APOSTILA DA DISCIPLINA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA I

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA PLANO DE ENSINO Fcha º APOSTILA DA DISCIPLINA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA I Dscpla: Iferêca Estatístca I Turma : A Códgo: CE09 Curso : Estatístca - 3 o período CURSO DE ESTATÍSTICA Professor resposável: Paulo Rcardo Bttecourt Gumarães Pré-requsto: CE03+CE05+CM008 Programa: I - Cocetos Báscos.. Defção de Estatístca, População alvo, Amostra aleatóra, estatístca e mometos amostras... Amostragem da dstrbução ormal: dstrbuções Ququadrado, t de Studet e F de Sedecor, prcpas resultados. II - Sufcêca.. Defção de estatístca sufcete... Teorema da Fatoração..3. Famíla epoecal uparamétrca. Prof. Paulo Rcardo Bttecourt Gumarães III - Propredades dos Estmadores Potuas 3.. Estmação potual: defção de estmador e estmatva. 3.. Defção de Cosstêca, desgualdade de Tchebychev Defção de Erro Médo Quadrátco e estmador ão-vcado. IV - Métodos de Estmação 4.. Método da Máma Verossmlhaça. 4.. Método dos Mometos Método dos mímos Quadrátcos. V - Propredades Ótmas dos Estmadores 5.. Defção de estatístca completa e estatístca ótma. 5.. Teorema de Lehma-Scheffé: estmador UMVU Ivarâca a locação e a escala. O SEMETRE DE 00

2 Referêcas Bblográfcas:. Mood, A.M., Graybll, F.A., Boes, D.C. (974). Itroducto to the theory of Statstcs. 3 ed. New York: McGraw Hll. Hogg & Crag Itroducto to Mathematcal Statstcal. 3. Bckel, P. J., Doksum, K.A. Mathematcal Statstcs, Holde Day Ic. 4. Kreyszg, E. (970). Itroductory Mathematcal Statstcs. Joh Wley & Sos. 5. Rohatg, V.K. (976). A Itroducto to Probablty Theory ad Mathematcal Statstcs. Joh Wley & Sos ÍNDICE I CONCEITOS BÁSICOS INTRODUÇÃO NOÇÕES DE POPULAÇÃO E AMOSTRA ESTATÍSTICA : MOMENTOS AMOSTRAIS AMOSTRAGEM DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL... 9 II SUFICIÊNCIA.... INTRODUÇÃO.... DEFINIÇÃO: ESTATÍSTICA SUFICIENTE: TEOREMA DE NEYMAN-FISHER OU TEOREMA DA FATORIZAÇÃO FAMÍLIA EXPONENCIAL UNIPARAMÉTRICA FAMÍLIA EXPONENCIAL K-PARAMÉTRICA... 9 III MODELOS PARAMÉTRICOS CONCEITO DEFINIÇÕES... 0 IV ESTIMAÇÃO ESTIMAÇÃO POR PONTO PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES PARAMÉTRICOS Cosstêca Estmadores Não-vcados MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO Método da Máma Verossmlhaça (Fsher) Método dos Mímos Quadrados (Gauss) ESTIMADORES NÃO-VICIADOS UNIFORMEMENTE DE MÍNIMA VARIÂNCIA (UMVU) E INTERVALOS DE CONFIANÇA Estatístcas Completas Estmadores UMVU

3 I CONCEITOS BÁSICOS. INTRODUÇÃO Latm: INFERENTIA Ato de ferr (trar por coclusão). Admte-se uma proposção como verdadera, que ão seja cohecda dretamete, através da relação dela com outras proposções já sabdamete verdaderas. Casos especas: Iferêca Dedutva (certa). Iferêca Idutva (certa, há um ível de probabldade evolvdo). E.: Dedutva: Premssa prcpal - um dos âgulos de um trâgulo retâgulo tem sempre 90º. Premssa secudára - Τ é um trâgulo retâgulo. Coclusão: T tem um âgulo de 90º (partcular geral). Idutva: 0 7 semetes são platadas, deseja-se saber quatas darão flores bracas e quatas vermelhas. Há um ível de probabldade evolvdo para cada flor (cor) (geral partcular). A ESTATÍSTICA OBJETIVOS PRINCIPAIS a) Plaejar o processo amostral e epermetal; b) Obter ferêcas sobre a população; c) Estabelecer íves de certeza evolvdos essas ferêcas.. NOÇÕES DE POPULAÇÃO E AMOSTRA DEF. : POPULAÇÃO ALVO é a totaldade de elemetos que estão sob dscussão e das quas se deseja formação. EXEMPLO :- Supoha que se teha armazeado um depósto 0 mlhões de semetes de flores das quas sabe-se que produzem flores bracas e vermelhas. Os 0 mlhões de semetes é a população e deseja-se a formação: quatas destes 0 mlhões de semetes produzem flores bracas?. DEF. : AMOSTRA ALEATÓRIA: Sejam as varáves [X, X,...,X ] que têm a desdade cojuta f,,..., ) que fatora as desdades margas segutes: (,,..., f ( ) = f,..., (,,..., ) f ( ). f ( )... f ( ), = com f(.) sedo a desdade comum a todas as X. Etão (X, X,..., X ) é defda como amostra aleatóra (a.a.) de tamaho da população com desdade f (.). Nota: Um valor específco da a.a. X ;...;X é deotado por ; ;...;. No eemplo das 0 7 semetes, pode-se ter: flor - braca valor 0 - vermelha valor X = 0 se braca se vermelha Assm, uma a.a. ( = 50) pode ser: = 0; = ;...; 50 = 0 EXEMPLO :- No eemplo tomado, pode-se assocar a flor braca e 0 a flor vermelha, etão este um úmero assocado a cada elemeto da população. Se a amostragem de semetes é feta de tal forma que as varáves X, X,...,X são depedetes e têm a mesma desdade a amostra é dta aleatóra. DEF. 3: POPULAÇÃO AMOSTRADA: Seja [X, X,...,X ] a.a. da população com desdade f (.), etão esta população é chamada população amostrada. Resultados com base a a.a. só são váldas para a população amostrada, a meos que a população alvo seja a população amostrada. 5 6

4 7 EXEMPLO 3: Supoha que um socólogo deseja eteder os hábtos relgosos dos homes com 0 aos de dade em certo país. Ele etra uma amostra de homes com 0 aos de uma grade cdade para estudar. Neste caso tem-se: População alvo: homes com 0 aos do país; População amostrada: homes com 0 aos da cdade grade amostrada. Etão ele pode fazer coclusões váldas apeas para os elemetos da grade cdade (população amostrada), mas pode usar o seu julgameto pessoal para etrapolar os resultados obtdos para a população alvo, com muta cautela e certas reservas. EXEMPLO 4:- Um pesqusador agrícola está estudado a produção de certa varedade de trgo em determado estado. Ele tem a sua dsposção 5 fazedas, espalhadas pelo estado, as quas ele pode platar trgo e observar a produção. A população amostrada, este caso, cosste das produções de trgo estas 5 fazedas, equato a população alvo cosste das produções de trgo em todas as fazedas do estado..3 ESTATÍSTICA : MOMENTOS AMOSTRAIS DEF. 4: ESTATÍSTICA: Uma estatístca é uma fução das varáves observáves, e é por s própra uma varável observável que ão cotém qualquer parâmetro descohecdo. EXEMPLO 5: Seja a a.a. [X, X,...,X ]. A méda amostral = estatístca. é uma EXEMPLO 6: Seja a v.a X ~ N(µ, ) com µ e descohecdos, etão - µ ão é estatístca porque ão é observável, é fução do parâmetro descohecdo µ. EXEMPLO 6: Seja uma v.a. com dstrbução N(µ; ). Quas são Estatístcas? a) X -µ d) X-4 b) X e) X - logx 3 c) X -3 DEF.5: MOMENTOS AMOSTRAIS Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da desdade f X (). Etão, o k-ésmo mometo amostral é defdo por: M k = 8 OBS : Se k= M = X = k (méda amostral) E, o k-ésmo mometo amostral em toro de X é defdo por M k = ( - ) k OBS : Mometos amostras são eemplos de estatístcas. RESULTADO : Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da população com desdade f (). Etão, a esperaça do k-ésmo mometo amostral é gual ao k-ésmo mometo populacoal, sto é: e também, E(M k ) = µ k = E( k ) V(M k ) = [E( k ) [E( k ) ] = [µk (µ k ) ], se M k este. EXERCÍCIO : Prove o resultado ateror. DEF.6.: VARIÂNCIA AMOSTRAL Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da desdade f (), etão s = ( ) é defda como varâca amostral. OBS: Tato s quato M = ˆ medem a dspersão da amostra, cotudo s é melhor que ˆ porque E(s ) = m =, equato E(M ) = E( ˆ ) m = RESULTADO : Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da desdade f (), que tem méda µ e varâca fta, etão : EXERCÍCIO : Prove o resultado. E () = µ e V( ) = = RESULTADO 3: Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da desdade f () e seja s a varâca amostral, etão E(s ) = e V(s 3 4 ) = µ 4 EXERCÍCIO 3: Prove a prmera parte do resultado 3.

5 .4 AMOSTRAGEM DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL RESULTADO 4: Seja a méda amostral da a.a. [X, X,...,X ] da dstrbução N (µ, ). Etão N (µ, /). Uma v.a. X é ormalmete dstrbuída se sua f ( ) é dada por: f X ( ) = f X ( ; µ, ) = e π µ ( ) REVISÃO: FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS t ψ ( t ) = E( e ) ψ X X, Y bt Seja Y = a + b ψ ( t) = e. ψ ( at) tx + t ( t, t ) = E( e Y ) Y, µ e X R, >0 Sejam as v.a s X e Y. Elas serão depedetes se e somete se: ψ t, t ) = ψ ( t ) ψ ( ) X, Y ( X Y t EXERCÍCIO 4: Prove o resultado 4. DEF. 7: DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO (χ ) RESULTADO 6 : Se [z, z,..., z ] é uma a.a. de uma dstrbução N( 0,), etão : 9 X e ( ) Se X é uma v.a com desdade f a () =, > 0, etão X é dta ter Γ dstrbução qu-quadrado com ν graus de lberdade, ode ν é um tero postvo. OBS.: Se X ~ χ E(X) = ν e V(X) = ν RESULTADO 5: Se as v.a s X, =,,..., são ormas e depedetemete dstrbuídas com méda µ, e varâca, etão a v.a U = EXERCÍCIO 5: a) Prove o resultado ctado a observação ateror. b) Prove o resultado 5. µ ~. 0 () z ~ N ( 0, ) (II) z e ( z z) são depedetes (III) ( z z) ~ COROLÁRIO : Se s = ( ) é a varâca amostral de uma N(µ, ), etão ( ) s U = tem uma dstrbução χ. EXERCÍCIO 6: a) Prove o resultado 6. b) Prove o coroláro do resultado 6. DEF. 8: DISTRIBUIÇÃO I Se a v.a X tem a desdade abao, etão X é defda como uma v.a com dstrbução I com ν e ν graus de lberdade. + Γ ( ) f X ( ) = + > 0 Γ Γ [ + ( ) ] RESULTADO 7: Seja U uma v.a com dstrbução χ com ν graus de lberdade e seja V uma v.a χ com ν graus de lberdade, v.a s depedetes. Etão a v.a X= tem dstrbução I com ν e ν graus de lberdade. COROLÁRIO: Se [X, X,...,X m+ ] é uma a.a. de tamaho m + de uma população N( µ ) e se [Y, Y,..., Y + ] é uma a.a. de tamaho + de uma população, y, y N( µ ) e se as duas amostras são depedetes, etão : m + ( ) + ( U = ~ χ m, V = y y) ~ χ, tal que EXERCÍCIO 7: a) Prove o resultado 7 b) Prove o coroláro do resultado 7. RESULTADO 8: Seja X uma v.a I,, etão : ( + ) E(X) = > e V(X) = ( ) ( 4) EXERCÍCIO 8: Prove o resultado 8. ( ) / m ~ I m,. ( y y) / > 4 U V

6 CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO F ) Dstrbução Assmétrca; ) Depede de m e para sua caracterzação; ) Há uma relação etre t k e F (;k) : t k = F (;k) v) Esperaça e Varâca ( m + ) E[] = ; ( > ) e V[] = ; ( > 4) m( ) ( 4) v) F - (m;) = Fα ( ; m) APLICAÇÕES - Aálse de Varâca (ANOVA) - Teste de Homogeedade de Varâcas DEF.9: DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT A dstrbução "t" estuda os casos de pequeas amostras (<30) e/ou quado se descohece a varâca populacoal ( ). Assm, faz-se ecessáro estmar através da estatístca S, fução da a.a. X ;...;X. O Teorema do Lmte Cetral mostra que a dstrbução amostral da méda tem dstrbução N(µ; /), quado é grade. Logo, a estatístca Z X µ Z = ~ N(0;) Agora, se usarmos a estatístca S e for pequeo, Z ão terá mas dstrbução Normal. Qual será será etão a ova dstrbução? O estatístco W.S.Gosset ("The Probable Error of Mea" Bometrka,.908), sob pseudômo de Studet, obteve uma dstrbução eata para ova estatístca, deotada por "t"de Studet: X µ t = ; S S um estmador mparcal de. Esta dstrbução é defda pela razão etre uma v.a com dstrbução Normal Padrão e Z a raz quadrada de uma v.a com dstrbução Qu-quadrado, ou seja, X =, com Z e U U depedetes. Desta forma X tem dstrbução t de Studet com f.d.p : Γ[( + ) / ] f X ( ) = ( + ) / π Γ + RESULTADO 9: Se Z ~ N(0,) e U ~ χ Z ν e são depedetes, etão X = ~tν. EXERCÍCIO 9: Prove o resultado 9. RESULTADO 0: Se X é uma v.a com dstrbução t ν, etão: E(X) = 0 e V(X) =, >. EXERCÍCIO 0: Prove o resultado 0. Algumas fuções geradoras de mometo (f.g.m.): 0) Normal M (t) = e ( µ. t + ½.. t ) Ν(0;) M (t) = e t = E(e t ) 0) Qu-quadrado M (t) = t 03) t de Studet Não este!! k 04) F de Sedecor Não este!! Outros resultados:, t < ½ ΣBeroull ~Bomal ΣPosso ~Posso (Σ λ) ΣEpoecal ~Gamma (; λ) II SUFICIÊNCIA. INTRODUÇÃO CONCEITO Dada uma população com f.p. ou f.d.p pertecete a classe f = {f X ( ) ; Θ} ode U

7 Θ é o espaço paramétrco, um estmador ou uma estatístca, T = t(x,x,...,x ), pode ser terpretada como o procedmeto destado a retrar da a.a., (X,X,...,X ), formação sobre o valor descohecdo do parâmetro. Esta estatístca estdo, é chamada de sufcete para. Assm uma estatístca sufcete permte um resumo das formações trazdas pela amostra, ou seja, resume os dados sem perder ehuma formação sobre o parâmetro. Portato, cohecda uma estatístca sufcete, os dados da amostra passam a ser rrelevates, pos ada mas dzem sobre, fcaram eaustos quado se calculou a estatístca T sufcete.. DEFINIÇÃO: ESTATÍSTICA SUFICIENTE: Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da população com f.p. ou f.d.p a classe f = {f X ( ); Θ}; uma estatístca T é sufcete para se e somete se a dstrbução de (X, X,..., X ) codcoada por T=t ão depeder de, para qualquer que seja o valor t do domío de T. EXERCÍCIOS : ) Seja [ X, X, X 3 ] uma a.a. de uma população de Beroull com parâmetro. 3 a) A v.a. X é dscreta ou cotíua? Por quê? X ~b(; ) f ( )= ( ) X, Ι (0;) () Dscreta, pos seu domío é um cojuto eumerável fto. b) Qual o espaço amostral da amostra X ; X ;X 3? S = = 3 = 8 S = {(0;0;0); (0;0;);...;(;;)} c) Qual a dstrbução de prob. cojuta de [X ; X ;X 3 ]? ( ) ( ) f X;...; X ( ; ) = f *...* f ( ) = ( ) d) Qual o espaço amostral de? = {: 0 < < }... ( ) = ( ) e) Seja a estatístca T=ΣX, represetado o de sucessos do cojuto de observações. Qual a dstrbução da v.a. T? T= t t t ( ) Prove através da f.g.m. Ber. = M (t) = + (-)e t B.= M (t) = [ + (-)e t ] f) Qual a prob. de ocorrêca do resultado { ; ;...;.} codcoado à T=t? P[X =,..., X = / T = t] P[X/T=t] = P[X = ;...;X = /T=t] = = P[T = t] ( ) t t = t ( ) t g) A Est. T= Σ é sufcete para (estmar)? Como P[/ Σ = t] = SUFICIENTE!! ão depede de, etão T é uma ESTATÍSTICA t ) Na stuação do eercíco ateror, seja T 0 = X + X 3. a) Qual a dstrbução de T? T ~b(; ) b) A estatístca T é sufcete? P[X =,X =,X 3 = 3 / X + X 3 = t] P[/T=t] = = P[T = t] = t ( t ) ( ) ( ) ( ) t t = ( ) t = + t 3 ( + t ) ( ) t t = ( ) t ( ) ; Portato T ão é sufcete! t 3) INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM: Uma máqua produz tes sucessvamete. Cada tem produzdo é bom com probabldade e defetuoso com probabldade -, ode é um parâmetro descohecdo. Supoha que ão há depedêca etre a qualdade dos tes produzdos e seja X = se o -ésmo tem é bom e X = 0 em caso 4

8 cotráro. a) Qual a dstrbução de probabldade da v.a X? b) Qual a dstrbução de probabldade da v.a T = X c) Determe a dstrbução cojuta de X = [X, X,..., X ]. d) Verfque se a estatístca T = X? é sufcete para. 4) No coteto do eercíco, verfque se a estatístca S = X.X + X 3 é sufcete para estmar, segudo a seqüêca de tes segute: a) Qual o cotradomío da v.a S? Relacoe os evetos e o cotradomío de S. b) Calcule P (X =,X =,X 3 = 3 ) para todos os 8 termos [X,X,X 3 ]. Costrua uma tabela que mostre tudo que é peddo. c) Calcule P(S=0), P(S=) e P(S=), ou seja, determe a dstrbução de probabldade de S, P(S=s). Costrua uma tabela que mostre os valores. d) Calcule a dstrbução cojuta de X = [X,X,X 3 ] codcoada a S = s. e) Qual a coclusão que se pode trar sobre S? 5) Seja [X, X,..., X ]uma a.a. de uma população P() ode > 0. Mostre dretamete que X é uma estatístca sufcete para, respodedo os tes : a) A v.a X é dscreta ou cotíua? Por quê? b) Escreva a f.p. da v.a X. c) Escreva a f.p. cojuta para = [X, X,..., X ]. d) Calcule a probabldade cojuta de X, codcoada a T = t. e) O que se coclu sobre T = X. ( = 3 ) ( ) ( ) ( 3 = = = ) = ( ) f, X f,. ~ ~ 3 g( t; ) =.( ) depede da amostra apeas atravé s de t. h( ;...; ) = depede de, assm T é sufcete 0) X ~N(; ), - < < +, cohecdo. f X ( ) = e π Pelo teorema tem-se: ( ) ( ) ( X ) ( X ) * f X ;. e. e ~ ~ π = = = = π Mas Σ(X-) = Σ[(X-X )-( -X )] = Σ[(X-X ) -(X-X )( -X )+( -X ) ]= = Σ(X-X ) -Σ(X-X )( -X )+Σ( -X ) = Σ(X-X ) +( -X ) ( ) * = = [ ( X X ) + ( X ) ] * f X ;. e = g( t; ). h( ;...; ) = ~ ~ π = X é uma estatístca sufcete para. 3.3 TEOREMA DE NEYMAN-FISHER OU TEOREMA DA FATORIZAÇÃO Seja uma a.a. [X, X,...,X ] de uma dstrbução f(;), Θ. A estatístca T(X) é sufcete para se e somete se este fução g(t, ), defda para todo t e para todo Θ, e h(x) defda em R tal que : P(X,) = g(t(x),).h(x) 5 Eemplos: 0) X ~Beroull (); amostra = [,, 3 ]. T=ΣX é sufcete? EXERCÍCIOS: )PROCESSO DE POISSON Supoha que as chegadas de cosumdores em um servço sejam cotadas segudo um Processo de Posso com parâmetro de chegada. Seja X o tempo de espera até a chegada do -ésmo cosumdor. a) Qual a dstrbução do tempo de espera X? b) Escreva de maera formal a f.d.p da v.a X. c) Escreva a f.d.p da v.a X usado a fução dcadora I, que vale quado X > 0 e 0 em caso cotráro (cotradomío de X ). 6

9 d) Qual a fução desdade cojuta da a.a. (X, X,...,X ) da população X ~ E ()? e) Verfque se a estatístca T = Neyma-Fsher. X ) Seja ( X, X,..., X ) a.a. de uma população com f.p. P (). é sufcete para, usado o Teorema de a) Escreva a f.p. da varável aleatóra X. b) Escreva a f.p. da v.a X, usado a fução dcadora I (que descreverá o cotradomío de X). c) Qual a f.p. cojuta da a.a. [ X, X,..., X ]? d) Determe usado o teorema de Neyma-Fscher a estatístca sufcete para. 3) Seja [X, X,..., X ] uma a.a. de uma dstrbução N (0, ), 0 < <. a) Escreva a f.d.p da varável aleatóra X. b) Escreva a f.d.p da v.a X usado a varável dcadora I para o seu domío. c) Qual a fução de desdade cojuta da a.a. [X,X,...,X ]? d) Qual a estatístca sufcete para? 4) Seja [X, X,..., X ] uma a.a. de tamaho de uma dstrbução geométrca com parâmetro, G(). a) Escreva a f.p. da varável aleatóra X. b) Escreva a f.p. da varável aleatóra X, usado a varável dcadora para o seu cotradomío. c) Qual a f.p. cojuta da a.a. (X, X,..., X )? d) Determe a estatístca sufcete para estmar. 5) Seja [X, X,...,X ] uma a.a. de uma dstrbução U [0, ]. a) Escreva a f.d.p da varável aleatóra X. b) Escreva a f.d.p da v.a X usado a varável dcadora I para o seu cotradomío. c) Qual a fução desdade cojuta da a.a. [X,X,...,X ]? d) Determe a estatístca sufcete para. 6) Seja [X,X,...,X ] a.a., ode X é uma v.a..d. N(µ, ), com ambos os parâmetros descohecdos. Seja = [µ, ]. d) Determe usado o T. de Neyma-Fscher a estatístca sufcete para = [µ, ]..4 FAMÍLIA EXPONENCIAL UNIPARAMÉTRICA Uma v.a. em R possu dstrbução da famíla epoecal uparamétrca se a sua f.p. ou f.d.p é da forma f( ) = ep{c()t() + d() + S()}.I A (), ode Θ, tervalo aberto de R e o cojuto A = { f( ) > 0 } é depedete de. EXEMPLO :A dstrbução bomal, b(,), pertece a famíla epoecal, pos : f( ) = ( ) = ep l + l + ( ) l( ) I * N () = ep l + l + l( ) l( ) I * N () f( ) = ep l + l + l( ) I ( ) N f( ) = ep l + l( ) + l I ( ) N d ( ) T ( ) S ( ) EXEMPLO : A dstrbução U [0, ] ão pertece a famíla epoecal, pos : f X () = 0 X f X () = ep{-l} ão correspode a forma de famíla epoecal, uma vez que o lmte a etremdade b depede de. Se [X, X,...,X ] é uma a.a. de uma população com f.p. ou f.d.p da famíla epoecal, etão a estatístca T(X) é uma estatístca sufcete para, pelo Teorema de Fatorzação. EXERCÍCIOS: ) Seja [X, X,...,X ] uma a.a. de uma dstrbução ormal N(µ,) com µ fo e cohecdo. a) Escreva a fução desdade de probabldade cojuta. b) Escreva a f.d.p cojuta a forma da famíla epoecal. c) Idetfque as fuções c(), T(), d() e S(). d) Qual a estatístca sufcete para? ) Supoha [X, X,...,X ] uma a.a. de uma população com uma das segutes desdades. Ache a estatístca sufcete para, com a fo, e detfque c(), T(), d() e S(). 7 a) Escreva a f.d.p da varável aleatóra X. b) Escreva a f.d.p da varável aleatóra X usado a varável dcadora I para o seu cotradomío. c) Qual a fução de desdade cojuta da a.a. (X,X,...,X )? 8 a) Beta(,) b) Webull(,a) c) Paretto (,a)

10 .5 FAMÍLIA EXPONENCIAL K-PARAMÉTRICA A famíla de dstrbuções {P ; Θ} é dta famíla epoecal com k parâmetros ou k-paramétrca, se estem as fuções de valor real c, c,..., c K e d(), e ada T, T,..., T K fuções de varável real, e também S, defdas em R e um cojuto A R tal que a f.d.p (ou f.p.) de P pode ser escrta a forma : K p(,) = ep c ( ) T ( ) + d( ) + S( ) I A ( ) e pelo Teorema da Fatorzação o vetor T() = [T (),..., T K ()] é sufcete para = (,,..., K ). EXERCÍCIOS : ) Seja ( X, X,..., X ) uma a.a. de uma dstrbução N(µ, µ ), ode =. a) Qual o espaço paramétrco do parâmetro? b) Escreva a f.d.p de X. c) Escreva a f.d.p cojuta da amostra. d) Escreva a f.d.p cojuta a forma da famíla epoecal. e) Qual a estatístca sufcete para? α ) Seja (X,X,...,X ) uma a.a. de uma dstrbução Γ(α,β), ode = é o vetor de β parâmetros. a) Qual o espaço paramétrco de? b) Escreva a f.d.p da v.a X. c) Escreva a f.d.p cojuta da amostra. d) Escreva a f.d.p cojuta a forma da famíla epoecal e detfque c (), T (), d() e S(). e) Qual a estatístca sufcete para? III MODELOS PARAMÉTRICOS 3. CONCEITO Quado se usa a desgação paramétrco, o sgfcado do termo é o de que a forma da f.p. ou f.d.p da v.a. fo especfcada a pror e ão é posta em questão. Além dsto tem-se que: as ferêcas dzem respeto a um úmero fto de parâmetros; as ferêcas depedem da forma especfcada para a f.d.p. ou f.p. 3. DEFINIÇÕES a. ) Espaço paramétrco Θ é o cojuto de todos os valores que o parâmetro pode assumr. a. ) Uma parametrzação é chamada detfcável quado para parâmetros dferetes tem-se f.d.p s ou f.p s dferetes ou seja para tem-se P P. EXEMPLO No modelo X ~ N(, ), o parâmetro possu o espaço paramétrco Θ = { R}. EXEMPLO O modelo X ~ N(µ, ) tem o parâmetro = [µ, ] com espaço paramétrco Θ = {(µ, ) < µ <, > 0} EXERCÍCIOS ) Uma geólogo mede os dâmetros de um grade úmero,, de seos em um leto de um racho. Cosderações teórcas o coduz a acredtar que o logartmo do dâmetro da pedra possu dstrbução N(µ, ). Ele deseja usar suas observações para obter alguma formação sobre µ e, mas ão tem cohecmeto ehum da magtude dos dos parâmetros. a) Escreva se o modelo a ser usado pelo geólogo é paramétrco ou ão e o porquê. b) Escreva o espaço paramétrco do parâmetro = (µ, ). c) Sabedo-se que uma parametrzação é chamada de detfcável quado para tem-se f(, ) f(, ), escreva se a parametrzação do modelo é detfcável. 9 ) Seja [X, X,...,X ] determações de uma costate µ (físca). Um modelo sugerdo para a v.a. X é X = µ+ε, =,,...,, ode ε pode ser cosderado como erro de medda (strumeto, pessoa, etc.). A costate físca é cohecda a Físca como o verdadero valor. As codções para ε são : ª) A dstrbução de ε é depedete de µ ; ª) A dstrbução de ε é smétrca e cotíua em toro de 0 ; 3ª) Os ε são detcamete dstrbuídos ; 4ª) ε é depedete de ε j para j ; 0

11 5ª) ε ~ N(0, ); 6ª) é cohecda (varâca da população). Pede-se: a) O modelo é paramétrco? b) A parametrzação é detfcável? c) Supodo que o strumeto de medda seja vcado para o lado postvo por 0,. A parametrzação é detfcável? d) Supodo que o strumeto de medda seja vcado, mas com víco b descohecdo. O modelo é detfcável? e) Qual o espaço paramétrco de, descosderado as suposções dos tes c e d ; descosderado somete o tem d e ão descosderado tem ehum? 3) O úmero de ovos postos por um seto segue uma dstrbução de Posso com meda λ descohecda. Uma vez botado, cada ovo tem uma chace descohecda p de chocar e o ato de chocar um ovo é depedete do chocameto dos outros. Um etomologsta estuda o cojuto de de tas setos, observado ambos o úmero de ovos botados o úmero de ovos chocados para cada ho. a) modelo é paramétrco, por quê? b) Escreva o espaço paramétrco do parâmetro (λ,p). c) A parametrzação é detfcável? d) Qual a epressão da fução dstrbução de probabldade correspodete a cada uma das v.a s evolvdas o estudo? IV ESTIMAÇÃO 4. ESTIMAÇÃO POR PONTO A estmação potual (por poto) cosstrá smplesmete em, à falta de melhor formação, adotar a estmatva dspoível como sedo o valor do parâmetro. A déa é, em sua essêca, etremamete smples, porém a qualdade dos resultados rá depeder fudametalmete da coveete escolha do estmador. Assm, detre os város estmadores razoáves que poderemos magar para um determado parâmetro, devemos ter a preocupação de escolher aquele que melhor satsfaça às propredades de um bom estmador. Cosdere a famíla das f.d.p. ou f.p. {f X (,) Θ}. Pode ocorrer do epermetador ecesstar selecoar um membro desta famíla como sedo a f.d.p. ou f.p. da varável aleatóra X. Isto é, ele ecessta de uma estmatva por poto do parâmetro. Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da dstrbução que tem como f.d.p. (f.p.) um membro da famíla {f X (,) Θ}. Nosso problema é defr uma estatístca T(X) de maera que [X, X,...,X ] são os valores epermetas observados, etão o úmero T(X) é uma boa estmatva potual de. EXEMPLO : Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da dstrbução com f.d.p.. f ( ) = ( ) = 0, A estmatva T(X) = = é um bom estmador do parâmetro. 4.- PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES PARAMÉTRICOS 4..- Cosstêca DEF. Um estmador T (X) é cosstete para estmar o parâmetro quado, a medda que, se aumeta o tamaho da a.a., cosegue-se uma maor precsão a estmatva ou seja, para T (X) = T(,,..., ) e um ε, real postvo arbtraramete pequeo, > tem-se P(-ε < T < +ε)>p(-ε < T < -ε). Assm um estmador T (X) é dto cosstete se, DESIGUALDADE DE TCHEBYCHEV V ( X ) P[ X E(X) λ] λ V ( X ) P[ X E(X) < λ] - λ lm P( T - < ε)= ε > 0 λ > 0 λ > 0 EXERCÍCIO : Prove que a méda amostral,, de uma a.a. de uma população (dstrbução) com méda µ e varâca é estmador cosstete do parâmetro µ.. TEOREMA DAS CONDIÇÕES PARA CONSISTÊNCIA DE UM ESTIMADOR As codções geras para cosstêca de um estmador são: lm E[T (X)] = lm V[T (X)] = 0 são sufcetes para que a estatístca T () seja estmador cosstete do parâmetro. EXERCÍCIO Verfque aplcado as codções dadas o teorema ateror e também o coceto de covergêca em probabldade se os estmadores segutes são cosstetes. a) X ~ N(µ, ), T (X) = como estmador de µ (parâmetro méda populacoal) b) X ~ N(µ, ), T (X) = s = populacoal). ( ) como estmador de (parâmetro varâca

12 c) X ~R( ) Dstrbução Rayleg, T () = d) X~ Γ(4,/), T () = Estmadores Não-vcados como estmador de. para o parâmetro DEF. : Quado estmamos o parâmetro ou uma fução do parâmetro, q(), usado como estmador a estatístca T(X), ode X = [X, X,...,X ] é uma a.a., temos que uma medda do desempeho do estmador pode ser dada pelo erro médo quadrátco: R(,T) = E[T(X) q()] Que pode ser colocada a forma R(,T) = V(T(X)) + b (,T), ode b (,T) é o quadrado do víco do estmador para o parâmetro. EXERCÍCIO 3 Prove que o erro médo quadrátco, defdo acma como a esperaça do quadrado do desvo da estatístca em relação ao parâmetro, pode ser decomposto a forma acma especfcada. É mportate observar que: A varâca V(T(X)) mede como os valores de T(X) estão dspersos em toro do cetro E(T(X)), sto defe a precsão da estatístca. O víco b(t,) = E(T(X) q() mede quato e em qual dreção o cetro da dstrbução de T(X) (valor esperado) está fora do verdadero valor q(), sto defe a acuráca da estatístca. DEF. 3 Se a estatístca T(X) que estma o parâmetro q() é tal que R(,T) = V(T(X)), etão T(X) é chamado de estmador ão vcado de q(). DEF. 4 Dados os estmadores T(X) e S(X) do parâmetro q(), S(X) será estmador admssível de q() se R(,T) < R(,S) Θ. EXERCÍCIO 4: Supoha que X seja uma a.a. de tamaho de uma população N(µ, ) e cosdere os estmadores dos parâmetros µ e, respectvamete e ˆ = a) Calcule o valor da esperaça e varâca de. b) Calcule o víco e o erro médo quadrátco de. c) Calcule o valor da esperaça e varâca de ˆ. d) Calcule o víco e o erro médo quadrátco de ˆ. ( ). EXERCÍCIO 5: Supoha que [X,X,...,X ] seja uma a.a. de uma população P(). a) Verfque se o estmador do parâmetro é ão vcado. b) Este algum outro estmador ão vcado para? Qual? EXERCÍCIO 6: Supoha que [X,X,...,X ] seja uma a.a. de uma população b(,). a) Verfque se o estmador do parâmetro (proporção de sucessos) é ão-vcado. b) Verfque se o estmador s = 4 populacoal) é ão-vcado. ( ) do parâmetro = (-) (varâca EXERCÍCIO 7: Supoha que [X,X,...,X ] seja uma a.a. de uma população N(µ, ). Determe um estmador sufcete, ão-vcado e cosstete para cada um dos parâmetros µ e (cosdere os casos de µ cohecdo ou ão). EXERCÍCIO 8: Supoha que [Y,Y,...,Y ] seja uma a.a. de uma população b(,). Determe um estmador sufcete, ão-vcado e cosstete para cada um dos parâmetros µ = e = (-) que correspodem a méda e a varâca da v.a. Y que cota o úmero de sucessos essas provas Beroull. OBS. Uma propredade fudametal dos estmadores é a sufcêca que fo abordada aterormete e outra fudametal é a da efcêca ou varâca míma que será vsta adate. EXERCÍCIO 9: Descreva as quatro propredades fudametas dos estmadores: sufcêca, cosstêca, ão-tedecosdade e efcêca (estmador de varâca míma). 4.3 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO A evolução da Estatístca através do tempo provocou o aparecmeto de váras metodologas para costrução de estmadores de parâmetros Método da Máma Verossmlhaça (Fsher) Este método fo desevolvdo por Fsher a partr de uma déa orgal de Gauss. Seja a a.a. X = [X,X,...,X ] de uma população (dstrbução), com X..d., e com f.p. ou f.d.p. pertecete a famíla p(,) Θ e se deseja estmar o parâmetro. A fução cojuta p(x,) represeta a probabldade (ou a f.d.p.) de ocorrer o vetor X = [X,X,...,X ], quado o valor do parâmetro é. Assm poderíamos far a amostra X e procurar o valor de que mamza a probabldade de ocorrer esta amostra X.

13 DEF. 5: O estmador ˆ (X) é o estmador de máma verossmlhaça (EMV) de, quado p[x, ˆ (X)] = ma p(x,) Θ. EXEMPLO Supoha que pode assumr os valores ou 0 e que p(,) é dada pelo quadro abao: 0 0 0,3 0,6 0,7 0,4,0,0 O estmador EMV de quado = 0 é ˆ () =, porque mamza a probabldade de = 0 ocorrer (0,6); O estmador EMV de quado = é ˆ () = 0, porque mamza a probabldade de = ocorrer (0,7). DEF.6: FUNÇÃO DE VEROSSIMILHANÇA A fução p(,x) é chamada de fução de verossmlhaça quado a fução da dstrbução famos o valor de X e fazemos varar, de forma que L(X,ˆ (X)) = p(x,ˆ (X)) = ma{p(x,ˆ (X); Θ} = L(X,ˆ (X,)). CÁLCULO DO ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA Para determar o EMV do parâmetro basta achar o valor de que mamza a fução p(x,), fado X. Como a fução (p(x,)) é ão decrescete (moótoa crescete), mamzar p(x,) é o mesmo que mamzar [p(x,)]. Assm, se o EMV ˆ este, [ p(, )] deve verfcar = 0, uma vez que se supõe que esta dervada parcal em relação a. EXERCÍCIO 9 Seja X = [X,X,...,X ] uma a.a. de uma dstrbução b(,). a) Escreva a f.p. da v.a. X ; b) Escreva a dstrbução (cojuta) da amostra; c) Escreva a fução de verossmlhaça da a.a.; d) Qual o valor de que mamza a fução de verossmlhaça? OBS. Nem sempre é possível achar o EMV por dervada, etão temos que aalsar a fução (fução ão-crescete). EXERCÍCIO 0 Seja a v.a. X ~ U(0,), ode é um parâmetro postvo e descohecdo. Determe o EMV de. EXERCÍCIO : Seja X o úmero de cosumdores que chegam em um Servço e que são observados por hora, em horas. Se as chegadas formam um Processo de Posso, etão X ~ P(), ode represeta o úmero esperado de chegadas em uma hora ou equvaletemete, a taa 5 de chegadas. Na prátca é descohecdo e ós desejamos estma-lo, usado os valores observados de X (amostra). Determe o EMV de. EXERCÍCIO Seja X uma característca físca de teresse que segue a dstrbução N(µ, ). Supoha que ão se cohece os parâmetros µ e, e se deseja estma-los com base o cojuto de observações X = [X,X,...,X ]. Determe os estmadores EMV destes parâmetros Métodos dos Mometos (K. Pearso) Seja uma a.a. X = [X,X,...,X ] de uma população com f.p. ou f.d.p. depededo de k parâmetros,,... k. Os mometos ordáros da população m j = j f (,,,... k )d, se estrem, são fuções dos k parâmetros m j = f(,,... k ) j =,,3,... Cosdere, também, os mometos ordáros da amostra, M j = forme o sstema de equações: M j = m j = f(,,... k ) j =,,3,... 6 j j =,,3,..., e admta que tem solução úca, ˆ j (X,X,..., X ) j =,,3,...,k. Etão, estes k estmadores, solução do sstema de equações, são os estmadores dos parâmetros pelo Método dos Mometos. OBS. Os estmadores obtdos pelo Método dos Mometos são em geral cosstetes e possuem dstrbução asstótca Gaussaa, porém ão são asstotcamete mas efcetes do que os estmadores de máma verossmlhaça. EXERCÍCIO 3: Seja X = [X,X,...,X ] amostra aleatóra de uma população Beroull, b(,). Determe o estmador de pelo Método dos Mometos. EXERCÍCIO 4 Seja X = [X,X,...,X ] amostra aleatóra de uma população Γ(α,β). Determe os estmadores dos parâmetros pelo Método dos Mometos. EXERCÍCIO 5 Cosdere sstemas com tempos de falha X = [X,X,...,X ]. Assumdo que as v.a s X são..d. com dstrbução ε(), determe: a) O estmador de pelo Método dos Mometos; b) Um estmador de dferete do ateror; c) Um estmador da probabldade P(X > ); d) Um estmador da probabldade P(X <).

14 Método dos Mímos Quadrados (Gauss) Toda observação aleatóra pode ser escrta a forma do modelo Y = g (,,..., k ) + ε =,,...,, ode a prmera parcela correspode a parte sstemátca do modelo e a seguda parcela é a parte estocástca. As fuções g são cohecdas e os úmeros reas,,..., k são descohecdos (parâmetros), podedo varar lvremete o cojuto Θ R k. A parte estocástca ε deve satsfazer pelo meos apromadamete as segutes restrções: ε é uma v.a. com E(ε ) = 0 =,,... ε é uma v.a. com varâca costate V(ε ) = =,,..., Os erros ε são ão-correlacoados, cov(ε, εj) = 0. O método cosste em estmar pelo estmador que mmza a Soma dos Quadrados do Erros (resíduos): SQR = ( Y - g (,,..., k )) = ε Os estmadores de mímos quadrados são obtdos resolvedo o sstema de equações: [ y g ( )] = 0 j =,,...,k Estas equações são deomadas de equações ormas. EXERCÍCIO 6 Seja o modelo lear especfcado por Y = + X + ε Determar os estmadores de mímos quadrados dos parâmetros e, com base em observações (Y, X ). EXERCÍCIO 7 Resolver o eercíco ateror cosderado um modelo geérco com p parâmetros e > p observações. Assuma o tratameto matrcal. EXERCÍCIO 8 Foram tomadas = 9 amostras de um solo (cateros) que foram tratadas com dferetes quatdades X de fósforo. Seja Y a quatdade de fósforo presete em semetes de platas, de 38 das, crescdas os dferetes cateros. Os dados estão abao. a) Determe as estmatvas dos parâmetros e da reta de mímos quadrados com que se pretede fazer a regressão de Y para X; b) Determe a estmatva de máma verossmlhaça do coefcete de correlação ρ que mede a assocação etre X e Y, assumdo que Y e X têm dstrbução Gaussaas. c) Desehe um esboço do Dagrama de Dspersão etre X e Y. 4.4 ESTIMADORES NÃO-VICIADOS UNIFORMEMENTE DE MÍNIMA VARIÂNCIA (UMVU) E INTERVALOS DE CONFIANÇA 4.4. Estatístcas Completas A uma estatístca T (X), ós podemos acrescetar ao coceto de sufcêca (devdo a Fsher) o coceto de complettude (devdo a Lehma e Scheffé) e afrmar que ela é uma estatístca ótma. DEF.7: Famíla completa de desdades: Seja [X,X,...,X ] uma a.a. da desdade f(.,) com espaço paramétrco Θ, e seja T = t(x) uma estatístca. A famíla de desdades de T é defda como completa se e somete se E [z(t)] 0 Θ mplca em P [z(t)=0] = Θ, ode z(t) é uma estatístca. E, também, uma estatístca é dta ser completa se e somete se sua famíla de desdades é completa. DEF.8: Uma estatístca T (X) é dta ser completa se a fução de valor real g(t (X)) = g(t) defda a varação de T que satsfaz a equação E [g(t)] = 0 Θ é a fução g(t) = 0. EXEMPLO: Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma dstrbução Beroull, b(,). A estatístca T = X X ão é completa, pos E [X -X ] = 0 Θ, mas X X ão é 0 com probabldade. EXERCÍCIO 9 a) Cosdere o eemplo ateror e a estatístca T = X. Seja z(t) uma estatístca que é fução de T e E [z(t)] 0 Θ. Prove que T é completa, mostrado que z(t) = 0 para t = 0,,...,. b) Seja [X,X,...,X ] uma a.a. da dstrbução U(0,), ode Θ = { > 0}. Mostre que a estatístca Y () é completa. TEOREMA DE RAO-BLACKWELL Seja [X,X,...,X ] uma a.a. da desdade f(.,), e seja S = s (X), S = s (X),...,S k = s k (X) um cojuto de estatístcas cojutamete sufcetes. Seja a estatístca T = t(x) um estmador ão-vcado de q(). Defa T por T = E[T S,S,...,S k ], etão: T é uma estatístca e é uma fução de estatístcas sufcetes S,S,... S k ; E [T ] = q(), sto é T é um estmador ão-vcado de q(); V [T ] < V(T) Θ e V [T ] < V(T) para algum a meos que T seja gual a T com probabldade. EXERCÍCIO 0 Prove o resultado eucado acma. 7 8

15 EXERCÍCIO Seja [X,X,...,X ] uma a.a. da desdade Beroull, b(,). E, seja X um estmador de q()= que será assumdo como T = t(x) o Teorema de Rao-Blackwell. estatístca sufcete para, assm usar-se-á S = X X é uma como o cojuto de estatístcas sufcetes (de um elemeto). Etão, de acordo com o Teorema de Rao-Blackwell T = E[T S] = E[X X ] é um estmador ão-vcado de com varâca ão maor do que a de T = X. Mostre que a varâca de T é meor que a varâca de T = X. TEOREMA DA FAMÍLIA EXPONENCIAL PARA ESTATÍSTICAS SUFICIENTES E COMPLETAS Seja {P Θ} uma famíla epoecal k-paramétrca dada por p(,) = {ep[ c ( ) T ( ) + d( ) S( )]} I ( ). Supoha que a varação de c = [c (),c (),... + A,c k ()] teha um teror ão-vazo. Etão T() = [T (), T (),...,T k ()] é uma estatístca sufcete e completa. EXERCÍCIO Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma população N(µ, ) ode os parâmetros são descohecdos. Mostre que a estatístca T() = [ 4.4. Estmadores UMVU TEOREMA DE LEHMANN-SCHEFFÉ X, X ] é sufcete e completa. Se T(X) é uma estatístca sufcete e completa e S(X) é um estmador ão-vcado de q(), etão T * (X) = E[S(X) T(X)] é um estmador UMVU de q(). Se V (T * (X) < Θ, T * (X) é o úco estmador UMVU de q(). Podemos usar o Teorema de Lehma-Scheffé a busca de estmadores UMVU de dos modos: Se ós podemos achar uma estatístca uma estatístca da forma h[t(x)] tal que h[t(x)] seja um estmador ão-vcado de q(), etão h[t(x)] é UMVU para q(). Porquê, sto é verdade? Se ós podemos achar algum estmador ão-vcado S(X) de q(), etão E[S(X) T(X)] é UMVU para q(). EXERCÍCIO 3 Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma população N(µ, ) ode os parâmetros são descohecdos. Determe os estmadores UMVU de µ e. EXERCÍCIO 4 Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma população ε() ode o parâmetro é descohecdo. a) Escreva a f.d.p da v.a. X ; b) Escreva a f.d.p. da v.a. X a forma da famíla epoecal; c) Escreva a f.d.p. da a.a. ; d) Escreva a f.d.p. da a.a. a forma da famíla epoecal; e) Idetfque alguma estatístca sufcete e completa para estmar ; f) Determe um estmador UMVU para. EXERCÍCIO 5 Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de dcadores de provas bomas com probabldade de sucesso. a) Escreva a f.d.p da v.a. X ; b) Escreva a f.d.p. da v.a. X a forma da famíla epoecal; c) Escreva a f.d.p. da a.a. ; d) Escreva a f.d.p. da a.a. a forma da famíla epoecal; e) Idetfque alguma estatístca sufcete e completa para estmar ; f) Determe um estmador UMVU para. EXERCÍCIO 6 Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma população P() com > 0. a) Escreva a f.d.p da v.a. X ; b) Escreva a f.d.p. da v.a. X a forma da famíla epoecal; c) Escreva a f.d.p. da a.a. ; d) Escreva a f.d.p. da a.a. a forma da famíla epoecal; e) Idetfque alguma estatístca sufcete e completa para estmar ; f) Determe um estmador UMVU para. 9 30