16/03/2014. IV. Juros: taxa efetiva, equivalente e proporcional. IV.1 Taxa efetiva. IV.2 Taxas proporcionais. Definição:

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1 6// IV. Juros: taxa efetva, equvalete e proporcoal Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora IV. Taxa efetva Defção: É a taxa de juros em que a udade referecal de seu tempo cocde com a udade de tempo dos períodos de captalzação % a.m., captalzados mesalmete % a.t., captalzados trmestralmete % a.a., captalzados aualmete Portato, a taxa efetva é aquela que almeta os cálculos faceros da HPC e das fuções faceras do excel Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora IV. Taxas proporcoas Defção: ão taxas referecadas em udades de tempo dferetes que, ao serem aplcadas a um mesmo prcpal durate um mesmo prazo, produzem um motate acumulado o fal daquele prazo (o regme de juros smples) Coceto lgado ao regme de juros smples % ao ao 6% ao semestre % ao mês Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora

2 6// IV. Taxas equvaletes Defção: ão taxas referecadas em udades de tempo dferetes que, ao serem aplcadas a um mesmo prcpal durate um mesmo prazo, produzem um motate acumulado o fal daquele prazo (o regme de juros compostos) Coceto lgado ao regme de juros compostos % ao ao 5,8% ao semestre,989% ao mês Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 5 IV. Taxa omal Defção: É a taxa de juros em que a udade referecal de seu tempo ão cocde com a udade de tempo dos períodos de captalzação. Normalmete a taxa omal é referecada em percetuas ao ao Para utlzação em cálculos, precsa ser covertda para uma taxa efetva (proporcoal) % ao ao, captalzados mesalmete % ao ao, captalzados semestralmete 8% ao ao, captalzados daramete Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 6 IV. Taxa omal Potos de ateção: A taxa efetva mplícta de uma taxa omal é uma taxa proporcoal A taxa aual equvalete a uma taxa efetva mplícta é sempre maor que a taxa omal que lhe deu orgem Por que? Equvalêca é feta o regme de juros compostos Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 7

3 6// V. éres uformes de pagameto Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 8 V. : dedução da expressão geérca Prestação: $., Prazo: aos Taxa de juros: 8,% a.a. $.59,7 $ $ $ $ $.66, $.8,? $.56, Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 9 V. : dedução da expressão geérca Retorado ao exemplo ateror pmt pmt pmt pmt pmt $ (, $ (, $ (, $ ( ) pmt pmt pmt Resolvedo a expressão acma: pmt pmt $ (, $ (, $ (, $ (, pmt pmt $ (, (, (, Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 5

4 6// V. : dedução da expressão geérca Dada uma sére uforme geérca de quatro períodos, descobrr o valor futuro? pmt pmt pmt pmt pmt ( ) pmt ( ) ( ) ( ) pmt pmt Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 5 V. : dedução da expressão geérca Dada uma sére uforme geérca de quatro períodos, descobrr o valor futuro ( ) pmt pmt ( ) Como resolver essa expressão etre colchetes? Represeta uma progressão geométrca A razão etre cada um dos termos (q) = (+) Utlzar a fórmula para a soma de PG fta pmt ( ) ( ) pmt ( ) ( ) ( ) Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 5 V. : dedução da expressão geérca Fórmula geral para a soma de uma PG fta: a q q Ode: : é a soma de uma PG fta a : é o prmero termo da PG q: é a razão etre os termos da PG Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 5

5 6// V. : dedução da expressão geérca Trazedo para osso exemplo: ( ) ( ) ( ) Ode: a = q= (+) Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 5 V. : dedução da expressão geérca Trazedo para osso exemplo, com () = : a q q ( ) Assm:, 8 $, 8 $. 56, Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 55 V. PV: dedução da expressão geérca Prestação: $., Prazo: aos Taxa de juros: 8,% a.a. $79,8 $857, $95,9? $., $75, $ $ $ $ Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 56 5

6 6// V. PV: dedução da expressão geérca Retorado ao exemplo ateror pmt pmt pmt pmt pmt $ (, $ (, pmt pmt Resolvedo a expressão acma: $ (, $ (, pmt pmt pmt pmt $ (, (, (, (, Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 57 pmt $ $ $ $ (, (, (, (, V. PV: dedução da expressão geérca Dada uma sére uforme geérca de quatro períodos, descobrr o valor presete pmt ( ) pmt ( ) pmt ( ) pmt ( ) pmt pmt pmt pmt Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 58 V. VP: dedução da expressão geérca Dada uma sére uforme geérca de quatro períodos, descobrr o valor futuro VP VP VP ( ) pmt PV ( ) VP ( ) pmt ( ) VP ( ) VP ( ) Como resolver essa expressão etre colchetes? Represeta uma progressão geométrca ( ) ( ) A razão etre cada um dos termos (q) = /(+) Utlzar a fórmula para a soma de uma PG fta pmt pmt Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 59 6

7 6// 7 Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 6 Fórmula geral para a soma de uma PG fta: Ode: : é a soma de uma PG fta a : é o prmero termo da PG q: é a razão etre os termos da PG V. PV: dedução da expressão geérca q q a Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 6 Trazedo para osso exemplo: Ode: a = /(+) q= (+) V. VP: dedução da expressão geérca ) ( ) ( ) ( ) ( PV Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 6 Trazedo para osso exemplo: Assm: V. VP: dedução da expressão geérca q q a ) ( 8 8 8,. $,,, $ VP VP

8 6// V. : dado PV ou Dado o valor de VP Basta solar a expressão abaxo: VP VP Dado o valor de VF Basta solar a expressão abaxo: Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 6 V. - Perpetudades Como realzar os cálculos se temos prestações que tedem ao fto? Retomado a fórmula básca: VP VP VP ( ) pmt PV ( ) VP ( ) pmt ( ) VP ( ) pmt VP ( ) ( ) pmt ( ) Agora temos uma PG fta Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 6 V. - Perpetudades Fórmula geral para a soma de uma PG fta: a q Ode: : é a soma de uma PG fta a : é o prmero termo da PG q: é a razão etre os termos da PG Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 65 8

9 6// V. - Perpetudades Trazedo para osso exemplo: PV ( ) ( ) ( ) ( ) Ode: a = /(+) q: /(+) Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 66 V. - Perpetudades Trazedo para osso exemplo: a q ( ) ( ) ( ) Assm: PV Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 67 V. - Perpetudades Com base a fórmula ateror, a prestação de uma perpetudade pode ser faclmete dervada: PV Observação: À medda que () aumeta muto, o valor das prestações perdem mportâca e tedem a zero Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 68 9

10 6// VI. Valor Presete Líqudo e Taxa Itera de Retoro Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 69 VI. Recordado VP e taxa de descoto Defção VP: É o valor moetáro de um fluxo de caxa o poto zero, que é equvalete à soma das parcelas futuras descotadas a uma determada taxa de juros Cocetos que se terlgam Valor Presete Taxa de Descoto Equvalêca de Fluxos de Caxa Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 7 VI. Recordado VP e taxa de descoto EXEMPLO: Calcule o valor presete do fluxo de caxa dcado abaxo, com uma taxa de juros de 8% a.a., o regme de juros compostos $ $ $ $ Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 7

11 6// VI. Recordado VP e taxa de descoto EXEMPLO: Calcule o valor presete do fluxo de caxa dcado abaxo, com uma taxa de juros de 8% a.a., o regme de juros compostos VP VP VP, 8 $, 8, 8 $. 577, VF VP J $ VP $. 5, 9, 8 $ $ $ $ Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 7 VI. Recordado VP e taxa de descoto VP=VP +VP VP=$.577,+.5,9 VP=$.78,9 Este valor é equvalete às parcelas futuras do fluxo de caxa, dada a taxa de descoto de 8% a.a. Do poto de vsta do facador, se ele acetar uma remueração de 8% a.a., cocordará em fazer um vestmeto cal de $.78,9 para receber três parcelas de $., o fal dos próxmos três aos e mas uma parcela de $., ao fal do quarto ao Do poto de vsta do facado, se ele aceta pagar três parcelas de $., o fal dos próxmos três aos e mas uma parcela de $., ao fal do quarto ao e receber $.78,9 calmete, cocorda em remuerar o facador a uma taxa de 8% a.a. Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 7 VI. Recordado VP e taxa de descoto EXEMPLO : Calcule o valor presete do fluxo de caxa dcado abaxo, com uma taxa de juros de % a.a., o regme de juros compostos $ $ $ $ $ $ 5 6 Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 7

12 6// VI. Recordado VP e taxa de descoto EXEMPLO : Calcule o valor presete do fluxo de caxa dcado abaxo, com uma taxa de juros de % a.a., o regme de juros compostos VP VP VP 6, $ 6,, $ 579, 55 VP VP VP, $,, $ 9, $ $ $ $ $ $ $ $ $ Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 75 VI. Recordado VP e taxa de descoto Alteratvamete, podemos descotar o fluxo dvdualmete: Juros Compostos - Coveção de Fal de Período PV Tpo,, 98,, -,,, 96,6, -,,, 9,, -,,, 96,, -, 5,, 95,5, -, 6,, 9,, -, oma 87,65 Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 76 Defção VPL: É o valor moetáro das parcelas futuras de um fluxo de caxa deduzdo do vestmeto cal (poto zero ) O VPL é gual a zero quado o VP de um fluxo de caxa se guala ao vestmeto cal (desembolso) Defção TIR: VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) É a taxa de descoto que faz o valor presete líqudo de um fluxo se gualar a zero Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 77

13 6// VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) EXEMPLO: um vestmeto cal de $ gera o fluxo de caxa abaco. upodo que o vestdor deseje uma remueração míma de 8% a.a., vale à pea realzar o vestmeto? (-$) (+$) O vestdor está pagado $ pelo dreto de receber $ daqu a dos aos Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 78 PV=$,7 (-$) VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) (+$) VF VP J $ VP $, 7, 8 Passos: a) calcular o VP do fluxo futuro b) comparar com o desembolso cal (vestmeto) Quas as cosequêcas de um VP do fluxo de caxa dferete do vestmeto cal? Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 79 VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) Cosderações sobre os resultados: A parcela $,7 o poto zero é equvalete à gradeza futura $ o fal do segudo ao (a 8% a.a.) Tato faz receber $,7 o poto zero, como receber $ o fal do segudo ao Quem vestr $,7 para receber $ ao fal do segudo ao, está fazedo um vestmeto que remuera 8% a.a. Como o vestmeto cal fo de $, podemos dzer que esse vestmeto está sedo remuerado a taxa superor a 8% O VPL desse fluxo de caxa é de +$,7 Como o VPL é postvo, podemos também afrmar que a taxa de retoro do vestmeto é superor à TIR Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 8

14 6// VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) Avalação alteratva do fluxo $ captalzado a 8% a.a. forecerá um VF de $6,6, o que dá uma dfereça de $,6 para $ $,7 o presete ou $,6 o futuro são equvaletes O vestmeto de $ gerou, ao fal do segudo ao, um excedete (aos 8% a.a.) de redmeto de $,6 Esse redmeto excedete equvale a uma remueração adcoal de,78% além do esperado Essa remueração adcoal pode ser calculada de váras formas: $,78/$ =,78,78% $,6/$6,6 =,78,78% $/$6,6 =,78,78% adcoal Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 8 VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) EXEMPLO: um vestmeto cal de $ gera o fluxo de caxa abaxo. upodo que o vestdor deseje uma remueração míma de % a.a., vale à pea realzar o vestmeto? (-$) (+$) O vestdor está pagado $ pelo dreto de receber $ daqu a dos aos Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 8 PV=$96,6 (-$) VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) (+$) VF VP J $ VP $ 96, 6, Passos: a) calcular o VP do fluxo futuro b) comparar com o desembolso cal (vestmeto) Quas as cosequêcas de um VP do fluxo de caxa dferete do vestmeto cal? Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 8

15 6// VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) Cosderações sobre os resultados: A parcela $96,6 o poto zero é equvalete à gradeza futura $ o fal do segudo ao (a % a.a.) Tato faz receber $96,6 o poto zero, como receber $ o fal do segudo ao Quem vestr $96,6 para receber $ ao fal do segudo ao, está fazedo um vestmeto que remuera a % a.a. Como o vestmeto cal fo de $, podemos dzer que esse vestmeto está sedo remuerado a taxa feror a % O VPL desse fluxo de caxa é de $-,5 Como o VPL é egatvo, podemos também afrmar que a taxa de retoro do vestmeto é feror à TIR Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 8 VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) Avalação alteratva do fluxo $ captalzado a % a.a. forecerá um VF de $5,, o que dá uma dfereça de $-, para $ -$,5 o presete ou -$, o futuro são equvaletes O vestmeto de $ gerou, ao fal do segudo ao, um defct (aos % a.a.) de redmeto de $, Esse defct de redmeto equvale a uma remueração adcoal de -,5% aquem do esperado Esse defct de remueração pode ser calculado de váras formas: -$,5/$ = -,5 -,5% $-,/$5, = -,5 -,5% $/$6,6 =,966 -,5% adcoal Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 85 VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) Dos dos exemplos aterores podemos coclur que a taxa de juros (ou de descoto) que zera o VPL deve estar etre 8% e %. Em outros termos, a TIR deve estar etre 8% e % PV=$ (-$) (+$) Vamos tetar uma taxa de descoto de %? VF VP J $ VP $, VPL = TIR = % Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 86 5

16 6// VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) Equação geérca para a TIR: Codção essecal: VPL tem que se gualar a zero VPL VP VP Ode chamamos de a aplcação ou vestmeto cal Lembrar que o VP pode vr de um valor futuro (VF) ou de um fluxo de prestações () Temos etão que ecotrar qual taxa de juros (ou de descoto) que atede à codção acma Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 87 VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) TIR para um VF TIR para um fluxo de Aqu a solução é complexa VP TIR ( ) VP TIR ( ) Temos a taxa de juros os dos lados olução requer métodos computacoas Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 88 VI. Valor Presete Líqudo (VPL) e Taxa Itera de Retoro (TIR) Como calcular a TIR para o fluxo de caxa apresetado abaxo? $5 ó com programas computacoas para os ajudar $8 $5 $ $ $ $5 $5 $5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 89 6

17 6// Equação geérca para a TIR: VI. VPL e TIR para séres ão uformes Codção essecal: VPL tem que se gualar a zero VPL Chamado /(+) = x VPL x x x x VPL x x x x A solução é ecotrar as () raízes da equação acma e escolher as que possuem setdo ecoômco O valor dessa raz será a TIR Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 9 Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 9 Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora 9 7