Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano Projeção de Cenários Aplicados ao Orçamento Empresarial Com revisão das Ferramentas de Estatística

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1 Projeção de Ceáros Aplcados ao Orçameto Empresaral Com revsão das Ferrametas de Estatístca Prof. Dr. Marco Atoo Leoel Caetao

2 TÓPICO Tratameto, Quatfcação e Vsualzação de Dados Faceros. Itrodução Na dvulgação de toda avalação ecoômca, pesqusadores se deparam com o fato de como tratar e qual a melhor forma de apresetação de dados obtdos através dos expermetos. Necessaramete toda dvulgação deve sempre começar pela dvulgação dos resultados utlzado téccas estatístcas adequadas. Detro da Estatístca, exste um amplo campo de téccas, para melhor expressar e represetar resultados de expermetos detro de três sub-áreas bastate dsttas, porém muto bem coectadas: Estatístca Descrtva, Probabldade e Estatístca Idutva. No campo da Estatístca Descrtva serve como objeto de utlzação, ferrametas como gráfcos, tabelas e aálses de formas e estruturas das represetações dos dados. Este tpo de Estatístca ão tem valor de ferêca, ou seja, ão se pode coclur ou expressar coclusões de um expermeto só com este tpo de técca. No campo da Probabldade, teoremas garatem os tpos de dstrbuções que regem um expermeto, quas são as mas adequadas e com que cofaça os dados poderão ser coletados de forma a serem represetatvos de uma população. Falmete, o últmo campo, o da Estatístca Idutva ou mas cohecdo como Iferêca, téccas garatem as coclusões com grade acuráca dcado os erros e cofabldades dos resultados obtdos. Também esse campo, pode-se fazer prevsão de tedêcas e correlações etre as varáves e parâmetros obtdos expermetalmete. Assm, realzar um expermeto sem o devdo cudado com seu tratameto e forma de apresetação pode comprometer todo trabalho por falta de compreesão ou de terpretações errôeas sobre determados resultados faceros.

3 577 Total de Exportações (00) Exportação (US$ mlhões) Meses (00) Fgura.: Gráfco de Lhas - Exportação Braslera (00). Represetação Gráfca A melhor forma de represetação de dados é sob gráfcos, que mutas vezes por s só são bastate explcatvos e até coclusvos depededo do tpo de trabalho. Para expressar algus tpos de gráfcos, como exemplo, os dados abaxo represetam as exportações brasleras em US$ mlhões o ao de 00, mês a mês: Tabela. - Exportações (total em US$mlhões) Mês US$ Fote: Mstéro do Desevolvmeto, Idústra e Comérco Exteror.. Gráfco de Lhas Esta é uma das formas mas smples de apresetação. O gráfco é apresetado com a uão smples de retas etre os potos do expermeto. É muto útl prcpalmete quado se quer, em prmera stâca, verfcar tedêcas dos resultados obtdos. A fgura. apreseta um gráfco típco de lhas. 3

4 4 Das Útes para Exportação (999-00) 0 Frequêca Das Útes Fgura.: Gráfco de Potos - Das Útes.. Gráfco de Potos Esta forma de gráfco é bastate teressate quado se observam freqüêcas os dados coletados. Neste caso, o letor cosegue vsualzar o valor que mas se repete em uma amostragem. Este tpo de gráfco serve também para represetar séres ecoômcas hstórcas. Os dados a segur são referetes à freqüêca observada os das útes mesas para exportação braslera etre 999 e 00. Tabela. - Freqüêca de Das Útes Mesas (999-00) Das Útes Freqüêca Fote:Mstéro do Desevolvmeto, Idústra e Comérco Exteror O gráfco etão é feto colocado-se potos os valores observados, segudo o exo x e a freqüêca com que aparecem a amostra o exo y. A fgura. mostra o gráfco de potos...3 Hstograma O hstograma cosste em retâgulos justapostos dcado em sua base o tervalo dos valores de dados do expermeto cuja freqüêca é represetada pela altura do retâgulo. O setdo é um pouco mas amplo do que o gráfco de potos, pos o teresse 4

5 este caso ão é quato a um úco valor, mas com relação a um tervalo de valores amostrados. 8 Importação (US$ mlhões) 7 6 Frequêca < 80 (80,90] (90,00] (00,0] (0,0] (0,30] (30,40] (40,50] > 50 Itervalo de Importações Fgura.3: Hstograma dos Valores de Importação Braslera (999-00) Os valores a segur são correspodetes à méda dára mesal de mportação braslera de Jaero de 999 a Jaero de 00. Tabela.3 - Méda Dára Mesal de Importação (US$ mlhões) Fote: Mstéro do Desevolvmeto, Idústra e Comérco Exteror O hstograma represetado os valores da Tabela.3 é apresetado a Fgura.3 e pode-se otar algus fatos teressates. Por exemplo, ele auxla a terpretar que o valor mas freqüête de Importação está etre US$0 e US$0 mlhões de méda dára...4 Gráfco de Barras Assm como o hstograma represeta os valores obtdos o expermeto em em termos de frequêca para cada valor observado. A dfereça é que ão se utlza este gráfco para tervalos amostrados, mas para os valores observados de maera dvdual. A Fgura.4 apreseta a represetação dos valores para a mportação braslera da Tabela..3 o Exemplo 3. 5

6 4 Importação (US$ mlhões) Frequêca Observada Valores de Importação Fgura.4: Gráfco de Barras - Importação Braslera..5 Curvas de Nível Este é um tpo bastate teressate de gráfco pos traça solhas para os potos amostrados. Isto sgfca que uma vez o valor escolhdo uma das lhas, percorredo essa lha, todos os potos para as posções x e y são guas. A curva represeta uma fução em 3 dmesões como se fosse uma foto bdmesoal de um terreo em D. Exemplo A Tabela.4 a segur apreseta os valores da execução orçametára das despezas federas de Jaero a Setembro de , para a Admstração Federal e Saúde. Supõe-se que uma curva de ajuste boa para a relação gastos com admstração x gastos com saúde seja, z x + y ode x aqu é admstração e y é saúde. Os dados reas são apresetados com os valores do orçameto em mlhões de reas. Os dados foram obtdos do ste do IPEA composto de meddas mesas da fote do govero federal SIAF-CCONT / STN. As solhas para esses valores são as formas traçadas o gráfco da Fgura.5. 6

7 Tabela.4 - Orçameto Federal ( R$ mlhões ) Admstração Saúde Fote: SIAF - CCONT / STN zx^+y^ Saúde (R$ mlhões) Admstração (R$ mlhões) Fgura.5: Isolhas dos gastos federas.3 Meddas Descrtvas dos Dados Na seção ateror, foram apesetadas formas gráfcas de represetação dos dados de um relatóro empresaral. Cabe ao gestor escolher e adequar a melhor forma de apresetação de seus resultados de forma a elucdar todos os fatos com uma smples vsualzação dos acotecmetos. No etato, a maora das vezes essa facldade ão é obtda e por váras razões. Seja pela complexdade do feômeo, seja pela modelagem com um úmero extremamete grade de varáves ou parâmetros, a smples escolha de um tpo de gráfco ão cosegue expressar quattatvamete a mportâca de certas relações exstetes. Neste poto cabe etão fazer uso de formas quattatvas de extração de formações, através de meddas estatístcas que apresetem de forma rápda e suscta as ter-relações exstetes o feômeo em estudo. Etão, o gestor deve fazer uso de varável, como forma de represetação geérca dos prcpas fatores decorretes do expermeto. Uma varável pode ser dscreta ou cotíua, depededo do tpo de estudo executado. Varável dscreta é toda aquela relacoada a úmeros teros, ou seja, etre um 7

8 período t de observação e outro t+, ão se ecotra valores amostrados. Normalmete esse tpo de varável é utlzado em problemas de cotagem. Exemplos dsso são cotages de frmas em cocordata, ível de emprego, cotagem do úmero de vagas abertas por uma empresa, etc. Para uma varável cotíua, como o própro ome dz, os dados podem até serem observados de forma dscreta, mas as relações empresaras por exemplo acotecem cotuamete. Essas varáves são sempre represetadas por úmeros reas. Um exemplo de varáves cotíuas é apresetado a Tabela.5. Exemplo Apesar da taxa de desemprego o Brasl ser uma medda semaal ou mesal (em %) pode ser cosderada como uma medda cotíua o tempo, pos seus valores são úmeros reas. Tabela.5 - Taxa de Desemprego No Brasl (Ja/999 a Mao/00, %) 7,73 7,5 8,6 8,0 7,70 7,84 7,54 7,68 7,37 7,53 7,3 7,30 7,60 8,0 8,0 7,80 7,80 7,40 7,0 7,0 6,70 6,80 6,9 4,83 5,70 5,73 6,46 6,5 6,86 Fote: SEADE O prmero tratameto represetatvo para extração de formação dessa coleta é através de uma tabela, cohecda como tabela de classes. Nesse tpo de tabela deseja-se formar a varação dos dados separados em classes de mportâca e ão de maera solada. Assm, algumas defções precsam ser colocadas. () Dados Brutos () - Dados ada ão orgazados, como a Tabela.5. () Rol - É o arrajo dos dados brutos em ordem crescete ou decrescete. () Rage ou Ampltude Total - É a dfereça etre o maor e o meor valor observado. (v) Freqüêca Absoluta da Classe (F) - Número de vezes que o elemeto aparece a amostra ou o úmero de elemetos pertecetes a uma classe. (v) Número de Classes (k) - exstem duas maeras para determar um úmero adequado de classes. (a) Número será k 5 se o úmero de dados for meor ou gual a 5. (b) Para úmero de dados superor utlza-se k (v) Ampltude das Classes (h) - Rage h k (v) Lmte das Classes - L : Lmte Iferor ; Ls : Lmte Superor L j -j Ls : Comprede os valores L e Ls L j - Ls : Não compreede o valor Ls L j Ls : Não Compreede o valor L 8

9 (v) Potos Médos das Classes (PM ) - É a méda dos valores lmtates das classes. L + Ls PM (x) Freqüêca Absoluta Acumulada Dreta (Fac) - É a soma das freqüêcas absolutas dos valores ferores ou gual ao valor da freqüêca da classe. (x) Freqúêca Relatva (f ) - Porcetagem do úmero de dados da classe em relação ao total de dados. F f Uma vez colocadas essas defções, os 9 dados brutos da Tabela.5 podem formar melhor segudo a Tabela.6 (tabela de classes) para o ível de desemprego o país. Tabela.6 - Tabela de Classes para Nível de Desemprego o Brasl (Ja/999 a Mao/00) Classes F f PM Fac 4, ,504 0,034 (3,4%) 5,6 5, ,78 0,068 (6,8%) 5,60 3 6, ,85 5 0,7 (7,%) 6,5 8 6, ,56 8 0,75 (7,5%) 7,8 6 7, ,0 3 0,448 (44,8%) 7,86 9 total 9 (00%) 9 Fote: SEADE Essa tabela é bastate útl a costrução do hstograma e mostra qual a classe de cocetrações ( em percetagem ) mas freqüetes de desemprego. Pode-se observar que a maor freqüêca de percetagem ocorre para as classes etre 7,56% a 8,0 %, de desemprego o que correspode a 44,8% dos dados (freqüêca relatva)..3. Meddas de Posção As meddas de posção são defdas de modo a apresetar o valor em toro do qual os dados se dstrbuem. Essas meddas são também cohecdas como meddas de tedêca cetral pos estabelecem uma dcação do elemeto cetral da amostragem realzada. As prcpas meddas são a méda, medaa e moda. Méda Artmétca () Dados ão agrupados. Sejam x ; x ;...; x valores da varável x. A méda artmétca para os dados brutos, coletados em um expermeto será: 9

10 x () Dados agrupados em tabela de freqüêca. Sejam x ; x ;...; x com freqüêcas F ; F ;...; F respectvamete. Assm a méda será: x Exemplo 3 A Tabela.7 represeta o úmero de cheques sem fudos devolvdos a seguda vez em cada 000 cheques apresetados, de Mao de 00 a Mao de 00. x x F Tabela.7 - Cheques Sem Fudo (méda /000) Devolução Freqüêca Absoluta 4, 4 3,7 3,6 4,5 6, 4,9,6 Fote: Serasa A méda artmétca o caso para a Tabela-.7 é 4, cheques etre Mao de 00 e Mao de 00 para cada 000 apresetados. () Dados Agrupados em Tabela de Classes. As Classes são represetadas pelos seus potos médos, coforme a Tabela.6. Neste caso a méda é calculada PM F x Observado a Tabela de Classes.6, pode-se calcular a sua méda pela fórmula ateror, a qual forece o valor médo x 7,9. Medaa Um valor é dto medao, quado ele dvde o cojuto de dados do expermeto em dos subcojutos com gual úmero de elemetos. Sua otação em geral é x ~ : () Dados ão agrupados. Sejam os dados A medaa é x ~ A medaa é x ~ 9 Assm, uma maera de se ecotrar a medaa de um cojuto composto por dados brutos sera da segute forma. Se o úmero de dados é ímpar, a medaa é o elemeto cetral (+)/, caso cotráro a medaa será a méda dos elemetos cetras formados por [ /, (/)+]. 0

11 () Dados agrupados por freqüêca. Neste caso, cra-se uma ova colua das freqüêcas acumuladas dretas para auxílo a escolha da medaa. A Tabela.7 passara para a forma da Tabela.8 a segur. Tabela.8 - Cheques Sem Fudo (méda /000) Devolução Freqüêca Absoluta Freqüêca Relatva 4, 4 4 3,7 6 3,6 8 4,5 0 6, 4,9,6 3 Fote: Serasa Neste caso 3 é ímpar. Tem-se etão este caso que ( + )/7, o que sgfca que o sétmo elemeto correspode ao elemeto medao desse cojuto de valores de cheques devolvdos. Logo a medaa será 3,6 dferete da méda que é de 4,. () Dados Agrupados em Tabela de Classes. Neste caso será ecessáro uma fórmula de terpolação para se ecotrar o elemeto medao. Deve-se ressaltar que esse valor é apeas represetatvo e que ão ecessaramete fará parte da amostra. Os passos a segur serão: (a) Calcula-se a ordem (/) ão se preocupado se for par ou ímpar pos a varável será cotíua. A classe da medaa é aquela cuja freqüêca acumulada até ela é maor ou gual a e a medatamete ateror meor que /. (b) Utlza-se a segute fórmula de terpolação: f ~ x L md + h Fmd ode L md : lmte feror da classe da medaa. : tamaho da amostra f : freqüêca acumulada da classe medatamete ateror à da medaa. h : Ampltude da classe da meda F md : freqüêca absoluta da classe da medaa. Assm, como exemplo, observado a Tabela.6 a classe da medaa sera a quarta classe, ou seja, 6, ,56 uma vez que o décmo quarto elemeto (/) pertece a essa classe. Etão o cálculo da medaa sera:

12 ( 4,5 8) ~ x 8 + (0,674) 8,7 6 Exstem ada meddas alteratvas para se dvdr os dados em quatro partes guas, dez e cem partes. Elas são cohecdas como Quarts, Decs e Percets respectvamete. A úca alteração a fórmula é a troca de / por /4 o caso de Quarts, /0 o caso de Decs e /00 o caso de percets. Os lmtes e as freqüêcas acumuladas dretas também são trocados pelos lmtes das classes dos Quarts, Decs e Percets. Moda Essa medda represeta o elemeto mas freqüête a amostragem, ou seja, aquele que mas se repete. () Dados ão agrupados. Exemplo 4 Sejam os dados de uma amostragem composta por,7,9,5,6,3,7,4,,7. A moda este caso é o úmero 7. () Dados em Tabela de Classes. Da mesma forma que a medaa faz-se ecessára a terpolação dos dados para ecotrar a moda. Deve-se segur os segutes passos: (a) detfca-se a classe modal, ou seja, aquela que teha a maor freqüêca absoluta. (b) Utlza-se a fórmula: ( F F ) Mo L + h F F F + L : lmte feror da classe modal. F : freqüêca absoluta da classe modal F : freqüêca absoluta da classe medatamete ateror à classe modal. F + : freqüêca absoluta da classe medatamete posteror à classe modal. h : ampltude da classe modal. Novamete observado a Tabela.6 de classe pode-se observar que a classe modal é a últma classe com 3 elemetos. Etão aplcado-se a fórmula da moda tem-se: ( 3 8) Mo 7,56 + 0,674 7, Meddas de Dspersão Uma vez cohecda as meddas de posção de uma curva represetatva dos dados de uma avalação facera ou empresaral, faz-se ecessáro saber se esta coleta é represetatva da população de dados em estudo ou ão. Tora-se dspesável etão, o cohecmeto da dspersão desses dados em relação as meddas de posção, prcpalmete em relação a méda. São quatro as meddas a serem apresetadas. Ampltude Total Essa medda é muto smples e costtu a prmera avalação sobre a atureza da amostragem. A ampltude total é a dfereça etre o maor valor e o meor valor dos dados coletados. Sua utlzação é bastate lmtada pos apeas depede da dspersão dos valores extremos, ão sedo afetada pela dspersão dos valores teros.

13 Varâca A varâca mede a dspersão dos dados em toro da méda. A título de exemplo, supoha-se que se tem o segute cojuto de dados A {3, 4,5,6,7} ode a méda desse cojuto é 5. Calculado-se o desvo das udades do couto A em relação à méda tem-se: d x x d x x d3 x3 x 0 d4 x4 x d5 x5 x Esta soma de desvos podera servr como medda de dspersão ão fosse o segute fato em 5 que d 0. Ou seja, todas as dfereças dos dados de uma amostra em relação ao elemeto cetral se aulam. Elevado-se esses desvos ao quadrado para elmar este problema e somado-os tem-se: sqd 5 d 5 ( x x) Acotece que como está, essa medda crescera defdamete a medda que ovos dados fossem sedo coletados. Logo, para que esse valor ão se tore defdamete crescete, podera-se a medda sqd, dvddo-a pelo úmero de dados, ou seja, sqd σ 5 ( x x) Esta forma de medda passa a ser chamada etão de varâca populacoal, uma vez que fo poderada por todos os termos amostrados. As vezes, ossa tução em coletar dados os tra em favor de algus potos mas favoráves cohecdos como vés ou tedecosdade a amostragem. Uma prmera medda de correção a se fazer é dvdr as somas dos desvos ão pelo total de dados, mas por - dados. A teora de probabldade os prova que este é um bom truque de correções de tedecosdade a amostragem. Logo, a seguda medda de varâca será: 5 s 5 ( x x) 5 ode a ova medda passa a ser chamada de varâca amostral. De modo geral pode-se etão afrmar que para um cojuto de dados, tem-se os dos tpos de varâcas: varâca populacoal σ ( x x) 3

14 varâca amostral s ( x x) A varâca amostral para o cojuto A descrto aterormete será,5. No caso de se ter dados já apresetados em tabela de freqüêcas, o cálculo da varâca pode ser realzado dretamete através de: ( x x) F s ode a varável F represeta a freqüêca absoluta dos dados. Exemplo 5 A tabela.7 apreseta a devolução de cheques em tabela de freqüêca. Para este exemplo a méda ecotrada fo 4, e este caso a varâca amostral pode ser calculada da segute forma: s [( 4, 4,) 4 + ( 3,7 4,) + ( 3,6 4,) + ( 4,5 4,) ( 6, 4,) + ( 4,9 4,) + (,6 4,) ] 8,44 0,703 A últma forma da apresetação da varâca é quado se tem os dados em forma de tabela de classes. Neste caso o cáclulo da varâca será: ode PM é o poto médo de cada classe. s ( PM x) Exemplo 6 Utlzado-se da Tabela.6, fo ecotrado a seção ateror a méda para a tabela de classe de 7,9% de ível de desemprego. A varâca amostral para este exemplo é 0,68. Desvo-Padrão Esta medda forece ao pesqusador uma maera de saber matematcamete a osclação em toro dos dados. O desvo-padrão forece qual o grau de cofabldade dos dados em toro da méda. Sabe-se da teora da Probabldade que se um cojuto de dados cotíuos para ser cosderado como um cojuto de dados com dstrbução Normal, 68% dos dados devem estar em toro da méda o tervalo [Méda-Desvo-padrão; Méda+Desvo-padrão]. Assm, o desvo-padrão é a raz quadrada da medda da varâca, ou dp ± s F 4

15 Coefcete de Varação Essa é uma medda relatva da dspersão, ou seja, em porcetagem quato a varabldade flueca a cofaça da méda calculdada. Com um coefcete de alto grau (por exemplo acma de 50%) ão se pode dzer que a méda ecotrada é represetatva para a amostragem realzada. Assm, uma maera de calcular o coefcete de varação é relatvzar o desvo padrão em relação à méda: cv Exemplo 7 Para a tabela.6, pode-se saber se a méda ecotrada de ível de desemprego é represetatva. A méda fo de 7,9% de desemprego. Sedo o desvo padrão ±0,786 o coefcete de varação será: s x 0,786 cv 7,9 0,09 ou 0,9% de varação. Assm, agora pode-se coclur que a méda ecotrada é represetatva para os dados a respeto do ível de desemprego o país.o cv dca que exste uma varabldade de cerca de % ao valor ecotrado pela méda..3.3 Meddas de Assmetra Este tpo de medda é bastate útl quado se deseja saber a forma da curva que os dados da amostra se assemelham. Esta curva pode ser smétrca quado a área em relação as meddas de posção são guas, tato a frete quato atrás da méda, medaa e moda. Quado essas áreas são dferetes, dz-se que a curva é assmétrca. Essa assmetra será postva quado o coefcete de assmetra (AS) é postvo, dcado que o valor modal é feror ao valor médo. A assmetra será egatva quado o valor modal for maor que o valor médo. O coefcete de assmetra pode ser calculado como x Mo AS s ode o x é o valor médo, Mo o valor modal e s o desvo-padrão. No etato essa fórmula as vezes pode apresetar um coveete. Mutas vezes ão se tem um valor modal, ou se tem mutos valores modas. Nestes casos, uma fórmula alteratva é o coefcete de Pearso que faz uso do valor medao e dos Quarts a forma, Q3 + Q ~ x AS Q3 Q ode os Q represetam os Quarts tercero e prmero e o valor medao é represetado pelo símbolo ~ x. 5

16 TÓPICO Noções de Projeções Quattatvas. Itrodução Fo vsto o tópco ateror, que a represetação de dados é extremamete mportate, prcpalmete para uma apresetação préva de déas acerca da pesqusa desevolvda e resultados prelmares. Tato gráfcos quato tabelas, quado adequadamete colocados em relatóros faceros, forecem ao letor uma vsualzação rápda e precsa sobre o assuto do estudo. Em estudos e relatóros faceros de empresas é freqüête o aparecmeto de resultados evolvedo mas aspectos probablístcos do que determístcos. A teora das probabldades surge como um elo mportate etre a coleta de dados e a percepção de regras duzdas e ferdas através das meddas. Essa teora tem como espaço fudametal de sua exstêca o espaço amostral, lugar ode todos os resultados possíves dos expermetos aleatóros se ecotram. Evetos são por assm dzer, objetos de estudo, duções que se fazem a partr das meddas coletadas dos expermetos aleatóros. A esses evetos, úmeros reas traduzem sua probabldade de ocorrêca, trasformado as possbldades aleatóras do campo dos evetos o espaço amostral em úmeros reas. A trasformação dos resultados ferdos desses evetos em úmeros reas, quatfcado-os, é possível através de uma fução, que carrega as possbldades do espaço amostral para o espaço dos úmeros reas. Essa fução recebe o ome de varável aleatóra. Apesar do ome, uma varável aleatóra ão é de forma alguma uma varável, mas uma fução. Uma vez realzada uma audtora ( por exemplo), elaborado os evetos, e cohecdas as varáves aleatóras, é possível a tradução matemátca e computacoal das possbldades. Uma vez elaborada essa percepção de lmte para a probabldade de um eveto, percebe-se que algumas característcas especas se matêm para expermetos que, embora fossem aleatóros, tham resultados de probabldades semelhates. Na verdade percebe-se que as probabldades se guam por certa dstrbução das freqüêcas dos resultados postvos dos expermetos, deomadas etão de dstrbuções de probabldades.. Modelos Estatístcos Dstrbução Normal Exstem dversas dstrbuções de probabldade, cada qual com sua hpótese deal para uma boa utlzação e prevsão de resultados dos modelos. As vezes duas ou três dstrbuções poderão servr e ajudar o pesqusador a prevsão de evetos aleatóros. No etato, estas dstrbuções e desdades apresetadas são todas cohecdas como parte de 6

17 modelos quattatvos. Esses modelos probablístcos partem do pressuposto básco de que o tamaho da amostragem da população é adequado ao estudo dos evetos à eles assocados. No etato, para pequeas amostras, elas ão são váldas e o pesqusador deverá realzar seus estudos através de modelos estaístcos cohecdos como modelos ão paramétrcos. Prcpal modelo de represetação estatístca, a modelagem gaussaa ou ormal basea-se a curva de Gauss. Uma varável aleatóra x, assumdo valores - x têm dstrbução ormal ou gaussaa se sua desdade de probabldade for: ode dp é o desvo padrão. f (x) e (dp) π ( x meda) (dp) AREA 65% -DESVIO PADRÃO MÉDIA +DESVIO PADRÃO Fgura.: Desdade de Probabldade Normal O que faz desse modelo de probabldades ser o mas mportate? O teorema a segur é a garata da utldade desse modelo para um grade cojuto de dados. Teorema: teorema do lmte Cetral Sedo x, x,..., x uma seqüêca de varáves aleatóras etão quado o úmero de dados amostrados tede a ser superor a 30, sedo estes dados amostrados de maera depedete pode-se afrmar que o valor da varável x meda z dp tem uma dstrbução ormal. Dz-se que z é a verdade uma ormalzação da seqüêca de dados x. Essa dstrbução está em tabelas com méda zero e varâca e auxlam o estudo de evetos aleatóros assocados à varação dos parâmetros abordados..3 Modelos de Estmação Lear Chama-se de modelo de estmação lear aquele modelo matemátco utlzado para a detfcação de um padrão, uma tedêca estatístca sgfcatva que segue próxmo a 7

18 8 retas ou curvas ode os parâmetros são leares. Se serem este tópco os modelos do tpo regressão lear e ão lear, muto útes quado exste uma boa correlação etre os dados amostrados, mas sem dâmca para se adaptar à outro cojuto de dados..3. Regressão Lear O termo regressão lear vem de estudos realzados por Galto e comprovados por Pearso, ode se observou que flhos de uma geração tedam ser de meores estaturas que a geração de seus pas, se estes fossem altos, e de maores estaturas se estes pas fossem baxos. Nas palavras de Galto os flhos tham uma regressão de estatura à méda da população. Ou seja, há uma tedêca em que as estaturas dos flhos se aproxmem da méda da população. Em termos mas objetvos, uma regressão determa a relação exstete etre uma característca qualquer de teresse expermetal, represetada por uma varável chamada depedete, e outra característca represetada por uma varável chamada depedete quado ambas possuem forte relação. A reta de mímos quadrados que se ajusta ao cojuto de potos potos (x,y ),(x,y ),...,(x,y ) tem a equação: bx a y ˆ ˆ + ode as costates â e bˆ são determadas pela resolução smultâea do sstema de equações ˆ x x y x x x x a ˆ x x y x y x b O parâmetro â é o coefcete lear da reta de regressão e o parâmetro bˆ é o coefcete agular da reta.

19 reta de regressão lear Y agulo btagete(agulo) a Fgura. Reta de Regressão Lear Uma outra maera de ecotrar o estmador para o coefcete lear da reta de regressão a é a utlzação das médas dos valores das varáves x e y, ou seja, aˆ y bx ˆ ode as barras em cma de x e y dcam suas respectvas médas. X 9

20 TÓPICO 3 Estmado Tedêcas Faceras 3. Modelos de Tedêcas 3.. Modelo de Regressão Lear - Lear (L-L) Este tpo de regressão é utlzado quado um aumeto utáro a varável x produz aumeto absoluto de bˆ vezes a varável y. Exemplo Dados do IPEA mostram a relação etre cração de postos de trabalho o ao de 998 e o redmeto médo real das pessoas ocupadas em relação a 997. Esses dados são apresetados a tabela. Tabela 3. - Idcadores de Desemprego e Redmeto Redmeto Médo Mesal (%) Massa Salaral das Pessoas Ocupadas (em 000 pessoas) 4, , ,9-5 3,0 -,7-9,3-80 0, , ,3 3-0, , ,45-6 Fote: IPEA Prmero costró-se uma tabela de regressão, começado do meor úmero para o maor. Essa regressão pode ser de uma varável para a outra coforme for o desejo do gestor. Pode-se portato querer a vsualzação de redmeto para massa salaral ou vceversa. Quado escolhdo o setdo a varável assumda como vsualzada o exo x recebe o ome de varável depedete e a outra o exo y o ome de varável depedete. Adotouse etão como x a cração de empregos e y o redmeto. A tabela com o rol dos valores será: 0

21 x y 4,09 4,55 3,9 0,46 3,0,3,7-0,43-0,45-0,03-0,49-0,3 A regressão lear para este caso será: emp 0,65 0, 03 red A Fgura-3. apreseta a relação etre os potos dos dados e a reta de regressão ecotrada. Neste caso, a equação dz que um aumeto de posto de trabalho leva a uma dmução de 0,03% o redmeto. Neste caso do modelo L-L, a aálse é feta em cma dos dados absolutos. Mas um caso de teressate aálse é em termos de percetagem. 5 4 Redmeto Médo Real (%) Cração de Postos de Trabalho Fgura 3. Postos de Trabalho x Redmeto 3.. Modelo de Regressão Log-Log Este modelo é teressate quado deseja-se um estudo de varações percetuas as varáves evolvdas. Neste caso, l y a + b l x ode agora um aumeto de % em x produz um aumeto de b% em y.

22 L (Saúde) L (Adm) Fgura 3.: Gastos da Admstração e Saúde (L) Exemplo A tabela a segur apreseta os valores em mlhões de reas gastos pelo govero federal de 996 a 999 a admstração federal e a saúde: Tabela 3.-Orçameto Federal( ) Admstração (mlhões R$) Saúde (mlhões R$) Fote: SIAFI-CCONT/STN A reta de regressão lear utlzado o modelo Log-Log é ajustada como l( saude ),06 0,7 l( Adm) ode agora o coefcete agular dca percetages. A terpretação é que um aumeto % os gastos com a admstração federal provoca uma redução aual de 0,7% o orçameto da saúde. O gráfco da Fgura-3. mostra essa relação de regressão lear do modelo Log-Log.

23 3600 Orçameto da Saúde (mlhões) L (Adm) Fgura 3.3: L(Adm) x Orçameto Saúde 3..3 Modelo de Regressão L-Log Este tpo de modelo é usado quado o teresse é o estudo do parâmetro b dcado crescmeto em percetagem a varável x provocado aumetos absolutos a varável y. O modelo é: y a + b l(x) Para a tabela do orçameto do govero federal para a admstração e saúde, a regressão é Saude l( Adm) ode dca que um aumeto de % a admstração provoca uma queda de 9 mlhões de reas para o orçameto da saúde Modelo de Regressão Log-L Este tpo de modelo é usado quado o teresse é o estudo do parâmetro b dcado crescmeto em udades a varável x provocado aumetos em percetagem a varável y. O modelo é: l y a + b x Neste caso, aumetos de udade em x provocam aumetos de b% em y: Para a tabela do orçameto, a reta de regressão é l( saude ) 9,59 0, Adm ode um aumeto de R$,00 o orçameto da admstração federal provoca uma queda de 0,00005% o orçameto da saúde. Em valores absolutos para cada R$,00 a mas a admstração sgfca uma perda de R$,00 para a saúde, de 996 a

24 3..5 Modelo de Regressão de Recíprocos Este modelo é bastate típco quado se estuda feômeos que crescem ou decrescem defdamete em uma varável mas permaece sob um certo ível de establdade em outro. Normalmete são curvas típcas como decameto expoecal ou crescmeto logístco. O modelo é represetado pela equação: y a + b x ode agora a dca um patamar máxmo da varável y se ele for postvo e mímo se ele for egatvo, equato b dca a cocavdade da curva. Se b > 0, dcará que a curva é decrescete até o patamar lmte a com cocavdade voltada para cma, caso cotráro, se b < 0, dcará uma curva crescete com cocavdade voltada para baxo. y y a > 0 b > 0 y a < 0 b > 0 a a > 0 b < 0 a 0 x 0 -a x 0 -a/b x Exemplo 3 Dados do IPEA mostrado a relação etre redmeto médo real das pessoas ocupadas com a massa salaral real das pessoas ocupadas é apresetada a tabela-.3 para o ao de 997. Tabela3.3-Redmeto x Massa Salaral Redmeto(%) Massa Salaral(%),63 3,70,8 3,8,0,36 0,99,8,3,5,3,09,4,96,3,84,37,78,6,88,84,98,0, Para saber a relação exstete de redmeto para massa salaral (ocupação), adotase como x o redmeto e como y a massa salaral. Os dados do redmeto são etão trasformados vertedo-se seus valores e procurado uma regressão lear do tpo modelo L-L mas ão mas com os dados orgas, mas com os dados y x 4

25 Neste exemplo pode-se observar que a equação de recíprocos ajustada à tabela de dados é: yˆ 3,8,44 xˆ MODELO RECÍPROCO 5 máxmo valor de massa salaral 4 3 Massa Salaral (%) taxa de redmeto atural Redmeto (%) Fgura 3.4 Modelo de Recíprocos para Redmeto x Massa Salaral A terpretação do gráfco da Fgura 3.4 é que quado x aumeta defdamete, y só poderá crescer até 3,8%, ou seja, por mas que se tete aumetar o redmeto salaral, ão haverá possbldade de que a massa salaral ultrapasse os 3,8%. O teressate é que ada se pode descobrr uma taxa de crescmeto atural para o redmeto. Para tato, basta assumr que o úmero de trabalhadores ocupados ão suba de um ao para outro (y 0) e ecotra-se uma taxa de 0,434% de redmeto. Como tha sdo mecoado aterormete, como o valor de b < 0, observa-se a cocavdade da curva voltada para baxo Coefcete de Correlação Todos os modelos apresetados aterormete só poderão ter algum setdo cetífco e ecoômco se houver uma comprovação de um bom grau de relacoameto etre as varáves. A medda estatístca desse grau de relacoameto é cohecda como coefcete de correlação que tem como fórmula: r x ( x y ) x x y y y O coefcete de correlação é a verdade uma medda que mede o grau de relacoameto etre as varáves em percetagem. Por sso, seu valor pode osclar etre - 5

26 e +, ou seja, - r : Quado r 0 dca que as varáves ão se relacoam, e qualquer aplcação dos modelos apresetados as seções aterores toram-se cetfcamete erradas. Na verdade, pode-se afrmar que exste regressão de uma varável em relação a outra se, com seguraça, o coefcete de correlação for superor a 50% ou seja, r 0,5 (ou r -0,5): Para as tabelas 3., 3. e 3.3 utlzado a fórmula para calcular o coefcete de correlação etre as varáves de cada problema, ecotra-se: Modelo L-L: r 0,79 (79 %) Modelo Log-Log: r 0,87 (87 %) Modelo Log-L: r 0,89 (89 %) Modelo L-Log r 0,89 (89 %) Observa-se portato uma boa relação etre as varáves abordadas. No etato, para o Modelo de Recíprocos, o valor de r 0,48 (48 %), um valor relatvamete baxo. Isto mostra que este modelo, apesar de forecer uma boa terpretação, ecessta ser melhor adequado, ou seja, ecessta de mas dados para uma melhor detfcação dos parâmetros. Fgura 3.5 Coefcete de Correlação 3. Covarâca e Correlação Como vsto aterormete o coefcete de correlação detfca em porcetagem as fluêcas etre duas varáves aalsadas. No etato pode ser coveete tetar ecotrar uma relação exstete etre os dados de uma varável e quato eles são autofluêcados com o decorrer do tempo. Essa estatítca a ser adotada recebe o ome de correlação e tem uma mportate aplcação o mercado de captas para aálse de possíves volatldades sazoas os preços de uma ação. A fórmula é: x ( t) x ( t + s) Corr( t, t + s) Quado são aalsados valores de uma úca varável a correlação recebe o ome especal de autocorrelação e quado relacoa-se a duas varáves recebe o ome de 6

27 correlação cruzada (cross-correlato em glês). O termo s determa qual a relação com o tempo cal que está sedo calculada. Exemplo 4 Supoha o cojuto de valores:, 3,. Supoha também que esses valores foram obtdos para os tempos t0, e. Qual será a autocorrelação desta varável? Corr(0,0) Corr(0,) 3 3 Corr(0,) 3 3 Observe que o termo s dca o salto do tempo que está sedo forecdo o cálculo do produto detro do somatóro. Com este resultado o gestor poderá verfcar que duas udades de tempos a frete (das,meses ou aos) a mportâca dos valores o tempo zero serão bem meos mportate para a volatldade dos dados. A outra medda mportate é a matrz de covarâcas ou somete cohecda como covaracas dos dados amostrados. A matrz de covarâcas forece uma formação compactada da correlação etre dversas varáves evolvdas detro e suas respectvas varâcas. Em termos matemátcos a matrz de covarâcas pode ser apresetada da segute forma: σ σ σ Ω r r σ σ σ ode r é o coefcete de correlação etre as varáves e ; σ é a varâca e σ é o desvo-padrão. Quado relacoada com preços os mercados de captas, os valores das ações empresaras são multplcados pelas células da matrz Ω, torado-se x σ σ σ Ω x x r x x r σ σ x σ ode este caso a covarâca etre os preços são x x r σ σ e a varâca global dessa cartera de ações é V Ω x ( x x r σ ) σ + x σ + σ Essa varâca global é cohecda como uma estmatva do rsco represetado por essa cartera de ações o mercado de captas. Apresetou-se é claro uma cartera com somete duas empresas ou apeas dos tpos de ações. Quato mas ações ou tpo de ações forem sedo corporadas ao fudo, mas lhas e coluas deverão fazer parte dessa matrz de covarâcas. Assm, por exemplo com 3 empresas a matrz sera 3 x 3, com 4 empresas, 4 x 4 e assm sucessvamete. Já se pode perceber que um fudo ou cartera com mutas empresas ecessta de uma ferrameta computacoal para a aálse de rsco global através da matrz de covarâca. 7

28 3.3 Expermetos Reas Como aplcação dos cocetos deste capítulo, vamos verfcar algus dos cocetos troduzdos cocludo e realzado cálculos evolvedo dados reas. O tuto dsso é além da fxação das déas dscutr possíves erros de terpretação que podem ocorrer a prátca Expermeto- Nesse prmero expermeto vamos acompahar a varação da taxa de juros SELIC e da cotação do dólar comercal de Jaero de 00 a Julho de 00. A fgura 3.6 apreseta a sére hstórca desses valores. A prcípo pode-se reparar que esse período apesar da tetatva de remover a pressão sobre a cotação cambal com aumeto da taxa de juros, observa-se uma tedêca costate de alta a moeda amercaa. Os dados estão a tabela a segur e foram retrados do SISBACEN, sstema o le do Baco Cetral do Brasl dspoível e públco de dversas séres hstórcas ecoômcas braslera. DATA SELIC DOLAR //00 5,85,93 5//00 5,8,94 8//00 5,3,95 30//00 5,4,97 //00 5,,99 //00 5,4,98 9//00 5,7 8//00 5,4,04 /3/00 5,,03 5/3/00 5,7,0 9/3/00 5,3, 30/3/00 5,84,6 5/4/00 5,8,5 9/4/00 5,8,6 8/4/00 5,87,7 30/4/00 6,8,8 /5/00 6,5, 7/5/00 6,8,9 8/5/00 6,3,9 9/5/00 6,8,34 7/6/00 6,73,38 8/6/00 6,79,45 /6/00 8,9,4 /7/00 8,3,3 9/7/00 8,3,45 0/7/00 9,45 /8/00 8,88,48 9/8/00 9,46 /8/00 9,06,53 4/9/00 9,05,56 0/9/00 9,07,6 8

29 8/9/00 9,,67 5/0/00 9,09,75 8/0/00 9,05,74 30/0/00 9,05,7 6//00 9,04,6 9//00 9,05,5 30//00 9,05,5 30//00 9,05,3 //00 9,05,3 //00 8,8,4 0/3/00 8,79,33 /3/00 8,55,34 /4/00 8,47,3 7/4/00 8,4,3 4/4/00 8,34,35 9/4/00 8,8,36 30/4/00 8,,36 6/5/00 8,33,43 8/5/00 8,7,43 9/5/00 8,34,45 3/5/00 8,4,49 5/5/00 8,4,5 /5/00 8,37,5 7/5/00 8,4,5 3/5/00 8,6,5 3/6/00 7,3,54 4/6/00 5,9,56 6/6/00 6,87,6 6/6/00 8,64 7/6/00 8,3,67 4/6/00 8,38,7 /6/00 8,4,79 5/7/00 8,39,84 9

30 Varação da Taxa SELIC / Dólar Comercal (Ja-00 - Jul-00) SELIC (%) Varação Cambal - Dólar ( R$) 4.5 / 8/ / 9/ /3 9/3 5/4 8/4 /5 8/5 7/6 /6 9/7 /8 /8 0/9 5/0 30/0 9/ 30/ / /3 7/4 9/4 6/5 9/5 5/5 7/5 3/6 6/6 7/6 /6.8 SELIC (L) DOLAR (R) Fgura 3.6: Taxa de Juros SELIC / Dolar (Ja-00 a Jul-00) A prcípo a prmera questão a ser proposta é por que aalsar a taxa SELIC como dolar? Tem alguma mportâca ou setdo verfcar pressões especulatvas com relação a taxa de juros? Pode-se respoder essa perguta utlzado-se de experêca admstratva sobre as relações exstetes etre especulações e geração ou ão de empregos com taxas de juros mas altas, dívda tera, exportações retratvas ou atratvas com cotações de dolar mas altas etre outras. No etato, vamos os ater aqu a parte prátca da utlzação estatístca reomeado de x a taxa SELIC e y a cotação do dolar. Fazedo uso da equação do coefcete de correlação a seção 3..6, ecotra-se o valor r 0,787 ou, 78,7% de correlação exstete etre taxa de juros e cotação do dólar. Esse úmero revela uma mportâca trísca exstete etre essas duas etdades ecoômcas e merecem detalhes de seu estudo. No etato um gestor deve ter o cudado para o período aalsado e para a quatdade de dados. Caso fosse de teresse um período meor de avalação, ou ada, uma quatdade de dados muto pequea, essa relação exstete podera car em termos de percetages, dcado uma ão relação etre taxa de juros e dolar. Por exemplo, caso o período aalsado fosse de Jaero a Julho de 00, ão havera correlação etre as duas varáves pos o coefcete de correlação empregado a mesma equação sera r -0,8 ou seja uma baxa correlação egatva de 8%. Em outras palavras, erroeamete com esse resultado, podera ser afrmado que quato maor o valor da taxa de juros SELIC, melhor sera para colaborar com a cotação do dolar para baxo. 30

31 3 SELIC vs. DOLAR.8.6 DOLAR (R$) SELIC ( % ) Fgura 3.7: Modelo L-L para SELIC x Dolar Com uma aálse mas crterosa percebemos que com um passado maor para avalação essa afrmação é descabda. O próxmo passo é osso poder de prevsão para o futuro. O que se pode afrmar com um certo grau de cofaça sobre aumetos da taxa de juros e que reflexos sso podera causar a cotação do dolar. Com uma boa correlação ( e 78% é uma boa correlação! ) pode-se utlzar para aálse qualquer um dos modelos leares já apresetados. Nesse caso vamos utlzar o modelo L-L para ossas ferêcas (equação com o ajuste dos parâmetros a e b). O resultado obtdo é apresetado a fgura 3.7. A reta ajustada esse expermeto fo dolar 0, , 9 SELIC Como já terpretado ates, essa reta com a correlação de 78% é um bom ajuste e serve para uma boa prevsão de curto período. Nela pode-se verfcar que quado a taxa SELIC aumeta de uma udade correspodete o seu exo x (que o caso é %) espera-se que em méda o dolar suba 0,9 ( ou cetavos de real). Observado a tabela dos dados, podemos ver que o da 9/0/00 a taxa SELIC fo de 5,7% com cotação para o dolar comercal de R$,00. Um mês depos a taxa SELIC fo para 5,3% (exatamete % de aumeto) e o dolar estava cotado a R$,, exatamete cetavos de real. É claro que observar valores pósvstos é mas fácl do que prevstos, mas essa relação de ajuste fca cada vez mas segura (levado-se em cota as certezas) quato mas dados e maores períodos são aalsados. A autocorrelação é mportate para verfcar a fluêca das decsões um passado recete frete a atos do presete ou mesmo para futuros mas dstates. 3

32 Fgura 3.8: Fução de Autocorrelação para SELIC Utlzado a equação da correlação da mesma forma que o exemplo 4, é possível ecotrar os valores a fgura 3.8. Esses valores já estão ormalzados para o tervalo 0- como forma de avalar a fluêca em percetages. Os valores o exo y dcam os valores de atraso s e o respectvo valor da autocorrelação. Assm, por exemplo as decsões assumdas um determado mês tem fluêca de 95% para o mês segute, 88% para dos meses depos e são pratcamete ulas para 5 meses o futuro. Falmete, pode-se ada avalar as certezas e rscos desse cojuto taxa SELIC e cotação do dolar para o mercado facero. Essa varação também cohecda como volatldade é calculada utlzado a defção apresetada as equações da seção 3.. A matrz de covarâca dca os segutes valores,05 Ω 0,7 0,7 0,06 Ela dca uma varâca de,05% para a taxa de juros o período e de 0,06 reas para a cotação de dolar. Ou em outras palavras, ao se calcular a méda de juros desse período, devemos acrescetar uma certeza de ± σ para torar essa méda represetatva, o que o caso sera o desvo padrão. Assm o período tem-se que a méda de juros fo de 7,55% ±,43% e o valor médo de dolar fo R$,37 ± R$0,4. No expermeto em questão a fórmula da varâca global da cartera V Ω ão se aplca, uma vez que as varáves estão em udades dferetes. Mas se ao vés de preço da cotação os valores fossem em % de varação podera-se calcular o rsco ou a volatldade da taxa de juros, jutamete com a pressão causada pelo dolar o mercado facero. 3

33 .3 Preço das Ações (Ja-00 / Jul-00) ACES4 ( R$ ) AMBEV4 ( R$ ) 0.3 //00 8//00 //00 9//00 /3/00 9/3/00 5/4/00 8/4/00 /5/00 8/5/00 7/6/00 /6/00 9/7/00 /8/00 /8/00 0/9/00 5/0/00 30/0/00 9//00 30//00 //00 /3/00 7/4/00 9/4/00 6/5/00 9/5/00 5/5/00 7/5/00 3/6/00 6/6/00 7/6/00 /6/ ACES4 (L) AMBEV4 (R) Fgura 3.9: Preço das Ações 3.3. Expermeto- A grade arma cotra a chamada volatldade ( ossa varâca ) é a dversdade dos vestmetos. Da mesma forma, quado se cra uma cartera de ações a dversdade dmu ou dlu as varações dáras e especulatvas. Claro que quado o movmeto do mercado tem uma forte tedêca postva ou egatva, a dversfcação fca presa ao mercado. Mas mesmo esse caso as perdas, por exemplo, podem ser mmzadas devdo às grades sesbldades de certas ações serem compesadas por outras de pouca sesbldade. Esse expermeto trata de uma cartera hpotétca com apeas as duas acões ACES4 e AMBEV4. Supoha que um gestor quer vestr as duas ações mas está em dúvda sobre qual a percetagem que deve vestr em sua cartera. Os gráfcos das ações são apresetados a fgura 3.9, 3.0 e 3.. A méda de redmeto esse ao e meo para as duas empresas são apresetadas a tabela de médas e desvos-padrões 40 IBOV% vs. ACES4% 30 ACES4% BETA 0, IBOV% Fgura 3.0: ACES4 em relação ao mercado 33

34 6 IBOV% vs. AMBEV4% 8 BETA 0,86 AMBEV4% IBOV% Fgura 3.: AMBEV4 em relação ao mercado ACES4 AMBEV4 Méda -0,56% -0,004% Desvo Padrão ± 8,3% ±4,69% Na tabela observa-se que em méda as varações das duas empresas foram egatvas, sedo o etato as ações da AMBEV4 próxmas a zero e meos volátl. Supohamos etão que cartera seja bem coservadora e o gestor deseja vestr 30% a ACES4 e 70% dos recursos a AMBEV4. A retabldade esperada a cartera ada mas é do que a méda poderada desses vestmetos, ou como dssemos o íco do capítulo a esperaça dos vestmetos. Nesse caso a retabldade da cartera sera: Retabldade da Cartera (-0,56 0,3) + (-0,004 0,7) -0,7% No etato, se desejar arrscar mas, uma vez que o desvo padrão é maor para ACES4, o gestor podera fazer o verso, aplcado 70% a ACES4 e 30% a AMBEV4 e tera uma retabldade Retabldade da Cartera (-0; 56 0,7) + (-0,004 0; 3) -0,39% portato uma perda esperada bem maor essa cartera. Esse cálculo é bem smples, mas a verdade o mas mportate é saber que tpo de rsco ela verdaderamete oferece. Isso a realdade é mas dfícl. Mutos fatores devem estar evolvdos como a saúde facera da empresa, os balaços auas, formações sobre aqusções e patrmôos, etc. No etato, podemos fazer algumas estmatvas utzado a oção de matrz de covarâca apresetada a seção 3.. Prmero de tudo é saber o coefcete de correlação etre as varações das duas ações. O coefcete de correlação ecotrado o expermeto ão serve pos estava relacoados aos preços das duas ações e ão às varações dáras. Etão cosderado as varações dáras esse período, ecotra-se como coefcete de correlação r 0,6 34

35 Utlzado os desvos-padrões das duas ações e a fórmula para a matrz de covarâca Ω, pode-se ecotrar a varâca da cartera (rsco). Vamos utlzar a prmera hpótese ode o gestor é coservador adotado-se x 0,3 (30% a ACES4) e x 0,7 (70% a AMBEV4). Etão os cálculos para a matrz de covarâca da cartera serão: E a matrz tora-se Ω x ( 0,30) ( 8,3) 5, 94 σ x x r σ σ,08 ACES4 AMBEV4 ACES4 5,94,08 AMBEV4,08 0,77 Utlzado a fórmula para a varâca da cartera, tem-se: ( x x r σ ) σ + x σ + σ V x 5,94+0,77+ x,08 0,87 Ω O desvo padrão sera ± 0, 87 ± 4,56. Assm, essa cartera tera um rsco estmado de 4,56% levado-se em cota a hpótese coservadora do gestor. Para o segudo caso, com o gestor meos coservador, a matrz sera Ω ACES4 AMBEV4 ACES4 3,38,08 AMBEV4,08,97 com V38,5 e o desvo-padrão da cartera se torara ±6, ou um rsco a cartera de 6,%. 35

36 TÓPICO 4 Elaborado Ceáros em Faças: Otmstas x Pessmstas 4. Itrodução Todo gestor tem um desejo de fazer prevsões com certa atecedêca, ates que um fato veha ocorrer, e acertar esta prevsão. Fazer prevsão é algo dfícl, quase mpossível de acertar, quado se busca precsão. Mas para quem busca acertar tedêcas e etedmeto lógco de um problema, as prevsões ão só são factíves, como podem ter erro mímo. Etão, despota-se apeas uma solução: Utlzação de ferrametas matemátcas e estatístcas. 4. Iterpretação de Varações Cíclcas e Sazoas Um cotrolador ecessta de uma ateção especal quado se está realzado uma aálse para projeções de resultados de uma empresa. Um fator muto mportate é a compreesão e estudo estatístco sobre as varações cíclcas do mercado. Essas varações, sejam elas em compras, vedas, mão de obra, produção ou mesmo em faças devem sempre fazer parte de séres hstórcas da empresa. O termo cetífco para essas séres hstórcas é séres temporas. Elas costtuem um cojuto de observações tomadas em tempos determados, comumete em tervalos guas. A mportâca é relevate pos, se for utlzado o modelo de regressão lear apresetado o tópco ateror, o gestor precsa ser bem claro em sua projeção de orçameto se este é do tpo: curto período; médo período ou logo período. Essas projeções são comumete perturbadas pelos movmetos decorretes da varação aleatóra das observações. Os movmetos são classfcados como: Movmetos de Logo Prazo Referem-se à dreção geral, segudo a qual parece que o gráfco da sére hstórca se desevolve em um logo tervalo de tempo. Esse movmeto é represetado por uma reta dcado o setdo amplo ou ada a tedêca lear dos dados observados. 36

37 Movmetos de Varação Cíclca São as varações de logo prazo em toro de uma reta ou uma curva de tedêca. Esses cclos, como são deomados, podem ser peródcos ou ão peródcos. Isto é, podem segur ou ão exatamete o mesmo padrão de tempos em tempos. Exemplos mportates de movmetos cíclcos são os deomados cclos de egócos, que represetam tervalos de prosperdade, recesso, depressão e recuperação. Movmetos Sazoas Referem-se a padrões dêtcos durate os mesmos meses de aos sucessívos. Esses movmetos são resultates de evetos peródcos que ocorrem aualmete, como, por exemplo o súbto aumeto das vedas de uma loja de departametos ates do Natal. 4.3 Varações o Plaejameto Orçametáro O plaejameto pode ser classfcado em três tpos: estratégco, tátco e operacoal. Plaejameto Estratégco É um plaejameto de logo prazo, de resposabldade dos íves mas altos da Admstração, que procuram se atecpar a fatores exógeos e teros à empresa. Geralmete estão relacoados com as lhas de produtos ou mercados. As tomadas de decsões são complexas pos evolvem grade volume de recursos. Nesse caso o cotrolador precsa utlzar séres hstórcas de logo período para ajustar suas projeções sobre gahos e perdas eretes às varações do mercado. 37

38 Plaejameto Tátco Tem a faldade de otmzar parte do que fo plaejado estratégcamete. Tem um alcace temporal mas curto em relação ao plaejameto estratégco. Equato o plaejameto para o laçameto de uma lha de produtos (estratégco) evolve as áreas de produção, recursos humaos, faças, etc. a empresa faz um plaejameto específco para melhorar o resultado da área de marketg. Plaejameto Operacoal O plaejameto operacoal tem a faldade de maxmzar os recursos da empresa aplcados em operações de determado período. Esse tpo de plaejameto é de curto período e médo prazos (6 meses a 3 aos) e evolve decsões mas descetralzadas e mas repettvas. No etato essas três formas de plaejameto evolvem um estudo de varações baseadas as séres hstórcas sobre os possíves lucros da empresa que está sofredo aqusção, possíves perdas com a aqusção e corporação de ovo quadro de fucoáros, corporação de possíves dívdas, etc. Efm, todos os plaejametos ecesstam de um estudo de rsco a tomada de decsão. A Estatístca da Melhor Decsão Um crtéro bastate teressate para tomadas de decsão é cohecdo como crtéro de maxmzação do valor esperado. Ele cosste em apresetar ao gestor ou cotrolador a decsão que do poto de vsta de probabldade forecerá a méda o maor lucro. Vamos observar o segute exemplo: Exemplo Uma empresa está um processo de aqusção de suas duas cocorretes (C e C) e deseja saber a melhor decsão a ser tomada. A decsão que deverá ser tomada é se essa aqusção deverá ser feta os próxmos 6 meses ou detro de um ao ou ada esperar dos aos. De maera esquemátca tem-se a segute regra: C cocorrete. C cocorrete. Com as ações: A aqusção em 6 meses. A aqusção em ao. A3 aqusção em aos. Estma-se ada que ao fazer a aqusção em 6 meses a cocorrete forecerá um lucro total de $000 e a cocorrete um prejuízo de $500. Para a ação A, C forecerá um lucro de $600 e a C um prejuízo de $00. Por fm a ação de aqusção em dos aos forecerá um prejuízo de $300 para C e um lucro de $00 para C. Em termos mas prátcos pode ser motada a segute tabela: 38