Matemática C Semiextensivo V. 2

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1 Matemátca C Semetesvo V. Eercícos 0) Através da observação dreta do gráfco, podemos coclur que: a) País. b) País. c) 00 habtates. d) 00 habtates. e) habtates. 0) C Através do gráfco, podemos costrur a segute tabela: Número de faltas por da ( ) Número de das (f ) Número de faltas por da úmero de das ( ). f 0 0 0) Através da observação dreta do gráfco, podemos coclur que: a) aos. b) 0. c) aos. d). e). Total Observe que a últma lha da tabela temos, para um total de das, faltas. 0) E a) Falso. Pos para que a méda fosse 0% as barras que represetam a população de homes deveram estar dstrbuídas prómos da altura 0% o gráfco. b) Falso. Pos a porcetagem de meas obesas o período de é de %, equato que a porcetagem de meas obesas o período de 9-99 é de 0%. c) Falso. Pos pelo gráfco meos de 0% das meas estavam obesas o período de d) Falso. Pos através da observação do gráfco ão podemos coclur que mas de 0% da população pesqusada estava obesa. e) Verdadero. Pos observado o gráfco temos que a população de mulheres obesas o período de 9-99 é maor que %, equato que a população de mulheres obesas o período de 9-90 é de pouco mas de %. 0) a) 9 toeladas b),% 0) E a) Como a matéra orgâca é a parte do lo que pode ser trasformada em composto orgâco (adubo), temos:,% de 000 toeladas 9 toeladas. b) 0 0,. 00,% 00 Através do gráfco, podemos coclur que: 99 Regão Sul: taa etrema pobreza, % 00, % Fazedo, 00%,,%,.,. 00 0,%, ou seja, a taa etrema de pobreza, cau a regão Sul: 00 0, 9,%. Matemátca C

2 0) B Através dos dados forecdos pela tabela e pelo gráfco, temos: Classe A B C D E Total () 0) A Número de famílas (f ) Frequêca relatva - fr (%) f (fr 00) 0,0 00 % 0, 00 0% 0, 00 % 0, 00 0% 0, 00 0% 00% Da tabela que relacoa a classe e a faa de reda, temos: famílas com reda acma de R$00,00 classes A, B e C. Logo: % + 0% + % 0%. Para a solução desta questão cosdere o gráfco a segur: Passagero/veículos CAPITAIS BRASILEIRAS - SISTEMA DE ÔNIBUS URBANO* Passageros trasportados por veículos/da** 99 a Out/9 Abr/9 Out/9 Abr/9 Out/9 Abr/9 Out/9 Abr/99 Out/99 Abr/00 Out/00 Abr/0 Out/0 Abr/0 Out/0 Abr/0 Out/0 Abr/0 Out/0 Abr/0 Out/0 Abr/0 Out/0 Abr/0 Out/0 Abr/0 Out/0 * São Paulo, Ro de Jaero, Belo Horzote, Recfe, Porto Alegre, Salvador, Fortaleza, Curtba e Goâa. ** Passagero total mesal/frota/ Em abrl de 00 o úmero de passageros era de,9 mlhões e o ídce de produtvdade era de 00; logo, sedo f o tamaho da frota, em mlhões de veículos, temos que: 9, 00 f 9, f 0,0 f 00 Em outubro de 00, o ídce era de ; sedo o úmero de passageros trasportados (em mlhões), temos que:. f. 0,0,9 f 09) E 0) D ) A ) B Do gráfco, podemos coclur que o cosumo dáro de cgarros e o úmero de casas de câcer de pulmão são gradezas relacoadas. O aspecto do gráfco mostra que ão há proporcoaldade dreta ou versa essa relação. Aalsado o gráfco, observamos que estem pessoas ecoomcamete atvas em mao de 009. Portato em juho de 009, com o aumeto de % da população ecoomcamete atva, temos: 000. ( + 0,0) (,0) pessoas ecoomcamete atvas. Pelo eucado, o casal que adqurr o pacote promocoal pagará 0 reas os três prmeros das; reas o quarto da; reas o quto da; reas o seto da e também os dos últmos das. Logo, o pacote promocoal custará: reas, equato a hospedagem por sete das fora da promoção custa Portato a ecooma será de: reas. A fgura a segur mostra a rota seguda pelo avão AII, que partu de Brasíla e seguu uma dreção que forma um âgulo de o setdo horáro com a rota Brasíla Belém. DF 9 (Belo Horzote) 0 Matemátca C

3 A próma fgura a segur mostra a rota seguda pelo avão AII, que partu de Belo Horzote () e seguu uma dreção que forma um âgulo de 90 o setdo at-horáro com a rota do avão AII. ) C Aalsado o gráfco, verfca-se que o úco período em que houve queda da partcpação do agroegóco o PIB braslero fo etre os aos de 00 e 00. ) A DF 9 Note que houve um alargameto das faas termedáras e da parte de cma da prâmde etára para as projeções do ao de 00 em relação ao ao de 990. Essas faas represetam as faas de adultos e dosos. Dessa forma, podemos coclur que o processo de evelhecmeto da população do Brasl está relacoado com a epectatva de vda do braslero, coforme melhoram as suas codções de vda. 0 (Belo Horzote) 9) B Aalsado o gráfco, pode-se coclur que, de 90 (0 mlhões) a 90 (0 mlhões), a população urbaa aumetou em mas de 0 mlhões de habtates. 0) D ) E ) A pode-se coclur que Carlos fez uma coeão em Belo Horzote () e, em seguda, embarcou para Salvador (9). Temos, marcado o gráfco, o ao de íco da guerra o Iraque com o valor de, a ordeada. Observado a legeda, vemos que a udade do eo é blhões de dólares, portato o gasto é de: US$ ,00. Do gráfco, temos que 9,% das pessoas pesqusadas em Porto Alegre, estão desempregadas. O úmero de desempregados etre os pesqusados em março de 00 é dado por: 9, , ou seja, 00 pessoas. 00 ) E ) D Aalsado o gráfco, costata-se que o úmero total de mcros fectados durate a semaa fo de ml ( ). Aalsado o gráfco, costata-se que o período 9-99, a taa de desemprego esteve etre % e %. ) C Aalsado o gráfco, verfca-se que a área desmatada por ao fo maor etre 99 e 99 do que etre 99 e 99. Aalsado o gráfco, costata-se que o período de a curva apreseta um decrescmeto acetuado as quatro setores, o que caracterza o "apagão". ) a) 9,% b) 9, e M d 0 9 Sem SP: 0 e M d 0, c). 0 das 0% de N passageros 0 a) O total de passageros embarcados/desembarcados do rakg é de 9, já o total de passageros embarcados/desembarcados a regão Sudeste (Guarulhos, Cogohas, Galeão, Satos Dumot e Pampulha) é de Assm, 0, ,%. 9 b) Calculado a méda do úmero de passageros trasportados, temos: 9 9, 0 Calculado medaa do úmero de passageros temos: Matemátca C

4 como 0 (par), precsamos calcular os elemetos cetras, colocado os dados em rol, temos: T T T T 0 T T Logo Md T T Refazedo os cálculos sem cosderar os aeroportos de São Paulo, temos: Md T T + + 0, c) Cosderado que ao tem semaas, temos. 0 das útes. 0% de Logo, cosderado N o úmero de passageros que crculam em Cogohas um da útl, temos: 0 N passageros. 0 ) a) tabela b) méda:,%; medaa:,9%. a) Classe Total It. de classe 9 9. f 0 b) f,% F at Md I md +,. h +. f md Md + 0,,% 9 99 f f A X 9 9 X. f 0 ) a) 0 b) R$90,90 c) R$, A partr do gráfco, podemos motar a segute tabela: Valor do aluguel Total Quatdade de apartametos (f ) f Lembre-se que: poto médo do tervalo (represeta o tervalo). a) 0. f 000 b) 90,90 f 0 F at c) Md I md h fmd Md 00 +,, ) D ) B ) C De acordo com o gráfco: O úmero de meas o curso de formátca é O úmero de meos o curso de formátca é Portato, o úmero de meos é gual ao úmero de meas. Aalsado o gráfco, pode-se coclur que o úmero de vedas da loja Só Coforto ultrapassou o da loja Pse Bem os meses de feverero, julho e outubro, ou seja, em 0% dos meses cosderados. De acordo com o gráfco, há 0 aluos com aos de dade, aluos com aos, 0 com aos, com 9 aos e com 0 aos. Portato, a méda das dades dos aluos é dada por: ,... aos e meses. 0 ) a) V V V F b), ,0 M d,. 00,00 Matemátca C

5 S,. 00 9,00 c) Sul/Sudeste:,9 (méda); S 0,90 (desvo padrão); CV,% (coefcete de varação) Norte/Nordeste:,9 (méda); S 0, (desvo padrão); CV % (coefcete de varação) a) I. Verdadero. Reda méda famlar em Belém:,. 00 R$ 0,00. Percetual gasto com habtação:,% de R$0,00 R$,00. II. Verdadero. Reda per capta o Recfe:,. 00 R$,00. Percetual gasto com trasporte:,9% de R$,00 R$,0. III. Verdadero. Reda méda famlar: Fortaleza 9,. 00 R$,00 Goâa,. 00 R$,00 Gastos com saúde: Fortaleza,0% de R$,00 R$, Goâa,0% de R$,00 R$, IV. Falso. Reda méda famlar paulsta:,. 00 R$,00 R$,00,% (gasto com habtação) R$ 0, R$ 0,,% (gasto com almetação) R$ 0, b) Méda:. + 0, +, + 9, + 0, + 9, +, +, + 9, 0 + 0, +, +,,0 (em saláros mímos),0. 00 R$ 0,0 (méda salaral) Medaa: Rol:,0;,; 9,0; 9,; 0,;,0;,9;,;,;,0;,. Como é par, temos que calcular os termos cetras. T 0, T T + T,0 Md 0, +, 0, (em saláros mímos) Md,. 00 R$,00 (saláro medao) Desvo padrão: Cosdere a tabela:, 0,,,9,0 9,,, 9,0,0,0,,,0,,9,0,,,0,09,, 9,00,9 00,9 Matemátca C

6 S S 00, 9, S, S, (em saláros mímos) S,. 00 R$9,00 c) Regão Sul/Sudeste: Captal Belo Horzote Curtba Floraópols Porto Alegre Ro de Jaero São Paulo X,9,,,,0,, X,,9,,0,00,9 9,9,,9. S 9, 9, 0,90 C.V. 0, ,% 9, Regão Norte/Nordeste: Captal Belém Fortaleza Recfe Salvador X,9,,,,,,9. S, 9, C.V. 0,. 00 % 9, X,0,0,0,09,9 0, 9) B 0) C ) A c) Nacoal S S, Captal Belém Belo Horzote Brasíla Curtba Floraópols Fortaleza Goâa Porto Alegre Recfe Salvador Ro de Jaero São Paulo, 9, 9,9,9,0,,,,,,,,0, 9,9,0, 0,900,9,,0,9,0,0,09,00,9, Nas regões Norte/Nordeste a reda per capta vara pouco de captal para captal. O mesmo ocorre as regões Sul/Sudeste, porém há uma dspardade grade quado comparamos as regões Sul/ Sudeste com as regões Norte/Nordeste, por sso o desvo padrão acoal é bem maor rol:,,,,,,,. M o Md T T + + Calculemos calmete a méda artmétca do úmero mímo de frações em cada lha da tabela: , Matemátca C

7 Agora calculemos a méda artmétca do úmero mámo de frações em cada lha da tabela: ,9 0 0 ) I, III e IV ) A I. Verdadero. Os dados de 00 a 00 estão dspostos em ordem crescete II. Falso. Pos 0, toeladas. III. Verdadero. Pos o valor é o que possu a maor frequêca o cojuto de dados. IV. Verdadero. Pos: , toeladas toeladas. V. Falso. Pos rol:,, 0,,,,,,,. Md T T + + toeladas. ) B A B. f 90 f 0.. f 90 f 0 9,.. f f 0 0, 0 F at Md I md +. h fmd Md +,0,0 ) a) rol:,; ;,;. Méda:,. Desvo padrão: S 0,9. Orgazado os dados em um rol, temos: :,; ;,;. a), + +, +, d (,, ) + (, ) + (,, ) + (, ) d, 0,9 ) E b) C [,;,]. Logo, pertecem ao tervalo somete os dados,, e. C [ d, + d] [,,,] Logo, pertecem ao tervalo somete os valores ;, e. Prmeramete, vamos calcular as NP,,,, e. NP ( M) S NP ( ) NP ( ) NP ( ) NP ( ) NP ( ) Calculado a NPG, temos: NPG 0 Falmete, vamos NPF deste caddato: NPG+ NPG +. NPG NPF ( 0) 0 NPF, ) Cosdere a tabela quato às vedas: Ao Σ 0, S Matemátca C

8 S, CV S. 00 CV,. 00 9,0%, Agora, cosdere a tabela quato às despesas em publcdade: Ao 9) B S. f. f f f S,, mutos Da tabela, o caddato com potuação mas regular é Marco, pos obteve o meor desvo padrão ) a), b),9 e,% Cosdere a tabela: It. de classe f. f. f 9 0 0,,0 Σ ,, 0,00,0, S 9 S, CV,. 00 9,%, Logo, podemos coclur que a dspersão das despesas com publcdade (9,%) é superor à dspersão das vedas (9%). ) A duração méda de uma chamada é de 9, mutos e S, Cosdere a segute tabela: It. de classe f. f. f 0 0 Total a) 0, 0 b) S 0, (US$),,, 0 CV 9,. 00,%,, 900, ) S (), cm e S(),9 cm,9 (US$) 09, 90 0,00 9,, , It. de classe f. f ( ). f 0 00, , , , ,0 Total ,99. f f , mutos , 9, Matemátca C

9 . f f S () , ( ). f 9,, f 0 S() S ( ), S (), cm e S(),9 cm ) a) 9, M o, M d 9, b) S 9,9 S,9 c) CV 0,00 ou 0,0% ) D It. de classe f 0,, 9,,,. f, 9, 9 ( ). f 0,, 0,, 9,0 99, a). f 9 f 0 9, F at Md I md +. h +. 9, fmd fm f o at M o + c.. fm ( fat + f o post) +.. ( + ), ( ). f, b) S 99 () 9,9 f 0 S() S ( ) 9, 9,9 c) CV S ( ) 0,00 0,0% a) Correta. Pos pela defção de cojugado, se z +, etão z. b) Correta. Pos + +. c) Correta. Pos ( + ) ( + ) ( ) 0. F 9 0 ) A ) A d) Icorreta. Pos ( + ) ( ) ( ). ( ) + + ( ) + ( ) e) Correta. Pos ( + ) ( + ) ( ) ( ) + ( ) + Note que: + +. ( + ) ( ) + + ( + ) Assm, que se verfca para múltplo de, ou seja, k, k Z. ) C Sejam z, z e z z + ( ) z z + z. z. Logo, z + z z. z + ( ) ( ) +. ) (a + b) + a + ab + b + a b + ab + a b () I ab () II De (I), temos: ab ab ab b a Substtudo em (II), temos: a b a a a a a a a + a 0 Fazedo a, temos: + 0 Assm, a a a Matemátca C 9

10 a ou a a R a ± ± a Como b a, temos b ± b ± Logo,. a +. b ) 0. Verdadera. Pos z ( ) + 0. Verdadera. Pos R C. 0. Verdadera. Pos se a, etão z. + ( ) +, que é um magáro puro. 0. Falsa. Pos, por defção, um úmero magáro é um úmero compleo cuja parte real é zero.. Verdadera. Pos 0.. Verdadera. Pela defção de úmero compleo. 9) 99 Podemos escrever S da segute maera: 99 S ( ) + ( ) PA.. com r PG.. com q Calculado a soma dos termos, temos: P.A. S ( a a ) +. S ( + 99) P.G. S a q 99.( ).( ) ( ) q S ( ) Logo, S 90 + ( ) 99. 0) 0 Fazedo z +y, temos: z + y + (y ). e z + y ( ) + y Da gualdade z z, temos: z z. + ( y ) ( ) + y. [ + (y ) ] ( ) + y + y + y y 9, que é a equação da crcuferêca, com cetro o poto, e rao. Assm, 9(a + b + r ) ) + Fazedo z + y, temos: z + z + ( + y) + y + + y + y + + y + y y Logo, z +. e z ) 0 Como z e w a + b, temos: z + w ( ) + (a + b) + a + b (a + ) + (b ).. Como z + w é um úmero real, temos que b 0, ou seja, b. z. w ( ). (a + b) a + b a b z. w (a + b) + (b a) Como z. w é um magáro puro, temos que a + b 0. Substtudo b em a + b 0, temos que a. ) E ) E Logo, b a. Como, temos: E ( ) E + + E Obs.: ). ( + ) + ( + ) ) ( ) + y ( + ) ( + ) 9 y ( + ). [ ( + )] y [( + ) ]. ( ) y (). ( ) y.. ( ) y.. ( ) y Matemátca C

11 ) ( ) ( ) ( ) ) e y ) C ( + y) + ( + ) + ( + ) + (y + ) + + y+ y z + 9 z z + z + ρ ( ) + b se θ ρ a cos θ ρ ) 9) E θ Como queremos o meor valor tero postvo para, temos: para z ( + ) + para z ( + ) + + para z ( + ) ( + ). ( + ). ( + ) + para z ( + ) ( + ). ( + ). Logo é o meor valor tero postvo, tal que z ( + ) é um úmero real egatvo. o 0) C I. Verdadera. Pos, se z a + b, temos que z a b e z. z (a + b). (a b) a + b, que é um úmero real. II. Verdadera. Pos, se z a + b, temos que z a + b 0. III. Falsa. Basta tomar z cujo argumeto vale π. ) D Se z cos π + se π, etão: z cos (. π ) +. se (. π ) cos π +. se π z (z ) z (z ) ( ) Logo, z + z + z + ( ) + ) ) D t. z w t w z w (cos 0 +. se 0 ) z (cos 0 +. se 0 ) t. [cos(0 0) +. se (0 0)] t. (cos 0 +. se 0 ) t. [ +. ( )] t O sstema é equvalete a: ( w z).( w+ z) + ( w z).( w z) + + ( z w) + z w Logo, ( + ). (z + w) + z + w + + z + z' + z. z' ( + ). ( + ) + ρ ( ) + b se θ. ρ θ 0 a cos θ ρ o Matemátca C

12 ) C ) B z ( ) + + z ρ(cos θ +. se θ) ρ ( ) + b se θ se θ ρ θ a θ θ cos cos ρ π π Logo, z cos. + se ) B o π No plao de Argad Gauss, temos: Im (z) z Re (z) z w. z z w. z z + w. z. ( + ) + Im (z) Re (z) A T. Matemátca C