como um desvo padrão, a fm de permtrem cálculos de propagação de erros coeretes. Portato essa avalação ão deve abrager 00% de cofaça, mas sm um pouco mas da metade (68%. As certezas estatístcas são obtdas através do desvo padrão do valor médo (Eq. 6. Já as certezas sstemátcas resduas r ; advdas de multplcdade de efetos, são mas fáces de serem obtdas e ão este ehum método padrão bem estabelecdo para sso, eceto o bom seso. Para combar a certeza estatístca e a certeza sstemátca resdual afm de obter a certeza padrão fal de uma medção, usamos: f NOTE BEM: r f A partr de um cojuto de determações de uma quatdade a melhor estmatva para o valor verdadero será dada pela sua méda artmétca acompahada do seu desvo padrão da méda sto é: ± O tervalo de a delmta uma faa que tem 68,7% de probabldade de coter o valor verdadero. Matematcamete, a curva de Gauss a completa certeza mplca um tervalo de cofaça com lmtes ±. 9 0

12 Fscamete, estem lmtes mpostos pela atureza. Por eemplo, a determação de comprmeto sera a posção do últmo átomo, posção esta que por sua vez ão pode ser determada com precsão absoluta. Observe que, podemos usar os valores das Tab.3 e Tab.4 dferetemete para o desvo padrão ou desvo padrão da méda. Na apresetação do valor de uma dada gradeza o desvo forecdo é aquele assocado ao desvo padrão da méda (certeza padrão. Covém formar também o úmero de meddas fetas. Caso o ível de cofaça utlzado seja dferete daquele assocado ao desvo padrão da méda (68,7% devemos formar o seu valor. Eemplos: (,53 ± 0,0 m/s com 95% de cofaça ou (,53 ± 0,0 m/s (95% S (5,75 ± 0,7 cm (50%.7 - AGAISMOS SIGNIFICATIOS NA INCETEZA PADÃO Não este uma regra muta bem defda para o úmero de algarsmos que devem ser dcados para a certeza padrão. A tedêca atual é o setdo de dcar a certeza padrão com algarsmos à esquerda. Etretato, em mutos casos, ão é possível atrbur mas de algarsmo para a certeza padrão. Podemos adotar as segutes regras, as quas os zeros à esquerda ão são cosderados. A certeza padrão deve ser dada com algarsmo, quado o prmero algarsmo a certeza for ou. A certeza padrão pode ser dada com ou algarsmos, quado o prmero algarsmo a certeza 3 ou maor. Estas regras são justfcadas a referêca []..8 AGAISMOS SIGNIFICATIOS NA GANDEZA A segur, são resumdas as regras para se determar os algarsmos sgfcatvos um resultado e para se escrever o resultado fal. Se a certeza padrão é dada por um úco algarsmo, o algarsmo correspodete a gradeza é o últmo algarsmo sgfcatvo. Se a certeza padrão é dada por com algarsmos, os algarsmos correspodetes a gradeza podem ser cosderados com os últmos algarsmos sgfcatvos. Os algarsmos ão sgfcatvos à dreta uca devem ser escrtos um resultado fal. Zeros à esquerda são cosderados algarsmos ão sgfcatvos e, como regra geral, deve-se evtar mutos zeros à esquerda. Isto pode ser feto por meo de mudaça de udades ou usado uma potêca de 0 como fator multplcatvo. Eemplo. Um resultado epermetal e a respectva certeza padrão são calculados, obtedo-se: y 0, m e 0, m No caso, a certeza padrão deve ter apeas algarsmos sgfcatvos: 0, m Os algarsmos correspodetes em y (3 e 9 são os últmos algarsmos sgfcatvos. Assm, y deve ser escrto como y 0, m Mutos zeros à esquerda (ão sgfcatvos devem ser evtados trocado udades ou utlzado-se fator multplcatvo: ou y 0, m e 0, m 4 y 4,639 0 m e 0, m Deve ser observado que é bastate coveete usar udades ou fatores multplcatvos dferetes para a gradeza e para a certeza..9 POPAGAÇÃO DE INCETEZAS Uma gradeza w, que é calculada como fução de outras gradezas, y, z,, pode ser represetada por ww(, y, z,.

13 3 As gradezas, y, z, são admtdas como gradezas epermetas, sedo,k,, z y as certezas padrões correspodetes: z y z y. Se os erros as varáves, y, z, são completamete depedetes etre s, a certeza padrão em w é, em prmera apromação dada por K z y w z w y w w (7 No caso de uma úca varável, a equação (7 ser reduz à: w d w d ou d d w w. (8 Eemplo. Icerteza do volume de um cldro. O volume de um cldro pode ser calculado meddo-se o comprmeto e o rao. O volume é calculado em fução de e., ( π. A equação etre as certezas é dada, usado-se (7:. Assm obtém-se ( ( π π. Dvddo-se os termos por ( π, obtém-se:. Em termos das certezas relatvas ( ε ε ε,, : 4 ε ε ε. Nem sempre é possível obter uma epressão smples como esta, evolvedo somete as certezas relatvas. 4 eferêcas: [] Materal baseado a apostla do aboratóro de Físca do ITA, dspoível em [] Fudametos da Teora dos Erros José Herque uolo Edgard Blucher TDA.