Parte 3 - Regressão linear simples

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1 Parte 3 - Regressão lear smples

2 Defção do modelo Modelo de regressão empregado para eplcar a relação lear etre duas varáves (ajuste de uma reta). O modelo de regressão lear smples pode ser epresso a forma: sedo: y = β + β + ε, () y : varável depedete (resposta); : varável depedete (eplcatva), fa e observada; β e β : parâmetros do modelo; ε : erro aleatóro, ão observado, para o qual assummos méda zero ( ( ε ) = ) ( ε = σ ) σ Var ( ) E e varâca descohecda, costate para todo o domío do estudo. Adcoalmete, supõe-se que os erros correspodetes a dferetes observações sejam ão correlacoados ( Cor(,ε ) =, j) ε. j

3 E[ y ]=β + β y ε =y β β y Fgura Ilustração regressão lear smples. 3

4 Nota Observe que o modelo de regressão lear smples é lear ão só com relação aos parâmetros, mas também com relação à varável eplcatva ( ). A especfcação do modelo de regressão lear smples mplca que, codcoal ao valor de, a dstrbução de y tem as segutes propredades (Eercíco ): ( y ) E( β + β + ε ) = β + β E = ; ( y ) = Var( β + β + ε ) = Var( ε ) = σ Var. Com base a dstrbução codcoal de y com relação a, os parâmetros do modelo têm as segutes o terpretações: β : é a méda da dstrbução de y quado = (tercepto). Somete váldo quado = pertece ao domío do estudo (se ão, a terpretação de β cofgura um erro de etrapolação); o β : é a alteração a méda de y assocada ao acréscmo de uma udade em. 4

5 Fgura Ilustração referete à terpretação dos parâmetros do modelo de regressão lear smples (Fote: Demétro e Sadoval, ). 5

6 Estmação dos parâmetros do modelo - o método de mímos quadrados Supoha que se dspoha de uma amostra de observações do par (, y) : ( y ), (, y ),..., (, ), y ; Neste caso, o método de mímos quadrados cosste a determação dos valores de β e β tas que os erros do modelo de regressão lear smples: y = β + β + ε,,,..., () = sejam mímos. Em outras palavras, o método cosste a determação de β e β tas que a dstâca da reta aos valores observados seja míma. Nota O modelo apresetado em () descreve a relação etre as varáves a ível populacoal, como fução de parâmetros descohecdos. Logo, os erros do modelo ε E( y ) = y ( β + β ) observáves. 6 = ão são y

7 , β = ε = = = y β β Cosdere ( ) ( ) S β a soma dos quadrados dos erros. Os estmadores de mímos quadrados de β e β são determados mmzado ( ) S β,β com relação a β e β. Nota Embora apresetado aqu o coteto de regressão lear smples, o método de mímos quadrados pode ser descrto de forma mas geral. Supoha um modelo de regressão (lear ou ão lear) da forma: em que (,..., ) = e β ( β β,..., ), p (, ) +, =, y = f β ε,...,, =, β k. Cosdere S( β,..., β ) = ε = ( y f ( β )), k, = = β a soma dos quadrados dos erros. Os estmadores de mímos quadrados de, β β k. β,...,, β βk são determados mmzado S( β, β,..., β k ) β,..., com relação a 7

8 8 A obteção dos estmadores de mímos quadrados de β e β (que remos deotar por ˆβ e ˆβ ) resulta da solução do segute sstema de dervadas parcas: ( ) ( ), ;, = = β β β β β β S S. () Como resultado do sstema de equações apresetadas em (), têm-se os segutes estmadores de mímos quadrados (Eercíco ): ( )( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = y y y ˆβ e y ˆ ˆ β β =, sedo = = e = = y y.

9 Utlzado-se os estmadores de mímos quadrados ˆβ e ˆβ, obtém-se o modelo (reta) de regressão ajustado, deotado por: yˆ = ˆ β + ˆ β. Para um partcular valor, o correspodete valor ŷ ajustado pela reta é tato uma estmatva da méda de y, codcoada a, quato uma predção de y para o valor fado. A dfereça etre um valor observado de y e o correspodete valor ajustado pelo modelo de regressão ( ŷ ) é um resíduo. Assm, para as observações usadas o ajuste do modelo, tem-se um cojuto de resíduos, deotados por: ( ˆ + ˆ ),, ˆ = r = y y = y β β,...,. Os resíduos são de fudametal mportâca o dagóstco do modelo ajustado, sobretudo a avalação das suposções de varâca costate (homocedastcdade) e depedêca. 9

10 Eemplo Os dados que se seguem (Sedecor e Cochra, 967) referem-se a meddas de alturas de platas de fejão (Y ), durate sete semaas (amostras depedetes). Idade em semaas ( ) Altura em cm ( y ) Apresete o dagrama de dspersão e avale a relação etre as varáves. Calcule as estmatvas de mímos quadrados dos parâmetros de um modelo de regressão lear smples e apresete a reta de regressão ajustada.

11 Propredades dos estmadores de mímos quadrados do modelo de regressão lear smples - Os estmadores de mímos quadrados ˆβ e ˆβ são combações leares dos y ' s (Eercíco 3); - ˆβ e ˆβ são estmadores ão vcados de β e β (Eercíco 4): E ( ˆ β ) = β e ( ˆ β ) = β E ; 3- As varâcas de ˆβ e ˆβ são, respectvamete (Eercíco 5): Var ( ˆ ) = β σ + e Var( ˆ ) ( ) = σ β. = = ( ) 4- Teorema de Gauss-Markov Para o modelo de regressão lear smples, com as pressuposções mecoadas para os erros, os estmadores de mímos quadrados são ão vcados e têm varâca míma detre todos os estmadores ão vcados que são combações leares dos y ' s.

12 Propredades adcoas do modelo ajustado (Eercíco 6): o ( y y ) = o = = ˆ r = ; y yˆ ; = = = o A reta de regressão passa pelo cetróde (, y) dos dados; o r = ; = o y ˆr =. =

13 Estmação de σ A estmação de σ permte quatfcar a varação dos dados ão eplcada pelo modelo, além de servr para a obteção de ferêcas (tervalos de cofaça, testes de hpóteses) para β e β. Um estmador ão vcado (Eercíco 7) de σ, caso o modelo proposto seja bem especfcado, é dado por: ( y yˆ ) = r = ˆ σ = =. Um pouco de termologa: chamamos r = de soma de quadrados dos resíduos ( s ) e de quadrado médo de resíduos ( QM Re ). s SQ Re = r 3

14 σ=, σ=,3 σ=, y y y Fgura 3 Dados smulados a partr de uma mesma reta de regressão com dferetes desvos padrões ( σ =,; σ =,3 ; σ =, 5, da esquerda para a dreta). 4

15 Modelo de regressão lear smples com erros ormalmete dstrbuídos Vamos retomar o modelo de regressão lear smples, coforme especfcado em (), com a suposção adcoal de que o erro tem dstrbução Normal: d, sedo ε ~ N(, σ ) y = β + β + ε. Sob essa especfcação, codcoal a tem-se a segute dstrbução para a resposta (Eercíco 8): d ( β β ) y ~ N + σ., Assm, fado o valor de, y tem dstrbução Normal, cetrada em β + β e com varâca σ, que ão depede de. A Fgura 3 lustra esse fato. 5

16 Fgura 4 Ilustração do modelo de regressão lear smples com erros ormalmete dstrbuídos (Fote: Demétro e Sadoval, ). 6

17 Estmação por máma verossmlhaça para os parâmetros do modelo Retomado ovamete o modelo de regressão lear smples, coforme especfcado em (), com a suposção adcoal de que o erro tem dstrbução Normal. Cosdere uma amostra de observações do par (, y) : ( y ), (, y ),..., (, ) verossmlhaça fca dada por:, y. A fução de L (,,, ) ( ) / β β σ y = πσ ep ( y β β ) = = / ( πσ ) ep ( y β β ). σ = σ = Verfca-se que os estmadores de máma verossmlhaça de β e β são guas aos correspodetes estmadores de mímos quadrados (Eercíco 9); 7

18 O estmador de máma verossmlhaça de σ é dado por (Eercíco ): ~ y yˆ ˆ σ σ = = =, ( ) ( ) que é ão vcado apeas asstotcamete (quado ); Como propredades adcoas dos estmadores de máma verossmlhaça tem-se que, sob ormaldade, ˆβ e ˆβ são efcetes e cosstetes. 8

19 Dstrbução amostral dos estmadores dos parâmetros do modelo de regressão lear smples A dstrbução amostral de ˆβ refere-se à dstrbução de um cojuto de ˆ' β s obtdos repetdo-se o epermeto dversas vezes, matedo-se fos os ' s (o mesmo vale para ˆβ ); Sob a suposção de ormaldade, ˆβ e ˆβ tem as segutes dstrbuções amostras (Eercíco ): ( ) ˆ β ~ N β +, σ ; = ˆ σ β ~ N β, ( ), = sedo que Var ( ˆβ ) e ( ˆβ ) Var são estmados, respectvamete, por: ( ) = ^ ˆβ QM + e Var( ) ^ Re s Var = ( ) QM Re s ˆβ =. = ( ) 9

20 Itervalos de cofaça e testes de hpóteses para os parâmetros do modelo podem ser obtdos com base as dstrbuções amostras apresetadas. Nota Chamamos erro padrão de um estmador a raz quadra de sua varâca amostral. Assm, a título de lustração, ep ( ) QM Re s ˆβ =. = ( )

21 Iferêca para os parâmetros do modelo de regressão lear smples Teste de hpótese para o tercepto ( β ): o Hpóteses: H : β = β vs H : β β, sedo β algum valor postulado; o Estatístca do teste: t = QM Re s ˆ β β + =. ( ) o Regra de decsão: Sob H, t tem dstrbução ível de sgfcâca α, rejeta-se H se t > t ; /. α t Studet com graus de lberdade. Assm, para um

22 Teste de hpótese para o coefcete agular ( β ): o Hpóteses: H : β = β vs H : β β, sedo β algum valor postulado; o Estatístca do teste: t = ˆ β β QM = Re s ( ). o Regra de decsão: Sob H, t tem dstrbução t Studet com graus de lberdade (Eercíco ). Assm, para um ível de sgfcâca α, rejeta-se H se t t ; / (Eercíco 3). > α Um caso especal desse teste é o teste da sgfcâca da regressão, baseado o par de hpóteses: H β vs H β. : = :

23 A ão rejeção de H β ão mplca que ão haja relação etre y e, mas apeas a ão estêca : = de relação lear etre y e (ver Fgura 4). A rejeção de H β ão mplca relação lear y e, mas apeas a cotrbução do ajuste de uma : = reta a eplcação da relação etre as varáves, ada que tal relação seja mas complea (ver Fgura 5). o Adcoalmete, sob as suposções do modelo: ( ) QM σ Re s ~ χ, ode χ represeta a dstrbução qu-quadrado com graus de lberdade. 3

24 y y Fgura 5 Duas stuações em que a hpóteses H β ão é rejetada. 4 : =

25 y y Fgura 6 Duas stuações em que a hpóteses H β é rejetada. 5 : =

26 Itervalos de cofaça para os parâmetros do modelo o Se os erros do modelo obedecem aos pressupostos de ormaldade, depedêca e homogeedade de varâcas, etão: ˆ β β t ( ˆ ) ~ ep β ; ˆ β β t ( ˆ ) ~ ep β, ^ ^ sedo ep ( ˆ β ) = Var( ˆ β ) e ( ˆ β ) Var( ˆ β ) de lberdade. ep = e t represeta a dstrbução t Studet com graus o Com base as quatdades pvotas apresetadas, tervalos de cofaça ( α )% para β e β são dados, respectvamete, por: 6

27 IC IC ( β, α ) = ( ˆ β ± t ( ˆ α ep β ) ; / ( β, α ) = ( ˆ β ± t ( ˆ α ep β ), ; / (Eercíco 4) ode t ; / correspode ao quatl α / da dstrbução t. α o Itervalo de cofaça ( α )% para σ (Eercíco 5): ( ) ( ) QM Re s ( ) σ, α = ; QM Re s IC, χ ; α / χ ; α / sedo χ ; α / e ; α / χ os quats α / e α / da dstrbução χ. 7

28 Estmação da resposta méda e predção de ovas observações Itervalo de cofaça para a resposta méda Qual a resposta méda para pacetes tratados com uma dose da medcação? o Um estmador potual para a resposta méda (méda de y ), cosderado algum específco valor para a varável depedete (pertecete ao escopo do estudo), é dado por: E ( y ) = ˆ µ ˆ ˆ y = β + β. o Dstrbução amostral de ˆ y µ : sob os pressupostos do modelo de regressão lear smples: sedo µ y = β + β. ( ) ( ) ˆ µ y ~ Normal µ + y, σ, (Eercíco 6) = 8

29 o Com base a dstrbução amostral de pvotal para µ y : QM ˆ y µ, e substtudo-se Re s ˆ µ y + µ y ( ) ( ) = σ por ~ t. QM Re s, tem-se a segute quatdade o A partr da quatdade pvotal apresetada, tem-se o segute tervalo de cofaça ( α )% para µ y : ( ˆ, α ) = ( ˆ µ ± t ep( ) µ y α ˆ IC µ, (Eercíco 7) y ; / y ( ) ep µ y = QM Re s +. = ode ( ) ( ) ˆ Nota Repare que o tervalo de cofaça terá meor comprmeto (maor precsão) quado maor comprmeto (meor precsão) à medda que se afastar de. =, e terá 9

30 Itervalo de predção para uma observação futura Qual será a resposta para um pacete tratado com uma dose da medcação? o A predção potual, ovamete, é obtda por meo da regressão ajustada, por yˆ = ˆ β ˆ + β. o Um tervalo de predção ( α )% para uma futura observação em é dado por: IP ( y ) ( ) α = yˆ ± t ; / QM Re s + + ( ). =, α Nota Observe que o tervalo de predção sempre será meos precso do que o tervalo de cofaça para a resposta méda. (Por quê?). o Pode-se represetar tervalos de cofaça para a resposta méda e tervalos de predção para observações futuras, para todos os valores o escopo do estudo (badas de cofaça), por meo de gráfcos. 3

31 5 Número de vsualzações (y) Iserções dáras () Fgura 7 Gráfco de dspersão do úmero de vsualzações vs serções dáras do lk de um ste, com reta de regressão ajustada por mímos quadrados, badas de cofaça para a resposta méda (tracejado preto) e para predção de ovas observações (tracejado vermelho). 3

32 Aálse da varâca em regressão lear smples A aálse de varâca cosste a decomposção da varação total dos dados em dferetes fotes; Cosdere a segute decomposção dos resíduos: r ( y y) ( y y) = y yˆ = ˆ. () A decomposção acma, coforme lustrado a Fgura 7, pode ser terpretada da segute forma: desvo ão eplcado pelo mod elo = desvo total desvo devdo ao mod elo 3

33 Fgura 7 Decomposção dos resíduos em r = y y = ( y y) ( yˆ y) ˆ (fote: Demetro e Zocch, ) 33

34 Elevado ao quadrado ambos os lados da gualdade, e somado para as observações, obtém-se: = r = ( y y ) = ( y y) ( yˆ y) = = ˆ (Eercíco 8), = soma que pode ser re-escrta da segute forma: ( y y) = ( yˆ y) ( y yˆ ). = = = SQTot SQRe g SQRe s Soma de quadrados Soma de quadrados Soma de quadrados total da regressão dos resíduos 34

35 o Repare que a varabldade total, deotada por SQ Tot, é subdvdda em duas partes: o SQ Re g epressa a varabldade dos dados eplcada pelo modelo - SQ Re g = se β = e SQ Re g aumeta quato maor for β, uma vez que: SQ Re g = ˆβ ( ) (Eercíco 9). = o SQ Re s epressa a varabldade dos dados ão eplcada pelo modelo (repare que caso o modelo ajustasse perfetamete os dados teríamos todos os resíduos guas a zero e, cosequetemete, SQ ). Re s = o Graus de lberdade: Assocado a Assocado a Assocado a SQ temos graus de lberdade (perda de um grau devdo à estmação da méda); Tot SQ Re temos graus de lberdade (perda de dos graus devdo à estmação de β e β ); s SQ Re temos ( ) ( ) = g grau de lberdade. 35

36 Quadro Esquema da aálse da varâca para o modelo de regressão lear smples Fote de varação Graus de Lberdade Somas de quadrados Quadrados Médos F Regressão Lear SQRe g ( yˆ y) = = QM = Re g SQ Re g QM F = QM Re g Re s Resíduo Total (ajustado pela méda) SQRe s ( y yˆ ) = = SQ ( y y) Tot = = QM Re s SQRe = s Nota - QM Re s é um estmador ão vcado de σ. Se β =, etão QM Re g também é um estmador ão vcado de σ ; Nota Logo, para verfcar se β =, comparamos QM Re s e QM Re g. Se QM Re s QM Re g, etão temos dícos de que β =. Se, por outro lado, QM Re g >>> QM Re s, temos dícos desfavoráves a β =, atestado a sgfcâca da regressão. 36

37 o A sgfcâca da regressão pode ser testada também usado os resultados da aálse da varâca, baseada os segutes fatos: QM Re s SQ ) ( ) Re s σ = ~ σ χ ) Se β = (codção de ão sgfcâca da regressão), etão 3) SQ Re s e SQ Re g são depedetes; ; SQ σ Re g ~ χ ; o Assm, sob a hpótese H β, a estatístca teste: : = F SQRe g / glre g SQRe g / QM Re g = = = (Eercíco ) SQ / gl SQ / Re s Re s Re s ( ) QM Re s segue dstrbução F,. 37

38 o A hpótese H β deve ser rejetada, ao ível de sgfcâca α, se: : = QM F, Re g = > F,, α QM Re s ode F é o quatl α da dstrbução F,.,, α Nota No coteto de regressão lear smples, os testes de sgfcâca da regressão baseados as estatístcas t e F são equvaletes; O teste t permte avalar hpóteses ulateras ( β > β ; β < β); O teste F é mas fleível quato à etesão para dversas varáves (regressão lear múltpla). 38

39 Coefcete de determação O coefcete de determação é uma medda de adequação do ajuste defda por: R SQRe g SQRe s = =. SQ SQ Tot Tot Pela defção, segue que R : Como SQ Tot mede a varação da resposta sem cosderar a varável eplcatva e SQ Re g mede a varação da resposta levado em cota a varável eplcatva, etão R correspode à proporção da varação de y eplcada por. Valores de regressão. R prómos a dcam que a maor parte da varação de y é eplcada pelo modelo de 39

40 Algus cudados quato ao uso do coefcete de determação: o O coefcete de determação sempre aumeta à medda que ovos parâmetros são adcoados ao modelo. No lmte, R = se o modelo ajustado passa sobre todos os potos. No etato, quato mas parâmetros, mas compleo (e ão ecessaramete melhor) o modelo; 4

41 R =,85 R =,934 R = y y y Fgura 8 Três ajustes de regressão para o mesmo cojuto de observações, respectvamete: ajuste de uma reta, de um polômo de segudo grau e de um modelo com tatos parâmetros quato observações (saturado). 4

42 o O coefcete de determação ão mede a adequação da regressão lear, sedo que podemos ter elevado ada que a relação etre y e seja ão lear; R Fgura 9 Quatro ceáros dsttos que produzem o mesmo valor para o coefcete de determação para o ajuste do modelo de regressão lear smples ( R =, 667 ). Fote: Ascombe,

43 o O coefcete de determação depede da dspersão dos valores amostrados de. Pode-se mostrar que R = aumeta quato maor for ( ). Mas adate voltaremos a tratar do coefcete de determação e de outras meddas usadas para avalar o ajuste de modelos de regressão. 43

44 Eemplo Os dados apresetados a sequêca represetam o úmero de serções dáras de lks de propagadas em uma pága da teret ( ) e o úmero dáro de vsualzações de terautas ( y, em mlhares), por meo desses lks, para as propagadas de dez empresas dsttas: Empresa y 8,4 3, 6,6,8,7,7,7 8,4,7 4, Cosderado os dados dspoíves: a) Apresete o dagrama de dspersão com o ajuste da regressão ão paramétrca; b) Calcule as estmatvas de mímos quadrados dos parâmetros do modelo de regressão lear smples que relacoa o úmero de vsualzações ao úmero de serções dáras; c) Iterprete (se fzer setdo) as estmatvas obtdas o tem b; d) Apresete a equação do modelo ajustado e adcoe ao gráfco de dspersão a reta ajustada; e) Calcule o valor ajustado pelo modelo para as empresas 4 e 7; f) Calcule os resíduos correspodetes às empresas 4 e 7; 44

45 g) Com base o modelo ajustado, qual a predção do úmero de vsualzações para propagadas com 7 e 39 serções? h) Com base o modelo ajustado, você podera predzer o úmero de vsualzações para propagadas com 5 serções? Por que? ) Se uma ova empresa, por motvos operacoas, deseja alcaçar 7 ml vsualzações dáras, com base o modelo ajustado qual devera ser o úmero de serções? j) Estme o aumeto esperado o úmero de vsualzações se uma empresa que hoje cota com 3 serções passasse a cotar com 4 serções dáras; k) Faça um gráfco de dspersão dos valores observados versus valores ajustados pelo modelo de regressão lear smples. Avale-o; l) Faça um gráfco de dspersão dos resíduos versus valores ajustados pelo modelo de regressão lear smples. Avale-o; m) Apresete uma estmatva para σ ; ) O que dzer das estmatvas de máma verossmlhaça de β, β e σ? Apresete-as; o) Calcule o erro padrão assocado às estmatvas dos parâmetros do modelo; p) Teste a sgfcâca do modelo de regressão, baseado o par de hpóteses H β vs H β ; : = : 45

46 q) O resposável pela pága afrma que para uma serção a mas da propagada tem-se, em méda, mas de 3 vsualzações dáras. Os dados levatados permtem cofrmar essa afrmação? Cosdere um ível de sgfcâca de 5%. r) Apresete tervalos de cofaça (95 e 99%) para β e β ; s) Apresete tervalos de cofaça (95%) para o úmero médo de vsualzações dáras cosderado 7, 33 e 4 serções; t) Apresete tervalos de predção (95%) para o úmero de vsualzações dáras cosderado 7, 33 e 4 serções; u) Apresete as badas de cofaça e de predção (95%) sobre o gráfco de dspersão com reta de regressão ajustada; v) Apresete o quadro da aálse de varâca e teste a sgfcâca do modelo com base o teste F. Compare com o resultado do teste t, usado aterormete com mesma faldade; w) Calcule o valor do coefcete de determação ( R ). Iterprete-o. 46

47 Aálse da correlação lear Numa aálse de correlação, busca-se avalar a relação cojuta etre duas varáves (dgamos e y ), dferdo do coteto da regressão em dos aspectos prcpas: o Não há uma relação de depedêca etre as varáves (ão há uma varável resposta e outra eplcatva). O objetvo é ferr sobre a relação cojuta etre as varáves, e ão eprmr uma como fução da outra; o Na aálse de correlação admtmos que ambas as varáves sejam aleatóras, cabedo, portato, estudar a dstrbução cojuta das mesmas. 47

48 Vamos cosderar que a dstrbução cojuta de e y seja uma ormal bvarada: f (, y) = πσ σ y ρ ep µ y µ y µ y µ y, ( ) + ρ ρ σ σ y σ σ y sedo µ e σ a méda e a varâca de, µ y e σ y a méda e a varâca de y e [( µ )( y µ )] E y σ y ρ = = σ σ σ σ y y o coefcete de correlação etre e y ( σ é a covarâca). y Uma propredade do coefcete de correlação é que ρ, de tal forma que: o ρ dca relação lear e crescete etre e y ; o ρ dca relação lear e decrescete etre e y ; o ρ dca ausêca de relação lear etre e y. 48

49 Fgura Dstrbução ormal bvarada. 49

50 Fgura Gráfcos das fuções desdade de probabldades de dstrbuções ormas bvaradas com correlações -,8, e,8 (da esquerda para a dreta). 5

51 Um estmador de ρ é o coefcete de correlação amostral, defdo por: ( y y)( ) = r =. / ( y y) ( ) = = Para testar a hpótese de ausêca de correlação lear ( H ρ = vs H : ρ aproprada é dada por: : ), a estatístca teste t r =, r que sob H tem dstrbução t. Assm, deve-se rejetar H, para um ível de sgfcâca α, se t. > t ; α / 5

52 Fgura Dferetes ceáros (amostras de pares (, y )) e os correspodetes valores para o coefcete de correlação lear (fote: Wkpeda). 5

53 Nota O teste apresetado é equvalete ao teste de H β, para o coefcete agular do modelo de regressão lear smples. : = A obteção de tervalos de cofaça para ρ é um pouco mas complcada e basea-se a estatístca: Z r = arcta h( r) = l( ( + r) ). Um tervalo de cofaça ( α )% para ρ, váldo, apromadamete, para sufcetemete grade ( 5), tem lmtes: u u u u ode ( u) = ( e e ) ( e + e ) IC z ρ r, 3 α / (, α ) = tah( Z ) ± tah e z α / é o quatl α / da dstrbução ormal padrão. 53

54 Nota Ausêca de correlação lear ão mplca em depedêca (ver Fgura ). Nota Coeão etre r e o coefcete de determação ( R ). Seja ry y ˆ, a correlação etre os valores observados e predtos de um modelo de regressão e Pode-se verfcar que (Eercíco ): R o coefcete de determação do modelo ajustado. r y, yˆ R =. 54