3 Análises Probabilísticas de Estabilidade

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1 3 Aálses Probablístcas de Establdade 3.1 Itrodução Para facltar o etedmeto das metodologas de aálse de cofabldade serão apresetados este capítulo algus cocetos báscos de probabldade e estatístca. 3. Cocetos de Estatístca 3..1 Defções Geras O objeto da aálse estatístca é deomado de Uverso. No caso do estudo da establdade de um talude, o uverso sera costtuído por todos os parâmetros evolvdos que de alguma forma estvessem lgados dreta ou dretamete ao coefcete de seguraça cotra a ruptura. O cojuto de todos os valores possíves de serem meddos com uma mesma característca é a População. No exemplo da aálse de establdade de um talude, o âgulo de atrto, a coesão, o ível de água, a desdade atural do solo etre outros seram as populações que compõem o uverso. As udades de amostragem são os valores atrbuídos para a população estudada. No caso da população "peso específco", cada determação correspode a uma udade de amostragem. Uma amostra de uma população é costtuída de váras udades de amostragem.

2 41 Uma amostragem aleatóra é um processo de escolha de determado úmero de udades de amostragem de uma população, efetuado de tal maera que qualquer udade teha a mesma oportudade de ser escolhda. 3.. Tedêca Cetral Se forem realzadas váras séres de determações com "" úmeros de meddas aleatóras de uma mesma população, o caso do peso específco de um solo, pode-se calcular a méda artmétca para cada sére de meddas, de acordo com a Equação 7: ode: x X = = 1 X = méda da amostra; = º de meddas da sére (tamaho da amostra); x = valor dvdual de cada medda. eq.(7) Com os valores das médas artmétcas das amostras, obtdos para cada sére de meddas, obtem-se o hstograma da Fgura 3.1, correspodete à população estudada do uverso em questão. No exo horzotal, são assalados os dversos valores de tervalos das médas artmétcas X, e o exo vertcal as percetages de valores que ocorrem em cada tervalo (Freqüêca). O hstograma lustra o fato de que as maores porcetages de valores ocorrem em toro do tervalo de valor cetral µ, correspodete à méda da população estudada. Em outras palavras, as séres de médas X 1... X tedem para o valor de µ.

3 4 Freqüêca µ A X Itervalos de Valores Fgura 3.1 Dstrbução estatístca das médas das amostras da população. X Como pratcamete ão é possível medr todas as udades de amostragem de uma população, a méda X, correspodete a udades, obtda de uma maera aleatóra, costtu a melhor estmatva possível da méda " µ " da população. Expressado µ de forma matemátca, vem: ode: µ = + x. f ( x) d( x) eq.(8) f(x) = fução dstrbução de probabldade; µ = 1º mometo probablístco. A méda é a prcpal formação de uma varável aleatóra. Geralmete, ela é o valor assumdo para os parâmetros evolvdos em uma aálse determístca de establdade de uma obra geotécca. Em um estudo probablístco, outras formações sobre a dstrbução de freqüêca dessas varáves são ecessáras para que tal abordagem possa ser executada Meddas de Dspersão A Fgura 3. apreseta o hstograma da dstrbução estatístca das Y médas das amostras da população.

4 43 Freqüêca µ A Y Itervalos de Valores Fgura 3. Dstrbução estatístca das médas das amostras da população. Y Sobrepodo-se as Fguras 3.1 e 3., verfca-se que a população Y apreseta uma dspersão maor do que a população Fgura 3.3 X coforme mostrado a Freqüêca X Y Valores µ A Fgura 3.3 Comparação das dspersões etre as dstrbuções X e Y. A melhor forma de estmar-se a dspersão de uma amostra ou de uma população é através do desvo padrão e do coefcete de varação.

5 44 Normalmete, o desvo padrão da amostra é desgado por s e o da população por σ, como dcam respectvamete as Equações 8 e 9 s = ( x X ) 1 eq.(8) σ = ( x µ) eq.(9) ode: X = Méda das amostras; x = Valores dvduas; = Número de valores (tamaho das amostras); µ = Méda da população. O quadrado do desvo padrão é chamado de varâca. No caso de amostras, desga-se s e os de população σ. Quado é grade ( > 30 ), os valores σ e s são muto próxmos (Maual de Pavmetação Urbaa, Cotrole Estatístco de ABPV, 1991). Outro parâmetro muto utlzado é o coefcete de varação C.V.. Ele represeta o desvo padrão amostral como percetagem da méda coforme dcado pela Equação 30: C. V. = s 100 ou C. V. = σ 100 eq.(30) X µ 3..4 Dstrbução da Probabldade dos Parâmetros Geotéccos A lteratura mostra város tpos de dstrbuções probablístcas: ormal, log-ormal, bomal, geométrca, poso, expoecal, gama, hperbólca, beta,

6 45 etc. Os tpos mas usados em geoteca são os dos prmeros que serão apresetados a segur Dstrbução Normal Cohecda também como dstrbução de Gauss, a dstrbução ormal é uma das mas usadas a teora da probabldade e será assumda as aálses dos estudos de caso cotdos os Capítulos 4 e 5. Essa fução plotada em um gráfco apreseta uma curva smétrca em forma de so coforme mostrada a Fgura 3.4. f(x) µ A x Fgura 3.4 Gráfco de uma dstrbução ormal da varável x A fução de dstrbução ormal é dada pela Equação 31: ( x µ ) 1 f ( x) =. e σ σ π eq.(31) Para saber qual a probabldade de uma varável aleatóra ser meor do que um valor a, é ecessáro tegrar a Equação 3 de - até a coforme mostrado a segur:

7 46 ( x µ ) a f x dx a 1 ( ). e σ = σ π dx eq.(3) Não exste solução aalítca para Equação 3.7 podedo, o etato, ser resolvda por métodos umércos. Os resultados da tegração da fução dstrbução de probabldade ecotram-se tabelados para os valores de µ = 0 e σ = 1 (Tabela A1.). Substtudo a Equação 3.7 os valores de µ e de σ a probabldade de uma varável aleatóra (x) ser meor ou gual a z é dada pela Equação 33.. x f z z 1 ( ) =. e dx eq.(33) π ode z é uma varável aleatóra padrozada defda por: x µ z = eq.(34) σ (x) Assm, qualquer dstrbução ormal pode ser trasformada em uma dstrbução ormal padrão, coforme mostrado a fgura 3.5 a qual duas curvas com tedêcas cetras e desvos padrões dsttos adqurem a mesma forma após as alterações fetas pelas Equações 33 e Dstrbução Log-Normal A dstrbução log-ormal ocorre, a prátca, quado o logartmo de uma varável aleatóra obedece a uma dstrbução ormal como é o caso das meddas de deflexões Bekelma em um pavmeto rodováro (Lassable e Lagumer, 1967). Este tpo de dstrbução tem como característcas apresetar a assmetra em relação à µ e ser sempre postva. A Fgura 3.6 mostra o gráfco de uma dstrbução log-ormal.

8 47 Dstrbução Normal f ( x µ ) 1. σ ( ) =. x e. π Curvas ormas geras µ µ Curva padrão - Dstrbução Normal Padrozada f ( Z) = 1. e. π Fgura 3.5 Trasformação lear da curva ormal geral em curva ormal padrão. Z = x µ σ ( Z ). f(x) µ A x Fgura 3.6 Gráfco de X vs f(x) de uma dstrbução log ormal da varável x. No caso de f(x) segur uma dstrbução log-ormal, a fução de probabldade é dada pela Equação 35.

9 48 (l x µ ) 1 f ( x) =. e σ x. σ π eq.(35) 3..7 Estmatva de Itervalos de Cofaça Nos tes aterores, fo dto que a melhor estmatva da méda µ de uma população é feta através do cálculo da méda X de amostras aleatóras. Fcou, portato, explícto que o cálculo de µ estar-se-á sempre cometedo um erro para mas ou para meos, de acordo com o tervalo de cofaça dcado pela Equação 36: ode: µ = X ± e eq.(36) µ = méda; X = méda das amostrages; e = erro da amostragem. Por outro lado, quado os desvos padrões das amostras aleatóras são cohecdas, pode-se utlzar as tabelas da curva ormal ou da varável de Studet, mostradas respectvamete as Tabelas A1. e A1.1, para a determação da probabldade de ocorrêcas de valores lmtes préestabelecdos (máxmos e mímos), de acordo com a precsão requerda. Basta, para sto, uma trasformação que cosste em se multplcar os desvos padrões calculados pelos valores de z 0 e t 0 tabelados. As tabelas da Curva Normal e da Varável de Studet referem-se à toda uma famíla de curvas depedetes do Grau de Lberdade (g.l.), que é o valor correspodete ao úmero de udades da amostra meos 1, ou seja "g.l. = -1". A Fgura 3.7 mostra a comparação etre uma curva ormal e as curvas correspodetes à dstrbução de Studet.

10 49 Fgura 3.7 Comparação etre a curva ormal e as curvas de Studet (Maual de Pavmetação Urbaa, Cotrole Estatístco de Pavmetos Publcado pela ABPV, 1991). É mportate saletar que quado as característcas das populações estudadas são cohecdas (Desvo Padrão e C. V) emprega-se a tabela da curva ormal. Ao cotráro, quado se cohecem apeas as característcas das udades de amostragem das populações estudadas, utlza-se a tabela de Studet. Observar que para maor ou gual a 30, a curva de Studet pratcamete cofude-se com a curva de Gauss (Maual de Pavmetação Urbaa, Cotrole Estatístco de Pavmetos Publcado pela ABPV, 1991). Ao se trabalhar com estmatvas da méda real ou da população (µ), é coveete estabelecerem-se os tervalos de cofaça os quas deverá estar serda a méda da população µ. Isto pode ser feto através das Equações 37 a 3.17, respectvamete, para o tervalo de cofaça, o lmte feror (LI) e o lmte superor (LS) em duas stuações dsttas: a) Stuação em que as característcas da população do Uverso são cohecdas (s ou C.V.) Neste caso, trabalha-se com a dstrbução de Gauss.

11 50 X σ z 0 ( ) µ X σ + z 0 ( ) eq.(37) σ X z 0 ( ) µ LI = Lmte Iferor eq.(38) X σ + z 0 ( ) µ LS = Lmte Superor eq.(39) ode: X = méda das amostras; σ = valores dvduas; = úmero de valores da amostra; µ = méda da população; σ z0 ( ) = acuráca. b) Stuação em que só se cohecem as característcas das udades de amostragem da população Neste caso, trabalha-se com a dstrbução de Studet. s s X t0 ( ) µ X + t0 ( ) eq.(40) X s t0 ( ) µ LI = Lmte Iferor eq.(41) s X + t0 ( ) µ LS = Lmte Superor eq.(4) ode: t 0 = valor tabelado para g.l. = -1 (Tabela A1.1); s = desvo padrão da amostra; t 0 ( s ) = acuráca.

12 Tpos de Aálses Probablístcas A aálse clássca da establdade de uma obra geotécca é represetada por um fator de seguraça. Geralmete, são tomados valores médos para todos os parâmetros evolvdos o seu cálculo ão levado em cosderação a varação dos mesmos. Em um estudo probablístco essa varação é quatfcada através de um ídce de cofabldade correlacoado a uma probabldade de fracasso forecedo ao egehero geotécco um poderoso complemeto da aálse clássca. O valor desse ídce ão é absoluto, pos algus parâmetros são dfíces ou às vezes mpossíves de serem quatfcados. Geralmete só as certezas relatvas aos valores dos parâmetros do solo, à geometra do problema e às cargas atuates são levadas em cota. Quato maor o úmero de certezas cosderado a aálse probablístca, melhor será a qualdade do estudo. O ídce de cofabldade também vara de acordo com o método determístco escolhdo para a aálse de establdade da obra geotécca. 3.4 Formulação do Ídce de Cofabldade e da Probabldade de Ruptura Cosderado o fator de seguraça de uma obra geotécca como uma varável aleatóra ormalmete dstrbuída e que para essa obra ser estável ecessaramete tem que ser maor ou gual a 1, o ídce de cofabldade β, formulado por Morlá-Catalá e Corel (1976) é defdo como: R S β = eq.(43) σ R Dvdído-se a Equação 44 por, Stem-se: R S 1 β = eq.(44) σ R S

13 5 1 β = eq.(45) σ ode: β = Ídce de cofabldade; R = Méda da capacdade resstva; S = Méda da capacdade solctate; F S = Fator de seguraça médo; σ R = Desvo padrão da capacdade resstva; σ = Desvo padrão do fator de seguraça. A probabldade de ruptura é defda como: Pr = 1 - Φ(β) eq.(46) ode: Pr = Probabldade de ruptura; Φ(β) = Curva ormal padrozada. ( ) ( σ f d e ) Pr = ( ) =. d = σ π Z β ( Z) dz 1. e Φ = dz π eq.(47) A Equação 47 fca melhor compreedda grafcamete coforme mostrado a Fgura.3.8.

14 53 f() Φ(Z) Fgura 3.8 Curvas de dstrbução de probabldade do Fator de Seguraça e a curva de Gauss ormalzada. 1 0 β Z As áreas hachuradas são guas. O gráfco da Fgura 3.9 mostra a probabldade de ruptura varado-se o valor de β 100 Probabldade de Ruptura (%) ,1 0,01 0, ,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 Ídce de Cofabldade (β) Fgura Cofabldade x Probabldade de Ruptura. Aalsado a Fgura 3.8 coclu-se que:

15 54 - Se F S aumeta matedo-se costate 1, a curva f() alarga-se e a área hachurada dmu, logo o ídce de cofabldade β aumeta coforme mostrado a Fgura 3.10 f() 1 Fgura 3.10 Aumeto do F S matedo-se costateσ. - Se σ aumeta matedo-se F S costate, a curva f() achata-se e alarga-se torado a área hachurada maor, logo β dmu coforme mostrado a Fgura f() 1 Fgura 3.11 Aumeto do σ matedo-se F S costate. Nem sempre a obra com maor fator de seguraça tem uma cofabldade maor. A Fgura 3.1 mostra duas stuações com fatores de seguraça guas a 1,5 e 1,7, represetadas pela curva azul e pela curva preta

16 55 respectvamete, com uma probabldade de ruptura maor para a stuação com maor fator de seguraça. f() 1 1,5 1.7 Fgura 3.1- Dstrbução probablístca de duas curvas com desvos padrões dferetes. Para calcular o ídce de cofabldade β mostrado a Equação 45 precsa-se cohecer o fator de seguraça médo e seu desvo padrão. 3.5 Métodos Probablístcos A segur são apresetados três métodos probablístcos utlzados em geoteca: Smulação de Mote Carlo, Estmatvas Potuas e Segudo Mometo de Prmera Ordem Smulação de Mote Carlo O método de Smulação de Mote Carlo, empregado a aálse probablístca da establdade de uma obra geotécca, cosste em gerar aleatoramete um úmero N de valores para os parâmetros de certezas que fazem parte do cálculo do fator de seguraça. A geração aleatóra pode ser

17 56 realzada através de programas estatístcos que empregam para os dados de etrada a méda, o desvo padrão e a forma da dstrbução da varável em questão. São fetas N aálses determístcas selecoado-se o meor fator de seguraça ecotrado em cada aálse. De posse desses dados, calcula-se dretamete a méda e o desvo padrão do possbltado, assm, a determação do ídce β através da Equação 45. Este método, que se basea em téccas de amostragem, tem como desvatagem a ecessdade de um grade úmero de aálses determístcas para dmur os erros e se chegar a uma determação cofável dos mometos probablístcos. Harr (1987) apresetou a segute equação para a determação do úmero N: ( h a ) N = [ ] eq.(48) 4ε ode: N = úmero de smulações ecessáras h α/ = fução de cofabldade (1-α) Tabela A1. ε = precsão em % = úmero de varáves Se for desejada uma precsão de 90%, o desvo padrão será Assm o úmero de aálses determístcas ecessáras será: 67 para uma varável, 4489 para duas varáves e para três varáves. Há de se otar que o úmero de smulações aumeta expoecalmete com o úmero de varáves torado o método vável de ser aplcado se o úmero de parâmetros evolvdos for grade Método das Estmatvas Potuas O método cosste a estmatva dos dos prmeros mometos probablístcos (méda e varâca) a partr de uma fução geradora de mometos. Tal fução é obtda através das aálses determístcas da permutação dos valores médos dos parâmetros evolvdos o cálculo do fator de seguraça, acrescdos e dmuídos do desvo padrão. O procedmeto acma

18 57 mplca aálses determístcas o qual é o úmero de varáves levadas em cosderação. O cálculo do desvo padrão e da varâca tem em cota que os parâmetros possuem dstrbuções smétrcas. A méda e a varâca do fator de seguraça são calculadas através das Equações 49, 50 e 51: 1 E( ) = = = 1 eq.(49) 1 E( ) = = 1 eq.(50) V ( ) = E( ) [ E( )] eq.(51) No caso de 3 varáves (v 1, v e v 3 ), o cálculo é feto da segute maera: faz-se as combações com as médas ± desvo padrão, coforme mostradas a Tabela 3. e calcula-se o fator de seguraça para cada uma das 3 permutações possíves. Tabela 3. Permutações possíves usado-se 3 varáves aleatóras. Aálse V 1 V V V 1 + σ V1 V 1 + σ V1 V 1 - σ V1 V 1 + σ V1 V 1 - σ V1 V 1 - σ V1 V 1 - σ V1 V 1 - σ V1 V + σ V V + σ V V - σ V V - σ V V - σ V V + σ V V - σ V V + σ V V 3 + σ V3 V 3 - σ V3 V 3 - σ V3 V 3 + σ V3 V 3 - σ V3 V 3 + σ V3 V 3 + σ V3 V 3 - σ V Após os cálculos dos fatores de seguraça, aplcam-se as Equações 5, 53 e 54 como exemplfcado as expressões segutes:

19 58 E( ) = = eq.(5) E( ) = eq.(53) + + σ = V ( ) = E( ) [ E( )] eq.(54) Substtudo e σ a Equação 45 ecotram-se o ídce de cofabldade β e a probabldade de ruptura (Equação 46). O método das Estmatvas Potuas, ao cotráro da Smulação de Mote Carlo, é um método dreto e tem como vatagem sobre o segudo um úmero meor de aálses determístcas ecessáras Método do Segudo Mometo de 1ª Ordem Sedo o coefcete de seguraça () de uma obra geotécca uma fução f(x 1,x,x 3..., x ) a qual x é varável aleatóra depedete como peso específco do solo, coesão, âgulo de atrto, cargas atuates etc, o valor médo de é represetado por f ( X ) = f ( x 1, x,..., x ) o qual x é o valor médo do parâmetro, coforme mostrado as Equações 55 e 56. X = [ x 1, x,..., x ] eq.(55) f ( X ) = = f ( x 1, x,..., x ) eq.(56) Expaddo a fução f(x) em sére de Taylor em toro do vetor X,vem: f '( X ) 1 f ''( X ) f ( X ) = f ( X ) + ( X X ) + ( X X ) +... eq.(57) 1!!

20 59 A Equação 57 pode ser aproxmada trucado-se a sére o segudo termo, pos o somatóro a partr do tercero termo em date é pequeo em relação aos dos prmeros. Assm, reescreve-se a Equação 57 da segute forma: f ( X ) f ( X ) = f '( X )( X X ) eq.(58) Os termos f ( X ) f ( X ) e X X são respectvamete os desvos padrões do fator de seguraça e do vetor X. Deste modo, a Equação 58 é reescrta da segute forma: σ [ f ( X )] = f '( X ) σ ( X ) eq.(59) Elevado-se ao quadrado os dos lados da equação ecotra-se: V [ f ( X )] = ( f '( X )) V ( X ) eq.(60) Sedo f ( X ) =, a Equação 60 reca em um somatóro dos quadrados das dervadas parcas o vetor X da fução em relação a cada um dos parâmetros x multplcados por sua varâca. Desta forma, a varâca do fator de seguraça pode ser expressa aproxmadamete pela Equação 3.36: ( ) ). ( ) 1 ( V = V x = x eq.(61) O próxmo passo para ecotrar a varâca do fator de seguraça é calcular as dervadas parcas de o vetor X em relação a todos os parâmetros x. Crsta et al. (199) e Sadro e Sayão (199) utlzaram o método das dfereças dvddas (ascedetes ou descedetes) para alcaçar uma aproxmação matemátca do problema em questão. Este método cosste em calcular o fator de seguraça médo ( F S ), dar uma varação (δ) separadamete em cada varável x e verfcar o comportameto do fator de

21 60 seguraça. A varação do fator de seguraça dvdda pela varação mposta à x, para mas ou para meos, é uma aproxmação da dervada parcal como expressa a Equação 6: x = ( x ± δ x ) ( x ) δx eq.(6) Para que a Equação 6 seja válda, a magtude de δx deve ser sufcetemete pequea. Dessa forma / x costate ao logo do tervalo δx. podera ser cosderado Mosty e L (1993) sugerem que a aproxmação de / x seja realzada por dfereças ftas cetras as quas a varação de cada parâmetro é gual ao respectvo desvo padrão, ou seja: x = ( x + 0,5σ ) ( x 0.5σ ) δx eq.(63) Dell Avaz (1995) cocluu que para uma varação de ±10% do valor médo do parâmetro x, a razão / x se matém costate ao logo deste tervalo. Tal fato pode ser verfcado supodo a stuação de um bloco tragular apoado sobre uma superfíce clada coforme esquematzado a fgura h Bloco α h = 10m α = 0º Fgura 3.13 Esquema de um bloco sobre um plao clado

22 61 Cosderado o âgulo de atrto etre o bloco e a superfíce de escorregameto (φ ) = 30º, a coesão etre o bloco e a superfíce de escorregameto (c ) = 16 kn/m e o peso específco do bloco (γ) = 0 kn/m 3, aplca-se o equlíbro de forças e ecotra-se o fator de seguraça coforme a Equação 64. c' h + h taα = cotα.taφ' + eq.(64) γ. h.cosα Varado os parâmetros φ e γ de um valor de mas e meos 10%, costata-se uma mudaça muto pequea das tagetes às curvas x φ e x γ, coforme mostrado as Fguras 3.14 e A fução x c expressa pela Equação 3.39 é lear.,3,5,,15,1,05 1,95 1, Âgulo de Atrto Fgura 3.14 Varação do âgulo de Atrto x para o exemplo do bloco,17,15,13,11,09,07,05,03, Desdade

23 6 Fgura 3.15 Varação da desdade x para o exemplo do bloco No caso de se optar por varações muto pequeas de x, com o tuto de alcaçar uma melhor aproxmação para / x, o egehero deve observar a precsão do cálculo do programa determístco empregado. Tedo em vsta o programa XSTABL (1990), o qual o fator de seguraça é forecdo com três casas decmas, um δx que refletsse um δ meor do que 1% acarretara uma dstorção ou até aulara (se δ<0,1%) o valor da dervada parcal levado a um ídce de cofabldade β maor. O método do Segudo Mometo é um método de aálse dreto e, como fo vsto, aproxmado. Ele tem como vatagem, perate os outros dos apresetados, a ecessdade de um úmero pequeo de aálses determístcas (úmero de parâmetros evolvdos +1). Devdo a sua facldade de uso, também pode ser empregado a determação do peso da fluêca de cada parâmetro evolvdo a aálse probablístca. Esse procedmeto detecta as varáves que podem ser desprezadas servdo de base para smplfcação dos outros dos métodos. 3.6 Parâmetros para Aálse Probablístca Fotes de Icertezas Geralmete, assum-se como varáves aleatóras a aálse probablístca os parâmetros relatvos ao solo, às cargas atuates, à geometra do terreo e às cotas da lha freátca. Etretato, exstem outros parâmetros de dfíces quatfcação que, às vezes, ão são levados em cota, como os erros sstemátcos e os de dspersão de dados. 3.6.

24 63 Erros Sstemátcos Os erros sstemátcos fluecam a precsão dos resultados de esao podedo torar os valores médos sstematcamete superores ou ferores aos reas. Os erros sstemátcos são classfcados em dos grupos: Erros estatístcos e erros tedecosos. Os erros estatístcos são acarretados por um úmero sufcete de esaos ou medções ocasoado maor probabldade de se obter as estmatvas dos parâmetros dstates dos valores reas. Os erros tedecosos são provocados por uma alteração persstete do comportameto real dos esaos. Geralmete, são ocasoados por falhas humaas, dfereças etre as trajetóras de tesões os esaos e a obra geotécca, mperfeções o processo de amostragem e a pouca represetatvdade das amostras para smular o comportameto da massa de solo a obra. Uma forma de dmur os erros sstemátcos é através de recalbrações peródcas dos strumetos, melhor seleção destes, qualfcação de equpes e maor quatdade de esaos Dspersão de Dados A dspersão de dados ocasoa um desvo a tedêca cetral afetado a precsão dos resultados. Ao cotráro dos erros sstemátcos, as dfereças em toro da méda tedem a se compesar, porém aumetam o desvo padrão da amostra. Este grupo de certezas é dvddo em erros de esao e erros de heterogeedade atural do solo. Os erros de esao são causados por erros de letura, mprecsão a calbração dos aparelhos ou terferêcas de ordem extera. Esses erros podem ser reduzdos com o aumeto do úmero de leturas, dado a elas um tratameto estatístco, melhor qualfcação da equpe, melhor qualfcação dos equpametos e mmzado as terferêcas de ordem exteras.

25 64 A heterogeedade atural deve-se à varações os parâmetros do solo de um poto para o outro e tem como causa: o processo de formação, composção meral, hstóra de tesões etre outros fatores. Assm como os erros aleatóros, essa varabldade cotrbu para a dspersão dos dados. 3.7 Número Mímo de Esaos Partdo-se da Equação 40 pode-se avalar o º mímo ecessáro de esaos em uma amostra com a faldade de se obter a méda e o desvo padrão dos parâmetros de um solo, através das expressões segutes: s X t 0 ( ) µ X + t 0 ( s ) s µ X t eq.(65) 0 Através da acuráca exgda o projeto e o grau de cofaça selecoado determa-se o úmero de esaos da segute maera: µ X < acuráca, ou seja: t a acuráca. < eq.(66) s Na falta de especfcações de projeto para a acuráca e o grau de cofabldade os esaos pode-se usar respectvamete os valores 0,1. X e 0.95 ( Lumb,1967). Etrado a curva de Studet (Tabela A1.) ecotra-se o g.l.(grau de lberdade = -1) obtedo-se, desta maera, o úmero mímo de esaos ecessáros para calcular a méda e o desvo padrão dos parâmetros geotéccos.

26 65 Para a estmatva do desvo padrão amostral (s), exstem dos procedmetos. O prmero é realzar de oto a dez esaos e usar o desvo padrão ecotrado como estmatva e o segudo é adotar valores exstetes a lteratura coforme exemplfcado a Tabela 3.3. A realzação de esaos tem a vatagem de ser mas específca para a área vestgada permtdo que se leve em cota fatores como a heterogeedade das camadas, tecologa de amostragem e métodos de esao. A seguda alteratva oferece maor pratcdade, porém basea-se em caso geral. Tabela 3.3 Coefcetes de varação para os parâmetros do solo EV&9 1 X Parâmetro Valor recomedado Coefcete de varação % Peso específco 3 ( a 8) Coesão efetva 40 (0 a 80) Âgulo efetvo de resstêca 10 (4 a 0) Coesão ão dreada 30 (0 a 50) Às vezes, pode-se surpreeder com um úmero excessvo de esaos como o caso de Mrada (005) ao determar a coesão de uma argla areosa. O resultado de c médo = 4,14 kn/m e desvo padrão gual a 16,8 kn/m apresetou um úmero fto de esaos. Nesses casos o úmero de testes fca lmtado aos recursos faceros dspoíves e ao bom seso do egehero geotécco. A Fgura 3.15 mostra o gráfco Acuráca x Número de Esaos da argla esaada por Mrada (005). Nota-se que a varação da acuráca se reduz rapdamete com o cremeto de esaos para pequeo e quase ão vara quado é grade. Assm, observa-se que a partr de um determado úmero de esaos a varação da acuráca é muto pequea em relação ao cremeto de tedo pouca fluêca a precsão do cálculo do desvo padrão.

27 Acuráca Número de esaos Fgura 3.15 Comportameto da acuráca com o aumeto do úmero de esaos 3.8 Cálculo dos Mometos Probablístcos do Âgulo de Atrto e da Coesão O âgulo de atrto e a coesão são varáves aleatóras depedetes e requerem um procedmeto dferete em relação à outras varáves. Este procedmeto é feto em etapas, a saber, (Neter & Wasserma, 198): Esao de Csalhameto Dreto Para os N pares (σ,τ), obtdos pelos N esaos dspoíves, faz -se a regressão lear desses potos pelo método dos mímos quadrados. A tercessão com o exo τ e a clação da reta ecotrada são respectvamete a coesão e o âgulo de atrto médos do solo esaado. As varâcas dos parâmetros em questão são calculadas através das segutes fórmulas: 1 E( σ ) V ( c) = V ( τ ). + eq.(67) N N ( σ E = 1 ( σ ))

28 67 V ( τ ) V (taφ) = eq.(68) N ( σ E = 1 ( σ )) N ( τ ) ( ) = = 1 τ est V τ eq.(69) N ode: N = úmero de esaos; E(σ) = méda dos valores de σ ; τ est = valor de τ obtdo com a reta de mímos quadrados para cada valor de σ. O valor de V(τ) pode ser obtdo dretamete através de calculadoras ou plalhas eletrôcas que teham fuções estatístcas Esao Traxal No caso de esaos traxas, faz-se o mesmo procedmeto acma para os potos (p, q), ode p e q são respectvamete a sem-soma e a semdfereça etre as tesões prcpas maor e meor. Aalogamete, ecotra-se, desta maera tercessão a e o âgulo α da reta ajustada e as varâcas V(a ) e V(ta α). Para a determação de V(c ) e V(ta φ ) deve-se aplcar as segutes relações (Lma 1991): E( a) E( c' ) = eq.(70) 1 E(taα) E(taα) E(taφ' ) = eq.(71) 1 E(taα) 1 ( α. E(taα) V ( c' ) =.. V (taα) + V ( a) (1 E(taα) ) (1 E(taα) eq.(7)

29 68 V (taα) V (taφ') = eq.(73) (1 E(taα) ) Cosderações Fas O ídce de cofabldade β está relacoado com a probabldade de ruptura da obra geotécca. No etato, este úmero ão é absoluto. Como fo vsto, β depede do método determístco e do método probablístco empregados, do úmero de varáves levadas em cosderação, da precsão dos esaos, etre outros fatores. Algumas fotes de certezas são dfíces de serem quatfcadas e, portato, ão são levadas em cosderação. Além dsso, há ada, as varáves cuja exstêca gora-se e que, também, cotrbuem para o ídce de cofabldade global. Detre os métodos probablístcos apresetados, o mas rgoroso é a Smulação de Mote Carlo, desde que seja feto um úmero grade de aálses o que o tora extremamete trabalhoso. O método das Estmatvas Potuas é um método dreto, portato meos rgoroso do que Mote Carlo. Depededo do úmero de varáves evolvdas, também demadará um grade úmero de aálses, mas em meor úmero do que o prmero. O método do Segudo Mometo, também é um método dreto e sofre aproxmações em sua formulação, mas é o meos trabalhoso, evolvedo um úmero pequeo de aálses determístcas.