Estatística Área 4 BACEN Aula 01 Estatística Descritiva Prof. Alexandre Lima. Aula 01. Sumário

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1 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Aula 0 Sumáro Itrodução à Estatístca... 3 Tpos de Varáves Rol Séres Estatístcas Téccas de Descrção Gráfca Descrção Gráfca de Varáves Qualtatvas Descrção Gráfca de Varáves Quattatvas Dscretas Descrção Gráfca de Varáves Quattatvas Cotíuas... 6 Caracterzação de uma Dstrbução de Frequêcas Meddas de Posção Meddas de Dspersão Varâca Desvo Padrão Coefcete de Varação Desvo Iterquartílco Meddas sobre Dados Bvarados Covarâca e Correlação O Mímo que Você Precsa Saber Eercícos de Fação Gabarto Resolução dos Eercícos de Fação Prof. Aleadre Lma

2 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Olá, tudo bem com você? Bem vdo ao curso! O foco da aula de hoje é troduzr a Estatístca Descrtva. Faremos uma revsão sobre gráfcos, tabelas, séres, tpos de varáves, dstrbuções de freqüêca, meddas sobre dados uvarados (méda, medaa, moda, desvo padrão, varâca, coefcete de varação etc.) e meddas sobre dados bvarados (covarâca e correlação). É sempre bom começar do íco! As otas eplcatvas estão dcadas pelos símbolos (*) ou (**). Opte por ão usar otas de rodapé para que haja uma melhor fluêca da sua letura. A últma seção da eposção teórca traz um resumo de algus cocetos e fórmulas mportates para a prova: é o mímo que você precsa saber para a prova! Espero que você aprovete bastate o que re lhe esar! Prof. Aleadre Lma

3 Itrodução à Estatístca Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma A Estatístca é a cêca que se preocupa em coletar, aalsar e fazer ferêcas a partr de dados. A sua matéra-prma é um cojuto de dados. Ela é uma cêca meo, e ão fm, sedo útl em város campos do cohecmeto, tas como físca, egehara, medca, atuára, bologa, ecooma, admstração, etc. Métodos estatístcos os ajudam a eteder o problema da varabldade. Mas o que sera essa varabldade? A déa é smples. Dversas observações de um sstema ou feômeo ão produzem eatamete o mesmo resultado. E sto ocorre porque sstemas/feômeos físcos estão sujetos à varabldade. Cosdere, por eemplo, o cosumo mesal de eerga elétrca da sua casa. Você observa o mesmo cosumo mesal todos os meses? É claro que ão! Às vezes, o cosumo vara cosderavelmete, como os meses de verão (devdo ao uso de ar-codcoado, vetlador, etc.) e de vero (por causa da utlzação de sstemas de aquecmeto, secadora de roupas, etc.). Outro eemplo prátco sera a arrecadação mesal de trbutos do govero. O govero precsa saber quas são as fotes potecas de varabldade o sstema de arrecadação. É aí que etra a Estatístca, pos ela é capaz de descrever a varabldade e de dcar quas fotes de varabldade são mas mportates ou quas têm mpacto sgfcatvo sobre o desempeho da arrecadação. A Estatístca pode ser dvdda em duas partes: a Estatístca Descrtva, que aborda a coleta, orgazação e a descrção dos dados epermetas (*), e a Iferêca Estatístca (ou Estatístca Idutva), cujo objetvo é ferr propredades de um agregado maor (a população) a partr de um cojuto meor (a amostra). A ferêca estatístca ão é eata; as suas duções sempre possuem um determado grau de certeza (**) (*) As etapas de coleta, orgazação é descrção podem ser resumdas pela termologa sítese dos dados. (**) A dução é um processo de racocío em que, partdo-se do cohecmeto de uma parte, procura-se trar coclusões sobre o todo. Uma população ou uverso é um cojuto de elemetos com pelo meos uma característca comum. A população pode ser fta ou fta. Por eemplo, o úmero de peus defetuosos produzdos em um da por uma determada fábrca, é uma população de tamaho fto. Já as observações obtdas pela medção dára de gases de efeto estufa represetam uma população de tamaho fto. A característca comum deve delmtar de forma eata quas os elemetos que pertecem à população e quas os que ão pertecem. Cosdere, por eemplo, a população dos dvíduos do seo masculo scrtos o prómo cocurso para o BACEN. Essa população ão clu as pessoas do seo femo que farão o mesmo cocurso. 3 Prof. Aleadre Lma

4 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Depos que caracterzamos a população, procedemos ao levatameto de dados acerca da característca (ou característcas) de teresse o estudo em questão. Na maora dos problemas de ferêca estatístca, é mpossível ou mpratcável observar toda a população. Devemos etão restrgr ossas observações a uma parte da população, sto é, a uma amostra proveete dessa população. Uma amostra é, portato, um subcojuto fto de uma população, e todos os seus elemetos serão eamados para a realzação do estudo estatístco desejado. Quato maor a amostra, mas precsas e cofáves serão as duções realzadas sobre a população. No lmte, resultados 00% cofáves podem ser obtdos através do eame completo da população. Na prátca, sso ão é ecessáro, pos duções sufcetemete precsas e cofáves podem ser realzadas desde que o tamaho da amostra seja corretamete dmesoado. Retoraremos ao estudo da Iferêca Estatístca, de forma bastate detalhada, em aulas posterores. A partr deste poto, voltaremos a ossa ateção para o foco desta aula, que é o estudo da Estatístca Descrtva. Tpos de Varáves A fução da Estatístca Descrtva é orgazar as formações cotdas os resultados observados. De forma geral, podemos ter cada um dos elemetos de uma população ou amostra assocado a mas de uma característca de teresse. Por eemplo, o cojuto dos elemetos sob vestgação pode ser uma amostra da população dos caddatos do seo masculo scrtos o últmo cocurso para o BACEN. Este é o cojuto dos elemetos fscamete defdos e cosderados. Para este cojuto, as varáves (característcas) de teresse poderam ser: dade, peso e altura. Neste curso, veremos apeas o caso de varáves udmesoas, em que apeas uma característca de teresse está assocada a cada elemeto do cojuto eamado. Há casos, porém, em que duas ou mas característcas precsam ser smultaeamete estudadas. A característca de teresse poderá ser qualtatva ou quattatva. Tem-se, portato, varáves qualtatvas ou quattatvas. A varável será qualtatva quado resultar de uma classfcação por tpos ou atrbutos, como, por eemplo: a) População: moradores de uma cdade. Varável: seo (masculo ou femo). b) População: peças produzdas por uma máqua. Prof. Aleadre Lma 4

5 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Varável: qualdade (perfeta ou defetuosa). Os atrbutos ou varáves qualtatvas são deomados ordas sempre que pode-se estabelecer uma ordem ou herarqua etre as respostas obtdas o levatameto estatístco. Por eemplo, o IBGE efetua perodcamete o levatameto do grau de strução dos brasleros por meo de um ceso completo da população. As respostas possíves para essa pesqusa seram algo como sem strução escolar, ível fudametal completo, ível fudametal completo, ível médo completo, ível médo completo, ível superor completo e ível superor completo. Essas respostas ão são úmeros, são varáves qualtatvas. Como é possível estabelecer uma herarqua etre as possíves respostas, tem-se uma varável qualtatva ordal. Por outro lado, a varável será quattatva quado seus valores forem epressos em úmeros. As varáves quattatvas podem ser dscretas ou cotíuas. Uma varável cotíua é aquela cujos possíves valores pertecem a um tervalo de úmeros reas e que resulta de uma mesuração, como, por eemplo, a estatura de um dvíduo. Uma varável dscreta é aquela cujos possíves valores formam um cojuto fto ou eumerável de úmeros, e que resultam, freqüetemete, de uma cotagem. Eemplos de varáves dscretas: a) População: casas resdetes em um dstrto de uma cdade. Varável: úmero de flhos. b) População: carros produzdos em uma lha de motagem. Varável: úmero de defetos por udade. Eemplos de varáves cotíuas: a) População: detergetes de uma certa marca e tpo. Varável: peso líqudo. b) População: peças produzdas por uma máqua. Varável: dâmetro etero. A Estatístca Descrtva pode descrever os dados através de gráfcos, dstrbuções de frequêca ou meddas assocadas a essas dstrbuções, coforme veremos a segur. 3 Rol Vmos que a orgazação dos dados coletados é uma das etapas do processo estatístco a cargo da Estatístca Descrtva. 5 Prof. Aleadre Lma

6 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Um rol é um arrajo dos dados em ordem crescete ou decrescete. Assm, {0, 8, 0,, 5, 3,, 4} são dados brutos e {, 3, 4, 8, 0,, 5, 0} costtuem o rol. 4 Séres Estatístcas As tabelas são recursos utlzados pela Estatístca, com o objetvo de orgazar e facltar a vsualzação e comparação dos dados. As tabelas permtem uma vsão geral dos valores assumdos pelas varáves detro de certos parâmetros. É chamada sére estatístca toda tabela que apreseta um cojuto de dados estatístcos dstrbuídos em fução da época, do local ou da espéce. As séres estatístcas podem ser classfcadas em hstórcas; geográfcas; específcas; e dstrbução de frequêcas. Eemplos: ) Sére hstórca: Ídce Nacoal de Preços ao Cosumdor Amplo (IPCA) IPCA (%) Ju/0 0,5 Ma/0 0,47 Abr/0 0,77 Mar/0 0,79 Fev/0 0,80 Ja/0 0,83 Dez/00 0,63 Nov/00 0,83 Out/00 0,75 Set/00 0,45 Ago/00 0,04 Jul/00 0,0 Ju/00 0,00 Fote: IBGE Prof. Aleadre Lma 6

7 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma ) Sére geográfca: os 0 maores PIB do mudo PIB 00 País US$ (blhões) EUA 4.58 Cha Japão Alemaha Fraça.560 Reo Udo.46 Brasl.087 Itála.05 Caadá.574 Fote: Baco Mudal 3) Sére específca: úmero de formados por curso de graduação de uma uversdade. 4) Dstrbução de frequêcas: NÚMERO DE ALUNOS EGRESSOS - 00 Cursos N o de egressos Egehara 00 Dreto 50 Admstração 50 Ecooma 50 Cotabldade 50 (*) Valores hpotétcos Altura dos aluos de uma academa gástca Alturas (m) N o de aluos,50 --,60 5,60 --,70 45,70 --,80 80,80 --,90 5,90 --,00 5,00 --,0 (*) Valores hpotétcos O coceto de dstrbução de frequêcas é mportate para a prova e será vsto com um maor grau de detalhameto a próma seção. Prof. Aleadre Lma 7

8 5 Téccas de Descrção Gráfca Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma A frequêca de um dado valor de uma varável (qualtatva ou quattatva) é defda como o úmero de vezes que esse valor fo observado. Seja f a frequêca do -ésmo valor observado. Se o úmero total de elemetos observados é, etão vale a relação () f k em que k deota o úmero de dferetes valores estetes da varável. A assocação das respectvas frequêcas a todos os dferetes valores observados defe a dstrbução de frequêcas do cojuto de valores observados. Também podemos trabalhar com a oção de frequêca relatva de um valor observado, defda como () f p. Observe que k (3) p. 5. Descrção Gráfca de Varáves Qualtatvas O gráfco obtdo por meo do cálculo das frequêcas ou frequêcas relatvas poderá ser um dagrama de barras, um dagrama crcular ou qualquer outro tpo de dagrama equvalete. Eemplo. Cosdere um grupo de 47 caddatos a um curso de MBA, classfcados segudo a sua graduação, coforme a Tabela. Tabela : formação de graduação. Formação Frequêcas Freq. Relatva (%) Egeheros 45 30,6 Admstradores 38 5,85 Ecoomstas 35 3,8 Cotadores 6 0,88 Outros 3 8,84 Total 47 00,00 Prof. Aleadre Lma 8

9 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Os dados estão represetados por meo de um dagrama de barras e por um dagrama crcular (veja as duas fguras a segur). Outros Cotadores Admstradores Ecoomstas Egeheros Egeheros Ecoomstas Admstradores Cotadores Outros 9% % 30% 6% 4% 5. Descrção Gráfca de Varáves Quattatvas Dscretas A descrção gráfca de varáves quattatvas dscretas é ormalmete feta por meo de um dagrama de barras. Como a varável é quattatva, seus valores umércos podem ser represetados um eo horzotal. Neste caso, as barras do dagrama serão vertcas. Eemplo. Cosdere a varável úmero de defetos por udade obtdos a partr de produtos retrados de uma lha de produção. Seja o cojuto de 0 valores obtdos coforme a Tabela. Prof. Aleadre Lma 9

10 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Tabela : dstrbução de frequêcas. f p 0 8 0,0 4 0,35 0 0, ,0 4 0,05 5 0,05 Total 40,00 A fgura a segur mostra o dagrama de barras assocado aos dados da Tabela. Também é possível represetar grafcamete os dados da Tabela utlzado as frequêcas acumuladas, que serão deotadas por F. A frequêca acumulada, em qualquer poto do eo horzotal (ou eo das abscssas), é a soma das frequêcas de todos os valores meores ou guas ao valor correspodete a esse poto. De forma aáloga, também temos as frequêcas relatvas acumuladas P. A Tabela 3 lustra as frequêcas e frequêcas relatvas acumuladas para os dados da Tabela. A fgura a segur mostra o gráfco das frequêcas acumuladas. Prof. Aleadre Lma 0

11 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Tabela 3: frequêcas acumuladas. F P 0 8 0,0 0,55 3 0, , , , Descrção Gráfca de Varáves Quattatvas Cotíuas O dagrama de barras ão é usado a descrção gráfca de varáves quattatvas cotíuas (*). O Eemplo a segur lustra a técca usualmete empregada a prátca. (*) Devdo à atureza cotíua da varável. Prof. Aleadre Lma

12 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Eemplo. Cosdere a varável comprmeto de peças produzdas em uma fábrca, dada em cetímetros: 0,4 0,5 0,8 0, 0,6 0,6 0, 0,7 0,4 0,5 0,3 0,5 0,4 0,7 0,4 0,9 0,5 0,3 0,6 0,5 0,4 0,5 0,6 0,9 0,7 Na Tabela 4, temos os dados acma orgazados em termos de frequêcas e de frequêcas relatvas, smples e acumuladas. Tabela 4: dstrbução das frequêcas e das frequêcas acumuladas. f F p P 0, 0,08 0,08 0,3 4 0,08 0,6 0, ,0 0,36 0, ,4 0,60 0, ,6 0,76 0,7 3 0, 0,88 0,8 3 0,04 0,9 0,9 5 0,08,00 5,00 A próma fgura é uma represetação gráfca das duas prmeras coluas da Tabela 4. É mportate que você apreda a terpretar corretamete o gráfco da fgura a segur. Por eemplo, a frequêca assocada ao valor 0,3 quer dzer, a verdade, que temos dos valores compreeddos etre os lmtes 0,5 e 0,35, que foram apromados, o processo de medção, para 0,3. Portato, uma represetação gráfca correta deverá assocar a frequêca ao tervalo 0,5-0,35. Isto é feto por meo de uma fgura formada com retâgulos cujas áreas represetam as frequêcas dos dversos tervalos estetes. Tal fgura é deomada hstograma. Prof. Aleadre Lma

13 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma f No caso das varáves cotíuas, as frequêcas sempre serão assocadas a tervalos de varação da varável e ão a valores dvduas. Tas tervalos são chamados de classes de frequêcas. Estas classes são usualmete represetadas pelos seus potos médos. Varáves cotíuas também podem ser represetadas pelo polígoo de frequêcas, que é obtdo udo-se os potos médos dos patamares do hstograma. Para completar a fgura, cosderam-se duas classes lateras com frequêca ula (*). A fgura a segur lustra o polígoo de frequêcas correspodete ao hstograma da fgura ateror. (*) Eceto o caso de varáves essecalmete postvas cujo hstograma se ca o valor zero, pos ão havera setdo em se cosderar um tervalo com valores egatvos. Prof. Aleadre Lma 3

14 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma f A fgura a segur mostra os gráfcos das frequêcas relatvas acumuladas e do polígoo de frequêcas relatvas acumuladas (ou ogvas percetuas (*)) relatvos ao últmo eemplo. (*) O polígoo de frequêcas acumuladas também pode ser chamado de ogva. P Na prátca, às vezes é ecessáro agrupar os dados em classes de frequêca que eglobam dversos valores da varável. A frequêca de cada classe será, esse caso, gual à soma das frequêcas de todos os valores estetes detro 4 Prof. Aleadre Lma

15 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma da classe. Este procedmeto correspode a uma dmução propostal da precsão com que os dados foram computados. O problema a resolver, em tas casos, é o de determar qual o úmero k de classes a costtur, qual o tamaho ou ampltude h dessas classes e quas os seus lmtes. Seja R a ampltude do cojuto de dados, ou seja, a dfereça etre o maor e o meor dos valores observados. Fado o úmero k de classes, resulta (4) R h. k 6 Caracterzação de uma Dstrbução de Frequêcas A dstrbução de frequêcas de uma varável quattatva também pode ser caracterzada por gradezas umércas deomadas meddas da dstrbução de frequêcas. As meddas buscam sumarzar as formações dspoíves sobre o comportameto de uma varável. Há meddas de posção, de dspersão, de assmetra e de achatameto ou curtose. As meddas de posção e de dspersão são as mas mportates a prátca e servem para localzar as dstrbuções e caracterzar a sua varabldade. 6. Meddas de Posção As meddas de posção servem para localzar a dstrbução de frequêcas sobre o eo de varação da varável em questão. Estudaremos, esta aula, a méda, a medaa e a moda. A méda e a medaa dcam, por crtéros dferetes, o cetro da dstrbução de frequêcas, ou seja, são meddas de tedêca cetral. A moda, por sua vez, dca a regão de maor cocetração de frequêcas a dstrbução. Méda Artmétca Supoha que você more em São Paulo (captal) e que esteja plaejado uma vagem de carro para o Ro de Jaero (captal) pela rodova BR-6 (rodova Pres. Dutra) o prómo feradão. Qual sera o tempo gasto a vagem? Bem, a resposta mas eata, do poto de vsta estatístco, uma vez que o tempo de vagem é uma gradeza aleatóra (o tempo de vagem vara em fução de fatores sobre os quas ão temos cotrole tas como cogestoametos devdos a acdetes com veículos, fscalzações da Políca Rodovára, etc.), sera forecer a dstrbução de frequêcas dos tempos de vagem de carro para o Ro de Jaero (vamos admtr que você vaje de carro com alguma frequêca para o Ro de Jaero e que teha coletado esse cojuto de dados). Porém, guém espera que você dê como resposta uma dstrbução 5 Prof. Aleadre Lma

16 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma de frequêcas dos tempos de vagem. O que se espera é que você foreça o tempo esperado ou médo que será gasto a vagem. Como calculamos a méda de uma dstrbução de frequêcas? Respoderemos essa perguta a sequêca. A méda artmétca, ou méda, de um cojuto de úmeros defda por (lea-se barra ),...,, é... (5) Eemplo. A méda dos úmeros 3, 4, 8, e 3 é Se k valores dsttos observados k ,8 5,..., f, f,..., f k ( f ), respectvamete, a méda será f k k f f... f... fk k (6) f k p f f... f... fk f em que p deota a -ésma frequêca relatva. k, k ocorrerem com as frequêcas Eemplo. Se 4, 7, 5, ocorrerem com as frequêcas 3,, 4 e, respectvamete, a méda artmétca será de (43) (7 ) (5 4) () 4,8 3 4 Mecoamos acma que a méda caracterza o cetro da dstrbução de frequêcas; fazedo uma aaloga com a mecâca, poderíamos terpretar a méda como sedo o cetro de gravdade de uma dstrbução de frequêcas. Podemos destacar as segutes propredades da méda: a) multplcado todos os valores de uma varável por uma costate, a méda do cojuto fca multplcada por essa costate. Seja a varável de teresse, c um valor costate e y = c. Etão y c. Prof. Aleadre Lma 6

17 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma b) somado ou subtrado uma costate a todos os valores de uma varável, a méda do cojuto fca acrescda ou dmuída dessa costate. Seja a varável de teresse, c um valor costate e y c. Etão y c. Méda das médas Sejam os cojutos A com A valores, B com B valores,..., e K com K valores. Se A tem méda A, B tem méda B,..., e K tem méda K, etão a méda do cojuto maor que é formado pela reuão de todos os elemetos dos cojutos A, B,..., K em um úco cojuto é dada por: (7) AA BB A B K K K, Eemplo. Em uma empresa, há 400 homes e 00 mulheres. Os saláros médos pagos aos empregados dos seos masculo e femo são de R$.50,00 e R$.40,00, respectvamete. Calcule a méda global dos saláros. Dados: 400,. 50; 00,. 40 H H M M H H H M M M Méda global dos saláros = R$.500,00 Outros Tpos de Méda Podemos defr outros tpos de méda de um cojuto de dados, tas como a méda geométrca, a méda harmôca e a méda poderada dadas por (8)... g. g h p (9) h... (0) p w w... w w w... w em que w,...,, w w deotam fatores de poderação ou pesos. Prof. Aleadre Lma 7

18 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Eemplo. A méda geométrca dos úmeros, 4 e 8 é: g Eemplo. A méda harmôca dos úmeros, 4 e 8 é: h ,43 Eemplo. O desempeho em um curso de graduação é avalado por meo das otas obtdas as provas bmestras P e P e pela ota de Atvdades (A). Sabedo-se que a P tem peso 5, que a P tem peso e que A tem peso 3, determe a méda fal do aluo que obteve as segutes otas (em uma escala de 0 a 0): P = 5,0, P = 4,5 e A=8,5. p (5,0) (5 4,5) (38,5) 58,0 5, Relação etre as médas artmétca, geométrca e harmôca A méda geométrca de um cojuto de úmeros postvos,...,, é meor do que ou gual à sua méda artmétca, mas é maor do que ou gual à sua méda harmôca: méda harmôca méda geométrca méda artmétca Méda de uma Dstrbução de Frequêcas de Dados Agrupados em Itervalos de Classe Quado os dados são apresetados em uma dstrbução de frequêcas, todos os valores cluídos um certo tervalo de classe são cosderados cocdetes com o poto médo do tervalo. As fórmulas (5) e (6) da méda serão váldas para esses dados agrupados quado se terpretar como o poto médo do tervalo e f como a frequêca de classe correspodete. Eemplo. Seja a dstrbução em classes de frequêca dada a Tabela 5. Temos que f ,0. 00 Tabela 5: cálculo da méda. Prof. Aleadre Lma 8

19 Classe f f (lmtes reas) 40,0 45,0 6 4, ,0 50,0 6 47, ,0 55,0 3 5, ,0 60,0 4 57, ,0 65,0 4 6, ,0 70,0 6 67, ,0 75,0 7, Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Nota: a méda de uma dstrbução de frequêcas às vezes é chamada de valor esperado. Medaa A medaa caracterza o cetro de uma dstrbução de frequêcas com base a ordem dos valores que formam o cojuto de dados. A medaa é o valor que ocupa a posção cetral dos dados ordeados. A medaa é o valor que dvde a dstrbução ao meo, deado os 50% meores valores de um lado e os 50% maores valores do outro lado. A medaa de um cojuto de valores ordeados, sedo ímpar, é defda como o valor de ordem (+)/ desse cojuto. Se for par, cosderaremos a medaa como o valor médo etre os valores de ordem / e (/) + do cojuto de dados. Eemplo. A medaa dos ove valores já ordeados, é gual a 0. A medaa dos oto valores já ordeados, é gual a (9+0)/ = 9,5. A medaa (md) de uma dstrbução em classes de frequêcas é dada pela epressão ( / ) Fa () md L hmd f md Prof. Aleadre Lma 9

20 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma em que L é o lmte feror da classe que cotém a medaa, é o úmero de elemetos do cojuto de dados, F a é a soma das frequêcas das classes aterores à que cotém a medaa, f md é a frequêca da classe que cotém a medaa e h md é a ampltude da classe que cotém a medaa. A epressão () supõe que os valores observados da varável teham se dstrbuído homogeeamete detro das dversas classes. Eemplo. Cosdere os dados da Tabela 5, repetdos abao a Tabela 6. A medaa é Tabela 6 Classe f (lmtes reas) 40,0 45,0 6 45,0 50,0 6 50,0 55,0 3 55,0 60,0 4 60,0 65,0 4 65,0 70,0 6 70,0 75, md 50,0 5 54, Em certos casos prátcos, como aqueles que evolvem dstrbuções de frequêca com valores etremos, é mas coveete usar a medaa como medda de tedêca cetral, pos a méda sofre fluêca de valores etremos. Neste caso, a medaa forecerá uma melhor déa do cetro da dstrbução de frequêcas da varável sob aálse. A medaa de uma dstrbução em classes de frequêcas pode ser geometrcamete terpretada como o poto tal que uma vertcal por ela traçada dvde a área sob o hstograma em duas partes guas. A medaa e a méda são cocdetes quado a dstrbução é smétrca. Em dstrbuções assmétrcas, a méda tede a deslocar-se para o lado da cauda mas loga (vde fgura a segur). Prof. Aleadre Lma 0

21 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Dstrbução smétrca Dstrbução assmétrca 50% 50% 50% 50% méda = medaa medaa méda A medaa dvde o cojuto ordeado de dados em dos subcojutos com gual úmero de elemetos. Há outras maeras de se dvdr os dados ordeados. Os quarts (Q, Q, Q 3 ) dvdem o cojuto ordeado de valores em quatro subcojutos com gual úmero de elemetos. O prmero quartl (Q ) ou quartl feror (Q ) delmta os 5% meores valores; o segudo quartl é a própra medaa e o tercero quartl (Q 3 ) ou quartl superor (Q s ) é o valor que separa os 5% maores valores (veja a próma fgura). Além dos quarts, podemos defr os decs (D, D,..., D 9 ), que são os valores que dvdem os dados ordeados em dez partes guas (ote que a medaa correspode ao quto decl D 5 ) e os percets,que são os valores que dvdem os dados ordeados em 00 partes guas, sedo represetados por P, P,..., P 99 (a medaa é o percetl P 50 ). De maera geral, os quarts, decs e percets e outros valores obtdos medate subdvsões dos dados em partes guas são deomados quats. 5% 5% 5% 5% Q md Q s Prof. Aleadre Lma

22 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Os quarts, os decs e os percets são meddas de posção separatrzes, pos são valores que ocupam determados lugares do eo horzotal da dstrbução de frequêcas, abragedo tervalos guas de um cojuto de valores coletados e orgazados. Observe que a medaa, além de ser uma medda de posção de tedêca cetral, é também uma medda separatrz. Moda A moda é dada pelo valor mas freqüete (ou de máma frequêca). Sedo assm, a moda para o cojuto de dados da Tabela é e, o caso da Tabela 6, a classe modal é 50,0 55,0. Se todas as realzações do cojuto de valores observados ocorrem com a mesma frequêca, dz-se que a sére estatístca é amodal, ou seja, ão tem valor modal. Eemplo. Seja a sére estatístca {,, 9, 4, 5, 0, 8, 7,, 9}. Essa sére é amodal, pos ão há repetção de valores (todos ocorrem o mesmo úmero de vezes). Pode haver mas de uma moda em um cojuto de valores. Se houver apeas uma moda, a dstrbução é dta umodal. Se houver duas, é bmodal, se possur três é trmodal e assm sucessvamete. No caso de dstrbuções de frequêca em classes de mesma ampltude, é comum defr-se a moda (mo) como um poto pertecete à classe modal, dado por d () mo L h, d d em que L é o lmte feror da classe modal, d é a dfereça etre a frequêca da classe modal e a da classe medatamete ateror, d é a dfereça etre a frequêca da classe modal e a da classe medatamete segute e h é a ampltude das classes. A fórmula () correspode ao cálculo da moda pelo Método de Czuber. Eemplo.Cosdere os dados da Tabela 6. Etão L 50, 0, d 3 6 6, d 3 4 8, h 5 e a moda é 6 mo 50,0 5 53, Prof. Aleadre Lma

23 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma A moda também pode ser calculada pelo Método de Kg: em que f post mo L h, f f L deota o lmte feror da classe modal, post at f post é a frequêca da classeposterorà classe modal, f at é a frequêca da classe ateror à classe modal e h é a ampltude da classe modal. Caso a questão da prova ão especfque, deverá ser utlzado o método de Czuber. A fgura a segur mostra as posções relatvas da moda, medaa e méda para uma dstrbução de frequêca (levemete) clada para a dreta. Moda Medaa Méda Já cau em prova! (Paploscopsta PF/CESPE-UB/004) Classfcação mímo º quartl medaa méda 3º quartl mámo varâca A 0 5 7,5 30 3, B A ou B y z 3 w u v De acordo com um levatameto estatístco, a méda das dades de um grupo de presdáros é gual a 3 aos de dade. Nesse levatameto, os presdáros foram classfcados como A ou B, depededo da sua codção pscossocal. Costatou-se que a méda das dades dos presdáros classfcados como A é meor que a méda das dades dos presdáros classfcados como B. A tabela acma apreseta algumas meddas estatístcas obtdas por meo desse levatameto. Prof. Aleadre Lma 3

24 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma A partr das formações acma, julgue os tes que se seguem. A moda das dades dos presdáros classfcados como A, segudo a fórmula de Czuber, está etre 5,5 e 6 aos de dade. Resolução No caso de dstrbuções de frequêca em classes de mesma ampltude, é comum defr-se a moda (mo) como um poto pertecete à classe modal, dado por d mo L h, d d em que L é o lmte feror da classe modal, d é a dfereça etre a frequêca da classe modal e a da classe medatamete ateror, d é a dfereça etre a frequêca da classe modal e a da classe medatamete segute e h é a ampltude das classes. Observe que os dados do levatameto estatístco ão estão agrupados em tervalos de classe, ou seja, ão temos acesso ao hstograma correspodete. Portato, a fórmula da moda segudo Czuber ão pode ser aplcada ao tem (o mesmo se aplca para a fórmula da moda segudo Kg). A coclusão de que A moda das dades dos presdáros classfcados como A, segudo a fórmula de Czuber, está etre 5,5 e 6 aos de dade é um mero chute. GABARITO: E O úmero de presdáros classfcados como A é gual ao dobro do úmero de presdáros classfcados como B. Resolução Dados: A 30, B 33. Méda das médas ( X ): X A B A B A B A B 3 A B A B Prof. Aleadre Lma 4

25 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma em que A e B deotam o úmero de presdáros classfcados como A e o úmero de presdáros classfcados como B, respectvamete. Logo, é correto afrmar que o úmero de presdáros classfcados como A é gual ao dobro do úmero de presdáros classfcados como B. GABARITO: C Já cau em prova! (Paploscopsta PF/004/CESPE-UB) O ser humao tem mpressos os dedos das mãos pelo meos quatro desehos dferetes. Embora pessoas dferetes teham sempre dgtas dferetes, esses desehos formam padrões cohecdos como tpos fudametas de mpressões dgtas. Há raras eceções a essa regra de classfcação. Por sso, essa regra é utlzada para a detfcação de uma pessoa. Um perto, observado os dedos dcadores dretos de 00 dvíduos, obteve a segute dstrbução dos tpos fudametas, segudo o gêero (homem/mulher). Tpo fudametal gêero arco preslha tera preslha etera vertclo total homem mulher No estudo desse perto, foram assocados valores, y e z para cada dvíduo, da segute maera: =, caso o tpo fudametal da mpressão dgtal do dvíduo for vertclo e = 0, caso cotráro; y = se o tpo fudametal da mpressão dgtal do dvíduo for arco e y = 0, caso cotráro; z = se o dvíduo for mulher e z = 0 se for homem. Como resultado desse procedmeto, formam-se três séres estatístcas, respectvamete, X, Y e Z, cada uma com duzetas observações. A partr dessas formações, julgue os tes a segur. A medaa de X é superor a 0,8. Resolução O total de homes e mulheres com mpressão dgtal vertclo é 70. Logo, sobram = 30 homes e mulheres que ão têm mpressão dgtal vertclo. O rol da sére possu 30 zeros e 70 us. Portato, a medaa é zero (0), meor que 0,8. GABARITO: E Prof. Aleadre Lma 5

26 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma A medaa do produto X Z é meor que 0,05. Resolução Dados: - = se o tpo fudametal da mpressão dgtal do dvíduo for vertclo; - = 0 se o tpo fudametal da mpressão dgtal do dvíduo NÃO for vertclo; - z = se o dvíduo for mulher; e - z = 0 se o dvíduo for homem. A sére W = X Z regstra as pessoas do gêero femmo E com mpressão dgtal vertclo. Neste caso, a sére W tem 35 us (z =. = se uma mulher tem mpressão dgtal vertclo) e = 65 zeros (z = 0.z = 0 se um homem ou mulher ão tem mpressão dgtal vertclo). Logo, a medaa de W é zero, meor que 0,05. GABARITO: C Já cau em prova! (Serpro/CESPE-UB/00/Adaptada) Certa empresa, em determado mês, realzou levatameto acerca da quatdade dáras de acessos smultâeos ao seu sstema cujo resultado é mostrado a fgura acma. A partr das formações apresetadas essa fgura, e cosderado que a dstrbução da quatdade dáras de acessos smultâeos é represetada pela varável X, julgue os tes a segur. A quatdade de 6 ml acessos smultâeos por da represeta a moda de X. Prof. Aleadre Lma 6

27 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Resolução A moda de X (valor que apreseta a maor frequêca) é gual a 3 ml, cuja frequêca é 0. A quatdade de 6 ml acessos smultâeos é o valor de meor frequêca (= ). Item errado. GABARITO: E O mês em que esse levatameto fo realzado possu mas de 30 das. Resolução quatdade de acessos smultâeos frequêca ( o de das) Total 3 Os dados foram tabulados a tabela acma, a qual dca que o mês em que esse levatameto fo realzado possu 3 das. Item certo. GABARITO: C A quatdade de.000 acessos smultâeos dáros represeta o prmero quartl da dstrbução X. Resolução quatdade de acessos smultâeos frequêca ( o de das) frequêca relatva frequêca acumulada /3 = 6,% 6,% /3 = 9,4% 35,5% /3 = 3,3% 67,8% /3 = 9,4% 87,% /3 = 9,7% 96,9% /3 = 3,% 00,0% Total 3 3/3 = 00% Os dados tabulados acma dcam que o prmero quartl Q (valor que delmta os 5% meores valores) da dstrbução de X é a quatdade de ml acessos smultâeos, haja vsta o fato de a frequêca acumulada para essa quatdade ultrapassar a frequêca acumulada de 5%. Prof. Aleadre Lma 7

28 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Observe que a frequêca acumulada para 000 acessos é 35,5% e sto NÃO mplca que 000 ão seja o prmero quartl da sére. Resolvamos de outra maera. O rol de acesso é o segute: 000, 000, 000, 000, 000 (5 das) 000, 000, 000, 000, 000, 000(6 das) 3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000 (0 das) 4000, 4000, 4000, 4000, 4000, 4000 (6 das) 5000, 5000, 5000 (3 das) 6000 ( da) Número total de das = 3. Logo, a Medaa do rol correspode ao décmo seto valor: Temos agora a segute sub-sére até a Medaa: 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000 Como esta sub-sére tem 6 elemetos, a sua medaa (= o Quartl da sére completa) é o valor médo etre os valores da otava e da oa posção, ou seja, 000. Etão, Q = 000. Etedo que a prmera resolução é mas rápda, portato mas adequada de ser usada em uma stuação real de prova. Note que esta questão cobra DADOS TABULADOS. Quado há mutos dados, como é o caso da questão, é mas rápdo resolver usado o racocío das frequêcas acumuladas. GABARITO: C É correto classfcar a varável X como uma varável quattatva ordal. Resolução Errado. Tal classfcação é aplcável aos atrbutos ou varáves qualtatvas quado é possível estabelecer uma ordem ou herarqua etre as respostas obtdas o levatameto estatístco. Por eemplo, o IBGE efetua Prof. Aleadre Lma 8

29 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma perodcamete o levatameto do grau de strução dos brasleros por meo de um ceso completo da população. As respostas possíves para essa pesqusa seram algo como sem strução escolar, ível fudametal completo, ível fudametal completo, ível médo completo, ível médo completo, ível superor completo e ível superor completo. Essas respostas ão são úmeros, são varáves qualtatvas. Como é possível estabelecer uma herarqua etre as possíves respostas, tem-se uma varável qualtatva ordal. GABARITO: E A medaa amostral de X é gual a Resolução Os dados tabulados aterormete mostram que a medaa da dstrbução de X é a quatdade de 3 ml acessos smultâeos, pos a frequêca acumulada para essa quatdade ultrapassa a frequêca acumulada de 50%. GABARITO: E 6. Meddas de Dspersão Pese a segute stuação: uma pessoa faz quatro refeções por da, equato que outra ão faz ehuma refeção por da. Na méda, ambas fazem duas refeções por da. Isto quer dzer que os dos dvíduos estão bem almetados? A resposta óbva é ão. É para sso que servem as meddas de dspersão, sto é, meddas de como os dados estão agrupados: mas ou meos prómos etre s (mas ou meos dspersos). As meddas de dspersão dcam o quato os dados se apresetam dspersos em toro da regão cetral. Desta forma, caracterzam o grau de varabldade estete os dados. As segutes meddas de dspersão os teressam: a varâca, o desvo padrão, o coefcete de varação e o desvo terquartílco. 6.. Varâca A varâca de um cojuto de valores X,,..., } pode ser calculada pela fórmula (3) s ( ) { Prof. Aleadre Lma 9

30 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma em que s deota a varâca e represeta a méda artmétca. Neste curso, também utlzaremos a otação Var(X) para a varâca do cojuto X. Se os valores dsttos k,...,, k ocorrerem com as frequêcas f, f,..., fk ( f ), respectvamete, a varâca será dada por (*) k (4) s f ( ). (*) Em (3) e (4), cosderamos que os dados se referem a uma população fta. Caso os dados estejam assocados a uma amostra, o fator (= f ) que aparece o deomador do lado dreto de (3) e (4) deve ser substtuído por ( ). A justfcatva para o uso do fator ( ) foge ao escopo desta aula porque trata-se de um problema de ferêca estatístca. Cotudo, o erro cometdo quado calculamos a varâca amostral pela fórmula (3) (ou (4)) é pequeo para grades valores de (cosdere >30). A mesma observação é válda para as meddas de covarâca e de correlação que serão vstas mas adate. Cosdere o cojuto de observações X,,..., }. A varâca tem as segutes propredades: { Seja o ovo cojuto Y=cX={c, c,..., c }, em que c é um valor fo. Etão a varâca de Y é gual a c elevado ao quadrado vezes a varâca de X: Var(Y) = c Var(X). Seja o ovo cojuto W=c+X={c+, c+,..., c+ }, em que c é um valor fo. Etão a varâca de W=c+X é gual a varâca de X (*): Var(W) = Var(X). (*) A varâca de um valor fo é ula. A fórmula (3) pode ser reescrta a forma s, ou seja, como a dfereça etre a méda artmétca dos quadrados dos valores e o quadrado da méda artmétca dos valores: Varâca = Méda dos Quadrados Quadrado da Méda. A varâca amostral também pode ser reescrta em uma forma aáloga: Prof. Aleadre Lma 30

31 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma s ( ) ou s f caso os valores dsttos k f ).,...,, k ocorram com as frequêcas f, f,..., fk ( Varâca Amostral = Soma dos Quadrados/( ) Quadrado da Méda corrgdo pelo fator /( ) EXEMPLO. Julgue o tem a segur. Cosdere o cojuto de dados {, 5, 8,, 4}. Etão a varâca desse cojuto é meor que 0. Resolução A méda do cojuto é e a varâca ( ) ( 8) (5 8) (8 8) (8) (4 8) s 8 Item certo. 5 Também podemos usar a fórmula "maceteada" da varâca: Varâca = Méda dos Quadrados Quadrado da Méda = Sequêca de cálculos: ) Méda dos quadrados: Prof. Aleadre Lma 3

32 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma ) Quadrado da méda: Etão, 3) s (mesmo resultado!). GABARITO: C Eemplo (ATRFB/ESAF/0) A varâca da amostra formada pelos valores, 3,, 4, 5 e 3 é gual a A) 3 B) C) D) 4 E) 5 Resolução A questão pede que você calcule a varâca de uma amostra (ou varâca amostral). Etão a fórmula a ser utlzada é a versão corrgda de (4), em que o deomador do lado dreto da gualdade é ( ): Cálculo da méda: s k f ( ) valor () frequêca (f ).f.f = = = = = 6 3 = = 4 4 = = 5 5 = 5 f = = 6.f = 8.f = 64 Prof. Aleadre Lma 3

33 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma k f ( ) () (3 ) (4) (5) Cálculo da varâca amostral: k [ ( 3) ] [ ( 3) ] [ (3 3) ] [ (4 3) ] [ (5 3) s f( ) s opção B 5 A varâca amostral também pode ser calculada pela fórmula, Varâca Amostral = Soma dos Quadrados/( ) Quadrado da Méda corrgdo pelo fator /( ) GABARITO: B s f Varâca Combada Cosdere o cojuto de dados A com N A elemetos, méda A e varâca s A e o cojuto B com N B elemetos, méda B e varâca s B. Pode-se demostrar que a varâca da população cojuta A+B, também deomada varâca combada ou global, é dada por A B A AB N A NB N A NB N A NB B s. ] Fazedo N = N A + N B, obtemos A B A B A B. s N N N Prof. Aleadre Lma 33

34 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Eemplo (REFAP/Cesgraro/007). O setor de recursos humaos de uma empresa tem o hábto de dvulgar separadamete a méda e a varâca das otas das avalações dos fucoáros do seo femo e do masculo. Na últma avalação, os resultados obtdos foram: Femo Masculo Número de fucoáros 0 30 Méda 6 7 Varâca 3,4 4 A méda e a varâca das otas dos fucoáros dessa empresa, respectvamete, valem: A) 6,5 e 3,7 B) 6,6 e 3,4 C) 6,6 e 4,0 D) 7,5 e 3,7 E) 3,0 e 7,5 Resolução Dados: N A = 0, A 6 e s A 3, 4 (cojuto femo); N B = 30, B 7 e s B 4, 0 (cojuto masculo). A méda global ou méda das médas é dada pela méda poderada das médas dos cojutos: X AB N AA N A NBB N B ,6. O resultado acma já os permte elmar as opções A, D e E. Restaram as alteratvas B e C. A varâca combada é dada por s A B A B A B. N N N Calcularemos a varâca combada se soubermos os valores das somatóras A (soma dos quadrados de A) e B A (soma de A), B (soma de B), (soma dos quadrados de B). Prof. Aleadre Lma 34

35 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma A A méda do cojuto A é 6 6 A 0 0 A méda do cojuto B é 7 B 7 B 0 30 (soma de A = 0). (soma de B = 0). A varâca de A é 3,4. Etão, A A A A s A 3,4 A 3,4 6 3,4 N A N A 0 0 A 039,4 788 (soma dos quadrados de A = 788). A 0 39,4 A varâca de B é 4,0. Logo, B B B B B s B 4,0 B 4,0 7 4,0 NB NB B (soma dos quadrados de B =.590). 53,0 Falmete, temos que A B A B s A B N N N s 47,56 43,56 4,0 varâca combada = 4,0. AB ,56 6,6 GABARITO: C Nota: se as médas dos cojutos A e B forem guas, ou seja, se A B, a varâca combada pode ser calculada por meo da fórmula smplfcada s N AsA NBsB N AsA NBsB A B, N A NB N em que N = N A + N B. Repare que trata-se de uma méda poderada das varâcas dvduas. Ateção: a fórmula acma é um caso partcular da fórmula ateror da varâca combada. Você só poderá aplcá-la quado as médas dos cojutos A e B forem guas! Eemplo. Sejam os cojutos de úmeros {, 5, 8,, 4} e {, 8, 4}, Assale a opção com a varâca dos cojutos combados ou reudos. Prof. Aleadre Lma 35

36 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma A) 8 B) 0,5 C) 8 D) 4 E) Resolução Temos a sére estatístca A = {, 5, 8,, 4} com méda e a sére B = {, 8, 4} com méda A B Como as médas são guas, podemos aplcar a fórmula smplfcada Varâca do º cojuto: s N AsA NBsB N A B. s A ( ) ( 8) (5 8) (8 8) (8) (4 8) A A N 5 A 8. Varâca do º cojuto: ( B B) ( 8) (8 8) (4 8) s B 4. N Varâca combada: s AB 0, GABARITO: B Varâca de Dados Agrupados em Itervalos de Classe B Como já vsto, quado os dados são apresetados em uma dstrbução de frequêcas, todos os valores cluídos um certo tervalo de classe são cosderados cocdetes com o poto médo do tervalo. As fórmulas (3) e (4) Prof. Aleadre Lma 36

37 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma s s ( ) k f( ) k f k p serão váldas para esses dados agrupados quado se terpretar k como o poto médo e f ( f, p ) como a frequêca de classe correspodete. k Eemplo. Seja a dstrbução em classes de frequêca dada a Tabela 5. Temos que Vmos que, Classe (lmtes reas) Tabela 7: cálculo da varâca. f f f 40,0 45,0 6 4,5 55, ,5 45,0 50,0 6 47,5 760, ,0 50,0 55,0 3 5,5.680, ,0 55,0 60,0 4 57,5.380, ,0 60,0 65,0 4 6,5 875, ,5 65,0 70,0 6 67,5 405, ,5 70,0 75,0 7,5 45,0 0.5,5 Total = ,0 f ,0. 00 Logo, k Varâca s f ,5 3.05,0 45, Prof. Aleadre Lma 37

38 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Já cau em prova! (Paploscopsta PF/CESPE-UB/004) Classfcação mímo º quartl medaa méda 3º quartl mámo varâca A 0 5 7,5 30 3, B A ou B y z 3 w u v De acordo com um levatameto estatístco, a méda das dades de um grupo de presdáros é gual a 3 aos de dade. Nesse levatameto, os presdáros foram classfcados como A ou B, depededo da sua codção pscossocal. Costatou-se que a méda das dades dos presdáros classfcados como A é meor que a méda das dades dos presdáros classfcados como B. A tabela acma apreseta algumas meddas estatístcas obtdas por meo desse levatameto. A partr das formações acma, julgue os tes que se seguem. O valor de v está etre 65 e 75. Resolução A varâca combada v é dada por v S AB A A B A B B A A B B A A A A 30 A 60 B Nota: a solução do tem da pág. 4 mostra que 30A 60 B. A B. É por sso que B B B B 33 B A S A 49 A 49 A A A A 949 A 898 B Prof. Aleadre Lma 38

39 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma B S B 00 B 00 B B B B 89 B v S AB 898 B 89B 60B 33B 63,67 396,33 3 3B 3B 3B Etão é certo afrmar que 65 < v = 68 < 75. GABARITO: C Valores de e u são, respectvamete, guas a 9 e 5 aos de dade. Resolução O levatameto estatístco ão dea dúvda de que o valor mímo de A ou B é = 8 e o valor mámo de A ou B é u = 5. Item errado. GABARITO: E 6.. Desvo Padrão O desvo padrão mede a dspersão absoluta de um cojuto de dados. É dado pela raz quadrada postva da varâca: (5) s. s O desvo padrão está a mesma udade da varável e dca, em méda, qual será o erro (desvo) cometdo ao tetar substtur cada observação pela méda do cojuto de dados. Neste curso, também utlzaremos a otação DP(X) para o desvo padrão do cojuto X. Eemplo. Determe o desvo padrão do cojuto, 5, 8,, 4. Vmos que esse cojuto possu varâca gual a 8. Logo, s 8 4, 4. Cosdere o cojuto de valores X,,..., }. O desvo padrão tem as segutes propredades: { Seja o cojuto Y=cX={c, c,..., c }, em que c é um valor fo. Etão o desvo padrão de Y é gual a c vezes o desvo padrão de X: DP(Y) = c.dp(x). Prof. Aleadre Lma 39

40 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Seja o ovo cojuto W=c+X={c+, c+,..., c+ }, em que c é um valor fo. Etão o desvo padrão de W = c+x é gual ao desvo padrão de X: DP(W) = DP(X) 6..3 Coefcete de Varação O coefcete de varação é defdo como o quocete etre o desvo padrão e a méda, sedo frequetemete epresso em porcetagem (*): (6) s cv( ). O coefcete de varação mede a dspersão relatva dos dados. Utlzase o coefcete de varação a comparação do grau de cocetração em toro da méda para duas ou mas séres dsttas. (*) Logo, podemos dzer que o coefcete de varação é um admesoal. Eemplo. Determe o coefcete de varação do cojuto, 5, 8,, 4. 4,4 O cojuto tem méda 8 e desvo padrão 4,4. Portato, cv ( ) 0,53 53% Desvo Iterquartílco O desvo terquartílco (ou ampltude terquartl) é defdo como (7) d Q Q 3 Q, em que d Q deota o desvo terquartílco, Q 3 é o tercero quartl (ou quartl superor) e Q é o prmero quartl (ou quartl feror). A ampltude terquartl pode ser usada como uma medda de dspersão. Em dstrbuções mas dspersas, os valores dos quarts fcam mas dstates. Em dstrbuções smétrcas, a dstâca etre o quartl feror e a medaa é gual à dstâca etre a medaa e o quartl superor, equato que em dstrbuções assmétrcas essas dstâcas são dferetes. Eemplo. O prmero e o tercero quarts da dstrbução das alturas dos estudates da Uversdade de São Paulo são 65,56 cm e 78,59 cm, respectvamete. Calcule o desvo terquartílco dessa dstrbução. d Q Q Q 78,59 65,56 3,03 cm. 3 Prof. Aleadre Lma 40

41 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma 7 Meddas sobre Dados Bvarados Image o caso de um pesqusador que coleta dados para determar a atureza de uma relação etre duas gradezas. Por eemplo, um químco pode eecutar uma reação váras vezes a fm de estudar a relação etre a cocetração de um certo catalsador e a velocdade da reação Cada vez que a reação é eecutada, a cocetração X e a velocdade Y são regstrados. Portato, o epermeto gera um cojuto de pares (,y ), (,y ),..., (,y ), em que é o úmero de vezes que a reação fo esaada. Os dados que cosstem em pares ordeados são deomados dados bvarados. Em mutos casos, os pares ordeados gerados em um epermeto tedem a se cocetrar em toro de uma lha reta quado plotados em um gráfco. Em tas stuações, a prcpal questão é determar a promdade da relação das duas gradezas etre s. As meddas estatístcas mas usadas para mesurar a promdade da assocação etre duas varáves são a covarâca e o coefcete de correlação. 7. Covarâca e Correlação Seja uma amostra de dez pessoas adultas, do seo masculo, e sejam a altura (cm) e o peso (kg) dessas pessoas deotadas por X e Y, respectvamete. Para cada elemeto da amostra, temos um par ordeado (,y). Teremos etão = 0 pares de valores das duas gradezas, que poderão ser represetadas em um dagrama cartesao bdmesoal deomado dagrama de dspersão. Tabela Pessoa X- Altura (cm) Y - Peso (kg) Supoha que teham sdo obtdos os valores apresetados a tabela acma. O dagrama de dspersão correspodete é o da próma fgura. A vatagem do dagrama de dspersão está em que, mutas vezes, sua smples observação já os dá uma boa déa da assocação estete etre as duas varáves, ou seja, sobre a tedêca de varação cojuta que apresetam. 4 Prof. Aleadre Lma

42 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Observado o dagrama de dspersão acma com ateção, costatamos que este, para maores valores de X (altura), uma tedêca a obtermos maores valores de Y (peso) e vce-versa. Quado sso ocorre, dz-se que há correlação lear postva etre X e Y. Etretato, também podemos ter casos em que o dagrama de dspersão apreseta o aspecto da fgura que se segue, dcado que, para maores valores de X, a tedêca é observarem-se meores valores de Y e vce-versa. Dz-se que esse caso a correlação é egatva. Por eemplo, a reda per capta de países e o ídce de aalfabetsmo são varáves egatvamete correlacoadas. Prof. Aleadre Lma 4

43 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma É claro que também pode ocorrer o caso em que as varáves são ão correlacoadas. Neste caso, o aspecto do dagrama de dspersão é o da próma fgura Vmos que o sal da correlação dca a tedêca da varação cojuta etre as gradezas. Além dsso, devemos cosderar também a tesdade ou o Prof. Aleadre Lma 43

44 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma grau da correlação. A correlação lear (em valor absoluto) etre X e Y a fgura em que a correlação é egatva é mas tesa do que a da fgura em que a correlação é postva, pos os potos da prmera apresetam uma tedêca mas acetuada de se colocarem segudo uma reta do que os da últma. A covarâca é uma medda da tesdade e do sal da correlação lear etre duas varáves. Supoha que tehamos uma coleção de pares ordeados (,y). Etão a covarâca é dada pela estatístca (*) (8) sy ( )( y y) em que é a méda amostral de X, y é a méda amostral de Y, e ( ) e ( y y) correspodem aos desvos dos s e ys, respectvamete. (*) A fórmula da covarâca acma assume que os dados se referem a uma população fta. Se os dados fossem proveetes de uma amostra, o deomador da fórmula da covarâca sera ( ) em vez de. Observe que a covarâca depede das udades de medda das varáves X e Y. Percebe-se mas claramete o sgfcado da covaração dvddo-se a covarâca etre X e Y por seus respectvos desvos padrão s e s y. A razão resultate é cohecda como coefcete de correlação (*) etre X e Y, dado por (9) sy r s s y (*) Ou coefcete de correlação lear de Pearso. Podemos reescrever (9) a forma de soma de quadrados, (0) r ( ) ( )( y y) ( y y) S S y S yy em que S ( )( y y), S ( ) e S ( y y). y A represetação abrevada dos somatóros de (0) por meo de S y, S e S yy é bastate útl para resolver algus eercícos. Não é dfícl mostrar que yy Prof. Aleadre Lma 44

45 () Sy y y. Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma () S (3) S yy y y O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO É ADIMENSIONAL O coefcete de correlação tem as mportates propredades de ser admesoal e de varar etre - e, o que ão ocorre com a covarâca. A vatagem de ser admesoal está o fato de seu valor ão ser afetado pelas udades adotadas. Por outro lado, o fato de termos r faz com que um dado valor de r seja faclmete terpretado. Note que r = - correspode ao caso de correlação lear egatva perfeta e r = correspode ao caso de correlação lear postva perfeta. O coefcete de correlação para os dados da tabela de alturas e pesos é de apromadamete 0,77 (você pode coferr este resultado com uma calculadora ou com algum programa de computador). O valor apromado do coefcete de correlação para os dados da fgura em que a correlação é egatva é -0,985. O coefcete de correlação para os dados da fgura em que aparetemete ão há correlação etre X e Y é gual a 0,06. Este últmo resultado dca que ão há qualquer assocação lear etre as varáves X e Y (este caso a covarâca também dará próma de zero). Quato maor é o valor absoluto (ou módulo) r, melhor é a assocação lear etre os valores. CORRELAÇÃO NÃO É CAUSALIDADE Para as craças, o tamaho do vocabuláro está correlacoado tesamete com o tamaho do pé. Etretato, a apredzagem de ovas palavras ão faz com que o pé cresça, em o crescmeto do pé faz com que o vocabuláro aumete. Há um tercero fator, a dade, que está correlacoada com o tamaho do sapato e com o vocabuláro. As craças mas velhas tedem a ter um sapato maor e um vocabuláro maor, e sso resulta em uma correlação postva etre vocabuláro e tamaho do sapato. Deste modo, um alto valor do coefcete de correlação, embora estatstcamete sgfcatvo, pode ão mplcar qualquer relação de causa e efeto, mas smplesmete a tedêca de varação cojuta das gradezas em questão. A CORRELAÇÃO MEDE APENAS A RELAÇÃO LINEAR Prof. Aleadre Lma 45

46 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma O coefcete de correlação mede apeas a relação lear etre X e Y. Quado a correlação é ula, ou seja, se r = 0, ão há assocação lear etre X e Y. Mas pode estr uma relação ão lear. Por eemplo, sejam X e Y relacoados pela equação X Y, que descreve uma crcuferêca cetrada em (0,0) e de rao. O coefcete de correlação é ulo este caso. Cotudo, este uma relação ão lear etre X e Y, pos os pares ordeados (,y) estão localzados sobre o círculo de rao utáro cetrado em (0,0). Eemplo. Julgue o tem a segur. O coefcete de correlação para o cojuto de dados y é feror a 0,8. Resolução Apredemos que o coefcete de correlação é dado por r ( ) ( )( y y) ( y y) S S y S yy Méda de X: 3, 0 5 y Méda de Y: y 3, 4 5 Tabela para cálculo do coefcete de correlação: y y -,4 -,4 0,6-0,4 3,6 ( )( y y),8,4 0-0,4 7, ( )( y y), 0 Prof. Aleadre Lma 46

47 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma ( ) ( ), 0 y y) y (,96 5,76 0,36 0,6,96 ( y ), 0 Logo r 0,0,0 0,84 Item errado, pos r 0, 8. GABARITO: E Prof. Aleadre Lma 47

48 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma 8 O Mímo que Você Precsa Saber - A frequêca de um dado valor de uma varável (qualtatva ou quattatva) é defda como o úmero de vezes que esse valor fo observado. - A assocação das respectvas frequêcas a todos os dferetes valores observados defe a dstrbução de frequêcas do cojuto de valores observados. - A frequêca acumulada de um dado valor é gual a soma das frequêcas de todos os valores meores ou guas ao valor em cosderação. - Um hstograma é um gráfco da dstrbução de frequêcas de uma varável quattatva. - As meddas de posção servem para localzar a dstrbução de frequêcas sobre o eo de varação da varável (eo horzotal). - A méda, a medaa e a moda são meddas de posção Méda artmétca: - Méda das médas: AA B B A B K K K - Méda geométrca: g / Méda harmôca: h... - Méda poderada: p w w... w w w... w w w - A medaa é o valor que dvde a dstrbução ao meo, deado os 50% meores valores de um lado e os 50% maores valores do outro lado. Prof. Aleadre Lma 48

49 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Prof. Aleadre Lma 49 - A moda é dada pelo valor mas freqüete (ou de máma frequêca). - Varâca = Méda dos Quadrados Quadrado da Méda = - Varâca amostral: ) ( s - Varâca combada dos cojutos A e B: N B A N B N A s B A - Desvo Padrão = Raz Quadrada postva da Varâca. - Coefcete de varação: s cv ) (. - Covarâca: y y y s ) )( (. - Coefcete de correlação: yy y S S S y y y y r ) ( ) ( ) )( ( - Somas de Quadrados: y y y S S yy y y S - O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO É ADIMENSIONAL - CORRELAÇÃO NÃO É CAUSALIDADE - A CORRELAÇÃO MEDE APENAS A RELAÇÃO LINEAR

50 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma 9 Eercícos de Fação (BACEN-Área 4/Cesgraro/00) Cosdere as formações a segur para respoder às questões de os a 3. A vabldade facera do projeto de uma mcroempresa leva em cosderação dados hstórcos de 00 projetos semelhates. A tabela abao mostra a dstrbução de frequêcas do VPL Valor Presete Líqudo (valores em mlhões de reas) de um cojuto de mcroempresas smlares. VPL Frequêca Relatva -0 < 0 0% 0 < 0 80% 0 < 0 0%. Utlzado os dados hstórcos acma, o valor esperado para o VPL da mcroempresa, em mlhões de reas, é (A) -0 (B) 0 (C) 5 (D) 0 (E) 0. Segudo os dados hstórcos, o valor, em mlhões de reas, que mas se aproma do desvo padrão do VPL da mcroempresa é (A) (B) (C),5 (D) 4 (E) 4,5 3. Um projeto alteratvo para o vestdor apreseta um VPL esperado, em reas, de 6 mlhões e um rsco (desvo padrão) de mlhões. Pela ótca do rsco relatvo, qual o melhor vestmeto, a mcroempresa ou o projeto alteratvo? (A) A mcroempresa, pos apreseta um Coefcete de Varação maor. Prof. Aleadre Lma 50

51 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma (B) A mcroempresa, pos apreseta um Coefcete de Varação meor. (C) O projeto alteratvo, pos apreseta um Coefcete de Varação maor. (D) O projeto alteratvo, pos apreseta um Coefcete de Varação meor. (E) É dferete, pos os vestmetos apresetam Coefcetes de Varação guas. (ANAC Área 7/CESPE-UB/0) Com base o hstograma acma apresetado, julgue os tes a segur. 4. Cosderado que o hstograma mostra a dstrbução dos voos de certo aeroporto por dstâca voada, é correto afrmar que a dstâca méda dos voos desse aeroporto é superor a 50 mlhas áutcas. 5. Os quarts das dstâcas voadas (em mlhas áutcas) obtdos a partr do gráfco são: o quartl = 00,0; o quartl (medaa) = 50,0; e 3 o quartl = 00,0. Prof. Aleadre Lma 5

52 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma ota cotagem (ANAC Área 7/CESPE-UB/0) Cosderado que uma pesqusa de satsfação referete a um ovo termal de passageros teha sdo realzada com 50 pessoas e o resultado em uma amostra de otas coforme apresetado a tabela acma, julgue os tes segutes. 6. A méda geométrca da dstrbução das otas fo superor à méda artmétca. 7. A varâca amostral das otas atrbuídas pelos passageros fo superor a,4. (Aalsta Judcáro-TST/CESPE-UB/007/Adaptada) Cosdere que, em um ambete de trabalho dustral, as segutes medções acerca da polução do ar teham sdo observadas:, 6, 4, 3,, 3,, 5,, 4. Nessas stuação, julgue os tes que se seguem. 8. A medaa da amostra é gual a,5. 9. As médas harmôca e geométrca são ambas ferores a O tercero quartl é gual a 3.. A varâca amostral é superor a,8. Prof. Aleadre Lma 5

53 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Varável X Frequêca relatva 0 0,0 0,0 0,30 3 0,40 (SEAD-CPC/Cespe-UB/007/Adaptada) Cosderado a tabela acma, que apreseta as freqüêcas relatvas de uma varável X, relatva a uma cotagem, julgue os tes a segur.. A méda de X é feror a,5. 3. O desvo-padrão de X é feror a,5. 4. A moda e a medaa de X são guas a O coefcete de varação de X é superor a. (MI-CENAD/ESAF/0/Adaptada) A dstrbução de frequêcas em classes do saláro mesal, meddo em úmero de saláros mímos, de uma amostra aleatóra de 50 fucoáros de uma empresa, é apresetado a segur. mas de 0 a 0 mas de 0 a 0 3 mas de 0 a 30 0 mas de 30 a 40 3 mas de 40 a 50 f 6. Usado os dados acma, obteha o valor mas prómo da varâca amostral do saláro mesal. (A),5 (B) 4 (C) 6,5 (D) 9 (E) 3,5 Prof. Aleadre Lma 53

54 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma 7. (ATRFB/ESAF/0) A varâca da amostra formada pelos valores, 3,, 4, 5 e 3 é gual a (A) 3 (B) (C) (D) 4 (E) 5 Julgue o tem a segur. 8. (Paploscopsta da PF/CESPE-UB/0) Ao cotráro da medaa amostral, a méda artmétca é meos sesível à preseça de valores etremos (ou valores atípcos ou outlers). Prof. Aleadre Lma 54

55 0 Gabarto Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma C E 3 D 4 C 5 C 6 E 7 C 8 E 9 C 0 E C E 3 C 4 E 5 E 6 C 7 B 8 E Prof. Aleadre Lma 55

56 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Resolução dos Eercícos de Fação (BACEN-Área 4/Cesgraro/00) Cosdere as formações a segur para respoder às questões de os a 3. A vabldade facera do projeto de uma mcroempresa leva em cosderação dados hstórcos de 00 projetos semelhates. A tabela abao mostra a dstrbução de frequêcas do VPL Valor Presete Líqudo (valores em mlhões de reas) de um cojuto de mcroempresas smlares. VPL Frequêca Relatva -0 < 0 0% 0 < 0 80% 0 < 0 0%. Utlzado os dados hstórcos acma, o valor esperado para o VPL da mcroempresa, em mlhões de reas, é (A) -0 (B) 0 (C) 5 (D) 0 (E) 0 Resolução A questão pede para você calcular o valor esperado ou méda de uma dstrbução de frequêcas de dados umércos agrupados em tervalos de classe. Quado os dados umércos são apresetados em uma dstrbução de frequêcas, todos os valores cluídos um certo tervalo de classe são cosderados cocdetes com o poto médo do tervalo. Utlzemos a segute otação: VPL = X, méda de X). E( VPL) X (valor esperado de VPL = Cálculo de E(VPL): Prof. Aleadre Lma 56

57 X 3 X p ( 5 0,) (5 0,8) (5 0,) 0,5 4,0,5 5,0 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma A memóra de cálculos é lustrada pela tabela a segur. VPL X (poto médo do tervalo) Freq. Relatva (p ) X p -0 < 0-5 0, -0,5 0 < 0 5 0,8 4,0 0 < 0 5 0,8,5 Total X p = 5,0 GABARITO: C. Segudo os dados hstórcos, o valor, em mlhões de reas, que mas se aproma do desvo padrão do VPL da mcroempresa é (A) (B) (C),5 (D) 4 (E) 4,5 Resolução Deve-se calcular o desvo padrão de uma dstrbução de frequêcas de dados umércos agrupados em tervalos de classe. Quado os dados umércos são apresetados em uma dstrbução de frequêcas, todos os valores cluídos um certo tervalo de classe são cosderados cocdetes com o poto médo do tervalo. Utlzemos a segute otação: VPL = X; E( VPL) X (valor esperado de VPL = méda de X) Prof. Aleadre Lma 57

58 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Var(VPL) deota a varâca de VPL; e DP(VPL) represeta o desvo padrão de VPL. DP(VPL) = raz quadrada postva de Var(VPL). Cálculo de DP(VPL): Var ( VPL) GABARITO: E 3 X p X ( 5 0,) (5 0,8) (5 DP ( VPL) Var ( VPL) 0 4,47 4,5 0,) Um projeto alteratvo para o vestdor apreseta um VPL esperado, em reas, de 6 mlhões e um rsco (desvo padrão) de mlhões. Pela ótca do rsco relatvo, qual o melhor vestmeto, a mcroempresa ou o projeto alteratvo? (A) A mcroempresa, pos apreseta um Coefcete de Varação maor. (B) A mcroempresa, pos apreseta um Coefcete de Varação meor. (C) O projeto alteratvo, pos apreseta um Coefcete de Varação maor. (D) O projeto alteratvo, pos apreseta um Coefcete de Varação meor. (E) É dferete, pos os vestmetos apresetam Coefcetes de Varação guas. Resolução A questão pede que você compare os rscos de dos projetos. Pela ótca do rsco relatvo, o melhor vestmeto é aquele que apreseta a dstrbução de frequêcas com meor dspersão em toro do valor esperado. Observe que essa comparação ão pode ser feta com o desvo padrão, pos essa medda ão mede a dspersão relatva dos dados. A comparação dos rscos deve ser efetuada por meo do Coefcete de Varação (CV). Pela ótca do rsco relatvo, o melhor vestmeto é o que possu VPL com o meor Coefcete de Varação. O coefcete de varação é defdo como o quocete etre o Desvo Padrão (DP) e a méda ( X ), sedo frequetemete epresso em porcetagem: DP( X ) CV ( X ). X Prof. Aleadre Lma 58

59 Estatístca Área 4 BACEN Aula 0 Estatístca Descrtva Prof. Aleadre Lma Cálculo do CV para o vestmeto mcroempresa (deotado por X ): CV ( X DP( X ) X ) 4,47 5 0,894 Cálculo do CV para o vestmeto alteratvo (deotado por X ): Dados: DP(X ) = e E(X ) = 6. CV ( X DP( X ) X ) 6 0,333 Como CV(X ) < CV(X ), o melhor vestmeto, pela ótca do rsco relatvo, é o projeto alteratvo, pos apreseta um Coefcete de Varação meor. GABARITO: D (ANAC Área 7/CESPE-UB/0) Com base o hstograma acma apresetado, julgue os tes a segur. 4. Cosderado que o hstograma mostra a dstrbução dos voos de certo aeroporto por dstâca voada, é correto afrmar que a dstâca méda dos voos desse aeroporto é superor a 50 mlhas áutcas. Resolução Prof. Aleadre Lma 59