2 Estrutura a Termo de Taxa de Juros

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1 Estrutura a Termo de Taxa de Juros 20 2 Estrutura a Termo de Taxa de Juros A Estrutura a termo de taxa de juros (também cohecda como Yeld Curve ou Curva de Retabldade) é a relação, em dado mometo, etre taxas de juros de títulos de reda-fxa de mesma qualdade credtíca, mas com dferetes prazos de vecmeto. A Yeld Curve geralmete é costruída a partr de títulos que pagam juros somete o vecmeto, ou seja, os zero coupo bods. Títulos que pagam juros termedáros (coupo) ão são aproprados porque estara embutda a hpótese de revestmeto dos cupos a mesma taxa, o que dfclmete é verdade. O levatameto da curva de retabldade é extremamete mportate para o mercado facero, pos serve como base para a precfcação de strumetos de reda-fxa, além ser utlzada como bechmark a determação de taxas em todos os outros setores do mercado de dívda Formação da Estrutura a Termo de Taxa de Juros Exstem dferetes teoras que procuram explcar a formação da estrutura a termo de taxa de juros. Segudo Hull (2002) três são as prcpas: Teora das Expectatvas, Teora da Segumetação de Mercado e Teora da Preferêca pela Lqudez. A Teora das Expectatvas é a mas smples e afrma que taxas de juros de logo prazo refletem expectatvas futuras o curto prazo. A terpretação dessa teora sugere que para o vestdor sera dferete, por exemplo: adqurr um título com prazo de um ao e carrega-lo até o seu vecmeto; adqurr um título semelhate com prazo de ses meses e dado seu vecmeto efetuar a compra de outro título com prazo de ses meses ou comprar um título com vecmeto em dos aos e efetuar sua veda após um ao.

2 Estrutura a Termo de Taxa de Juros 21 É mprovável que a Teora das Expectatvas cosga explcar completamete a estrutura a termo da taxa de juros. Detre os motvos destaca-se a suposção que os vestdores são dferetes ao rsco serdo em papés com prazos mas logos. A Teora da Segmetação de Mercado dz que ão exste relação etre as taxas de curto, médo e logo prazo. Na verdade exstram grupos de vestdores que teram certas preferêcas por títulos com determado prazo de vecmeto. Na medda que a demada por títulos de um prazo aumeta em relação a outros, a taxa de remueração oferecda ao vestdor cara quado comparada com as taxas de títulos de meor demada. A Teora da Preferêca pela Lqudez afrma que os vestdores ão são dferetes ao rsco. Como títulos mas logos represetam maor rsco (pos seus preços são mas suscetíves a mudaças a taxa de juros), sera ecessára clusão de um prêmo para atrar o vestdor Expressão das Taxas de Juros O mercado braslero possu úmeras dfereças o que tage a expressão de taxas de juros, quado comparada com o mercado mudal. Segudo Sa (2001), exstem duas dfereças fudametas etre o mercado braslero de juros e os mercados teracoas. Uma dfereça está a forma de captalzação adotada o Brasl. Os prcpas mercados teracoas utlzam a captalzação lear (juros smples) equato o mercado braslero utlza captalzação expoecal (juros compostos) em operações em Reas e captalzação lear em operações em moeda teracoal. O uso dos juros compostos o mercado braslero se deve prcpalmete ao seu hstórco de flação, ode essa forma de captalzação podera capturar melhor seus efetos sobre a moeda braslera.

3 Estrutura a Termo de Taxa de Juros 22 A outra dfereça ocorre com o úmero de das usados para cálculo da taxa de juros em um tervalo de tempo. O Brasl utlza como coveção de ao o prazo de 252 das útes para produtos de tesourara como títulos públcos e CDI e 360 das corrdos para produtos comercas em reas como empréstmos e facametos. O modelo teracoal toma como base prazos em das corrdos Vértces, Iterpolação e Extrapolação Para que se possa gerar uma estrutura a termo de taxa de juros, é precso que sejam defdos os vértces, método de terpolação dos vértces e extrapolação da curva Vértces Ates de car a abordagem sobre terpolação e extrapolação da curva, é mportate se ter claro o coceto de vértce. Os vértces são pares ordeados taxa de juros-prazo extraídos de strumetos de reda-fxa com qualdade credtíca homogêea e que refltam reas codções de oferta e demada do mercado, sedo essecas o levatameto da estrutura a termo de taxa de juros. Recomeda-se cautela o levatameto de vértces para o mercado braslero, que por ser um mercado ada loge da efcêca, possu strumetos com baxa lqudez, o que acarretara vértces de baxa cofabldade que devem ser cudadosamete poderados Iterpolação etre Vértces A terpolação é uma projeção etre dos vértces cosecutvos com o objetvo de se obter taxas para prazos termedáros. A segur serão eumerados três dos prcpas métodos adotados.

4 Estrutura a Termo de Taxa de Juros Iterpolação Lear É sem dúvda o mas smples dos métodos e cosste a terlgação de cada vértce cosecutvo por uma reta. Pode ser faclmete obtdo através da equação da reta. Cosdere as premssas abaxo: prazo do vértce; t prazo o qual se deseja obter a taxa de juros; a coefcete agular da reta; b coefcete lear da reta. Partdo da equação da reta com formato algebrsmo, obtém-se: y = ax + b e após algum = taxa taxa ( prazot prazo ) taxa 1 taxa t + prazo prazo 1 (1) Iterpolação Log-Lear Esse método utlza a mesma fução de terpolação lear, com a dfereça da aplcação de logartmos eperaos aos vértces (taxas de juros). A terpolação Log-lear é a forma de terpolação de maor setdo ecoômco o Brasl, já que aqu se utlza o regme composto de captalzação aplcado a juros. Partdo da eq.(1), tem-se: l ( taxa ) t ( taxa ) l( taxa ) l = prazo prazo 1 1 ( prazo prazo ) + l( taxa ) t taxa t = e ( taxa ) l( taxa ) ( ) ( ) l prazo prazo 1 1 prazo prazo t + l taxa (2)

5 Estrutura a Termo de Taxa de Juros Iterpolação Sple O sple é um cojuto de polômos de baxo grau, udos em ós (vértces) formado uma fução cotíua em um tervalo. Para que o problema de ecotrar polômos que uam os vértces teha solução e possua certo grau de suavdade, costuma-se mpor lmtes sobre os ós. Esse método fo desevolvdo calmete para resolver a terpolação de fuções suaves, já que reduz as stabldades característcas dos polômos de alta ordem. O sple cúbco é o mas comum detro da lteratura facera. Isto ocorre porque este é o sple de mas baxo grau que possblta a cração de uma curva terpolada sem a preseça de descotudades e que seja cotuamete dferecável. Para que as curvas a termo sejam cotíuas, o sple quadrátco é o sple de meor ordem recomedado, pos permte que a curva teha ao meos uma dervada cotíua. Além dsso, para que a curva a termo seja cotuamete dferecável, o sple de meor grau a ser utlzado deverá ser o cúbco. A segur será realzada uma aálse detalhada do sple cúbco. Supoha que f seja um sple cúbco. Para cada tervalo [ ] x, x +1, ode e x + 1 x são os prazos de vértces cosecutvos, f deve ser gual a um polômo cúbco P, com o formato abaxo: P (x) = a 0, + a 1, x + a 2, x 2 + a 3, x 3 (3) [ x ], x +1 Resumdo, f(x) é gual a P (x) para cada valor de x pertecete ao tervalo, com varado de 1 até 1, cobrdo assm todos os vértces. P 1 (x) para x [ x 1, x 2 ] M f(x) = P (x) para [ x x ] M x (4), +1 P -1 (x) para x [, ] x x 1

6 Estrutura a Termo de Taxa de Juros 25 Algumas codções devem ser satsfetas para garatr que f seja cotíua e com prmeras e segudas dervadas cotíuas o tervalo [ x, ] deve ter valor gual às taxas de juros dos vértces os potos 1 x. Além dsso, f x 1, x1, K, x, ou seja, f(x ) = g(x ). Para que f preecha todas essas codções, as equações abaxo devem ser satsfetas: P x ) = g( x ), para = 1,, 1 ( P x ) g( x ), para = 1,, 1 ( + 1 = + 1 P '( x ) = s, para = 1,, 1 (5) P '( x + 1) = s + 1, para = 1,, 1 P "( x ) = P "( x ), para = 2,, 1 1 Ode s 1,, s são parâmetros a serem delmtados pelo modelo. Para que cada polômo P seja determado, deve-se fxar os valores dos parâmetros s 1,, s. O problema é mostrar como tas parâmetros podem ser detfcados. As restrções acma permtem motar um sstema com 2 equações leares cujas cógtas são s 1,, s, ou seja, teremos 2 equações 1 para cógtas. Se de alguma forma for suposto que os parâmetros s 1 e s podem ser detfcados, o sstema acma terá 2 equações e 2 cógtas, podedo ser resolvdo para os demas parâmetros de maera úca e fechada. A metodologa sple é bastate usada em mercado para a terpolação de curvas, o etato apreseta algumas stabldades, prcpalmete se a dstrbução dos vértces for heterogêea. Outras metodologas dervadas do sple foram propostas com o tuto de mmzar tas lmtações e atualmete tas métodos são muto empregados. 1 Motero e Salles (2001) mostram três metodologas dferetes para a escolha de s 1 e s : o sple cúbco completo, o sple cúbco atural e o sple cúbco ot-a-kot.

7 Estrutura a Termo de Taxa de Juros Extrapolação Os métodos de extrapolação de curva são usados para que se possa extrar taxas de juros de prazos mas logos. O mercado atual possu lqudez para apeas dos ou três aos, o que força a utlzação da extrapolação da curva de juros para prazos superores a estes. Uma das metodologas sugerdas evolve a escolha de uma jaela de tempo o segmeto logo da curva e a repetção da taxa mplícta desse segmeto para o período projetado (método flat forward). Outro método smples cosste a extrapolação log-lear para os dos últmos vértces da curva. A fgura abaxo represeta um resumo do que fo explcado o capítulo 2 até o mometo, mostrado a costrução da estrutura a termo de taxa de juros com destaque para a utlzação dos vértces, terpolação e extrapolação da curva. 18,50 Taxa (%) 17,50 16,50 15,50 Prazo (Das) Vértces Iterpolação Extrapolação Fgura 1 Costrução da estrutura a termo de taxa de juros destacado os vértces, terpolação e extrapolação da curva Mercado Futuro de taxa de juros o Brasl O mercado futuro de taxa de juros o Brasl é algo recete, tomado grade mpulso a partr do fal da década de 90, com adveto de ovos strumetos faceros que propcaram um gaho extraordáro de lqudez o mercado. O prcpal agete resposável pelo eorme crescmeto o volume de cotratos

8 Estrutura a Termo de Taxa de Juros 27 futuros de juros egocados a BM&F fo o desevolvmeto do mercado futuro de taxas de Depóstos Iterfaceros, comumete chamado de DI. O DI futuro ão fo o prmero strumeto a ser egocado o mercado futuro de taxa de juros. A prmera tetatva de laçameto de atvos desse gêero ocorreu em mao de 1986 com a emssão do cotrato futuro de Taxa de Juros Referecal OTN e também com o cotrato futuro de Certfcados de Depóstos Bacáros (CDB). Tas laçametos propcaram aos tegrates do mercado em geral, como sttuções faceras, fudos de prevdêca e demas vestdores, proteção cotra o va e vem das taxas de juros do período pós-cruzado. No ao segute fo extto o mercado futuro de taxas de juros referecados em CDB préfxado e os demas aos outros tpos de strumetos faceros com característcas semelhates foram laçados. Nos dos tópcos a segur serão abordados algus dos prcpas atvos faceros pertecetes ao mercado futuro de juros do Brasl e que serão relevates a costrução da estrutura a termo de juros braslera. Detre eles destacam-se o cotrato futuro de Depóstos Iterfaceros e os Swaps de taxas de juros DI Futuro É sem dúvda o strumeto facero que serve como termômetro das expectatvas do mercado sobre o comportameto dos juros futuros o curto prazo. Isso é possível, em prmero lugar, pelo seu elevado grau de lqudez, que garate a formação de preços em ambete compettvo e com total trasparêca. Além dsso, trata-se de um cotrato futuro referecado em uma taxa amplamete dvulgada e cohecda pelo mercado. O cotrato futuro de DI é um título hpotétco de valor omal R$ ,00 o da de seu vecmeto. Os cotratos são egocados por um preço utáro (PU) que correspode ao valor presete de um título que, rededo a taxa de juros com prazo de das útes até o vecmeto, sera resgatado, o

9 Estrutura a Termo de Taxa de Juros 28 vecmeto, pelo seu valor omal. Esse PU é expresso com duas casas decmas. Além dsso, os cotratos vecem o prmero da útl do mês. Na realdade, o objetvo do DI futuro ão é a realzação do egóco baseado o PU. Os vestdores estão teressados a egocação da taxa de juros embutda o cotrato. Um resumo desta operação é smplfcado pela eq.(6): PU du = (6) du ( 1+ ) 252 du ode: du sgfca o úmero de das útes até o vecmeto do cotrato; du é a taxa aual efetva para du das útes; PU du é o preço utáro do cotrato a data atual. Supoha que o mercado salza para uma taxa de juros de 18% a.a. quado se está a 10 das do vecmeto do cotrato. O preço utáro do cotrato será: PU du = ( 1+ 0,18) 10 = ,35 Ou seja, o valor do preço utáro de egocação do DI futuro, esse caso, será de ,35 reas Swaps de taxa de juros Ates de abordar os Swaps de taxa de juros, com destaque para o Swap pré- DI, será feta uma breve explcação sobre este atvo facero. Swap é um acordo facero de troca de fluxos de caxa futuros. Nesse acordo defe-se quado esses fluxos serão pagos e a forma como serão calculados. Normalmete o cálculo destes fluxos de caxa evolve valores futuros de uma ou mas varáves de mercado. Estededo esta explcação, os Swaps cosstem em cotratos a termo, blateras, lqudados por dfereça, cujos partcpates são sttuções faceras

10 Estrutura a Termo de Taxa de Juros 29 e ão faceras. Um detalhe que o dfereca dos cotratos futuros é que o Swap o ajuste é feto o vecmeto da operação. O Swap de taxa pré versus CDI permte a troca etre uma taxa pré-fxada em reas por uma taxa pós-fxada (flutuate) em CDI ou vce-versa. O Swap pré- DI pode ser decomposto em duas potas: uma corrgda pela taxa pré-fxada e a outra corrgda pela taxa pós-fxada (CDI). O fluxo da pota CDI começa a partr da taxa do da da operação e acumula até o CDI do da útl medatamete ates do seu vecmeto. A pota pré-fxada do Swap começa a partr do da da operação, clusve; e terma o vecmeto da mesma, exclusve, utlzado base em das corrdos. Um exemplo prátco será dado a segur para melhor lustrar esse strumeto facero. Supoha que uma empresa possu aplcações faceras dexadas ao CDI (possu atvo dexado a CDI), porém cotrau uma dívda préfxada em reas (carrega um passvo em taxa fxa em reas) para pagar em 1 ao. Os valores da dívda e aplcação, hoje, são de R$ cada e a dívda aumeta a uma taxa de 18% a.a.. Para se proteger de possíves perdas proporcoadas pela queda a taxa do CDI (como seu passvo é fxo, quedas o CDI provocaram um resultado o atvo meor que o esperado), a empresa decdu realzar um Swap pré-di, assumdo a pota atva do Swap em DI. Para se proteger 100% das osclações do CDI, o Swap deve ter as segutes característcas: ter prazo de 1 ao, possur a pota pré com valor de 18% a.a. e correspoder a um motate de R$ O resultado para a empresa, depos de 1 ao, com o a taxa assocada ao CDI cado para 17% a.a., pode ser observado a tabela 1.

11 Estrutura a Termo de Taxa de Juros 30 Atvo da Empresa x (1+ 0,17) = Passvo da Empresa x (1+ 0,18) = Resultado Orgal Empresa = Swap pota Pré (atva) x (1+ 0,18) = Swap pota DI (passva) x (1+ 0,17) = Resultado do Swap = Resultado Global = 0 Tabela 1 - Resultado o balaço da empresa após a realzação do Swap Pré-DI. Efm, o Swap cosegue amortecer qualquer flutuação de taxa detro do balaço da empresa, mostrado que é o strumeto certo para equlbrar tal balaço. No caso acma, se as taxas de juro caíssem para 17% o acumulado do ao, o resultado sem a utlzação do Swap sera um prejuízo de R$ ,00. No etato, se for feto o Swap, essa perda sera coberta pelo gaho a operação o valor de R$ ,00. Exstem outros tpos de Swaps de taxa de juros flutuate e taxa de juros préfxada comumete usados o mercado, como os Swaps de taxa pré-fxada x LIBOR 2. Detre os Swaps de taxas de juros flutuates mas egocados, podem ser ctados os que evolvem CDI over 3 x Taxa Referecal 4 (por prazos superores a um mês) e Prme Rate 5 x LIBOR. 2 Taxa de oferta do mercado terbacára de Lodres. 3 Taxa de juro dáro que é a méda dos empréstmos cobrados etre os própros bacos o Brasl. 4 Taxa calculada pelo Baco Cetral do Brasl com base as taxas de juros pratcadas pelo mercado bacáro braslero; como as que são pagas o CDB, por exemplo. 5 Taxa de juros orte-amercaa.