MATERIAL DE ESTATÍSTICA II PROF. MÁRIO ROBERTO

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1 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS O que se etede por varável aleatóra? Até agora ossos estudos estavam pratcamete voltados mas para defrmos osso Espaço Amostral U, sem assocarmos suas respectvas probabldades aos expermetos aleatóros. Exstem, cotudo, expermetos cujos resultados podem ser expressos por quatdades umércas. Ou ada, por vezes, desejamos atrbur um valor específco a cada resultado do expermeto aleatóro. Quado realzamos a observação dos resultados de um expermeto que pode ser resultado repetdamete sob codções essecalmete alteradas (expermeto aleatóro), ão poderemos, de atemão, dzer qual partcular resultado rá ocorrer a próxma tetatva, muto embora sejamos capazes de descrever o cojuto de todos os possíves resultados do expermeto. Assm, por exemplo, ates de laçar um dado poderemos descrever que os possíves resultados são: l, 2, 3, 4, 5, 6, mas qual desses, em partcular, rá ocorrer, o próxmo laçameto é mpossível predzer com absoluta certeza. Varável aleatóra é, pos o resultado da observação de expermetos ão determístcos. Etretato o resultado de um expermeto ão é ecessaramete, um úmero. De fato a observação das peças que saem de uma máqua poderemos, smplesmete, aotar as categoras "defetuosas" ou "ão defetuosas". Cotudo, em mutas stuações expermetas, estamos teressados a mesuração de alguma cosa e o seu regstro como um úmero. Mesmo o exemplo acma, poderemos atrbur um úmero a cada resultado (ão umérco) do expermeto. U: observação das peças (telhas) que saem de uma máqua X úmero de peças defetuosas X = 0, 1, 2, 3,..., Portato, chama-se varável aleatóra a uma varável cujo valor é um úmero determado pelo resultado de um expermeto ou através da observação, e aos quas podemos assocar probabldade. As varáves aleatóras podem ser classfcadas em: 1- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETA Seja X uma varável aleatóra que assume os valores x 1, x 2, x 3,...x. Dremos que X é uma varável aleatóra dscreta. Se o úmero de valores tomados por X é fto ou fto umerável. Exemplo: U: Laçameto de quatro moedas Seja, X: o úmero de caras observadas. X = 0, 1, 2, 3, 4 De modo geral podemos dzer que as varáves aleatóras dscretas são as que resultem de cotages. 2- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Seja X uma varável aleatóra que pode assumr qualquer valor um tervalo, dremos que X é uma varável aleatóra cotíua. Exemplos: a) Número de horas de duração de uma lâmpada

2 2 b) b) A altura de um dvíduo que pode ser: 1,65m, l,652m, 1,6524m, coforme a precsão de medda. De modo geral podemos afrmar que as varáves aleatóras cotíuas são aquelas que resultem de "medção", em especal, de tempo, temperatura, comprmeto, peso, volume, etc. Um aspecto teressate é o que o mesmo expermeto pode dar margem à observações de váras varáves, e a escolha da que va ser observada fca a crtéro do observador. Como exemplo vejamos o expermeto "jogar 4 moedas smultaeamete". Como varável aleatóra poderemos escolher "o úmero de caras obtdas ou a dstâca míma etre 2 moedas". A prmera sera uma varável aleatóra dscreta e a Seguda sera uma varável aleatóra cotíua. 1- VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 1.1- FUNÇÃO DE PROBABILIDADE A probabldade de que a varável aleatóra assuma o valor X, é a fução de probabldade de X que represetamos por P(X = x ) ou smplesmete por P(X). f(x) = P(X = x ) f(x) = 0 se X x f(x ) = 1 = 1 Portato a fução que assoca probabldade aos possíves valores de uma varável aleatóra, deoma-se fução de probabldade. A fução P(X) pode ser expressa por uma tabela ou gráfco Exemplo Seja E: o espaço amostral o laçameto de 2 moedas e X: o úmero de caras C obtdas. Isto é: E = (K,K); (K,C); (C,K); (C,C) X = 0, 1, 2 TABELA: X P(X) 1/4 1/2 1/4 GRÁFICO: 1/2 1/4 P(X) X

3 FUNÇÃO REPARTIÇÃO Defe-se fução repartção da varável aleatóra X, o poto x, como sedo a probabldade de que x assuma um valor meor ou gual a X, sto é: F(X) = P(X x). No exemplo acma teremos: F(X) = 1/4 se x 0 F(X) = 1/2 se 1 x 2 F(X) = 1/4 se x 2 2- VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA 2.1- FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE Seja X uma varável aleatóra cotíua. A fução desdade de probabldade f(x) é uma fução que satsfaz as segutes codções. f(x) 0 f(x).d(x) = 1 Assm P( a x b) = b f(x).d(x) a 2.2- FUNÇÃO REPARTIÇÃO +oo F(X) = P(X x) = P( -oo x +oo) = f(x).dx = 1 -oo Seja X uma varável aleatóra cotíua com a segute fução desdade de probabldade. f(x) = 2x para 0 x 1 0 para (qualquer) outro valor para x 0 F(x) = 0 f(x) = para 0 x 1 F(x) = 2x.dx = 2x 2 x = x 2 para x 1 F(x) = Represetação gráfca

4 4 F(x) 1 1 x Exemplo/Exercíco Seja f(x) = 3/2 (1 - x 2 ), 0 x 1 0, caso cotráro Ache a fução repartção e esboce o gráfco. 3- DISTRIBUIÇÃO DISCRETAS DE PROBABILIDADES 3.1- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE No cotexto das dstrbuções de probabldades, os valores dvduas de probabldades podem ser desgados pelo símbolo f(x), que efatza a exstêca de uma fução matemátca (varáves cotíuas). Por P(X = x), que efatza que a varável aleatóra pode assumr dversos valores, ou smplesmete por P(X). Para uma varável aleatóra dscreta todos os possíves valores da varável aleatóra podem ser lstados uma tabela com as probabldades correspodetes: dstrbução de probabldade Bomal, Hpergeométrca e de Posso. Para uma varável aleatóra cotíua ão podem ser lstados todos os possíves valores fracoáros da varável, e desta forma as probabldades são determadas por uma fução matemátca, são retratadas, tpcamete, por uma fução desdade ou por uma curva de probabldade. 3.2 VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS. Méda, Valor Esperado ou Esperaça Matemátca: = E(X) = x.p(x ) = 1

5 5 3.3 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA MATEMÁTICA: A méda de uma costate é a própra costate E(X) = k.p(x ) = k. P(x ) = k A méda de uma varável multplcada por uma costate é gual à costate multplcada pela méda da varável. E(k.X) = k.x.p(x ) = k. x.p(x ) = k.e(x ) A méda da soma ou da dfereça é a soma ou dfereça das médas. E( X + Y) = E( X ) + E( Y ) ou E(X - Y) = E(X) - E(Y) Somado ou subtrado uma costate a uma varável aleatóra, a sua méda fca somada ou subtraída da mesma costate. E(X + k) = E(X) + E(k) = E(X) + k ou E(X- k) = E(X) - k A méda do produto de duas varáves aleatóras depedetes é o produto das médas. E(X.Y) = x.y j.p(x y j ) = x.y.p(x ).P(y j ) = x.p(x ). y j.p(y j ) = E(X).E(Y) 3.4- VARIÂNCIA A forma geral de desvos para a fórmula da varâca de uma dstrbução dscreta de probabldade é: V(X) = 2 (X) = x - E(X) 2.p(x) ou V(X) = 2 (X) = E(X 2 ) - E(X) 2 ( Fórmula Computacoal) 3.5- PROPRIEDADE DA VARIÂNCIA A varâca de uma costate é zero 2 (X) = V(k) = E k - E(k) 2 = E(k - k) 2 = Multplcado-se uma varável aleatóra por uma costate, sua varâca fca multplcada pelo quadrado da costate. V(k.X) = 2 (k.x) = kx - E(k.X) 2 = k.x - k.e(x) 2 = k(x - E(X) 2 = k 2.X - E(X) 2 = k 2.V(X) Somado-se ou subtrado-se uma costate à varável aleatóra, sua varâca ão se altera.

6 6 2 (X + k) = 2 (X) + 2 (k) = 2 (X) + 0 = 2 (X) A varâca da soma ou da dfereça de duas varáves aleatóras depedetes é a soma das respectvas varâcas. 2 (X +Y) = 2 (X) + 2 (Y) e 2 (X - Y) = 2 (X) + 2 (-Y) = 2 (X) + (-1) 2. 2 (X) = 2 (X) + 2 (Y) EXEMPLO: A tabela abaxo está regstrado o úmero de camhoetes solctadas em uma agêca de aluguel de carros durate um período de 50 das. Demada possível X Nº de das Probabldade P(X) Valor Poderado X:P(X) Demada ao quadrado X 2 Quad. Poderado X 2.P(X) 3 3 0,06 = 3/50 0,18 9 0, ,14 = 7/50 0, , ,24 1, , ,28 1, , ,20 1, , ,08 0, ,12 TOTAL 50 1,00 E(X) = 5,66 E(X 2 ) = 33,78 OBS. A probabldade de serem solctadas exatamete sete (7) camhoetes em um determado da aleatoramete escolhdo o período é de 0,20 e de cco (5) é de 0,24. Determe: a) A esperaça matemátca b) A varâca, cálculo computacoal. a) E(X) = 5,66 Isto é, o valor esperado para dados dscretos pode ser fracoáro porque ele represeta um valor médo de logo prazo e ão o valor específco para qualquer observação dada. c) V(X) = 2 (X) = E(X 2 ) - E(X) 2 = 33,78 - (5,66) 2 = 33,78-32,04 = 1,74

7 7 Isto é a varação do úmero de camhoetes em toro da méda ao quadrado é de 1,74. Exercícos 1- Um detsta tem 5 caderas dspoíves para pacetes em sua sala de espera. A probabldade do úmero de caderas ocupadas X é dada por: X P(X) 0 0, , , , , ,073 a) Ache a méda E(X) = da varável aleatóra X. E(x) = 1,7 b) Calcule a varâca e o desvo padrão, da varável aleatóra X. V(X) = 2,53 c) Calcule P( 2 X 5) d) Desevolva o formato tabular a cdf ( Fução de Dstrbução Acumulada) dessa dstrbução. e) Desevolva a fução repartção dessa dstrbução. 2- Cosdere uma moeda perfeta laçada 3 vezes. Seja X o úmero de caras obtda. Calcule a) a dstrbução de X b) méda de X E(x) = 1,5 c) a varâca ² = 0,75 3- Cosdere uma ura cotedo três bolas vermelhas e cco pretas. Retre três bolas sem reposção, e defa a V.A X gual a úmero de bolas pretas. a) Obteha a dstrbução de X b) Obteha a méda e a varâca da V.A X E(X) =1,875 ² = 0, Uma moeda é laçada 4 vezes. Seja Y o úmero de caras obtdas. Calcule

8 8 a) a dstrbução de Y b) a méda e varâca de Y = 2, ² = 1 5- Cosdere uma mesa cotedo 10 frutas das quas 4 estão estragadas. Retre três dessas frutas ao acaso, sem reposção e defa a V.A. X gual a úmero de frutas estragadas. a) Obteha a dstrbução de X b) Obteha a méda e a varâca da V.A. = 1,2, ² = 0,560 4-DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 4.1- INTRODUÇÃO: DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI Seja um expermeto que cosste a realzação de uma prova, cujos resultados só podem ser "sucesso" ou "fracasso". Observado ada que a realzação desta prova os evetos são depedetes, vamos chamar de X uma varável aleatóra que de acordo com a pressuposção ctada, somete assumrá valores 0 e 1, sedo 0 a ocorrêca do eveto "fracasso" e 1 a ocorrêca do eveto "sucesso" com probabldades P(X = 0) = q X 0 1 P(X = 1) = p P(X) q p p + q = 1 q = 1 - p Obs. q = l- p é complemetar de p, pos p + q = E(X) = x.p(x) = 0.q + 1.p = p E(X) = p 3- V(X) = E(X 2 ) - E(X) 2 = 0 2.q p - p 2 = p - p 2 = p(1 - p) = p.q V(X) = p.q Cosderemos que: a) provas depedetes e do mesmo tpo são realzadas. b) Cada prova é uma prova de Beroull ou seja, admte dos resultados: sucesso ou fracasso que são mutuamete exclusvos. c) A probabldade de sucesso ou fracasso é a mesma em cada prova, sto é, costates.

9 9 d) p é a probabldade de sucesso em cada prova e q = 1 - p a ocorrêca do fracasso DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Se p é a probabldade de um eveto acotecer em uma tetatva úca (sucesso), e q = 1 - p é a probabldade de que o eveto ão ocorra (sucesso), etão a probabldade do eveto ocorrer exatamete x vezes em tetatvas, sto é, de que haja X sucessos e - x sucesso, é dado por: P(X = x) = p x. q - x x PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Baseados a propredades da E(X) e V(X) e como a varável bomal X é uma soma de varáves depedetes do tpo Beroull, teremos que: E(X) = E( x 1 + x 2 + x x ) = E(x 1 ) + E(x 2 ) + E(x 3 ) E(x ) = p E(x) = =.p V(X) = V(x 1 + x 2 + x x ) = V(x 1 ) + V(x 2 ) + V(x 3 ) V(x ) = p.q + p.q + p.q p.q =.pq. =.p.(1 - p) V(x) = ² =.p.q FÓRMULAS GERAIS: E(X) = x.p(x) P(X = x) =. p x.(1 - p) - x x E(X) = x..p x. (1 - p) - x x V(X) = (x E(X))².p(x )

10 10 TRIÂNGULO DE PASCAL UMA FERRAMENTA IMPORTANTE Números Combatóros! Ou bomas p = C,p = p!.(-p)! = P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6 = = = = = = Substtudo-se cada úmero combatóro pelo respectvo valor, o trâgulo de Pascal fca assm:

11 11 = 0 1 P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6 = = = = = = Observe que o trâgulo de Pascal cotua ftamete, à medda que va aumetado o valor de. APLICAÇÕES 1- Em uma fábrca de parafusos um terço da produção é defetuosa. Em uma amostra de 6 parafusos, perguta-se a) Qual a probabldade de que ão teham ehum defetuoso? b) Qual a probabldade de que o úmero de parafusos defetuosos seja o máxmo 2? c) Qual o úmero esperado de parafusos defetuosos? d) Qual a dspersão em toro do úmero esperado de parafusos defetuosos? Solução X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 defetuosos a) P(X = 0) = 6. (1/3) 0.(2/3) 6-0 = (2/3) 6 = 64/729 0 b) P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 64 / / / 729 =

12 12 = 496 / 729 = 68% c) E(X) = x.p(x) = 0.64 / / / / / 729 ou E(X) =.p = 6.1/3 = 2 defetuosos d) V(X) = 2 (X) = E(X 2 ) - E(X) / / 729 E(X) = 2 defetuosos V(X) = / / / / / / /729 = 5,33 V(X) = 5, = 1,33 ou V(X) =.p.q = 6.1/3.2/3 = 1,33 = 1,33 = 1,15 2- Num hosptal 5 pacetes devem submeter-se a um tpo de operação da qual 80% sobrevvem. Qual a probabldade de que: a) Todos sobrevvem R 32,775 b) Pelos meos dos sobrevvem R 99,33% c) No máxmo 3 ão cosgam sobrevver. R 99,33% d) Qual é o úmero esperado de sobrevvetes? R 4 sobrevvetes 3- Se 2/3 da população de certo mucípo ão assstem regularmete a programas de televsão e, colocado 250 pesqusadores cada um etrevstado 8 pessoas, estmar quatos desse pesqusadores formarão que até 2 das pessoas cosultadas são telespectadores habtuas. Solução X. Assstem regularmete televsão p = 1/3 X = 0, 1, 2 P(X=0) = 8.(1/3) 0.(2/3) 8 = 256/ q = 2/3 P(X=1) = 8.(1/3) 1.(2/3) 7 = 1024/6561 P(X 2) =

13 13 P(X=2) = 8.(1/3) 2.(2/3) 6 = 1792/6561 P(X) = 3072 = 46,82% Logo E(X) =.p 250.(3072/6561) = 117, pesqusadores. 4- DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Quado a amostragem se faz sem reposção de cada tem amostrado de uma população fta, ão se pode aplcar o processo de Beroull, uma vez que exte uma mudaça sstemátca a probabldade de sucesso á medda que os tes são retrados da população. A dstrbução Hpergeométrca é uma dstrbução dscreta de probabldade aproprada quado exste amostragem sem reposção em uma stuação que, se ão fosse por sso, sera um processo de Beroull. Supoha-se que tehamos um lote de N peças e M das quas são defetuosas. Supoha-se que escolhemos, ao acaso peças desse lote ( N); sem reposção. Seja X o úmero de peças defetuosas ecotradas. Desde que X = x se, e somete se, obtvermos exatamete k peças defetuosas ( detre as M defetuosas do lote) e exatamete ( - x) ão defetuosas ( detre as N - M ão defetuosas do lote, teremos: M N - M P(X = x) = x. - x N PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA E(X) =.p V(X) = 2 (X) =.p.q. N - N - 1 E(x) = x.p(x) = x. M N - M x - x (*) N APLICAÇÕES 1- Em uma sala há 6 homes e 5 mulheres. Uma comssão de 4 pessoas é formada ao acaso. Qual a probabldade de que:

14 14 a) apareçam 3 homes a comssão, b) ão apareça ehum homem, c) Qual o úmero esperado de homes a comssão e o úmero de mulheres? Solução a) N = 11 (total de pessoas) = 4 ( úmero de pessoas a comssão) M = 6 ( quatdade de homes) N - M = 5 ( quatdade de mulheres) x = 3 (quatdade de homes a comssão) 6 5 P(X = 3) = 3 1 = 20.5/330 = 10 / b) P(X = 0) = 0 4 = 1.5 / 330 = 1 / c) E(X) = E(x) = 4.6/11 = 24/11 = 2,l8 2 homes E(X) = E( N - x) = 4.5/11 = 20/11 2 mulheres Podera calcular E(X) usado a fórmula (*). 2- Uma caxa cotém 12 lâmpadas das quas 5 estão quemadas. São escolhdas 6 lâmpadas ao acaso para lumação de uma sala. Qual a probabldade de que: a) exatamete duas estejam quemadas? b) Pelo meos uma seja boa? c) Pelo meos duas estejam quemadas? d) Ecotre o úmero esperado de lâmpadas quemadas e a dspersão em toro da méda. Solução X: lâmpadas quemadas M: total de lâmpadas quemadas = 5 k: lâmpadas quemadas (ao acaso) : úmero de lâmpadas (ao acaso) = 6 N: total de lâmpadas = a) P(X=2) = 2 4 = 10.35/924 = 350/

15 15 b) X = 0, 1, 2, 3, 4, 5 P(X 5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = = 7/ / / / / /924 = 924/924 = 1 = 100% c) P(X 2) = p(x = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = = 812 / 924 = 87,88% 924 d) E(X) =.p = 6.5/12 = 2,5 2 lâmpadas quemadas 2 (X) = V(X) =.p.q. N - = 6. 5/12. 7/ = 0,795 2 (X) = 0,795 = 0,89 1 lâmpada N DISTRIBUIÇÃO DE POISSON A dstrbução de Posso pode ser usada par determar a probabldade de um dado úmero de sucessos quado os evetos ocorrem em um cotuum de tempo ou espaço. Tal processo, chamado de processo de Posso é smlar ao processo de Beroull, exceto que os evetos ocorrem em um cotuum ao vés de ocorrerem em tetatvas ou observações fxadas. Um exemplo de tal processo é a chegada de chamadas em uma cetral telefôca. Tal como o caso do processo de Beroull, supõe-se que os evetos são depedetes e que o processo é estacoáro (a méda ão altera detro da especfcação). Somete um valor é ecessáro para determar a probabldade de um dado úmero de sucessos em um processo de Posso: o úmero médo de sucessos para a específca dmesão de tempo ou espaço de teresse. Este úmero médo é geralmete represetado por ou. A fórmula para determar a probabldade de um dado úmero X de sucessos em uma dstrbução de Posso é:

16 16 P(X / ) = X.e - e = 2, X! PARÂMETRO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON E(X) = e V(X) = 2 = EXEMPLOS 1- Em um cruzameto de 2 ruas o úmero médo de acdetes é gual a 2 semaas. Determar a) a probabldade de que uma determada semaa ocorram 3 acdetes. b) A probabldade de que ão ocorra ehum acdete c) A probabldade de que ocorra acdete. Solução X = 0, 1, 2, 3,..., a) P(X = 3) = 2 3.e -2 = 8/6.2, = 4/3.0,13534 = 0,18 = 18% 3! b) P(X = 0) = 2 0.e -2 = 0,13534 = 13,53% 0! d) P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 1-0,13534 = 0,86466 = 86,47% 2- Um departameto de coserto de máquas recebe uma méda de cco chamadas por hora. A probabldade de que meos do que três chamadas sejam recebdas durate uma hora aleatoramete escolhda é: P(X < 3) / = 5) = P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 5 0.e e -5 0! 1! e -5 = 0, , ,0842 = 0,1248 = 12,5% 2! EXERCÍCIOS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 1- Descobru-se que a chegada de cletes a um Baco, durate tervalos aleatoramete escolhdos de 10mutos, segue a dstrbução de probabldade da

17 17 tabela, abaxo. Calcular o úmero esperado de chegadas por tervalo de 10 mutos bem como calcular a varâca das chegadas. E(X) = 2, V(X) = 1,9 Nº de chegadas X Probablda -de P(X) ,15 0,25 0,25 0,20 0,10 0,05 2- Em um levatameto recete, a probabldade de que um acdete de carro é causado por um motorsta embragado é cerca de 0,229. Nos próxmos três acdetes, qual a é probabldade de que: a) exatamete um acdete seja causado por um motorsta embragado? 40,8% b) No mímo um acdete seja causado por um motorsta embragado? 57,6% c) Se você tem os segutes resultados de probabldade de acdetes causados por motorstas embragados os 10 próxmos acdetes: Pdf (*) Cdf (**) 0 0,0742 0, ,2205 0, ,2947 0, ,2334 0, ,1213 0, ,0432 0, ,0107 0, ,0018 0, ,0002 1, ,0000 1, ,0000 1,0000 (*) pdf - Probablty Dstrbuto Fucto (Fução de Dstrbução de Probabldade) (**) Cdf - Cumulatve Dstrbuto Fucto ( Fução de Dstrbução Cumulatva) 1- ache P(x=3) 23,34% 2- ache P(5 x 9) 1,27% 3- qual é a méda e a varâca da dstrbução tabulada acma? =2,29, ² =1,77 3- Exstem 90% de probabldade de que um certo tpo de compoete se comporte de forma adequada sob codções de elevadas temperatura. Se o dspostvo em questão tem quatro de tas compoetes, determar, por meo da fórmula de probabldades bomas a probabldade de cada um dos evetos. a) Todos os compoetes se comportam de forma adequada, por cosegute, o dspostvo fucoa. 65,61% b) O dspostvo ão fucoa por falhar um dos quatro compoetes. 29,16% c) O dspostvo ão fucoa por que falham um ou mas dos compoetes. 34,39%

18 18 4-Supoha que 40% dos empregados horstas de uma grade empresa estejam a favor da represetação sdcal e que se peça uma resposta aôma a uma amostra aleatóra de 10 empregados. Qual a probabldade de estarem a favor da represetação sdcal: a) a maor parte dos que respoderam? 16,08% b) Meos da metade dos que respoderam? 63,92% 5- De 20 estudates em uma classe, 15 ão estão satsfetos com o texto utlzado. Se uma amostra aleatóra de quatro aluos se pergutar sobre o texto, determar a probabldade de que estvessem descotetes com o texto: a) exatamete três estudates. 46,96% b) No mímo três estudates. 75,13% 6- Somete um de cada ml geradores motados em uma fábrca apreseta defetos, sedo que os geradores defetuosos se dstrbuem aleatoramete ao logo da produção. a) Qual a probabldade de que um carregameto de 500 geradores ão clua gerador defetuoso algum? 60,65% b) Qual a probabldade de um carregameto de 100 geradores coteha o mímo um gerador defetuosos? 9,52% 7- Supoha que a probabldade de que um tem produzdo por uma máqua seja defetuoso é de 0,2. Se dez tes produzdos por essa máqua são selecoados ao acaso, qual a probabldade de que ão mas do que um defetuoso seja ecotrado? Use a bomal e a dstrbução de Posso e compare os resultados. Pb = 37,58% e Pp = 40,6% 8- Num certo tpo de fabrcação de fta magétca, ocorrem corte a uma taxa de um por 2000 pés. Qual a probabldade de que um rolo com 2000 pés a fta magétca teha: a) ehum corte? 36,79% b) No máxmo 2 cortes? 91,97% c) Pelo meos dos cortes? 26,42% 9- Numa cetral telefôca, o úmero de chamadas chega segudo uma dstrbução de Posso, com a méda de 8 chamadas por muto. Determar a probabldade de que um muto aleatoramete escolhdo se teha. a) três ou mas chamadas 98,62% b) meos do que 5 chamadas 9,96% c) etre 7 (clusve) e ove (exclusve) chamadas. 27,92% 10- Uma máqua, fabrca placas de papelão que podem apresetar ehum defeto, um, dos, três ou quatro defetos, com probabldade 90%, 5%, 3%, 1% e 1%, respectvamete. O preço de veda de uma placa perfeta é 10 u.m. e à medda que apresete defeto, o preço ca 50% para cada defeto apresetado. Qual o preço médo de veda destas placas? E(x) = 9,34 u.m 11- Uma empresa dstrbudora costuma falhar em suas etregas de mercadoras 15% das vezes, por atraso a etrega, mercadora fora de especfcação daos, etc. causado reclamações por parte dos cletes. Calcule a probabldade de: a) ão ocorrer reclamações as 10 etregas de hoje. R 19,69% b) Acotecer pelo meos uma reclamação as 4 prmeras etregas. R 47,80%

19 19 c) Acotecer o máxmo uma reclamação as 10 etregas. R 54,43% 12- Em um pedágo de determada rodova chegam em méda 600 carros por hora. Determe a probabldade de : a) chegarem exatamete 10 carros em um muto R: 12,51% b) chegarem meos que 5 caros em um muto R:2,92% II-DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE : EXPONENCIAL E NORMAL 1 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE EXPONENCIAL É uma dstrbução de Posso, uma vez que o tempo ou espaço são um cotuum(dstrbução cotíua). Uma vez que o processo de Posso é estacoáro, a dstrbução expoecal aplca-se quer estejamos teressados com o tempo etre dos evetos sucessvos, ou quer o tempo decorrdo até acotecer o prmero eveto após um poto aleatoramete selecoado A probabldade expoecal de que o prmero eveto ocorrerá detro do tervalo especfcado de tempo ou espaço é: P(T t) = 1 e - A probabldade expoecal de que o prmero eveto ão ocorrerá detro do tervalo especfcado de tempo ou espaço é: P(T > t) = e - PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL E(t) = 1/ V(T) = 1/² EXEMPLOS 1- Um departameto de coserto de máquas recebe em méda, 5 chamadas por hora. Icado em um poto do tempo aleatoramete escolhdo, qual a probabldade de que a prmera chamada chegue detro de mea hora? Solução /hora = 5 = 2,5 Logo P((T ½) = 1 e - = 1 e -2, ,0821 = 0,9179 = 91,79%

20 20 2- Em méda, um avo atraca um certo porto a cada 2 das. Qual a probabldade de que, a partr da partda de um avo, se passem 4 das ates da chegada do próxmo avo? Solução Méda a cada 2 das = 1 = méda pó período de 4 das = 1.2 = 2 Logo P(T > 4 ) = e - = e -2 = 0,1353 = 13,53% EXERCÍCIO Em méda ses pessoas por hora se utlzam de um caxa-automátco de um baco em uma grade loja de departametos. a) Qual a probabldade de que se passem pelo meos 10 mutos etre a chegada de dos cletes? R. 0,3678 b) Qual a probabldade de que, depos da saída de um clete, ão se apresete outro em pelo meos 20 mutos R.0,1353 c) Qual a probabldade de que chegue um segudo clete detro de 1 muto após a chegado do prmero R0, DISTRIBUIÇÃO NORMAL A dstrbução ormal de probabldade é uma dstrbução de probabldade cotíua que é smétrca ( X = Me = Mo) e mesocúrtca K = Q 3 - Q 1 = 0,263 2(P 90 - P 10 ) A curva que represeta a dstrbução ormal de probabldade é freqüetemete descrta como tedo uma forma de so, como segue o exemplo. F(X) X = Me = Mo X

21 21 A dstrbução de probabldade ormal é mportate a ferêca estatístca por três razões dsttas. 1- As meddas produzdas em dversos processos aleatóros seguem esta dstrbução 2- Probabldades ormas podem ser usadas freqüetemete como aproxmações de outras dstrbuções de probabldades, tas como as dstrbuções Bomas e de Posso. 3- As dstrbuções de estatístcas da amostra tas como a Méda e a Proporção freqüetemete seguem a dstrbução ormal depedetemete da dstrbução da população. Como para qualquer dstrbução cotíua de probabldade, o valor da probabldade pode somete ser determado para um tervalo de valores da varável. A altura da fução desdade, ou curva de probabldade, para uma varável ormalmete dstrbuda é dada por: -1/2( x - ) 2 f(x) = l.e 2. ode: = 3, e = 2, : é a méda da dstrbução : é o desvo padrão da dstrbução Em partcular, a dstrbução ormal de probabldade com = 0 e = 1 é cohecda como dstrbução ormal padrozada(reduzda), a qual as tabelas de probabldades da ormal são costruídas. Qualquer cojuto de valores de X ormalmete dstrbuídos pode ser covertdo em valores ormas padrozados Z pelo uso da fórmula. Z = x - Logo -1/2.z 2 -z 2 /2 f(x) = 1.e = 1. e (-oo, + oo) 2. 2.

22 22 f(z) z Parâmetros da dstrbução N(, ) E(x) = = 0 V(x) = 2 = 1 N ( 0, 1) Exemplos 1- As alturas dos aluos de uma determada escola são ormalmete dstrbuídas com méda de 1,60 m e desvo padrão 0,30 m. Ecotre a probabldade de um aluo aleatóro medr: a) etre 1,50m e 1,80m b) mas de 1,75 m c) meos de 1, 48m

23 23 d) qual deve ser a medda míma para escolher 10% dos mas altos? e) abaxo de qual estatura estão os 20% mas baxos? 2- Sabe-se que a vda útl de um compoete elétrco segue uma dstrbução ormal com méda = 2000 horas e desvo padrão = 200 horas, determe. a) a probabldade de que um compoete aleatoramete selecoado dure etre 2000 e 2400 horas 47,72% b) a probabldade de que um compoete aleatoramete selecoado dure mas do que 2200 horas. 15,87% c) a probabldade de que um compoete aleatoramete selecoado dure etre 1500 e 2100 horas. 68,53% d) A probabldade de que um compoete aleatoramete selecoado dure etre 2100 e 2500 horas. 30,23% 2- APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES BINOMIAIS Quado o úmero de observações ou tetatvas forem relatvamete grade, a dstrbução de probabldade ormal pode ser utlzada para a aproxmações das probabldades bomas. Regra acetável 30 "regra de bolso".p 5.(1 - p) 5

24 24 Para uso da dstrbução ormal de probabldade como uma aproxmação da dstrbução de probabldade bomal, a méda e o desvo padrão se baseam o valor esperado e a varâca do úmero de sucessos de uma dstrbução bomal, ou seja: E(x) = =.p =.p.(1 - p) Aplcações 1- Para um grade úmero de cletes potecas, sabe-se que 20% dos cotactados pessoalmete por agetes de vedas realzarão uma compra. Se um represetate de vedas vsta 30 cletes potecas, podemos determar a probabldade de que 10 ou mas farão uma compra. a) utlzado as probabldades bomas. b) Utlzado a aproxmação ormal do valor de probabldade bomal. Solução a) P(x 10) =... 6,11% b) =.p = 30.2/10 = 6 =,p.(1-p) = 30.0,2.0,8 = 2,19 P bomal (x 10) = P b.( x 9,5 / = 6, = 2,19) =. = 5,48% Obs. Supõe-se que a classe de evetos "10 ou mas começa em 9,5 quado se utlza a aproxmação ormal. Esta subtração de mea udade é chamada correção de cotudade e é ecessára porque embora ão exstem evetos possíves o tervalo

25 25 etre 9 e 10 sucessos, a área sob a curva ormal deve ser dstrbuída etre duas classes adjacetes. Se o exemplo, fosse pedda a probabldade de "mas de 10" sucessos, a correção aproprada de cotudade mplcara adcoar 0,5 a 10 e determar a área do tervalo começado em 10,5. A correção de cotudade tem um efeto muto pequeo e pode, portato, ser omtda quado exstr um grade úmero de valores da vável X. Portato P b (x 10) = P(x 9,5) = Uma moeda é laçada 12 vezes. Determar a probabldade de que o úmero de coroas ocorra etre 4 e 7 clusve o 4 e o 7. a) pela dstrbução bomal b) pela dstrbução ormal 3- APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES DE POISSON Quado a méda de uma dstrbução de Posso for relatvamete grade a dstrbução ormal de probabldade pode ser usada como uma aproxmação das probabldades de Posso. Uma regra coveete é que tal aproxmação é acetável quado 10. A méda e o desvo padrão da dstrbução ormal de probabldade, o caso, baseam-se o valor esperado e a varâca do úmero de sucessos em uma processo de Posso, ou seja: = = Aplcação Um departameto de coserto de máquas recebe em méda, 10 chamadas em cada período de 8 horas. Podemos determar a probabldade de que mas de 15 chamadas serão recebdas em um período de 8 horas aleatoramete escolhdo. a) pela dstrbução de Posso b) pela dstrbução ormal

26 26 4- Métodos de Amostragem e Dstrbuções Amostras OBJETIVOS DO CAPÍTULO: Explcar porque em mutas stuações uma amostra é a úca forma plausível de apreder alguma cosa sobre uma população. Explcar os métodos de selecoar uma amostra Dstgur etre amostragem probablístca e amostragem ão probablístca Defr e costrur uma dstrbução amostral de médas amostras Explcar o Teorema do Lmte Cetral e sua mportâca para a Iferêca Estatístca Calcular Itervalos de Cofaça para Médas e Proporções Determar que tamaho uma amostra deve ter para estmar médas e proporções Porque amostrar uma população Natureza destrutva de certos testes A mpossbldade físca de checar todos os tes a população O custo de estudar todos os tes em uma população é freqüetemete probtvo Mutas vezes as estmatvas baseadas em uma amostra são mas precsas do que os resultados obtdos através de um levatameto cestáro Tempo muto elevado para a apuração de resultados em cesos 6.1 Amostragem Probablístca O que é uma amostragem probablístca? É uma amostra selecoada de tal forma que cada tem ou pessoa a população estudada têm uma probabldade (ão ula) cohecda de ser cluída a amostra. Métodos de Amostragem Probablístca: Amostragem Aleatóra Smples (AAS)

27 27 Uma amostra escolhda de tal forma que cada tem ou pessoa a população tem a mesma probabldade de ser cluída. Se a população tem um tamaho N, cada pessoa desta população tem a mesma probabldade gual a 1/N de etrar a amostra. Utlzamos uma tabela de úmeros aleatóros para sortear (com mesma probabldade) os elemetos da amostra. Também pode ser utlzada uma fução radômca: No Excel, por exemplo, temos a fução ALEATÓRIO ENTER. Amostragem Aleatóra Sstemátca Os tes ou dvíduos da população são ordeados de alguma forma alfabetcamete ou através de algum outro método. Um poto de partda aleatóro é sorteado, e etão cada k- ésmo membro da população é selecoado para a amostra. Amostragem Aleatóra Estratfcada A população é calmete dvdda em subgrupos (estratos) e uma subamostra é selecoada a partr de cada estrato da população. Amostragem aleatóra Estratfcada com Repartção Proporcoal Supohamos que a população é subdvdda em k estratos. Sejam: N = o úmero de dvíduos a população = o úmero de dvíduos a amostra N = o úmero de dvíduos cotdos o -ésmo estrato da população = o úmero de dvíduos cotdos o -ésmo estrato a amostra N N 1,2,...,k os estratos devem ser o mas homogêeos possíves com relação às característcas relevates da pesqusa (varáves que se correlacoam fortemete com a varável estudada) para um mesmo tamaho amostral, a amostragem aleatóra estratfcada com repartção proporcoal é mas precsa (meor varâca do estmador) do que a amostragem aleatóra smples (AAS). Amostragem Aleatóra Estratfcada com Repartção de Neyma (ou repartção ótma)

28 28 Se cohecermos a varâca de cada estrato populacoal referete a varável que estamos desejado estmar o seu parâmetro, um método mas adequado é o da repartção de Neyma. k w 1 W k N 1 N para um mesmo tamaho amostral a precsão é maor para amostra aleatóra estratfcada com repartção de Neyma (repartção ótma) do que para a amostra aleatóra estratfcada com repartção proporcoal que por sua vez é maor do que a amostra aleatóra smples Amostragem por Coglomerados A população é calmete subdvdda calmete em subgrupos (estratos) e uma amostra de estratos é selecoada (por exemplo, com probabldade proporcoal ao tamaho de cada estrato). A segur, amostras são selecoadas dos estratos selecoados prevamete. A prcpal vatagem da amostra por coglomerados é a de possbltar cosderável redução de custos (em relação por exemplo a uma amostragem aleatóra estratfcada) para um mesmo tamaho amostral. O método costuma ser empregado quado ão dspomos de um cadastro da população (como o caso da amostragem sstemátca) e os custos de ser elaborado um cadastro para toda a população é muto elevado. Erro amostral: A dfereça etre a estatístca amostral e seu correspodete parâmetro. Uma dstrbução de probabldade cosste de uma lsta de todos os possíves valores das médas amostras de um dado tamaho amostral costate selecoado da população e a probabldade de ocorrêca assocada a cada méda amostral. Exemplo 1 Uma empresa tem 5 sócos. Semaalmete, os sócos relatam o úmero de horas de atedmeto a cletes Sóco Horas

29 29 Dos sócos são selecoados aleatoramete. Quatas amostras dsttas são possíves? O úmero de amostras dsttas de dos elemetos tomados em 5 objetos correspode a: 5! (2!)(3!) 5C2 10 Sócos Total Méda 1, , , , , , , , , , Orgaze as médas amostras em uma dstrbução de freqüêcas. Méda Amostral freqüêca Freqüêca Relatva (Probabldade) / / / /10 Calcule a méda das médas amostras e compare-a com a méda da população. A méda da população é: ,2 5 A méda das médas amostras é: (22)(1) (24)(4) (26)(3) (28)(2) 10 25,2 Observe que a méda das médas amostras é gual a méda populacoal

30 Teorema do Lmte Cetral 2 Para uma população com méda e uma varâca, a dstrbução amostral das médas de todas as possíves amostras de tamaho, geradas a partr da população, será aproxmadamete ormalmete dstrbuída com a méda da dstrbução amostral 2 gual e varâca gual / - assumdo que o tamaho amostral é sufcetemete grade, ou seja, 30. Em outras palavras, se a população tem qualquer dstrbução (ão precsa ser 2 ecessaramete ormal) com méda gual a e varâca gual a, etão a dstrbução amostral dos valores médos amostras é ormalmete dstrbuída com a méda das médas ( X ) gual a méda da população ( X ) e o erro padrão das médas amostras gual a, desde que 30. Note que o erro padrão das médas amostras mostra quão próxmo da méda da população a méda amostral tede a ser. O erro padrão das médas amostras é calculado por: X X é o símbolo para o erro padrão das médas amostras X X é o desvo padrão da população é o tamaho da amostra Se ão é cohecdo e 30 (cosderada uma amostra grade), o desvo padrão da amostra, desgado por s, é usado para aproxmar o desvo padrão da população,. A fórmula para o erro padrão tora-se: s X s

31 31 ode s 1 ( X X ) Estmatva de Poto Estmatva de poto é um valor (chamado um poto) que é usado para estmar um parâmetro populacoal Exemplos de estmatvas de poto são a méda amostral, o desvo padrão amostral, a varâca amostral, a proporção populacoal, etc. Exemplo: O úmero de tes defetuosos produzdos por uma máqua fo regstrado em cco horas selecoadas aleatoramete durate uma semaa de trabalho de 40 horas. O úmero observado de defetuosos fo 12,4,7,14 e 10. Portato, a méda amostral é 9,4. Assm a estmatva de poto para a méda semaal do úmero de defetuosos é 9, Estmatva de Itervalo Uma Estmatva de Itervalo estabelece uma faxa de valores detro da qual um parâmetro populacoal provavelmete ca. O tervalo detro do qual um parâmetro populacoal é esperado ocorrer é chamado de tervalo de cofaça. Os tervalos de cofaça que são extesvamete usados são os de 95 % e 99 %. Um tervalo de cofaça de 95 % sgfca que cerca de 95 % dos tervalos costruídos smlarmete coterão o parâmetro que está sedo estmado. Outra terpretação do tervalo de cofaça de 95 % é que 95 % das médas amostras para um tamaho de amostra especfcado carão a uma dstâca máxma de 1,96 desvos padrões da méda populacoal. Para o tervalo de cofaça de 99 %, 99 % das médas amostras para um tamaho amostral especfcado carão a uma dstâca máxma de 2,58 desvos padrões da méda populacoal. Os tervalos de cofaça para 95 % e 99 % são costruídos como segue, para 30: O IC de 95 % para a méda populacoal é dado por: X 1, 96 s O IC de 99 % para a méda populacoal é dado por:

32 32 X 2, 58 s Em geral, um tervalo de cofaça para a méda, é calculado por: X Z s ode Z é obtdo da tabela de dstrbução ormal padrão. Exemplo 2 Uma uversdade quer estmar o úmero médo de horas trabalhadas por semaa por seus estudates. Uma amostra de 49 estudates mostrou uma méda de 24 horas com um desvo padrão de 4 horas. A estmatva de poto do úmero médo de horas trabalhadas por semaa é 24 horas (méda amostral). Qual é o tervalo de cofaça de 95 % para o úmero médo de horas trabalhadas por semaa? Usado a fórmula ateror ( X 1, 96 s ) temos ,96 ou 22,88 a 49 25,12. O lmte de cofaça feror é 22,88. O lmte superor de cofaça é 25,12. O grau de cofaça (ível de cofaça) utlzado é 0,95. Iterprete os resultados Se ós tvéssemos tempo para selecoar aleatoramete 100 amostras de tamaho 49 da população de aluos do campus e calcular as médas amostras e os tervalos de cofaça para cada uma destas 100 amostras, a méda populacoal (parâmetro) do úmero de horas trabalhadas estara cotda em cerca de 95 dos 100 tervalos de cofaça. Cerca de 5 dos 100 tervalos de cofaça ão coteram a méda populacoal. 6.5 Itervalo de Cofaça para Uma Proporção Populacoal Um tervalo de cofaça para uma proporção populacoal é dado por: p Z p ode:

33 33 p é a proporção amostral é o erro padrão da proporção amostral e é dado por: p p p( 1 p) O tervalo de cofaça é costruído por: p ode: Z p(1 p) p é a proporção amostral Z é o valor da varável ormal padrão para o grau de cofaça adotado. é o tamaho amostral Exemplo 3 Um plaejador facero está estudado os plaos de mudaça de joves executvos. Uma amostra de 500 joves executvos que possuem suas própras casas revelou que 175 plaejam vedê-las e retrarem-se para o teror do País. Costrua um tervalo de cofaça de 98 % para o parâmetro proporção populacoal de executvos que plaejam mudar para o teror. Aqu = 500, p 175 0, e Z = 2,33 (para 0,98 ível de cofaça adotado ) (0,35) (0,65) O CI de 98 % é 0,35 2,33 ou 0,35 0, Iterprete a resposta 6.6 Fator de Correção de População Fta Uma população que tem um lmte superor defdo é chamada de fta. Em estatístca, cosdera-se como população fta quado 0, 05 N (ou seja, quado a fração amostral é maor do que 5 %).

34 34 Para uma população fta, ode o úmero total de objetos é N e o tamaho da amostra é, o segute ajuste é feto para os erros padrões da méda amostral e da proporção amostral. Erro padrão da méda amostral: X p N N 1 Erro padrão da proporção amostral: p(1 p) N N 1 Este ajuste é chamado de Fator de Correção de População Fta (FCPF) N Nota: se 0, 05, o fator de correção de população fta é gorado. Exemplo 4 A uversdade do exemplo 2 quer estmar o úmero médo de horas trabalhadas por semaa pelos estudates. Uma amostra de 49 estudates mostrou uma méda de 24 horas e um desvo padrão de 4 horas. Costrua um tervalo de cofaça para o úmero médo de horas trabalhadas se há somete 500 estudates o campus. 49 N , Agora 0,098 0, 05. Portato, temos que usar o FCPF 22,93 ; 25, Selecoado uma Amostra Há 3 fatores que determam o tamaho de uma amostra, ehum dos quas tedo uma relação dreta com o tamaho da população. Eles são: 1. O grau de cofaça adotado 2. O máxmo erro permssível 3. A varabldade da população Uma fórmula de cálculo coveete para determar o tamaho amostral é:

35 35 2 Zs E ode: E é o erro permssível Z é o valor da varável ormal padrão assocado ao grau de cofaça adotado s é o desvo padrão da amostra ploto Exemplo 5 Um grupo de cosumdores deseja estmar a méda de gasto mesal em eletrcdade para um domcílo famlar smples em Julho. Baseado em estudos smlares o desvo padrão é estmado como sedo R$ 20,00. Deseja-se costrur um tervalo de cofaça de 99 % com um erro máxmo admssível de R$5, 00. Qual deve ser o tamaho da amostra? 2, , Tamaho Amostral para Estmatva de Proporções A fórmula para determar o tamaho amostral o caso de estmatva de proporções é: Z p( 1 p) ode E 2 p é a proporção estmada, baseada a experêca passada ou em uma amostra ploto Z é o valor da varável ormal padrão assocado ao grau de cofaça adotado. E é o máxmo erro permssível que o pesqusador tolera. Exemplo 6

36 36 Um clube deseja estmar a proporção de craças que tem um cachorro. Se o clube deseja que a estmatva esteja o máxmo afastada 3 % da proporção populacoal, quatas craças devem coter a amostra? Assuma um tervalo de cofaça de 95 % e que o clube estmou, com base em experêca ateror, que aproxmadamete 30 % das craças têm um cachorro. 1,96 0,03 0,300,70 893, Teste de Hpóteses Amostras Grades OBJETIVOS: Defr hpóteses e Testes de Hpóteses Descrever os 5 passos do procedmeto de Teste de Hpóteses Dstgur etre Teste de Hpóteses Ucaudal e Bcaudal Realzar um teste para a méda populacoal Realzar um teste para a dfereça etre duas médas ou proporções populacoas Descrever os erros estatístcos assocados aos testes de hpóteses Nota: Se ada é cohecdo acerca da população, a estmação é usada para forecer uma estmatva de poto e de tervalo acerca da população. Se alguma formação acerca da população é proposta ou suspetada, o Teste de Hpóteses é usado para determar a plausbldade desta formação. O que é uma hpótese? Hpótese: uma seteça sobre o valor de um parâmetro populacoal desevolvda para o propósto de teste. Exemplos de hpóteses, ou seteças, fetas acerca de um parâmetro populacoal são: A reda méda mesal proveete de todas as fotes para os aalstas de sstemas é de US 3625 Vte por ceto de todos os trasgressores juves são presos e setecados a prsão. O que é um Teste de Hpóteses?

37 37 Teste de Hpóteses: um procedmeto, baseado a evdêca amostral e a teora da probabldade, usado para determar se a hpótese é uma afrmação razoável e ão sera rejetada, ou é ão razoável e sera rejetada. A segur são propostos 5 passos para um teste de hpóteses: Passo 1: Estabeleça a Hpótese Nula e a Hpótese Alteratva Passo 2: Selecoe um ível de sgfcâca Passo 3: Idetfque a Estatístca de teste Passo 4: Formule uma regra de decsão Passo 5: acetar H 1 Tome uma amostra e obteha uma decsão: Não rejetar H 0 ou rejetar H 0 e Hpótese Nula H 0 : Uma afrmação (seteça) sobre o valor de um parâmetro populacoal Hpótese Alteratva H 1 : Uma afrmação (seteça) que é aceta se os dados amostras forecem evdêca de que a hpótese ula é falsa. Nível de Sgfcâca: A probabldade de rejetar a hpótese ula quado ela é efetvamete verdadera, ou seja, valor de (alfa) Erro Tpo I: Rejetar a Hpótese Nula, H 0, quado ela é efetvamete verdadera. A probabldade do erro tpo I é gual ao ível de sgfcâca, (alfa). Erro Tpo II: Acetar a Hpótese Nula, H 0, quado é efetvamete falsa. A probabldade do erro tpo II é gual a (beta) Tpos de Erros Aceta H 0 Rejeta H 0 H 0 é verdadera Decsão Correta Erro Tpo I H 0 é falsa Erro Tpo II Decsão Correta Alfa = erro tpo I Beta = erro tpo II

38 38 Estatístca de Teste (ou z efetvo ou valor de t): Um valor, determado a partr da formação amostral, usado para determar se devemos ou ão rejetar a hpótese ula. Valor Crítco (ou z crítco ou valor de t): O poto dvsor etre a regão ode a hpótese ula é rejetada e a regão ode ela ão é rejetada. Este valor é obtdo a partr da tabela de z (ormal padrão) ou da tabela de t (t de Studet). 7.1 Testes de Sgfcâca Ucaudas Um teste é ucaudal quado a hpótese alteratva, H 1, estabelece uma dreção tal como: H 0 : A reda méda das mulheres é meor que ou gual a reda méda dos homes. H 1 : A reda méda das mulheres é maor que a reda méda dos homes. A regão de rejeção este caso é a cauda dreta (superor) da curva. Fgura com dstrbução ormal mostrado a regão de rejeção para um teste ucaudal 7.2 Testes de Sgfcâca Bcaudas Um teste é bcaudal quado ão exste uma dreção especfcada para a hpótese alteratva H 1, tal com: H 0 : A reda méda das mulheres é gual a reda méda dos homes. H 1 : A reda méda das mulheres ão é gual a reda méda dos homes. A regão de rejeção este caso é dvdda gualmete em duas caudas da curva. Fgura com dstrbução ormal mostrado a regão de rejeção para um teste bcaudal (dstrbução amostral para a estatístca z para um teste bcaudal, 0.05 de ível de sgfcâca. Testado a Méda Populacoal: Amostra Grade, Desvo Padrão da População é cohecdo. Neste caso a estatístca de teste (z efetvo) é dado por:

39 39 z X Exemplo 1 Os processadores de uma dústra dcam o poto (marca) que a garrafa cotem 16 oças (medda glesa de peso) do produto. O Departameto de Cotrole de Qualdade é resposável pelo cotrole da quatdade cluída a garrafa. Uma amostra de 36 garrafas é selecoada por hora e o seu coteúdo pesado. Na últma hora uma amostra de 36 garrafas apresetou um peso médo de 16,12 oças com um desvo padrão de 0,5 oças. Ao ível de sgfcâca de 0,05 podemos coclur que o processo está fora de cotrole? Passo 1: Estabelecer a Hpótese Nula e a Hpótese Alteratva: H 0 : 16 H1 : 16 Passo 2: Estabelecer a regra de decsão: H 0 é rejetado se o z (efetvo calculado com base os valores amostras) < -1,96 ou z > 1,96. Passo 3: calcule o valor da estatístca de teste ( z efetvo) z [16,12 16] [ 0,5 ] 36 1,44 Passo 4: Qual é a decsão sobre H 0? H 0 ão é rejetada, porque 1,44 é meor que o valor crítco de 1,96.

40 P-value de um Teste de Hpótese P-value: Esta é a probabldade (cosderado que a hpótese ula é verdadera) de ter um valor para a estatístca de teste o mímo tão extremo como o valor calculado (efetvo) para o teste. Se o p-value é meor que o ível de sgfcâca (alfa), H 0 é rejetada. Se o p-value é maor que o ível de sgfcâca (alfa), H 0 ão é rejetada. 7.4 Cálculo do P-value Teste Ucaudal (para a dreta ou cauda superor): p-value = P{z valor da estatístca de teste calculada} Teste Ucaudal (para a esquerda ou cauda feror): p-value = P{z valor da estatístca de teste calculada} Teste Estatístco Bcaudal p-value = 2P{z valor absoluto do valor da estatístca de teste calculado} Para o exemplo ateror, z = 1,44, e desde que era um teste bcaudal, etão o p-value = 2P { z 1,44} 2(0,5 0,4251) 0, Desde que 0,1498 > 0,05, ão é rejetada H 0. Testado para a Méda Populacoal: Grades Amostras, Desvo Padrão Populacoal descohecdo Aqu é descohecdo, portato o estmamos com o desvo padrão amostral s. z Quato maor for o tamaho amostral for 30, o z efetvo pode ser aproxmado com X s

41 41 Exemplo 2 A cadea de Lojas Arjo emte o seu própro cartão de crédto. O admstrador de crédto quer verfcar se o saldo ão pago mesal é maor do que US$ 400. O ível de sgfcâca é fxado em 0,05. Uma amostra aleatóra de 172 saldos ão pagos revelou uma méda amostral de US$ 407 e o desvo padrão amostral de US$ 38. O admstrador de crédto pode coclur que a méda populacoal é maor que US$ 400, ou é razoável assumr que a dfereça de US$ 7 (US$ 407 US$ 400 é devdo a chace (varação aleatóra)? Etapa 1: Estabeleça a Hpótese Nula e a Hpótese Alteratva. H : 400 H : Etapa 2: Estabeleça a regra de decsão. H 0 é rejetada se o z (efetvo) > 1,645. Etapa 3: Calcule o valor da estatístca de teste. z ,42 Etapa 4: Qual é a decsão sobre H 0? H 0 é rejetada. O admstrador coclu que a méda dos saldos ào pagos é maor do que US$ 400. Fgura lustrado a regão de rejeção do exemplo 7.5 Teste de Hpóteses: Duas Médas Populacoas Assuma que os parâmetros para duas populações são: 1, 2, 1 e 2. Caso I: Quado 1, 2 são cohecdos, a estatístca de teste (Z efetvo) é:

42 42 z X 1 1 X Caso II: Quado 1, 2 ão são cohecdos mas os tamahos amostras 1 e 2 são maores ou guas a 30, a estatístca de teste (Z efetvo) é: z X 1 s X 2 s Exemplo 3 Na dústra X fo realzado um estudo para comparar o úmero médo de aos de servço para aqueles que se aposetaram em 1975 com aqueles que se aposetaram o últmo ao. Os segutes dados amostras foram obtdos. A um ível de sgfcâca de 0,01 podemos coclur que os trabalhadores que se aposetaram o últmo ao tveram mas aos de servço? Característca 1975 Últmo ao Méda Amostral 25,6 30,4 Desvo Padrão Amostral 2,9 3,6 Tamaho amostral 40 4,5 Estabeleça a Hpótese Nula e a Hpótese Alteratva Cosdere que a população 2 é aquela dos que se aposetaram o últmo ao. H 0 : 2 1 H1 : 2 1 Estabeleça a regra de decsão Rejetar H 0 se o z (efetvo) > 2,33. Calcule o valor da estatístca de teste (valor de z efetvo):

43 43 z 30,4 25,6 3, ,80 Nota: Desde que este problema estamos testado para: H 0 : 2 1 Precsamos trocar as posções das varáves a equação do z efetvo (a segute equação). z X s X s Z efetvo Qual é a decsão sobre a hpótese ula? Iterprete os resultados? Desde que o Z efetvo = 6,80 > Z crítco = 2,33, H 0 é rejetada. Aqueles que se aposetaram o últmo ao tveram mas aos de servço. LISTA DE EXERCÍCIOS- ESTATÍSTICA II: ASSUNTO: INTERVALO DE CONFIANÇA E TESTE DE HIPÓTES. 1-Uma amostra aleatóra smples de 40 tes resultou em uma méda amostral de 25. O desvo-padrão da população é = 5 a) Qual é o erro-padrão da méda, x? R. 0,79 b- Qual é a margem de erro para uma probabldade de 95%? R. 23,45 a 26,55

44 44 2-Uma amostra aleatóra smples de 50 tes resultou em uma méda amostral de 32 e um desvo-padrão da amostra de 6. a)foreça um tervalo de cofaça de 90% para a méda da população. R.30,60 a 33,40 b)foreça um tervalo de cofaça de 95% para a méda da população. R.30,34 a 33,66 c)foreça um tervalo de cofaça de 99% para a méda da população. R.29,81, a 34,19 3-Os gahos médos semaas dos dvíduos que trabalham em város setores foram apresetados o The New York Tmes 1998 Amaac. Os gahos médos semaas para os dvíduos do setor de servços foram US$369. Cosdere que esse resultado fo baseado em uma amostra de servço de 250 dvíduos e que o desvo-padrão da amostra fo de US$50. Calcule um tervalo de cofaça de 95% para os gahos médos semaas da população para os dvíduos que trabalham o setor de servços. R. 362,80 a 375,20 4 Em um estudo de subsídos de empréstmos para estudates, o Departameto de Educação relatou que aqueles que tomam empréstmos da Staford Oa com quatro aos de prazo, terão uma dívda méda de US$ (USA Today, 5 abrl de 1995). Cosdere que essa quata méda de edvdameto está baseada em uma amostra de 480 empréstmos de estudates, e que a graduação o desvo-padrão da população para a quata emprestada seja de US$ a) desevolva uma estmatva por tervalo de cofaça de 90% da quata méda devda pela população R a b) Desevolva uma estmatva por tervalo de cofaça de 95%. da quata méda devda pela população R a c) Desevolva uma estmatva por tervalo de cofaça de 99% da quata méda devda pela população- R a d) Dscuta o que acotece com a ampltude do tervalo de cofaça quado o ível de cofaça é aumetado. Isso parece ser razoável? Explque 5 - O departameto de Habtação e de Desevolvmeto Urbao dos Estados Udos publca dados sobre o aluguel mesal de mercado para morada de uma quarto a área metropoltaa(the Federal Regster, 30 de abrl de 1997). O desvo-padrão para o aluguel mesal é de aproxmadamete US$80. Cosdere que uma amostra das áreas metropoltaas será selecoada de modo a se estmar o aluguel médo mesal da população para a morada de um quarto. Use uma cofaça de 95% a) Qual o tamaho da amostra se a margem de erro desejada é US$25? R. 40 b) Qual o tamaho da amostra se a margem de erro desejada é US$15? R Os dados de perfl de audêca coletadas o Web ste da ESPN Sportszoe mostraram que 26% dos usuáros eram mulheres (USA Today, 21 de jaero de 1998). Cosdere que essa porcetagem fo baseada uma amostra de 400 usuáros. a) Usado uma cofaça de 95%, qual a margem de erro assocada com a proporção estmada de usuáros que são mulheres? R. 0,0430 b) Qual o tervalo de cofaça de 95% para a proporção da população dos usuáros do web ste da ESPN Sportszoe que são mulheres? R. 0,2170 a 0, Um levatameto de mulheres executvas realzado por Lous Harrs Assocates mostrou que 33% das pessoas pesqusadas avalaram suas própras empresas como um