Unidade II ESTATÍSTICA

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1 ESTATÍSTICA Udade II 3 MEDIDAS OU PARÂMETROS ESTATÍSTICOS 1 O estudo que fzemos aterormete dz respeto ao agrupameto de dados coletados e à represetação gráfca de algus deles. Cumpre agora estudarmos as meddas estatístcas. Esses valores os darão a magem stetzada do comportameto de uma amostra, permtdo que com relatvamete poucas formações possamos chegar a coclusões sobre esta amostra estudada. Exstem bascamete dos grades grupos de meddas estatístcas. O prmero grupo é formado pelas meddas de tedêca cetral, também chamadas de meddas de posção, que formam a magtude da amostra estudada. Essas meddas os dão uma vsão global da amostra sem se ater às característcas dvduas de seus elemetos. No etato, como é ecessáro que tehamos dea das varações dos elemetos da amostra em toro de suas meddas cetras, remos estudar, o módulo, o segudo grupo de meddas estatístcas: as meddas de dspersão, também chamadas de meddas de varabldade. Meddas de posção 0 Objetvos do módulo As meddas de posção ou meddas de tedêca cetral, como o própro ome dca, preocupam-se com defr uma posção cetral da amostra, ou seja, um valor que seja represetatvo do que é típco da amostra. Iremos trabalhar com as três prcpas meddas deste tpo: a méda, a medaa e a moda. 39

2 Udade II 3.1 Méda 1 0 De todas as meddas de posção, a méda é, seguramete, a mas usada. São chamadas de médas smples quado a frequêca dos dversos valores é gual a 1, ou seja, cada valor aparece uma úca vez a amostra, ou de médas poderadas, quado os dados são dotados de certa frequêca. Exstem város métodos dferetes para se calcular as médas. Iremos os preocupar com a prcpal delas, a méda artmétca. As demas (geométrca, quadrátca e harmôca), além de serem muto meos utlzadas, seguem os mesmos prcípos da méda artmétca, apeas com a utlzação de operações matemátcas dferetes. A méda artmétca é o resultado da soma dos valores de todos os elemetos dvddo pelo úmero total de elemetos, ou seja, pela frequêca total. Em outras palavras, se tvermos um cojuto de valores S ={ x 1, x, x 3, x }, a méda artmétca deste cojuto será calculada através das fórmulas: x x x x X = N Ou x X = Σ N Ode: X é a méda artmétca; x 1, x, etc. os dversos valores; e N, a quatdade total de elemetos da amostra. Exemplo 1 Calcular a méda artmétca dos valores abaxo relacoados: S={;;7;9;;1;16;18}. Observe que são 8 elemetos de dferetes valores, portato: Σx X = X = X = N 8 9, 9 40

3 ESTATÍSTICA Caso os valores sejam repetdos a amostra, ou seja, se eles tverem uma frequêca dferete de 1 ( x 1 com f 1 ; x com f e assm por date), etão a fórmula para o cálculo da méda artmétca será: x f X = Σ Σf Este últmo coceto defe a méda poderada, sedo que, evetualmete, as frequêcas podem ser substtuídas por pesos que coferem a mportâca dferecada de cada valor. O exemplo a segur mostra o cálculo para dados ão agrupados em classe. 1 0 Exemplo Calcular a méda artmétca dos valores abaxo relacoados: Como o exemplo ateror, o cálculo da méda artmétca cosste a soma de todos os valores dvdda pela quatdade total de elemetos. Note, porém, que cada um dos valores da tabela aparece certo úmero de vezes, dferete de 1; por exemplo, o valor aparece 37 vezes, portato, precsamos somar com ele mesmo 37 vezes ou, de maera mas dreta, precsamos multplcar por 37. A colua C mostra todos os cálculos deste tpo. Quado somamos essa colua, obtemos o valor 9.491, que correspode à soma de todos os elemetos da amostra (193 elemetos). Assm, a méda é: A B C=AxB Valor Frequêca Smples Valor x Frequêca x f x.f ft x f X = Σ X X f = 9491 Σ 193 = 49, 41

4 Udade II No caso de dados agrupados em classes, o processo de cálculo é dêtco ao ateror, com a dfereça de que o valor a ser usado é o poto médo de classe (lembre que já defmos esse valor o módulo ateror): x =p m O exemplo a segur mostra-os, passo a passo, o cálculo da méda artmétca poderada para dados agrupados por classes: Exemplo 3 Dada a tabela de frequêcas abaxo, calcular a méda artmétca: A B C D E=(C+D)/ F=DxE Classe Lmtes de classe Frequêca smples Poto médo de classe Frequêca x Poto médo l ls f pm f x pm 1,0 3, , ,.919,0,0 414, , , , 3,0 8, , , 4.0, 4,0 1.36, , , ,, , , , 9.80,0 6,0.08, ,0 7.63, , 7,0.469, , , 3.490,0 8,0.880, , , , 9,0 3.91, , , 7.97,0 ft = Σ = , 1 A tabela acma apreseta os valores e cálculos ecessáros para se determar a méda artmétca para uma amostra que estvermos descrevedo. As áreas sombreadas da tabela mostram os cálculos ecessáros para a obteção da méda artmétca. 4

5 ESTATÍSTICA O uso de uma tabela para estes cálculos faclta as operações de cálculo, bem como são mas faclmete trabalhadas em computador. Note que acma ós somamos os valores de todos os elemetos da amostra, fcado a segute stuação: o valor da soma dos elemetos da amostra é ,, portato, a méda artmétca será de: x f X = Σ X X f = , Σ = 1640, É mportate observar as segutes propredades das médas artmétcas: a soma algébrca dos afastametos (ou desvos ou resíduos) de um cojuto de úmeros tomados em relação à méda é ula; se multplcarmos ou dvdrmos todas as formações por uma costate, a méda artmétca fcará multplcada ou dvdda por essa costate; somado-se ou subtrado-se uma costate a todos os valores de um cojuto de formações, a méda artmétca fcará somada ou subtraída dessa costate; a soma dos quadrados dos desvos tomados em relação à méda artmétca é míma. 3. Medaa Cocetualmete, defmos medaa como o valor, detro de um cojuto de valores ordeados, que dvde exatamete esse cojuto em duas metades, com 0% dos valores superores à medaa e 0% ferores. Evdetemete que essa defção precsa se adaptar ao úmero N de elemetos da amostra: caso N seja um úmero ímpar, a medaa será o valor do elemeto cetral (chamado de elemeto medao); 43

6 Udade II caso N seja um úmero par, a medaa será a méda artmétca smples dos dos elemetos cetras (o elemeto medao passa a ser um elemeto teórco termedáro). Veja o exemplo abaxo: Exemplo 1 Dados os dos cojutos de otas abaxo, de aluos de estatístca, calcule a medaa: Grupo A = {6,; 4,; 8,7; 6,4;,8; 9,1;,0; 3,9; 7,1} Para calcular a medaa, é ecessáro ordear os dados em ordem crescete: {,8; 3,9; 4,;,0; 6,; 6,4; 7,1; 8,7; 9,1} Como o úmero de elemetos é mpar (N = 9), a medaa será o valor do elemeto cetral (o º elemeto), ou seja, o valor da medaa será 6,. 1 Poderíamos dar uma roupagem mas matemátca ao cálculo utlzado as fórmulas abaxo, ode E me é o elemeto medao, e Me, a medaa: E N = => E = + 1 => E = º me me me O valor do º elemeto é a medaa: 0 Me = 6, Grupo B = { 8,4; 6,3; 9,; 4,9; 6,; 8,0}, ordeado {4,9; 6,3; 6,; 8,0; 8,4; 9,} E N = => E = + 1 => E = me me me 3, 44

7 ESTATÍSTICA Evdetemete, ão exste um elemeto 3,º. A medaa será a méda artmétca etre o valor dos 3º e 4º elemetos: x Me = + x 3 4 6, + 8, 0 => Me = => Me = 7, Cálculo semelhate se fará quado trabalhamos com dados agrupados, seja em classes ou ão. Prmero, veremos quado os dados ão forem agrupados em classe. Nesse caso, o procedmeto é semelhate ao feto o exemplo 1, com a dfereça de que precsaremos calcular a frequêca acumulada crescete para permtr localzarmos o elemeto medao. O exemplo mostra o cálculo em duas stuações dferetes. 1 Exemplo Calcular a medaa para os dados relacoados abaxo, relatvos ao úmero de flhos por famíla moradora em determada cdade. Número de flhos por famíla Valor Cdade A Quatdade de famílas a cdade Frequêca acumulada crescete Frequêca smples x f f ac Mas do que Soma 63 4

8 Udade II Perceba que o úmero de elemetos (N = 63) é ímpar; logo, o elemeto medao será o 3º: E me = = Eme = 3º O 3º elemeto tem o valor 18, sso porque, com os valores ordeados, os 1 prmeros referem-se a famílas com 0 flhos; do 16º ao 33º, os valores referem-se a famílas com 1 flho, e assm por date. Logo, a medaa será: Me = 18 Portato, podemos afrmar que 0% das famílas têm um flho ou meos, e 0% das famílas têm um flho ou mas. Observe agora esta outra bservação de frequêcas relatva á cdade B Número de flhos por famíla Valor Cdade B Quatdade de famílas a cdade Frequêca acumulada crescete Frequêca smples x f f ac Mas do que Soma 7 Perceba que o úmero de elemetos (N = 7) é par; logo, o elemeto medao sera o 36,º, que, evdetemete, ão exste. E me = = E = me 36, 46

9 ESTATÍSTICA O 36º elemeto tem o valor 1, e o 37º, o valor o valor, portato, o 36,º sera um valor médo etre esses dos valores, ou seja, a medaa será: E me 1 = + = Eme = 1, 1 Portato, podemos afrmar que 0% das famílas têm meos de 1, flho, e 0% das famílas tem mas de 1, flho. O cálculo da medaa, quado ldamos com dados agrupados em classes, é mas trabalhoso porque cosegumos determar o elemeto medao e a classe da qual o elemeto faz parte, mas ão o valor exato da medaa. A maera de cotorarmos esse coveete é utlzado os cocetos de terpolação. Iterpolar sgfca achar, detro de uma faxa de valores, aquele valor que melhor correspode às codções estabelecdas. No caso do cálculo da medaa, o processo de terpolação gera a segute fórmula, que sempre remos usar: E Me = lme + Ode: me f f Me ac at x h 0 Me = Medaa l Me = Lmte feror da classe que cotém o elemeto medao (classe medaa) E me = Elemeto medao F ac at = Frequêca acumulada crescete até a classe ateror à classe medaa 47

10 Udade II f Me = Frequêca da classe medaa h = Ampltude da classe medaa O exemplo 3, a segur, demostra o cálculo da medaa para uma dstrbução de vedas em R$ agrupadas por classe. Exemplo 3 Calcular a medaa para a tabela abaxo que apreseta a dstrbução de vedas de determada empresa. Classes úmero Vedas mesas em R$ Quatdade de meses Frequêca Frequêca acumulada crescete Valor l l s f f ac 1 R$ 0.000, R$ , R$ , R$ 1.000, R$ 1.000, R$ , R$ , R$ , R$ , R$ , R$ , R$ , R$ , R$ , R$ , R$ , Total 143 O elemeto medao é dado por: E me = => Eme = 7º O 7º elemeto está a 4ª classe, que chamamos de classe medaa, ou seja, a medaa é um valor etre R$ ,00 e R$ ,00. Obteremos o resultado usado a fórmula da terpolação: E Me = lme + me f f Me ac at 7 7 x h = x => Me = , 69 48

11 ESTATÍSTICA Portato, podemos afrmar que 0% das vedas mesas dessa empresa estão acma de R$ ,69, e 0%, abaxo deste mesmo valor. 3.3 Moda O coceto de moda é mas smples etre as meddas estatístcas. É smplesmete o valor que mas vezes se repete uma dstrbução de frequêcas, ou seja, aquele dotado de maor frequêca. O cálculo da moda para dados solados ou para dados ão agrupados em classes é medato, decorre de smples observação, como mostra o exemplo 1; já para dados agrupados ecesstados, adotam-se algumas recomedações fetas por estatístcos reomados. No exemplo, apresetamos um cálculo deste últmo tpo de dstrbução. Exemplo 1 1 Calcular a moda para os cojutos de dados mostrados abaxo, referetes ao cosumo de rolametos (em udades) em váras lhas de produção. Lha A: {1; ; 4; 4; ; ; ; 7; 8) A moda, evdetemete, é: Mo=. 0 Lha B: {8; 8; 9; 9; 9; 9; ; 11; 11; 11; 11; 1; 1; 1} Neste cojuto, temos duas modas: Mo=9 e Mo=11. Chamamos de amostra multmodal. Lha C: {1; 18; ; 3; 43; 0; 61} Não exste um valor que se repta mas de uma vez. Temos uma amostra sem moda, ou seja, amodal. 49

12 Udade II Quatdade de rolametos cosumdos x Valor Lha D Número de vezes em que ocorreu o cosumo f Frequêca A moda é o valor de maor frequêca, portato, para a lha D, teríamos Mo=13. Exemplo Calcular a moda para a dstrbução de redas famlares apresetada o quadro abaxo: Classes úmero Redas famlares mesas em R$ Valor Quatdade de meses Frequêca l l s f 1 R$ 60, R$ 1.0,00 16 R$ 1.0, R$ 1.0, R$ 1.0, R$.000, R$.000, R$.40,00 31 R$.40, R$.900, R$.900, R$ 3.30, R$ 3.30, R$ 3.800,00 1 Total 14 0

13 ESTATÍSTICA Você pode otar que os valores se repetem mas a classe 4 (a frequêca é a maor de todas); logo, a moda deve ser um valor etre R$.000,00 e R4.40,00. Mas exatamete qual é o valor da moda? Normalmete, esse cálculo poderá ser feto por três recomedações dferetes: as fórmulas de Czuber, Kg e Pearso, que utlzaremos a segur. Recomedação de Czuber 1 Para utlzarmos a recomedação de Czuber, devemos calmete localzar a classe que tem maor frequêca, a chamada classe modal. No osso exemplo, essa classe é a de úmero 4, como já falamos. Em seguda, aplcamos a segute fórmula: ( fmo fat ) Mo = lmo + x h ( fmo fat ) + ( fmo fpost ) Ode: 0 Mo = Moda l Mo = Lmte feror da classe modal f Mo = Frequêca da classe modal f at = Frequêca da classe medatamete ateror à classe modal f post = Frequêca da classe medatamete posteror à classe modal h = Ampltude da classe modal 1

14 Udade II No osso exemplo, fcara: ( ) 31 8 Mo = x 40 => Mo = R$. 3, 8 ( 31 8) + ( 31 18) Recomedação de Kg Para utlzarmos a recomedação de Kg, devemos calmete localzar a classe que tem maor frequêca, a chamada classe modal. No osso exemplo, essa classe é a de úmero 4, como já falamos. Em seguda, aplcamos a segute fórmula: Mo = lmo + f at f post + f post x h Ode: 1 Mo = Moda l Mo = Lmte feror da classe modal f at = Frequêca da classe medatamete ateror à classe modal f post = Frequêca da classe medatamete posteror à classe modal h = Ampltude da classe modal No osso exemplo, fcara: 18 Mo = x Mo R + 40 => = $. 176,

15 ESTATÍSTICA Recomedação de Pearso No caso de Pearso, a recomedação parte de coceto dferete das aterores. Basea-se o uso da méda e da medaa: Mo=3 x Me x X Ode: Mo = Moda Me = Medaa X = Méda No osso exemplo, teríamos: Me = R$.094,36 X = R$.13,9 Logo, a moda sera: Mo=3 x.094,36 x.13,9 => Mo=R$.03,88 1 Perceba que cada recomedação resultou em valor dferete. Isso ocorre porque são recomedações que partem de cosderações dferetes. A experêca os esa qual é a melhor recomedação a se utlzar em cada caso prátco. 0 O uso de cada uma das meddas de dspersão depede da stuação prátca que se apreseta. Adrao Leal Bru, em sua obra Estatístca aplcada à gestão empresaral, apreseta uma sére de vatages e desvatages de cada uma delas, as quas podem ser resumdas o quadro a segur: 3

16 Udade II Medda de posção Méda Medaa Moda Vatages É de fácl compreesão, podedo ser calculada dretamete usado-se calculadoras apropradas. Depede de todos os valores da dstrbução, usado todos os dados dspoíves. Evdeca bastate establdade de amostra para amostra. Possblta a mapulação de dados, com cálculo de médas combadas. Pode ser faclmete cluída em equações matemátcas. Mesmo que algus valores da sére sejam modfcados, ela pode mater-se alterada. Os valores extremos ão terferem o seu resultado; por sso é dcada quado exstem valores dscrepates. Mesmo que os valores mas altos ou mas baxos da sére ão estejam defdos, ela pode ser determada. Pode ser utlzada para dados que têm a possbldade de ser ordeados. Caso algum valor da sére seja modfcado, ão ecessaramete a moda alterará. Os valores extremos ão terferem o seu resultado Pode ser calculada em dstrbuções que possuam classe determada. Desvatages É afetada por valores extremos da sére, ão represetado com precsão a dstrbução em que esses valores ocorrem com frequêca acetuada. É ecessáro cohecer todos os valores da dstrbução. A méda ão tem, ecessaramete, exstêca real. Pode ser obtda uma méda de úmero fracoáro exstete, por exemplo, 6,7 aluos. Se for determada a medaa dos grupos separados, ão será ecotrada a medaa do grupo. A moda tem que ter ecessaramete um valor real, já que ela é represetada por algum valor da sére. Quado utlzada para calcular dstrbuções de classe aberta, ão pode ser determada a moda empregado algum procedmeto artmétco elemetar. 4

17 ESTATÍSTICA 4 MEDIDAS DE DISPERSÃO Objetvos As meddas de dspersão completam a formação cotda as meddas de posção, revelado o afastameto ou desvo dos elemetos do valor cetral. Quato meor for a dspersão de uma amostra, maor será a qualdade da formação cotda a medda de posção, ou, em outras palavras, meor a margem de erro que será assumdo cosderado a medda de posção como represetate de toda a amostra. Exstem bascamete dos grades grupos de meddas de dspersão: meddas de dspersão absolutas: levam em cota a dspersão propramete dta; 1 meddas de dspersão relatvas: levam em cota smultaeamete uma medda de posção e a medda de dspersão correspodete. São útes para efetuarmos comparações etre amostras. 0 O objetvo deste capítulo é tomarmos cotato com ambos os grupos. 4.1 Meddas de dspersão absolutas Ampltude total A ampltude total (At) já é ossa cohecda e é a mas elemetar das meddas de dspersão. É extremamete fácl de ser calculada, mas de dfícl terpretação, em especal quado os dados extremos são muto grades ou muto pequeos. São mas utlzadas, portato, quado as dstrbuções apresetam certa homogeedade.

18 Udade II Por exemplo, supoha que tehamos as valorzações mesas das ações de duas dferetes empresas A e B, com os segutes valores (em porcetagem): Empresa A = {1,; 18,0; 6,3; 3,4; 4,1; 18,6; 37,6}. Empresa B = {1,3; 19,7; 3,9; 16,7;,9; 14,6; 18,9;,8}. As ampltudes seram, respectvamete, de 4,1 18,0 = 7,1% para as ações da empresa A e de,9 14,6 = 11,3% para a empresa B. Em outras palavras, as varações máxmas seram de 7,1% para as ações da empresa A e de 11,3% para a empresa B. Logo, o rsco de osclação é maor para a empresa A do que para a empresa B Desvo médo 1 É defdo como a méda artmétca do módulo 1 dos desvos dos elemetos em relação à méda dos mesmos. Etede-se por desvo a dfereça etre o valor de um elemeto da amostra para a méda dessa mesma amostra: d=x X Portato, o desvo médo será dado pela fórmula: dm = = 1 N d O exemplo abaxo dexará mas claro esse processo. 0 Exemplo 1 Calcular o desvo médo da amostra {18; 1; ; 7; 8; 9; 3; 37}. 1 Defe-se módulo ou valor de um úmero a dstâca deste úmero para zero, depedetemete do sal, ou seja, módulo de um úmero postvo e módulo de um úmero egatvo é o seu smétrco, sto é, o mesmo úmero postvo. Para efeto do cálculo do desvo médo, cosderamos o úmero sempre postvo, seja qual for seu sal. 6

19 ESTATÍSTICA O prmero passo será calcular a méda artmétca desses valores e, em seguda, os desvos de cada um dos valores. Depos, somaremos o módulo desses valores dvddo-os pelo úmero total de elemetos da amostra. O quadro abaxo mostra passo a passo esses cálculos: Ordem dos elemetos Valores Desvos Módulo d =x X _ dos desvos d =x X _ = = = = = = = = Soma Méda ( X _ ) 16/8=7 Desvo médo (dm) 40/8 = Observe que a soma dos desvos é zero, o que é evdete. O própro coceto de méda (valor equdstate de todos os elemetos da amostra) os coduz a sso. O coceto de desvo médo só tem setdo quado utlzamos o módulo dos desvos. Para fcar mas claro, veja abaxo os cálculos fetos, utlzado-se das fórmulas formadas: Cálculo da méda: Σx X 16 = X = X = 7 N 8 Cálculo do desvo médo: 1 d = dm = 1 40 => dm = => dm = N 8 7

20 Udade II Quado trabalhamos com dados agrupados em classes ou ão, utlzamos exatamete o mesmo processo de cálculo, evdetemete que com alterações as fórmulas de cálculos, troduzdo-se o coceto de frequêca smples, como se mostra a segur: dm = 1 = f = 1 d x f Observar que para dados agrupados em classes o cálculo dos desvos é dado por: d = p m - X Os exemplos a segur demostram esses cálculos. Exemplo Calcular o desvo médo da amostra de dstrbução abaxo, relatva ao úmero de acdetes dáros uma estrada federal. Número de acdetes dáros Valor Dstrbução de acdetes por da - estrada X Das Valor x Desvos Módulo pesqusados Frequêca dos desvos Frequêca Módulo dos desvos x Frequêca x f x.f d =x X _ d =x X _ d x f ,6 3,6 43, ,6,6 39, ,6 1,6 4, ,4 0,4 8, ,4 1,4 6, ,4,4 19, ,4 4,4 6, ,4 6,4, 11 7,4 7,4 14, ,4 8,4 8,4 Somas ,0 Méda 3,6 Desvo médo, 8

21 ESTATÍSTICA d x f = 1 7 dm = => dm = => dm = f 118 Exemplo 3 = 1, Calcular o desvo médo da amostra de dstrbução abaxo, relatva ao tempo de mão de obra gasto com a mauteção dos avões de uma empresa aérea. Dstrbução das horas de mauteção - aero X Classes Lmtes de classes Potos médos de classe Valor Mauteções pesqusadas Frequêca Valor x Frequêca Desvos Módulo dos desvos Módulo dos desvos x Frequêca l ls pm f pm.f d =x X _ d =x X _ d x f , ,1 4,1 6, , ,1 1,1 1, , 16 1,9 1,9 30, , 4,9 4,9 49, , ,9 7,9 47, Somas 78 43,1 Méda,6 Desvo Médo 3,3 d x f = 1, 1 dm = => dm = => dm = 3, 3 f 78 = Varâca A defção de desvo médo leva em cosderação os desvos dos elemetos tomados a 1ª potêca. Matematcamete, demostra-se que os efetos de desvo são mas bemrepresetados quado tomados ao quadrado. Essa cosderação os leva à defção das duas mas mportates meddas de 9

22 Udade II varabldade absolutas: a varâca e o desvo padrão que veremos em seguda. A varâca é o somatóro dos desvos tomados ao quadrado, ou seja, é bascamete a mesma defção do desvo médo, alterado-se apeas a potêca dos desvos: S = = 1 d N 1 No caso em que estvermos trabalhado com dados agrupados, a forma, aturalmete, deverá clur o coceto de frequêca smples, ou seja: S = = 1 = 1 d x f f 1 Os exemplos de 1 a 3 o próxmo tem mostram o cálculo da varâca os város casos possíves Desvo padrão 1 O cálculo ou a aálse da varâca tem um grade coveete prátco: ela apreseta udades ao quadrado em relação à medda de tedêca cetral. Por exemplo, supoha que queremos descrever uma amostra de saláros de uma empresa. Poderíamos afrmar que o saláro médo da empresa é de reas, e a varâca, de 11.0 reas ao quadrado. 0 Observe a estraheza que causa a udade: reas ao quadrado. Sem falar do úmero extravagate que resultou dos cálculos. Para cotorar esse problema, defe-se a mas utlzada das meddas de varabldade: o desvo padrão. Observe também uma alteração o deomador da fórmula; ao vés de N, é N-1. Essa alteração é mportate quado tratarmos dos assutos relatvos à estmação estatístca (em Estatístca para Admstradores). A rgor, utlzaremos a fórmula acma para amostras e a mesma fórmula com deomador gual a N para populações. 60

23 ESTATÍSTICA Cocetualmete, o desvo padrão é a raz quadrada da varâca e é smbolzado pela letra S maúscula. Dessa forma, é calculado pelas fórmulas S = d = 1 N 1 para dados solados e S = = 1 = 1 d x f f 1 para dados agrupados em classes ou ão. Nos exemplos de 1 a 3 a segur, são calculados os valores do desvo padrão e da varâca, de maera semelhate ao que fo feto aterormete para o desvo médo. Observe que o cálculo segue os segutes passos em ambos os casos: 1. Calcular a méda da dstrbução.. Calcular os desvos de cada elemeto Calcular o quadrado dos desvos. 4. Somar o quadrado dos desvos (usado o coceto de frequêca caso sejam dados agrupados).. Dvdr a soma obtda pelo úmero de elemetos meos 1, obtedo-se a varâca Extrar a raz quadrada, obtedo-se o desvo padrão. 61

24 Udade II Exemplo 1 Calcular a méda e o desvo padrão da amostra {18; 1; ; 7; 8; 9; 3; 37}. Ordem dos elemetos Valores Desvos Desvos ao quadrado x d =x X _ d = = = = = = = = Soma Méda ( X _ ) 16/8=7 Cálculo da méda: Varâca 304/7 = 43,4 Desvo padrão 6,6 Σx X 16 = X = X = 7 N 8 Cálculo da varâca: S = d = 1 N => S = => S = 43, Cálculo do desvo padrão: S = = 1 d N => S = => S = 43, 4 => S = 6,

25 ESTATÍSTICA Exemplo Calcular a varâca e o desvo padrão da amostra de dstrbução abaxo, relatva ao úmero de acdetes dáros uma estrada federal. Número de acdetes dáros Valor Dstrbução de acdetes por da - Estrada X Das Valor x Desvos Quadrado pesqusados Frequêca dos desvos Frequêca Quadrado dos desvos x Frequêca x f x.f d =x X _ d d x f ,6 13, 17, ,6 6,9 3, 8 6-1,6,6 74, ,4 0,1 3, ,4 1,9 3, ,4,6 4, ,4 19,1 114, ,4 40,6 16, 11 7,4 4,4 8, ,4 70,1 70,1 Somas ,6 Méda 3,6 Varâca 7, Desvo Médo,7 Cálculo da varâca: S = = 1 = 1 d x f f 1 87, 6 => S = S = =, Cálculo do desvo padrão: S = = 1 = 1 d x f f 1 87, 6 => S = => S = 7, => S =,

26 Udade II Exemplo 3 Calcular o desvo padrão da amostra de dstrbução abaxo, relatva ao tempo de mão de obra gasto com a mauteção dos avões de uma empresa aérea. Dstrbução das horas de mauteção - Aero X Classes Lmtes de classes Potos médos de classe Valor Mauteções pesqusadas Frequêca Valor x Frequêca Desvos Quadrado dos desvos Quadrado dos desvos x Frequêca l ls pm f pm.f d =x X _ d d x f , ,1 16,6 43, , ,1 1, 3, , 16 1,9 3,7 9, , 4,9 4, 4, , ,9 6,8 376,7 Somas , Méda,6 Varâca 14,7 Desvo Padrão 3,8 Cálculo da varâca: S = = 1 = 1 d x f f , => S = S => =, Cálculo do desvo padrão: S = = 1 = 1 d x f f , => S = => S = 14, 7 => S = 3, O desvo padrão é a mas utlzada medda de dspersão, e, quado relacoada com a méda, forma a quatdade de elemetos da amostra ou da população que se stuam em toro da méda. 64

27 ESTATÍSTICA O mas comum, a estatístca, é que essa relação etre méda e desvo padrão seja feta pela chamada dstrbução ormal, à qual ós voltaremos a dscpla de Estatístca para Admstradores. Nessa relação, válda a maor parte dos casos prátcos, seguem-se os segutes tervalos: 1. Etre a méda mas uma vez o desvo padrão e a méda meos uma vez o desvo padrão, estão cotdos 68% dos elemetos da amostra ou da população.. Etre a méda mas duas vezes o desvo padrão e a méda meos duas vezes o desvo padrão, estão cotdos 8% dos elemetos da amostra ou da população. 3. Etre a méda mas três vezes o desvo padrão e a méda meos três vezes o desvo padrão, estão cotdos 99,74% dos elemetos da amostra ou da população Etre a méda mas quatro vezes o desvo padrão e a méda meos quatro vezes o desvo padrão, estão cotdos 0% dos elemetos da amostra ou da população. Exemplo: um estudo estatístco com 4.80 aluos de Admstração da Produção de uma uversdade mostrou que a ota fal méda deles fo de,3 com desvo padrão de 1,. Quatos aluos tveram médas fas etre 4,1 e 6,? Observe que as otas 4,1 e 6, correspodem exatamete à méda meos um desvo padrão (,3 1, = 4,1) e à méda mas um desvo padrão (,3 + 1, = 6,). Portato, 68% dos aluos estão cotdos esse tervalo, ou seja: 68% de 4.80 são 3.80 aluos. Podemos, portato, afrmar que 3.80 aluos tveram otas etre 4,1 e 6,. 6

28 Udade II 4. Meddas de dspersão relatvas 1 A maera mas comum de se formar de maera stétca (resumda) dados quattatvos é através de uma medda de posção (méda, medaa ou moda) em cojuto com uma medda de dspersão absoluta (desvo médo, varâca ou desvo padrão). O mas comum é o par de formações: méda - desvo padrão. Frequetemete, o etato, é teressate utlzar as chamadas meddas de dspersão relatvas, que aalsam smultaeamete uma medda de posção e a medda de dspersão correspodete. São especalmete teressates essas meddas quado fazemos comparações etre amostras dferetes. A rgor, podemos obter essas meddas, costumeramete chamadas de coefcetes de varação, dvddo uma medda de dspersão por uma medda de posção; o etato, as mas comus são: 1. Coefcete de varação de Pearso: dvsão do desvo padrão pela méda: Cv p S S = ou Cvp = 0 X X 0. Coefcete de varação de Thordke: dvsão do desvo padrão pela medaa: Cv p S S = ou Cvp = 0 Me Me O exemplo a segur mostra uma aplcação dos coefcetes de varação, um caso de ordem prátca. 66

29 ESTATÍSTICA Um especalsta estudou, estatstcamete, dos tpos de vestmetos, chegado às coclusões do quadro abaxo. Qual é o vestmeto que apreseta meor rsco? 3 Estatístcas Retoro esperado Aplcações X Y 1% 0% Desvo padrão 9% % Observações O especalsta tera chegado a essas coclusões através de um estudo estatístco o qual pesqusou e resumu os retoros ocorrdos o passado, coforme vmos o tem 3.1 Aalogamete, o especalsta tera calculado o devo padrão coforme vmos o tem Observe que se o especalsta comparasse as aplcações somete com base em seus desvos padrões, ele preferra a aplcação X, uma vez que essa aplcação tem um desvo padrão meor que Y (9% versus %). Essa comparação sera baseada o fato de que, sedo mas homogêea a aplcação A, dara meos sustos. No etato, se ele calculasse e comparasse os coefcetes de varação, chegara a coclusões dferetes: Estatístcas Aplcações X Y Retoro esperado 1% 0% Desvo padrão 9% % Coefcete de varação de Pearso 7% 0% Cv pa 9 = x 0=> Cvpa = 7% 1 Cv pb = x 0=> Cvpb = 0% 0 3 Adaptado de GITMAN, Lawrece J. Prcípos de admstração facera. São Paulo: Harbra,

30 Udade II A comparação dos coefcetes de varação das aplcações mostra que o especalsta estara cometedo um erro séro se escolhesse a aplcação X em vez de a aplcação Y, já que a dspersão relatva, ou rsco, das aplcações, coforme refletda o coefcete de varação, é meor para o atvo Y do que para o X (0% versus 7%). Evdetemete, o uso do coefcete de varação para comparar o rsco da aplcação é melhor porque este também cosdera o tamaho relatvo, ou retoro esperado, das aplcações. 4.3 Relações gráfcas etre as meddas estatístcas 1 0 Nos estudos e aálses estatístcos, é teressate e mportate vsualzar as formações cotdas os dados através do uso dos dversos gráfcos, assuto esse de que tratamos o módulo. Quado utlzamos os hstogramas, é faclmete perceptível que as frequêcas dos valores mas cetras tedem a ser maores que as dos valores extremos. Esse comportameto os permtrá coclusões mportates o capítulo da estatístca dutva, porque, va de regra, ocorre de modo repettvo. Observações do padrão de comportameto das dstrbuções mostram que grade parte delas tede a se apresetar da maera cohecda como dstrbução ormal. A fgura 1 mostra o comportameto estatístco de uma dstrbução de frequêcas relatva aos pesos de um grupo de pessoas qualquer. Observe que os pesos próxmos da méda têm maor frequêca, e o loge da méda, meor. Observe também a curva que se forma pela dstrbução das coluas. 68

31 ESTATÍSTICA Fgura 1 - Pesos corporas Frequêca smples Peso em qulos No curso de Estatístca para Admstradores, remos retorar ao assuto, quado dremos, por exemplo, que é pouco provável uma pessoa adulta ter peso acma de 0 kg ou abaxo de 3 kg, e utlzaremos essa curva para determar qual é essa probabldade, se houver. Por ora, remos os preocupar com a varação de formatos desse tpo de curva, chamada de curva ormal, ou curva de Gauss ou, ada, de curva do so. Em teora, espera-se que essa curva teha comportameto mostrado as curvas desehadas em lha cotíua as fguras e 3. Mas a prátca ocorrem deformações essas curvas, demostradas as curvas potlhadas das mesmas fguras. Essas deformações são chamadas, respectvamete, de assmetra (fgura ) e curtose (fgura 3). 69

32 Udade II Fgura - Assmetra Frequêca smples Assmétrca postva Smétrca Assmétrca egatva 0 0 Méda Varável Fgura 3 - Curtose Curva leptocúrtca Frequêca smples Curva mesocúrtca 0 Curva platcúrtca Méda Varável Assmetra A assmetra mede o quato a dstrbução se afasta da méda. Esse afastameto pode ocorrer para a dreta ou para a esquerda, gerado, respectvamete, as assmetras postva e egatva. O grau de assmetra é dado, frequetemete, pelo chamado 1º coefcete de Pearso: 4 As = X Me S Pearso. 4 Exstem outras meddas de assmetra, além do 1º coefcete de 70

33 ESTATÍSTICA Ode: As = Coefcete de assmetra X = Méda Me = Medaa S = Desvo padrão Caso: As = 0, a dstrbução é smétrca. As > 0, a dstrbução é assmétrca postva ou à dreta. As < 0, a dstrbução é assmétrca egatva ou à esquerda. Por esse crtéro, costuma-se classfcar as dstrbuções da segute maera: Caso As <-1: assmétrca egatva forte. Caso -1 < As < 0: assmétrca egatva fraca. Caso As = 0: smétrca. 1 Caso 0 < As < 1: assmétrca postva fraca. 0 Caso As > 1: assmétrca postva forte Curtose A curtose mede o quato a dstrbução se aloga ou se achata em relação à curva teórca. A curva teórca é chamada de mesocúrtca; as mas alogadas, de leptocúrtca, e as mas achatadas, de platcúrtca O grau de curtose é dado, frequetemete, pelo coefcete: 4 d x f k = f 4 S 3 Exstem outros coefcetes de curtose além do apresetado aqu. 71

34 Udade II Ode: K = Coefcete de curtose d = Desvos f = Desvo Padrão Caso: K = 0, a dstrbução é mesocúrtca. K > 0, a dstrbução é leptocúrtca. K < 0, a dstrbução é platcúrtca. Exemplo: O exemplo a segur demostra o cálculo da assmetra e da curtose de uma dstrbução referete ao cosumo de eerga elétrca etre 1.4 famílas de determada regão. 1 Observado os cálculos da próxma pága, otamos que a dstrbução (e a curva dela decorrete) é assmétrca egatva fraca, ou seja, lgeramete deslocada para a esquerda e que é platcúrtca, ou seja, achatada. A curva tera a aparêca aproxmada abaxo (a curva potlhada é a do exercíco; a chea, é a padrão): Fgura 4 - Assmetra e curtose Frequêca smples Méda Varável 7

35 ESTATÍSTICA Classes úmero Cosumo mesal por famla Número de famílas Valor Frequêca Potos médos de classe Frequêca acumulada crescete Potos médos x Frequêcas Desvos Desvos ao quadrado Desvo ao quadrado x Frequêcas Desvos a quarta potêca Desvos a quarta potêca x Frequêcas l l s f pm f ac pm x f d =x X _ d d x f d 4 d 4 x f Somatóros

36 Udade II Cálculo da méda: xf X = => X = => X = 17, f 1. 4 Cálculo do desvo padrão: S = = 1 = 1 d x f f => S = => S = => S = 1, Cálculo da medaa: E - elemeto medao:. me me me N = => E = => E = 63 - medaa: Me=l + E me -f Me f ac at Me x h= x 0=>Me=,4 Cálculo da assmetra: X Me As = 17,, 4 => As = S 1, 1 => As = 0, 067 Cálculo da curtose: 4 d x f f K = 3 => K = 14 3 => K = 0, S ( 1, 1) 74

37 ESTATÍSTICA Referêcas bblográfcas ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatístca aplcada à admstração e ecooma.. ed. São Paulo: Thomso Learg, 007. BRUNI, Adrao B. Estatístca aplcada à gestão empresaral. São Paulo: Atlas, 007. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. A. Estatístca básca. 3. ed. São Paulo: Atual, COSTA NETO, P. L. O. Estatístca. São Paulo: Edgard Blücher, COSTA NETO, P. L. O.; CYMBALISTA, M. Probabldades. São Paulo: Edgard Blücher, DOWNING, D.; CLARK, J. Estatístca aplcada. 1. ed. São Paulo: Sarava, FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A.; TOLETO, G. L. Estatístca aplcada. São Paulo: Atlas, 199. GUERRA, M.; GUERRA, M. J.; DONAIRE, D. Estatístca aplcada. São Paulo: Cêca e Tecologa, KAZMIER, L. J. Estatístca aplcada à ecooma e admstração. São Paulo: Makro Books, 198. KUNE, H. Métodos estatístcos para a melhora da qualdade. São Paulo: Gete, LAPPONI, J. A. Estatístca usado Excel. 4. ed. Ro de Jaero: Elsever, 00. 7

38 Udade II MEDEIROS, E.; MEDEIROS, E.; GONÇALVES, V.; MUROLO, A. C. Estatístca para os cursos de ecooma, admstração e cêcas cotábes.. ed. v. 1 e. São Paulo: Atlas, Tabelas de estatístca para os cursos de ecooma, admstração e cêcas cotábes.. ed. São Paulo: Atlas, MEYER, P. L. Probabldade aplcações à estatístca. 1. ed. Ro de Jaero: Lvros Téccos e Cetífcos, MILONE, G.; ANGELINI, F. Estatístca aplcada. São Paulo: Atlas, 199. MOORE, D. A estatístca básca e sua prátca. 1. ed. Ro de Jaero: LTC, 000. MOORE, D; McCABE, G. P.; DUCKWORTH, W. M.; SCLOVE, S. L. A prátca da estatístca empresaral. Como usar dados para tomar decsões. Ro de Jaero: LTC, 006. SPIEGEl, M. R. Estatístca. São Paulo: Makro Books, STEVENSON, W. J. Estatístca aplcada à admstração. São Paulo: Habra, TRIOLA, M. F. Itrodução à estatístca. Ro de Jaero: LTC, 00. WITTE, R. S.; WITTE, J. S. Estatístca. 7. ed. Ro de Jaero: LTC,