ESTATÍSTICA 2º. SEMESTRE DE 2016

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1 ESTATÍSTICA O presete materal fo elaborado com o objetvo de facltar as atvdades em sala de aula, segudo a bblografa apresetada o fal do texto. Esclarece-se que o materal, ão substtu a bblografa apresetada, portato, é ecessáro cosultar os lvros recomedados.. Profa. Sachko Arak Lra º. SEMESTRE DE 06

2 SUMÁRIO ESTATÍSTICA DESCRITIVA.... Varável Aleatóra.... Tpos de Escalas e Varáves Tabelas Elemetos essecas de uma tabela Tabelas de dstrbução de frequêcas Varável Dscreta Varável Cotíua Gráfcos Represetação Gráfca Hstograma de Frequêcas Dagrama de Ramo e Folhas (Stem ad Leaf Plot) Gráfco de Boxplot ou da Caxa Gráfco de Lhas....5 Meddas de Localzação, Varabldade e Forma da Dstrbução Tedêca Cetral Esperaça matemátca ou méda artmétca Medaa Moda Meddas de Posção (ou Separatrzes) Quartl Meddas de Dspersão Ampltude Total Ampltude Iterquartl Desvo Médo Varâca e Desvo Padrão Coefcete de Varação Forma da Dstrbução Coefcete do mometo de assmetra Coefcete do mometo de curtose... 8 Lsta de Exercícos o. Estatístca Descrtva... 3 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES Expermeto Aleatóro (E) Espaço Amostral (S) Eveto Eveto Complemetar Evetos Idepedetes Evetos Mutuamete Exclusvos Defção Clássca de Probabldade Defção Axomátca de Probabldade Probabldade Codcoal Teorema da Probabldade Total Teorema de Bayes Lsta de Exercícos o. - Probabldades VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Defções Dstrbuções de Probabldades Dscretas Dstrbução bomal Dstrbução de Posso Dstrbução Hpergeométrca SUMÁRIO

3 Lsta de Exercícos o. 3 Dstrbuções de Probabldades Dscretas... 5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES Defções Dstrbuções de Probabldades Cotuas Dstrbução Expoecal Dstrbução ormal ou Gaussaa Dstrbução ormal padrozada ou reduzda Dstrbução ( qu-quadrado) Dstrbução t de Studet Dstrbução F de Sedecor Lsta de Exercícos o. 4 Dstrbuções de Probabldades Cotíuas NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Itrodução Amostragem Probablístca Amostragem Aleatóra Smples (AAS) Amostragem Sstemátca Amostragem Estratfcada Dstrbuções Amostras Dstrbução Amostral de Médas Dstrbução Amostral de Proporções Dstrbução Amostral da Varâca... 7 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS Itrodução Estmador e Estmatva Qualdades de um Estmador Estmação por Potos Estmador da Méda Populacoal Estmador da Varâca Populacoal Estmador do Desvo Padrão Populacoal Estmador da Proporção Populacoal Estmação por Itervalo Itervalo de Cofaça para Méda populacoal Itervalo de Cofaça para Dfereça etre Duas Médas Populacoas e Itervalo de Cofaça para a Varâca Populacoal Itervalo de Cofaça para o Desvo Padrão Populacoal Itervalo de Cofaça para Proporção Populacoal Dmesoameto da Amostra Estmação da Méda Populacoal Estmação da Proporção Populacoal Lsta de Exercícos o. 5 - Itervalos de Cofaça TESTES DE HIPÓTESES Etapas para Testes de Hpóteses Nível de Sgfcâca Erro Estatístco Testes Estatístcos Paramétrcos Teste para a Méda Populacoal Quado a varâca populacoal é Cohecda Quado a varâca populacoal é descohecda Teste para a Proporção Populacoal Teste para a Varâca Populacoal Teste para a Dfereça etre Duas Médas Populacoas Quado as varâcas populacoas e são Cohecdas SACHIKO ARAKI LIRA Quado as varâcas populacoas e são Descohecdas Duas Amostras Emparelhadas Teste para Igualdade de Duas Varâcas... 07

4 Lsta de Exercícos o. 6 Testes de Hpóteses... 0 TESTES DE ADERÊNCIA Teste Qu-quadrado de Aderêca Teste de Lllefors... 7 Lsta de Exercícos o. 7 Testes de Aderêca... 9 ANÁLISE DA VARIÂNCIA Fudametos da ANOVA Aálse da Varâca a um Crtéro de Classfcação Comparações Múltplas etre Médas Teste de Scheffé... 8 Lsta de Exercícos o. 8 Aálse da Varâca... 3 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO SIMPLES Itrodução Dagrama de Dspersão Aálse de Correlação Coefcete de Correlação Lear de Pearso Teste de Hpóteses para Coefcete de Correlação Aálse de Regressão Lear Smples Estmação dos Parâmetros Testes de Hpóteses a Regressão Lear Teste t Aálse da Varâca Coefcete de Determação ou Explcação Ajuste de Curva Geométrca (ou Fução Potêca) Estmatva dos Coefcetes Testes de Hpóteses Aálse da Varâca Coefcete de Determação ou Explcação Ajuste de Fução Expoecal Estmatva dos Coefcetes Testes de Hpóteses Aálse da Varâca Coefcete de Determação ou Explcação Lsta de Exercícos o. 9 Aálse de Correlação e Regressão ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Regressão Lear com Varáves Idepedetes Estmatvas dos Coefcetes de Regressão Teste para Verfcar a Exstêca de Regressão Cálculo do Coefcete de Determação ou Explcação... 6 Lsta de Exercícos o. 0 Aálse de regressão Lear Múltpla BIBLIOGRAFIA TABELA A. ÁREAS SOB A CURVA NORMAL TABELA A. ÁREAS SOB A CURVA NORMAL TABELA A - DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT... 7 TABELA A3 - DISTRIBUIÇÃO DE... 7 TABELA A4 - DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR (Nível de Sgfcâca %) TABELA A5 - DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR (Nível de Sgfcâca de 5%) TABELA A6 - DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR (Nível de Sgfcâca de 0%) TABELA A7 - VALORES CRÍTICOS ( d c ) PARA TESTE DE LILLIERFORS v SUMÁRIO

5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA INTRODUÇÃO Estatístca é a cêca que trata da coleta, orgazação, descrção, aálse e terpretação dos dados expermetas. A FIGURA, a segur, mostra o cotexto em que se stua o estudo completo da Estatístca, aqu subdvddo em Estatístca Descrtva e Estatístca Idutva (ou Iferêca Estatístca). FIGURA - ESQUEMA GERAL DA ESTATÍSTICA Estatístca Descrtva Amostragem Cálculo das Probabldade s Estatístca Idutva FONTE: COSTA NETO (994, p.4). A Estatístca Descrtva é a parte que trata da orgazação e descrção de dados, através dos cálculos de médas, varâcas, estudo de gráfcos, tabelas etc. A Teora das Probabldades permte-os modelar os feômeos aleatóros, ou seja, aqueles em que está presete a certeza. É uma ferrameta fudametal para a ferêca estatístca. A Estatístca Idutva compreede um cojuto de téccas baseadas em probabldades, que a partr de dados amostras, permte-os trar coclusões sobre a população de teresse. A Amostragem é o poto de partda para um estudo estatístco. O estudo de qualquer feômeo, seja ele atural, socal, ecoômco ou bológco, exge a coleta e a aálse de dados estatístcos. A coleta de dados é, pos, a fase cal de qualquer pesqusa. A População é o cojuto de todas as observações potecas sobre determado feômeo. O cojuto de dados efetvamete observados, ou extraídos, costtu uma amostra da população. É a partr do dado amostral, que se desevolvem os estudos, com o objetvo de se fazer ferêcas sobre a população. SACHIKO ARAKI LIRA

6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA O objetvo da estatístca descrtva é orgazar os dados e apresetá-los de forma a possbltar a vsualzação das formações subjacetes (que ão são observáves). As téccas estatístcas e gráfcas, dspoíves para a aálse exploratóra de dados, podem ser aplcadas a qualquer cojuto de dados, sejam para dados populacoas ou amostras. O parâmetro é uma medda umérca que descreve de forma reduzda alguma característca de uma população ou uverso. É habtualmete represetado por letras gregas. Por exemplo: μ (méda), σ (desvo padrão), ρ (coefcete de correlação). O parâmetro ormalmete é descohecdo e, deseja-se estmar através de dados amostras. Estatístca ou medda amostral é uma medda umérca que descreve alguma característca de uma amostra. É habtualmete represetada por letras latas. Por exemplo: X (méda), S (desvo padrão), r (coefcete de correlação). Em resumo, a aálse exploratóra de dados permte orgazar os dados através de tabelas, gráfcos e meddas de localzação e dspersão, procurado mostrar um padrão ou comportameto de um cojuto de dados.. VARIÁVEL ALEATÓRIA Varável aleatóra é aquela cujo valor umérco ão é cohecdo ates da sua observação. Esta tem uma dstrbução de probabldades assocada, o que permte calcular a probabldade de ocorrêca de certos valores. Geralmete, utlzam-se letras maúsculas (X, Y, Z...) para desgar as varáves aleatóras, e músculas (x, y, z...) para dcar partculares valores dessas varáves. O comportameto de uma varável aleatóra é descrto por sua dstrbução de probabldade. Exemplo: Supoha que em um lote de 0 parafusos, são defetuosos. A varável aleatóra X=úmero de parafusos defetuosos, a escolha de 3 parafusos com reposção, pode assumr os segutes valores: X (s) 0,se s PPP, se s DPP ou s PDP ou s PPD, se s DDP ous DPD ous PDD 3, se s DDD sedo P=perfeto e D=defetuoso. A dstrbução de probabldades é apresetada o QUADRO. QUADRO - DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DA VARIÁVEL ALEATÓRIA X X x P (X x) 0 (8 0) 3 0, 5 3 (8 0) ( 0) 0, (8 0) ( 0) 0, ( /0) 3 0, 008 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

7 A fução de repartção ou fução de dstrbução acumulada da v. a X é defda por F (x) P ( X x),x R, ou seja, é defda como sedo a probabldade de X assumr um valor X X meor ou gual a x. Como exemplo tem-se o QUADRO. QUADRO - FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DA VARIÁVEL ALEATÓRIA X P(X x (x) X x ) 0 (8 0) 3 0, 5 0,5 3 (8 0) ( 0) 0, 384 0,896 3 (8 0) ( 0) 0, 096 0,99 3 ( /0) 3 0, 008,000 F X.. ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS. Quado o prmero algarsmo a ser abadoado for 0,,, 3 ou 4, fca alterado o últmo úmero que permaecer. Exemplo: seja o úmero 48,3, ao arredodar para casas decmas fcará 48,3.. Quado o prmero algarsmo a ser abadoado for 6, 7, 8 ou 9, aumeta-se de uma udade o últmo algarsmo a permaecer. Exemplo: o úmero 3,077, ao arredodar para casas decmas fcará 3, Quado o prmero algarsmo a ser abadoado for 5, haverá duas formas: a) como regra geral, aumeta-se de uma udade o últmo algarsmo a permaecer. Exemplo:,553 fcará,53. b) se ao 5 só segurem zeros, o últmo algarsmo a ser coservado só será aumetado se for ímpar. Exemplo: 4,7750 passa a ser 4,78 4,7650 passa a ser 4,76. Exemplos: arredodar os úmeros dados para casa decmas. 7,4445 fcará 7,44; 79,5673 fcará 79,57; 87,493 fcará 87,49; 4,565 fcará 4,57; 4,5650 fcará 4,56; 4,575 fcará 4,58. SACHIKO ARAKI LIRA 3

8 4. Quado houver parcelas e total, e ocorrer dfereça o arredodameto, deve-se fazer correção a parcela (ou parcelas) ode o erro relatvo for meor. Exemplo:,4 para 3,4 4 6, ,9 3. TIPOS DE ESCALAS E VARIÁVEIS Uma varável pode se apresetar das segutes formas, quato aos valores assumdos:. o Escala omal: é aquela que permte o agrupameto da udade de observação (udade da pesqusa) de acordo com uma classfcação qualtatva em categoras defdas, ou seja, cosste smplesmete em omear ou rotular, ão sedo possível estabelecer graduação ou ordeameto. Ao se trabalhar com essa escala, cada udade de observação deve ser classfcada em uma e somete uma categora, sto é, deve ser mutuamete excludete. Por exemplo, seja X, a varável, estado de uma peça de automóvel. Neste caso, a varável X assume as categoras perfeta e defetuosa, sedo deomada dcotômca. Quado assume mas de duas categoras é deomada poltômca. Não tem sgfcado artmétco ou de quatfcação, ão se faz cálculos, apeas a cotagem.. o Escala ordal: permte o agrupameto da udade de observação de acordo com uma ordem de classfcação. A escala ordal forece formações sobre a ordeação das categoras, mas ão dca a gradeza das dfereças etre os valores. Exemplo: Seja X a varável que dca a qualdade de um determado produto. Tem-se etão: A (dcado melhor qualdade), B (qualdade termedára) e C (por qualdade). 3.º Escala tervalar: é uma escala ordal em que a dstâca etre as categoras é sempre a mesma. As escalas para medr temperaturas como a Fahrehet e a Cetígrada são exemplos de escalas de tervalo. Não se pode afrmar que 40 graus é duas vezes mas quete que uma temperatura de 0 graus, embora se possa dzer que a dfereça etre 0 graus e 40 graus é a mesma que etre 75 graus e 95 graus. 4.º Escala de razão: quado uma escala tem todas as característcas de uma escala tervalar e o zero absoluto represeta o poto de orgem, é chamada escala de razão. Sempre que possível, é preferível utlzar a medda de escala de razão, pos a partr desta pode-se trasformar em escala tervalar, ordal ou omal, ão ocorredo o verso. De acordo com o ível de mesuração, a varável pode ser classfcada em qualtatva ou quattatva. Varável qualtatva é aquela cujo ível de mesuração é omal ou ordal, equato a quattatva é aquela em que o ível de mesuração é tervalar ou de razão. A varável quattatva pode ser ada dscreta ou cotíua, sedo a prmera resultate de cotagem, assumdo somete valores teros, e a últma de medções, assumdo qualquer 4 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

9 valor o campo dos úmeros reas. Apresetam-se, a segur, os cocetos de varáves quattatvas dscretas e cotíuas. Varável aleatóra dscreta: uma varável aleatóra X é dscreta se o cojuto de valores possíves de X for fto ou fto umerável. Varável aleatóra cotíua: a varável aleatóra X é chamada de cotíua quado o seu cotradomío é um cojuto fto. A FIGURA apreseta os tpos de varáves de forma resumda. FIGURA - TIPOS DE VARIÁVEIS Nomal Qualtatva Ordal Varável Dscreta Quattatva Cotíua FONTE: A autora Exemplo de aplcação: Seja uma população de peças produzdas em um determado processo. É possível ter as segutes stuações coforme QUADRO 3: QUADRO 3 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS SEGUNDO TIPO VARIÁVEIS Estado: Coforme ou Não-coforme Qualdade: ª., ª. ou 3ª. categora Número de peças coformes Comprmeto das peças TIPO Qualtatva Nomal Qualtatva Ordal Quattatva Dscreta Quattatva Cotíua FONTE: A autora.3 TABELAS.3. ELEMENTOS ESSENCIAIS DE UMA TABELA Uma tabela deve apresetar os dados de forma resumda, oferecedo uma vsão geral do comportameto do feômeo aalsado. Uma tabela é costtuída dos segutes elemetos: SACHIKO ARAKI LIRA 5

10 - Título: é a dcação que precede a tabela e cotém a detfcação de três fatores do feômeo. a) A data a qual se refere; b) o local ode ocorreu o eveto; c) o feômeo que é descrto. - Cabeçalho: é a parte superor da tabela que especfca o coteúdo das coluas. 3 - Corpo da tabela: é o espaço que cotém as formações sobre o feômeo observado. 4 - Fote: é a dcação da etdade resposável pelo levatameto dos dados. Para obter mas formações cosultar o maual de ormalzação de documetos cetífcos de acordo com as ormas da ABNT (AMADEU, et al. 05).3. TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Serão apresetados algus cocetos mportates para a costrução de tabelas de frequêcas. Dados brutos: É o cojuto de dados umércos obtdos e que ada ão foram orgazados. Rol: É o arrajo dos dados brutos em ordem crescete (ou decrescete). Ampltude (At): É a dfereça etre o maor e o meor dos valores observados. Frequêca absoluta ( f ): É o úmero de vezes que um elemeto aparece o cojuto de dados: k f ode é o úmero total de observações e k é o úmero de valores dferetes observados. Frequêca Relatva ( f r ): f k fr e fr Frequêca Absoluta Acumulada ( f ac ): É a soma da frequêca absoluta do valor assumda pela varável com todas as frequêcas absolutas aterores..3.. VARIÁVEL DISCRETA Quado uma varável quattatva dscreta assume poucos valores, pode-se cosderar que cada valor seja uma classe e que exste uma ordem atural essas classes. Exemplo: Os dados que seguem apresetam os resultados da speção dára de todas as udades de computadores produzdos durate os últmos 0 das. O úmero de udades ãocoformes são: ESTATÍSTICA DESCRITIVA

11 TABELA - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO NÚMERO DE UNIDADES NÃO CONFORMES DE COMPUTADORES PRODUZIDOS DURANTE 0 DIAS NÚMERO DE DEFEITOS NÚMERO DE DIAS (Freq.) FONTE: MONTEGOMERY, D. C. NOTA: A produção dára é de 00 computadores. Número de Classes (k) Quado se tratar de uma varável quattatva dscreta que pode assumr um grade úmero de valores dsttos, a costrução da tabela de frequêcas e de gráfcos cosderado cada valor como uma categora fca vável. A solução é agrupar os valores em classes ao elaborar a tabela. Segudo Bussab e Morett, a escolha dos tervalos depederá do cohecmeto que o pesqusador tem sobre os dados. Assm, a defção do úmero de tervalos ou classes é arbtrára. Mas, vale lembrar que, quado se utlza um pequeo úmero de tervalos pode-se perder formações, e ao cotráro, com um grade úmero de tervalos pode-se prejudcar o resumo dos dados. Exstem duas soluções para a defção do úmero de tervalos bastate utlzadas que são: ) Se o úmero de elemetos () for meor ou gual a 5 etão o úmero de classes (k) é gual a 5; se for maor que 5, etão o úmero de classes é aproxmadamete a raz quadrada postva de. Ou seja: Para 5, k = 5 Para > 5, k = ) Fórmula de Sturges para úmero de classes: k 3,3 log ( ). Ampltude total ou rage (At): É a dfereça etre o maor e o meor valor observados o cojuto de dados. A t X máx X m Ampltude dos tervalos ou das classes (h): É a dvsão da ampltude total (At) pelo úmero de tervalos (k). Ou seja: h k At SACHIKO ARAKI LIRA 7

12 .3.. VARIÁVEL CONTÍNUA Quado a varável quattatva em estudo é cotíua, que assume mutos valores dsttos, o agrupameto dos dados em classes será sempre ecessáro, a costrução das tabelas de frequêcas. Exemplo : A tabela abaxo apreseta as meddas de uma dmesão de uma peça produzda por um processo de usagem. Costrur a tabela de dstrbução de frequêcas em classes. 0,8-36,4-0, - 5,9-8,5-49,3-5,3-44,8-9,7-3,7 35,0 08, - 38, - 38,6-39,6-44,4-5,9-45, - 45,7 0,4 ROL: 0,8-08, - 0, - 5,9-8,5-0,4-5,3-5,9-9,7-3,7 35,0-36,4-38, - 38,6-39,6-44,4-44,8-45, - 45,7-49,3 A t Xmáx Xm 49,3 0,8 46,50 k 5 A h k t 46,50 9,3 0 5 TABELA - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS PRODUZIDAS POR UM PROCESSO DE USINAGEM INTERVALO DE CLASSES f 0,8 ---,8 3 0,5 3,8 ---,8 3 0,5 6 f r fac, ,8 4 0,0 0 3, ,8 5 0,5 5 4, ,8 5 0,5 0 TOTAL 0,00 FONTE: Elaborada pela autora. Exemplo : O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos), sedo feta 30 determações: ESTATÍSTICA DESCRITIVA

13 ROL: A t X máx X m ,0 k 3,3log( 30) 5,87 6 (fórmula de Sturges) h A k t 8 4,7 5 6 TABELA 3 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO TEMPO NECESSÁRIO PARA REALIZAÇAO DE CERTA OPERAÇÃO INDUSTRIAL INTERVALO DE CLASSES f f r fac , , , , , ,0 30 TOTAL 30,00 FONTE: Elaborada pela autora..4 GRÁFICOS.4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA O objetvo do gráfco é passar para o letor uma vsão clara do comportameto do feômeo em estudo, uma vez que os gráfcos trasmtem formação mas medata do que uma tabela. A represetação gráfca de um feômeo deve obedecer a certos requstos fudametas: a) Smplcdade: O gráfco deve ser desttuído de detalhes de mportâca secudára. b) Clareza: o gráfco deve possbltar uma correta terpretação dos valores represetatvos do feômeo em estudo. c) Veracdade: o gráfco deve ser a verdadera expressão do feômeo em estudo..4. HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS Este é um gráfco usado para apresetar dados orgazados em tervalos de classes, utlzado prcpalmete para represetar a dstrbução de varáves cotíuas. SACHIKO ARAKI LIRA 9

14 GRÁFICO HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS DA VARIÁVEL HISTOGRAMA ALEATÓRIA DE X FREQUÊNCIAS Freq Classes FONTE: Elaborado pela autora..4.3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS (STEM AND LEAF PLOT) Este dagrama é muto útl para uma prmera aálse dos dados. Passos para costrur um dagrama de ramo e folhas:. ordear os valores para ecotrar o valor mímo e máxmo dos dados;. dvdr cada úmero x em duas partes: um ramo, cosstdo em um ou mas dígtos cas, e uma folha, cosstdo os dígtos restates ; 3. lstar os valores do ramo em uma colua vertcal; 4. a partr da colocam-se os valores a folha. O valor zero, sgfca que há formação e que é um úmero tero. Já, quado aquele valor tero ão exste observações, ão colocar ada, dexar em braco; 5. escrever as udades para o ramo e folhas o gráfco. Cosderado os dados do exemplo : Os dados referem-se às meddas de uma dmesão de uma peça produzda por um processo de usagem. 0,8-08, - 0, - 5,9-8,5-0,4-5,3-5,9-9,7-3,7 35,0-36,4-38, - 38,6-39,6-44,4-44,8-45, - 45,7-49,3 GRÁFICO DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS DE MEDI- DAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS RAMO FOLHA FREQ FONTE: Elaborado pela autora. 0 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

15 Cosderado os dados do exemplo, tem-se: O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos): GRÁFICO 3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS DO TEMPO PARA REALIZAÇÃO DE CERTA OPERAÇÃO INDUSTRIAL RAMO FOLHA FREQ FONTE: Elaborado pela autora..4.4 GRÁFICO DE BOXPLOT OU DA CAIXA Comprmeto da caxa = ampltude terquartílca = Q3 - Q A lha cetral do retâgulo ( caxa ) represeta a medaa da dstrbução. As bordas superor e feror do retâgulo represetam os quarts e 3, respectvamete. Logo, a altura deste retâgulo é chamada de ampltude terquartílca (IQ). Os traços horzotas ao fal das lhas vertcas são traçados sobre o últmo poto (de um lado ou de outro) que ão é cosderado um outler. SACHIKO ARAKI LIRA

16 Não há um coseso sobre a defção de um outler. Porém, o caso do boxplot em geral, a maor parte das defções cosdera que potos acma do valor do 3º quartl somado a,5 vezes a IQ ou os potos abaxo do valor do º quartl dmuído de,5 vezes a IQ, são cosderados outlers..4.5 GRÁFICO DE LINHAS O gráfco de lhas é dcado para represetar séres temporas ou sequêca temporal, que é um cojuto de dados em que as observações são regstradas a ordem em que elas ocorrem. Este tpo de gráfco é mportate para a aálse do cotrole de processo de produção e de séres temporas. A segur, um exemplo de gráfco de méda (Gráfco de X ) das meddas dos dâmetros teros (mm) de aés de pstão de motores de automóves, de 5 amostras de tamaho =5 (GRÁFICO 4). GRÁFICO 4 GRÁFICO DE CONTROLE DE MÉDIAS Médas amostras 74,05 GRÁFICO DE CONTROLE DE MÉDIA LSC=74,0 74,00 74,005 74,000 _ X=LC=74,00 73,995 73,990 LIC=73, Amostras.5 MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO, VARIABILIDADE E FORMA DA DISTRIBUIÇÃO Estmador ou estatístca é uma fução dos valores da amostra, ou seja, é uma varável aleatóra, pos depede dos elemetos selecoados para compor a amostra. Ao aalsarmos a dstrbução de frequêcas de uma varável quattatva, proveete de uma amostra, deve-se, verfcar bascamete três característcas: Localzação; Varabldade ou Dspersão; Forma. ESTATÍSTICA DESCRITIVA

17 .5. TENDÊNCIA CENTRAL As meddas de tedêca cetral fazem parte, jutamete com as de posção, das chamadas meddas de localzação, e dcam ode se cocetra a maora dos dados..5.. ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA ARITMÉTICA A esperaça matemátca ou méda artmétca de uma varável aleatóra X é o cetro de gravdade do cojuto de dados, e é defda como a soma de todos os valores da varável dvdda pelo úmero de observações. a) Para dados smples A esperaça matemátca ou méda artmétca populacoal é dada pela expressão: E ( X) N N x A méda artmétca amostral é obtda através da segute expressão: X x b) Para dados agrupados em classes E( X ) k x f (população) N ode: k é o úmero de classes; x é o poto médo das classes. k x f X (amostra) ode: k é o úmero de classes; x é o poto médo das classes. Propredades da Esperaça Matemátca. E( X K) E(X) K, sedo k=costate e X v.a.. E( X.K) k E(X) 3. Sejam X e Y varáves aleatóras. Etão: E( X Y) E(X) E(Y) 4. Sejam X e Y varáves aleatóras depedetes. Etão: E( X.Y) E(X).E(Y) SACHIKO ARAKI LIRA 3

18 5. E( X X) 0 v.a. cetrada A méda e os valores extremos: a méda apreseta um grave problema, ela é fortemete fluecada pelos valores extremos. Por esta razão, deve-se fazer uma aálse cudadosa dos dados. Exemplos de aplcação: ) Supoha que um egehero esteja projetado um coector de álo para ser usado em uma aplcação automotva. O egehero estabelece como especfcação do projeto uma espessura de 3/3 polegadas, mas está seguro acerca do efeto dessa decsão a força da remoção do coector. Oto udades do protótpo são produzdas e suas forças de remoção são meddas (em lbrasforça):,6 -,9-3,4 -,3-3,6-3,5 -,6-3,. A méda da força de remoção será: X x X ,6,9 3,4,3 3,6 3,5,6 3, 3, 0 lbras-força ) Cosdere a segute dstrbução: TABELA 4 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DO TEMPO NECESSÁRIO PARA REALIZAÇÃO DE CERTA OPERAÇÃO INDUSTRIAL INTERVALO DE CLASSES f f r fac , , , , , ,0 30 TOTAL 30,00 FONTE: Elaborada pela autora. Calcular o tempo médo ecessáro para realzar a operação dustral. Solução: INTERVALO DE CLASSES f x x f ,5 34, ,5 3, ,5 348, ,5 94, ,5 07, ,5 35,0 TOTAL ,0 4 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

19 X k x f , ) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular a méda das meddas da dmesão das peças. TABELA 5 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DE MEDI DAS DE UMA DIMENSÃO DE PEÇAS INTERVALO DE CLASSES f 0,8 ---,8 3 0,5 3,8 ---,8 3 0,5 6 f r fac, ,8 4 0,0 0 3, ,8 5 0,5 5 4, ,8 5 0,5 0 TOTAL 0,00 FONTE: Elaborada pela autora. INTERVALO DE CLASSES f x x f k x f X 66 30,8 0 0,8 ---,8 3,8 ---,8 3, ,8 4 3, ,8 5 07,8 33,4 7,8 353,4 7,8 5, 37,8 689,0 4, ,8 5 47,8 739,0 TOTAL 0 66,0.5.. MEDIANA A medaa é o valor que ocupa a posção cetral do cojuto de observações de uma varável, dvddo o cojuto em duas partes guas, sedo que 50% dos dados tomam valores meores ou guas ao valor da medaa e os 50% restates, acma do seu valor. SACHIKO ARAKI LIRA 5

20 a) Para dados smples Etapas para a obteção da medaa:. ordear os dados em ordem crescete (pode ser também a ordem decrescete, mas ão é comum e pode atrapalhar a hora de calcular as meddas de posção). o lugar ou posção que a medaa ocupa é: PosM e ( ) 4 3. o valor da medaa é o valor da varável que ocupa o lugar PosM e. A medaa é depedete dos valores extremos, porque ela só leva em cosderação os valores de posção cetral. Exemplo de aplcação: ) Cosderado-se as forças de remoção, meddas em uma amostra de oto udades do protótpo (em lbras-força):,6 -,9-3,4 -,3-3,6-3,5 -,6-3,. Rol:,3 -,6 -,6 -,9-3, - 3,4-3,5-3,6 PosM e (8 ) 4,5 4 A medaa é a méda artmétca dos valores que ocupam a posção 4 e 5. Logo, M e,9 3, 3,0 ) Os dados que seguem são os resultados da speção dára de todas as udades de computadores produzdos durate os últmos 0 das. O úmero de udades ão-coformes são: Calcular a medaa. Rol: PosM e (0 ) 5,5 4 M e b) Dados agrupados em classes M e ( ) fac L h f 6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

21 ode: L é o lmte feror da classe que cotém a medaa; é o úmero de elemetos do cojuto de dados; ' fac é a frequêca acumulada da classe ateror a que cotém a medaa; f é a frequêca smples da classe que cotém a medaa; h é o tervalo ou ampltude da classe que cotém a medaa. ) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular a medaa das meddas da dmesão das peças. TABELA 6 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS INTERVALO DE CLASSES 0,8 ---,8 3,8 ---,8 3, ,8 4 3, ,8 5 4, ,8 5 f TOTAL 0 Solução: 0 ) O passo cal é calcular 0 ; ) Calcular as frequêcas acumuladas ( f ac ). INTERVALO DE CLASSES f f ac 0,8 ---,8 3 3,8 ---,8 3 6, , , , , ,8 5 0 TOTAL 0 M e ( ) fac L h f SACHIKO ARAKI LIRA 7

22 M e ( 0 ) 6,8 0 3,8 4 ) Cosderado a dstrbução a segur, calcular a medaa. TABELA 7 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO TEMPO GASTO PARA REALIZAÇÃO DA OPERAÇÃO INDUSTRIAL INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 Solução: INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 f ac M e 30 5 ( ) fac L h f M e (5 ) , MODA a) Para dados smples A moda, represetada por M o, é o valor que apreseta maor frequêca. Ela pode ão exstr (dstrbução amodal), ter somete um valor (umodal) ou pode ter dos ou mas (bmodal ou multmodal), prcpalmete quado a varável assume mutos valores. Exemplo: 8 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

23 ) Cosderado-se as forças de remoção, meddas em uma amostra de oto udades do protótpo (em lbras-força):,6 -,9-3,4 -,3-3,6-3,5 -,6-3,. Para o exemplo tem-se que a moda é gual a,6 lbras-força. b) Dados agrupados em classes M o ode: 3M X ( moda de Pearso) e Me é a medaa da dstrbução de dados; X é a méda da dstrbução de dados. ) Dada a dstrbução de frequêcas a segur, calcular a moda. Solução: TABELA 8 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO TEMPO GASTO PARA REALIZAÇÃO DA OPERAÇÃO INDUSTRIAL INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 Tem-se que a méda e a medaa da dstrbução são, respectvamete: X 45,50 M e 44,5 Logo, a moda será: M 3M X 3 44,5 45,50 4,375 o e ) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular a moda das meddas da dmesão das peças. TABELA 9 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS INTERVALO DE CLASSES 0,8 ---,8 3,8 ---,8 3, ,8 4 3, ,8 5 4, ,8 5 f TOTAL 0 SACHIKO ARAKI LIRA 9

24 Solução: Tem-se que a méda e a medaa da dstrbução são, respectvamete: X 30,8 M e Mo ( 0 ) 6,8 0 3,8 4 3Me X 3 3,8 30,8 36,8.5. MEDIDAS DE POSIÇÃO (OU SEPARATRIZES) As separatrzes mas cohecdas são os quarts e os percets. Os quarts dvdem o cojuto de dados em quatro partes guas e os percets, em cem partes guas. A cada quartl correspodem 5% do cojuto de dados e a percetl, %. Da mesma forma que para a medaa, as posções das separatrzes, para dados ordeados em ordem crescete..5.. QUARTIL São três meddas ( Q, Q e Q3 ) que dvdem o cojuto de dados em 4 partes guas, sedo que a cada quartl correspodem 5% dos dados. a) Para dados smples PosQ ( ),,, 3 4 Exemplo : Os dados a segur são dâmetros (em cm) de peças de automóves:,3 -,6 -,6 -,9-3, - 3,4-3,5-3,6-5,0 Calcular os quarts. (9 ) PosQ 3,0 (3 º elemeto), logo Q, 6 4 (9 ) PosQ 5,0 (5 º elemeto), logo Q 3, 4 (9 ) PosQ 3 3 7,0 (7 º elemeto), logo Q 3 3, 5 4 Exemplo : Os dados abaxo são as meddas de uma dmesão de uma peça produzda por um processo de usagem. 0,8-08, - 0, - 5,9-8,5-0,4-5,3-5,9-9,7-3,7 0 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

25 35,0-36,4-38, - 38,6-39,6-44,4-44,8-45, - 45,7-49,3 Calcular os quarts (, e 3). (0 ) PosQ 5,75 (5,75 º elemeto), 4 Logo, Q 8,5 (0,4 8,5) * 0,75 9,95 (0 ) PosQ 0,5 (0,5 º elemeto), 4 Logo, Q 3,7 (35,0 3,7) * 0,5 33,85 (0 ) PosQ 3 3 5,5 (5,5 º elemeto), 4 Logo, Q 3 39,6 (44,4 39,6) * 0,5 40,80 b) Para dados agrupados em classes PosQ,,, 3 4 (PosQ ) fac Q L h f ode: é o úmero de elemetos do cojuto de dados; L é o lmte feror da classe que cotém o quartl; ' fac é a freqüêca acumulada da classe ateror a que cotém o quartl; f é a freqüêca smples da classe que cotém o quartl; h é o tervalo ou ampltude da classe que cotém a medaa. Exemplos: ) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular os quarts, e 3, das meddas da dmesão das peças. TABELA 0 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS INTERVALO DE CLASSES 0,8 ---,8 3 3 f f ac,8 ---,8 3 6, , , , , ,8 5 0 TOTAL 0 SACHIKO ARAKI LIRA

26 Solução: 0 a) PosQ Q,8 0 9, PosQ 0 4 Q 0 6,8 0 3, PosQ Q ,8 0 4,80 5 ) Dada a dstrbução de freqüêcas a segur, calcular os quarts, e 3. TABELA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊN- CIAS DO TEMPO PARA REALI- ZAÇÃO DA OPERAÇÃO INDUS- TRIAL INTERVALO DE CLASSES f TOTAL MEDIDAS DE DISPERSÃO Para descrever adequadamete a dstrbução de frequêcas de uma varável quattatva, além da formação do valor represetatvo da varável (tedêca cetral), é ecessáro dzer também o quato estes valores varam, ou seja, o quato eles são dspersos. Somete a formação sobre a tedêca cetral de um cojuto de dados ão cosegue represetá-lo adequadamete. As meddas de dspersão medem o grau de varabldade ou dspersão dos dados AMPLITUDE TOTAL A ampltude total mede a dstâca etre o valor máxmo e mímo. Ela é uma estatístca rudmetar, pos embora foreça uma oção de dspersão, ão dz qual é sua atureza. A t X máx X m Exemplo de aplcação: ESTATÍSTICA DESCRITIVA

27 Exemplo : Os dados a segur são dâmetros (em cm) de peças de automóves:,3 -,6 -,6 -,9-3, - 3,4-3,5-3,6-5,0 Tem-se que: A t Xmáx Xm 5,0,3, AMPLITUDE INTERQUARTIL A ampltude terquartl, ou comprmeto da caxa, é a dstâca etre o prmero e tercero quartl. É muto útl para detectar valores extremos, e é usado o dagrama de boxplot. IQ Q 3 Q Exemplo: cosderado os dados referetes aos dâmetros (em cm) de peças de automóves e os quarts correspodetes, já calculados aterormete, calcular a ampltude terquartl. (9 ) PosQ 3,0 (3 º elemeto), logo Q, 6 4 (9 ) PosQ 3 3 7,0 (7 º elemeto), logo Q 3 3, 5 4 IQ 3,5,6 0,9 Para a costrução do gráfco boxplot, tem-se: lm te f eror Q,5 IQ lm te sup eror Q3,5 IQ Para o exemplo em questão: lm te f eror,6,5 0,9,5 lm te sup eror 3,5,5 0,9 4,85 Exste um valor outler superor, que é 5, DESVIO MÉDIO a) Para dados smples expressão: O desvo médo é a méda dos valores absolutos dos desvos. É calculada através da DM x X Exemplo de aplcação: Os dados a segur são dâmetros (em cm) de peças de automóves:,3 -,6 -,6 -,9-3, - 3,4-3,5-3,6-5,0. Tem-se que: X 3, SACHIKO ARAKI LIRA 3

28 QUADRO 4 - VALORES DA VARIÁVEL X E DES- VIOS ABSOLUTOS EM RELAÇÃO À MÉDIA x x X,3 0,9,6 0,6,6 0,6,9 0,3 3, 0, 3,4 0,8 3,5 0,8 3,6 0,38 5,0,78 5, DM x X 5, 0,58 9 b) Para dados agrupados em classes DM k x X f Dada a dstrbução de frequêcas a segur, calcular o desvo médo. Sabe-se que X 45,50. INTERVALO DE CLASSES f x x X x X f ,5, ,5 7, ,5, ,5 3, ,5 8, ,5 3,0 78 TOTAL 30 DM k x X f 7,0667 7, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO A varâca da varável aleatóra, represetada por V (X) ou, é obtda elevado-se os desvos em relação à méda ao quadrado. Quado se extra a raz quadrada da varâca, tem-se o desvo padrão. Propredades da Varâca 4 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

29 . V (k) 0, ode k=costate. V (kx) k V (X), ode k=costate e X v.a. 3. Sejam X e Y v.a. depedetes. Etão: V (X Y) V(X) V(Y) 4. Sejam X e Y v.a. ão depedetes (ou depedetes). Etão: V (X V (X Y) V(X) V(Y) COV(X, Y) Y) V(X) V(Y) COV(X, Y) ode: COV (X,Y) E(XY ) E(X)E(Y ) (covarâca) a) Para dados smples A varâca e o desvo padrão populacoal são obtdas pelas expressões: N N x (varâca) (desvo padrão) A varâca e o desvo padrão amostral são obtdas pelas expressões: S (varâca) x X S S (desvo padrão) Exemplo de aplcação: Cosderado o exemplo tem-se: QUADRO 5 - VALORES DA VARIÁVEL X E DESVIOS SIMPLES E QUADRÁTICOS EM RELA- ÇÃO À MÉDIA X x X x X,3-0,9 0,8464,6-0,6 0,3844,6-0,6 0,3844,9-0,3 0,04 3, -0, 0,044 3,4 0,8 0,034 3,5 0,8 0,0784 3,6 0,38 0,444 5,0,78 3,684 5,556 S 5,556 x X 0, S 0,80 b) Para dados agrupados em classes SACHIKO ARAKI LIRA 5

30 A varâca e o desvo padrão populacoal são obtdas pelas expressões: k k x f x f (varâca) k f N (desvo padrão) A varâca e o desvo padrão amostral são obtdas pelas expressões: Exemplo: S k k x X f x X f (varâca) k f S S (desvo padrão) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular a varâca e o desvo padrão. INTERVALO DE CLASSES f x ( x X ) f 0,8 ---,8 3 07,8 587,0,8 ---,8 3 7,8 507,0, ,8 4 7,8 36,0 3, ,8 5 37,8 45,0 4, ,8 5 47,8 445,0 TOTAL 0 380,0 Dados: X 30,8 S k x X S 4,8 f 380 0,056 0 Exercíco: Dada a dstrbução de frequêcas a segur, calcular a varâca e o desvo padrão. INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

31 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO É uma medda de dspersão relatva. É defdo como o quocete etre o desvo padrão e a méda, multplcado por 00, para expressar porcetagem. Em algumas stuações é desejável comparar o grau de dspersão de dos cojutos de dados com udades de meddas dferetes. Neste caso, deve-se usar o coefcete de varação (CV), que é uma medda de dspersão relatva, e ela ão é afetada pelas udades de medda da varável. Ou ada, quado as médas dos dos cojutos de dados são muto dsttas, este caso faz-se ecessáro utlzar uma medda de dspersão relatva. CV 00 coefcete de varação populacoal S CV 00 coefcete de varação amostral X Exemplo de aplcação: Para o exemplo tem-se: Dados: X 30,8 ; S 4, 8 4,8 Logo, CV 00 0,84% 30,8.5.4 FORMA DA DISTRIBUIÇÃO A dstrbução de frequêcas de uma varável pode ter váras formas, mas exstem três formas báscas, apresetadas através de hstogramas e suas respectvas ogvas, que são gráfcos específcos para dstrbuções de frequêcas. A dstrbução é smétrca, quado as observações estão gualmete dstrbuídas em toro de um valor mas frequete (metade acma e metade abaxo). Já, a assmetra de uma dstrbução pode ocorrer de duas formas: assmetra postva; assmetra egatva. Em algus casos, apeas o cohecmeto da forma da dstrbução de frequêcas de uma varável já os forece uma boa formação sobre o comportameto dessa varável COEFICIENTE DO MOMENTO DE ASSIMETRIA a3 k 3 ( x X ) f k ( x X ) f 3 Uma dstrbução é classfcada como: SACHIKO ARAKI LIRA 7

32 Smétrca: a 3 0 e tem-se que méda=medaa=moda Assmétrca egatva: a 3 0 e tem-se que méda medaa moda Assmétrca postva: a 3 0 e tem-se que moda medaa méda Grafcamete: Assmetra postva Smétrca Assmetra egatva FIGURA 3: CLASSIFICAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES QUANTO A ASSIMETRIA.5.4. COEFICIENTE DO MOMENTO DE CURTOSE A medda de curtose é o grau de achatameto da dstrbução, é um dcador da forma desta dstrbução. O coefcete mometo de curtose é defdo como sedo: a4 k ( x k ( x 4 X ) f X ) f Se a 4 3, a dstrbução é platcúrtca e esta apreseta uma curva de frequêca mas aberta, com os dados fracamete cocetrados em toro de seu cetro. Se a 4 3, a dstrbução é mesocúrtca e os dados estão razoavelmete cocetrados em toro de seu cetro. Se a 4 3, a dstrbução é leptocúrtca e esta apreseta uma curva de frequêca bastate fechada, com os dados fortemete cocetrados em toro de seu cetro. A curtose ou achatameto é mas uma medda com a faldade de complemetar a caracterzação da dspersão em uma dstrbução. Esta medda quatfca a cocetração ou dspersão dos valores de um cojuto de dados em relação às meddas de tedêca cetral em uma dstrbução de frequêcas. Uma dstrbução é classfcada quato ao grau de achatameto como: 8 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

33 FONTE: COSTA NETO (994) Exemplo : Para a dstrbução de frequêcas das meddas da dmesão das peças apresetadas a segur e as estatístcas já calculadas aterormete, calcular os coefcetes de assmetra e curtose. INTERVALO DE CLASSES f 0,8 ---,8 3,8 ---,8 3, ,8 4 3, ,8 5 4, ,8 5 TOTAL 0 Solução: INTERVALO DE CLASSES f 3 4 x ( x X ) ( x X ) f ( x X ) f ( x X ) f ( x X ) f 0,8 ---,8 3 07, ,8 ---,8 3 7, , ,8 4 7, , ,8 5 37, , ,8 5 47, TOTAL k 3 ( x X ) f ( 6.90) 0 3-0, k ( x X ) f a A dstrbução apreseta assmetra levemete egatva. SACHIKO ARAKI LIRA 9

34 k 4 ( x X ) f ,8573 k ( x X ) f a A dstrbução é platcúrtca. Exemplo : Dada a dstrbução de frequêcas a segur, calcular a assmetra e curtose. INTERVALO DE CLASSES f Solução: INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 x 3 4 ( x X ) ( x X ) f ( x X ) f ( x X ) f ( x X ) f , , , , , , TOTAL k 3 ( x X ) f (5.80) a , k ( x X ) f A dstrbução apreseta assmetra levemete postva. k 4 ( x X ) f a 30 4,930 k ( x X ) f A dstrbução é platcúrtca. 30 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

35 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. ESTATÍSTICA DESCRITIVA. Cocetue: a) População ou Uverso; b) Amostra; c) Parâmetro; d) Estatístca ou medda amostral; e) Varável aleatóra dscreta e exemplfque; f) Varável aleatóra cotíua e exemplfque.. Uma mportate característca de qualdade da água é a cocetração de materal sóldo suspeso. Em seguda são apresetadas 30 meddas de sóldos suspesos de um certo lago. 4,4-65,7-9,8-58,7-5, - 55,8-57,0-68,7-67,3-67,3-54,3-54,0-73, - 8,3-59,9 56,9-6, - 69,9-66,9-59,0-56,3-43,3-57,4-45,3-80, - 49,7-4,8-4,4-59,6-65,8 a) costrur a dstrbução de frequêcas em classes; b) calcular as frequêcas relatva e acumulada; c) costrur o hstograma de frequêcas. 3. O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos), sedo feta 40 determações: a) costrur a dstrbução de frequêcas em classes; b) calcular as frequêcas relatva e acumulada; c) costrur o hstograma de frequêcas. 4. Foram obtdas oto meddas do dâmetro tero de aés de pstão forjados de um motor de um automóvel. Os dados (em mm) são: 74,00-74,003-74,05-74,000-74,005-74,00-74,005-74,004 Calcule a méda, a medaa, a moda, o desvo médo, o desvo padrão e o coefcete de varação da amostra. 5. Os tempos de esgotameto de um fluído solate etre eletrodos a 34 kv, em mutos são: 0,9-0,78-0,96 -,3 -,78-3,6-4,5-4,67-4,85-6,50-7,35-8,0-8,7 -,06-3,75-3,5-33,9-36,7-7,89. Calcule a méda, medaa, quartl, quartl 3, desvo padrão e coefcete de varação e comete os resultados obtdos. 6. O ph de uma solução é meddo oto vezes por uma operadora que usa o mesmo strumeto. Ela obteve os segutes dados: 7,5-7,0-7,8-7,9-7, - 7,0-7,6-7,8 Faça uma aálse estatístca dos dados e comete. SACHIKO ARAKI LIRA 3

36 7. Prever a propagação de trca de fadga em estruturas de avões é um mportate elemeto de seguraça em aeroaves. Um estudo de egehara para vestgar a trca de fadga em =9 asas reportou os segutes comprmetos (em mm) de trca:,3 -,96-3,0 -,8 -,5 -,37 -,04 -,47 -,60 Calcule a méda, os quarts (, e 3), o desvo padrão e o coefcete de varação da amostra. Comete os resultados obtdos. 8. Uma amostra de 7 corpos de prova de cocreto foreceu as segutes resstêcas à ruptura ( kg / cm ): Calcular a méda, medaa, moda, varâca, desvo padrão e coefcete de varação. Comete os resultados obtdos. 9. O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos), sedo feta 0 determações: Faça uma aálse estatístca dos dados costrudo a dstrbução de frequêcas em classes (calcule também as meddas de assmetra e curtose). 0. As taxas de octaagem de combustível para motor, de váras msturas de gasola foram obtdas: 88,5-94,7-84,3-90, - 89,0-89,8-9,6-90,3-90,0-9,5-89,9 98,8-88,3-90,4-9, - 90,6-9, - 87,7-9, - 86,7-93,4-96, Faça uma aálse estatístca dos dados (calcule também as meddas de assmetra e curtose).. A propagação de trcas por fadga em dversas peças de aeroaves tem sdo objeto de mutos estudos. Os dados a segur cosstem dos tempos de propagação (horas de vôo) para atgr um determado tamaho de trca em furos de fxadores propostos para uso em aeroaves mltares. 0,736-0,863-0,865-0,93-0,95-0,937-0,983 -,007,0 -,064 -,09 -,3 -,40 -,53 -,53 -,394 a) calcule e compare os valores da méda e medaa amostras; b) calcule o desvo médo, desvo padrão e o coefcete de varação; c) qual é a coclusão sobre a forma da dstrbução (assmetra e curtose)?. O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos), sedo feta medções: a) calcular Q (quartl ), Q (quartl ) e Q3 (quartl 3); b) costrur o gráfco boxplot. 3 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

37 3. As taxas de octaagem de combustível para motor, de váras msturas de gasola foram obtdas: 88,5-94,7 80,0-90, - 89,0-89,8-9,6-90,3-90,0-9,5-89,9 a) calcular Q (quartl ), Q (quartl ) e Q3 (quartl 3); b) costrur o gráfco boxplot. SACHIKO ARAKI LIRA 33

38 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES DEFINIÇÕES. EXPERIMENTO ALEATÓRIO (E) Defção : É o feômeo que, mesmo repetdos váras vezes sob codções semelhates, apresetam resultados mprevsíves. O resultado fal depede do acaso.. ESPAÇO AMOSTRAL (S) Defção : É o cojuto formado por todos os resultados possíves em qualquer expermeto aleatóro. Exemplos: Sejam os expermetos aleatóros e os respectvos espaços amostras: a) Ispecoar uma peça de automóvel. S coforme, ão coforme ; b) Tomar uma válvula eletrôca e verfcar o tempo de vda útl. S x R, x 0 c) Ispecoar uma lâmpada. S defetuosa,ão defetuosa ; d) Medr o coteúdo de cobre o latão. S xr,50% x 90% ;.3 EVENTO Defção 3: É um subcojuto do espaço amostral S de um expermeto aleatóro. S A Exemplo: Seja o espaço amostral S (c,c),(c,),(,c),(,) duas peças, sedo c=peça coforme e =peça ão coforme., resultado do expermeto de seleção de Supoha que A seja o subcojuto de resultados para os quas, o mímo uma peça seja A (c,c),(c,),(,c). coforme. Etão o eveto A será: 34 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

39 Por serem subcojutos, é possível realzar a operação de uão (U) etre cojutos. A Uão de Evetos represeta a ocorrêca de um eveto OU de outro. Outra operação que pode ser feta sobre Evetos é a tersecção ( ). A tersecção de evetos represeta a ocorrêca de um E de outro. Uão de evetos => A B A B A B Iterseção de evetos => A B A B.3. EVENTO COMPLEMENTAR O eveto complemetar do eveto A, represetado por A, é aquele que ocorre somete se A dexar de ocorrer. E tem-se que: A A A A S => P(A A ) A A A A Ø => P(A A ) 0 Seja o eveto A, obter úmero 4 a face superor o laçameto de um dado A 4 eveto complemetar A será: A,,3,5,6. O.3. EVENTOS INDEPENDENTES Quado a realzação ou ão realzação de um dos evetos ão afeta a probabldade da realzação do outro e vce-versa. Exemplos: ) No laçameto de dos dados qual é a probabldade de obter o º 4 o prmero dado e o º 3 o segudo dado? P() P( ) P(o. 4 o dado ) 6 P(o.3 o dado ) 6 P( ) P( E) P() P( ) SACHIKO ARAKI LIRA 35

40 ) Supoha que uma produção dára de 850 peças fabrcadas coteha 50 peças que ão satsfaçam as exgêcas dos cosumdores. Duas peças são selecoadas, sedo que a prmera peça é reposta ates da seguda ser selecoada. Qual é a probabldade das duas peças serem defetuosas? P(De D) ,0035 0,35%.3.3 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dos ou mas evetos são mutuamete exclusvos quado a realzação de um exclu a possbldade de realzação do(s) outro(s). Assm, o laçameto de uma moeda, o eveto "trar cara" e o eveto "trar coroa" são mutuamete exclusvos, já que, ao se realzar um deles, o outro ão se realza. A B S Se dos evetos são mutuamete exclusvos, a probabldade de que um ou outro se realze é gual à soma das probabldades de que cada um deles se realze: P( A B ) P(A OU B) P(A ) P(B ) Exemplos: ) No laçameto de um dado qual a probabldade de se trar o º 3 ou o º 4? Os dos evetos são mutuamete exclusvos etão: P( A B ) P(A OU B) P(o.3 ) P(o.4 ) ) Um parafuso é selecoado aleatoramete de um lote de 00 parafusos, sedo que 5 apresetam pequeos defetos e 0 são ão-coformes (ão acetáves). Qual é a probabldade do parafuso selecoado ser: a) Perfeto ou apresetar pequeo defeto? b) Apresetar pequeo defeto ou ão-coforme? Solução: P(pequeo defeto) P(ão coforme) ,5 0,0 36 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

41 P(perfeto) , a) P(perfeto ou pequeo defeto) 0, b) P( pequeo defeto ou ão coforme) 0, DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE Seja A um subcojuto do espaço amostral S. Etão, se todos os resultados elemetares de S são equprováves, a medda da probabldade de ocorrêca do eveto A é dada por: P(A) úmero de elemetos em úmero de elemetos em A S ( A ) ( S).5 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE Seja o espaço amostral S assocado a um certo expermeto. A cada eveto A S assoca-se um úmero real represetado por P (A), chamado de probabldade de A, satsfazedo as propredades: ) 0 P(A) ) P(S) (ou seja, a probabldade do eveto certo é gual a ) 3) sejam A e B dos evetos mutuamete exclusvos. A probabldade de ocorrêca de A ou B é gual à soma das probabldades dvduas. P(A ou B ) P(A ) P(B).6 PROBABILIDADE CONDICIONAL Defção 4: Sejam A e B evetos de um expermeto E, com P(B) 0. Etão a probabldade codcoal do eveto A dado que B teha ocorrdo é: P( A B) P(A B ), A E P(B ) Exemplo: O quadro a segur forece um exemplo de 400 tes classfcados por falhas a superfíce e como defetuosos (fucoalmete). DEFEITUOSO FALHAS NA SUPERFÍCIE Sm Não TOTAL Sm Não TOTAL SACHIKO ARAKI LIRA 37

42 a) Qual é a probabldade do tem ser defetuoso, dado que apreseta falhas a superfíce? b) Qual é a probabldade de ter falhas a superfíce dado que é defetuoso? Solução: A Probabldade Codcoal pode assumr a forma abaxo, chamada algumas vezes de teorema da multplcação de probabldades: P(A B ) P( A B) P(B ), ou de forma equvalete, P(A B ) P(B A) P( A ) Exemplo: A probabldade de que o prmero estágo de uma operação, umercamete cotrolada, de usagem para pstões com alta rpm ateda às especfcações é gual a 0,90. Falhas são devdo a varações o metal, alhameto de acessóros, codções da lâma de corte, vbração e codções ambetas. Dado que o prmero estágo atede às especfcações, a probabldade de que o segudo estágo de usagem ateda à especfcações é de 0,95. Qual a probabldade de ambos os estágos atederem as especfcações? P(A B ) P(B A) P( A ) 0,95 0,90 0,855.7 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL Supoha que evetos aleatóros A,A,, Ak sejam k cojutos mutuamete exclusvos e exaustvos ( A A Ak,... S). Etão: P (B ) P( A ).P( B A Exemplos: ) ) A probabldade de que um coector elétrco que seja matdo seco falhe durate o período de garata de um computador portátl é %. Se o coector for molhado, a probabldade de falha durate o período de garata será de 5%. Se 90% dos coectores forem matdos secos e 0% forem matdos molhados, qual é a probabldade dos coectores falharem durate o período da garata? Solução: 38 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

43 ) Supoha que a fabrcação de semcodutores, a probabldade seja de 0,0 de que um chp que esteja sujeto a altos íves de cotamação durate a fabrcação cause uma falha o produto. A probabldade é de 0,005 de que um chp que ão esteja sujeto a altos íves de cotamação durate a fabrcação cause uma falha o produto. Em um dado state da produção, 0% dos chps estão sujetos a altos íves de cotamação. Qual a probabldade de um produto usado um desses chps vr a falhar? Solução:.8 TEOREMA DE BAYES Uma das relações mas mportates evolvedo probabldades codcoas é dada pelo teorema de Bayes, que expressa uma probabldade codcoal em termos de outras probabldades codcoas. P ( A B) k P( A ).P(B A ) j P( A j ).P(B A j ) Exemplo: Uma determada peça é produzda por três fábrcas,, e 3. Sabe-se que a fábrca produz o dobro de peças que, e e 3 produzram o mesmo úmero de peças durate um período de produção especfcado. Sabe-se também que % das peças produzdas por e por são defetuosas, equato 4% daquelas produzdas por 3 são defetuosas. Todas as peças são colocadas um depósto. Uma peça é retrada ao acaso do depósto e se verfca que é defetuosa. Qual a probabldade de que teha sdo produzda a fábrca? Defção dos evetos: B={ a peça é defetuosa} A={ a peça é da fábrca } A{ a peça é da fábrca } A3={ a peça é da fábrca 3} P(B A) 0,0 P(A ) SACHIKO ARAKI LIRA 39

44 P(B A ) 0,0 P(A ) 4 P(B A3 ) 0,04 P(A 3 ) P ( A P( A B) 4 k B) P( A ).P(B A ) j P( A P( A j ).P(B A ).P(B A ) P( A j ) P( A ).P(B A ).P(B A ) ) P( A 0,0 P( A B) 0,40 0,0 4 0,0 4 0,04 3 ).P(B A 3 ) ) Cada objeto maufaturado é submetdo para exame com a probabldade 0,55 a um cotrolador e com a probabldade 0,45 a um outro. A probabldade de passar o exame é, segudo o cotrolador, respectvamete gual a 0,90 e 0,98. Achar a probabldade de que um objeto aceto teha sdo examado pelo segudo cotrolador. LISTA DE EXERCÍCIOS NO. - PROBABILIDADES. De uma caxa cotedo 00 peças etre as quas 0 são defetuosas se extraem quatro peças ao acaso, sem reposção. Ecotrar a probabldade de que etre estas ão ocorra: a) ehuma peça defetuosa; b) ehuma peça boa.. De um lote de 5 válvulas 0 são boas. Ecotrar a probabldade de que de 3 válvulas extraídas ao acaso, sem reposção, sejam boas. 3. Uma caxa cotém 0 peças das quas 5 são defetuosas. Extraem-se duas ao acaso, sem reposção. Qual a probabldade de: a) ambas serem boas? b) ambas serem defetuosas? c) uma boa e outra defetuosa? 4. Dos aparelhos de alarme depedetes fucoam, o caso de avara, com a probabldade 0,95 e 0,90, respectvamete. Achar a probabldade de que uma avara fucoe apeas um dos aparelhos. 5. A probabldade de que uma medção o erro ultrapasse o admtdo é 0,4. Achar a probabldade de que em apeas uma medção de uma sére de três o erro ultrapasse o admtdo. 40 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

45 6. A probabldade de que uma peça do tpo exgdo se ache em cada uma de quatro caxas é gual, respectvamete, a 0,60; 0,70; 0,80 e 0,90. Calcular a probabldade de que tal peça se ecotre: a) o máxmo em três caxas; b) pelo meos em duas caxas. 7. Um crcuto elétrco é costtuído de três elemetos lgados em sére que dexam de fucoar com probabldade p 0, 0 ; p 0, 5 ; p 3 0, 0, respectvamete. Achar a probabldade de que ão haja correte o crcuto. 8. Um dspostvo de freo de automóvel cosste de três subsstemas, que devem fucoar smultaeamete para que o freo fucoe. Os subsstemas são um sstema eletrôco, um sstema hdráulco e um atvador mecâco. Ao frear, a probabldade de sucesso dessas udades é de 0,96, 0,95 e 0,95, respectvamete. Estme a cofabldade do sstema, admtdo que os subsstemas fucoem depedetemete. Cometáro: Sstemas deste tpo podem ser represetados grafcamete, coforme lustração abaxo, ode os subsstemas A (eletrôco), B (hdráulco) e C (atvador mecâco), dspõem-se em sére. Cosdera-se a trajetóra a-b como a trajetóra do sucesso. A B C a 0,96 0,95 0,95 b 9. Os automóves são equpados com crcutos redudates de freagem; os freos falham somete quado todos os crcutos falham. Cosderemos o caso de dos crcutos redudates, ou paralelos, cada um com 0,95 de cofabldade (probabldade de sucesso). Determe a cofabldade do sstema, supodo que os crcutos atuem depedetemete. 0. Respectvamete, 60 e 84 por ceto das peças forecdas por duas máquas automátcas, a produtvdade da prmera sedo o dobro da seguda, são de alta qualdade. Tedo-se costatado que uma peça escolhda ao acaso é de alta qualdade, achar a probabldade de que proveha da prmera máqua (teorema de Bayes).. Um relatóro de cotrole de qualdade de trasstores acusa os segutes resultados por fabrcate e por qualdade: FABRI- CANTE QUALIDADE Acetável Margal Iacetável TOTAL A B C Escolhdo um trasstor ao acaso, qual a probabldade: a) de provr do fabrcate A, dado que é de qualdade acetável? b) de ser acetável, dado que provém do fabrcate C? c) de provr do fabrcate B, dado que apreseta qualdade margal? SACHIKO ARAKI LIRA 4

46 ) Supoha que a fabrcação de semcodutores, as probabldades de que um chp, sujeto a alto, médo ou baxo ível de cotamação durate a fabrcação, cause uma falha o produto sejam respectvamete guas a 0,0, 0,0 e 0,00. Em um expermeto partcular da produção, 0% dos chps estão sujetos a altos íves de cotamação, 30% a íves médos de cotamação e 50% a baxos íves de cotamação. Qual a probabldade de um produto falhar ao usar um desses chps? 4 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

47 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 3. DEFINIÇÕES Defção : Seja E um expermeto e S o espaço amostral assocado ao expermeto. Varável aleatóra udmesoal é uma fução X, que assoca a cada elemeto s S, um úmero real X (s). S R X s X X ( s ) Exemplo: Uma caxa cotém 4 válvulas, sedo duas perfetas e duas defetuosas. Duas válvulas são retradas aleatoramete da caxa e testadas (sedo represetadas por D se a peça é defetuosa e P se a peça é perfeta). O espaço amostral assocado a este eveto é: S={PP,PD,DP,DD} Seja a varável aleatóra X=úmero de válvulas defetuosas. Os valores possíves da varável aleatóra X, serão: R X {0,,} Defção : Seja X uma varável aleatóra dscreta. A fução de probabldade, assoca um úmero real P(X x ), chamado de probabldade de x, a cada possível resultado x. Tem-se que: 0 P(X x ) P(X x xs ) Uma dstrbução de probabldade é uma descrção, que forece a probabldade para cada valor da varável aleatóra. Ela é frequetemete expressa a forma de um gráfco, de uma tabela ou uma fórmula. Exemplo: No laçameto de duas moedas ao ar, tem-se que os possíves resultados são: CC, Ck, KC, KK (C=cara e K=coroa). Seja X, a varável aleatóra úmero de caras. Etão, X poderá assumr os valores: SACHIKO ARAKI LIRA 43

48 X (s) 0, se s KK, se s CK ou s KC, se s CC A dstrbução de probabldade da varável aleatóra X é: X x P (X x) 0 /4 / /4 Exemplo : Em um processo de fabrcação de semcodutores, 3 pastlhas de um lote são testadas. Cada pastlha é classfcada como passa ou falha. Supoha que a probabldade de uma pastlha passar o teste seja de 0,8 e que as pastlhas sejam depedetes. Seja X a varável úmero de pastlhas de um lote que passam o teste. A dstrbução de probabldade de X será: 3 3 P(x 0) P(f,f,f) ( 0,8) 0, 0,008 P(x ) P(p,f,f) ou P(f,p,f) ou P(f, f,p) 3 (0,80 0,0 0,0) 3 0,03 P(x 0,096 ) P(p,p,f) ou P(p, f,p) ou P(f,p,p) 3 (0,80 0,80 0,0) 3 0,8 0,384 P(x 3) P(p,p,p) 0,8 3 0,5 X x P(X x) 0 0,008 0,096 0, ,5 Defção 3: Seja X uma varável aleatóra. A fução de dstrbução acumulada ou de repartção de X é defda como F(x) P(X x) Se X for varável dscreta, tem-se F(x) P(x ) x x Esperaça O valor esperado, expectâca ou a esperaça matemátca E(X), de uma varável aleatóra dscreta X, que é a méda da dstrbução, é defda por: 44 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

49 E(X) x P(x ) Varâca A varâca da varável aleatóra dscreta X, represetada por V (X), é defda por: V(X) E X E(X) x E(X) P(x ) Exemplo : Seja X uma varável aleatóra dscreta que represeta o úmero de peças defetuosas em cada 5 peças specoadas. Sabedo-se que a probabldade de uma peça ser defetuosa é de 0%, obtém-se a segute dstrbução de probabldade: x p(x ) 0,377 0,4096 0,048 0,05 0,0064 0,0003 E(X) E(X) V(X) Qual o valor esperado de X ( E (X) ) e a varâca ( V (X))? xp(x ) 0 0,377 0,4096 0, ,05 4 0, ,0003 E Portato, em cada 5 peças specoadas, o úmero esperado de peça defetuosa é. X E(X) x E(X) P(x ) V(X) (0 ) 0,377 ( ) 0,4096 ( ) 0,048 (3 ) 0, 05 V(X) (4 ) 0,7997 0,0064 (5 ) 0,0003 Exemplo : O tempo T, em mutos, ecessáro para um operáro processar certa peça é uma varável aleatóra com a segute dstrbução de probabldade: t P(t) 0, 0, 0,3 0, 0, 0, Calcular: E ( X ) e V ( X ) a) E(X) x P(x ) E(X) 0, 3 0, 4 0,3 5 0, 6 0, 7 0, 4,6 b) V(X) x E(X) P(x ) V(X) ( 4,6) V(X),04 0, (3 4,6) 0, (4 4,6) 0,3 (5 4,6) 0, (6 4,6) 0, (7 4,6) 0, SACHIKO ARAKI LIRA 45

50 Defção 4: Seja E um expermeto com espaço amostral S. Sejam X X(s) e Y Y(s) duas fuções, cada uma assocado um úmero real a cada resultado é uma Varável Aleatóra Bdmesoal. s S. Tem-se etão que (X,Y) S s s R XY X(s) Y(s) Seja o expermeto: retrar uma barra de ferro de um lote e observar a dmesão (largura e o comprmeto); tem-se este caso duas varáves aleatóras X e Y. 3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS 3.. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Uma varável aleatóra dscreta X, que cota o úmero de sucessos em provas depedetes, que apresetam os resultados sucesso ( p ) ou fracasso ( q p ), tem dstrbução bomal. Sua fução de probabldade é dada por: x x P(X x) p q x, x 0,,,, e 0 p A fução de dstrbução acumulada é dada por: 0,se x 0 x k F(x) P(X x) p q k0 k, se x k, se 0 x Os parâmetros da dstrbução são: Méda E(X) p Varâca V(X) pq Exemplo : Seja X uma v.a. que dca o úmero de peças ão coformes (ão segue a especfcação defda o projeto de qualdade) produzdas pela máqua Z. Se a probabldade desta maqua produzr uma peça ão coforme é de 5%, ao selecoar aleatoramete 5 peças, pede-se: a) a probabldade de ehuma peça ser ão coforme; b) a probabldade de todas as peças serem de acordo com especfcação do projeto de qualdade; c) obter a dstrbução de probabldade e o gráfco. Solução: a) 5 46 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

51 p 0,5 q 0,85 x 0 (peça ser coforme) 5 P(X 0) (0,5) 0 0 (0,85) 5 0 0,4437 b) P(todas de acordo com as especfcação) P(X 0) 0,4437 c) Dstrbução de Probabldade DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X x P(X x) 0 0,4437 0,395 0,38 3 0, ,00 5 0,000 Gráfcamete: A segur, o gráfco da fução de dstrbução acumulada. SACHIKO ARAKI LIRA 47

52 Exemplo : Seja X uma v.a. que dca o úmero de parafusos defetuosos produzdos pela máqua A. Se a probabldade desta maqua produzr um parafuso defetuoso é de 5%, ao selecoar aleatoramete dos parafusos, qual a probabldade de ambos serem defetuosos? p =probabldade de ser defetuoso=0,05 p = probabldade de ser perfeto=-0,05=0,95 P(X ) (0,05) (0,95) 0,005 0,5% Ao selecoar 50 parafusos produzdos por esta máqua, espera-se uma méda de,5 parafusos defetuosos, e uma varâca de,4 (parafusos defetuosos). 3.. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON A dstrbução de Posso pode ser aplcada a mutos casos prátcos os quas teressa o úmero de vezes que um determado eveto pode ocorrer durate um tervalo de tempo ou dstâca, área ou outra udade de medda aáloga. por: Uma v.a. dscreta X tem dstrbução de Posso se sua fução de probabldade é dada e x P(X x), x 0,,, e 0 (probabldade de sucesso) x! A fução de dstrbução acumulada é dada por: 0, se x 0 F(x) P(X x) x k e, se x 0 k 0 k! Os parâmetros da dstrbução são: Méda: Varâca: E (X) V (X) Exemplo : São cotados os úmeros de partículas radoatvas emtdas em cada tervalo de 5 segudos. Supoha que o úmero de partículas emtdas, durate cada tervalo de 5 segudos, teha uma dstrbução de Posso com parâmetro,0. Pede-se: a) qual é a probabldade de que meos de 3 partículas sejam emtdas? b) supodo que 0 cotages são realzadas, costrur a dstrbução de probabldade. Solução: a) e P(X 3) P(X 0) P(X ) P(X ) 0! 0 e e!! P(X 3) 0,353 0,707 0,707 0, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

53 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X X P(X x) 0 0,353 0,707 0, , , , ,00 7 0, , , ,0000 Gráfcamete: A fução de dstrbução acumulada: Exemplo : Seja X o úmero de acdetes mesas ocorrdos uma determada dústra. Se o úmero médo de acdetes por mês é 3, qual a probabldade de ão ocorrer ehum acdete o próxmo mês? 3 e 3 0 P(X 0) e 0! 3 0,050 5% SACHIKO ARAKI LIRA 49

54 3..3 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Supoha que em um lote de N peças, k são defetuosas e (N-k) são perfetas e escolhem-se ao acaso, peças desse lote ( N). Pode-se estar teressado a probabldade de selecoar x peças dos k rotulados como defetuosos e (-x) perfetas dos (N-k) rotulados como perfetas. Esse expermeto é chamado hpergeométrco. Uma v.a. dscreta X tem dstrbução hpergeométrca se sua f.p. é dada por: P (X x) k N k x x N A fução de dstrbução acumulada é dada por: 0, se x j k N k k j j F(x) P(X x), se 0 x j j0 N, se x j Os parâmetros da dstrbução são: Méda: E(X) p Varâca: N V(X) pq, ode N k k p ; q. N N Exemplo : Pequeos motores elétrcos são expeddos em lotes de 30 udades. Ates que uma remessa seja aprovada, um spetor selecoa ao acaso 3 destes motores para speção. Se ehum dos motores specoados for defetuoso, o lote é aprovado. Se um ou mas dos motores verfcados forem defetuosos, o lote todo é specoado. Supoha que exstam, de fato, motores defetuosos o lote. Qual é a probabldade de que a speção de todo o lote seja ecessára? N=30 (úmero de casos total a população) k= (úmero de casos favoráves a população) =3 (tamaho da amostra) x=,,3 (úmero de casos desfavoráves a amostra) P(X A probabldade de que a speção seja ecessára é gual a ) P(X ) P(X 3) ou P(X ) P(X 0) 50 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

55 P(X ) P(X 0) , ,93 9,3% DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X x p(x) 0 0,8069 0,86 0, ,0000 Gráfcamete: A fução de dstrbução acumulada: Exemplo : Uma empresa adquru dversas caxas, cada uma cotedo 5 lâmpadas. Ela decdu fazer uma speção por amostragem sem reposção, aalsado 5 lâmpadas de uma caxa. A caxa será aceta caso ecotre o máxmo duas defetuosas. Qual a probabldade de acetar uma caxa sabedo que a qualdade do produto é defda por 0% de defetuosos? N=5 =5 SACHIKO ARAKI LIRA 5

56 x k 0,0 *5 3 P(X P(X ) P(X 0) P(X ) P(X ) ) 0, ,80% LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS. O úmero de mesages evadas por hora, através de uma rede de computadores, tem a segute dstrbução: x = úmero de mesages p(x) 0,08 0,5 0,30 0,0 0,0 0,07 Calcular: E(X); V(X).. Seja X=o úmero de cldros do motor do próxmo carro a ser regulado em certa ofca. A fução de probabldade é dada por: a) calcular E (X) b) calcular V (X) c) calcular x p(x) 0,5 0,3 0, 3. Um propretáro acaba de stalar 0 lâmpadas em uma ova casa. Supodo que cada lâmpada teha 0,0 de probabldade de fucoar por mas de três meses, pede-se: a) qual a probabldade de ao meos cco delas durarem mas de três meses? b) qual o úmero médo de lâmpadas que deverão ser substtuídas em três meses? 4. Repete-se um expermeto 5 vezes. Supodo que a probabldade de sucesso em uma prova seja 0,75, e admtdo a depedêca dos resultados das provas: a) qual a probabldade de todas as cco provas resultarem em sucesso? b) qual o úmero esperado de sucesso? 5. Um produto eletrôco cotém 40 crcutos tegrados. A probabldade de que qualquer crcuto tegrado seja defetuoso é de 0,0. Os crcutos tegrados são depedetes. O produto opera somete se ão houver crcutos tegrados defetuosos. Qual é a probabldade de que o produto opere? 5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

57 6. Um departameto de coserto de máquas recebe uma méda de 5 chamadas por hora. Qual a probabldade de que em uma hora selecoada aleatoramete sejam recebdas: a) Exatamete três chamadas? b) Meos que três chamadas? 7. Bateladas que cosstem em 50 molas helcodas, proveetes de um processo de produção são verfcadas com respeto à coformdade em relação aos requermetos dos cosumdores. O úmero médo de molas ão-coformes em uma batelada é gual 5. Cosdere que o úmero de molas ão-coformes em uma batelada, deotado por X, seja uma varável aleatóra bomal. Pede-se: a) qual é a probabldade do úmero de molas ão-coformes em uma batelada seja meor ou gual a? b) qual é a probabldade do úmero de molas ão-coformes em uma batelada seja maor ou gual a 49? 8. Supoha que 90% de todas as plhas do tpo D, de certo fabrcate, teham voltages acetáves. Um determado tpo de latera ecessta de plhas tpo D, e ela só fucoa se as duas plhas tverem voltagem acetável. Etre 0 lateras selecoadas aleatoramete, qual é a probabldade de: a) pelo meos 9 fucoarem? b) o máxmo fucoarem? 9. Seja X o úmero de falhas a superfíce de uma caldera de um determado tpo selecoado aleatoramete, com dstrbução de Posso de parâmetro 5. Calcular: a) P(x ) b) P(x 8) c) P(5 x 8) 0. Cartões de crcuto tegrado são verfcados em um teste fucoal depos de serem preechdos com chps semcodutores. Um lote cotém 40 cartões e 0 são selecoados sem reposção para o teste fucoal. a) se 0 cartões forem defetuosos, qual será a probabldade de o mímo cartão defetuoso estar a amostra? b) se 5 cartões forem defetuosos, qual será a probabldade de cartão defetuoso aparecer a amostra?. Num lote de 0 peus evadas a um forecedor sabe-se que há 5 defetuosos. Um clete va a esse forecedor comprar 4 peus. Qual a probabldade de levar defetuoso? SACHIKO ARAKI LIRA 53

58 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 4. DEFINIÇÕES Defção : Seja X uma varável aleatóra cotua. A fução desdade de probabldade f (x), é uma fução que satsfaz as segutes codções: f (x) 0 para todo x R X f(x)d(x). Exemplo: Seja X uma varável cotíua com fução desdade de probabldade dada por: x f(x), x 6 6 f(x) 0, para qualquer outros valores. Para x Para x 4 Para x 6 A fução desdade de probabldade é: f() f(4) f(6) A codção f(x)d(x), dca que a área total lmtada pela curva que represeta f (x) e o exo das abcssas é gual a. Seja o tervalo [a,b] de R será dada por: P (a X b) X b f(x)dx a. A probabldade de um valor de X pertecer a esse tervalo, que represeta a área sob a curva da fução desdade de probabldade. Para varáves aleatóras cotíuas, as probabldades são terpretadas como áreas. Sedo X uma varável aleatóra cotua, a probabldade em um poto é ula, etão: P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) Defção : Seja X uma varável aleatóra. A fução de dstrbução acumulada ou de repartção de X é defda como F(x) P(X x) 54 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

59 por: Se X for varável aleatóra cotua, tem-se: F (x) P(X x) x f(x)dx Exemplo: Seja X uma varável cotíua com fução desdade de probabldade dada x f(x), x 6 6 f(x) 0, para outros valores. A fução de dstrbução acumulada é dada por: 6 6 F(x) f(x)dx f(x)dx 0 x 6 dx 6 x Esperaça A esperaça matemátca E(X), de uma varável aleatóra cotua X, com fução desdade de probabldade f ( x ), é defda por: E (X) x f(x) dx Varâca por: Se X é uma varável aleatóra cotíua, a varâca, represetada por V (X) é defda V(X) x E(X) f(x) dx As propredades da varâca para varável aleatóra cotíua são as mesmas das já apresetadas para varável aleatóra dscreta. Exemplo: Seja X uma varável cotíua com fução desdade de probabldade dada por: x f(x), x 6 6 f(x) 0, para qualquer outros valores. Qual é o valor esperado e a varâca de X? E(X) V(X) 6 x x 6 dx x E(X) 6 6 x f(x) dx dx 6 3 x , 33 SACHIKO ARAKI LIRA 55

60 V ( 6 X) ( x 4,33) x dx 6 6 ( x 4,33 x 4,33 x ) 6 dx 3 6 x V ( X ) ( 6 8,66 x 6 8,7489x ) dx x ,66 x ,7489 x 6 6 V(X) V (X) 6 V(X), , , , , Exemplo : Supoha que f(x) 0, 5, para 0 x 4. Determe a méda e a varâca. Solução: a) E (X) x f(x) dx E(X) x x 0,5dx 0,5 x dx 0, ,5 4 0 b) V(X) x E(X) V (X) 4 0 V(X),33 f(x) dx 4 3 x 3 x x 0,5dx 0,5 (x 4x 4)dx 0,5 4 4x DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONTINUAS 4.. DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Uma v.a. cotua X, tem dstrbução expoecal se sua fução desdade de probabldade é dada por: f(x) x, x 0 e A fução de dstrbução acumulada é dada por: x F(x) P(X x) e x dx e x, x 0 0 Portato: P(X x) e x 56 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

61 Os parâmetros da dstrbução são: Méda: Varâca E (X) V(X) Essa dstrbução tem papel mportate a descrção de uma grade classe de feômeos, partcularmete os assutos relacoados a teora da cofabldade. Exemplo : O tempo de vda X (em horas) das lâmpadas elétrcas fabrcadas por uma empresa é uma varável aleatóra, tedo sua fução desdade de probabldade dada por: f(x) 0,00 0, 0 se x 0 e 00 x, se x0 a) qual a probabldade do tempo de vda de uma lâmpada ser superor a 600 horas? b) qual é o tempo de vda esperado? Solução: a) 0, 00 P(X 600) 0,00x 0,00600 e 0 e 0, 30 0,00x 0,00e b) E(X) 500 horas 0,00 Exemplo : A vda méda de um satélte é 4 aos, segudo o modelo expoecal. Seja X a varável defdo o tempo de vda do satélte. Calcule a P(X 4). Solução: E(X) 4, portato, 4 4 Etão, P(X 4) e x 4 e e 0, ,79% 4.. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA É uma das mas mportates dstrbuções de probabldades, sedo aplcada em úmeros feômeos e frequetemete utlzada para o desevolvmeto teórco da ferêca estatístca. Uma v.a. cotua X, tem dstrbução ormal ou Gaussaa se sua fução desdade de probabldade é dada por: SACHIKO ARAKI LIRA 57

62 x f(x) e, x R, R, R, A fução de dstrbução acumulada é dada por: x x x e F(x) P(X x) f(x)d(x) dx Os parâmetros da dstrbução são: Méda: E (X ) Varâca: V ( X ) Quado se deseja especfcar que a varável aleatóra X, segue dstrbução ormal com méda e varâca, usa-se a otação: X ~ N( ; ). A dstrbução ormal é defda a partr de dos parâmetros, a méda e a varâca. Por exemplo, a curva da dstrbução ormal f (x) para 40 e 0, e valores da varável aleatóra o tervalo (0, 70), é mostrada o gráfco abaxo. Uma das característcas mportates é que a partr desses dos parâmetros será possível calcular, por exemplo, a percetagem de valores que deverão estar acma ou abaxo de um determado valor da varável aleatóra, ou etre esses dos valores defdos etc. A probabldade P( a X b ) de a varável aleatóra cotíua X ser gual ou maor que a e, ao mesmo tempo, meor ou gual a b, é obtda da área defda pela fução f (x) etre os lmtes a e b, sedo b a. O cálculo é feto tegrado-se a fução f (x) o tervalo ( a,b ), que é bastate trabalhoso. P( a X b ) b a e x dx 58 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

63 Represetação Gráfca: É um gráfco em forma de so. O seu poscoameto em relação ao exo das ordeadas e seu achatameto são determados pelos parâmetros e, respectvamete. A área compreedda etre é gual a 68,7% ; etre é gual a 95,45% e etre 3 é gual a 99,73%. Propredades da dstrbução ormal:. f (x) possu um poto de máxmo para X ;. f (x) tem dos potos de flexão cujas abcssas valem e ; 3. f (x) é smétrca em relação a X. E, ada Mo Md ; 4. f (x) tede a zero quado x tede para (asstótca em relação ao exo x); DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU REDUZIDA A varável ormal padrozada Z é obtda através de uma trasformação lear da varável ormal X, obtedo-se assm uma escala relatva de valores a qual, a méda é o poto de referêca e o desvo padrão, uma medda de afastameto da méda. Cosdere a trasformação: Z X, etão dz dx. Tem-se: F(x) x e x dx Utlzado a trasformação será: reduzda. F(z) z e z dz, que é a fução de dstrbução acumulada para a varável ormal Os parâmetros da dstrbução são: Méda: E(Z ) 0 Varâca: V ( Z ) SACHIKO ARAKI LIRA 59

64 f(z) Gráfco da dstrbução ormal padrão: z Exemplo : O dâmetro de um exo de um dspostvo ótco de armazeagem é ormalmete dstrbuído, com méda 0,508 polegadas e desvo padrão de 0,0005 polegadas. As especfcações do exo são 0,500 0, 005 polegada. Que proporção de exo obedece às especfcações? 0,508 0,0005 P(0,485 X 0,55 )? Z 0,485 0,508 4,6 0,0005 Z 0,55 0,508,4 0,0005 P(0,485 X 0,55 ) P( 4,6 Z,4) 0,99-0,0000 0,99 9,9% Exemplo : O dâmetro de um cabo elétrco é ormalmete dstrbuído com méda 0,8 mm e varâca 0,0004 mm. Detre uma amostra de.000 cabos, espera-se que quatos teham dâmetro meor que 0,78 mm? 0,8 0,0004 => 0, 0 0,78 0,8 Z => P(Z ) 0, 587 0, ,587 58,7 60 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

65 4.3.3 DISTRIBUIÇÃO ( QUI-QUADRADO) A fução desdade da dstrbução com graus de lberdade é dada por: e fx ( ), 0, Os parâmetros da dstrbução são: Méda ( ) E Varâca ( ) V Dz-se que segue uma dstrbução qu-quadrado com parâmetro. O parâmetro é chamado de graus de lberdade da dstrbução. Quado se deseja dcar que uma varável segue uma dstrbução qu-quadrado com graus de lberdade, usa-se a otação: ~ ( ) ou. ~ Esta dstrbução possu umerosas aplcações em ferêca estatístca. Detre as aplcações da Dstrbução Qu-quadrado cta-se a costrução de tervalos de cofaça para varâcas e testes de hpóteses. Utlzação da dstrbução Determar os valores de 3 a) P(0 ) 0, 975 tas que: Deseja-se obter o valor de correspodete a 97,5%. 3 de maera que, abaxo dele se ecotrem a área 3 O valor é gual a: 9, b) P( ) 0, 900 Neste caso, o valor de dstrbução qu-quadrado. O valor é gual a: 4, é o lmte feror da área que compreede 90% da SACHIKO ARAKI LIRA 6

66 4.3.4 DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT A fução desdade da dstrbução t com graus de lberdade é dada por: f(t) t ( ), t R, Os parâmetros da dstrbução são: Méda: E(t) 0 Varâca: V(t) lberdade da dstrbução. para, ode o parâmetro é o úmero de graus de A dstrbução t é smétrca em relação a t 0, sedo que, quado ela tede para uma dstrbução ormal com méda 0 e varâca (dstrbução ormal padrozada). O úco parâmetro que a defe e caracterza a sua forma é o úmero de graus de lberdade (úmero de observações lvres para varar). Quado se deseja dcar que uma varável aleatóra t segue uma dstrbução t de Studet com graus de lberdade, usa-se a segute otação t ~ t ( ) ou t ~ t. Detre as utlzações da Dstrbução t, ctam-se os testes de hpóteses e tervalos de cofaça para amostras pequeas ( 30) e testes de hpóteses para coefcete de correlação amostral. Utlzação da dstrbução t de Studet Determar os valores de t, tas que: a) P( t t5 ) 0, 05 dstrbução. Deseja-se obter o valor de t 5 tal que abaxo dele se ecotrem 5% da área da O valor é gual a: t 5, 050 b) P( t t8 ) 0, 0 dstrbução. Deseja-se obter o valor de t 8 tal que acma dele se ecotrem 0% da área da O valor é gual a: t 8, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

67 4.3.5 DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR A fução desdade da dstrbução F com e graus de lberdade é dada por: f (F) F F, F 0, Os parâmetros da dstrbução são: Méda: E(X) Varâca: V(X), ( ( ) ( ) 4), 4 A dstrbução F de Sedecor depede de dos parâmetros, e, deomados, respectvamete, de graus de lberdade do umerador e deomador. Quado se deseja dcar que a varável aleatóra F segue uma dstrbução F de Sedecor com e graus de lberdade, respectvamete o umerador e deomador, usa-se a otação ~ F(, ) ou F F ~ F, Detre as aplcações da Dstrbução F é possível ctar a aálse de varâca (ANOVA) e aálse de regressão. Utlzação da dstrbução F Determar os valores de F,, tas que: a) P F F(6, 0) 0, 0 F(6, 0) Deseja-se obter o valor de F 6, 0 tal que abaxo dele estejam % da área da dstrbução. 5,39 b) PF F(3, 5) 0, 05 F(3, 5) 5,4095 Deseja-se obter o valor de F 3, 5 tal que acma dele estejam 5% da área da dstrbução. SACHIKO ARAKI LIRA 63

68 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 4 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONTÍNUAS. O tempo de operação de uma máqua de embalagem de frascos sem terrupção para mauteção, tem dstrbução expoecal com méda gual a duas horas. Qual a probabldade dessa máqua cosegur operar mas de uma hora sem terrupção?. Supoha que um compoete eletrôco teha um tempo de vda X (em udades de.000 horas) que é cosderado uma varável aleatóra com fução desdade de probabldade x f(x) e, x 0. Qual é a probabldade de x 0, 9? 3. O tempo (em horas) ecessáro para reparar uma máqua é uma varável aleatóra expoecalmete dstrbuída com parâmetro /. Determe a probabldade de que o tempo de reparo exceda duas horas. 4. O dâmetro de uma determada peça é uma característca da qualdade mportate. Sabe-se que esse dâmetro segue um modelo ormal com méda 40 mm e desvo padrão mm. Se a especfcação estabelece que o dâmetro deve ser maor que 35mm, qual é a probabldade de que a peça produzda satsfaça a especfcação? 5. Seja X a varável aleatóra que represeta os dâmetros dos parafusos produzdos por certa máqua. Supodo que essa varável teha dstrbução ormal com méda gual cm e desvo padrão gual a 0,04 cm. Qual a probabldade de um parafuso ter o dâmetro com valor etre e,05 cm? 6. A tesão de ruptura (em ewtos) de uma fbra stétca é represetada por X e dstrbuída como N(800, ). O cotrole de qualdade a fabrcação da fbra exge uma tesão de o mímo 77 N. Uma amostra da fbra é radomcamete testada. Qual é a probabldade de obtermos P(X 77)? 7. Supoha que as frequêcas desejáves para um determado sal elétrco teham uma varação ormal com méda 60 Hz e desvo padrão 5 Hz. a) Qual a probabldade desse sal elétrco possur compoetes etre 40 e 70 Hz devdo a essas frequêcas desejáves? b) Qual a maor frequêca do sal para que a probabldade de cotamação por frequêcas desejáves seja de 0%? 8. A vda méda de certo aparelho é de oto aos, com desvo padrão de,8 ao. O fabrcate substtu os aparelhos que acusam defeto detro do prazo de garata. Se ele deseja substtur o máxmo 5% dos aparelhos que apresetem defeto, qual deve ser o prazo de garata? 9. Um processo dustral produz peças com dâmetro médo de,00 e desvo padrão de 0,0. As peças com dâmetro que se afaste da méda por mas de 0,03 são cosderadas defetuosas. Admtda a ormaldade: a) qual a percetagem das peças defetuosas? b) qual a percetagem de peças perfetas? 64 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

69 0. Uma empresa usa aualmete mlhares de lâmpadas elétrcas, que permaecem acesa cotuamete, da e ote. A vda de uma lâmpada pode ser cosderada uma varável aleatóra ormal, com méda de 50 das e desvo padrão de 5 das. Em º de jaero a compaha stalou lâmpadas ovas. Aproxmadamete quatas deverão ser substtuídas em º de feverero?. O dâmetro do exo prcpal de um dsco rígdo segue a dstrbução ormal com méda 5,08. e desvo padrão 0,05. Se as especfcações para esse exo são 5,00 0, 5. Determe o percetual de udades produzdas em coformdades com as especfcações. SACHIKO ARAKI LIRA 65

70 NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 5. INTRODUÇÃO Razão para se trabalhar com amostras: meor custo; redução do tempo e de mão-de-obra para a realzação da coleta de dados; maor cofabldade e qualdade dos dados; facldade a realzação dos trabalhos. dos tpos de amostragem: a probablístca e a ão-probablístca. amostragem probablístca Todos os elemetos da população têm probabldade cohecda, e dferete de zero, de pertecer à amostra. amostragem probablístca melhor recomedação para garatr a represetatvdade da amostra, pos o acaso será o úco resposável por evetuas dfereças etre população e amostra. É possvel utlzar as téccas de Iferêca Estatístca. 5. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA Algumas téccas de amostragem probablístca: 5.. AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES (AAS) é o método mas smples e mas mportate para selecoar uma amostra probablístca; cosste em lstar todas as udades elemetares eumeradas de a N; sorteam-se elemetos da população, sedo que todos os elemetos têm probabldade cohecda e dferete de zero de serem selecoados; amostragem com reposção ou sem reposção. Exemplo: Foram produzdos 500 aés de pstão em certo processo de produção. Deseja-se obter uma amostra de 30 aés de pstão deste processo. 66 NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

71 Utlzado processo aleatóro smples com reposção: ) eumerar os aés de pstão de a 500; ) todos os aés terão a mesma probabldade de compor a amostra, gual a 0,%; 3) gerar 30 úmeros aleatóros ou selecoar 30 úmeros utlzado tabelas de úmeros aleatóros; 4) os aés que comporão a amostra serão aqueles correspodetes aos úmeros aleatóros; No excel: ALEATÓRIO()*(b-a)+a ode a=; b= ) a amostra de 30 aés de pstão será composta pelos aés com as umerações acma. 5.. AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA os elemetos da população estão ordeados e a retrada das udades amostras é feta sstematcamete; a cada dez tes produzdos, em uma lha de produção, retrar um para compor a amostra da produção dára. Cosderado o exemplo dos aés de pstão: os aés estão eumerados de a f (fração amostral) N ) gera-se ou selecoa-se um úmero aleatóro etre e 7; ) O úmero gerado fo. Para obter os demas elemetos, soma-se sempre 7, até completar o tamaho da amostra. No excel: ALEATÓRIO()*(b-a)+a ode a=; b= ) a amostra de 30 aés de pstão será composta pelos aés com as umerações acma. SACHIKO ARAKI LIRA 67

72 5..3 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA A população pode ser dvdda em subgrupos (estratos); Esse processo pode gerar amostras bastate precsas; A estratfcação é usada prcpalmete para resolver algus problemas como a melhora da precsão das estmatvas. Quado a varável em estudo apreseta um comportameto heterogêeo etre os dferetes estratos, covém que o sorteo dos elemetos da amostra leve em cosderação tas estratos. A amostragem estratfcada pode ser: proporcoal, uforme e de Neyma. Exemplo: Dada a população de operáros de uma certa dústra automoblístca, selecoar uma amostra proporcoal estratfcada de operáros para estmar seu saláro médo. Usado a varável crtéro cargo para estratfcar essa população, e cosderado amostra total de 50 operáros, chega-se ao segute quadro: CARGO POPULAÇÃO PROPORÇÃO AMOSTRA Chefes de seção 500 0,0 5 Operáros especalzados.500 0,30 75 Operáros ão especalzados ,60 50 TOTAL 5.000, DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Ao retrar uma amostra aleatóra de uma população, está-se cosderado cada valor da amostra como um valor de uma varável aleatóra cuja dstrbução de probabldade é a mesma da população, o state da retrada desse elemeto para a amostra. Em cosequêca do fato de os valores da amostra serem aleatóros, decorre que qualquer quatdade calculada em fução dos elemetos da amostra, também será uma varável aleatóra. Os parâmetros são valores teórcos correspodetes à população e as estatístcas são fuções dos valores amostras. As estatístcas, sedo varáves aleatóras, terão alguma dstrbução de probabldade, com uma méda, varâca, etc. A dstrbução de probabldade de uma estatístca chama-se, comumete, dstrbução amostral ou dstrbução por amostragem DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS O parâmetro é um valor úco e descohecdo. A estatístca X é um valor cohecdo, porém, pode varar de amostra para amostra. Se forem retradas dferetes amostras aleatóras 68 NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

73 de mesmo tamaho, as médas das dferetes amostras ão deverão ser guas. Apesar de a méda da população ser a mesma, a méda da amostra depederá de cada amostra. Com as médas das amostras, é possível costrur a dstrbução de frequêcas das médas das amostras, deomada dstrbução amostral, cuja méda deoma-se méda da dstrbução amostral e seu desvo padrão, erro padrão. Embora os parâmetros, méda e desvo padrão, da população ão sejam cohecdos, cosdera-se para o exemplo a segur, como sedo cohecdos. Seja uma população costtuída dos elemetos:, 5, 7 e 0, sedo N 4. A méda e a varâca populacoal são: 6, 00 e 8, 50. Cosdere as possíves amostras de elemetos ( ), que podem ser retradas desta população. a) Sem reposção O úmero de amostras possíves é dado por possíves é gual a 6. k C. Etão, o úmero de amostras N QUADRO 6 AMOSTRAS POSSÍVEIS DE ELEMENTOS RETIRADAS DESSA POPULAÇÃO SEM REPOSIÇÃO AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- AMOSTRAS TRA TRA TRA 3 TRA 4 TRA 5 X TRA 6 X Méda 3,5 4,5 6,0 6,0 7,5 8,5 Observe que a méda da amostra depede de cada amostra extraída. Qualquer ferêca realzada sobre a méda da população utlzado uma úca amostra estará sujeta a alguma certeza, pos a méda de cada amostra pode ser dferete. A méda das médas amostras é obtda por: k E(X) X k E(X) A méda das médas amostras ou a méda da dstrbução amostral cocde com a méda da população. Tem-se, etão, a prmera coclusão mportate: a méda das médas amostras é a própra méda da população. A varâca das médas amostras é dada por: k V(X) (X E(X)) k V(X),83 6 6,5,5 0 0,5 6,5 7 6 SACHIKO ARAKI LIRA 69

74 A varâca das médas amostras é gual à varâca da população multplcada pelo N fator: N Tem-se etão que: E (X) (Méda da dstrbução amostral de médas) X N V(X) (Varâca da dstrbução amostral de médas) X N a) Com reposção O úmero de amostras possíves é dado por possíves é gual a 6. k N. Etão, o úmero de amostras TRAS X TRA TRA TRA 3 TRA 4 TRA 5 TRA 6 TRA X Méda,0 3,5 4,5 6,0 3,5 5,0 6,0 7,5 QUADRO 7 AMOSTRAS POSSÍVEIS DE ELEMENTOS RETIRADAS DESSA POPULAÇÃO COM REPOSIÇÃO AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- AMOS- TRAS X X AMOS- TRA 9 AMOS- TRA 0 AMOS- TRA AMOS- TRA AMOS- TRA 3 AMOS- TRA 4 AMOS- TRA 5 TRA 8 AMOS- TRA Méda 4,5 6,0 7,0 8,5 6,0 7,5 8,5 0,0 A méda das médas amostras é obtda por: k E(X) X k E(X) A varâca das médas amostras é dada por: k V(X) (X E(X)) k 6 6 6,5,5... 6, V(X) 4,5 A varâca das médas amostras é gual à varâca da população multplcada pelo fator: Tem-se etão que: 70 E (X) (Méda da dstrbução amostral de médas) X NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

75 V(X) (Varâca da dstrbução amostral de médas) X De forma geral, a forma da dstrbução amostral depede da forma da dstrbução da população. Se a dstrbução da população for ormal N (, ), a dstrbução da méda amostral também será ormal, seja qual for o tamaho da amostra. Se a dstrbução da população ão for ormal, à medda que o tamaho da amostra aumetar, a dstrbução da méda amostral se aproxmará da dstrbução ormal. De acordo com o teorema cetral do lmte, a dstrbução das médas de amostras de tamaho sufcetemete grade poderá ser cosderada como ormal, seja qual for a forma da dstrbução da população. Resumdo: a) Amostragem com reposção: E (X) (Méda da dstrbução amostral de médas) X V(X) (Varâca da dstrbução amostral de médas) X b) Amostragem sem reposção: E (X) (Méda da dstrbução amostral de médas) X N V(X) (Varâca da dstrbução amostral de médas) X N N ode o fator é deomado de fator de população fta. Evdetemete, tem-se que: N N lm N N TEOREMA CENTRAL DO LIMITE Em stuações ode se tem, é possível aplcar o Teorema Cetral do Lmte. Exstem dversas versões do teorema cetral do lmte. Será apresetada uma das versões. Teorema Cetral do Lmte (versão..d. em termos da méda amostral) Sejam (..d.), tas que X, X, X E(X ) e,, varáves aleatóras depedetes e detcamete dstrbuídas V (X ), ambas ftas. Seja X a méda amostral. Etão: Z X X ~ N( 0,). A aproxmação melhora com o aumeto do tamaho da amostra. SACHIKO ARAKI LIRA 7

76 Se, de uma população com parâmetros (, ) for retrada uma amostra de tamaho sufcetemete grade, a dstrbução de X será aproxmadamete ormal N(, ), seja qual for a forma da dstrbução da população. O teorema cetral do lmte é muto mportate, pos permte utlzar a dstrbução ormal para realzar ferêcas da méda amostral, seja qual for a forma da dstrbução da população DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES Seja uma população tal que, a probabldade de sucesso de certo eveto é p e de sucesso é q p. Para cada amostra de tamaho, pode-se determar o úmero k de k sucesso e como cosequêca, a frequêca relatva ou proporção dada por f r pˆ. ` O cojuto de frequêcas relatvas calculadas para as amostras costtu a dstrbução amostral das proporções ou de frequêcas relatvas. A méda e o desvo padrão da dstrbução amostral de proporções são apresetados a segur, cosderado-se amostras sem e com reposção. a) Com reposção pˆ p (méda da dstrbução amostral de proporções) p q pˆ (desvo padrão da dstrbução amostral de proporções) b) Sem reposção pˆ p (méda da dstrbução amostral de proporções) pq N pˆ (desvo padrão da dstrbução amostral de proporções) N Para amostras sufcetemete grades, a dstrbução amostral das proporções, que segue dstrbução bomal, poderá se aproxmar de uma dstrbução ormal de mesma méda e mesma varâca. Na prátca, cosdera-se a amostra grade para 30 e p próxmo de 0, DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA VARIÂNCIA A estatístca lberdade. Sedo que ( ) S, segue uma dstrbução qu-quadrado com graus de S é a varâca amostral, dada por: S (x X) 7 NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

77 A partr da expressão da expressão de estatístca, tem-se que: S, com ( ) ou seja, S segue uma dstrbução, com graus de lberdade. Tem-se para a dstrbução amostral da varâca S que: E ( S ) 4 V(S ) SACHIKO ARAKI LIRA 73

78 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 6. INTRODUÇÃO Iferêca estatístca tem como objetvo fazer geeralzações sobre uma população, com base os dados amostras. Iferêca estatístca dvde-se em duas grades áreas: estmação e teste de hpóteses. Iferêca Estatístca Estmação Teste de Hpóteses Potual Por tervalo Estmação o objetvo é forecer formações sobre os parâmetros populacoas, tedo como base uma amostra aleatóra extraída da população de teresse. Estatístca qualquer quatdade calculada em fução dos elemetos da amostra. Dstrbução amostral ou dstrbução por amostragem dstrbução de probabldade de uma estatístca. 6. ESTIMADOR E ESTIMATIVA Estmador quatdade calculada em fução dos elemetos amostras, que será utlzada o processo de estmação do parâmetro de teresse. Prcpas métodos de obteção de estmadores: Método dos mometos; Método da máxma verossmlhaça; Método dos mímos quadrados; Estmatva valor umérco obtdo pelo estmador uma determada amostra. 6.3 QUALIDADES DE UM ESTIMADOR a) Não tedecoso ou ão vesado 74 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

79 Um estmador ˆ é ão tedecoso ou ão vesado quado a sua méda (ou esperaça ou expectâca) é o própro valor do parâmetro populacoal que está se pretededo estmar, ou seja: E( ˆ ) b) Cosstêca Um estmador ˆ é cosstete se (além de ser ão vesado) sua varâca tede para zero, quado tede para, sto é: E( ˆ ) e lm V( ˆ ) 0 c) Efcêca Dados dos estmadores ˆ e ˆ de um mesmo parâmetro, é mas efcete aquele que apreseta meor varâca, ou seja: Se V( ˆ ) V( ˆ ) etão ˆ é mas efcete que ˆ. Ada, se ˆ e ˆ forem ambos ão tedecosos, a efcêca relatva será dado pelo quocete das respectvas varâcas, ou seja: V ( ˆ ). V ( ˆ ) d) Sufcêca Um estmador é sufcete quado permte obter um resumo das formações trazdas pela amostra, ou seja, resume os dados sem perder ehuma formação sobre o parâmetro. 6.4 ESTIMAÇÃO POR PONTOS Quado o parâmetro é estmado através de um úco valor dz-se que a estmação é por poto ou potual. Por exemplo: X é um estmador potual da méda populacoal ; S é um estmador potual da varâca populacoal ; etc ESTIMADOR DA MÉDIA POPULACIONAL O estmador utlzado é a méda artmétca amostral X, sedo um estmador ão vesado, cosstete, efcete e sufcete. X x 6.4. ESTIMADOR DA VARIÂNCIA POPULACIONAL O estmador utlzado é a varâca amostral expressões apresetadas a segur são ão tedecosos e cosstetes. Quado a méda populacoal for cohecda, a estmatva é dada por: S. As estmatvas obtdas pelas SACHIKO ARAKI LIRA 75

80 S ( x ) E quado a méda populacoal for descohecda, por: S ( x X ) ESTIMADOR DO DESVIO PADRÃO POPULACIONAL Tem-se que S é um estmador ão tedecoso da varâca populacoal. No etato, a raz quadrada de S ão é um estmador ão tedecoso do desvo padrão populacoal. A tedecosdade de S tede a zero, à medda que aumeta o tamaho da amostra ESTIMADOR DA PROPORÇÃO POPULACIONAL O estmador utlzado é a proporção amostral pˆ. A expressão de pˆ é dada por: ode k é o úmero de casos favoráves. k pˆ, 6.5 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO Cosste em costrur um tervalo em toro da estmatva por poto, de tal forma que ele possua probabldade cohecda (ível de cofaça ( ) ) de coter o verdadero valor do parâmetro. Seja o parâmetro, tal que (t t ). Etão, tem-se: P t chamado de tervalo de cofaça (I.C.) t t e t são deomados de lmtes de cofaça ível de cofaça. A escolha do ível de cofaça depede do grau de precsão com que se deseja estmar o parâmetro. É comum utlzar os íves de 95% e 99%. Evdetemete, o aumeto o ível de cofaça mplca o aumeto de sua ampltude INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA POPULACIONAL ) Quado a Varâca Populacoal P( X Z X Z ) é Cohecda 76 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

81 ode: X é a méda da amostra; é o ível de sgfcâca adotado; Z é o valor de Z da tabela da dstrbução t para um determado ível de sgfcâca e graus de lberdade ; é o desvo padrão da população; é o tamaho da amostra. A utlzação da expressão acma deve ateder aos segutes crtéros: Para amostras pequeas ( 30 ), a população deve ser ormalmete dstrbuída; Para grades amostras ( 30 ), ão exste a exgêca de que a população seja ormalmete dstrbuída (justfcada pelo Teorema Cetral do Lmte), e sedo substtuído pelo desvo padrão amostral S. descohecdo, pode ser FIGURA 3 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Z Z Exemplos de aplcação: ) O desvo padrão dos comprmetos de todas as peças produzdas por certa máqua é mm. Uma amostra de 50 peças produzdas por essa máqua apreseta méda gual a 5 mm. Costrur o I.C. de 95% para o verdadero comprmeto das peças produzdas por essa máqua. Solução: 50 X 5 95% ; 5% ; Z, 96 SACHIKO ARAKI LIRA 77

82 Assm, o tervalo de cofaça será: X Z X Z P P5,96 5,96 50 P 50 4,45 mm 5,55 mm 95% 95% ) Experêca passada dcou que a resstêca à quebra de um fo usado a fabrcação de materal moldável é ormalmete dstrbuída e que ps. Uma amostra aleatóra de ove espécmes é testada e a resstêca méda à quebra é 98 ps. Ecotre um tervalo blateral de cofaça de 95% para a resstêca méda à quebra. Solução: 9 X 98 95% ; 5% ; Z, 96 X Z X Z P P 98,96 98,96 9 P 95% 9 96,69 ps 99,3 ps 95% ) Quado a Varâca Populacoal é Descohecda O estudo que trata de dstrbuções amostras ou dstrbuções de probabldade de estatístcas, de pequeas amostras (<30), é chamado de Teora das Pequeas Amostras. A dstrbução t de Studet, desevolvda por Wllam Sealy Gosset, é uma dstrbução de probabldade estatístca. Esta dstrbução é de fudametal mportâca para a ferêca estatístca, quado o desvo padrão populacoal é descohecdo e trata-se de amostras pequeas (geralmete <30). O tervalo de cofaça é obtda através de: ode: S S P( X t X t ) X é a méda da amostra; é o ível de sgfcâca adotado; t é o valor de t da tabela da dstrbução t para um determado ível de sgfcâca e 78 graus de lberdade; ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

83 S é o desvo padrão da amostra; é o tamaho da amostra. A utlzação do I. C. acma deve obedecer aos segutes crtéros: Para amostras pequeas ( 30 ), a população de ode a amostra fo retrada deve ser ormalmete dstrbuída; Para grades amostras ( 30 ), ele pode substtur o I. C. dado pela fórmula em que é cohecdo, pos, o caso de grades amostras, a dstrbução t de Studet se aproxma de uma dstrbução ormal padrozada. FIGURA 4 DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT t t Exemplos de aplcação ) Uma amostra de 0 cabos, produzdos por uma dústra, foram avalados e meddas as tesões de rupturas (em kgf). A méda e o desvo padrão da amostra são guas a 76 kgf e 4,4 kgf, respectvamete. Deseja-se costrur o tervalo de cofaça de 95% para a tesão méda de ruptura de cabos produzdos pela dústra. Solução: 0 X 76 S 4,4 95% ; 5% ; 9 t,09 Assm, o tervalo de cofaça será dado por: S S X t X t P SACHIKO ARAKI LIRA 79

84 4,4 4,4 P 76,09 76, P 755,7 kgf 768,73 kgf 95% ) A resstêca do cocreto à compressão está sedo testada por um egehero cvl. Ele testa corpos de prova e obtém dados abaxo. Costrur um tervalo de 95% para a resstêca méda. Dados: X 59, 9; S 35, 57 Solução: 95% 5% t,0 S S X t X t P 35,57 35,57 P 59,9,0 59,9,0 P.37,33.8,5 95% 6.5. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS E ) Quado as Varâcas Populacoas e são Cohecdas ode: P ( X X ) Z ( ) ( X X ) Z X é a méda da amostra ; X é a méda da amostra ; é o ível de sgfcâca adotado; Z é o valor de Z da tabela da dstrbução t para um determado ível de sgfcâca e graus de lberdade ; é a varâca da população ; 80 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

85 é a varâca da população ; é o tamaho da amostra ; é o tamaho da amostra. Exemplo de aplcação: ) Os desvos padrões das durações das lâmpadas elétrcas fabrcadas pelas dústras A e B são, respectvamete, 50 horas e 80 horas. Foram esaadas 40 lâmpadas de cada marca e as durações médas obtdas foram.00 horas e.00 horas, para A e B, respectvamete. Costrur o tervalo de cofaça de 99% para a dfereça etre os tempos médos de vda das lâmpadas de marcas A e B, ou seja,. Solução: A 50 B X A 00 XB 00 99% Z,58 A O tervalo de cofaça (I.C.) de ( )00% para A B, será dado por: B A B ( X A XB ) Z A B (X A XB ) Z A B A A B B (00 00 ),58 P A 6,5 horas 38,48 horas 99% A B B (00 00 ), ) Quado as Varâcas Populacoas Iguas e são Descohecdas e Supostamete P (X X ) t S ( ) (X X ) t Sp ( ) p sedo que: Sp ( )S ( )S X é a méda da amostra ; X é a méda da amostra ; é o ível de sgfcâca adotado; SACHIKO ARAKI LIRA 8

86 t é o valor de t da tabela da dstrbução t para um determado ível de sgfcâca e graus de lberdade; S é a varâca da amostra ; S é a varâca da amostra ; é o tamaho da amostra ; é o tamaho da amostra. Exemplo de aplcação: Uma amostra de 5 tubos da fábrca A, apresetou os segutes resultados quato aos dâmetros (mm): XA 45, 40 ; S A, 30 E, uma amostra de 6 tubos da fábrca B, apresetou: XB 44, 7 ; S B, 37. Costrur o I. C. de 95% para as dfereças etre os dâmetros médos. Solução: A 5 B 6 95% t, com graus de lberdade, logo 9 t,6 (X XB ) t O tervalo de cofaça (I.C.) de ( )00% para, será dado por: Sp ( ) A B (X A XB ) t Sp ( A A B ode: A B ) A B S p ( A )S A A ( B B )S ( 45,40 44,7),6,34 A B 5 6,3,58 A B P B,3,58-0,35 mm,8 mm 95% A B (5 )(,30) (6 )(,37), (45,40 44,7),6, ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

87 3) Quado as Varâcas Populacoas Dferetes e são Descohecdas e Supostamete Para a costrução do tervalo de cofaça para a dfereça etre duas médas populacoas e, com base os dados amostras, descohecedo-se os desvos padrões populacoas e sedo supostamete dferetes, deve-se fazer uma modfcação o teste t, deomada correção de Asp-Welch. P (X X ) t S S S S (X X ) t ode a varável t tem úmero de graus de lberdade dado por: w w, ode w w S w e S w (método de Asp-Welch) ode: X é a méda da amostra ; X é a méda da amostra ; é o ível de sgfcâca adotado; t é o valor de t da tabela da dstrbução t para um determado ível de sgfcâca e graus de lberdade; S é a varâca da amostra ; S é a varâca da amostra ; é o tamaho da amostra ; é o tamaho da amostra. Exemplo de aplcação: ) Dos operáros medram o tempo (em m) de certa operação dustral, obtedo: dferetes. X,7 ; X 5, 60 ; S 7, 77 ; S 6, 30 ; 6 ; 5 Estmar através de um I.C. de 95% a dfereça, supodo que as varâcas sejam Solução: 95% t é o valor de t da tabela da dstrbução t para um determado ível de sgfcâca e graus de lberdade. SACHIKO ARAKI LIRA 83

88 Ode: (w w ), ode w w S w e S w w w S 7,77 6 S 6,30 5,30 3,6 (,30 3,6),30 3, O tervalo de cofaça (I.C.) de ( )00% para, será dado por: S S ( X X ) t (X X ) t S S 7,77 6,3 7,77 6,3 (,7 5,6),36 (,7 5,6), ,43 5,04-3,43 5,04-8,47 m,6 m 95% P INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL ( )S ( )S P FIGURA 5 DISTRIBUIÇÃO f ( ) 84 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

89 Exemplo de aplcação: 3 Foram realzadas determações da desdade de certo metal ( g / cm ), obtedo-se o segute resultado: S 0, 0 95%. Solução: Estmar a varâca populacoal da desdade através de um tervalo de cofaça de Tem-se etão que S 0, 0. Os valores de 3,857,900 Logo: tabelados serão: ( )S ( )S ( )0,0 ( )0,0,900 3,857 0, % P 0, INTERVALO DE CONFIANÇA PARA O DESVIO PADRÃO POPULACIONAL Cosderado a raz quadrada postva do tervalo de cofaça da varâca populacoal, obtém-se o tervalo de cofaça de ( )00% para, dado por: ( )S ( )S P Exemplo de aplcação: Cosderado os resultados obtdos as determações da desdade de certo metal ( g / cm ), apresetado o exemplo ateror, estmar o desvo padrão através de um tervalo de cofaça de 95%. Solução: 3 ( )S ( )S P ( )0,0 ( )0,0,900 3,857 0,00 0,40 95% SACHIKO ARAKI LIRA 85

90 6.5.5 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO POPULACIONAL Para o cálculo do desvo padrão, deve-se estmar a proporção populacoal p, utlzado a estmatva potual pˆ, assm fazedo qˆ pˆ, tem-se: ode estudado). pˆ qˆ pˆ qˆ pˆ Z p pˆ Z P x pˆ é a proporção amostral (ode x represeta o úmero de casos favoráves ao eveto A utlzação do I. C. acma deve obedecer aos segutes crtéros: a) p 5 e ( p) 5, exgdo assm que a amostra seja grade. Os crtéros exgdos estão teorcamete, de acordo com a aproxmação da dstrbução bomal à dstrbução ormal; b) Quado as codções do tem (a) ão são obedecdas, a amostra será pequea e a costrução dos tervalos de cofaça exge a utlzação de uma tabela especal, resultado em I.C. tão amplos que ão tem ehum valor prátco. Exemplo de aplcação: Em uma amostra de 00 peças produzdas por certa máqua, verfcou-se que 0 eram defetuosas. Estmar a verdadera proporção de peças defetuosas produzdas por essa máqua, utlzado I.C. de 90%. Solução: 00 pˆ ,05 qˆ pˆ 0,95 Z,64 Substtudo os valores a expressão do I.C., tem-se: 0,05,64 0,05 0,95 00 p 0,05,64 0,05 0, ,047 p 0,0753 P,47% p 7,53% 90% 86 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

91 6.6 DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA O objetvo do dmesoameto de amostras é o de determar o tamaho mímo de amostra que se deve tomar, de maera que, ao se estmar o parâmetro, o erro seja meor do que um valor especfcado ESTIMAÇÃO DA MÉDIA POPULACIONAL Supoha que se pretede dmesoar o tamaho da amostra para a estmação da méda populacoal, através do I.C. de ( )00%. Em se tratado extração de amostras com reposção, a precsão é dada pela sem-ampltude do I.C.: eo Z, quado o desvo padrão populacoal é cohecdo. E assm, Z e o Já, quado se tratar de extração de amostras sem reposção, tem-se: eo Z N Z N e (N ) Z 0 Exemplo de aplcação: Qual o tamaho mímo da amostra para se estmar a méda de uma população cujo desvo padrão é gual a 0, com cofaça de 99% e precsão gual a 4? Supor que a amostragem é obtda: a) com reposção; b) sem reposção de uma população com 000 elemetos; Solução: a) Amostragem com reposção Tem-se as segutes formações: 0 e %, logo % e Z, 58 SACHIKO ARAKI LIRA 87

92 Z e o 0,58 4 4,605 4 b) Amostragem sem reposção 0 e 0 4 N %, logo % e Z, 58 Z N e (N ) Z 0 4, (000 ), , ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL Supoha que se pretede dmesoar o tamaho da amostra para a estmação da proporção populacoal p através do I.C. de ( )00%. A precsão é dada pela semampltude do I.C.: p q Z, e0 Z p q e 0 Exemplo de aplcação: Qual o tamaho de amostra sufcete para estmar a proporção de peças defetuosas forecdas por certa máqua, com precsão de 0,08 e 99% de cofaça, sabedo que essa proporção ão ultrapassa a 0,0? Solução: p 0,0 e 0 0,08 99%, logo % e Z, ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

93 p q Z e 0,58 0,0 ( 0,0) 93,6056 (0,08) 94 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 5 - INTERVALOS DE CONFIANÇA. A croometragem (em segudos), de certa operação, obtda em uma amostra, foreceu os segutes resultados: ; X 8,7; S,49. Supodo que o tempo para a execução da operação dustral seja ormalmete dstrbuído, costrur: a) O I.C. de 95% para a méda populacoal; b) O I.C. de 95% para a varâca populacoal; c) O I.C. de 95% para o desvo padrão populacoal;. Um fabrcate produz aés para pstões de um motor de um carro. Sabe-se que o dâmetro do ael é dstrbuído ormalmete com 0, 00 mlímetro. Uma amostra aleatóra de 5 aés tem um dâmetro médo de 74,036 mlímetros. Costrua o tervalo de cofaça de 99% para o dâmetro dos aés de pstão. 3. Sabe-se que a vda (em horas), de um bulbo de uma lâmpada de 75 W é dstrbuída ormalmete com 5 horas. Uma amostra aleatóra de 0 bulbos tem uma vda méda de.04 horas. Costrua um tervalo de cofaça de 95% para a vda méda. 4. Um egehero do setor de pesqusa de um fabrcate de peu está vestgado a vda méda do peu em relação a um ovo compoete de borracha. Ele fabrcou 6 peus e testou-os até o fal da vda em um teste a estrada. A méda e o desvo padrão da amostra são 60.39,7 e 3.645,94 km, respectvamete. Sabedo-se que a vda méda do peu é ormalmete dstrbuída, ecotre um tervalo de cofaça de 95% para: a) a vda méda do peu; b) o desvo padrão do tempo de vda do peu. 5. Uma máqua produz bastões metálcos usados em um sstema de suspesão de automóves. Uma amostra aleatóra de 5 bastões é selecoada e mede-se o dâmetro dos bastões. Os dados (em mlímetro) resultates são mostrados a segur: 5 ; X 8, 3 ; S 0, 03 Sabedo-se que o dâmetro dos bastões é ormalmete dstrbuída: a) ecotre um tervalo de cofaça de 95% para o dâmetro médo dos bastões; b) ecotre um tervalo de cofaça de 95% para a varâca dos bastões; c) ecotre um tervalo de cofaça de 95% para o desvo padrão dos bastões; 6. Em uma amostra aleatóra de 85 macas de exos de mavelas de motores de automóves, 0 têm um acabameto de superfíce que é mas rugoso do que as especfcações permtdas. Cosequetemete, uma estmatva potual da proporção de macas a SACHIKO ARAKI LIRA 89

94 0 população que excede a especfcação de rugosdade é pˆ 0,. Costrur o tervalo de 85 cofaça de 95% para a proporção populacoal. 7. Um fabrcate de calculadoras eletrôcas retra uma amostra aleatóra de 00 calculadoras e ecotra 80 udades defetuosas. Costrua um tervalo de cofaça de 95% para a proporção de calculadoras defetuosas a população. 8. Está-se estudado a fração de crcutos tegrados defetuosos produzdos em um processo. Uma amostra de 300 crcutos é testada, revelado 3 defetuosos. Calcular o tervalo de cofaça de 90% para a fração de crcutos defetuosos produzdos pelo processo. 9. Uma empresa vem tedo séros problemas com sucata e retrabalho, de modo que um de seus egeheros de qualdade decde vestgar um determado processo. Uma amostra aleatóra de 50 tes é extraída um determado da, sedo ecotrada uma porcetagem alta e alarmate de 6% de tes descoformes (ou seja, defetuosos). O egehero decde crar um tervalo de cofaça de 95% para a proporção real de udades defetuosas aquele mometo. Qual é o tervalo obtdo? 0. Dos tpos de plástcos são adequados para uso por um fabrcate de compoetes eletrôcos. A resstêca à quebra desse plástco é mportate. É sabdo que, 0 ps. A partr de uma amostra aleatóra de 0 e, obteve-se X 6, 5 e X 55, 0 ps. A compaha ão adotará o plástco, a meos que sua resstêca méda à quebra exceda do plástco, por o mímo, 0 ps. Calcule o tervalo de cofaça de 95% para a dfereça de médas, supodo que ambas as populações sejam ormalmete dstrbuídas.. Duas formulações dferetes de um combustível oxgeado de um motor devem ser testadas com a faldade de estudar sua octaagem a estrada. A varâca da octaagem a estrada o caso da formulação é, 5 e o caso da formulação é,. Duas amostras aleatóras de 5 e 0 são testadas, sedo que as octaages médas observadas são X 89, 6 e X 9, 5. Cosdere ormaldade das dstrbuções. Calcular o tervalo de cofaça de 90% para a dfereça a octaagem méda ( ) observada a estrada.. Dâmetro de bastões de aço, fabrcadas em duas máquas extrusoras dferetes, está sedo vestgado. Duas amostras aleatóras de tamahos de 5 e 7 são selecoadas e as médas e varâcas das amostras são X 8, 73, S 0, 35, X 8, 68 e S 0,40, respectvamete. Supoha que e que os dados sejam retrados de uma população ormal. Costrua um tervalo de cofaça de 98% para a dfereça o dâmetro médo dos bastões. 3. Duas compahas fabrcam um materal de borracha para uso em uma aplcação automotva. A peça será sujeta a um desgaste abrasvo o campo de aplcação. Assm, decde-se comparar, através de um teste, o materal produzdo por cada compaha. Vte e cco amostras de materal de cada compaha são testadas em um teste de abrasão, sedo a quatdade de desgaste observada depos de 000 cclos. Para a compaha, a méda e o desvo padrão do desgaste a amostra são X 0 mlgramas/000 cclos e S mlgramas/000 cclos, equato para compaha são X 5 mlgramas/000 cclos e 90 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

95 S 8 mlgramas/000 cclos. Costrua um tervalo de cofaça para 95% e 99% para a dfereça de méda de desgastes, cosderado que as populações são ormalmete dstrbuídas com varâcas dferetes. 4. Um expermeto realzado para estudar váras característcas de pos de ferro resultou em 38 observações sobre a resstêca de corte (kp) de pos de 3/8 polegada de dâmetro e 35 observações sobre a resstêca de pos de / polegada de dâmetro. Os resultados obtdos foram: PINOS X S Po dâmetro 3/8 38 6,40 0,9 Po dâmetro / 35 4,50,3 Costrur um tervalo de cofaça de 98% para dfereça etre as resstêcas médas de corte, supodo ormaldade das duas populações e varâcas dsttas. 5. Qual o tamaho mímo de amostra para se estmar a méda de uma população cujo desvo padrão é gual a, com cofaça de 95% e precsão gual a 3? Supor que a amostragem é obtda sem reposção de uma população com 000 elemetos. 6. Qual o tamaho de amostra sufcete para estmarmos a proporção de peças defetuosas forecdas por certa máqua, com erro de 0,03 e 99% de cofaça, sabedo que a proporção ão ultrapassa de 0,0 7. Determar o úmero mímo de elemetos de uma amostra, se desejamos estmar a méda populacoal com 95% de cofaça e erro amostral de, sedo que de uma amostra ploto com 70 elemetos obteve-se varâca gual a Um fabrcate de peças acredta que aproxmadamete 5% de seus produtos são defetuosos se ele deseja estmar a verdadera porcetagem, com erro de 0,05, com 90% de cofaça. Qual deverá ser o tamaho da amostra a ser retrada? SACHIKO ARAKI LIRA 9

96 TESTES DE HIPÓTESES 7. ETAPAS PARA TESTES DE HIPÓTESES Etapas báscas para testar a sgfcâca estatístca: ) Estabelecer a hpótese ula H 0 ; ) Estabelecer a hpótese alteratva H ; 3) Fxar o ível de sgfcâca ; 4) Escolher a dstrbução de probabldade adequada ao teste e a partr daí determar a regão de rejeção da hpótese ula H 0 ; Para a defção da regão de rejeção de H0 é ecessáro cosderar a hpótese H, uma vez que é ela que defe o tpo do teste, se é ulateral à esquerda, ulateral à dreta ou blateral. Coforme o tpo do teste detfca-se a área de rejeção de H 0. Geercamete, tem-se: H : T 0 T 0 T T 0 H : T T 0 T T 0 (teste ulateral à esquerda ) Fgura (teste ulateral à dreta ) Fgura (teste blateral ) Fgura 3 R.R. Fgura Fgura R.R. R.R. Fgura 3 Os potos -c e c são os potos crítcos, localzados as tabelas das dstrbuções das estatístcas do teste, cosderado-se o ível de sgfcâca adotado e o úmero de graus de lberdade em questão. 5) Defr o tamaho da amostra, coletar os dados e calcular o valor da estatístca correspodete; 6) Rejetar ou acetar H o, avalado se o valor da estatístca, obtda a partr dos dados amostras, stua-se a área de rejeção ou a regão de acetação. 7.. NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA É a probabldade máxma com a qual se sujetara a correr o rsco de um erro tpo I. 9 TESTES DE HIPÓTESES

97 7.. ERRO ESTATÍSTICO Dos tpos de erros são possíves: Erro tpo I Rejetar a hpótese ula quado ela for verdadera, também deomado erro alfa ( ). P(rejetar H0 /H0 verdadera ) beta ( ). Erro tpo II Não rejetar a hpótese ula quado ela for falsa, também deomado erro P(acetar H0 /H0 falsa ) 7. TESTES ESTATÍSTICOS PARAMÉTRICOS 7.. TESTE PARA A MÉDIA POPULACIONAL 7... QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL É CONHECIDA Para amostras pequeas ( 30 ), a população deve ser ormalmete dstrbuída, e o desvo padrão populacoal deve ser cohecdo. Para grades amostras ( 30 ), ão exste a exgêca de que a população seja ormalmete dstrbuída (justfcada pelo Teorema Cetral do Lmte). Para realzar o teste de hpóteses, as etapas apresetadas a seção 7. devem ser segudas. As hpóteses estatístcas são: H0 : H : (teste ulateral à esquerda ) (teste ulateral (teste blateral ) à dreta ) Estabelecdo o ível de sgfcâca, o valor de Z crítco para este ível de sgfcâca será obtdo em uma tabela da varável ormal padrozada e, assm, defda a regão de rejeção de H 0. Obtdos os dados amostras, a estatístca do teste é calculada por: ode: Z X X é a méda amostral; 0 0 é o valor a ser testado; é o desvo padrão populacoal; SACHIKO ARAKI LIRA 93

98 é o tamaho da amostra. Deve-se rejetar H 0 se o valor de Z amostral se stuar a regão de rejeção ou acetar H 0 se stuar a regão de acetação. Exemplos de aplcação: ) Uma peça ao ser fabrcada, fo plaejada de tal forma que uma de suas dmesões seja gual a 0 cm. Cohece-se o desvo padrão do processo produtvo, que é gual a 0,8 cm e sabe-se que a dstrbução das dmesões é ormal. Uma amostra de 40 peças foreceu uma dmesão méda gual a 0,09 cm. Há teresse em testar se a méda populacoal é maor que 0 cm, ao ível de 5% de sgfcâca. Solução: Dados: 0, 8 cm 40 X 0,09 As hpóteses estatístcas são: : 0 H 0 H : 0 X 0 0,09 0 A estatístca do teste é calculada por: Z 0,7 0,8 Coclusão: O valor de Z calculado é 0,7 e o tabelado Z 0, 05, 64. Portato, aceta-se H 0, logo, a méda populacoal é gual a 0 cm. ) Uma população ormalmete dstrbuída tem desvo padrão cohecdo, sedo gual a 5 mm. Uma amostra de 0 elemetos, obtda dessa população, tem méda gual a 46 mm. Pode-se afrmar que a méda dessa população é superor a 43mm, ao ível de sgfcâca de %? Solução: 40 a) Dados: 5 mm 0 X 46 As hpóteses estatístcas são: H 0 H : : A estatístca do teste é calculada por: 94 TESTES DE HIPÓTESES

99 Z X 0 Coclusão: O valor de Z calculado é,68 e o tabelado Z 0, 0, 33. Portato, rejeta-se H 0, logo, a méda populacoal é maor que 43 mm QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL É DESCONHECIDA Deve-se segur as etapas já apresetadas aterormete para fazer o teste. Para amostras pequeas ( 30 ), a população de ode a amostra fo retrada deve ser ormalmete dstrbuída. Se é descohecda, a estatístca do teste é calculada por: t X 0 S sedo a dstrbução t de Studet com - graus de lberdade. ode: X é a méda amostral; 0 é o valor a ser testado; S é o desvo padrão amostral; é o tamaho da amostra. As áreas de rejeção e acetação de H 0 devem ser defdos de acordo com o valor crítco de t, que deve ser obtdo em uma tabela da dstrbução t de Studet, para ível de sgfcâca e - graus de lberdade. Deve-se rejetar H 0 se o valor de t amostral stuar-se a regão de rejeção ou acetar H 0 se stuar-se a regão de acetação. Exemplos de aplcação: ) Uma amostra de 0 peças, retrada de uma população ormalmete dstrbuída, apreseta dâmetro médo gual a 0,80 cm e desvo padrão gual a 0,9 cm. Pode-se afrmar que o dâmetro médo da população é superor a 0 cm, ao ível de sgfcâca de %? Solução: Dados: S 0,9 cm 0 X 0,8 As hpóteses estatístcas são: H 0 : 0 SACHIKO ARAKI LIRA 95

100 H : 0 A estatístca do teste é calculada por: X t S 0 0,8 0 3,98 0,9 0 Coclusão: O valor de t calculado é 3,98 e o tabelado t 0,0; 9, 54. Portato, rejeta-se H 0, logo, a méda populacoal é maor do que 0 cm. ) Um fabrcate afrma que a tesão méda de ruptura dos cabos produzdos por sua compaha ão é feror a 500 kgf. Uma amostra de 7 cabos fo esaada, obtedo-se os resultados (em Kgf): X 485, 4 e S 7, 77. Sabedo-se que a tesão de ruptura é ormalmete dstrbuída, testar a hpótese de que a méda populacoal é meor que 500 kgf, utlzado o ível de sgfcâca de 5%. Solução: Cálculo das estatístcas a partr da amostra: S 7,77 cm 7 X 485,4 As hpóteses estatístcas são: : 500 H 0 H : 500 A estatístca do teste é calculada por: 485,4 500 t 7,77 7-5,06 t X 0 S Coclusão: O valor de t calculado é -5,06 e o tabelado t ; 6, 943. Portato, rejeta-se H 0, logo, a méda populacoal é meor que 500 kgf. 7.. TESTE PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL Utlza-se o teste para a proporção populacoal (p) quado se deseja testar a hpótese de que p é supostamete gual a um determado valor. As hpóteses estatístcas são: 96 TESTES DE HIPÓTESES

101 H : p 0 p 0 p p H : p p 0 0 p p 0 (teste ulateral à esquerda ) (teste ulateral à dreta ) (teste blateral ) Os crtéros a serem obedecdos é que p 5 e ( p) 5, exgdo assm que a amostra seja grade. Para amostras sufcetemete grades (a prátca, 30 ), a estatístca do teste é dada por: ode: Z p pˆ p 0 ( p pˆ é a proporção amostral; p 0 é o valor a ser testado; é o tamaho da amostra. 0 0 ) Estabelecdo o ível de sgfcâca, o valor de Z crítco para este ível de sgfcâca será obtdo em uma tabela da varável ormal padrozada e assm, defda a regão de rejeção de H 0. Deve-se rejetar H 0 se o valor de Z calculado stuar-se a regão de rejeção ou acetar H 0 se stuar-se a regão de acetação. Exemplos de aplcação: ) Um fabrcate afrma que o máxmo 3% das peças produzdas por sua dústra são defetuosas. Um comercate comprou 00 peças e verfcou que 8 eram defetuosas. Testar a hpótese de que a proporção de peças defetuosas é superor a 3%, utlzado ível de sgfcâca de 5%. Solução: 00 pˆ % 0,08 As hpóteses estatístcas são: H 0 : p 0,03 H: p 0,03 A estatístca do teste é dada por: Z p pˆ p 0 ( p 0 0 ) SACHIKO ARAKI LIRA 97

102 Z 0,08 0,03 0,03 ( 0,03) 00,93 Z 05 0,,645 (teste ulateral) Coclusão: O valor de Z calculado é maor que o Z tabelado, portato, rejeta-se a hpótese H 0 de que a proporção de defetuosos é gual a 3%. Logo, a proporção de defetuosos é maor que 3%. ) Deseja-se determar se um certo tpo de tratameto para evtar a corrosão é efcete. O tratameto é cosderado efcete se mas de 95% dos tubos apresetarem resultado satsfatóro. Em uma amostra de 00 tubos, observou-se que 9 apresetaram resultados satsfatóros. Qual a coclusão, ao ível de sgfcâca de %? Solução: 00 pˆ ,96 % As hpóteses estatístcas são: H 0 : p 0,95 H : p 0,95 A estatístca do teste é dada por: Z p pˆ p 0 ( p 0 0 ) Z 0,968 0,95 0,95 ( 0,95) 00 0,65 Z 0, 0,33 (teste ulateral) Coclusão: O valor de Z calculado é meor que Z tabelado, portato, aceta-se a hpótese H 0 de que a proporção de tubos que apresetam resultado satsfatóro é gual a 95% TESTE PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL Para aplcar o teste para a varâca é ecessáro que a população de ode fo extraída a amostra seja ormalmete dstrbuída. As hpóteses estatístcas são: 98 TESTES DE HIPÓTESES

103 H0 : H : (teste ulateral à esquerda) (teste ulateral à dreta) (teste blateral) A estatístca do teste é calculada por: ( ) S 0 As regões de rejeção e acetação de H 0 serão defdas de acordo com o valor crítco obtdo em uma tabela de dstrbução, para ível de sgfcâca e - graus de lberdade. Deve-se rejetar H 0 se o valor de calculado stuar-se a regão de rejeção ou acetar H 0 se stuar-se a regão de acetação. Exemplos de aplcação: ) As chapas de aço, produzdas por uma dústra, têm especfcação tal que a varâca de suas espessuras (em mm) ão deve ser superor a 0,0009 mm. Uma amostra de 30 chapas, apresetaram espessura méda de 3,57 mm e varâca gual a 0,00098 mm. O que se pode coclur a cerca da especfcação da dústra ao ível de 5% de sgfcâca sedo que as espessuras das chapas têm dstrbução ormal? Solução: 30 X 3,57 S 0, % As hpóteses estatístcas são: H0 : 0,0009 H : 0,0009 A estatístca do teste é calculada por: ( ) S 0 (30 ) 0, ,0009 3,58 As áreas de rejeção e acetação de H 0 ecotram-se o gráfco abaxo: SACHIKO ARAKI LIRA 99

104 A.A.. A.R.. 4,56 Coclusão: O valor de ão é superor a 0,0009 mm. tabelado é 4,56, logo aceta-se H 0, portato, coclu-se que ) Usuáros de uma rede de trasmssão de eerga elétrca têm reclamado da alta varação a tesão (desvo padrão de V). A empresa ecarregada da trasmssão de eerga elétrca a regão stalou ovos trasformadores. Uma amostra de 30 observações foreceu um desvo padrão de 8V e a dstrbução de frequêcas dos valores da amostra sugere uma dstrbução ormal. Há evdêca de redução a varação da tesão? Usar 5%. ( =,89) 7..4 TESTE PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS QUANDO AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS E A aplcação do teste requer as segutes suposções:. As duas populações X e X devem ser depedetes;. Ambas as populações devem ser ormas. As hpóteses estatístcas são: H 0 : d0 H : d d 0 0 d 0 (teste ulateral à esquerda ) (teste ulateral (teste blateral ) à dreta ) SÃO CONHECIDAS A estatístca do teste é dada por: ( X Z X ) d 0 00 TESTES DE HIPÓTESES

105 ode: X é a méda da amostra ; X é a méda da amostra ; é a varâca da população ; é a varâca da população ; é o tamaho da amostra ; é o tamaho da amostra. Estabelecdo o ível de sgfcâca, o valor de z crítco para este ível de sgfcâca será obtdo em uma tabela da varável ormal padrozada e assm, defda a regão de rejeção de H 0. Deve-se rejetar H 0 se o valor de z calculado stuar-se a regão de rejeção ou acetar H 0 se stuar-se a regão de acetação. Exemplos de aplcação: ) Duas amostras de tubos de aço das marcas A e B foram aalsadas e obtdas as resstêcas médas, respectvamete de 40 kgf/mm e 35 kgf/ mm. Cohecedo-se os desvos padrão populacoas das resstêcas, de 4 kgf/ mm e 6 kgf/ mm, respectvamete, e tamahos de amostras guas a 30, qual a coclusão a respeto das dfereças etre as médas, ao ível de sgfcâca de 5%? Solução: ) Dados: X 40 ; 4 ; 30 X 35 ; 5 ; 30 0,05 As hpóteses estatístcas são: H : 0 H : 0 0 A estatístca do teste é dada por: Z ( X X ) ,80 Z 05 / 0,,96 (teste blateral) Coclusão: O valor de Z calculado é gual a 3,80 e valor tabelado é,96, portato, rejeta-se H. Logo, as resstêcas médas das marcas A e B são dferetes. 0 SACHIKO ARAKI LIRA 0

106 ) Uma amostra de 00 válvulas da Idústra A tem vda méda X A 530 h, sedo A 00 h. Uma outra amostra de 70 válvulas da Idústra B, tem vda méda X B 450h, sedo 90 h. Testar a hpótese de que as válvulas da dústra A em relação a B tem duração méda superor a 00 h. Utlzar 0, 0. Solução: Dados: X A.530 ; 00 ; A 00 A X B.450 ; 90 ; 70 0,0 B As hpóteses estatístcas são: H0 : A B 00 H : A B 00 A estatístca do teste é dada por: Z 0, 0 (X Z A,33 X ) d B 0 A B A B ( ) ,36 Coclusão: Como o valor de Z calculado é gual a -,36 e o valor tabelado é,33, aceta-se H 0. Logo, a dfereça etre as durações médas das válvulas da dústra A e B é gual a 00 h QUANDO AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS E SÃO DESCONHECIDAS A aplcação do teste requer as segutes suposções quado Descohecdas: e são. As populações X e X devem ser ormalmete dstrbuídas;. Os tamahos de amostras ( e ) devem ser pequeos (ão exceder 40). a) Quado as Varâcas Populacoas Iguas e são Descohecdas e Supostamete As hpóteses estatístcas são: H 0 : d0 H : d d 0 0 d 0 (teste ulateral à esquerda ) (teste ulateral à dreta ) (teste blateral ) 0 TESTES DE HIPÓTESES

107 A estatístca do teste é dada por: ( X X ) d0 t S p ( ), ode Sp ( )S ( )S ode: X é a méda da amostra ; X é a méda da amostra ; S é a varâca da amostra ; S é a varâca da amostra ; é o tamaho da amostra ; é o tamaho da amostra. A determação da regão crítca será com base o valor de t tabelado com graus de lberdade e ível de sgfcâca. Deve-se rejetar H 0 se o valor de t calculado stuar-se a regão de rejeção ou acetar H 0 se stuar-se a regão de acetação. Exemplo de aplcação: Dos tpos de soluções químcas foram esaados para se determar os ph. Os resultados obtdos foram: X 7,56; S 0, 033 ; 5 X 7,505; S 0, 0 ; 6 Testar a hpótese de que ão exste dfereça etre os ph médos das duas populações, supodo que os desvos padrões populacoas são guas. Usar 0, 05. Solução: X 7,56 ; S 0, 033 ; 5 X 7,505 ; S 0, 0 ; 6 0,05 As hpóteses estatístcas são: H : 0 H : 0 0 A estatístca do teste é dada por: ( X t S X p ( ) d 0 ), ode ( )S ( )S Sp SACHIKO ARAKI LIRA 03

108 S p (5 )0,033 (6 )0,0 0,0 5 6 ( 7,56 7,505) 0 t 0,3 0,0 5 6 O úmero de graus de lberdade é dado por: Portato, o valor de t com 9 graus de lberdade é,6. Coclusão: O valor de t calculado é gual 0,3, meor que o valor tabelado, logo, aceta-se H 0. Coclu-se, portato, que os ph médos das duas populações são guas. b) Quado as Varâcas Populacoas Dferetes e são Descohecdas e Supostamete Quado as varâcas das amostras ão forem homogêeas, uma modfcação do teste t, deomada correção de Asp-Welch deve ser aplcada. As hpóteses a serem testadas são: H 0 : d0 H : d d 0 0 d 0 (teste ulateral à esquerda ) (teste ulateral à dreta ) (teste blateral ) A estatístca do teste é dada por: ( X t X ) d S S 0 A determação da regão crítca será com base o valor de t tabelado com w w, ode w w S w e S w, graus de lberdade e ível de sgfcâca. Tem-se que: X é a méda da amostra ; X é a méda da amostra ; S é a varâca da amostra ; S é a varâca da amostra ; é o tamaho da amostra ; 04 TESTES DE HIPÓTESES

109 é o tamaho da amostra. Deve-se rejetar H 0 se o valor de t calculado stuar-se a regão de rejeção ou acetar H 0 se stuar-se a regão de acetação. Exemplo de aplcação:. Uma mesma dstâca fo medda 5 vezes por dos strumetos (em metros): Istrumeto : X 00, 46 ; S 0, 473 ; 5 Istrumeto : X 00, 40 ; S 0, 0 ; 5 Testar a hpótese de que ão exste dfereça etre os resultados obtdos pelos dos strumetos. Utlzar o ível de sgfcâca de 5%. Solução: X 00,46 ; S 0, 473 ; 5 X 00,40 ; S 0, 0 ; 5 0,05 As hpóteses estatístcas são: H : 0 H : 0 0 A estatístca do teste é dada por: ( X t X ) d S S 0 A determação da regão crítca será com base o valor de t tabelado com w w, ode w w S w e S w, graus de lberdade e ível de sgfcâca. (00,46 00,40) 0 t 0, ,0 5 0,9 Cálculo de (graus de lberdade): S w 0, ,0946 SACHIKO ARAKI LIRA 05

110 w S 0,0 5 0,00 w w w w ( 0,0946 0,00) 0, ,00 4 4,6 4 Coclusão: O valor de t com 4 graus de lberdade é,78, logo, aceta-se H : 0 0. Coclu-se que as médas são guas DUAS AMOSTRAS EMPARELHADAS Este teste deve ser utlzado quado os dados estão relacoados dos a dos de acordo com algum crtéro. O teste t de Studet para grupos depedetes é aplcado para comparação das médas de dos grupos emparelhados, que utlza para o seu cálculo, a méda das dfereças ( d ) etre cada um dos pares formados pelas duas amostras. Se 30 (pares), a suposção explícta de ormaldade da população é desecessára (Teorema Cetral do Lmte). H 0 : d d 0 H : d d d As hpóteses a serem testadas: d d 0 d 0 0 (teste ulateral à esquerda) (teste ulateral à dreta) (teste blateral) A estatístca do teste é dada por: d d0 t, Sd em que: d d e S d d d d é a méda das dfereças; d 0 é o valor que ser quer testar; é o tamaho da amostra. Se o valor de t calculado stuar-se a regão de rejeção, rejeta-se H 0 e se stuar a regão de acetação, aceta-se H 0. Exemplo de aplcação: Uma amostra de 7 cabos de aço fo aalsada ates e depos de sofrer um tratameto para aumetar sua resstêca (em kgf/mm). Os resultados obtdos foram: Ates: Depos: TESTES DE HIPÓTESES

111 Testar a hpótese de que o tratameto é efcete, o ível de sgfcâca de 5%. Tratar os dados como emparelhados. Solução: As hpóteses a serem testadas: : d 0 ( o tratameto ão é efcete) : 0 ( o tratameto é efcete) H0 H d A estatístca do teste é dada por: d d0 t, em que: S d Tem-se que d 44 7 Assm, a estatístca t será : d d0 6,9 0 t 7,56 Sd,0 7 d d e S d d d, logo 6, 9 d, S d 4, 84 e S d, 0. Coclusão: O valor de t com 7 6 graus de lberdade é,943, logo, rejeta-se H 0 : d 0. Coclu-se que o tratameto é efcete TESTE PARA IGUALDADE DE DUAS VARIÂNCIAS Para aplcar o teste para a varâca é ecessáro que a população de ode fo extraída a amostra seja ormalmete dstrbuída. As hpóteses estatístcas são: H0 : H : (teste ulateral à esquerda) (teste ulateral à dreta) (teste blateral) A estatístca do teste é calculada por: S F S ode: S é a varâca da amostra ; S é a varâca da amostra ; é o tamaho da amostra ; é o tamaho da amostra. O valor crítco de F é obtdo a partr da tabela da dstrbução F, para o ível de sgfcâca e graus de lberdade o umerador e graus de lberdade o deomador. SACHIKO ARAKI LIRA 07

112 Rejeta-se H 0 se o valor de F calculado stuar-se a regão de rejeção ou acetar H 0 se stuar-se a regão de acetação. Exemplo de aplcação: ) Foram testadas as durabldades (em km) dos peus das marcas A e B, obtedo-se para 5 peus de cada marca os segutes resultados: Marca A: Marca B: Exste dfereça sgfcatva etre as varâcas das durabldades dos dos peus, ao ível de 0% de sgfcâca? Solução: As hpóteses estatístcas são: H 0 : H: A estatístca do teste é calculada por: S F S Deve-se, portato, calcular calmete os desvos padrão amostras: S S S F S ,37 A regão de rejeção está represetada o gráfco: A.R. A.A.. A.R. 0,6 6,39 F F ; F 6,39 ( ; ( 0,05; 4; 4 ) 08 TESTES DE HIPÓTESES

113 F F( ; 0,6 ; ) F( 6,39 ; ) Coclusão: O valor de F calculado está a área de acetação de H 0, portato, varâcas das durabldades dos dos peus são guas. ) Foram esaadas válvulas das marcas A e B, e verfcou-se que os tempos de vda (em horas) foram: Marca A: Marca B: Testar a hpótese de gualdade para as varâcas do tempo de vda das válvulas de marcas A e B, ao ível de sgfcâca de 0%. Solução: As hpóteses estatístcas são: H0 : H: A A B B A estatístca do teste é calculada por: S F S A B Deve-se, portato, calcular calmete os desvos padrão amostras: S A 770 A 5 4 S B 7.5 B 4 3 B A B A S S A F B ,04 A regão de rejeção está represetada o gráfco: F F ; F 9, ( ; ) ( 0,05; 4;3 ) F F 0,5 ( ; ; ) F 6,59 ( ; ; ) A.R. A.A.. A.R. 0,6 6,39 0,5 0, 6,59 9, SACHIKO ARAKI LIRA 09

114 Coclusão: O valor de F calculado é gual a 0,04 stuado-se, portato, a área de rejeção de H. Logo, as varâcas do tempo de vda das válvulas de marcas A e B são dferetes. 0 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 6 TESTES DE HIPÓTESES. Sabe-se que os dâmetros teros de rolametos usados o trem de pouso de avões têm desvo padrão 0, 009 cm e ormalmete dstrbuídos. Uma amostra aleatóra de 5 rolametos acusa um dâmetro tero médo de 8,535 cm. Testar a hpótese de que o dâmetro tero médo do rolameto é maor que 8,5 cm. Usar 0, 05.. Deseja-se testar a hpótese de que o dâmetro médo da haste de lga de alumío, produzdas em uma máqua de calbragem, é dferete de 0,505. Uma amostra de 5 hastes apresetou um dâmetro médo de 0,5046 e desvo padrão de 0,0. Utlzar 0, 05 e supor dstrbução ormal. 3. A força méda de resstêca de uma fbra stétca é uma característca de qualdade de teresse do fabrcate, que deseja testar a hpótese de que a força méda é maor que 50 ps, usado 0, 05. O desvo padrão populacoal da força de resstêca é descohecdo. Uma amostra de 6 exemplares de fbra é selecoada e são obtdos os segutes resultados: X 50,86 ; S,66. Sabe-se que a dstrbução da força de resstêca é ormal. 4. Uma fudção produz cabos de aço usados a dústra automotva. Deseja-se testar a hpótese de que a fração de tes ão-coformes é meor que 0%. Em uma amostra aleatóra de 50 cabos, detectou-se que 4 estavam fora das especfcações. Usar 0, Em uma amostra aleatóra de 80 macas para vrabrequs de automóves, 5 apresetam o acabameto de superfíce mas áspero do que as especfcações permtem. Testar a hpótese de que a fração de ão-coformes é dferete de 0,9, utlzado ível de sgfcâca de %. 6. Uma amostra aleatóra de 500 pos de hastes de coexão cotém 65 udades ãocoformes. Testar a hpótese de que a verdadera fração de defetuosos esse processo é maor que 0,08. Usar 0, Dos catalsadores estão sedo testados para determar como afetam o redmeto médo de um processo químco. Especfcamete, o catalsador está sedo usado atualmete, mas o catalsador é acetável. Como o catalsador é mas barato, ele podera ser adotado, desde que ão alterasse o redmeto do processo. Um teste é realzado em uma fábrca ploto e os resultados são apresetados abaxo. Exste alguma dfereça etre os redmetos médos? Usar 0, 05 e supor que as populações são ormas e as varâcas guas. Dados: X 9,6 ; S,39 ; 8 ; X 9,68 ; S, 8 ; 8 8. Cosderar o exercíco ateror supodo que as varâcas populacoas ão são guas. 9. Uma pesqusa apreseta os resultados de uma aálse do peso do cálco o cmeto padrão e o cmeto msturado com chumbo. Níves reduzdos de cálco são uma dcação de que o mecasmo de hdratação o cmeto está bloqueado, o que permtrá a água atacar város locas da estrutura de cmeto. Dez amostras do cmeto padrão acusaram um peso percetual médo de cálco de X 90, 0, com desvo padrão S 5, 0 e 5 amostras do cmeto msturado 0 TESTES DE HIPÓTESES

115 com chumbo apresetaram um peso médo de cálco de X 87, 0, com desvo padrão de S 4,0. Testar a hpótese de que é maor zero, utlzado 0, 0 e supodo que ambas as populações são ormalmete dstrbuídos e têm o mesmo desvo padrão. 0. Dos téccos de cotrole de qualdade medram o acabameto da superfíce de uma parte de metal, cujos dados estão apresetados abaxo. Supoha que as meddas sejam ormalmete dstrbuídas. Testar a hpótese de que as meddas médas do acabameto da superfíce obtdas pelos dos téccos são guas. Usar 0, 0 e supor varâcas guas. Dados: X,39 ; S 0, ; 7 ; X,8 ; S 0, ; 8. Uma ova udade de purfcação é stalada em um processo químco. Ates de sua stalação, uma amostra aleatóra foreceu os segutes dados sobre a porcetagem de mpureza: X 9,85 S 8,73 0 Após a stalação, uma amostra aleatóra resultou em: X 8,08 78,46 S 8 É possível coclur que o ovo aparelho de purfcação reduzu a porcetagem méda de mpureza? Usar 0, 05 e supor que as populações são ormas e varâcas populacoas dferetes.. Dos tpos dferetes de máqua são usados para medr a força de resstêca de uma fbra stétca. Deseja-se saber se as duas máquas forecem os mesmos valores médos da força de resstêca. Oto espécmes de fbra são aleatoramete selecoados e uma medda da força é feta sobre cada espécme usado cada uma das máquas. Testar a hpótese de que ão há dfereça etre as duas máquas quato à força méda de resstêca, 0, 05. Observação: Os dados esse expermeto foram emparelhados para evtar que dfereças etre os espécmes de fbra (que podem ser substacas) afetem o teste sobre a dfereça das máquas. ESPÉCIMES MÁQUINA MÁQUINA Um operáro realzou uma mesma operação com dos equpametos dferetes, e os tempos gastos (em segudos foram): SACHIKO ARAKI LIRA

116 Equpameto A: Equpameto B: Exste dfereça sgfcatva etre as varâcas para os tempos gastos pelos dos equpametos, ao ível de 0%? Supor as populações ormalmete dstrbuídas. 4. Foram testadas válvulas de marca A e verfcou-se que os tempos de vda (em horas) foram: Sabedo-se que os tempos de vda das válvulas são ormalmete dstrbuídos, testar a hpótese de que a varâca do tempo de vda é meor do que 700, ao ível de 5% de sgfcâca. TESTES DE HIPÓTESES

117 TESTES DE ADERÊNCIA INTRODUÇÃO O objetvo do teste de aderêca é verfcar se os dados de uma amostra comportam-se de acordo com uma dstrbução teórca, tas como ormal, bomal, Posso, etc. 8. TESTE QUI-QUADRADO DE ADERÊNCIA Os testes de aderêca servem para testar hpóteses mas geras sobre a dstrbução dos dados. A déa básca é que, dada uma amostra aleatóra de tamaho, observada de uma varável aleatóra X, deseja-se testar: H : X tem dstbuçã o 0 f 0 X ão tem dstbuçã o H : f 0 A estatístca de teste, chamada de (qu-quadrado), é uma medda de dstâca etre as frequêcas observadas e as frequêcas esperadas de cada categora, e é dada pela expressão: (O E ), sedo E obtda através de: E k p ode: E O é o úmero de observações ou freqüêca absoluta observada da classe é o úmero total de observações; p é a probabldade de obter uma observação a classe Sedo verdadera a hpótese ula, a estatístca acma tem dstrbução asstótca de Ququadrado com k p graus de lberdade ( ), ode k represeta o úmero de classes e ; kp p o úmero de parâmetros da dstrbução da população, estmados a partr da amostra. Para utlzar este teste tem-se as segutes regras: A ; A dmesão da amostra deve ser ão-feror a 30 ( 30 ); A frequêca esperada em cada classe deve ser 5. A ; Se esta últma codção ão prevalecer, o teste pode ada ser utlzado, embora com moderada cofaça, se ão mas de 0% dos valores de E forem ferores a 5 e ehum for feror a. Quado tal ão se verfcar, procuram-se agregar classes adjacetes, de forma a obter ovas classes que satsfaçam esta codção. SACHIKO ARAKI LIRA 3

118 Se Se calc c, aceta-se 0 calc c, rejeta-se 0 H (Há aderêca à dstrbução especfcada) H (Não há aderêca à dstrbução especfcada). Gráfcamete: A.A A.R c Exemplos de aplcação: ) Supõe-se que o úmero de defetos as placas de crcuto mpresso segue a dstrbução de Posso. Uma amostra de 60 placas mpressas fo coletada e observou-se o úmero de defetos, apresetados a segur. FREQUÊNCIA NÚMERO DE DEFEITOS OBSERVADA A forma da dstrbução de defetos é Posso? Usar 0, 05. Solução: As hpóteses a serem testadas: H o : a forma da dstrbução de defetos é Posso H : a forma da dstrbução de defetos ão é Posso É possível obter as probabldades para cada valor de X. No. DE DEFEITOS ( x ) NO. DE MÁQUINAS p(x x ) 0 3 0,53 5 0,5 9 0, ,07 TOTAL 60,00 Tem-se que o úmero médo de defetos é dado por: E (X) x p(x ) 4 TESTES DE ADERÊNCIA

119 E(X) 0 0,53 0,5 0,5 3 0,07 0,75 A fução de probabldade da dstrbução de Posso é dada por: e P(X x) x! x, ode é a méda. Tem-se etão que: e P(X 0) e P(X ) e P(X ) P(X 0,75 0,75 0,75 (0,75) 0! (0,75)! 0 (0,75)! 0,47 0,354 0,33 3) P(X ) (0,47 0,354 0,33) 0,04 As frequêcas esperadas são obtdas pela multplcação do tamaho da amostra 60 pelas probabldades p P(X x ), ou seja, E p. As frequêcas observadas e as esperadas estão apresetadas a tabela abaxo. FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA NÚMERO DE DEFEITOS OBSERVADA ESPERADA , , , ,04 3 A estatístca do teste é: O E (3 8) (5 ) (9 8) (4 3) E 8 8 3,74 O úmero de graus de lberdade é k-p-, ode k represeta o úmero de classes e p o úmero de parâmetros da dstrbução da população estmados a partr da amostra. Assm temse: g.l. 4 O valor de tabelado com graus de lberdade e 5% de sgfcâca é 5,99. Coclusão: Como, 74 é meor que 5, 99, aceta-se a hpótese de que a forma da calc dstrbução de defetos é Posso. 0,05;g.l. ) Foram specoados 00 lotes de 3 peças cada um, sedo que o úmero X de peças defetuosas por lote segue dstrbução abaxo. Testar a hpótese de que a dstrbução é bomal, utlzado 0, 0. No. de defetuosos 0 3 Total No. de lotes SACHIKO ARAKI LIRA 5

120 Solução: calculada por: O úmero médo (méda ou valor esperado) de válvulas defetuosas observadas é E (X) x p, logo E(X) A dstrbução bomal é dada por: 00 0,4 P(X x) C x p x q x, ode p é a probabldade de uma válvula ser defetuosa. Tem-se que a méda da dstrbução bomal é bomal), assm, E(X) 3p. E(X) p (parâmetro da dstrbução Igualado as duas médas, E(X), tem-se: 3p 0, 4, portato, p 0, 4 e cosequetemete, q 0, 86. Etão, a dstrbução bomal ajustada é: x x 3x P(X x) C 3 (0,4) (0,86) As probabldades são calculadas através de: P(X 0) C 3 (0,4) (0,86) 0,636 3 P(X ) C 3 (0,4) (0,86) 0,306 3 P(X ) C 3 (0,4) (0,86) 0,0506 P(X 3) P(X ) 0,007 Foram agrupadas as duas últmas classes, pos a frequêca esperada da últma classe é meor do que. As probabldades, as frequêcas teórcas e observadas são: No. DE DEFEITUOSAS ( x ) 3 (O E ) E P(X x) FREQ. TEÓRICA E ) ( FREQ. OBS. ( O I ) 0 0,636 00x0,636= ,306 00x0,306=3 30 0, x0,0533=5 5 (65 64) 64 (30 3) 3 (5 5) 5 0,05 O úmero de graus de lberdade é k-p-, ode k represeta o úmero de classes e p o úmero de parâmetros da dstrbução da população estmados a partr da amostra. Assm temse: g.l. 3 O valor de tabelado com grau de lberdade e % de sgfcâca é 6,64. Coclusão: Como 0, 05 é meor que 6, 64, aceta-se a hpótese de que a forma da calc 0,0;g.l. dstrbução de válvulas defetuosas é Bomal. 6 TESTES DE ADERÊNCIA

121 8. TESTE DE LILLIEFORS O teste de Lllefors é utlzado para verfcar a aderêca dos dados a uma dstrbução ormal, sem a especfcação de seus parâmetros, ou seja, a méda e o desvo padrão são calculados a partr da amostra. As hpóteses são: H 0 : a amostra provém de uma população que segue uma dstrbução ormal H : a amostra ão provém de uma população que segue uma dstrbução ormal Exemplos: Calcula-se a estatístca de teste, D, em termos da amostra em aálse: d max F(x ) S(x ), F(x ) S(x ) ) Um fabrcate de autopeças está para fechar um grade cotrato com a motadora. O potochave é a garata da qualdade de seus produtos, especalmete do dâmetro (em mm) dos exos produzdos, que ele supõe segur uma dstrbução ormal. Para realzar o teste, a motadora selecoou uma amostra aleatóra de 5 exos, para testar as especfcações a 5% de sgfcâca. As valores são apresetados a segur. Solução: 93,45 94,46 94,93 96,7 96,74 97,07 97,68 97,93 99,0 99,30 00,73 03,9 03,60 03,83 05,0 H 0 : a amostra provém de uma população que segue uma dstrbução ormal H : a amostra ão provém de uma população que segue uma dstrbução ormal. Costrução da dstrbução acumulada da amostra, S (x) : OBS. FREQ. x S(x ) RELATIVA 93,45 0,0667 0,067 94,46 0,0667 0, ,93 0,0667 0, ,7 0,0667 0, ,74 0,0667 0, ,07 0,0667 0, ,68 0,0667 0, ,93 0,0667 0, ,0 0,0667 0, ,30 0,0667 0,667 00,73 0,0667 0,733 03,9 0,0667 0, ,60 0,0667 0, ,83 0,0667 0, ,0 0,0667,000 Méda 98,90 Desvo Padrão 3,70 SACHIKO ARAKI LIRA 7

122 . Costrução da fução de dstrbução acumulada F (x), para cada valor de x. Cada valor de dâmetro x pode ser trasformado em escore padrozado Z. Por exemplo: 93,45 98,90 x 93,45 Z -,47 3,70 A probabldade acumulada até cada escore Z é obtda da tabela de áreas sob a curva ormal. Para Z, tem-se: F(X) P(X Z) 0, Cálculo das dfereças absolutas etre as dstrbuções acumuladas esperadas e observadas, F(x ) S(x ) e F(x ) S(x ). OBS. x FREQ. RELATIVA S(x ) Z F( x ) (x ) S(x ) F(x ) S(x ) F 0 93,45 0,0667 0,067 -,47 0,07 0,07 0,004 94,46 0,0667 0,33 -,0 0,5 0,049 0, ,93 0,0667 0,00 -,07 0,4 0,009 0, ,7 0,0667 0,67-0,74 0,3 0,03 0, ,74 0,0667 0,333-0,58 0,80 0,03 0, ,07 0,0667 0,400-0,49 0,3 0,03 0, ,68 0,0667 0,467-0,33 0,37 0,09 0, ,93 0,0667 0,533-0,6 0,397 0,070 0, ,0 0,0667 0,600 0,05 0,5 0,0 0, ,30 0,0667 0,667 0, 0,543 0,057 0,4 00,73 0,0667 0,733 0,49 0,690 0,03 0,044 03,9 0,0667 0,800,9 0,88 0,49 0, ,60 0,0667 0,867,7 0,898 0,098 0, ,83 0,0667 0,933,33 0,909 0,04 0, ,0 0,0667,000,70 0,956 0,0 0, A maor dfereça absoluta é gual a 0,49, logo, d 0, A dstâca máxma admssível para 5 e 5% é d c 0, 0. Como d dc, aceta-se H 0, logo, amostra provém de uma população que segue uma dstrbução ormal. ) No cotrole estatístco de processos, uma suposção fudametal para a utlzação de gráfcos de cotrole de méda de Shewhart é de que a dstrbução das médas possa ser cosderada ormal. Um egehero quer saber se é possível aplcar gráfcos de cotrole de médas a um processo produtvo. Para tato, que avalar a aderêca das médas de 5 amostras à dstrbução ormal. Os valores são: 0,9 0,57 0,66,4 0,8 0,05 0,63 0,75 0,85 0,99,68 3,0 0,3 5,48 0,66 0,76 5,94 0,85 0,03 9,49,8,3 4,89 0,7 3,5 Com base os dados apresetados, e utlzado ível de sgfcâca de %, é possível usar gráfco de cotrole de méda de Shewhart para motorar o processo? 8 TESTES DE ADERÊNCIA

123 Solução: H 0 : a amostra provém de uma população que segue uma dstrbução ormal H : a amostra ão provém de uma população que segue uma dstrbução ormal OBS. x FREQ. RELATIVA S(x ) Z F( x ) (x ) S(x ) F(x ) S(x ) F 0,03 0,04 0,040-0,80 0, 0, 0,7 0,05 0,04 0,080-0,79 0,4 0,74 0,34 3 0,9 0,04 0,0-0,73 0,3 0,5 0, 4 0,8 0,04 0,60-0,69 0,44 0,4 0, ,3 0,04 0,00-0,68 0,48 0,088 0, ,57 0,04 0,40-0,56 0,85 0,085 0, ,63 0,04 0,80-0,54 0,94 0,054 0,04 8 0,66 0,04 0,30-0,53 0,99 0,09 0,0 9 0,66 0,04 0,360-0,53 0,99 0,0 0,06 0 0,7 0,04 0,400-0,50 0,306 0,054 0,094 0,75 0,04 0,440-0,49 0,3 0,088 0,8 0,76 0,04 0,480-0,48 0,34 0,6 0,66 3 0,85 0,04 0,50-0,44 0,38 0,5 0,9 4 0,85 0,04 0,560-0,44 0,38 0,9 0,3 5 0,99 0,04 0,600-0,38 0,350 0,0 0,50 6,3 0,04 0,640-0,8 0,389 0, 0,5 7,4 0,04 0,680-0,0 0,49 0, 0,6 8,68 0,04 0,70-0,09 0,465 0,5 0,55 9,8 0,04 0,760 0,3 0,55 0,69 0,09 0 3,0 0,04 0,800 0,49 0,686 0,074 0,4 3,5 0,04 0,840 0,7 0,760 0,040 0,080 4,89 0,04 0,880,30 0,903 0,063 0,03 3 5,48 0,04 0,90,55 0,940 0,060 0,00 4 5,94 0,04 0,960,75 0,960 0,040 0, ,49 0,04,000 3,8 0,999 0,039 0,00 méda,88 DP,3 A dstâca máxma admssível para 5 e 5% é d c 0,73. Como d dc, rejeta-se H 0, logo, amostra ão provém de uma população que segue uma dstrbução ormal. Assm, ão é possível utlzar o gráfco de cotrole de méda. LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 7 TESTES DE ADERÊNCIA. As taxas de octaagem de combustível para motor, de váras msturas de gasola foram obtdas. A méda e o desvo padrão amostral são 90,59 e 3,8, respectvamete. A dstrbução de freqüêcas ecotra-se a segur: SACHIKO ARAKI LIRA 9

124 TAXAS DE OCTANAGEM 83, ,9 3 85, ,4 9 88, ,9 90, ,4 5 93, ,9 5 95, ,4 98, ,9 TOTAL 56 f Verfcar se amostra da taxa de octaagem provém de uma dstrbução ormal, utlzado 0,05.. O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos), sedo feta 50 determações. A méda e o desvo padrão amostral são 46,3 e 7,44. A dstrbução de frequêcas ecotra-se a segur: TEMPO (segudos) f TOTAL 50 Verfcar se a amostra do tempo ecessáro para realzar a operação provém de uma dstrbução ormal, utlzado 0, 0. 0 TESTES DE ADERÊNCIA

125 ANÁLISE DA VARIÂNCIA INTRODUÇÃO O objetvo da aálse da varâca, cohecda como ANOVA, é comparar k médas populacoas, sedo k, com base as amostras proveetes de k populações dsttas. Equato o teste para gualdade de duas médas se utlza as estatístcas Z ou t, coforme os desvos padrões populacoas sejam cohecdos ou ão, a aálse da varâca, a estatístca utlzada é a estatístca F. A aálse da varâca é um teste para gualdade de médas que utlza varâcas para a tomada de decsões. 9. FUNDAMENTOS DA ANOVA Supodo que se deseja testar a hpótese de gualdade de k ( k ) médas populacoas, sto é: H 0 :... k, cotra a hpótese alteratva de que, pelo meos uma dessas médas seja dferete das demas, ou seja: H : pelo meos uma méda. Na aplcação deste método, supõe-se que as populações são ormalmete dstrbuídas e as varâcas populacoas guas (homocedastcdade), ou seja:... k Sejam as k amostras extraídas das populações, cujas médas serão testadas. A partr dessas amostras, é possível estmar a varâca de três maeras, coforme apresetados a segur. POPULAÇÃO POPULAÇÃO POPULAÇÃO k K AMOSTRA AMOSTRA AMOSTRA k k SACHIKO ARAKI LIRA

126 t ) Varâca Total ( S ) Cosste em estmar a varâca cosderado todas as k amostras reudas em uma úca amostra, o que é possível em fução da suposção de que as varâcas populacoas são todas guas a. Essa varâca é estmada através de: k j ( x j S t N Ode: X ) é o tamaho de cada amostra; k é o úmero de amostras; x j é o -ésmo elemeto da j-ésma amostra; N k é o úmero de elemetos em todas as amostras; k x j j X é a méda do cojuto de todas as amostras; N O umerador é deomado de Soma de Quadrados Total (SQT), etão tem-se: SQT k j ( x j X ) ) Varâca etre Amostras (S ) e Sedo verdadera a hpótese H 0, é possível estmar a varâca, através de: S e k ( X j X ) j k Ode: X j x j é a méda da j-ésma amostra (j=,,...,k) é o tamaho de cada amostra. e Esta varâca (S ) é também chamada de Quadrado Médo Etre Amostras (QME). ANÁLISE DA VARIÂNCIA

127 O umerador é deomado de Soma de Quadrados etre Amostras (SQE), etão tem-se: SQE k j ( X j X ) 3) Varâca Resdual (ou Varâca detro) Cosste em estmar as varâcas detro de cada amostra e em seguda estmar um úco valor para, por meo da combação dessas k varâcas. Esta varâca (S ) chamada também de Quadrado Médo Resdual (QMR). Para uma amostra qualquer j, a estmatva da varâca é dada por: ( x j X j ) S j Combado as k varâcas, obtém-se a estmatva de, dada por: r é S r k ( x j j N k X ) j O umerador é deomado de Soma de Quadrados Resdual (SQR), logo: SQR Ode: ( x j X j ) k j X j é a méda da j-ésma amostra (j=,,...,k) A Soma de Quadrados Resdual pode também ser obtda através de: SQR SQT SQE 9. ANÁLISE DA VARIÂNCIA A UM CRITÉRIO DE CLASSIFICAÇÃO Neste modelo, os elemetos observados são classfcados segudo um crtéro, ou seja, exste apeas uma característca de teresse a ser testada. As etapas para a realzação da ANOVA: a) Formulação das hpóteses: H 0 :... SACHIKO ARAKI LIRA k H : pelo meos uma méda ; b) Fxar o ível de sgfcâca ; c) Determar a regão de rejeção (R.R.); 3

128 R.A. R.R. O teste será sempre ulateral. O valor crítco de F será obtdo para ível de sgfcâca e ( k ) e ( N k ) graus de lberdade, o umerador e deomador, respectvamete. d) Cálculo da estatístca F A estatístca F é calculada através de: S F S e r e) Quadro da Aálse da Varâca QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA FONTE DE SOMA DE G.L VARIAÇÃO QUADRADOS Etre amostras SQE k Resdual SQR N k S e S r QUADRADOS MÉDIOS SQE QME k SQR QMR N k S F S e e r F QME QMR Total SQT N f) Coclusão Se F F ( k,n k), rejeta-se hpótese H 0, caso cotráro, aceta-se H 0. Exemplos da aplcação: ) Verfcou-se os ídces de produção, segudo os postos de trabalho, durate certo período. Aalsar se há dfereça os ídce de produção, devdo aos postos de trabalho. Usar 0, 05. POSTOS DE TRABALHO INDICES DE PRODUÇÃO (%) A 90,8 00,0 8, B 85,5 83,0 73,7 C 65,9 77, 68,5 4 ANÁLISE DA VARIÂNCIA

129 Solução: a) As hpóteses a serem testadas: H 0 : A B C H : pelo meos uma méda b) Cálculo da Soma de Quadrados Total (SQT) Tem-se que a soma de quadrados total é dada por: SQT ( x j X ) k j Logo, faz-se ecessáro calcular calmete a méda do cojuto de todas as amostras ( X ). POSTOS DE TRABALHO INDICES DE PRODUÇÃO (%) ( x j ) SOMAS ( ) x MÉDIAS ( X j ) A 90,8 00 8, 7,90 90,63 B 85, ,7 4,0 80,73 C 65,9 77, 68,5,50 70,50 TOTAL 75,60 80,6 A méda do cojuto de todas as amostras será: k x j j X k j N x j 75,6 9 80,6 Etão, tem-se: SQT ( 90,8 80,6 ) (00,0 80,6) (8, 80,6) (77, 80,6) SQT 93,78 (68,5 80,6) c) Soma de Quadrados etre Amostras (SQE) k SQE ( X j k j X) ( X j X) j SQE 3 (90,63 80,6) 3 (80,73 80,6) 3 (70,5 80,6) SQE 607,88 d) Cálculo da Soma de Quadrados Resdual (SQR) SQR SQT SQE SQR 93,78-607,88 34,90 SACHIKO ARAKI LIRA 5

130 e) Quadro da ANOVA QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA FONTE DE SOMA DE QUADRADOS MÉDIOS G.L VARIAÇÃO QUADRADOS 607,88 Etre amostras SQE 607, 88 QME 303, 94 Detro da 34,90 SQR 34,90 6 QMR 54, 5 amostra (resdual) 6 Total SQT 93,78 8 F F 5,6 O valor de F tabelado é: 5, 4 F0,05;; 6 f) Coclusão: Como F F 0,05;; 6, rejeta-se a hpótese H o de que os ídces médos de produção são guas segudo os dferetes postos de trabalho. ) Em uma dústra, quatro operáros executam uma mesma operação. Com o objetvo de detfcar se exste dfereça etre os tempos gastos para executar a operação mecoada, foram realzadas as segutes observações desses tempos (em segudos): Operáro : 8, 8,3 8,0 8, 8,5 Operáro : 8,4 8,4 8,5 8,3 Operáro 3: 8,8 8,7 8,9 Operáro 4: 8,3 8,4 8, 8, 8,3 8,4 Verfcar se a dfereça é sgfcatva ao ível de % de sgfcâca. Solução: a) As hpóteses a serem testadas: H 0 : 3 4 H : pelo meos uma méda b) Cálculo da Soma de Quadrados Total (SQT) Tem-se que a soma de quadrados total é dada por: SQT ( x j X ) k j Logo, faz-se ecessáro calcular calmete a méda do cojuto de todas as amostras. OPERA- DORES TEMPOS ( x j ) SOMAS ( k x j j ) MÉDIAS ( X j ) 8, 8,3 8,0 8, 8,5 4,0 8, 8,4 8,4 8,5 8,3 33,6 8,4 3 8,8 8,7 8,9 6,4 8,8 4 8,3 8,4 8, 8, 8,3 8,4 49,8 8,3 50,8 8,4 k x j j 6 ANÁLISE DA VARIÂNCIA

131 A méda do cojuto de todas as amostras será: X k j N x j 50,8 8 8,4 Etão, tem-se: SQT ( 8, 8,4 ) (8,3 8,4) (8,0 8,4) (8,4 8,4) SQT 0,98 c) Soma de Quadrados etre Amostras (SQE) SQE ( X X k j j ) OBS: Neste caso, cada ( X j X ) é multplcado pelo seu respectvo tamaho de amostra. SQE SQE 0,74 5 (8, 8,4) 4 (8,4 8,4) 3 (8,8 8,4) 6 (8,3 8,4) d) Cálculo da Soma de Quadrados Resdual (SQR) SQR ( x j X j ) k j SQR ( 8, 8,) (8,3 8,) (8,3 8,3) SQR 0,4 (8,4 8,3) e) Quadro da ANOVA QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA FONTE DE SOMA DE QUADRADOS VARIAÇÃO Etre amostras (Tratametos) Detro da amostra (resdual) Total G.L SQE 0,74 3 SQR 0,4 4 SQT 0,98 7 O valor de F tabelado é F0,0;3; 4 5, 56. QUADRADOS MÉDIOS 0,74 QME 3 0,4 QMR 4 F F 4,39 Coclusão: Como F F 0,0;3; 4, rejeta-se a hpótese H 0 de que os tempos médos gastos para execução da operação segudo dferetes operáros são guas. SACHIKO ARAKI LIRA 7

132 9.3 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS ENTRE MÉDIAS A aálse da varâca serve para verfcar se exste dfereça sgfcatva etre as médas; porém, se houver dfereças, ão é possível saber, através dela, quas as médas dferem etre s. A detfcação de dfereças etre médas, tomado-as duas a duas, deve ser feta usado testes de comparações múltplas etre médas TESTE DE SCHEFFÉ A estatístca de teste é a dstrbução F de Sedecor com ( k,n k ) graus de lberdade, corrgda por um fator que leva em cota o fato de se comparar k médas, duas a duas. O Teste de Scheffé é um teste mas geral, permte usar amostras com dmesões dferetes e é robusto a volações dos pressupostos de ormaldade e de gualdade de varâcas. Se X Xm, rejeta-se a hpótese ula de que H0 : m, sedo que a estatístca é dada por: QMR (k ) F k,n k, m. Exercícos de aplcação: ) Para o exemplo dos ídces de produção segudo dferetes postos de trabalho, verfcar quas médas são dferetes, utlzado 0, 05. Solução: Os ídces médos, segudo dferetes postos de trabalho são: POSTOS DE TRABALHO MÉDIAS ( X j ) A 90,63 B 80,73 C 70,50 Utlzado o teste de Scheffé: ode: QMR (k ) F k,n k, m k 3 ( postos de trabalho) N k ,05 3 (tamaho da amostra para cada grupo) 8 ANÁLISE DA VARIÂNCIA

133 34,90 QMR 54,5 ( do exemplo de aplcação o. ) 6 F,6;0, 05 5,4 Cosderado os postos de trabalha A e B, tem-se: 0,05 54,5 5,4 9,6 3 3 Da mesma forma para A e C e B e C, pos os tamahos de amostras são guas a 3. Portato, tem-se: POSTOS DE TRABALHO DIFERENÇA DE MÉDIAS DIFERENÇA SIGNIFICATIVA A e B 90,63 80,73 9, 90 9,6 Não A e C 90,63 70,50 0, 3 9,6 Sm B e C 80,73 70,50 0, 3 9,6 Não Coclu-se portato que os ídces médos de produção dos postos de trabalho A e C são dferetes, para ível de 5% de sgfcâca. ) Para o exemplo de quatro operáros que executam uma mesma operação em uma dústra, aplcar o método de Scheffé, utlzado 0, 0. Solução: Os tempos médos gastos para executar determada operação, segudo operadores: OPERA- DORES Utlzado o teste de Scheffé: MÉDIAS ( X j ) 5 8, 4 8, , ,3 X Xm QMR(k ) F k,n k, m k 4 ( operadores) N 8 N k ,0 0,4 QMR 0,07 ( do exemplo de aplcação o. ) 4 SACHIKO ARAKI LIRA 9

134 médas. Cosderado os operáros e 3, tem-se: F3;4;0, 0 5 5,56 Cosderado os operáros e, tem-se: 4 Substtudo os valores a expressão do teste de Scheffé: 0,07 3 5,56 0, X As médas dos operáros e são: X 8, e X 8, 4, portato a dfereça é X 0,. Tem-se que X 0, 0,36, logo ão há dfereça etre as duas X 5 3 0,07 3 5,56 0, Cosderado os operáros e 4, tem-se: 5 6 0,07 3 5,56 0,3 5 6 Cosderado os operáros e 3, tem-se: 4 3 0,07 3 5,56 0,4 4 3 Cosderado os operáros e 4, tem-se: 4 6 0,07 3 5,56 0, Cosderado os operáros 3 e 4, tem-se: 3 30 ANÁLISE DA VARIÂNCIA

135 6 0,07 3 5,56 0, Assm, tem-se: OPERADORES X X m CONCLUSÃO e 0,0 0,36 Não dferem e 3 0,60 0,39 dferem e 4 0,0 0,3 Não dferem e 3 0,40 0,4 Não dferem e 4 0,0 0,34 Não dferem 3 e 4 0,50 0,38 dferem O tempo médo gasto para a execução do operador úmero 3 dfere do tempo médo do operador e 4, ao ível de % de sgfcâca. LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 8 ANÁLISE DA VARIÂNCIA. Uma empresa deseja adqurr certa máqua e verfcou que exstem o mercado três marcas dferetes: A, B, e C que satsfazem. Decdu-se que será comprada a máqua que apresetar melhor redmeto. Fo realzado um esao com as três máquas em períodos guas durate 5 das e as produções resultates foram: A B C Perguta-se: com relação ao redmeto, exste dfereça sgfcatva etre as máquas ao ível de % de sgfcâca? Aplcar o teste de Scheffé e coclur qual a máqua a ser adqurda.. Foram testados três tpos de lâmpadas elétrcas e os tempos de vda (em horas) obtdos foram: lâmpada A: lâmpada B: lâmpada C: Exste dfereça sgfcatva etre os tempos médos de vda dessas três marcas de lâmpadas, ao ível de sgfcâca de %? Se ecessáro, aplcar o teste de Scheffé. 3. Três máquas produzem parafusos. Ecotram-se a segur, os dâmetros correspodetes a uma amostra de 4 parafusos produzdos em cada máqua. SACHIKO ARAKI LIRA 3

136 MÁQUINAS A B C Testar se os dâmetros médos são guas a um ível de sgfcâca de 5%. 4) Pesqusadores vestgaram três métodos dferetes de preparar o composto supercodutor PbMo 6S 8. Eles afrmam que a preseça de oxgêo durate o processo de preparação afeta a temperatura de trasção, T c, da supercodução do materal. Os métodos de preparação e usam téccas que são plaejadas para elmar a preseça de oxgêo, equato o método 3 permte a preseça de oxgêo. Cco observações de T (em K) foram fetas para cada materal, sedo os resultados apresetados a segur. MÉTODO DE TEMPERATURA DE TRANSIÇÃO T c (K) PREPARAÇÃO 4,8 4,8 4,7 4,8 4,9 4,6 5,0 4,9 4,8 4,7 3 4, 4,4 4,4,,7 Há qualquer evdêca que cofrme a afrmação de que a preseça de oxgêo durate a preparação afete a temperatura méda de trasção? Usar 0, 05. 5) A resstêca de cotato de um relé fo estudada para três materas dferetes (todos eram lgas, tedo prata como base). Os dados ecotram-se a segur. c LIGA RESISTÊNCIA DE CONTATO O tpo de lga afeta a resstêca méda de cotato? Usar 0, 0. 3 ANÁLISE DA VARIÂNCIA

137 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃ0 SIMPLES 0. INTRODUÇÃO A aálse de correlação mede o grau de assocação etre varáves, e pode ser: Correlação smples: mede a força ou grau de assocação etre duas varáves; Correlação múltpla: mede a força ou grau de assocação etre uma varável e um cojuto de outras varáves. A aálse de regressão estuda o relacoameto etre uma varável chamada depedete e outras varáves chamadas varáves depedetes. Este relacoameto é represetado por um modelo matemátco, sto é, por uma equação que assoca a varável depedete com as varáves depedetes. Modelo de regressão lear smples: defe uma relação lear etre a varável depedete e uma varável depedete; Modelo de regressão lear múltpla: defe uma relação lear etre a varável depedete e duas ou mas varáves depedetes. 0. DIAGRAMA DE DISPERSÃO O dagrama de dspersão é uma represetação gráfca da relação etre duas ou mas varáves. No dagrama de dspersão etre duas varáves, X e Y, cada poto o gráfco é um par x, y ). ( GRÁFICO 5 - DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁ- VEIS X E Y DIAGRAMA DE DISPERSÃO Y X A vsualzação do dagrama de dspersão possblta ter uma boa dea de como as duas varáves se correlacoam. SACHIKO ARAKI LIRA 33

138 0.3 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO 0.3. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON Dferetes formas de correlação podem exstr etre as varáves. O caso mas smples e mas cohecdo é a correlação lear smples, evolvedo duas varáves, X e Y. Este coefcete mostra o grau de relacoameto etre as varáves, forecedo um úmero, dcado como as varáves varam cojutamete. Não há a ecessdade de defr as relações de causa e efeto, ou seja, qual é a varável depedete e a depedete. Quado para maores valores de X, exste uma tedêca de obter maores valores de Y, dz-se que exste correlação lear postva, coforme o gráfco 5, apresetado aterormete. Etretato, pode ocorrer o verso, ou seja, para maores valores de X, exstr uma tedêca de obter meores valores de Y, dz-se este caso, que exste correlação lear egatva, coforme o gráfco 6. Obvamete, exstem mutos casos em que as varáves ão são correlacoadas learmete, sto é, a correlação lear é ula, como apresetado o gráfco 7. GRÁFICO 6 DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁ- VEIS X E Y DIAGRAMA DE DISPERSÃO Y GRÁFICO 7 DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁ- VEIS X E Y DIAGRAMA DE DISPERSÃO Y X X O coefcete de correlação amostral é obtdo através da expressão: r X X Y Y X X Y Y A terpretação do coefcete quado r é de que exste correlação lear perfeta etre as varáves X e Y. A correlação é lear perfeta postva quado r e lear perfeta egatva quado r. Quado se tem r 0, ão exste correlação lear etre as varáves X e Y. O coefcete de correlação pode ser avalado qualtatvamete de acordo com os crtéros abaxo: 34 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

139 se 0 r 0, 30 exste fraca correlação lear; se 0,30 r 0, 60 exste moderada correlação lear; se 0,60 r 0, 90 exste forte correlação lear; se 0,90 r, 00 exste correlação lear muto forte. Exemplo de aplcação: Seja o processo de recobrmeto de uma determada peça com metal. O recobrmeto é feto com metal fuddo. X= quatdade utlzada de metal fuddo (em gramas); Y = porcetagem de recobrmeto obtda (%). TABELA QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO UTI- ZADA E PORCENTAGEM DE RECOBRI- MENTO OBTIDA OBSERVAÇÃO x y 6,0 0 4, , , , , ,5 45 8,0 50 9,0 60 0,0 65 O dagrama de dspersão é apresetado abaxo: GRÁFICO 8 DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁVEIS QUANTI- DADE DE METAL FUNDIDO E PORCENTAGEM DE RECOBRI- MENTO Porcetagem de recobrmeto (%) 80 DIAGRAMA DE DISPERSÃO Quatdade de metal A vsualzação do dagrama de dspersão possblta ter uma boa déa de como as duas varáves se relacoam, ou seja, qual a tedêca de varação cojuta que apresetam. O gráfco sugere a exstêca de uma relação lear etre as duas varáves. Assm, calcular-se-á o coefcete de correlação lear de Pearso. SACHIKO ARAKI LIRA 35

140 OBS. x y ( x X ) ( y Y ) ( x X )(y Y ) ( x X ) ( y Y ) 6 0 -,45-5 6,5 6, ,45-5,5 9, , ,75 6, ,45-5 6,75 0, ,5 30-0,95-5 4,75 0, ,5 40 0,05 5 0,5 0, ,5 45,05 0 0,50, , ,5 6, , ,75, , ,50, , ,00 65, MÉDIA 8,45 35 Tem-se que: ˆ r X, Y X Y X Y X X Y Y Substtudo os valores a expressão acma tem-se: ˆ r X, Y 65, ,9560 Sedo o r 0, 9560, coclu-se que exste correlação lear muto forte TESTE DE HIPÓTESES PARA COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO O coefcete de correlação lear r, é uma estmatva da correlação populacoal ρ, obtda com base em uma amostra de tamaho. O tamaho da amostra exerce papel fudametal a estmatva, desta forma, tora-se ecessáro testar a hpótese de que realmete exste correlação lear etre as varáves estudadas. Assm, as hpóteses a serem testadas são: H 0 H : 0 ( a correlação populacoal é gual a zero) : 0 ( a correlação populacoal é dferete de zero) A estatístca para testar a hpótese : 0 cotra H : 0, tem dstrbução t com - graus de lberdade, ou seja: H 0 r t ~ r t. 36 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

141 Exemplo de aplcação: Seja o exemplo do processo de recobrmeto de uma determada peça com metal. Tem-se que o coefcete de correlação estmado é r 0,9560. Testar a hpótese de que a correlação populacoal é dferete de zero, utlzado ível de sgfcâca de 5%. As hpóteses são: H 0 H : 0 ( a correlação populacoal é gual a zero) : 0 ( a correlação populacoal é dferete de zero) A estatístca t é: r t r 0, ,9560 9, O valor de t tabelado para ível de sgfcâca e 5% e 8 graus de lberdade é,3, portato, rejeta-se a hpótese : 0. H ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Aálse de regressão lear smples é uma técca de modelagem utlzada para aalsar a relação etre uma varável depedete (Y) e uma varável depedete X. O objetvo dessa técca é detfcar uma fução que descreve, o mas próxmo possível, a relação etre essas varáves e assm poder predzer o valor que a varável depedete (Y) rá assumr para um determado valor da varável depedete X. O modelo de regressão poderá ser expresso como: Y X Um valor de Y é formado pelo compoete fucoal ou regressão ( X), que represeta a fluêca da varável depedete X sobre o valor de Y e o compoete aleatóro ( ), que represeta a fluêca de outros fatores, bem como os erros de meddas da varável Y. reta ajustada. Apreseta-se a segur, um gráfco, ode estão represetados os potos observados e a GRÁFICO 9 DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE X E Y E A RETA ESTIMADA Y X SACHIKO ARAKI LIRA 37

142 Verfca-se o gráfco que em todos os potos tocam a reta, e essa dfereça é o erro (), mas supõe-se que em méda esses erros tedem a se aular, ou seja: E( ) 0 Ao estabelecer o modelo de regressão lear smples, deve-se pressupor que: ) os erros ( ) têm dstrbução ormal; ) os erros ( ) são depedetes; 3) é uma varável aleatóra com méda gual a zero, sto é, E( ) 0 ; 4) A varâca de é gual a para todos os valores de X ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS Uma vez escolhdo o modelo de regressão, deve-se estmar os seus parâmetros, este caso, os coefcetes da equação da reta, e. Isso pode ser feto a partr da aplcação do Método dos Mímos Quadrados. Neste método, a soma dos erros quadrátcos (sto é, a soma dos quadrados da dstâca vertcal etre as observações e a reta ajustada) é míma. Os parâmetros e são estmados através dos dados amostras e a reta estmada será da forma: Ŷ a bx Seja e a dstâca da reta ajustada aos potos amostras, o método dos mímos quadrados mmza a soma de e, ou seja: e (y ŷ ) (y a bx ) Dervado a expressão acma em relação a a e gualado a zero, tem-se: a (y a bx ) y a b x Dervado a expressão acma em relação a b e gualado a zero, tem-se: b (y a bx ) x y a 0 x b x Obtém-se assm o sstema de duas equações: y a b x x y a x b x A solução aalítca do sstema de equações forece os valores de " a" e " b", como apresetados a segur. 0 a Y bx 38 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

143 b (x X) y (x X) Exemplos de aplcação: ) Seja o processo de recobrmeto de uma determada peça com metal. O recobrmeto é feto com metal fuddo. X= quatdade utlzada de metal fuddo (em gramas); Y = porcetagem de recobrmeto obtda (%). QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO UTILIZADA E PORCENTAGEM DE RECOBRIMENTO OBTIDA OBSERVAÇÃO x y 6,0 0 4, , , , , ,5 45 8,0 50 9,0 60 0,0 65 Ajustar um modelo de regressão lear smples aos dados: Solução: Tem-se etão que: OBS. x y ( x X ) ( x X ) ( x X ) y 6 0 -,45 6,00-4, ,45 9,80-44, ,45 6,00-49, ,45 0,0-9,00 5 7,5 30-0,95 0,90-8,50 6 8,5 40 0,05 0,00,00 7 9,5 45,05,0 47,5 8 50,55 6,50 7, ,55,60 3, ,55,60 30,75 Total 84, ,75 465,00 Méda 8,45 35 X 8,45 Y 35 SACHIKO ARAKI LIRA 39

144 ( x X ) 65,75 ( x X ) y 465,00 (x X) y 465,00 Logo, b 7, ,75 (x X) a Y bx 35 7,0749 8,45 4,783 A equação de regressão lear será: Ŷ 4,783 7,0749 X Tem-se etão que: OBS. x y ŷ 6 0 7, , , ,8 5 7,5 30 8,3 6 8, ,4 7 9,5 45 4, , , , O gráfco a segur, apreseta o dagrama de dspersão e a fução lear ajustada. DIAGRAMA DE DISPERSÃO E FUNÇÃO LINEAR AJUSTADA Recobrmeto (%) Quatdade de metal fuddo 40 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

145 0.4. TESTES DE HIPÓTESES NA REGRESSÃO Uma etapa mportate da verfcação da adequação de um modelo de regressão lear é a realzação de um teste estatístco de hpóteses em relação aos parâmetros do modelo TESTE t Lembrado que o modelo é Y X, deve-se testar as hpóteses: H 0 H : 0 : 0 A estatístca do teste é dada por: t : b S S XX, que segue dstrbução t com - graus de lberdade. S S Tem-se que: YY bs XY, que é a estmatva de Ode: S XX (x X) S YY (y Y) S XY x y xy A coclusão do teste será: Se t t t, aceta-se H 0 e coclu-se que ão exste regressão e se t t, rejeta-se H 0 e coclu-se que exste regressão ANÁLISE DA VARIÂNCIA A aálse da varâca, cohecda como ANOVA, é um teste que permte verfcar a exstêca da regressão, ou seja, se exste relação etre a varável depedete e depedete, através do comportameto das varações totas, explcadas e resduas. Este teste é resumdo o quadro da ANOVA. SACHIKO ARAKI LIRA 4

146 GRÁFICO 0 DESVIOS TOTAL, EXPLICADO E RESIDUAL y Ŷ a bx Y ( y Y) ( Y ŷ ) ( y ŷ ) A estatístca utlzada para o teste é a varável aleatóra com dstrbução F de Sedecor, com m graus de lberdade o umerador e graus de lberdade o deomador. As hpóteses são: H 0 : A regressão lear de Y sobre X ão é sgfcatva H : A regressão lear de Y sobre X é sgfcatva As varações ou somas dos quadrados são obtdos através de : X SQT Soma SQE Soma de quadrados totas ( y Y ) de quadrados exp lcados b S XY XY ode: S ( x X )( y Y ) SQR Soma de quadrados resduas S b YY S XY ode: SYY ( y Y ) Tem-se que: SQT SQE SQR. Para a ANOVA, faz-se ecessára elaborar a tabela abaxo: FONTE DE VARIAÇÃO SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO F Explcada SQE b S XY QME b S XY Resdual SQR SYY b S XY S b S QMR YY XY QME F QMR Total SQT S YY Se Fcalculado F;, (tabelado), rejeta-se H 0 e coclu-se que a regressão de Y sobre X é sgfcatva. 4 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

147 Exemplo de aplcação: ) Testar o modelo ajustado o exemplo, através do teste t e da aálse da varâca. Usar 5%. Solução: Para obter as somas dos quadrados faz-se ecessáro os segutes cálculos: OBS. x y x y ( x X ) ( y Y ) ( x X ) ( y Y ) ( x X )(y Y) ,0 -,45-5 6,0 65 6, ,0-4,45-5 9,8 65, ,0 -,45-5 6,0 5 36, ,0-0,45-5 0, 5 6,75 5 7,5 30 5,0-0,95-5 0,9 5 4,75 6 8, ,0 0,05 5 0,0 5 0,5 7 9, ,5,05 0, 00 0, ,0,55 5 6,5 5 38, ,0 3,55 5, , ,0 3,55 30, ,5 Total 84, ,5 65, ,00 a) Teste t H 0 H : 0 : 0 Tem-se que: S S YY bs 6 XY , ,7656 Calculado calmete: S XX (x X) 65,70 S YY (y Y) x y 84,5 350 S XY xy 3.4, A estatístca do teste é dada por: t b S S XX 7, , ,70 9,, que segue dstrbução t com - graus de lberdade. SACHIKO ARAKI LIRA 43

148 Tem-se que t0,05 / ;8, 3, logo, rejeta-se H 0 e coclu-se que 0. b) ANOVA SQT S YY ( y Y ) SQE b, S XY XY b 7,0749 (já calculado) sedo que S ( x X )( y Y ) 465 Assm, tem-se que: SQE b 7, ,885 S XY SQR S YY b S XY SQR SYY b S XY ,885 30,75 QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA FONTE DE VARIAÇÃO SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO F Explcada SQE 3.89, 885 QME 3.89, 885 Resdual SQR 30, 75 8 Total SQT 3.600, ,75 QMR 38,774 8 F 84,85 Tem-se que F0,05;, 8 5, 3, logo, coclu-se que a regressão de Y sobre X é sgfcatva, para ível de 5% de sgfcâca COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO Um outro dcador utlzado costatemete é o coefcete de determação, R, que dca quatos por ceto a varação explcada pela regressão represeta da varação total. Este vara etre 0 e. Quato mas próxmo de, maor é a explcação pelo modelo das varação total. A expressão de R é dada por: R SQE SQT SQE R SQT Para o exemplo, tem-se que: 3.89,89 0, ,000 O modelo ajustado explca 9,38% das varações ocorrdas a varável depedete Y. 44 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

149 ) Fo realzada uma experêca relacoado os alogametos de uma mola (cm) com as cargas aplcadas (kg). Os resultados obtdos foram: Carga (kg) Alogameto (cm) 4,0 4,8 5,6 6,7 7,9 9,0 9,8,0 Ajustar um modelo de regressão lear smples aos dados, testar a hpótese da sgfcâca da regressão e calcular o coefcete de determação. Solução: a) Ajuste do modelo de regressão lear smples Tem-se que a varável depedete Y é o alogameto da mola e a depedete X, a carga, Assm, para obter os coefcetes a e b, serão ecessáros os segutes cálculos: X-> carga Y-> alogameto OBS. x y ( x X ) ( x X ) ( x X ) y 3 4,0-3,5,5-4,00 4 4,8 -,5 6,5 -, ,6 -,5,5-8, ,7-0,5 0,5-3, ,9 0,5 0,5 3, ,0,5,5 3, ,8,5 6,5 4,50 8 0,0 3,5,5 38,50 Total 5 58,8 0 4,00 4,70 Méda 6,5 7,35 X 6,5 Y 7,35 ( x X ) 5 Tem-se etão que: ( x X ) y 4,70 (x X) y 4,70 Logo, b, (x X) a Y bx 7,35,0667 6,5 A equação de regressão lear será: Ŷ 0,745,067 X 0,746 Tem-se que: SACHIKO ARAKI LIRA 45

150 OBS. x y ŷ 3 4,0 3,8 4 4,8 4, ,6 5, ,7 6, ,9 7, ,0 8, ,8 9,9 8 0,0 0,9 O gráfco a segur, apreseta o dagrama de dspersão e a fução lear ajustada. DIAGRAMA DE DISPERSÃO E FUNÇÃO LINEAR AJUSTADA Alogameto Carga b) Teste da sgfcâca da regressão Para obter as somas dos quadrados faz-se ecessáro os segutes cálculos: OBS. x y ( x X ) ( y Y ) ( x X ) ( y Y ) ( x X )(y Y) 3 4,0-3,5-3,35,5,5,75 4 4,8 -,5 -,55 6,5 6,505 6, ,6 -,5 -,75,5 3,065, ,7-0,5-0,65 0,5 0,45 0, ,9 0,5 0,55 0,5 0,305 0, ,0,5,65,5,75, ,8,5,45 6,5 6,005 6,5 8 0,0 3,5 3,65,5 3,35,775 Total 5 58,8 4,00 43,56 4,70 Méda 6,5 7,35 46 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

151 SQT SYY ( y Y ) 43,56 SQE b, S XY XY,0667 sedo que S ( x X )( y Y ) 4, 70 b (já calculado) Assm, tem-se que: SQE b,0667 4,70 43,47 S XY SQR S YY b S XY SQR SYY b SXY 43, ,47 0,483 QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA FONTE DE VARIAÇÃO SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO F Explcada SQE 43, 47 QME 43,47 Resdual SQR 0,483 6 Total SQT 43, QMR 0,047 F 757,56 Tem-se que F0,05;, 6 5, 99, logo, coclu-se que a regressão de Y sobre X é sgfcatva, para ível de 5% de sgfcâca. c) Coefcete de determação R SQE SQT SQE R SQT Para o exemplo, tem-se que: 43,47 0, ,5600 O modelo ajustado explca 99,66% das varações ocorrdas a varável depedete Y. 0.5 AJUSTE DE CURVA GEOMÉTRICA (OU FUNÇÃO POTÊNCIA) Apreseta-se, a segur, como se ajusta uma fução potêca, a um cojuto de potos ( x,y ). A fução potêca é dada pela expressão a segur: Y X Grafcamete, tem-se: SACHIKO ARAKI LIRA 47

152 Y FUNÇÃO POTÊNCIA X 0.5. ESTIMATIVA DOS COEFICIENTES O modelo estmado será dado por: ˆ Ŷ ˆ X Para ajustar uma curva geométrca ˆ X Ŷ ˆ, a um cojuto de potos x,y ), pode-se fazer através da segute trasformação, cosderado Y 0 e X 0 : ode: Ẑ l Ŷ  l ˆ T l X l Ŷ Ẑ  l ˆ ˆ l X, que poderá ser escrta da segute forma: ˆ T ( Os parâmetros A e são estmados através dos dados amostras e a reta estmada será da forma: Ẑ  ˆ T Os valores de  e ˆ serão obtdos a partr das equações apresetadas a segur.  Z ˆ ˆ T (t T) z (t T) Para obter a estmatva do modelo a sua forma orgal, faz-se a trasformação versa dos coefcetes  e Bˆ. Tem-se etão que:  l ˆ, logo,  ˆ e 48 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

153 E a fução potêca estmada será: ˆ Ŷ ˆ X 0.5. TESTES DE HIPÓTESES NA REGRESSÃO ANÁLISE DA VARIÂNCIA A estatístca utlzada para o teste é a varável aleatóra com dstrbução F de Sedecor, com m graus de lberdade o umerador e graus de lberdade o deomador. As hpóteses são: H 0 : A regressão de Y sobre X ão é sgfcatva H : A regressão de Y sobre X é sgfcatva As varações ou somas dos quadrados são obtdos através de : SQT ( z Z SQE ˆ S TZ ) ode: S ( t T )(z Z ) TZ SQR S ZZ ˆ S TZ ode: SZZ ( z Z ) Tem-se que: SQT SQE SQR. Para a ANOVA, faz-se ecessára elaborar a tabela abaxo: FONTE DE VARIAÇÃO SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO F Explcada Resdual Total ˆ SQE STZ QME STZ ˆ SQR S ZZ STZ ZZ QMR SQT SZZ S ˆ ˆ S TZ QME F QMR Se Fcalculado F;, (tabelado), rejeta-se H 0 e coclu-se que a regressão de Y sobre X é sgfcatva COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO SACHIKO ARAKI LIRA 49

154 O coefcete de determação, R, que dca quatos por ceto a varação explcada pela regressão represeta da varação total. Este vara etre 0 e. Quato mas próxmo de, maor é a explcação pelo modelo das varação total. A expressão de R é dada por: SQE R SQT Exemplo: Os dados apresetados, a segur, represetam o desempeho (meddo em km percorrdos por ltro de gasola) dos carros em estrada e o deslocameto do pstão o motor, para uma amostra de 8 carros. 3 Sejam as varáves: X= deslocameto do pstão (m ) por ltro de gasola. e Y= km percorrdos em estrada CARROS X Y 5 3, 0 3, , 4 6,9 5 6, , 7 6 3, 8 348, a) costrur o dagrama de dspersão; b) Ajustar uma fução geométrca aos dados; c) testar a exstêca de regressão; d) calcular o coefcete de determação. Solução: a) Dagrama de dspersão Km/ltro de DIAGRAMA DE DISPERSÃO gasola 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0,5,0,5,0 0,5 0, Deslocameto do pstão Fazedo as trasformações de varáves ecessáras, tem-se: 50 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

155 CARROS x y z l(y) t l(x) t T) ( ( t T ( t T) z ) 5 3,,580 5,3706-0,9 0,04-0, ,7,674 5,3033-0,865 0,0348-0, ,,646 5,78-0,6 0,0448-0, ,9,557 5,405-0,069 0,0048-0, ,3,5096 5,405-0,069 0,0048-0, ,,4069 5,85 0,364 0,34 0, ,,576 5,405-0,069 0,0048-0, ,,459 5,85 0,364 0,34 0,8756 SOMA 0,3709-0,36 MÉDIA 48,5,5383 5,4898 a) Cálculo das estmatvas dos parâmetros ˆ (t T) z (t T) - 0,36-0,3674 0,3709 Â Z ˆ T,5383 ( 0,3674) 5,4898 4,5550 O modelo ajustado é: Ẑ Â ˆ T 4,5550 0,3674 T Mas tem-se que: Â Â l ˆ, logo, ˆ e 4,5550 e 95,068 O modelo ajustado a forma potecal será: ˆ Ŷ ˆ X 95,068 X 0,3674 O gráfco a segur apreseta o dagrama de dspersão e a fução potecal ajustada. DIAGRAMA DE DISPERSÃO E CURVA POTENCIAL AJUSTADA Km/ltro de gasola 4,5 4,0 3,5 3,0,5,0,5,0 0,5 0, Deslocameto do pstão b) Utlzado a ANOVA para testar a sgfcâca da regressão: SACHIKO ARAKI LIRA 5

156 CARROS x y z l(y) t l(x) ( z Z ) ( z Z ) ( t T) t T)(z Z ) ( 5 3,,580 5,3706 0,040 0,008-0,9-0, ,7,674 5,3033 0,079 0,0063-0,865-0, ,,646 5,78 0,079 0,06-0,6-0,08 4 6,9,557 5,405 0,090 0,0004-0,069-0, ,3,5096 5,405-0,087 0,0008-0,069 0, ,,4069 5,85-0,33 0,07 0,364-0, ,,576 5,405 0,0344 0,00-0,069-0, ,,459 5,85-0,3 0,050 0,364-0,0443 SOMA 0,0543-0,36 MÉDIA 48,5,5383 5,4898 As varações ou somas dos quadrados são obtdos através de: SQT ( z Z ) 0,0543 SQE ˆ S TZ ode: STZ ( t T )(z Z ) -0,36 SQE ˆ STZ 0,3674 ( 0,36) 0,0500 SQR SQT SQE 0,0543 0,0500 0,0043 FONTE DE VARIAÇÃO SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO F Devdo à regressão 0, , 0500 Resduo 0, ,0007 Total 0, ,38 Tem-se que F0,05;; 6 5, 99. Como F 70,38 F0,05;; 6 5,99, coclu-se que a regressão de Y sobre X é sgfcatva, ao ível de 5% de sgfcâca. Falmete, para aalsar o grau de explcação do modelo, calcular-se-á o coefcete de determação. R SQE SQT 0,0500 0,94 0,0543 O modelo ajustado explca 9,4% das varações ocorrdas a varável Y. 0.6 AJUSTE DE FUNÇÃO EXPONENCIAL potos x,y ) Apreseta-se, a segur, o ajuste de uma fução expoecal (. Y X, a um cojuto de Grafcamete, tem-se: 5 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

157 FUNÇÃO EXPONENCIAL Y X 0.6. ESTIMATIVA DOS COEFICIENTES O modelo estmado é: Ŷ ˆ ˆ X Fazedo a trasformação logarítmca: l Ŷ l ˆ Ẑ  Bˆ X ode: Ẑ l Ŷ  l ˆ Bˆ l ˆ Xl ˆ, que poderá ser escrta como sedo: Assm, reduz-se ao problema de ajuste de uma reta aos potos ( x,z ), ode z l y. Os parâmetros A e B são estmados através dos dados amostras e a reta estmada será da forma: Ẑ  Bˆ X Os valores de  e Bˆ serão obtdos a partr das equações apresetadas a segur.  Z Bˆ X (x X) z Bˆ (x X) Para obter a estmatva do modelo a sua forma orgal, faz-se a trasformação versa dos coefcetes  e Bˆ. Tem-se etão que:  l ˆ, logo,  ˆ e Bˆ l ˆ Bˆ, logo, ˆ e E o modelo expoecal estmado será: Ŷ ˆ ˆ X SACHIKO ARAKI LIRA 53

158 0.6. TESTES DE HIPÓTESES NA REGRESSÃO ANÁLISE DA VARIÂNCIA A estatístca utlzada para o teste é a varável aleatóra com dstrbução F de Sedecor, com grau de lberdade o umerador e - graus de lberdade o deomador. As hpóteses são: H 0 : A regressão de Y sobre X ão é sgfcatva H : A regressão de Y sobre X é sgfcatva As varações ou somas dos quadrados são obtdos através de : SQT Soma de quadrados totas ( z Z ) SQE Soma de quadrados exp lcados Bˆ ode: S ( x X )(z Z ) XZ S XZ SQR Soma de quadrados resduas SZZ Bˆ S XZ ode: SZZ ( z Z ) Tem-se que: SQT SQE SQR. Para a ANOVA, faz-se ecessára elaborar a tabela abaxo: FONTE DE VARIAÇÃO Explcada Resdual Total SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO F SQE Bˆ SXZ QME Bˆ SXZ S SQR SZZ Bˆ S ZZ Bˆ S XZ XZ QMR SQT SZZ QME F QMR Se Fcalculado F;, (tabelado ), rejeta-se H 0 e coclu-se que a regressão de Y sobre X é sgfcatva COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO O coefcete de determação, R, que dca quatos por ceto a varação explcada pela regressão represeta da varação total. Este vara etre 0 e. Quato mas próxmo de, maor é a explcação pelo modelo da varação total. A expressão de R é dada por: SQE R SQT 54 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

159 Exemplo: ) Seja o processo de recobrmeto de uma determada peça com metal. O recobrmeto é feto com metal fuddo. X= quatdade utlzada de metal fuddo (em gramas); Y = porcetagem de recobrmeto obtda (%). QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO UTILIZADA E PORCENTAGEM DE RECOBRIMENTO OBTIDA OBSERVAÇÃO a) ajustar uma fução expoecal aos dados; x y 6,0 0 4, , , , , ,5 45 8,0 50 9,0 60 0,0 65 b) testar a exstêca de regressão utlzado ível de sgfcâca de 5%; c) calcular o coefcete de determação. Solução: a) ajuste da fução expoecal OBS. x y z l( y ) ( x X) X) ( x ( x X ) z 6,0 0,306 -,45 6,00-5,643 4,0 0,306-4,45 9,80-0, ,0 0,9957 -,45 6,00-7, ,0 0,9957-0,45 0,0 -, ,5 30 3,40-0,95 0,90-3,3 6 8,5 40 3,6889 0,05 0,00 0, ,5 45 3,8067,05,0 3,9970 8,0 50 3,90,55 6,50 9,9757 9,0 60 4,0943 3,55,60 4,5349 0,0 65 4,744 3,55,60 4,89 SOMA 84, ,73 5,7045 MÉDIA 8, ,3674 a.) Cálculo do coefcete Bˆ : (x X) z 5,7045 Bˆ 0,389 (x X) 65,73 a.) Cálculo do coefcete  SACHIKO ARAKI LIRA 55

160  Z Bˆ X 3,3674 (0,389 8,45),3487 Assm, o modelo ajustado a forma lear será: Ẑ  Bˆ X,3487 0,389 X Mas tem-se que:  l ˆ, logo, ˆ e  e,3487 3, 854 Bˆ lˆ, logo, Bˆ ˆ e 0,389 e, 699 a.3) O modelo ajustado a forma expoecal é: Ŷ ˆˆ X 3,854,699 X Assm, tem-se que: OBS. x y ŷ 6,0 0 6,6 4,0 0 0,0 3 6,0 0 6,6 4 8,0 0 6,05 5 7,5 30 3, 6 8,5 40 9,36 7 9, ,9 8, ,36 9, ,76 0, ,76 O gráfco a segur apreseta o dagrama de dspersão e a fução expoecal ajustada: DIAGRAMA DE DISPERSÃO E FUNÇÃO EXPONENCIAL Recobrmeto AJUSTADA (%) Quatdade de metal fuddo b) Teste para verfcar a sgfcâca da regressão 56 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

161 OBS. x y z l( y ) ( x X ) ( z Z ) ( z Z) ( x X )(z Z ) 6,0 0,306 -,45 -,0648,338,6088 4,0 0,306-4,45 -,0648,338 4, ,0 0,9957 -,45-0,377 0,38 0, ,0 0,9957-0,45-0,377 0,38 0, ,5 30 3,40-0,95 0,0338 0,00-0,03 6 8,5 40 3,6889 0,05 0,35 0,033 0,06 7 9,5 45 3,8067,05 0,4393 0,930 0,46 8,0 50 3,90,55 0,5446 0,966,3888 9,0 60 4,0943 3,55 0,769 0,584,5807 0,0 65 4,744 3,55 0,8070 0,65,8648 SOMA 84, ,377 5,7045 MÉDIA 8, ,3674 Calculado-se a soma dos quadrados tem-se: SQT ( z Z ) 4,377 SQE Bˆ S XZ ode: S ( x X )(z Z ) 5, 7045 XZ SQE BˆS XZ 0,389 5,7045 3,755 SQR SQT SQR 4,377 3,755 0,565 Quadro da ANOVA FONTE DE SOMA DE GRAUS DE QUADRADO VARIAÇÃO QUADRADOS LIBERDADE MÉDIO Explcada 3,755 3,755 Resdual 0, ,0706 Total 4,377 9 F 53, Tem-se que F0,05;; 8 5, 3. Como F 53, F0,05 ;; 8 5, 3, coclu-se que a regressão de Y sobre X é sgfcatva, ao ível de 5% de sgfcâca. c) Cálculo do coefcete de determação Falmete, para aalsar o grau de explcação do modelo, calcular-se-á o coefcete de determação. R SQE SQT 3,755 0,869 4,377 O modelo ajustado explca 86,9% das varações ocorrdas a varável Y. SACHIKO ARAKI LIRA 57

162 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 9 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO. A segur relacoa os pesos (em ceteas de kg) e as taxas de redmeto de combustível em rodova (km/ltro), uma amostra de 0 carros de passeo ovos. Pede-se: Peso Redmeto a) Calcular o coefcete lear de Pearso e testar a sgfcâca ao ível de 5%. b) Ajustar a fução lear e testar a exstêca de regressão, adotado 0, 05. Qual é o coefcete de explcação da fução lear? c) Ajustar a fução potecal e testar a exstêca de regressão, adotado 0, 05. Qual é o coefcete de explcação da fução potecal? d) Ajustar a fução expoecal e testar a exstêca de regressão, adotado 0, 05. Qual é o coefcete de explcação da fução expoecal? e) Qual das três fuções ajustadas é a melhor? Comete? ) Um estudo fo desevolvdo para verfcar o quato o comprmeto de um cabo da porta seral de mcrocomputadores flueca a qualdade da trasmssão de dados, medda através do úmero de falhas em lotes de dados trasmtdos (taxa de falha). Os resultados foram: Comp. do Cabo (m) Taxa de Falha ,, 3,0,9 4, 4,5 6, 5,9 9,8 Pede-se: Comp. do Cabo (m) Taxa de Falha ,7,5 3, 9,3 7,4 8, a) Calcular o coefcete lear de Pearso e testar a sgfcâca ao ível de 5%. b) Ajustar a fução lear e testar a exstêca de regressão, adotado 0, 05. Qual é o coefcete de explcação da fução lear? c) Ajustar a fução potecal e testar a exstêca de regressão, adotado 0, 05. Qual é o coefcete de explcação da fução potecal? d) Ajustar a fução expoecal e testar a exstêca de regressão, adotado 0, 05. Qual é o coefcete de explcação da fução expoecal? e) Qual das três fuções ajustadas é a melhor? Comete. 3) No processo de quema de massa cerâmca, avalou-se o efeto da temperatura do foro (X) sobre a resstêca mecâca da massa quemada (Y). Foram realzados 6 esaos com íves de temperatura equdstates, os quas desgaremos por,, 3, 4, 5 e 6. Os valores obtdos de resstêca mecâca (MPa) foram: 4, 4, 50, 53, 54, 60, respectvamete. Pede-se: 58 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

163 a) Ajustar a fução lear e testar a exstêca de regressão, adotado 0, 05. Qual é o coefcete de explcação da fução lear? b) Ajustar a fução potecal e testar a exstêca de regressão, adotado 0, 05. Qual é o coefcete de explcação da fução potecal? c) Ajustar a fução expoecal e testar a exstêca de regressão, adotado 0, 05. Qual é o coefcete de explcação da fução expoecal? d) Qual das três fuções ajustadas é a melhor? Comete. SACHIKO ARAKI LIRA 59

164 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 60 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA INTRODUÇÃO O modelo estatístco de uma regressão lear múltpla, sedo Y a varável depedete e, as k ( k ) varáves depedetes k X, X, X, será dado por: k k 0 X X X Y Na forma matrcal: X Y k 0 k k k X... X X X... X X X... X X Y Y Y A estmatva dessa equação de regressão será dada pelo modelo a segur: k k X b X b X b b Ŷ 0 As estmatvas k 0 b,, b, b, b dos coefcetes k,,,,, podem ser calculadas pelo método dos mímos quadrados, partdo de hpóteses aálogas àquelas adotadas para regressão lear smples. Adotado-se a forma matrcal, as estmatvas dos coefcetes, são obtdas através de: Y X (X X) b Ode: k 0 b b b b ; Y Y Y Y ; k k k X... X X X... X X X... X X X. REGRESSÃO LINEAR COM VARIÁVEIS INDEPENDENTES O modelo de regressão com varáves depedetes é dado por: 0 X X Y A estmatva dessa equação é expressa por:

165 Ŷ b0 b X bx.. ESTIMATIVAS DOS COEFICIENTES DE REGRESSÃO As estmatvas dos coefcetes o, e podem ser obtdas através de: b (XX) X Y Ode: b0 b b ; b Y Y Y Y ; X X X X X X X.. TESTE PARA VERIFICAR A SIGNIFICÂNCIA DA REGRESSÃO O teste para verfcar a sgfcâca da regressão é feto através da estatístca F, utlzado o quadro da ANOVA. FONTE DE VARIAÇÃO SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO F Explcada SQE bs YX bsyx Resdual SQR SYY bs YX bsyx 3 SQE QME SQR QMR QME F QMR Total SQT SYY ode: S S S YX YX YY y (y x (y x y y x ), sedo a varâca de Y. y x ), que é a covarâca etre Y e X, que é a covarâca etre Y e X Se Fcalc F;; 3, coclu-se que a regressão de Y sobre X e X é sgfcatva...3 CÁLCULO DO COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO O coefcete de determação R, dca quatos por ceto a varação explcada pela regressão represeta da varação total. Este vara etre 0 e. Quato mas próxmo de, maor é a explcação pelo modelo da varação total. SACHIKO ARAKI LIRA 6

166 A expressão de R bs S b YY R é dada por: S YX YX SQE SQT Exemplos: ) Um estudo fo realzado sobre o desgaste de um macal, Y, e sua relação com X=vscosdade do óleo e X=carga. Os segutes dados foram obtdos: y x x 43, , ,9 80 Ajustar um modelo de regressão lear múltpla, testar a sgfcâca da regressão ao ível de 5% de sgfcâca e calcular o coefcete de determação. Solução: Y X,6 5,5,0 43,0 33,0 40,0 35,0 3,0,0 8, X,6 85 5,5 86, ,0 0 33, ,0 5 35,0 98 3,0 834, , ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA

167 0 X X , , , ,5640 (X X) 0,044-0,0055 0,044 0,003-0,000-0,0055-0,000 0,0000-0,0883 (X X) X 0,067 0,0006 0,787 0,0036 0,0007 0,3378 0,0060 0,0006 0,057 0,00 0,000,5 0,04 0,000 0,394 0,07 0,0003,03 0,009 0,004 0,5086 0,000 0,0004 0,3594 0,0043 0,000 0,4056 0,005 0,000 b 508,630 (X X) X Y -,4-0,30 O modelo estmado é: Ŷ 508,630,4X 0,30 X OBS. y x x y x y x y 43, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , SOMA 86 3, , MÉDIA 86,,3 98,5 S YY y y ,9 SQT S YY 47.4,9 S S YX YX (y x (y x ) ) y y x x , , ,5 5 SQE bs YX bsyx,4 (-8.005,5 ) 0, , ,689 9 SQR SYY bs YX bsyx 47.4, , ,0 SACHIKO ARAKI LIRA 63

168 ANOVA para verfcar a sgfcâca da regressão: FONTE DE VARIAÇÃO SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO Explcada SQE , 6899 QME.37,84 Resdual SQR 899, 0 7 QMR 8,4586 F F 80,38 Total SQT 47.4, 9 9 Tem-se que: 4, 74 F0,05;, 7 Coclusão: Como F calculado é gual a 80,38 e é maor que F0,05;, 7 4, 74, coclu-se que a regressão é sgfcatva, ao ível de 5% de sgfcâca. Cálculo de coefcete de determação: R bs S b YY S YX YX SQE SQT ,6899 0, ,9000 O modelo ajustado explca 98,0% das varações ocorrdas em Y. ) Uma dústra fabrca um produto em dos tamahos (pequeo e grade). Cohecedo-se o cosumo total de matéra-prma (Y), em kg, durate 5 meses, e as respectvas produções mesas do tpo pequeo (X) e do tpo grade (X), pede-se: a) ajustar um modelo de regressão lear múltpla; b) verfcar a sgfcâca da regressão, ao ível de sgfcâca de 0%; c) calcular o coefcete de determação. y x x Solução: a) Cálculo das estmatvas dos coefcetes Tem-se que: b (XX) X Y 45 0 Y 93 ; X 5 9 ; X ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA

169 X X ; ,3935 (X X) - 0,09-0,009-0,09 0,0003-0,0004-0,009-0,0004 0,005,570 (X X) X 0,0 0,000 0,03 0,006 0,009 0,866 0,0006 0,005,3758 0,006 0,034 0,3600 0,08 0,04 b,48 (X X) X Y 0,4957 0,775 O modelo estmado é: Ŷ,48 0,4957X 0,775 X OBS. y x x y x y x y SOMA MÉDIA 94,4 5,4 90,8 Cálculo das somas de quadrados: S YY y y , SQT S YY 3.883, S YX (y x ) y x , 5 S YX (y x ) y x ,4 5 SQE bs YX bsyx 0, , 0,775.0, ,539 SQR SYY bs YX bsyx 3833, 3678,539 04,676 OU SQR SQT SQE 3.883, ,539 04,676 SACHIKO ARAKI LIRA 65

170 b) ANOVA para verfcar a sgfcâca da regressão: FONTE DE VARIAÇÃO SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO Explcada SQE 3.678, 539 QME 839,6 Resdual SQR 04, 676 QMR 0,338 F F 7,97 Total SQT 3.833, Tem-se que : F 0,0;, Coclusão: Como F calculado é gual a 7,97 e é maor que F0,0;, 9, 00, coclu-se que a regressão é sgfcatva, ao ível de 0% de sgfcâca. c) Cálculo de coefcete de determação R bs S b YY S YX YX SQE SQT 3.678,539 0, , O modelo ajustado explca 94,73% das varações ocorrdas em Y. LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 0 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA ) Uma vestgação sobre um processo de fudção gerou os dados a segur sobre X = temperatura da foralha, X = tempo de moldagem da matrz e Y = dfereça de temperatura a superfíce de moldagem da matrz. X X Y Ajustar o modelo de regressão lear múltpla e testar a sgfcâca da regressão, adotado 0,05. Qual é o coefcete de explcação do modelo? ) Um estudo realzado para vestgar a relação etre a varável resposta relatva a quedas de pressão em uma colua de bolhas de uma chapa térmca e os prevsores X = velocdade do fluído superfcal e X = vscosdade do líqudo, gerou os dados a segur. 66 OBS. VELOCIDADE VISCOSIDADE RESPOSTA,4 0,00 8,9 4,4 0,00 6, 3 8,5 0,00,8 4,3,63 4, 5 4,4,63 5,7 6 8,5,63 8,3 Cotua ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA

171 Coclusão 7 5,60,5 8, 8 4,30,63 9, 9 4,30,63 5,4 0 5,60 0,0,0 5,60 0,0 9,8 4,30 0,0 8,6 3,40 0,0 3, 4 5,60 0,0,8 5,4,00 4,8 6 4,4,00 48,6 7 5,60 0,0 9, 8 5,60 0,0 8,4 9 5,60 0,0 5,0 Ajustar o modelo de regressão lear múltpla e testar a sgfcâca da regressão, adotado 0,0. Qual é o coefcete de explcação do modelo? SACHIKO ARAKI LIRA 67

172 BIBLIOGRAFIA. AMADEU, M. S. U. S. et. al. Maual de ormalzação de documetos cetífcos de acordo com as ormas da ABNT. Curtba: Ed. UFPR, 05.. BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatístca para cursos de egehara e fomátca. 3a. ed. São Paulo: Ed. Atlas S. A., BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P. A. Estatístca Básca. 5ª Edção, Edtora Sarava, COSTA NETO, P. L. O. Estatístca. ed. rev., São Paulo: Edgard Blücher, DEVORE, J. L. Probabldade e estatístca para egehara e cêcas. São Paulo: Poera Thomso Learg, MARQUES, J. M.; MARQUES, M. A. M. Estatístca Básca para os Cursos de Egehara. Curtba: Domío do Saber MEYER, P. L. Probabldade. Aplcações à Estatístca. Ro de Jaero: Lvros Téccos e Cetífcos, MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatístca Aplcada e Probabldade para Egeheros. 4 ed. Ro de Jaero: LTC, RYAN, T. Estatístca Modera para Egehara. Ro de Jaero: Elsever, BIBLIOGRAFIA

173 TABELA A. ÁREAS SOB A CURVA NORMAL TABELAS Z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,0 0,5000 0,4960 0,490 0,4880 0,4840 0,480 0,476 0,47 0,468 0,464-0, 0,460 0,456 0,45 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,435 0,486 0,447-0, 0,407 0,468 0,49 0,4090 0,405 0,403 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859-0,3 0,38 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,363 0,3594 0,3557 0,350 0,3483-0,4 0,3446 0,3409 0,337 0,3336 0,3300 0,364 0,38 0,39 0,356 0,3-0,5 0,3085 0,3050 0,305 0,98 0,946 0,9 0,877 0,843 0,80 0,776-0,6 0,743 0,709 0,676 0,643 0,6 0,578 0,546 0,54 0,483 0,45-0,7 0,40 0,389 0,358 0,37 0,96 0,66 0,36 0,06 0,77 0,48-0,8 0,9 0,090 0,06 0,033 0,005 0,977 0,949 0,9 0,894 0,867-0,9 0,84 0,84 0,788 0,76 0,736 0,7 0,685 0,660 0,635 0,6 -,0 0,587 0,56 0,539 0,55 0,49 0,469 0,446 0,43 0,40 0,379 -, 0,357 0,335 0,34 0,9 0,7 0,5 0,30 0,0 0,90 0,70 -, 0,5 0,3 0, 0,093 0,075 0,056 0,038 0,00 0,003 0,0985 -,3 0,0968 0,095 0,0934 0,098 0,090 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,083 -,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,07 0,0708 0,0694 0,068 -,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,068 0,0606 0,0594 0,058 0,057 0,0559 -,6 0,0548 0,0537 0,056 0,056 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -,7 0,0446 0,0436 0,047 0,048 0,0409 0,040 0,039 0,0384 0,0375 0,0367 -,8 0,0359 0,035 0,0344 0,0336 0,039 0,03 0,034 0,0307 0,030 0,094 -,9 0,087 0,08 0,074 0,068 0,06 0,056 0,050 0,044 0,039 0,033 -,0 0,08 0,0 0,07 0,0 0,007 0,00 0,097 0,09 0,088 0,083 -, 0,079 0,074 0,070 0,066 0,06 0,058 0,054 0,050 0,046 0,043 -, 0,039 0,036 0,03 0,09 0,05 0,0 0,09 0,06 0,03 0,00 -,3 0,007 0,004 0,00 0,0099 0,0096 0,0094 0,009 0,0089 0,0087 0,0084 -,4 0,008 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,007 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 -,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,005 0,005 0,0049 0,0048 -,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,004 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 -,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,003 0,003 0,0030 0,009 0,008 0,007 0,006 -,8 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,00 0,00 0,00 0,000 0,009 -,9 0,009 0,008 0,008 0,007 0,006 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004-3,0 0,003 0,003 0,003 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 0,000-3, 0,000 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007-3, 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,000-3,5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 SACHIKO ARAKI LIRA 69

174 TABELA A. ÁREAS SOB A CURVA NORMAL Z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0,3 0,679 0,67 0,655 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,93 0,947 0,96 0,977,4 0,99 0,907 0,9 0,936 0,95 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,939,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,9535 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,987, 0,98 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,993 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3, 0,9990 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3, 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000, TABELAS

175 TABELA A - DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT TESTE UNILATERAL P 0,550 0,600 0,650 0,700 0,750 0,800 0,850 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,58 0,35 0,50 0,77,000,376,963 3,078 6,34,706 3,8 63,657 0,4 0,89 0,445 0,67 0,87,06,386,886,90 4,303 6,965 9,95 3 0,37 0,77 0,44 0,584 0,765 0,979,50,638,353 3,8 4,54 5,84 4 0,34 0,7 0,44 0,569 0,74 0,94,90,533,3,776 3,747 4, ,3 0,67 0,408 0,559 0,77 0,90,56,476,05,57 3,365 4,03 6 0,3 0,65 0,404 0,553 0,78 0,906,34,440,943,447 3,43 3, ,30 0,63 0,40 0,549 0,7 0,896,9,45,895,365,998 3, ,30 0,6 0,400 0,546 0,706 0,889,08,397,860,306,897 3, ,9 0,6 0,398 0,544 0,703 0,883,00,383,833,6,8 3,50 0 0,9 0,60 0,397 0,54 0,700 0,879,093,37,83,8,764 3,69 0,9 0,60 0,396 0,540 0,697 0,876,088,363,796,0,78 3,06 0,8 0,59 0,395 0,539 0,696 0,873,083,356,78,79,68 3, ,8 0,59 0,394 0,538 0,694 0,870,080,350,77,60,650 3,0 4 0,8 0,58 0,393 0,537 0,69 0,868,076,345,76,45,65, ,8 0,58 0,393 0,536 0,69 0,866,074,34,753,3,603, ,8 0,58 0,39 0,535 0,690 0,865,07,337,746,0,584,9 7 0,8 0,57 0,39 0,534 0,689 0,863,069,333,740,0,567, ,7 0,57 0,39 0,534 0,688 0,86,067,330,734,0,55, ,7 0,57 0,39 0,533 0,688 0,86,066,38,79,093,540,86 0 0,7 0,57 0,39 0,533 0,687 0,860,064,35,75,086,58,845 0,7 0,57 0,39 0,533 0,686 0,859,063,33,7,080,58,83 0,7 0,56 0,390 0,53 0,686 0,858,06,3,77,074,508,89 3 0,7 0,56 0,390 0,53 0,685 0,858,060,30,74,069,500, ,7 0,56 0,390 0,53 0,685 0,857,059,38,7,064,49, ,7 0,56 0,390 0,53 0,684 0,856,058,36,708,060,485, ,7 0,56 0,390 0,53 0,684 0,856,058,35,706,056,479, ,7 0,56 0,389 0,53 0,684 0,855,057,34,703,05,473,77 8 0,7 0,56 0,389 0,530 0,683 0,855,056,33,70,048,467, ,7 0,56 0,389 0,530 0,683 0,854,055,3,699,045,46, ,7 0,56 0,389 0,530 0,683 0,854,055,30,697,04,457, ,7 0,55 0,388 0,59 0,68 0,85,050,303,684,0,43, ,6 0,55 0,388 0,58 0,679 0,849,047,99,676,009,403, ,6 0,55 0,387 0,57 0,679 0,848,046,96,67,000,390, ,6 0,54 0,387 0,57 0,678 0,847,044,94,667,994,38, ,6 0,54 0,387 0,57 0,678 0,846,043,9,664,990,374, ,6 0,54 0,387 0,56 0,677 0,846,04,9,66,987,369, ,6 0,54 0,386 0,56 0,677 0,845,04,90,660,984,364, ,6 0,54 0,386 0,55 0,676 0,843,039,86,653,97,345, ,6 0,54 0,386 0,55 0,675 0,843,038,84,650,968,339, ,6 0,54 0,386 0,55 0,675 0,843,038,84,649,966,336,588 0,6 0,53 0,385 0,54 0,675 0,84,036,8,645,960,36,576 P 0,00 0,00 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 TESTE BILATERAL SACHIKO ARAKI LIRA 7

176 TABELA A3 - DISTRIBUIÇÃO DE P 0,005 0,00 0,05 0,050 0,00 0,50 0,750 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,000 0,000 0,00 0,004 0,06 0,0,33,706 3,84 5,04 6,635 7,879 0,00 0,00 0,05 0,03 0, 0,575,773 4,605 5,99 7,378 9,0 0, ,07 0,5 0,6 0,35 0,584,3 4,08 6,5 7,85 9,348,345, ,07 0,97 0,484 0,7,064,93 5,385 7,779 9,488,43 3,77 4, ,4 0,554 0,83,46,60,675 6,66 9,36,07,833 5,086 6, ,676 0,87,37,635,04 3,455 7,84 0,645,59 4,449 6,8 8, ,989,39,690,67,833 4,55 9,037,07 4,067 6,03 8,475 0,78 8,344,647,80,733 3,490 5,07 0,9 3,36 5,507 7,535 0,090,955 9,735,088,700 3,35 4,68 5,899,389 4,684 6,99 9,03,666 3,589 0,56,558 3,47 3,940 4,865 6,737,549 5,987 8,307 0,483 3,09 5,88,603 3,054 3,86 4,575 5,578 7,584 3,70 7,75 9,675,90 4,75 6,757 3,074 3,57 4,404 5,6 6,304 8,438 4,845 8,549,06 3,337 6,7 8, ,565 4,07 5,009 5,89 7,04 9,99 5,984 9,8,36 4,736 7,688 9,80 4 4,075 4,660 5,69 6,57 7,790 0,65 7,7,064 3,685 6,9 9,4 3,39 5 4,60 5,9 6,6 7,6 8,547,037 8,45,307 4,996 7,488 30,578 3,80 6 5,4 5,8 6,908 7,96 9,3,9 9,369 3,54 6,96 8,845 3,000 34,67 7 5,697 6,408 7,564 8,67 0,085,79 0,489 4,769 7,587 30,9 33,409 35,79 8 6,65 7,05 8,3 9,39 0,865 3,675,605 5,989 8,869 3,56 34,805 37,57 9 6,844 7,633 8,907 0,7,65 4,56,78 7,04 30,44 3,85 36,9 38,58 0 7,434 8,60 9,59 0,85,443 5,45 3,88 8,4 3,40 34,70 37,566 39,997 8,034 8,897 0,83,59 3,40 6,344 4,935 9,65 3,67 35,479 38,93 4,40 8,643 9,543 0,98,338 4,04 7,40 6,039 30,83 33,94 36,78 40,89 4, ,60 0,96,689 3,09 4,848 8,37 7,4 3,007 35,73 38,076 4,638 44,8 4 9,886 0,856,40 3,848 5,659 9,037 8,4 33,96 36,45 39,364 4,980 45, ,50,54 3,0 4,6 6,473 9,939 9,339 34,38 37,653 40,647 44,34 46,98 6,60,98 3,844 5,379 7,9 0,843 30,435 35,563 38,885 4,93 45,64 48,90 7,808,879 4,573 6,5 8,4,749 3,58 36,74 40,3 43,95 46,963 49,645 8,46 3,565 5,308 6,98 8,939,657 3,6 37,96 4,337 44,46 48,78 50, , 4,57 6,047 7,708 9,768 3,567 33,7 39,088 4,557 45,7 49,588 5, ,787 4,954 6,79 8,493 0,599 4,478 34,800 40,56 43,773 46,979 50,89 53, ,9 8,509 0,569,465 4,797 9,054 40,3 46,059 49,80 53,03 57,34 60, ,707,64 4,433 6,509 9,05 33,660 45,66 5,805 55,759 59,34 63,69 66, ,3 5,90 8,366 30,6 33,350 38,9 50,985 57,505 6,656 65,40 69,957 73, ,99 9,707 3,357 34,764 37,689 4,94 56,334 63,67 67,505 7,40 76,54 79, ,735 33,57 36,398 38,958 4,060 47,6 6,665 68,796 73,3 77,38 8,9 85, ,535 37,485 40,48 43,88 46,459 5,94 66,98 74,397 79,08 83,98 88,379 9, ,383 4,444 44,603 47,450 50,883 56,990 7,85 79,973 84,8 89,77 94,4 98, ,75 45,44 48,758 5,739 55,39 6,698 77,577 85,57 90,53 95,03 00,45 04, ,06 49,475 5,94 56,054 59,795 66,47 8,858 9,06 96,7 00,839 06,393 0, ,7 53,540 57,53 60,39 64,78 7,45 88,30 96,578 0,880 06,69,39 6, ,70 57,634 6,389 64,749 68,777 75,88 93,394 0,079 07,5,393 8,36, ,96 6,754 65,647 69,6 73,9 80,65 98,650 07,565 3,45 8,36 4,6 8, ,50 65,898 69,95 73,50 77,88 85,376 03,899 3,038 8,75 3,858 9,973 34, ,38 70,065 74, 77,930 8,358 90,33 09,4 8,498 4,34 9,56 35,807 40, ,550 78,458 8,867 86,79 9,47 99,666 9,608 9,385 35,480 40,97 47,44 5,949 7 TABELAS

177 TABELA A4 - DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR Nível de sgfcâca de % , , , , , , , , ,3 6.34, ,83 98,50 99,00 99,7 99,5 99,30 99,33 99,36 99,37 99,4 99,46 99, , 30,8 9,46 8,7 8,4 7,9 7,67 7,49 7,05 6,60 6,3 4,0 8,00 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 4,80 4,37 3,93 3,46 5 6,6 3,7,06,39 0,97 0,67 0,46 0,9 9,89 9,47 9,0 6 3,75 0,9 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 8,0 7,7 7,3 6,88 7,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,9 6,99 6,84 6,47 6,07 5,65 8,6 8,65 7,59 7,0 6,63 6,37 6,8 6,03 5,67 5,8 4,86 9 0,56 8,0 6,99 6,4 6,06 5,80 5,6 5,47 5, 4,73 4,3 0 0,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,0 5,06 4,7 4,33 3,9 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,07 4,89 4,74 4,40 4,0 3,60 9,33 6,93 5,95 5,4 5,06 4,8 4,64 4,50 4,6 3,78 3,36 3 9,07 6,70 5,74 5, 4,86 4,6 4,44 4,30 3,96 3,59 3,7 4 8,86 6,5 5,56 5,04 4,70 4,46 4,8 4,4 3,80 3,43 3,00 5 8,68 6,36 5,4 4,89 4,56 4,3 4,4 4,00 3,67 3,9,87 6 8,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4,0 4,03 3,89 3,55 3,8,75 7 8,40 6, 5,9 4,67 4,34 4,0 3,93 3,79 3,46 3,08,65 8 8,9 6,0 5,09 4,58 4,5 4,0 3,84 3,7 3,37 3,00,57 9 8,8 5,93 5,0 4,50 4,7 3,94 3,77 3,63 3,30,9,49 0 8,0 5,85 4,94 4,43 4,0 3,87 3,70 3,56 3,3,86,4 8,0 5,78 4,87 4,37 4,04 3,8 3,64 3,5 3,7,80,36 7,95 5,7 4,8 4,3 3,99 3,76 3,59 3,45 3,,75,3 3 7,88 5,66 4,76 4,6 3,94 3,7 3,54 3,4 3,07,70,6 4 7,8 5,6 4,7 4, 3,90 3,67 3,50 3,36 3,03,66, 5 7,77 5,57 4,68 4,8 3,86 3,63 3,46 3,3,99,6,7 6 7,7 5,53 4,64 4,4 3,8 3,59 3,4 3,9,96,58,3 7 7,68 5,49 4,60 4, 3,78 3,56 3,39 3,6,93,55,0 8 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,3,90,5,06 9 7,60 5,4 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,0,87,49, ,56 5,39 4,5 4,0 3,70 3,47 3,30 3,7,84,47,0 40 7,3 5,8 4,3 3,83 3,5 3,9 3,,99,66,9, ,08 4,98 4,3 3,65 3,34 3,,95,8,50,,60 0 6,85 4,79 3,95 3,48 3,7,96,79,66,34,95,38 6,63 4,6 3,78 3,3 3,0,80,64,5,8,79,0 SACHIKO ARAKI LIRA 73

178 TABELA A5 - DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR Nível de sgfcâca de 5 % GRAUS DE LIBERDADE DO NUMERADOR ,45 99,50 5,7 4,58 30,6 33,99 36,77 38,88 43,9 49,05 54,3 8,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 9,37 9,4 9,45 9,50 3 0,3 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,74 8,64 8,53 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 5,9 5,77 5,63 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,68 4,53 4,37 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,00 3,84 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,57 3,4 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,8 3,,93 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,07,90,7 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07,9,74,54 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,79,6,40 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,69,5,30 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,60,4, 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,53,35,3 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,48,9,07 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,4,4,0 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,38,9,96 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,34,5,9 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,3,,88 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,8,08,84 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,5,05,8 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,3,03,78 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,0,0,76 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,8,98,73 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,6,96,7 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,5,95,69 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,3,93,67 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,,9,65 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,0,90, ,7 3,3,9,69,53,4,33,7,09,89,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,00,79,5 60 4,00 3,5,76,53,37,5,7,0,9,70,39 0 3,9 3,07,68,45,9,8,09,0,83,6,5 3,84 3,00,6,37,,0,0,94,75,5,0 74 TABELAS

179 TABELA A6 - DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR Nível de sgfcâca de 0 % GRAUS DE LIBERDADE DO NUMERADOR ,86 49,50 53,59 55,83 57,4 58,0 58,9 59,44 60,7 6,00 63,33 8,53 9,00 9,6 9,4 9,9 9,33 9,35 9,37 9,4 9,45 9,49 3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,3 5,8 5,7 5,5 5, 5,8 5,3 4 4,54 4,3 4,9 4, 4,05 4,0 3,98 3,95 3,90 3,83 3,76 5 4,06 3,78 3,6 3,5 3,45 3,40 3,37 3,34 3,7 3,9 3, 6 3,78 3,46 3,9 3,8 3, 3,05 3,0,98,90,8,7 7 3,59 3,6 3,07,96,88,83,78,75,67,58,47 8 3,46 3,,9,8,73,67,6,59,50,40,9 9 3,36 3,0,8,69,6,55,5,47,38,8,6 0 3,9,9,73,6,5,46,4,38,8,8,06 3,3,86,66,54,45,39,34,30,,0,97 3,8,8,6,48,39,33,8,4,5,04,90 3 3,4,76,56,43,35,8,3,0,0,98,85 4 3,0,73,5,39,3,4,9,5,05,94,80 5 3,07,70,49,36,7,,6,,0,90,76 6 3,05,67,46,33,4,8,3,09,99,87,7 7 3,03,64,44,3,,5,0,06,96,84,69 8 3,0,6,4,9,0,3,08,04,93,8,66 9,99,6,40,7,8,,06,0,9,79,63 0,97,59,38,5,6,09,04,00,89,77,6,96,57,36,3,4,08,0,98,88,75,59,95,56,35,,3,06,0,97,86,73,57 3,94,55,34,,,05,99,95,85,7,55 4,93,54,33,9,0,04,98,94,83,70,53 5,9,53,3,8,09,0,97,93,8,69,5 6,9,5,3,7,08,0,96,9,8,68,50 7,90,5,30,7,07,00,95,9,80,67,49 8,89,50,9,6,06,00,94,90,79,66,48 9,89,50,8,5,06,99,93,89,78,65,47 30,88,49,8,4,05,98,93,88,77,64,46 40,84,44,3,09,00,93,87,83,7,57,38 60,79,39,8,04,95,87,8,77,66,5,9 0,75,35,3,99,90,8,77,7,60,45,9,7,30,08,94,85,77,7,67,55,38,0 SACHIKO ARAKI LIRA 75

180 TABELA A7 - VALORES CRÍTICOS ( d c ) PARA TESTE DE LILLIERFORS 5% % 4 0,38 0,47 5 0,337 0, ,39 0, ,300 0, ,85 0,33 9 0,7 0,3 0 0,58 0,94 0,49 0,84 0,4 0,75 3 0,34 0,68 4 0,7 0,6 5 0,0 0,57 6 0,3 0,50 7 0,06 0,45 8 0,00 0,39 9 0,79 0,35 0 0,90 0,3 5 0,73 0, ,6 0,87 30 dc 0,886 dc,03 76 TABELAS

181 SOLUÇÕES DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS LISTA DE EXERCÍCIOS NO.. a) k 30 5,48 6 A t Xmáx Xm 8,3 9,8 5,5 h 9 3. a) k 40 6,3 7 A t Xmáx Xm h 4 4. X 74, 004 ; M e 74, 0035 ; M o 74, 005 ; DM 0, 0030; S 0, 0047; CV 0,0063% 5. (agrupado os dados em classes) X 5,58 ; S 7,36 ; CV,40% ; M e 9, 0; Q 4,60 ; Q 3 7,00 6. X 7, 838 ; S 0, 007 ; CV 0,9 % ; M e 7, 85 ; Q 7, 8 ; Q 3 7, 0 7. X, 7 ; S 0, 66 ; CV 30, 8 ; M e, 3 ; Q, 8 ; Q 3, X 345, 57 ; S 5, 6 ; S 0, 75 ; CV 3,% ; M o amod al 9. X 44,5 ; S 5,7; CV,84 ; M e 44, 7 ; a 3 0,8 ; a 4,33 0. X 90,85 ; S,98 ; CV 3,8% ; M e 90,68 ; a 3 0,3684 ; a 4,8400. X,0 ; S 0,5 ; CV 5,6 % ; M e 0,99 ; a 3 0,580 ; a 4 3,0660. a) Q 39, 75 ; Q 44, 00 ; Q 3 48, 5 ; IQ 8, 5 ; LI 7, 00 ; LS 6, 00 Não exstem valores outlers. 3. a) Q 89, 4 ; Q 90, 00 ; Q 3 90, 90 ; IQ, 5 ; LI 87, 5 ; LS 93, 5 Exstem dos valores outlers: 80,00 e 94,7 LISTA DE EXERCÍCIOS NO.. a) P(p,p,p,p) 0,656 ou 65,6% b) P(d,d,d,d) 0,000 ou 0,0%. P(x b) 0, 4945 ou 49,45% 3. a) P( b eb ) 0, 556 ou 55,6% b) P( ded) 0, 056 ou 5,6% c) P( peça boa e peça defetuosa ) P(bed) P( deb) 0, 3948 ou 39,48% 4. P(apeas um fucoe ) 0, 400 ou 4,00% 5. P(x ) 0, 430 ou 43,0% 6. a) P(X 3) 0,6976 ou 69,76% b) P(X ) 0,048 0,957 SACHIKO ARAKI LIRA 77

182 7. P(ão haja correte ) 0,3880 ou 38,30% 8. R 0, 8664 ou 86,64% 9. R 0, 9975 ou 0. P( A Q) 0, 588 ou 58,8%. a) (P A / qualdadea cetável ) 0,38 38,% b) P(qualdade acetável C) 0, 967 ou 9,67% c) P(B qualdade marg al ) 0, 500 ou 5,00%. P(B) 0,035,35% LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 3. E(X),5 V(X),85. a) E(X) 5, 4 b) V(X), 44 c),44, a) P(X 5) 0, 37 b) méda=4 fucoarão mas de 3 meses lâmpadas deverão ser substtuídas 4. a) P(X 5) 0, 373 ou 3,73% b) 3, P(X 0) 0,6690 ou 66,90% 6. a) P(X 3) 0,404 4,04% b) P(X 3) 0,47,47% 7. a) P(X ) 0,7,7% b) P(X 49) 4,5x a) P(x 9) 0, ,68% b) P(x ) 0,000 0,0% 9. a) P(x )0,47,47% b) P(x 8) 0,0653 6,53% c) P(5 x 8) 0,494 49,4% 0. a) P(X ) 0, ,44% b) P(X ) 0, ,40%. P( X ) 0, ,96% LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 4. P(X ) 0, P(X 0,9) 0, SOLUÇÕES DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS

183 3. P(X ) 0, P(X 35) 0, P( X,05) 0, P(X 77) 0, a) P(40 X 70) 0, 6568 b) x 40, x 5, a) P(X,97) ou P(X,03) 0, 007 b) Perfetas 0,007 0, =86. (P 4,85 X 5,5) 0, 99 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 5. a) P6,60 9,94 95% b) P3,069 9, % c) P,7399 4, %. 74, , ,04 04,96 4. a) 5897,33 608,08 b) (.693,9 5.64,85 ) 5. a) 8,3 8,47 b) ( 0,0005 0, 00 ) c) ( 0,0 0, 05) 6. 0,05 p 0,9 7. 0,06 p 0, ,0 p 0, ,0 p 0, 0.,66 8,34 6.,4 3,56. 0,48 0,58 3. a),6 8,38 b),43 9, ,5, SACHIKO ARAKI LIRA 79

184 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 6. Z calc, 5. t calc, t calc, Z calc 0, 5. Z calc 0, Z calc 4, 3 7. t calc 0, t calc 0, t calc, t calc 3, 5. t calc 0, 4. t calc -,46 3. F calc 0,48 4. calc 4,40 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 7 ) d 0, 034 ) d 0, 440 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 8. F 0, 58 ; Teste de Scheffé: O redmeto da máqua C dfere dos de A e B.. F 4,88 3. F 0,09 4. F 5,69 ; Teste de Scheffé: O método 3 dfere dos métodos e. 5. F 45,75 ; Teste de Scheffé: O tpo de lga 3 dfere dos tpos e. LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 9. a) r 0, 9585 ; t calc 9, 5 b) Ŷ,5 0,608 X ; F calc 90, 4; R 9,87% 80 SOLUÇÕES DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS

185 c) d),086 Ŷ 36,649 X ; 90, 5 X Ŷ 3,564 0,944 ; 06, 06 F calc ; R 9,86% F calc ; R 9,99%. a) r 0, 9306 ; t calc 9, 7 b) Ŷ -5,9336 3,96X ; F calc 5, 70 ; R 86,60% c) 4,003 Ŷ 0,0005 X ; F calc 568, 0 ; R 98,6% d) X Ŷ 0,,4409 ; 54, 0 F calc ; R 99,68% 3. a) Ŷ 36,60 3,886 X ; F calc 76, 08 ; R 95,0% 0,46 b) Ŷ 39,557X ; F calc 37, 55 ; R 90,37% X c) Ŷ 37,758,0807 ; F calc 65, 40 ; R 94,4% LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 0. Ŷ 99,56 0,X 3,00X ; F calc 39, 3 ; R 99,07%. Ŷ 9,4 0,3540X 0,409X ; F calc 8, 43 ; R 78,04% SACHIKO ARAKI LIRA 8