APOSTILA DE ESTATÍSTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA, MATEMÁTICA INDUSTRIAL E ENGENHARIA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA APOSTILA DE ESTATÍSTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA, MATEMÁTICA INDUSTRIAL E ENGENHARIA SONIA ISOLDI MARTY GAMA MÜLLER 007

2 APRESENTAÇÃO A Estatístca é uma ferrameta mprescdível a qualquer pesqusador ou pessoa que ecesste tomar decsões. O seu estudo ão represeta uma tarefa muto fácl, prcpalmete o íco, quado são apresetados mutos cocetos ovos que exgem um tpo especal de racocío. Uma boa base teórca é mportate e ecessára para que o estudo da Estatístca seja prazeroso e ão muto sofrdo. Com o tuto de facltar a apresetação e apredzado da Estatístca desevolveu-se este materal para servr de apoo ddátco às dscplas de Estatístca, apresetada aos aluos das áreas de Admstração, Ecooma, Matemátca Idustral e Egehara. Soa Isold Marty Gama Müller

3 3 ÍNDICE I- INTRODUÇÃO... 4 II- ESTATÍSTICA DESCRITIVA... 5 III - PROBABILIDADE... IV- AMOSTRAGEM V- ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS VI-TESTES DE HIPÓTESES... 4 VII- ANÁLISE DA VARIÂNCIA VIII- REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES BIBLIOGRAFIA TABELAS... 58

4 4 I- INTRODUÇÃO. DEFINIÇÕES.... ESTATÍSTICA: A Estatístca refere-se às téccas pelas quas os dados são "coletados", "orgazados", "apresetados" e "aalsados". Pode-se dvdr a cêca Estatístca em dos grupos de estudo:. Estatístca Descrtva: refere-se as téccas de stetzação, orgazação e descrção de dados..estatístca Iferecal: compreede as téccas por meo das quas são tomadas decsões sobre a população baseadas a observações de amostras. População é o cojuto "Uverso" dos dados sobre os quas se quer estudar. Amostra é um subcojuto da população que coteha todas suas propredades. POPULAÇÃO AMOSTRA PROBABILIDADE População Amostra ESTATÍTICA.. VARIÁVEL Varável é uma característca da população à ser estudada. Tpos de Varáves: qualtatvas e quattatvas dscretas e cotíuas... QUALITATIVAS : quado resultar de uma classfcação por tpo ou atrbuto. Ex: Pop.: caetas fabrcadas Var.: cor (azul, vermelha, preta, etc)... QUANTITATIVAS: quado seus valores forem expressos em quatdades. Podem-se dvdr em dos tpos varáves quattatvas dscretas e varáves quattatvas cotíuas.... VARIÁVEIS DISCRETAS: quado seus valores forem expressos por úmeros teros. Ex.: Pop.: pessoas ateddas em um caxa de baco Var.: úmero de pessoas por sexo... VARIÁVEIS CONTÍNUAS: quado seus valores forem expressos em tervalos Ex.: Pop.: saláros de empregados de uma empresa Var.: valores (US$)

5 5 II- ESTATÍSTICA DESCRITIVA: A Estatístca Descrtva tem como objetvo a orgazação e descrção de dados expermetas. EEMPLO: Tempo de atedmeto (m.) aos cletes por um vededor de uma loja de materas de costrução. Dados brutos: 3,5,9,,6 3,,0,4,8,,3 0,8, 0,5,5,3 0,7,7,4,3,6. TABELAS: Rol: 0,5 0,7 0,8,0,,,3,3,3,4,4,6,6,7,8,9,,5 3, 3,5.. AMPLITUDE TOTAL: AT Máx. - Mí. No exemplo: AT3,5 0,5 3,0.. NÚMERO DE CLASSES: Fórmula de Sturges para o cálculo do úmero de classes: k + (3,3 x log ) ode: k úmero de classes úmero de dados dspoíves No exemplo: k + 3,3 log 0 5,9 ( 5 ou 6 classes)..3 AMPLITUDE DE CLASSE: AC AT k

6 6..4 PONTO MÉDIO DE CLASSE ode: x LI + LS x poto médo da classe LI lmte feror da classe LS lmte superor da classe TEMPO DE ATENDIMENTO AOS CLIENTES DE UM VENDEDOR EM UMA LOJA CLASSE (Tempo) FREQÜÊNCIA ABSOLUTA f FREQÜÊNCIA RELATIVA F r FREQÜÊNCIA ACUMULADA F a PONTO MÉDIO x 0,5, 4 0,0 (0%) 4 0,8,,7 9 0,45 (45%) 3,4,7,3 4 0,0 (0%) 7,0,3,9 0,05 (5%) 8,6,9 3,5 0,0 (0%) 0 3, TOTAL 0,00 (00%) - - FONTE: Lojas Balasol.. GRÁFICOS:.. HISTOGRAMA: Tempo de Atedmeto aos Cletes de um Vededor em uma Loja 0 8 Freg ,8,4,6 3, Tempo (m.)

7 7.. POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA Tempo de Atedmeto aos Cletes de um Vededor em uma Loja Freq , 0,8,4,6 3, 3,8 4,4 Tempo (m.).3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:.3. MÉDIA ARITMÉTICA: POPULAÇÃO AMOSTRA DADOS ISOLADOS: N x µ N x x DADOS AGRUPADOS: µ k k f f x x k k f f x ode: x valores da varável úmero de elemetos da amostra N úmero de elemetos da população f freqüêca da classe x poto médo da classe k úmero de classes EEMPLO : Para dados solados: x,59 Para dados agrupados: x,6.3. MEDIANA ( ~ x ):

8 8 Dvde o cojuto ordeado de valores em partes guas, ão cosderado o valor umérco, mas somete a posção. EEMPLO : Seja o cojuto A{ } Rol: etão: ~ x 6 EEMPLO : Seja o cojuto B { } Rol: etão: ~ x + 3,5.3.3 MODA ( $x ): Moda(s) de um cojuto de valores é o valor(es) de freqüêca máxma. EEMPLO : Seja o cojuto B { } xˆ 3 Dstrbução Normal : x ~ x xˆ.3.4 FRACTIS: Quarts, Decs e Percets QUARTIS: Q, Q e Q 3. Dvdem os valores ordeados em quatro subcojutos com guas úmeros de elemetos DECIS: D, D,..., D 9. Dvdem os valores ordeados e dez subcojutos com guas úmeros de elemetos PERCENTIS: P, P,..., P 99. Dvdem os valores ordeados e cem subcojutos com guas úmeros de elemetos. Q D 5 P 50 ~ x (medaa).4 MEDIDAS DE DISPERSÃO: Dados os cojutos: A {, 3, 5, 6, 4} ~ x A 4 x A 4 B {, 4, 0, 5, 0} ~ x B 4 x B 4

9 9.4. AMPLITUDE TOTAL: AT Máx - Mí AT A VARIÂNCIA: Méda dos quadrados das dfereças dos valores em relação a sua méda artmétca. DADOS ISOLADOS: POPULAÇÃO σ N ( x µ ) N s AMOSTRA ( x x) DADOS AGRUPADOS: σ k k f. ( x µ ) f.( x x) s k k f f.4.3 DESVIO PADRÃO: Como a varâca evolve o quadrado dos desvos, e é dada em úmero de udades elevadas ao quadrado; o desvo padrão tora a udade da varável gual a da méda. POPULAÇÃO AMOSTRA σ σ s s EEMPLO : Para dados solados: s 0,73 Para dados agrupados: s 0, COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: Caracterza a dspersão dos dados em termos relatvos a seu valor médo. É uma medda admesoal e é usada a comparação etre dstrbuções de dados de udades dferetes. cv s 00 x EEMPLO : Para dados solados: cv 46,30% Para dados agrupados: cv 40,60%.5 EERCÍCIOS:

10 0.5. Os dados a segur referem-se ao dâmetro, em polegadas, de uma amostra de 60 rolametos de esferas produzdos por uma compaha. 0,738 0,79 0,743 0,740 0,74 0,735 0,73 0,76 0,737 0,736 0,78 0,737 0,736 0,735 0,74 0,733 0,74 0,736 0,739 0,735 0,745 0,736 0,74 0,740 0,78 0,738 0,75 0,733 0,734 0,73 0,733 0,730 0,73 0,730 0,739 0,734 0,738 0,739 0,77 0,735 0,735 0,73 0,735 0,77 0,734 0,73 0,736 0,74 0,736 0,744 0,73 0,737 0,73 0,746 0,735 0,735 0,79 0,734 0,730 0,740 Baseado a dstrbução de dados costrua: a) Tabela da dstrbução de freqüêca, utlzado a fórmula de Sturges. b) Polígoo de freqüêca c) Hstograma.5. Utlzado a tabela que você costruu o problema.5.. determe: a) Méda Artmétca para dados solados b) Desvo padrão para dados solados c) Medaa para dados solados d) Moda para dados solados e) Coefcete de Varação.5.3 Uma amostra dos saláros mesas em reas de 50 operáros da Costrução Cvl de uma certa Empresa são apresetados a segur Baseado a dstrbução de dados costrua: a) Tabela da dstrbução de freqüêca, utlzado a fórmula de Sturges. b) Polígoo de freqüêca c) Hstograma.5.4 Utlzado a tabela que você costruu o problema.5.3. determe: a) Méda Artmétca para dados solados b) Desvo padrão para dados solados c) Medaa para dados solados d) Moda para dados solados e) Coefcete de Varação.5.5 Para uma amostra da vda útl de ferrametas de corte em um processo dustral apresetadas abaxo, determe:

11 a) Méda Artmétca para dados solados b) Desvo padrão para dados solados c) Medaa para dados solados d) Moda para dados solados e) Coefcete de Varação

12 III - PROBABILIDADE 3.. DEFINIÇÕES BÁSICAS: 3..- INTRODUÇÃO: PROBABILIDADE POPULAÇÃO AMOSTRA ESTATÍSTICA Uverso : Ω ou U Vazo: Uão: A B Itersecção: A B Complemeto: A ou Α ou A c Dfereça: A - B (A mas ão B) DIAGRAMA DE VENN: U A B Teorema : Le Comultatva. A B B A e A B B A Teorema : Le Assocatva. A (B C) (A B) C e A (B C) (A B) C Teorema 3: Le Dstrbutva. A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) e Teorema 4: (A c ) c A Teorema 5: A U A U A A

13 3 Teorema 6: A A A A A A A A Teorema 7 : Les de Morga (A B) A B e (A B) A B Teorema 8: A - B A B Teorema 9: A (A B) (A B ) Teorema 0: (A B) A (A c B) Teorema : Se A B, etão A B A e A B B 3..- AMOSTRAS ORDENADAS E NÃO-ORDENADAS: 3... PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM: Se um acotecmeto pode ocorrer por váras etapas sucessvas e depedetes de tal modo que: m é o º de possbldades da ª etapa m é o º de possbldades da ª etapa : m k é o º de possbldades da k ª etapa Etão o úmero total de possbldades do acotecmeto ocorrer é m x m x...x m k. Exemplo: Número possíves de placas de automóves: 6 letras m algarísmos m 0 4 Total: mx m AMOSTRAS ORDENADAS: Supoha ter os cojutos A e B. Se A tem m elemetos dsttos (a, a,...,a m ) e B tem p elemetos dsttos (b, b,...,b p ), etão o úmero de pares (a,b j ), com,,...,m e j,,...,p; que podem ser formados, tomado-se um poto de A e um poto de B é: m.p (pelo Prcípo Fudametal da Cotagem).

14 4 Supoha, ada que ter cojutos A, A,...,A cada um tedo m, m,...,m elemetos dsttos, respectvamete. Etão, o úmero de -uplas (x, x,...,x ) que podem ser formadas com um elemeto x de cada A é m x m x...x m (pelo Prcípo Fudametal da Cotagem). Quado cada cojuto A é o mesmo cojuto A com N elemetos dsttos, tem-se N -uplas. -AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO: Exemplo: Supoha que uma caxa teha N bolas umeradas de a N. Extrar uma bola e recolocar. Quatas -uplas podem ser formadas com os úmeros obtdos as extrações? R: N Exemplo : Supoha que a caxa teha 3 bolas, represete as possíves -uplas resultates de extrações com reposção. R: São 3 9 possíves resultados. (,) (,) (,3) (,) (,) (,3) (3,) (3,) (3,3) -AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO: Exemplo : Supoha que uma caxa teha N bolas umeradas de a N. Extrar uma bola e ão recoloca-la de volta a caxa. Quatas -uplas podem ser formadas? N! R: A N, (N )! Exemplo : No caso da caxa coter 3 bolas, represete as possíves -uplas resultates de extrações. R: São A 3, 6 possíves resultados (,) (,3) (,) (,3) (3,) (3,).3.3 AMOSTRAS NÃO ORDENADAS: O úmero de amostras dsttas de tamaho que podem ser extraídas, sem reposção e sem cosderar a ordem que eles aparecem, de um cojuto de N objetos dsttos é deomado de Combação, deotado por C N, e dado pela fórmula: C N, N N!! ( N )! -DIAGRAMA DE ÁRVORE È a represetação esquemátca do expermeto de se combar um elemeto do cojuto A com um elemeto do cojuto B. Também pode-se combar com elemetos de um tercero cojuto, porém com 4 ou mas cojuto este procedmeto ão é recomedado.

15 5 Exemplo: Supoha que se quera combar gravatas (g, g ) com 3 camsas (c, c, c 3 ). c g c c 3 c g c RESUMINDO: c 3 Permutações: Sem repetção:o úmero de maeras de dspor N objetos dferete é dado por: P N N! Com repetção: o úmero de maeras de dspor de N objetos dos quas N são guas, N são guas,..., é dado por: P N N! N!xN!x... Arrajos: Se tvermos N objetos dferetes e desejamos escolher desses objetos ( N ) e permutar os escolhdos é dado por: A N, N! ( N )! Combações: Se tvermos N objetos dferetes e queremos o úmero de maeras de se obter detre esses N, sem cosderar a ordem teremos: C N, N N!! ( N )! ESPAÇO AMOSTRAL: Expermeto Aleatóro:

16 6 Quado a vda real se realza uma experêca (expermeto) cujo resultado ão pode ser prevsto com certeza. Espaço Amostral: É o cojuto de todos os resultados possíves de um expermeto aleatóro, deotado por Ω ou S. Eveto Aleatóro: Qualquer subcojuto de teresse do espaço amostral Ω. Eveto Smples ou Elemetar: úco poto amostral {a} Eveto Certo: Ω Evetos mutuamete exclusvos ou dsjutos: A B 3. DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE: Quado se deseja assocar úmeros aos evetos, de tal forma que estes veham traduzr as possbldade dos evetos ocorrerem, atrbu-se à ocorrêca dos evetos uma medda deomada de Probabldade do Eveto. 3.. DEFINIÇÃO CLÁSSICA: Se exstem a resultados possíves favoráves à ocorrêca de um eveto A e b resultados possíves ão favoráves à ocorrêca de A, e sedo todos os resultados gualmete prováves e mutualmete exclusvos, etão a probabldade do eveto A ocorrer é: P( A ) a a + b ou P ( A ) # A # Ω 3.. DEFINIÇÃO AIOMÁTICA: Para todo A Α que assoce um úmero real P(A), chamado de Probabldade de A, de modo que os axomas a segur sejam satsfetos: Axoma: P(A) 0 A A Axoma : P(Ω) Axoma 3: Sejam A, A,... ; uma sequêca (fta ou fta) de evetos mutuamete exclusvos ode: A A j com j etão:

17 7 ( ) P( A) P( A) 3.3 PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE: PROPRIEDADE : P(A c ) - P(A) Demo: A A c e Ω A A c P(Ω) P(A) + P(A c ) P(A c ) - P(A) // c.q.d PROPRIEDADE : P( ) 0 Demo: A (A ) ou P( ) - P(Ω) P(A) P(A ) P( ) // c.q.d P(A) P(A) + P( ) P(A) - P(A) P( ) 0 P( ) // c.q.d PROPRIEDADE 3: Se A e B são dos evetos quasquer, ão ecessaramete mutualmete exclusvos, etão: P(A B) P(A) + P(B) - P(A B) Demo: B (A B) (A c B) e (A B) A (A c B) P(B) P(A B) + P(A c B) e P(A B) P(A) + P(A c B ) P(A c B) P(B) - P(A B) P(A B) P(A) + P(B) - P(A B) // c.q.d 3.4 PROB. CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS: PROBABILIDADE CONDICIONAL: Seja (Ω, A, P) um espaço amostral. Se A A e B A e P(B)>0, a probabldade codcoal de A dado que B ocorreu é defda por: P( A / B) P( A B) P( B) A A Obs: Se P(B) 0 etão P(A/B) P(A) (Barry James) ão é defdo ( Mood, Graybll & Goes) INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS: Seja (Ω, A, P) um espaço de probabldade. Os evetos aleatóros A e B são depedetes se :

18 8 P(A B) P(A). P(B) Isto mplca que: P(B/A) P(B) ou P(A/B) P(A) Assm: P(A B C) P(A). P(B).P(C) Geeralzado temos que: P(A A j ) P(A ). P(A j ) são depedetes a, I, j Se os evetos A, I, são depedetes, etão os evetos B, I, também são depedetes, ode cada B, é gual a A, ou A c. P( B ) P(B ) 3.5 PROBABILIDADE TOTAL E FÓRMULA DE BAYES: 3.5. PROBABILIDADE TOTAL: Seja A, A,... uma sequêca de evetos aleatóros que forma uma partção de Ω, ou seja A são mutuamete exclusvos e sua uão é Ω e seja B um eveto qualquer assm: B Ω B (A A... A ) B B (A B) (A B)... (A B) ode (A B) são mut. excl. P(B) P(A B) + P(A B) P(A B) P(B) P(A ).P(B/A ) + P(A ).P(B/A ) P(A ).P(B/A ) P(B) P(A ) P(B/A ) B A FÓRMULA DE BAYES: P (A k / B) P(A k B) P(A k ).P(B/ A k ) P(B) P(A ).P(B/ A ) 3.6-VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS: 3.6. CONCEITO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS:

19 9 Iformalmete, uma varável aleatóra é um característco umérco do resultado de um expermeto aleatóro. Defção: Seja ε um expermeto e Ω um espaço amostral assocado ao expermeto. Uma fução, que assoce a cada elemeto w pertecete ao Ω um úmero real é deomada de varável aleatóra. Ω: Espaço R x : Valores possíves de w (w) Ex:. Dado o expermeto: ε laçameto de moedas úmero de caras obtdos Etão: Ω {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)} (ca,ca) (ca,co) (co,ca) (co,co) 0. Seja uma famíla com craças, v.a. úmero de meos a famíla Ω {(F,F ); (F,M ); (M,F ); (M,M )} Ω w (F,F ) w (F,M ) w 3 (M,F ) w 4 (M,M ) a fução(w) V.A. cotradomío da v.a. {0,,} 0 R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS. Def: Sedo um v.a.. Se o úmero de valores possíves de for fto ou fto umerável, deomamos de v.a dscreta VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: Def: Sedo uma v.a. Supoha que R, o cotradomío de seja um tervalo ou uma coleção de tervalos, sto é, a v.a. toma um úmero fto ão umeráves de valores DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE. Seja uma v.a. que assume os valores x, x,..., x com probabldade p, p,..., p assocadas a cada elemeto de, sedo p + p p dz-se que está defda um Dstrbução de Probabldade.

20 0 - v.a. dscretas Fução de Probabldade - v.a. cotíuas Fução Desdade de Probabldade FUNÇÃO DE PROBABILIDADE. Seja um v.a. dscreta. A cada possível resultado x assocaremos uma probabldade p(x ), etão p(x ) é uma Fução de Probabldade se satsfzer as segutes codções: a) p(x ) b) p(x ) 0 Ex: Ao laçar um dado e seja os valores observados: Etão: P(x ) /6 /6 /6 /6 /6 /6 6 a) p(x ) 6 / 6 b) p(x ) /6 > FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE. Se é uma v.a cotíua com Fução Desdade de Probabldade f (x) com domío em R ou o cojuto A R, tem-se: a) f (x) 0 x R + b) f (x) c) P(a) P(b) 0 d) P(a b) f (x)dx b a Ex: Seja uma v.a.cotíua defda pela f.d.p: 0 para x < 0 f( x) kx para 0 x 0 para x > Para que seja satsfeta a propredade:

21 etão: + f (x) a área do trâgulo compreeddo etre 0 e deve ser utáro bxh xk resulta que k/ FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO. DEFINIÇÃO: Seja uma v.a. Def-se a fução F como a Fução Dstrbução (Acumulada) da v. a. como F (x) P( x), x R. Ex: Dos dados são laçados. A v. a é defda como a soma dos potos obtdos: x p(x ) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 F(x ) /36 3/36 6/36 0/36 5/36 /36 6/36 30/36 33/36 35/ ESPERANÇA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA: DEFINIÇÃO: Esperaça ou Expectâca de uma v. a. é um valor médo dos possíves valores de, poderada coforme sua dstrbução,.e.; é uma méda poderada ode os pesos são as probabldades p(x ). É ada, o cetro de gravdade da udade de massa que é determada pela fução desdade de. Assm E() é uma medda de localzação ou cetro de v.a CASO DISCRETO: E() x p( x )

22 CASO CONTÍNUO: E ( ) + - xf ( x ) dx PROPRIEDADES:. E(c) c Demo: E( ) + - x. f ( x ) dx + - c. f ( x ) dx c. c. E(c) ce() Demo: E ( c ) c.x. f ( x ) dx c. - x.f(x) dx ce() 3. E(a + b) a.e() + b Demo : decorrete das demostrações acma VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA: DEFINIÇÃO: Se é uma v.a., defmos a varâca de como a dspersão da desdade de em relação ao seu valor de localzação cetral de desdade(e()) e é dada por: V() E[-E()] E(-µ) E{ - E() + [E()] } E( ) - E()E() + [E() ] (E() é um costate) E( ) - [E()] // Obs: E( ) x p(x ) para uma v.a. dscreta + - E ( ) x f (x) dx para uma v.a. cotíua PROPRIEDADES:

23 3.V( + c) V() Demo: V( + c) E[(+c) - E(+c)] E[(+c) - E()-c] E[ - E()] V(). V(c) c.v() Demo: V(c) E(c) - [E(c)] c E( ) - c [E()] c {E( ) - [E()] ] c V() EEMPLO : Seja uma dstrbução de probabldade dada por: - 0 P() ¼ ½ ¼ Determe a E() e V(). R: E() 0 e V() ½ EEMPLO : Seja a f.d.p dada abaxo, calcule a E() e V(): f ( x ) x 0 0 c/c x R: E() /3 e V() / PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS; UNIFORME DISCRETA

24 4 Uma v.a. tem dstrbução uforme dscreta quado sua fução de probabldade for dada por: p ( x) N 0 x,,..., N c/c PROPRIEDADES: E() + N V() N EEMPLO: Seja ε laçar um dado, etão: {,, 3, 4, 5, 6 } p(x ) /6 E() 3,5 V(), BERNOULLI: Uma v.a. tem dstr. Beroull se sua f.p. for dada por: p p(x) 0 x ( p) x x 0, c/c PROPRIEDADES: E() p V() p.q ode q -p PROCESSO DE BERNOULLI: É o processo de amostragem o qual :. Em cada tetatva exstem resultados possíves mutuamete exclusvos (sucesso e fracasso).. As séres de tetatvas são depedetes. 3. A probabldade de sucesso (p) permaece costate de tetatva para tetatva ou seja o processo é estacoáro BINOMIAL: Uma v.a. possu dstrbução bomal se sua f.p. for dada por: x p(x).p.q x x x 0,,...,

25 5! C x x x!( x)! x! x.(x-).(x-)... se A dstrbução bomal é utlzada para determar a probabldade de obter um dado úmero de sucessos em um processo de Beroull. úmero de sucessos úmero de tetatvas p probabldade de sucessos em cada tetatva. PROPRIEDADES: E() p V() pq EEMPLO : Uma ura cotém 6 bolas bracas e 4 pretas. Calcular a probabldade de ao retrar com reposção 3 bolas, sejam bracas. EEMPLO : Laçado 8 moedas, qual a chace de obter: a) 3 caras. b) Nehuma cara. c) Pelo meos cara. d) o mímo caras. e) o máxmo 6 caras. EEMPLO 3: Sabe-se que 5% dos parafusos fabrcados por certa dústra são defetuosos. Em um lote de 0 parafusos, calcular a probabldade de: a) exatamete serem defetuosos; b) meos de serem defetuosos; c) três ou mas serem defetuosos. Qual a méda e o desvo padrão do úmero de parafusos defetuosos? POISSON: Uma v.a. tem dstr. Posso se sua f.p. for dada por: x λ.e p(x) x! 0 λ x 0,, c/c,...

26 6 A dstr. de Posso pode ser usada para determar a probabldade de um dado úmero de sucessos quado os evetos ocorrem em um cotuum de tempo ou espaço. É smlar ao processo de Beroull, exceto que os evetos ocorrem em um cotuum ao vés de ocorrerem em tetatvas fxadas, tal como o processo de Beroull os evetos são depedetes e o processo é estacoáro. λ úmero médo de sucessos para uma específca dmesão de tempo e espaço. úmero de sucessos desejados. PROPRIEDADE: E() λ V() λ Obs: Quado o úmero de observações ou expermetos em um processo de Beroull for muto grade a dstr. de Posso é aproprada como uma aprox. das dstr. Bomas quado: 30 p < 5 λ p EEMPLO :Um técco recebe em méda de 5 chamadas por da. Qual a probabldade que, em uma da selecoada aleatoramete, sejam recebdas exatamete 3 chamadas? EEMPLO : Em méda, pessoas por hora são ateddas em um baco. Qual a probabldade que 3 ou mas pessoas sejam ateddas durate um período de 0 mutos? 3.7. DISTIBUIÇÕES CONTINUAS DE PROBABILIDADE: UNIFORME OU RETÂNGULAR: Uma v.a. é uformemete dstrbuda am x b se sua f.d.p. for: f ( x ) b a 0 PROPRIEDADES: a c/c x b

27 7 E ( ) a + b V() ( b - a ) DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS): DEFINIÇÃO Uma v.a. ~ N(µ, σ ) se sua f.d.p. for dada por: x µ σ f( x) e - < x <, - < µ < e σ > 0 σ π PROPRIEDADES:. f (x) > 0, x R. f (x) é crescete para x (-, µ) e decrescete para x (µ, ). 3. Poto de máxmo da fução em x µ. Etão µ é também a moda da dstrbução. 4. f (x) é smétrca em relação a µ. 8. Valor esperado : µ 9.Varâca σ 0. A área da curva correspodete etre: (µ - σ) e (µ + σ) 68,7% (µ - σ) e (µ + σ) 95,45% (µ - 3σ) e (µ + 3σ) 99,73% IMPORTÂCIA:. Poder de modelameto. Meddas produzdas em dversos processos aleatóros seguem a dstr. ormal.. Capacdade de aproxmação de outras dstr. como Bomal e Posso. 3. As dstr. de estatístcas da amostra freqüetemete seguem a dstr. ormal depedete da dstr. da população.

28 8 EEMPLO : Costrua uma dstrbução ormal com µ 0 e σ e determe a probabldade de se ecotrar valores etre: a) 8 e b) 0 e DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA: Quado µ 0 e σ (caso partcular) (chamada "stadard", ormalzada, padrão) z x µ σ EEMPLO : Determe a área lmtada pela curva ormal em cada um dos casos:. 0 Z, R: 0, ,68 Z 0 0, ,46 Z, 0, Z -0,6 0, Z 0,6 0, ,8 Z 0,6 0, ,95 Z -0,4 0, Z < -,5 e Z >,5 0,30 9. Z > ,695 EEMPLO : Sedo os QI's Femo e Masculo com méda gual a 00 e desvo padrão 5 e 0 respectvamete. Calcular as probabldades de ecotrarmos QI's acma de 0 para ambos os sexos. EEMPLO 3: Com os dados do exercíco ateror calcular as probabldades de ecotrarmos QI's abaxo de APROIMAÇÕES PELA NORMAL:. BINOMIAL: quado 30 p 5 etão: µ p σ pq. POISSON: quado λ 0 etão: µ λ σ λ EEMPLO : Uma moeda ão vcada é laçada 500 vezes. Determar a probabldade do úmero de caras ão dferr de 50 em: a) mas de 0 b) mas de 30

29 9 EEMPLO : Um dado é laçado 0 vezes. Determar a probabldade de aparecer a face 4: a) 8 vezes ou mas b) 4 vezes ou meos EEMPLO 3: Sabe-se que os peddos de servços chegam aleatoramete e como um processo estacoáro uma méda de 5 por hora. Qual a probabldade de que sejam recebdos mas de 50 peddos em um período de 8 horas? 3.8. TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Seja,,..., v.a.depedete detcamete dstrbuídas (d); com a mesma µ e σ e seja S a soma de v.a. d: - S E( S V( S ) S µ σ ) x x Z Z N(0,) N(0,) ou seja pos E(S ) E( ) µ +µ +...+µ µ V(S ) σ +σ +...+σ σ Uma dedução feta através do Teorema do Lmte Cetral é que uma dstrbução amostral de médas tede uma dstr. ormal quado é sufcetemete grade ( 30). E( ) σ V( ) N µ µ, σ ode: µ E() E σ V() V NOTA HISTÓRICA: [ E( ) + E( ) E( )] µ µ [ V( ) + V( ) V( )] σ σ

30 30 A dstrbução ormal é chamada hstorcamete de le dos erros. Fo usada por Gauss para modelar erros em observações astroômcas. Gauss dervou a dstrbução ormal, ão como lmte de somas de varáves aleatóras depedetes, mas a partr de certas hpóteses etre elas a de cosderar a méda artmétca das observações. Hoje em da o Teorema do Lmte Cetral dá apoo ao uso da ormal como dstrbução de erros, pos em mutas stuações reas é possível terpretar o erro de uma observação como resultate de mutos erros pequeos e depedetes. Podese terpretar também que uma observação é gerada da soma de mutos efetos pequeos e depedetes. 3.9 EERCÍCIOS: 3.9. Seja um Cojuto Uverso dado por U {0,,,3,4,5} e seja os segutes subcojutos de U: {,, 4} Y{0, 3, 4, 5} Z{0, 5} Ecotre : a) Y b) Y c) ( Y ) Z d) Y' Z' e) - Y f) ( Y Z )' g) ( Y ) ( Y Z ) h) ( ' Y' )' ( Y' Z' )' 3.9. Supoha que se teha 6 bolas de dferetes cores. De quatas maeras dferetes elas podem aparecer ao serem colocadas em fla? De quatas maeras 8 pessoas podem setar em 3 lugares dferetes? Quatas dferetes saladas de frutas podem ser fetas com maças, larajas, tageras e baaas De quatas maeras dferetes podemos dspor as letras a,b,c e d Com as letras da palavra DADDY podemos ter quatas permutações com reposção? Qual o úmero de maeras de dspor 3 objetos dferetes tomados a : a) Cosderado a ordem dos objetos? b) Não cosderado a ordem dos objetos? Supoha que você retrou uma bola aleatoramete de uma ura que cotém 7 bolas vermelhas, 6 bracas, 5 azus e 4 amarelas. Qual é a probabldade que a bola retrada: a) seja vermelha b) ão seja braca c) seja braca ou azul d) ão seja vermelha e em braca

31 3 e) seja vermelha ou azul ou amarela Joga-se um dado duas vezes. Ecotre a probabldade de se obter: a) uma face 5 ou 6 a prmera jogada e uma face ou 3 a seguda jogada. b) um total de 5 ou 6 se somarmos o resultado obtdo as duas fases Qual a probabldade de retrarmos valetes de um baralho de 5 cartas, se: a) a prmera carta é recolocada o baralho após ser retrada. b) a prmera carta ão é recolocada o baralho após ser retrada Uma ura cotém 7 bolas vermelhas, 4 bracas e 8 azus. Se 3 bolas forem retradas aleatoramete da ura sem reposção, determe a probabldade de que: a) sejam vermelhas e azul. b) a últma seja azul c) a prmera seja vermelha, a seguda braca e a últma seja azul d) uma seja vermelha, outra braca e outra seja azul Os peus de certa marca apresetam um certo defeto com probabldade de 0,. Se 3 peus forem escolhdos aleatoramete, qual a probabldade de todos os 3 apresetarem esse defeto? Dados evetos mutualmete exclusvos, A e B, sedo P(A) e P(B) 0, serão A e B depedetes? Porquê? A probabldade de um tem defetuoso um processo de fabrcação é de 0%. Qual a probabldade de que dos tes aleatoramete selecoados: a) os dos apresetem defetos b) os dos ão apresetem defetos c) um dos dos apresete defeto d) somete o prmero apresete defeto Durate um período partcular 80% das ações emtdas por uma dústra tveram elevações o mercado. Se um vestgador escolhe aleatoramete 4 ações determe a probabldade de que: a) todas tveram suas cotações aumetadas. b) Somete um delas teve sua cotação aumetada As probabldades de um mardo, sua esposa e um flho estarem vvos daqu a 30 aos são, respectvamete; 0,3; 0,6; e 0,9. Determe a probabldade de que, daqu a 30 aos ehum esteja vvo? A probabldade de um compoete apresete o defeto tpo é de 3% e do tpo é de 6%, e a probabldade do compoete apresete ambos é de %. Ecotre: a) a probabldade de um compoete apresetar o defeto tpo ou o defeto tpo.

32 3 b) a probabldade ão apresetar ehum dos dos defetos Uma empresa produz crcutos tegrados em três fábrcas A, B e C. A fábrca A produz 40% dos crcutos, equato que as outras produzem 30% cada uma. As probabldade de que um crcuto tegrado produzdo por estas fábrcas ão fucoe são %, 4% e 3%, respectvamete. Respoda: a) Escolhdo um crcuto qual a probabldade do crcuto ão fucoar? b) Escolhdo um crcuto e verfcou-se ser defetuoso, qual a probabldade dele ter vdo da fábrca A? Supodo que 0% dos fucoáros de uma empresa são mulheres. Numa amostra de 00 fucoáros, qual a probabldade de obtermos: a) exatamete 0 mulheres? b) o máxmo 0 mulheres? c) o mímo 5 mulheres? d) pelo meos 4 mulheres? Uma partda de certo compoete cosste de uma caxa com 50 deles, sedo 4 fora da especfcação. Retrado-se ao acaso 5 compoete de uma partda, qual a probabldade de que todas estejam detro da especfcação? 3.9. A máqua M produz esferas para rolametos. Se o dâmetro das esferas puder ser cosderado um varável aleatóra ormalmete dstrbuída, com méda 5mm e desvo padrão de 0,05mm, quatas terão dâmetro superor a 5,07 se 00 esferas forem selecoadas? Se o cotrole de qualdade refutar os tes que se afastarem mas do que 0,mm da méda, quatas esferas serão rejetadas? 3.9. Uma certa empresa produz caaletas com comprmeto médo de 5,m e desvo padrão de 8cm a um custo utáro de R$ 6,00. As peças com comprmeto etre 4,95m e 5,5m são veddas a R$ 0,00; as produzdas com meos de 4,95m são refugadas a R$,00; as de mas de 5,5m são ecurtadas, a um custo de R$,00. Qual o lucro médo esperado por udade produzda? As vedas de determado produto têm dstrbução ormal, com méda 500 e desvo padrão de 50 udades. Se a empresa decde fabrcar 600 udades o mês em estudo, qual a probabldade de que ão possa ateder a todos os peddos desse mês, por estar com a produção esgotada? Supoha que a vda de dos aparelhos elétrcos A e B teham dstrbuções N(46,9) e N(46,36), respectvamete. Se o aparelho é para ser usado por um período de o mímo de 45 horas, qual aparelho deve ser preferdo?

33 Uma máqua produz recpetes cujos dâmetros são omalmete dstrbuídos com méda 0,498 e desvo padrão de 0,0. Se as especfcações exgem recpetes com dâmetro gual a 0,500 polegadas mas ou meos 0,04 polegadas, que fração dessa produção será acetável? Sabe-se que 30% de todas as chamadas destadas a uma mesa telefôca são chamadas DDD. Se 00 chamadas chegarem a essa mesa, qual é a probabldade de pelo meos 50 serem DDD? Numa cetral telefôca, o úmero médo de chamadas é de 8 por muto. Determar qual a probabldade de que um muto se teha: a) 0 ou mas chamadas. b) Meos de 9 chamadas. c) Etre 7 (clusve) e 9 (exclusve) chamadas.

34 34 IV- AMOSTRAGEM 4.-TIPOS DE AMOSTRAGEM: 4..- AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA: ode todos os elemetos tem probabldade cohecda e dferete, sto somete será possível se a população for fta e totalmete acessível.. Amostragem Aleatóra Smples: todos os elemetos tem gual probabldade de pertecer a amostra.(ex: úmeros aleatóros, sorteo).. Amostragem Aleatóra Sstemátca: quado os elemetos se apresetam ordeados e a retrada dos elemetos da amostra é feta perodcamete (Ex: lha de produção). 3. Amostragem Aleatóra Estratfcada: a população se dvde em subpopulações ou estratos, e a varável de teresse possu comportameto homogêeo detro de cada estrato. Esta amostragem cosste em especfcar quatos elemetos serão retrados de cada estrato para costtur a amostra. 4. Amostragem Aleatóra Agregada: a população é subdvdda em pequeos grupos, chamados de coglomerados ou agregados, sortea-se um úmero sufcete de agregados, cujos elemetos costturão a amostra (Ex: quarterões, turmas) AMOSTRAGEM NÃO-PROBABILÍSTICA: usada quado for mpossível se obter amostras probablístcas, como sera o desejável (Ex: retrar 00 parafusos de uma caxa que cotém ). 4.- DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS: São Aquelas que cosderam todas as amostras possíves que possam ser retradas de uma população. Para cada amostra pode-se calcular um gradeza estatístca, como méda artmétca, desvo padrão, proporção, etc.; que vara de amostra para amostra. Assm, calculado-se a méda e a varâca da gradeza obtêm-se as dstrbuções amostras da gradeza, sto é, se a gradeza adotada for a méda teremos uma dstrbução amostral de médas. De modo aálogo teríamos para a varâca, proporção, etc DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS: Vmos aterormete utlzado o T.L.C. que uma dstrbução de médas é aproxmadamete Normal padrozada Admta-se todas as amostras possíves de tamaho retradas de uma população de tamaho N, etão poderemos determar a méda e a varâca.

35 35 σ µ k k k ( µ ) População µ σ k A A... A k k Dstr. Amostral de Médas Assm: µ E + ( ) E E( ) ( µ + µ +... µ σ Var( ) Var Var( ) Amostragem Méda Desvo Padrão Com Reposção (pop. Ifta) µ µ σ σ Sem Reposção (pop. Fta) µ µ σ N σ N Obs:. Para grades valores de ( 30), a dstrbução amostral das médas é aproxmadamete Normal com méda µ e Varâca σ, depedetemete da população (desde que o tamaho da população seja, o mímo, o dobro do tamaho da amostra).. No caso da população ser ormalmete dstrbuída, a dstrbução amostral das médas também será, mesmo para valores pequeos de. 3. A varável reduzda ou padrozada Z para a dstrbução amostral de médas será: Z µ σ

36 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS DAS DIFERENÇAS E SOMAS: POPULAÇÃO POPULAÇÃO Todas amostras possíves Todas amostras possíves A x A x... A x A x... A Dstrbução Amostral de Dfereças de Médas é obtda através das dfereças etre ( ),( ), etc. Aalogamete, para a Dstr. Amostral de Somas de Médas e para Dstr. Amostras de Dfereças ou Somas de Proporções, ou qualquer outra estatístca DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE DIFERENÇAS (SOMAS) DE MÉDIAS: µ µ ± µ ± σ ± σ + σ desde que sejam depedetes Amostragem Méda Desvo Padrão Com Reposção (pop. Ifta) Sem Reposção (pop. Fta) µ µ ± µ µ ± µ ± σ σ σ ± + µ µ ± µ µ ± µ ± σ σ N N σ ± + N N A varável reduzda Z é dada por: Z ( ) σ µ

37 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES: Seja p a probabldade de sucesso de um eveto e q o sucesso. Cosderemos todas as amostras possíves de tamaho, obtdas com e sem reposção, e para cada um vamos calcular a proporção P de sucessos. Obtemos assm a Dstrbução Amostral de Proporções com os parâmetros: µ P e σ P. Amostragem Méda Desvo Padrão Com Reposção (pop. Ifta) µ P p σ pq P Sem Reposção (pop. Fta) µ P p pq N σ P N Obs:. Para grades valores de a dstr. É aproxmadamete ormal.. A população é bomal. 3. A varável padrozada Z será: P µ Z σ P P

38 38 V- ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 5.. INTRODUÇÃO: Seja,,..., uma amostra aleatóra com fução (desdade) de probabldade cohecda, seja ada θ um vetor dos parâmetros desta varável aleatóra. Assm θ {θ, θ,..., θ k } os k parâmetros que chamamos de espaço de parâmetros deotado por Θ. Etão o objetvo da ferêca estatístca é ecotrar fuções das observações,,..., para usar como estmador de θ j ode j,,...,k. ESTIMADOR: é um estatístca (fução cohecda de v.a. observáves que também é um v.a.) cujos valores são usados para estmar alguma fução do parâmetro θ. Ex: para estmar µ (méda populacoal) o estmador mas adequado é (méda artmétca da amostra). ESTIMATIVA: é o valor umérco obtdo para o estmador uma certa amostra. TIPOS : PONTUAL: a estmatva é represetado por um úco valor. POR INTERVALO: a estmatva é represetada por um tervalo. 5.. ESTIMAÇÃO PONTUAL: Melhor estmador para a µ (méda populacoal) é x a méda artmétca amostral dada por: µˆ x x Melhor estmador para a σ (varâca populacoal) e s a varâca amostral dada por: σ ) s ( x x) 5.3. ESTIMAÇÃO POR INTERVALO: Estmação por tervalo cosste a costrução de um tervalo em toro da estmatva potual, de modo que esse teha uma probabldade cohecda de coter o verdadero valor do parâmetro INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA POPULACIONAL:

39 39. Quado 30 ou σ for cohecdo: P ( x z. σ µ x + Z. σ ) α α / α /. Quado < 30, σ descohecdo e população ormalmete dstrbuída: ( x t ˆ σ µ x + t. ˆ σ ) α P, α /., α / Observação: Podemos determar o tamaho de amostra solado o valor de a precsão da estmatva (sem-ampltude) que o caso da méda populacoal é dada por: e0 zα / σ x INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO POPULACIONAL: P ( pˆ z σ p pˆ + z σ ) α α / p α / p ode pˆ é o estmador de p, que pode ser dado por: sedo: f pˆ e z σ EERCÍCIOS: ˆ α / p 5.4. Uma amostra de 00 esferas apreseta dâmetro médo de,09cm e desvo padrão de 0,cm. Estme o dâmetro médo populacoal, com 95% de cofaça De 500 lâmpadas fabrcadas por uma compaha retra-se uma amostra de 40 válvulas, e obtém-se a vda méda de 800 horas e o desvo padrão de 00 horas. Qual o tervalo de cofaça para a méda populacoal, utlzado um coefcete de cofaça de 99% Foram realzadas 6 determações de desdade (g/cm 3 ) de certo metal, obtedo-se os resultados: 9,7 9,8 9,9 9,9 9,7 9,6 9,5 9,6 9,9 9,6 9,9 9,5 9,8 9,6 9,8 9,7 Determe o tervalo de cofaça de 99% para a méda populacoal Sabe-se por pesqusas já realzadas que o desvo padrão das tesões lmtes de tração de barras de aço é 5 kgf/mm, e que uma amostra de 6 barras foram

40 40 esaadas apresetado tração méda gual a 70 kgf/mm. Estmar a verdadera tesão lmte de tração utlzado 99% de cofaça Determe uma estmatva potual para a méda populacoal do problema ateror Uma amostra de 65 doas-de-casa revela que 70% delas preferem a marca de detergete. Costrur um tervalo de cofaça de 99% para p proporção das doas-de-casa que preferem o detergete Ates de uma eleção em que exstam caddatos A e B, fo feta uma pesqusa com 400 eletores escolhdos ao acaso, e verfcou-se que 08 deles pretedam votar o caddato A. Costrua um tervalo de cofaça, com 95% para a porcetagem de eletores favoráves ao caddato A a época das eleções Qual deve ser o tamaho de uma amostra cujo desvo padrão é 0 para que a dfereça da méda amostral para a méda populacoal, em valor absoluto seja meor que, com coefcete de cofaça gual a 95%.

41 4 VI-TESTES DE HIPÓTESES 6. INTRODUÇÃO: 6.. HIPÓTESES: são suposções que fazemos para testar a fxação de decsões, que poderão ser verdaderas ou ão. 6.. HIPÓTESES ESTATÍSTICA: Hpótese Nula (H 0 ): a ser valdada pelo teste. Hpótese Alteratva ( H ou H a ): complemetar a H 0. Assm, o teste poderá acetar ou rejetar a hpótese ula, sedo que o últmo caso mplcara a acetação da hpótese alteratva RISCOS DE TOMADAS DE DECISÕES: DECISÃO Aceta H 0 Rejeta H 0 REALIDADE H 0 Verdadera H 0 Falsa Decsão Correta Erro Tpo II (- α) β Erro Tpo I Decsão Correta α ( - β) Ex:Decsão de um professor: DECISÃO Aceta H 0 Aprova Aluo Rejeta H 0 Reprova Aluo REALIDADE H 0 Verdadera H 0 Falsa Estudou Não Estudou Decsão Correta Erro Tpo II (- α) β Erro Tpo I Decsão Correta α ( - β) Ex : Decsão de um médco: DECISÃO Aceta H 0 Opera Rejeta H 0 Não Opera H 0 Verdadera Precsa Operar Decsão Correta (- α) Erro Tpo I α REALIDADE H 0 Falsa Não Precsa Operar Erro Tpo II β Decsão Correta ( - β)

42 4 Ex 3: Decsão do julgameto de um réu: DECISÃO Aceta H 0 Não Prede o Réu Rejeta H 0 Prede o Réu REALIDADE H 0 Verdadera H 0 Falsa Iocete Culpado Decsão Correta Erro Tpo II (- α) β Erro Tpo I α Decsão Correta ( - β) Ex4: Decsão em Cotrole de Qualdade: DECISÃO Aceta H 0 Aceta o Lote Rejeta H 0 Rejeta o Lote REALIDADE H 0 Verdadera H 0 Falsa Lote Bom Lote Rum Decsão Correta Erro Tpo II (- α) β Erro Tpo I α (Rsco do Produtor) (Rsco do Cosumdor) Decsão Correta ( - β) ERRO TIPO I (α )- α P(rejetar H 0 / H 0 verdadera) chamado de ível de sgfcâca ERRO TIPO II (β)- β P(acetar H 0 / H 0 falsa) 6..4 REGIÕES DE DECISÃO: Regão de Acetação (R.A.): é a regão da curva, delmtada por valores tabelados a um determado ível de sgfcâca (α), que cotém os valores para os quas acetamos a hpótese ula. Regão Crítca ou de Rejeção (RC ou RR): é a regão da curva, delmtada por valores tabelados a um determado ível de sgfcâca (α), que cotém os valores para os quas rejetamos a hpótese ula.

43 CLASSES DE TESTES: UNILATERAIS: UNILATERAL À DIREITA H 0 : θ θ o (θ θ o ) H : θ > θ o UNILATERAL À ESQUERDA: H 0 : θ θ o (θ θ o ) H : θ < θ o BILATERAIS: H 0 : θ θ o H : θ θ o 6. TESTES PARAMÉTRICOS: 6.. TESTES DA MÉDIA POPULACIONAL: 6... TESTE PARA UMA MÉDIA POPULACIONAL Estatístca do Teste: ) Quado 30 ou σ cohecdo Z c µ σ x 0 ode: µ 0 valor de µ proposto pelo teste σ x desvo padrão da dstrbução amostral de médas Obs: Caso o desvo padrão seja descohecdo usar S x como estmador potual de σ x. ) Quado < 30, σ descohecdo e a população ormal: t c µ 0 S x CONCLUSÃO: quado o valor calculado ( Z c ou t c ) car a regão de acetação, deve-se acetar H 0, caso cotráro deve-se rejetar H 0 e toma-se H como verdadera TESTE PARA DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS:

44 44 As hpóteses serão eucadas da segute maera: H 0 µ - µ quado 0 µ µ H µ - µ quado 0 µ µ ou µ - µ > quado 0 µ > µ ou µ - µ < quado 0 µ < µ 6... DADOS EMPARELHADOS: Quado duas amostras estão correlacoadas segudo algum crtéro (por exemplo o caso ates e depos). Estatístca do Teste: t c d s / d ode: d méda da amostra da dfereças valor testado da méda das dfereças as populações s d desvo padrão da amostra das dfereças tamaho da amostra das dfereças (guas para as amostras) 6... DADOS NÃO EMPARELHADOS: Neste caso as amostras podem ter tamahos dferetes ( e ). PRIMEIRO CASO: As duas varâcas são cohecdas. Estatístca do Teste: Z c ( x x ) σ x + σ x SEGUNDO CASO: As duas varâcas ão são cohecdas, mas podemos admtr que as varâcas sejam guas ( σ σ σ ). Estatístca do Teste: t + ( x x ) s [(/ ) + (/ )] P νgl + - ode:

45 45 s p ( ) s + ( ) + s TERCEIRO CASO: As duas varâcas ão são cohecdas e dferetes ). (σ σ Estatístca do Teste: t ν ( s ( x x ) / ) + ( s / )] ode os graus de lberdade são dados por: ( w + w ) ν [ w /( + )] + [ w /( + )] w e w são calculados por: s s w e w 6.. TESTES DA VARIÂNCIA POPULACIONAL: 6... TESTE DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL: As hpóteses a serem testados serão: H 0 : σ σ 0 H : σ σ 0 σ > σ 0 σ < σ 0 Estatístca do Teste: χ ( ) σ S 6... TESTE DE COMPARAÇÃO DE DUAS VARIANCIAS:

46 46 As hpóteses a serem testadas serão: H 0 : σ σ H : σ σ σ > σ σ < σ Estatístca do Teste: F ν N, ν D max m ( s, s ) ( s, s ) 6.3 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS: 6.3. TESTE DE ADERÊNCIA: Objetvo: Verfcar a boa ou má aderêca dos dados de uma amostra a um modelo proposto. Utlza-se o teste χ de Karl Pearso: Eveto Freqüeca Observada Freqüêca Esperada a Amostra por Algum Modelo A O E A O E A O E As hpóteses a serem testadas serão: H 0 : Não há dfereça etre as freqüêcas observadas e as esperadas. H : Há dfereça etre as freqüêcas observadas e as esperadas. Estatístca do Teste: χ ν ( O E ) E Obs:. ν - se as freq. esperadas foram calculadas sem recorrer a estmação de algum parâmetro populacoal ν --m se as freq. esperadas foram calculadas a partr de m parâmetros populacoas.

47 47. Se E < 5 deve-se agrupar as classes adjacetes TABELAS DE CONTINGÊNCIA - TESTE DE INDEPENDÊNCIA: Utlzamos este teste quado exstem duas ou mas varáves de teresse e desejamos verfcar se exste assocação etre elas. As hpóteses a serem testadas serão: H 0 : As varáves são depedetes.. H : As varáves ão são depedetes ou seja elas apresetam algum grau de assocação etre s. Estatístca do Teste: r s ν j ( O E ) j E j j χ ode: r o de lhas e ν (r - ).(s - ) Total colua x Total lha E j Total Geral s o de coluas 6.4 EERCÍCIO: 6.4. Sabe-se que o cosumo mesal per capta de um determado produto tem dstrbução ormal com desvo padrão de kg. A dretora de uma frma que fabrca esse produto resolveu que retrara o produto da lha de produção se a méda de cosumo per capta fosse meor que 8kg. Caso cotráro, cotuara a fabrcá-lo. Fo realzada uma pesqusa de mercado com 5 dvíduos dados a segur: Verfcar, ao ível de 5% de sgfcâca, que posção deve tomar a dretora Uma amostra de 5 cabos de aço fo esaada, ates e após sofrer um tratameto para aumetar a sua resstêca. Os resultados são apresetados a segur: Cabos Ates Depos Verfque se o tratameto fo efcête, utlzado um ível de 5% de sgfcâca.

48 Dos caddatos a um emprego, A e B, foram submetdos a um cojuto de oto questões, sedo aotados os tempos que cada um gastou a solução.podemos, ao ível de 5% de sgfcâca, coclur que B seja mas rápdo que A, em termos do tempo médo gasto para resolver questões do tpo das formuladas? Questão ª ª 3 ª 4 ª 5 ª 6 ª 7 ª 8 ª Tempo de A Tempo de B Foram esaadas lâmpadas das marcas A e B. Verfcou-se que os tempos de vda (em horas) foram: A B Podemos coclur, ao ível de sgfcâca de %, que o tempo médo de vda da marca A supera o de B em mas de 300h? A fm de comparar duas marcas de cmeto, A e B, fzemos experêca com quatro corpos de prova da marca A e cco da marca B, obtedo-se as segutes resstêcas à ruptura: Marca A Marca B Verfque se as resstêcas médas das duas marcas dferem s ao ível de 5% Dos fertlzates A e B, para a produção de certa varedade de tomate vão ser comparados, em termos do peso médo de produção. As produções, em kg, de 0 pés de tomate sob o fertlzate A e sob o B foram: A,6,7,8,4,5,9,3,,9,7 B,0,,5,9,9,3,8,9,,4,5,7 Qual a coclusão ao ível de % de sgfcâca As freq. observadas de 0 jogadas de um dado apresetam-se a tabela abaxo. Teste a hpótese de que o dado é hoesto, utlzado um ível de sgfcâca de 5%. Face Freq.Observada

49 A dústra K.B.S. usa oto máquas para a produção de 9 ml udades/da. Uma amostra retrada em determado tempo apresetada abaxo permte supor que as máquas são gualmete produtvas? Máqua Produção Verfcar se exste assocação etre gêero (masculo e femo) e tabagsmo (fumate e ão-fumate) utlzado um ível de sgfcâca de %, uma certa população, ode se observou uma amostra aleatóra de 300 pessoas adultas. Os dados são apresetados a segur. Masculo Femo Total Fumate Não Fumate Total

50 50 VII- ANÁLISE DA VARIÂNCIA (COMPARAÇÃO DE VÁRIAS MÉDIAS) A Aálse da Varâca é um método sufcetemete poderoso para detfcar dfereças etre as médas populacoas devdas a váras causa, atuado smultaeamete sobre os elemetos da população. 7.. HIPÓTESES. H 0 : µ µ... µ k H : pelo meos uma das médas é dferete Ada se mpusermos algumas codções: - as k populações tem a mesma varâca (Homoscedastcdade) - as k populações sejam ormalmete dstrbuídas. teremos ada um modelo robusto (mesmo quado as hpóteses báscas ão forem váldas, o modelo ada leva a resultado com razoável aproxmação) 7. ANÁLISE DA VARIÂNCIA COM UM CRITÉRIO DE CLASSIFICAÇÃO. 7.. AMOSTRAS DE TAMANHOS IGUAIS. Fote de Varação Etre as Amostras Resdual Total Soma dos Quadrados Graus de Lberdade k T T SQE k k- k T SQR Q k(-) T SQT Q k-.k Quadrados Médos SQE s E k SQR k( ) s R F c F α s F c Fk,k( ) s e R Ode: T x j soma dos valores da -ésma amostra j Q x j soma dos quadrados dos valores da -ésma amostra j k T T x j soma de todos os valores k k j Q Q x j soma dos quadrados de todos os valores k j tamaho da amostra k úmero de crtéros

51 5 7.. AMOSTRAS DE TAMANHOS DIFERENTES. Fote de Varação Etre as Amostras Resdual Total Soma dos Quadrados k T SQE T k Graus de Lberdade k- k k T SQR Q k T SQT Q k Quadrados Médos s E s R k k SQE k SQR k F c F α F k s k, k F c s e R Ode: T x j soma dos valores da -ésma amostra j Q x j soma dos quadrados dos valores da -ésma amostra j k T T x j soma de todos os valores k k j Q Q x j soma dos quadrados de todos os valores k j tamaho da amostra e k úmero de crtéros 7.3 EERCÍCIOS: 7.3. Quatro peus de cada uma das marcas A, B e C foram testados quato a durabldade. O resultados obtdos foram: Marca A B C Durabldade (meses) Ao ível de sgfcâca de %, há evdêca de que os peus teham dferetes durabldades médas? 7.3. Foram testados três tpos de lâmpadas elétrcas e o tempo de vda (em horas) são dados a segur.

52 5 Lâmpada A Lâmpada B Lâmpada C Podemos detfcar, ao ível de 5% de sgfcâca, a exstêca de dfereça etre as médas das populações das quas proveram essas amostras?

53 53 VIII- REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 8. INTRODUÇÃO:. Relacoameto etre varáves : - requer cohecmeto Y f ( ) + ε Ex:. Y Produção agrícola Fertlzate Y(v.aleatóra) em fução de (v.determístca), ode Y é a varável explcada por. Y - varável explcada ou depedete de - varável explcatva ou depedete 8..DIAGRAMA DE DISPERSÃO: (lb/acre) Y (bushel/acre) CORRELAÇÃO LINEAR: r Y Y Y Y Y r Y

54 54 DIAGRAMA DE DISPERSÃO Y No caso do exemplo : ( ) ry 0, ( 8x0 ).( 350. ) Estudaremos o relacoameto lear etre as varáves, assm: Y α + β + ε Suposções:. A relação de e Y é lear e há efeto causal etre elas.. é uma varável ão estocástca e cohecda 3. Cosderações a cerca do erro: 3.. ε N ( 0,σ ) dode vemos que: E ε 0 ( ) Var( ε ) σ (costate, por sto ão é dexada) Modelo Homoscedátco 3.. Não há correlação seral etre o erro aleatóro, sto é, Os erros são depedetes. εε 0 j [ ] E j

55 LEAST SQUARE SOLUTION (SOLUÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS) OU ORDINARY LEAST SQUARE (OLS) (MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS): Seja a equação da reta: Y + α β A déa é estmar os parâmetros α e β de tal maera que a soma dos quadrados dos desvos seja míma, sto é; mmzar ( ) ( ) Ŷ Y ε substtudo $ Y a b + e dervado em relação a a e b, e gualado as expressões a zero, temos: + + b a Y b a Y Resolvedo o sstema temos: Y Y a a Y Y b b No caso do exemplo teremos: a 3,85743 e b 0, Assm: 0, ,85743 Ŷ +

56 EERCÍCIO: 8.5. A tabela abaxo apreseta os dados relacoados com o úmero de semaas de experêca de colocar fos em pequeos compoetes eletrôcos bem como o úmero de tas compoetes que foram rejetados durate uma determada semaa, dados estes referetes a trabalhadores aleatoramete escolhdos. Trabalhador amostrado Semaas de experêca Quatdade de rejetados a) Verfque se há correlação etre os dados. b) Determe a equação de regressão lear. c) Estmar o úmero de compoetes rejetados para um empregado com 3 semaas de experêca.

57 57 BIBLIOGRAFIA. BUSSAB, W. O. & MORETTIN, P. A. Estatístca Básca. Atual Edtora,987.. COSTA NETO, P. L. de O. Estatístca Básca. Lvros Téccos e Cetífcos Edtora S. A., CHAVES NETO, A. Notas de aulas da dscpla Probabldade e Estatístca Aplcada. DEST/UFPR, DEVORE, Jay L. Probabldade e Estatístca para Egehara e Cêcas. Edtora Thomso, MARQUES, Jar M. Notas de aula da dscpla Probabldade e Estatístca Aplcada. DEST/UFPR, MENDENHALL, W. Probabldade e Estatístca. Edtora Campus, Vol. e Vol., MOOD A. M, GRAYBILL F., BOES, D. C. Itroducto to the Theory of Statstcs. Edtora McGraw-Hll, MORETTIN, Luz Gozaga. Estatístca Básca : Iferêca. Makro Books, Vol., SPIEGEL, M. L. Estatístca. Coleção Schaum, Edtora McGraw-Hll,97.

58 58 TABELAS TABELA - Dstrbução Normal valores de P(- Z z 0 ) Z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0-0, -0, -0,3-0,4-0,5-0,6-0,7-0,8-0,9 -,0 -, -, -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 -,9 -,0 -, -, -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 -,9-3,0-3, -3, -3,3-3,4-3,5-3,6-3,7-3,8-3,9 0,5000 0,460 0,407 0,38 0,3446 0,3085 0,743 0,40 0,9 0,84 0,587 0,357 0,5 0,0968 0,0808 0,0668 0,0548 0,0446 0,0359 0,087 0,08 0,079 0,039 0,007 0,008 0,006 0,0047 0,0035 0,006 0,009 0,003 0,000 0,0007 0,0005 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,4960 0,456 0,468 0,3783 0,3409 0,3050 0,709 0,389 0,090 0,84 0,56 0,335 0,3 0,095 0,0793 0,0655 0,0537 0,0436 0,035 0,08 0,0 0,074 0,036 0,004 0,0080 0,0060 0,0045 0,0034 0,005 0,008 0,003 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,490 0,45 0,49 0,3745 0,337 0,305 0,676 0,358 0,06 0,788 0,539 0,34 0, 0,0934 0,0778 0,0643 0,056 0,047 0,0344 0,074 0,07 0,070 0,03 0,00 0,0078 0,0059 0,0044 0,0033 0,004 0,008 0,003 0,0009 0,0006 0,0005 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,4880 0,4483 0,4090 0,3707 0,3336 0,98 0,643 0,37 0,033 0,76 0,55 0,9 0,093 0,098 0,0764 0,0630 0,056 0,048 0,0336 0,068 0,0 0,066 0,09 0,0099 0,0075 0,0057 0,0043 0,003 0,003 0,007 0,00 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,4840 0,4443 0,405 0,3669 0,3300 0,946 0,6 0,96 0,005 0,736 0,49 0,7 0,075 0,090 0,0749 0,068 0,0505 0,0409 0,039 0,06 0,007 0,06 0,05 0,0096 0,0073 0,0055 0,004 0,003 0,003 0,006 0,00 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,480 0,4404 0,403 0,363 0,364 0,9 0,578 0,66 0,977 0,7 0,469 0,5 0,056 0,0885 0,0735 0,0606 0,0495 0,040 0,03 0,056 0,00 0,058 0,0 0,0094 0,007 0,0054 0,0040 0,0030 0,00 0,006 0,00 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,476 0,4364 0,3974 0,3594 0,38 0,877 0,546 0,36 0,949 0,685 0,446 0,30 0,038 0,0869 0,07 0,0594 0,0485 0,039 0,034 0,050 0,097 0,054 0,09 0,009 0,0069 0,005 0,0039 0,009 0,00 0,005 0,00 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,47 0,435 0,3936 0,3557 0,39 0,843 0,54 0,06 0,9 0,660 0,43 0,0 0,00 0,0853 0,0708 0,058 0,0475 0,0384 0,0307 0,044 0,09 0,050 0,06 0,0089 0,0068 0,005 0,0038 0,008 0,00 0,005 0,00 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,468 0,486 0,3897 0,350 0,356 0,80 0,483 0,77 0,894 0,635 0,40 0,90 0,003 0,0838 0,0694 0,057 0,0465 0,0375 0,030 0,039 0,088 0,046 0,03 0,0087 0,0066 0,0049 0,0037 0,007 0,000 0,004 0,000 0,0007 0,0005 0,0004 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,464 0,447 0,3859 0,3483 0,3 0,776 0,45 0,48 0,867 0,6 0,379 0,70 0,0985 0,083 0,068 0,0559 0,0455 0,0367 0,094 0,033 0,083 0,043 0,00 0,0084 0,0064 0,0048 0,0036 0,006 0,009 0,004 0,000 0,0007 0,0005 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000