NOTA: ESCREVA AS RESPOSTAS COMO FRAÇÕES OU COM 4 CASAS DECIMAIS NOTA 2: O FORMULÁRIO ESTÁ NO FINAL DA PROVA

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1 IND 5 Iferêca Estatístca Semestre Teste 4 //007 Nome: NOTA: ESCREVA AS RESPOSTAS COMO FRAÇÕES OU COM 4 CASAS DECIMAIS NOTA : O FORMULÁRIO ESTÁ NO FINAL DA PROVA PROBLEMA (5 potos) Em cada questão abaxo, dque se a afrmatva é verdadera ou falsa (marque um X a alteratva correta). Não é ecessáro justfcar a sua resposta. Questão Afrmatva Verdadero Falso Nas questões e supoha que X, X e X 3 são varáves depedetes e E(X ), E(X ) E(X 3 ) - e VAR(X ) VAR(X ), VAR(X 3 ) 4. Seja Y + X + X. Etão E(Y) Seja Y + X + X. Etão VAR(Y) 5 3 Os evetos A e B são depedetes se Pr(A B) Pr(A).Pr(B) 4 Se X e Y forem depedetes, etão seu coefcete de correlação é ulo. 5 A varâca de X é expressa as mesmas udades de medda que X 6 João amora (uma amorada de cada vez) e tem uma probabldade fxa p de casar com ela. O úmero de amoradas que João terá até casar é uma varável Geométrca. 7 Uma varável Bomal pode ser empregada para modelar o úmero de questões chutadas errado uma prova de múltpla escolha com 0 questões, cada uma com 6 opções. 8 Se X, X,..., X 5 são d Uforme (0,) e X (3) é a 3ª. Meor observação da amostra ordeada, etão a méda de X (3) é 3/(6) 9 Se X, X,..., X 56 são Normas com méda 00 e desvo padrão 64, etão a méda amostral baseada estas 56 observações tem desvo padrão 6. 0 O estmador de máxma verossmlhaça de θ é sempre ão tedecoso.

2 O estmador por método de mometos de θ é sempre ão tedecoso. Um IC baseado a dstrbução t é sempre mas largo que o IC equvalete baseado a dstrbução Normal. 3 Se X, X,..., X 5 são d Uforme (0,) etão a varâca da méda amostral é / 4 O Teorema Cetral do Lmte só pode ser aplcado a varáves aleatóras cotíuas. 5 O estmador de máxma verossmlhaça é sempre ecotrado dervado a verossmlhaça (ou seu log) e gualado esta dervada a zero. PROBLEMA (5 potos) Você trabalha o departameto de maretg de uma empresa farmacêutca que acabou de laçar um remédo que auxla a redução de peso. Numa amostra de 36 mulheres que tomaram o remédo, a perda de peso méda em três meses fo de 8.4 g, com desvo padrão.6 g. Para comparação, tomou-se uma outra amostra, de 6 mulheres, que só fzeram deta. Nesta seguda amostra, a perda de peso méda em três meses fo de 6. g, com desvo padrão.4 g. Empregado argumetos de IC, dga se você pode coclur, com probabldade 95% que o remédo qua a sua empresa está laçado é efcaz para a deta. Nota: supoha que as perdas de peso são varáves Normas.

3 3 PROBLEMA 3 (5 potos) Os preços de apartametos de dos quartos em duas cdades X e Y são varáves Normas correlacoadas. Na cdade X, o preço médo é R$ 40 ml, e o desvo padrão dos preços é R$ 5 ml. Na cdade Y, o preço médo é R$ 80 ml, e o desvo padrão dos preços é R$ 5 ml. A correlação etre os preços é ρ Calcule as segutes probabldades: a) De alguém pagar etre R$ 50 e R$ por um apartameto a cdade X. b) De alguém pagar etre R$ 50 e R$ por um apartameto a cdade X sabedo que um apartameto equvalete a cdade Y custa R$ 00 ml. c) De alguém pagar etre R$ 50 e R$ por um apartameto a cdade X sabedo que um apartameto equvalete a cdade Y custa R$ d) Qual é a dstrbução codcoal dos preços de apartameto a cdade Y sabedo que o preço de um apartameto equvalete a cdade X é R$ 60 ml? e) Qual é a dstrbução codcoal dos preços de apartameto a cdade Y sabedo que o preço de um apartameto equvalete a cdade X é R$ 0 ml? f) Quato deve pagar uma pessoa a cdade X para que o seu apartameto esteja etre os 0% mas caros?

4 4 PROBLEMA 4 (5 potos) Sejam X, X,..., X d N(μ, θ) ode θ, a varâca, é CONHECIDA! a) Ecotre o MLE de μ. b) Mostre que o MLE é ão tedecoso. c) Calcule a formação de Fsher. d) Mostre que o MLE é cosstete. e) Calcule o lmte feror de Cramér e Rao e verfque se o MLE de μ é efcete.

5 5 PROBLEMA 5 (0 potos) Sejam X, X,..., X 48 meddas depedetes de uma certa experêca, e Y, Y,..., Y 48 aproxmados até o próxmo tero. Seja e Y - X,,, Os e s são d Uf( -0.5, +0.5). 48 Aproxme a segute probabldade : Pr e <.4.

6 Tabela Fução de Dstrbução N(0,) 6 z Φ(z) z Φ (z) z Φ (z) 0, ,00% 0, ,7%, ,44% 0,000 50,40% 0, ,40%, ,50% 0,000 50,80% 0, ,5%, ,6% 0,0300 5,0% 0, ,65%, ,67% 0,0500 5,99% 0,988 83,85%, ,7% 0,000 53,98% 0, ,89%,000 97,78% 0,04 54,5%, ,3%,05 97,79% 0,500 55,96%,000 84,38%,000 97,83% 0,000 57,93%,067 84,54%, ,88% 0,36 58,85%,050 84,73%, ,93% 0,500 59,87%, ,85%,04 97,94% 0,887 6,36%, ,3%, ,98% 0,3000 6,79%, ,44%,000 98,% 0,305 6,85%,000 86,43%,875 98,56% 0, ,06%,475 87,44%,000 98,6% 0, ,59%,500 87,49%,36 98,73% 0,349 63,65%,553 87,60%, ,93% 0, ,68%,667 87,83%,363 99,00% 0, ,54%,000 88,49%, ,0% 0,467 66,6%,00 88,88%, ,8% 0, ,67%,500 89,44%, ,38% 0, ,36%,700 89,79%, ,46% 0, ,5%,86 90,00%,568 99,48% 0, ,88%, ,3%, ,53% 0,5774 7,8%, ,88%, ,60% 0,6000 7,57%,3750 9,54%, ,6% 0,650 73,40%,4000 9,9%, ,64% 0, ,%,4434 9,55%, ,65% 0, ,75%,4468 9,60%, ,70% 0, ,80%,4500 9,65%, ,74% 0, ,34%, ,3%, ,8% 0, ,8%, ,94%, ,84% 0, ,77%, ,5% 3, ,87% 0, ,95%, ,00% 3,000 99,90% 0, ,3%, ,% 3,500 99,9% 0, ,68%, ,54% 3,667 99,9% 0, ,69%,797 96,34% 3,000 99,93% 0,9000 8,59%, ,4% 3, ,99% 0,933 8,46%, ,66% 0,9500 8,89%, ,78% 0, ,5%, ,3%

7 Potos Percetuas Varável t com p graus de lberdade 7 Exemplo Se T tem desdade t com graus de lberdade, Pr( T <.78) 95% Graus de lberdade 60% 75% 80% 90% 95% 97.5% 99% 99.5%

8 Tabela da Fução de Dstrbução da desdade Qu-quadrado 8 Cada célula desta tabela cotém Pr(X < x) com as probabldades especfcadas em cada colua. Exemplo Se X tem desdade Qu-quadrado com graus de lberdade, Pr( X < ) 0.5 probabldade 0.5%.0%.5% 5.0% 0.0% 5.0% 50.0% 75.0% 90.0% 95.0% 97.5% 99.0% 99.5% graus de lberdade

9 Formuláro 9 IND 5 - Iferêca Estatístca Profa. Môca Barros FORMULÁRIO P Nome Desdade ou Fução de Probabldade Méda Varâca fgm Uforme b Não é útl f ( x) se a x b b a a + ( b a) Expoecal /λ /λ < λ Gama Qu-Quadrado x f ( x). x. e / Normal α α β. x β. e x, ode x 0 f( x) Γ( α) 0 se x < 0 f ( x) ( λ. x) ode λ > 0 e 0 f ( x) λ.exp x. Γ exp πσ ( x μ) σ α β β μ σ λ λ t se t α β α ( ) se β β t t < t / σ exp μ. t + Bomal.p.p.q t x x! x x f( x) Pr ( X x) p ( p) p ( p) ( pe + q) x x!( x)! para x 0,,,..., se t < / t Hpergeométrca r N r x x f ( x) Pr( X x) N r N. r r N. N N N Não é útl ( ) ( ) ( ) Geométrca /p q/p f Pr X p p ode,, 3,... t pe Mt () qe t Posso x λ λ λ λ. e Pr( X x) f( x) x! t ode x 0,,,... tx λ. ( e E( e ) e ) Bomal Negatva ode x Resultados Matemátcos Sére Geométrca x f ( x ) Pr( X x ). p r r, r +, r +,... r. q x r r/p r.q/p t pe M t t qe ( ) r 0 a + a + a + a a desde que a < Teorema Bomal ( a b) a b ode a e b são úmero reas e, são teros 0 0 Sére de Taylor da Expoecal e x x x x x + x !! 3!! Môca Barros

10 Formuláro 0 Fução de Dstrbução (F(x)) ) F(x) Pr(X x) ) 0 F (x) 3) F(x) é uma fução ão decrescete 4) Lm F(x) se x + 5) Lm F(x) 0 se x - 6) Se X é uma v.a. cotíua, F(x) é cotíua. Se X é dscreta, F(x) é descotíua df( x) f( x) dx Relação etre desdade e fução de dstrbução Defção: -ésmo mometo E ( X ) x. f ( x) x. f dx se X é v.a. cotíua ( x) x.pr( X x) se X é v.a. dscreta E ( X μ ) ) ( x μ ). f ( x) dx se X é v.a. cotíua ( x μ ). f ( x) ( x μ ).Pr( X x) se X é v.a. dscreta Defção: -ésmo mometo cetral Em partcular, se : E(X m) 0, ou seja, o prmero mometo cetral é sempre ulo. x. f ( x) dx μ E( X ) x. f Méda ou Valor Esperado de X se X é v.a. cotíua ( x) x.pr( X x) Defção: se X é v.a. dscreta ( x μ ). f ( x) dx se X cotíua σ VAR( X ) E (( X μ) ) Defção: Varâca ( x μ). f ( x) ( x μ).pr( X x) se X dscreta Fórmula alteratva para o cálculo da varâca σ VAR( X ) E( X ) μ Defção: Desvo padrão σ σ VAR( X ) Defção: Valor esperado de uma fução de uma varável aleatóra Propredade leardade do valor esperado: E{a.u(X) + b.v(x)} a E {u(x)} + b E {v(x)} E ( u( X )) u( x). f ( x) dx u( x). f ( x) u( x).pr( X x) se X é v.a. cotíua se X é v.a. dscreta Propredades Méda e Varâca de costates e fuções leares Sejam a e b costates, e X uma varável aleatóra qualquer. Etão: -) E(a.X + b) a.e(x) + b -) E(a) a 3-) VAR(a.X+ b) a.var(x) 4-) VAR(a) 0 Posso como aproxmação da Bomal Se X é Bomal(, p), ode é grade e p é pequeo ( > 0 e.p < 5), pode-se aproxmar as probabldades Bomas por probabldades Posso usado uma Posso com a mesma méda, sto é, usado λ.p. Môca Barros

11 Fução Geradora de Mometos (fgm) tx e f ( x) dx se X é v.a.cotíua tx M ( t) E( e ) tx tx. ( ).Pr( ) se X é v.a.dscreta e f x e X x Formuláro Relação etre Mometos e fgm ( ) d M ( t) M (0) E( X ) dt t 0 Fórmula da Covolução Seja Y X +X ode X e X são varáves depedetes com desdade cojuta f(x, x ) f (x ).f (x ). A desdade (ou fução de probabldade de Y) é dada por: a) No caso cotíuo g( y) f ( x ). f( y x ) dx f( y x). f( x) dx b) No caso dscreto Combações Leares de varáves INDEPENDENTES g( y) f ( x ). f( y x ) f( y x). f( x) Sejam X, X,..., X depedetes com médas μ, μ,..., μ e varâcas σ, σ,..., σ. Seja: Y a 0 + Etão, a méda de Y é: a X E( Y ) Ea0 + a + 0 a. μ a. X a0 + ode μ E( X ) a. E( X ) A varâca de Y é: VAR( Y ) a. VAR( X ) a ode VAR( X ) σ E a fgm de Y é: M e ta Y E e e e 0. σ ty t( a0 + a X a X ) ( t) E( e ) E( e ) ta0 ta X ta X ( e e... e ) 0 ta X ta X E( e... e ) ta como coseqüêca da depedêca ta 0 M E X ta X ta X ta X ( e ) E( e )... E( e ) ( ta ) M ( ta )... M ( ta ) X X Combações Leares de varáves DEPENDENTES Supoha que as médas e varâcas dos X s são como o caso ateror, mas agora eles são DEPENDENTES, de tal forma que: COV(X, X j ) COV(X j, X ) ρ j.σ.σ j ode ρ j é o coefcete de correlação etre X e X j. Seja Y defdo como acma. Y a + a X Etão E(Y) é o mesmo que o caso de varáves depedetes, MAS: 0 ( ) ( ). ( ) + j, j j a σ aa jρjσσ j j VAR Y a VAR X a a COV X X. + ode o o. termo j ode ρ é o coefcete de correlação etre X e X Portfolo Combação lear de atvos ode soma dos pesos. Nos ossos exemplos estamos supodo que todos os pesos são postvos. A méda e a varâca do portfolo podem ser obtdas dretamete das expressões acma para combações leares de varáves depedetes. NOTAR que, acma o termo da covarâca aparecem a.a j e a j.a. j j Fução Gama α Γ( α) t. e t dt 0 Propredades da Fução Gama ) Γ() (-).Γ(-) para > ) Γ() (-)! se é tero > 3) Γ() 0! 4) Γ π Môca Barros

12 Padrozação de uma varável aleatóra Se X tem méda a e varâca b etão Z (X-a)/b tem méda 0 e varâca. Se, além dsso, X é Normal, Z também é Normal. Formuláro Cálculo de probabldades para varáves Normas Se X é uma varável Normal com méda μ e desvo padrão σ etão: a μ X μ b μ a μ Pr( a X b ) Pr Pr σ σ σ σ Z b μ σ Φ b μ Φ σ a μ σ Smetra da tabela da N(0,) Φ(-z) - Φ (z) se z > 0 Combações Leares de Varáves Normas Sejam X, X,..., X varáves aleatóras depedetes, ode X ~ N( μ, σ ) e seja Y X + X X. Etão Y tem dstrbução Normal com méda μ y e varâca σ y dadas por: μ y μ e σ y σ Casos partculares: se todos os X s acma são d com méda μ e varâca σ etão a soma é Normal com méda.μ e varâca.σ e a méda amostral é Normal com méda μ e varâca σ /. Desdade Logormal Se X é N(μ, σ ) etão Y e X é Logormal. Pode-se provar que E(Y) exp( μ + σ /) VAR Y ( μ σ ) ( e ) σ ( ) exp +. Desdade Normal Bvarada É uma desdade cojuta para duas varáves X e X. Ode x μ x μ x μ x μ R +. ρ.. f ( x, x).exp. R σ σ σ σ π ( ρ ) σ ( ) σ ρ A desdade margal de X é N(μ,σ ) A desdade margal de X é N(μ,σ ) As desdades codcoas também são Normas. A desdade codcoal de X dado X x é: σ ( X X x)~ N μ+ ρ.. ( x μ), σ. ( ρ ) σ A desdade codcoal de X dado X x é: σ ( X X x)~ N μ + ρ.. ( x μ), σ. ( ρ ) σ Note que as expressões das desdades codcoas acma já estão sedo dadas a méda e a varâca codcoas. Na desdade Normal bvarada, a codção ρ 0 (correlação ula) é equvalete à depedêca. e Desdade Beta Γ f ( x) Γ ( m + ) ( m) Γ( ) x Se X ~ Beta (m, ) etão: E ( X ) m m + ( x) m ode 0 < x < e m, teros VAR( X ) e Teorema Sejam X, X,..., X varáves aleatóras depedetes com desdade Uf(0,). Seja Y r o r-ésmo úmero (em ordem crescete) detre os valores observados de X, X,..., X, de tal forma que Y é o mímo, Y é o segudo meor,..., Y é o máxmo da amostra. Etão Yr tem desdade Beta com parâmetros r e r +. Teorema Cetral do Lmte (TCL) Sejam X, X,..., X varáves aleatóras depedetes com desdades quasquer, ode E(X ) μ e VAR(X ) σ ambas ftas. Seja Y X + X X. Etão Y, devdamete padrozado para ter méda zero e varâca é aproxmadamete Normal, desde que o úmero de termos a soma seja sufcetemete grade. O teorema é mportate porque serve para X s com QUALQUER dstrbução, cotíua ou dscreta. Casos Partculares do TCL se os X s são d, todos têm mesma méda e varâca. Teorema de DeMovre e Laplace Caso partcular do TCL aplcado à Bomal. Hstorcamete apareceu muto ates do TCL. Usa-se quado uma Bomal tem grade e p proóxmo de ½. Se uma Bomal tem grade e p pequeo, é melhor usar a aproxmação Posso ao vés de DeMovre e Laplace. Um problema a aplcação de DeMovre e Laplace é o fato de estarmos aproxmado uma varável dscreta (Bomal) por uma cotíua (Normal). Daí surge a ecessdade da correção de cotudade, do cotráro ão teríamos como calcular Pr(Y), por exemplo, usado a aproxmação. Seja Y ~ B(, p) ode é "grade" e p ão está próxmo de zero. Etão: Z Y E( Y ) VAR( Y ) Y p p( p) m ( m+ + ) ( m+ ) Γ ( + m) Γ ( m+ ) E( X ) Γ( m) Γ ( + m+ ) tem aproxmadamete uma dstrbução N(0,). Môca Barros

13 Correção de Cotudade Formuláro 3 Quatdade desejada a Quatdade Calculada através Expressão aproxmada usado a dstrbução Bomal da correção de cotudade desdade Normal Pr(Y y) Pr( y Y y + 0.5) y+ 05. p y 05. p Φ Φ pq pq Pr(Y y) Pr( Y y +0.5) Φ y p pq y p y 05. p Pr(Y < y) Pr( Y y-) Pr( Y y ) Φ Φ pq pq Pr( Y y) Pr( Y y - 0.5) 05 Φ y. p pq Pr( Y > y) Pr( Y y ) + 05 Φ y. p Pr( Y y + ) pq b+ 05. p a 05. p Pr( a Y b) Pr( a Y b + 0.5) Φ Φ pq pq Teorema Adtvdade da Qu-quadrado Sejam X, X,..., X varáves aleatóras depedetes e X é Qu-Quadrado com graus de lberdade. Etão Y X + X X é também Qu- Quadrado, com graus de lberdade. Teorema Relação etre Normal e Qu-Quadrado Seja Z ~ N(0,). Etão V Z tem desdade Qu-quadrado com grau de lberdade. Defção Amostra Aleatóra É um cojuto de observações depedetes e detcamete dstrbuídas. Teorema Dstrbução da Méda e da Varâca amostras uma amostra Normal Seja X, X,..., X uma amostra da desdade N(μ, σ ). Sejam X X a méda amostral e S ( X X ) a varâca amostral ( X X ) ( ) σ S Etão X ~ N μ, e ~ χ σ σ Deste resultado deduz-se que: E( S ) σ 4 σ VAR( S ) A desdade t de Studet defção Uma varável t com graus de lberdade é obtda através de: T Z V / e X e S são depedetes ode Z e V são depedetes, Z é N(0,) e V é Qu-Quadrado com graus de lberdade. À medda que os graus de lberade da dstrbução t crescem, ela se aproxma de uma N(0,). A dstrbução t e amostras Normas Seja X, X,..., X uma amostra da desdade N(μ, σ ). Cosdere e méda e varâca amostras como já defdas. Etão: T X μ S / ( X μ) ~ t S Estatístca Estmação Potual ecotrar chutes (estmadores) para parâmetros descohecdos. Prcpas Métodos de Estmação Método dos mometos Método de máxma verossmlhaça Método dos mímos quadrados Método dos Mometos a déa é gualar os mometos amostras aos mometos da dstrbução (E(X )) tatas vezes quato ecessáro até ecotrar uma solução úca para todos os parâmetros descohecdos. Se apeas um parâmetro é descohecdo, basta fazer sso uma vez. Fução de Verossmlhaça (L(θ)) A fução de verossmlhaça é a desdade cojuta ecarada como fução do parâmetro θ. Isto é: Log-verossmlhaça (l(θ)) É o logartmo a base e da verossmlhaça. L ( θ ) f ( x, x,..., x ) f ( x, θ ) Môca Barros

14 Formuláro 4 Método da Máxma Verossmlhaça Cosste em achar um estmador que maxmza a verossmlhaça (ou, de modo equvalete, a log-verossmlhaça). Em geral, ele é ecotrado por Cálculo, resolvedo-se a equação dl/dθ 0, mas exstem exceções, como a desdade Uforme. Defção (Estmador ão tedecoso) Seja T um estmador para o parâmetro θ de uma desdade f(x, θ). T é chamado de ão tedecoso se E( T ) θ, do cotráro T é dto tedecoso. Defção (Erro Quadrátco Médo) O erro quadrátco médo do estmador T é defdo como: MSE(T) E{ (T - θ) } VAR(T) + { BIAS(T)} ode θ é o parâmetro que T pretede estmar, VAR(T) é a varâca de T e BIAS(T) é a tedêca ou vés de T, defdo como BIAS(T) E(T) - θ. Defção (Estmador cosstete) Um estmador T é cosstete se seu MSE va para zero quado va para fto, ode é o tamaho da amostra. Método dos Mometos Seja E(X ) o -ésmo mometo da dstrbução (,,...). Seja: M X o - ésmo mometo amostral Faça E(X ) M para,,... Faça sto para quatos 's forem ecessáros até obter soluções úcas para os parâmetros descohecdos Defção: Fução Score l( θ ) S( X, θ ) [ log L( θ ) ] θ θ Lmte Iferor de Cramér e Rao (ou Desgualdade da Iformação) Seja T um estmador ão tedecoso de τ(θ). Etão, sob certas codções de regulardade: ( ) VAR T [ τ ( θ )] I( θ ). E [ τ ( θ )] log f ( x, θ ) θ Defção: Iformação de Fsher d log L( θ ) ( ) I( θ ) VAR S( X, θ E dθ Defção (Estmador Efcete) T é chamado um estmador efcete de τ(θ) se: ) T é ão tedecoso para τ(θ). ) VAR [ T ( x) ] [ τ ( θ ) ] / I( θ ) sto é, o estmador T atge o lmte feror de Cramér e Rao. Coroláro Se T é um estmador efcete de τ(θ) etão T é o melhor estmador ão tedecoso de τ(θ). e a gualdade ocorre se, e somete se, a verossmlhaça tem a forma: L( θ ) exp[a( θ )T(X) + K( θ ) + u(x)] IC para méda da Normal com varâca cohecda σ [ X z α / ; X + z α / σ ] Ode z -α/ obtdo da desdade N(0,) tal que Pr( Z < z -α/ ) -α/ IC para méda da Normal com varâca DESCONHECIDA S [ X b ; X + b S ] O poto b que aparece a defção do IC é obtdo da dstrbução t com - graus de lberdade, e é tal que Pr(T > b) α/. S acma é o desvo padrão amostral. IC para a méda de uma dstrbução qualquer GRANDES AMOSTRAS S S X z α/. ; X + z α/. Ode z -α/ obtdo da desdade N(0,) tal que Pr( Z < z -α/ ) -α/ e S é o desvo padrão amostral. b, a IC para a varâca da Normal ( ) S ( ) S ode a e b obtdos da desdade Ququadrado com (-) graus de lberdade, e Pr(X<a) α/ Pr(X > b) ode X é a varável Qu-quadrado IC para a dfereça das médas de DUAS amostras Normas com varâcas supostas IGUAIS Amostra : X, X,..., X m d N( μ, σ ) Amostra : Y, Y,..., Y d N( μ, σ ) O IC 00(-α)% para μ μ é: ( X Y br X Y + br), ode: R ( m ) S + ( ) S + m + m b é obtdo a partr da dstrbução t com +m- graus de lberdade tal que Pr(T > b) α/. IC aproxmado para a probabldade Bomal pˆ( pˆ) pˆ z ˆ α /, p + z α / pˆ( pˆ) Ode z -α/ obtdo da desdade N(0,) tal que Pr( Z < z -α/ ) -α/ Môca Barros