PUCRS FAMAT DEPTº DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA SÉRGIO KATO

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1 PUCRS FAMAT DEPTº DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA SÉRGIO KATO A expressão dados, será ctada dversas vezes esta dscpla, em lguagem ormal, dados são ormações (úmeros ou ão) sobre um dvíduo (pessoa, amal, plata, objeto ou eveto), assocada a uma ou mas característca de um eômeo. ESTATÍSTICA: É a cêca que tem por objetvo oretar a coleta, o resumo, a apresetação, a aálse e a terpretação dos dados. A ESTATÍSTICA SE DIVIDE EM: Estatístca Descrtva evolvda com resumo e apresetação dos dados. Estatístca Ierecal ajuda a coclur sobre cojuto maor de dados (população) quado apeas uma parte deste cojuto o estudada (amostra). ALGUMAS DEFINIÇÕES BÁSICAS UNIDADE EXPERIMENTAL é a meor udade a orecer uma ormação. Ex: pessoa, amal, plata, olha, peça de uma máqua, lote produzdo, etc. VARIÁVEL toda característca que, observada em uma udade expermetal, pode varar de dvíduo para dvíduo. Ex: sexo, peso, taxa de desemprego, cocetração de uma substâca, redmeto, etc. POPULAÇÃO todo cojuto de udades expermetas que apresetam pelo meos uma característca em comum. Ex: população de estudates uverstáros de Porto Alegre; população de pacetes dos hosptas públcos da Grade Poa; população de peças abrcadas por uma dústra o 1º semestre de 008. AMOSTRA qualquer ração de uma população. A amostra pode ou ão ser represetatva da população, para tetar azer com que ela seja, exstem dversas téccas de amostragem. CENSO é o resultado do estudo estatístco realzado em toda a população. AMOSTRAGEM É o processo de obteção de uma amostra, são téccas, plaos a m de torar represetatva a amostra extraída da população. PARÂMETRO é uma quatdade que resume a população, a ormação relatva a uma varável. ESTIMATIVA é uma quatdade que resume a amostra, a ormação relatva a uma varável. 1

2 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS Varáves Qualtatvas Quattatvas Nomas Ordas Dscretas Cotíuas QUANTITATIVAS: são valores umércos, que expressam quatdade. Ex: altura (1,70m; 1 cm, etc.), peso (50kg, 50g, etc), úmero de baheros a casa. As varáves quattatvas podem ada ser subdvdas em: DISCRETAS: só podem ter valores teros, como por exemplo o úmero de rmãos, úmero de baxas hosptalares, etc. CONTÍNUAS: podem ter valores detro de tervalos de valores. Por exemplo, a estatura de uma pessoa pode estar etre 1,65 e 1,66, o valor 1,655 é possível, mas a prátca é muto dícl de termos esta precsão. A DIFERENÇA etre varáves cotíuas e dscretas é que as dscretas ão exste a possbldade, mesmo teórca, de se observar um valor racoáro: uma pessoa ão pode ter 1, rmãos. QUALITATIVAS (ou categórcas): orecem dados de atureza ão umérca. Ex: raça, sexo, classe socal, etc. Há dos íves de mesuração para este tpo de varável: 1) Nível omal este ível, dereca-se uma categora da outra somete através da deomação da categora. Podem ser dcotômcas ou polomas. Ex: ome, sexo, tpo sagüíeo, hábto de umar ) Nível ordal exste grau de tesdade etre as categoras. Ex: tesdade de dor, classe socal.

3 APRESENTAÇÃO DOS DADOS Vamos assumr o segute cojuto de dados: Uma amostra das otas de 3 estudates de uma turma está descrta a segur X: ota AMILCAR 6 ADRIANO 0 TASSIO ANDRE 6,5 ANDERSON 5 MARCELO 3,5 JACKSON 4 ALEXANDRE 7 GIAN 8 ROMEU 7 GUSTAVO A. 8,5 CESAR 6 RICARDO 4,5 REINALDO 0 GUSTAVO B. 6,5 BRUNO B. 6 ALEXSANDER CARLOS L. 5 LILIANE 5,5 DAVI 5 BRUNO A. 7 ESTEVAO 1,5 ELIAS 5 FILIPE 5 RAFAEL B. 4 GILSON 4,5 PRISCILLA 4 DIEGO 1 TATIANA 5,5 GISELE 3,5 MICHAEL,5 MILEN 4,5 3 - Dados solados: Represetam os dados a orma bruta. Sabemos a quem correspode cada valor da varável. Iormação é dvdualzada. Útl quado temos poucas ormações. 3

4 - Dados poderados: É uma tabela que cotém para cada valor observado o úmero de vezes que ele ocorre (reqüêca), mas ão sabemos a quem correspode cada valor. Nota Freqüêca ,5 1,5 1 3, , , , ,5 1 Total 3 - Dados agrupados : Apeas para dados quattatvos. É uma tabela que cotém dvsões da varável em estudo (tervalos) ode é observado o úmero de vezes que ocorrem os valores cotdos estes tervalos. Itervalo de ota Freqüêca Total 3 4

5 TIPOS DE FREQÜÊNCIA Geralmete, dados solados são agrupados a orma de tabelas de reqüêca, que ada mas são do que dados poderados ou agrupados. Exstem quatro tpos de reqüêcas: Freq. Absoluta da lha : represeta a quatdade de valores de x correspodete à lha Freq. Relatva: represeta a % que apresetam o valor da varável x gual ao da -ésma lha da tabela r ou r%. 100 Freq. Acumulada: é a soma das reqüêcas absolutas até a -ésma lha, ou seja, represeta o úmero de elemetos que apresetam valores da varável x meor ou gual ao da lha F j 1 j Freq. Acumulada Relatva: equvale a reqüêca acumulada porém acumula-se as reqüêcas relatvas. F F Fr ou Fr rj j 1 ou Fr %. 100 Exemplo: Tabela - Dâmetro (cm) de 5 peças produzdas por uma máqua. Dâmetro (x ) r (%) F Fr (%) ,0 1 4, ,0 1 4, ,0 3 1, ,0 4 16, ,0 7 8, ,0 1 48, , ,0 5. 8, , ,0 88, ,0 4 96, , ,0 Total 5 100,0 Fote: xxx Ode, reqüêca absoluta smples (Σ ) r reqüêca relatva smples ( /Σ *100) F reqüêca acumulada Fr reqüêca acumulada relatva 5

6 Iterpretação: 5 3 peças têm dâmetro 4,9 cm F 7 17 peças têm dâmetro de até 5,1 cm Fr 3 8% das peças têm dâmetro 4,7 cm Fr 9 88% das peças têm dâmetro de até 5,3 cm Tabela- Pesos (Kg) observados em 140 estudates da PUC. Peso (Kg) r (%) F Fr (%) ,0 6 4, ,0 6 18, , , , , , , , , , ,0 Total ,0 Fote: xxx Dcas para a coecção de tabelas: 1. Deve ser preceddo por um título, sucetemete claro para que o letor ão precse voltar ao texto para eteder o coteúdo da tabela.. A tabela é lmtada por uma lha superor e uma eror. O cabeçalho deve ser separado do resto do texto por uma lha horzotal. 3. NÃO SE USAM LINHAS VERTICAIS separado as coluas. 4. Abrevaturas e símbolos pouco cohecdos devem ser explcados o rodapé da tabela. 5. Deve ser dcada a ote dos dados. 6

7 PRINCIPAIS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS HISTOGRAMA % Peso (kg) Gráco - Peso (Kg) observado em 140 estudates uverstáros. GRÁFICO DE COLUNAS Os grácos de Barras são geralmete utlzados as mesmas stuações que os grácos de Coluas, derdo apeas a dsposção dos dados o exo y % Nº de lhos Gráco Dstrbução de 333 dvíduos, segudo o úmero de lhos. GRÁFICO DE SETORES Também é cohecdo por gráco de pzza ou de torta. SEXO (%) Masc 8% Fem 7% Gráco Dstrbução dos pacetes segudo o sexo. 7

8 GRÁFICO DE DISPERSÃO 10 Taxa Bruta vs Nascdos Vvos Mortaldade Iatl Nascdos Vvos Gráco Gráco de dspersão da taxa de mortaldade atl e do úmero de ascdos vvos os mucípos do RS, 004. GRÁFICO DE LINHAS Gráco Taxa de crescmeto aual do Ídce Trmestral de Atvdade Produtva (ITAP) e do Produto Itero Bruto (PIB) do RS, o período de 001 a 006. CARTOGRAMA Fgura Mapa do bloco Reda do Ídce de Desevolvmeto Sóco Ecoômco (IDESE/FEE) o RS,

9 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL São valores calculados com o objetvo de represetar os dados de uma orma mas codesada do que usado-se uma tabela. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES É a medda de tedêca cetral mas utlzada. Fácl de calcular e terpretação amlar. Útl as comparações etre populações e outras erêcas. Também pode ser chamada de valor esperado ou esperaça matemátca. Notação: Na população deomamos por µ. Na amostra deomamos por X. Cálculo para dados ão agrupados: N x µ 1 N ode x: valores observados N: tamaho da população : tamaho da amostra X x 1 Também podemos calcular a méda para dados poderados ou agrupados. µ N x N 1 1 ode x: valores observados ou poto médo do tervalo : reqüêca absoluta N: tamaho da população : tamaho da amostra N x X x 1 1 x Propredades: 1. A méda de um cojuto de úmeros sempre pode ser calculada.. Para um dado cojuto de úmeros, a méda é úca. 3. Somado-se ou subtrado-se uma costate a cada valor de um cojuto, a méda cará, respectvamete, somada ou subtraída do valor da costate. Aalogamete, multplcado-se ou dvddo-se por uma costate cada valor de um cojuto, a méda cará multplcada ou dvdda, respectvamete, pela costate. 4. A soma dos desvos dos úmeros de um cojuto em relação à méda é zero, sto é, ( x µ) A méda é sesível a todos os valores de um cojuto, soredo luêca de valores extremos. 9

10 Exemplo (dados solados): Supoha que ao passar pelo acabameto de certo processo de mauatura, observe-se o tempo que 10 operáros levam para examar sete embalages do mesmo produto. Cosdere o tempo em segudos: 50 s 51 s 49 s 5 s 51 s 49 s 50 s 51 s 49 s 48 s 10 Etão: T X 500 s > µ 50 s 1 Exemplo (dados poderados): Número de peças deetuosas em uma amostra de 50 lotes produzdos em determada ábrca. Nº de peças (x ) Nº de lotes ( ).x.(x - X ) F , , , , , , , , , ,0 Logo, x X , peças Iterpretação: Os 50 lotes produzdos a determada ábrca apresetaram, em méda, 3, peças deetuosas. Uma propredade mportate é que a soma dos desvos de cada valor de x em relação à méda é zero. (4ª colua da tabela). Exemplo (dados agrupados): Idade, em aos, em uma amostra de craças da prmera sére de uma escola rural Idade (aos) x x F 5,5 6, ,5 7, ,5 8, ,5 9, Logo, x x X 1 1 M 0 0/30 X 7,3 aos 30 10

11 MEDIANA É a medda estatístca de tedêca Cetral que dvde a dstrbução dos dados ordeados em duas partes de gual reqüêca, de orma que 50% das observações a atecedem. De orma geral, podemos ecotrar a posção da medaa através da órmula: Propredades: P N+1 ou P A medaa ão depede de todos os valores observados, além dsso, ão sore luêca de valores extremos.. Não pode ser aplcada a varáves omas. 3. Adequado quado os dados apresetam grade varabldade ou dstrbução assmétrca, além de valores extremos dedos (ex. maor do que...). Exemplo ateror: Ordeamos os dados: Calculamos a Posção da medaa: P (N+1)/ P 5,5 A medaa se ecotra etre o 5 o e o 6 o elemeto: x5+ x Md 50 s Iterpretação: 50% dos operáros tveram tempo de até 50 s. Para dados poderados devemos observar o valor da a F (reqüêca acumulada) e o valor da posção da medaa. A medaa é o valor de x cuja F gualar ou exceder ao valor da posção. Para calcular a medaa para dados agrupados, devemos segur os segutes passos: 1) Ecotrar a classe que cotém a medaa: Achar a posção da medaa P(+1)/ Calcular as reqüêcas acumuladas ) Calcular o valor da medaa F 1 Md l + h ode: l : lmte eror da classe medaa F -1 : reqüêca acumulada da classe ateror à classe medaa : reqüêca absoluta da classe medaa h : ampltude da classe medaa 11

12 Exemplo (dados agrupados): Idade, em aos, em uma amostra de craças da prmera sére de uma escola rural Idade (aos) F 5,5 6, ,5 7, ,5 8, ,5 9, P(30+1)/15,5 comparado com a F cocluímos que a medaa ecotra-se o tervalo 6,5 7,5. Aplcado a órmula da medaa para dados agrupados obtemos o valor 7,5 Iterpretação: Metade das craças da prmera sére de uma escola rural apreseta até 7,5 aos. MODA É o valor mas reqüete em uma sére de valores. Em dados apresetados em tervalos de classe podemos ctar o tervalo modal ou etão dzermos que a moda é o poto médo do tervalo de maor reqüêca. Nos grácos, detcamos a moda ou as modas pelos pcos de reqüêca. Um cojuto de dados pode ser bmodal, sto é, ter dos valores que são os mas reqüetes gualmete, ou ser multmodal. A preseça de moda a dstrbução ão é obrgatóra, e este caso temos uma dstrbução amodal. No exemplo ateror podemos observar que o tervalo modal é 6,5 7,5, pos é o tervalo que mas reqüete, também podemos apresetar a moda bruta como o valor 7, ou seja, o poto cetral do tervalo. 1

13 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE Um aspecto udametal da atureza dos dados é o ato que eles ão se repetem com precsão, pelo cotráro, são caracterzados por certa dereça etre os elemetos, a varabldade. Exemplo: Supohamos que se deseja comparar o desempeho de dos ucoáros, com base a produção dára de peças: Empregado A: 800, 810, 790, 800, 800 Empregado B: 700, 900, 800, 70, 930 > µ A 800 peças > µ B 810 peças Baseados estes úcos resultados obtdos, dríamos que o desempeho de B é melhor do que de A, já que B produz, em méda, um maor úmero de peças daramete. No etato, se ormos um pouco cudadoso, podemos perceber que a produção de A vara de 790 a 810 peças, ao passo que a de B vara de 700 a 930 peças, o que dca que o desempeho de A é bem mas uorme do que de B. É evdete que um alto grau de uormdade costuma ser cosderado como uma qualdade desejável essa stuação. AMPLITUDE DE VARIAÇÃO É a medda estatístca de varabldade ou dspersão mas smples, deda pela dereça etre o maor e o meor valor. H Xmáx - Xmí No exemplo: Para o empregado A temos: H peças Desvatages: 1) Só utlza os valores extremos, descosderado os termedáros; ) Quado se mede a ampltude a amostra, geralmete se está subestmado a ampltude da população, pos como os extremos são mas raros, dclmete se terá bem represetado a amostra. 13

14 VARIÂNCIA É uma medda estatístca que leva em cosderação todas as ormações do cojuto em aálse, azedo uso da soma de quadrados dos desvos em toro da méda. Notação: Na amostra deomamos por S. Na população deomamos por σ. Fórmula para seu cálculo: N ( X µ ) ( 1 X X ) 1 σ S N 1 ode x: valores observados µ: méda populacoal X : méda amostral N: tamaho da população : tamaho da amostra No exemplo: O empregado B tem varâca σ ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) peças OBS: Aqu a udade de medda é ao quadrado. Há uma órmula alteratva, que é útl quado o valor da méda ão é exato e até é mas correto, pos ão depede da méda que pode ter sordo arredodameto. Fórmula alteratva - Varâca (População) Para dados ão-agrupados Para dados poderados/agrupados x x σ µ σ µ N N Formula alteratva - Varâca (Amostra) Para dados ão-agrupados s ( x) x 1 Para dados poderados/agrupados s ( x) x 1 14

15 Exemplo: Amostra do redmeto mesal de 4 ucoáros (saláros mímos) da empresa A: x x X 4 1 x 14 3,5 sm. 4 s ( x) x 1 (14) ,67 sm. 3 DESVIO PADRÃO A desvatagem da varâca é que ela é medda em uma udade derete da udade em que o medda a varável, etão a solução é extrar a raz quadrada da varâca e com sso voltamos à udade orgal da varável, esta ova medda chamamos de desvo padrão. Notação: Na amostra deomamos por S. Na população deomamos por σ. População Amostra σ σ S S Exemplo: Reerete ao redmeto dos 4 ucoáros: s 1,67 1,9 sm. 15

16 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) Quado se aalsa a mesma varável em duas amostras, pode-se comparar os desvos padrões observados e vercar ode a varação é maor (só podemos comparar varâca e desvo padrão etre varáves se elas apresetarem médas guas ou muto próxmas). Se em uma amostra o desvo para a espessura das peças é s1,9 mm e em outra amostra o desvo é s0,51 mm, coclu-se que a varação é maor a amostra 1. No etato, se as peças da amostra 1 também oram pesados e o desvo o 0,009g, ada se pode armar sobre o peso ser meos varável que a espessura, pos são varáves deretes. Mas se temos varáves deretes e gostaríamos de comparar suas varabldades, podemos azer sto pelo coecete de varação, que é uma medda de dspersão depedete da udade de mesuração da varável. O coecete de varação represeta uma ração em relação à méda e é calculado da segute orma: Na população: σ γ µ ou σ γ % 100 µ Na amostra: CV s X ou CV% 100 s X Exemplo: Espessura: Peso: X E 3, 5mm e S E 1, 9mm X P 0, 00g e S P 0, 009g Etão, o CV para cada varável é 1,9mm CV (espessura) 3,5mm 0,37 ou (37%) 0,009g CV (peso) 0,00g 0,45 ou (45%) Pode-se, etão, vercar que a espessura das peças é uma característca meos varável que o peso. 16