Estatística: uma definição

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1 Prof. Lorí Val, Dr. Estatístca: uma defção Coleção de úmeros estatístcas O úmero de carros veddos o país aumetou em 30%. A taa de desemprego atge, este mês, 7,5%. As ações da Telebrás subram R$,5, hoje. Resultados do Caraval o trâsto: 45 mortos, 430 ferdos. A cêca de coletar, orgazar, apresetar, aalsar e terpretar dados umércos com o objetvo de tomar melhores decsões. Estatístca (dvsão) População Descrtva Idutva Os procedmetos usados para orgazar, resumr e apresetar dados umércos. A coleção de métodos e téccas utlzados para estudar uma população baseado em amostras probablístcas desta população. Uma coleção de todos os possíves elemetos, objetos ou meddas de teresse.

2 Ceso Amostra Um levatameto efetuado sobre toda uma população é deomado de levatameto cestáro ou smplesmete ceso. Uma porção ou parte de uma população de teresse. Amostragem O processo de escolha de uma amostra da população é deomado de amostragem. PROBABILIDADE (Matemátca) ESTATÍSTICA (Matemátca Aplcada) Uvarada Multvarada P R O B A POPULAÇÃO (Ceso) Estatístca Descrtva B IL Erro Iferêca Probabldade Amostragem I D A D E AMOSTRA (Amostragem) Estatístca Idutva

3 Estatístca Probabldade Arredodameto Faces Probabldades Faces Frequêcas /6 5 /6 8 3 / / /6 5 6 /6 6 7 Total Total 0 Todo arredodameto é um erro. O erro deve ser evtado ou etão mmzado. Eemplos: Regra básca: Arredodar sempre para o mas prómo.,456,46,454,45,475,48,485,48 V A R I QUALITATIVAS NOMINAL ORDINAL Varável Qualtatva NOMINAL Seo Relgão Estado cvl Curso Á V E I S QUANTITATIVAS DISCRETA CONTÍNUA ORDINAL Coceto Grau de Istrução Mês Da da semaa 3

4 Varável Quattatva DISCRETA CONTÍNUA Número de faltas Número de rmãos Número de acertos Altura Área Peso Volume Estatístca Descrtva Cojuto de dados: Orgazação; Amostra Resumo; ou Apresetação. População Um cojuto de dados é resumdo de acordo com as segutes característcas: Amostra ou População Tedêca ou posção cetral Dspersão ou varabldade Assmetra (dstorção) Achatameto ou curtose Tedêca ou Posção Cetral A méda Artmétca (mea) (a) As médas S m p l e s Artmétca Geométrca Harmôca Quadrátca Itera

5 A méda Geométrca A méda Harmôca m g..... m h A méda Quadrátca A méda Itera (trmmed mea) m q É a mesma méda artmétca só que aplcada sobre o cojuto ode uma parte dos dados (etremos) é descartada. Eemplo Médas Cojutos m g m h ,9 4, ,8 Relação etre as médas Dado um cojuto de dados qualquer, as médas artmétca, geométrca e harmôca matém a segute relação: m g m h 5

6 Tedêca ou Posção Cetral A méda Artmétca Poderada (a) As médas P o d er a d as Artmétca Geométrca Harmôca m ap. w +. w w + w. w w w k k. w k Quadrátca A méda Geométrca Poderada A méda Harmôca Poderada w m w. w. gp w w... w k k m h P w w + w w + w w + w k w k k A méda Quadrátca Poderada m qp w +w+...+w w +w +...+w k k k w w Eemplo: Produtos p 0 p 0 q Care 4,80 5,5 5 kg Caa 5,0 4,94 l Ceva 0,80 0,9 lt Pão,50,0 u Total

7 Produtos p 0 p 0 α p(0,t) 4,80 5,5 0,58,5 5,0 4,94 0, 0,95 3 0,80 0,9 0,3,5 4,50,0 0,07,40 Total -- --,00 -- Méda artmétca poderada dos relatvos (aumetos) será:,5.0,58 + 0,95.0, +,5.0,3 +,40.0,07 m ap 0,57 + 0, + 0,3 + 0,07,43 4,3% Por este crtéro o aumeto fo de 4,3%. Méda geométrca poderada dos relatvos (aumetos) será: m gp,5 0,58 0,95 0,,5 0,3,40 0, 07,5 0,58 0,95 0,,5 0,3,40 0,07,390 3,90 % Por este crtéro o aumeto fo de 3,90%. Méda harmôca poderada dos relatvos (aumetos) será: m h P 0,58 0, 0, ,5 0,95,5,348 3, 48 % 0,07, 40 Por este crtéro o aumeto fo de 3,48%. Tedêca ou Posção Cetral (b) A medaa (meda) É o valor que separa o cojuto em dos subcojutos do mesmo tamaho. m e [ (/) + (/)+ ]/ se é par m e (+)/ se é ímpar Separatrzes A déa de repartr o cojuto de dados pode ser levada adate. Se ele for repartdo em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 0 os DECIS e se em 00 os PERCENTIS. 7

8 Eemplo Cosdere o segute cojuto: Como 7 (ímpar), etão (+)/ 4 Ordeado o cojuto, tem-se: Etão: m e 4 Se o cojuto for: Tem-se: 8 (par) Etão m e [ / + /+) ]/ ( )/ Ordeado o cojuto, tem-se: m e ( )/ ( + )/,50 (c) A moda (mode) Eemplo É o(s) valor(es) do cojuto que mas se repete(m). Cosdere o cojuto Etão: m o Pos, o dos é o que mas se repete (três vezes). Cosdere o cojuto: Etão: m o e m o O cojuto é bmodal. Cosdere o cojuto: Este cojuto é amodal, pos todos os valores apresetam a mesma frequêca. 8

9 Dspersão ou Varabldade (a) A ampltude (h) (b) O Desvo Médo (dma) (c) A Varâca (s ) (d) O Desvo Padrão (s) (e) A Varâca Relatva (g ) (f) O Coefcete de Varação (s) A Ampltude (rage) h má - mí Cosdere o cojuto: h 5 (-) 7 O dma (average devato) Cosdere o cojuto: Calculado os desvos: A méda é: Tem-se: d - -3 d - - d d 4 3 d A varâca (varace) Como pode ser vsto a soma é gual a zero. Tomado o módulo vem: dma ,40 5 Se ao vés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se: s ( ) ( 3) + ( ) + ( ) ,

10 O Desvo Padrão (stadard devato) A varâca de um cojuto de dados será: ( ) + ( ) ( ) s ( ) s É a raz quadrada da varâca. ( ) s Se etrarmos a raz quadrada teremos do resultado ateror teremos o desvo padrão: A Varâca Relatva g s / s ( ) 6,80,6 O Coefcete de Varação g s / O coefcete de varação do eemplo ateror, será: s,6077 g 60,77% 0

11 Grade Cojutos de Dados Orgazação; Resumo; Apresetação. Amostra ou População Defetos em uma lha de produção Lascado Meor Deseho Maor Torto Lascado Deseho Esmalte Torto Esmalte Lascado Lascado Torto Deseho Maor Meor Meor Maor Deseho Torto Dstrbução de freqüêcas Defeto Freqüêca % Deseho 7 4,0 Esmalte 95 9,00 Lascado 97 9,40 Maor 70 4,00 Meor 83 6,60 Torto 57,40 Trcado 7 5,40 TOTAL

12 F R E Q Ü Ê N C I A S Absoluta SIMPLES Relatva Absoluta ACUMULADAS Relatva Apresetação Decmal Percetual Decmal Percetual Frequêcas: represetação Valores f F fr fr Fr , , , , , , ,0 00 Total 00,00 00 Defetos em uma lha de produção % 5% 4% 0% 7% 4% 9% Deseho Esmalte Lascado Maor Meor Torto Trcado

13 Número de rmãos dos aluos da turma G Estatístca Aplcada - PUCRS - 0/ Dstrbução de frequêcas por poto ou valores da varável: Número de rmãos dos aluos da turma G da dscpla: Estatístca Aplcada - PUCRS - 0/0. N 0 de rmãos N 0 de aluos Dagrama de coluas smples da varável: Número de rmãos dos aluos da turma G Dscpla: Estatístca Aplcada, PUCRS - 0/0 3

14 A méda Artmétca Neste caso, a méda a dada por: f + f f k. k f + f f k f. Eemplo: f f A méda será, etão: 95 f.,90 50 rmãos 4

15 A Medaa Como 50 é par, tem-se: me / + ( / ( 50 / ) ) + 50 / + + rmão + Eemplo: f F Total de dados 50 (par) Metade dos dados / 5 A Moda Eemplo f m o valor(es) que mas se repete(m) Pos A moda ele se repete é gual mas a vezes (um) A Ampltude h má - mí h rmãos. 5

16 O Desvo Médo Neste caso, o dma será dado por: f +... f + + f k dma f + f f k f. k Eemplo: f f ,90 3,30.,90 8, ,90 0, ,90 5, ,90 8, ,90 9, ,90 8, ,40 A Varâca O dma será, etão: Neste caso, a varâca será: dma f. 64,40,9 rmãos 50 f( ) + f ( ) f k (k ) s f ( ) f Eemplo: f f A varâca será, etão: f 99 s,90 50,3700 rmãos 6

17 O Desvo Padrão O Coefcete de Varação O desvo padrão será dado por: s f,3700,5395,54 rmãos Dvddo o desvo padrão pela méda pelo, tem-se o coefcete de varação:, g,90 8,03% Idade (em meses) dos aluos da turma G da dscpla: Probabldade e Estatístca - PUCRS - 0/

18 Dstrbução por classes ou tervalos da varável dade dos aluos da turma G da dscpla: Probabldade e Estatístca da PURCRS - 0/0. Idades Número de aluos Total 50 Hstograma de frequêcas da varável Idade dos aluos da turma G de Probabldade e Estatístca da PUCRS - 0/0. f / h 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,

19 Ates de apresetar as meddas,. é, represetates do cojuto, é ecessáro estabelecer uma otação para algus elemetos da dstrbução. O Poto Médo da Classe poto médo da classe; f frequêca smples da classe; l lmte feror da classe; ls lmte superor da classe; h ampltude da classe. f A Méda da Dstrbução f f

20 Eemplo: A Medaa A méda será: f ,0 50 meses Neste caso, utlzam-se as frequêcas acumuladas para detfcar a classe medaa,. é, a que cotém o(s) valor(es) cetral(s). Eemplo: f F Total de dados 50 (par) Metade dos dados / 5 Portato, a classe medaa é a tercera. Assm 3. A medaa será obtda através da segute epressão: A Moda 50 F 70 0 me l + h + f meses 8 8 Neste caso é precso calmete apotar a classe modal,. é, a de maor freqüêca. Neste eemplo é a prmera com f. Assm. 0

21 Eemplo f Classe modal, pos f. Portato a moda poderá ser obtda através de uma das segutes epressões: Crtéro de Kg: Crtéro de Czuber: f + mo l + h f + f meses m o f f l + h.f (f + f + ) (0 9) meses A Ampltude h má - mí h meses

22 O Desvo Médo Absoluto Neste caso, o dma será dado por: f +... f + + f k dma f + f f k f. k Eemplo f f ,0 54, ,0 6, ,0 4, ,0 03, ,0 08, ,0 74, ,0 4, ,60 O dma será, etão: dma f. 3,43 meses 6,60 50 A Varâca Neste caso, a varâca será: f( ) + f ( ) f k (k ) s f ( ) f Eemplo f f A varâca será, etão: f s , ,96 meses

23 O Desvo Padrão O desvo padrão será dado por: s f 40,96 37, ,70 meses O Coefcete de Varação Dvddo o desvo padrão pela méda, tem-se o coefcete de varação: 37,69563 g 3,% 85,0 Prmero Coefcete ( de Pearso) a (Méda - Moda) / Desvo Padrão Segudo Coefcete ( de Pearso) Skewess a 3.(Méda - Medaa) / Desvo Padrão Coefcete Quartílco CQA [(Q 3 - Q ) - (Q - Q )]/(Q 3 - Q ) Coefcete do Mometo a 3 m 3 /s 3, ode m 3 Σ(X - ) 3 / Coefcete 0 Cojuto Smétrco Provão 000 Curso: Odoto 3

24 Coefcete < 0 Cojuto: Negatvamete Assmétrco Coefcete > 0 Cojuto: Postvamete Assmétrco Provão 000 Curso: Joralsmo Provão 000 Curso: Eg. Elétrca Coefcete de Curtose (mometos) a 4 m 4 /s 4, ode m 4 Σ(X - ) 4 / (Kurtoss) Provão 000 Curso: Odoto Coefcete 3 ou 0 Cojuto: Mesocúrtco Coefcete > 3 ou (> 0) Cojuto: Leptocúrtco Provão 000 Curso: Matemátca 4

25 Coefcete < 3 ou (< 0) Cojuto: Platcúrtco Provão 999 Curso: Eg. Cvl Se y a +b Etão: y a + b s s y y a s a s Aálse Eploratóra de Dados As téccas de aálse eploratóra de dados cosstem em gráfcos, smples de desehar, que podem ser utlzados para resumr rapdamete um cojuto de dados. Uma destas téccas é uma forma de apresetação de dados cohecda como Caule e Folha. Apresetação Caule e Folha Para lustrar esta forma de apresetação vamos supor que o cojuto a segur é o resultado de um teste do tpo Pscotécco de 00 questões aplcados a 40 caddatos a um emprego em uma grade orgazação dustral. 5

26 Eemplo Resultado de um teste, do tpo Pscotécco de 00 questões, aplcado a 40 caddatos Ramo e Folhas Grado a represetação 90 graus temse um dagrama semelhate a um hstograma. Esta represetação possu duas vatages sobre o hstograma: É mas fácl de costrur; Apreseta os dados reas. Eercíco Faça um represetação utlzado a dezea como udade de folha BoPlot Caa e Bgodes Outra forma de ter uma dea do cojuto de dados é utlzar a regra dos cco tes. Nem sempre a méda e o desvo padrão são as melhores alteratvas para resumr um cojuto de dados. A méda e o desvo padrão podem sofrer forte fluêca de valores etremos e além dsso ão forecem uma déa da assmetra do cojuto de dados. Como alteratva as segutes cco meddas são sugerdas (Tukey, 977): 6

27 Represetação () A medaa; () Os etremos (mámo e mímo); () Os quarts. Estas cco meddas são deomadas de estatístcas de ordem. A formação forecda por estes cco úmeros pode ser represetada em um dagrama deomado de Dagrama Caa e Bgode (BoPlot). O deseho forece uma déa da posção, dspersão, assmetra e dados dscrepates do cojuto (outlers). Traçar um retâgulo tedo como etremos os quarts e eglobado a medaa. Calcular a dstâca terquartl, sto é: D Q Q 3 Q Determar os lmtes dos potos dscrepates: Q,5 D Q Q 3 +,5 D Q Qualquer valor abao de Q,5 DQ ou acma de Q3 +,5 DQ será cosderado um valor dscrepate (outler). Para obter o dagrama caa e bgode (boplot) traçar duas lhas a partr do cetro do retâgulo e em lados opostos até o últmo poto do cojuto que ão seja um poto dscrepate. BoPlot Eemplo: Q -,5D Q D Q Q +,5D 3 Q Obteha o dagrama Caa e Bgode para o úmero de paradas semaas para mauteção de uma máqua. Q Q Q

28 Eemplo Os cco valores são: Mímo Quartl um 4 Medaa 6 Quartl três 7 Mámo Os demas são: D Q -,5D -0,5 Q 3 +,5D,5 Outler BoPlot -0,5Q -,5D Q D Q 3 9 Q 4 Q 6 7 Q 3 Q +,5D 3 Q,5 Wlfredo Pareto O Dagrama de Pareto é uma homeagem ao egehero, flósofo, socólogo e ecoomsta talao Vlfredo Frederco Samaso Pareto (848-93). Pareto fo um dos poeros a aplcação de aálses matemátcas ao estudo dos feômeos sócoecoômcos. Wlfredo eucou, em 897, o que passou a ser cohecdo como Prcpo de Pareto que afrma: 80% das dfculdades tem orgem em 0% dos problemas. Este prcpo podera ser colocado como estem mutos tes trvas mas poucos vtas. Dagrama O Dagrama de Pareto é um gráfco de coluas smples, ode a varável está em ordem de mportâca frequêca de ocorrêca ou custo) dos problemas ou defetos. Normalmete o dagrama evolve a frequêca smples combada com a frequêca acumulada em um úco gráfco. É, também, comum a colocação de um sstemas de eos X Y aulares. 8

29 Eercíco: Cosderado os dados sobre o Número de defetos uma lha de produção de azulejos, costrua o Dagrama de Pareto para a dstrbução dada. Defetos Número de Azulejos Deseho 7 Esmalte 95 Lascado 97 Maor 70 Meor 83 Torto 57 Trcado 7 Total 500 Solução: Ordeado as frequêcas dadas e calculado as frequêcas relatvas e relatvas acumuladas, tem-se: Ordeado as frequêcas, tem-se: Defetos Número de Azulejos Lascado 97 Esmalte 95 Meor 83 Deseho 7 Maor 70 Torto 57 Trcado 7 Total 500 Calculado as demas frequêcas: Dagrama de Pareto Defetos % de azulejos Freq. acumulada Lascado 9,4 9, % Esmalte 9,0 38,4 Meor 6,6 55,0 Deseho 4, 69, Maor 4,0 83, Torto,4 94,6 Trcado 5,4 00,0 Total % Lascado Esmalte Meor Deseho Maor Torto Trcado

30 Posções Relatvas A méda e o desvo padrão são as duas prcpas meddas utlzadas para descrever um cojuto de dados. Elas, também, podem ser utlzadas para comparações, sto é, para forecer a posção relatva de um valor em relação ao cojuto como um todo. O escore z Seja (,,..., ) uma amostra de observações. Sejam e s a méda e o desvo padrão da amostra. Etão o escore z é o valor que forece a posção relatva de cada da amostra, tedo como poto de referêca a méda afastameto o desvo padrão. e como medda de O escore z z - s O escore z forece o úmero de desvos padrão que cada valor está acma ou abao da méda. O escore,5, sgfca que este valor está um desvo e meo abao da méda. O escore Z é também uma varável, que é obtda pela trasformação da amostra orgal. Ela apreseta méda gual a zero e desvo padrão gual a um. Eemplo Cosdere o segute amostra: Assmetra 0,33 Curtose - 0,

31 Solução: Calcular os escores z para cada valor da amostra. Represetar os valores da amostras e os escores em dagramas para verfcar se houve alteração o formato da dstrbução dos dados. A méda e o desvo padrão da amostra são: 40 e 3,69. Etão os escores padrozados serão: 0,3066 0,997-0,997-0,63-0,63 -,63-0,3066-0,63 0,3066,538,63 -,538,456 -,538 0,0000 0,0000 0,0000 -,63 0,3066-0,997-0,63-0,997-0,3066-0,3066,63 0,63 0,63-0,3066 0,997 0,63 0,3066-0,3066 0,3066 -,538 0,0000,63 -,63 0,0000-0,997 0,0000 -,63-0,3066,460 0,0000 0,997 -,8394,538-0,63 0,63,8394 Propredades: Assmetra 0,37 Curtose - 0, ,84 -,3-0,6 0,00 0,6,3,84,45 A méda do escore padrozado é zero; O desvo padrão do escore padrozado é um. A forma da dstrbução do escore padrozado é a mesma dos dados orgas. Escalas: O escore Z ão é utlzado ormalmete da forma como é calculado. É comum a utlzação de uma escala lear de trasformação. As duas mas utlzadas são: Escalas A escala T que é obtda através da segute trasformação T 0.Z + 50 A escala A que é utlzada os vestbulares é obtda por: A 00.Z

32 Teorema de Chebyshev O teorema de Chebyshev permte verfcar qual é o percetual mímo de valores de um cojuto de dados que deve estar um certo úmero de desvos em toro da méda. Em qualquer cojuto de dados com desvo padrão s, pelo meos ( /z ) dos valores do cojuto devem estar etre z desvos em toro da méda, ode z é um valor tal que z >. Eemplos: Assm pelo meos: 75% dos valores estão detro de z desvos a partr da méda; 89% dos valores estão detro de z 3 desvos a cotar da méda; X - X < S 94% dos valores estão detro de z 4 desvos a cotar da méda. - /4 75%. 3