Curso de An lise de Fluxo de Caixa

Transcrição

1 Curso de A lse de Fluxo de Caxa

2 SUMÁRIO PROGRESSÕES FÓRMULAS BÁSICAS Progressões artmétcas Progressões geométrcas EXERCÍCIOS SUGERIDOS CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA CONCEITOS REFERENTES A JUROS EXERCÍCIOS SUGERIDOS O CONCEITO DE EQUIVALÊNCIA FLUXOS DE CAIXA CÁLCULO DE VALORES EQUIVALENTES VALORES EQUIVALENTES A UM VALOR ÚNICO VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE DE VALORES VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE UNIFORME DE VALORES VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE GRADIENTE DE VALORES EXERCÍCIOS SUGERIDOS FÓRMULAS, TABELAS E PLANILHAS AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS O CONCEITO DE CUSTO DE OPORTUNIDADE A RELAÇÃO BENEFÍCIO/CUSTO O VALOR ATUAL A TAXA INTERNA DE RETORNO CONSIDERAÇÕES SOBRE OS CRITÉRIOS DE RENTABILIDADE COMPARAÇÕES ENTRE DUAS ALTERNATIVAS ESCOLHAS DENTRE PACOTES DE ALTERNATIVAS FUNÇÕES DO EXCEL COMUMENTE EMPREGADAS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LISTA DE TABELAS TABELA - FLUXO DE CAIXA DE RECEITAS E DISPÊNDIOS TABELA 2 - FATORES E RESPECTIVAS FÓRMULAS... 4 TABELA 3 - DADOS P/ ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS TABELA 4 - PACOTES DE ALTERNATIVAS... 23

3 PROGRESSÕES Em Matemátca Facera, trabalha-se usualmete com séres de valores. Em dversos casos, essas séres de valores assumem cofgurações de séres regulares, com característcas de progressões artmétcas ou, mas comumete, de progressões geométrcas. Assm, para as determações quattatvas freqüetemete ecessáras a partr das séres de valores orudas de estudos referetes à Matemátca Facera, é útl relembrar cocetos báscos das progressões mas comus. As progressões são séres de valores relacoados etre s, usualmete represetadas a forma: ode: a : a 2 : a 3 :... : a N a = termo de uma progressão, {, 2,... N}; N = úmero de termos da progressão; q = razão da progressão, que defe a relação etre os termos. Depededo das relações etre os termos, pode-se defr as dferetes progressões: - progressões artmétcas: q = a - a - 2 N; - progressões geométrcas: q = a / a - 2 N.. FÓRMULAS BÁSICAS As operações mas elemetares com séres de úmeros em progressões artmétcas ou em progressões geométrcas, as quas são cohecdos o tpo de progressão, o valor do prmero termo, o úmero de termos e a razão da progressão, evolvem a determação do termo geral da sére, do seu termo termedáro, e da soma dos termos... Progressões artmétcas Nas progressões artmétcas, podem ser defdas as segutes relações fudametas: Termo geral: a = a + ( ) q [] Termo termedáro:

4 2 a a N+ = 2 Soma dos termos: S N a = + a 2 + a 2 N N N..2 Progressões geométrcas Nas progressões geométrcas podem ser também defdas as mesmas relações fudametas: Termo geral: a = a q Termo termedáro: a N+ = a a Soma dos termos: N [5] 2 [2] [3] [4] S N = a + a a N S N = a + a.q + a.q a.q N- S N = a ( + q + q q N- ) multplcado essa expressão por q, resulta: S N. q = a ( q + q q N ) subtrado dessa expressão a ateror, resulta: S N (q-) = a (q N - ) ou: S N N a ( q ) = q [6].2 EXERCÍCIOS SUGERIDOS a) O tráfego médo dáro (TMD) duma rodova, atualmete de 0 vpd (veículos por da), cresce learmete à taxa de 4% ao ao. Qual será o TMD estmado essa rodova para o ao 2007? b) Se o TMD estmado para o ao 2007, o caso acma, fosse de 800 vpd, qual sera a taxa méda aual de crescmeto (lear) do tráfego? c) Em ambos os casos, qual sera o úmero total estmado de veículos que passara pela rodova o período de 998 a 2007 (clusve)? c) Respoda às questões acma supodo agora que o crescmeto do tráfego se dê ão de forma lear, mas geométrca.

5 3 2 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Em estudos referetes ao plaejameto rodováro, seja para fs de avalações ecoômcas ou avalações faceras de empreedmetos, seja para a aálse de resultados ou dcadores hstórcos de vestmetos, é comum se ldar com valores faceros relacoados a épocas ou períodos dferetes. Para que esses valores, que ocorrem em tempos dferetes, possam ser corretamete operados e/ou comparados, é ecessáro aplcar adequadas téccas de Matemátca Facera. Para tato, é útl uma rápda recaptulação dos cocetos báscos dessa dscpla. 2. CONCEITOS REFERENTES A JUROS Embora bastate utlzado o da-a-da, em sempre o coceto de Juro é corretamete cosderado as aplcações ou estudos. Há certas partculardades que devem ser cohecdas para que os prcípos de Matemátca Facera possam ser adequadamete valdados. Os prcpas cocetos assocados aos Juros são a segur detalhados. a) Defção: "Juros são a remueração do captal empregado em atvdades produtvas". A um captal (Prcpal) empregado durate um certo tempo (Período de Captalzação), é acrescdo (Captalzado) o valor correspodete aos Juros, formado o Motate. Os Juros estão sempre assocados a um período de referêca: por exemplo, juros de 0 % ao ao (0 %a.a.), juros de 0,5 % ao mês (0,5 % a.m.), juros de 0,0 % ao da (0,0 %a.d.). b) Juros smples x juros compostos: Depededo dos valores sobre os quas cdem os juros, após um determado tempo ou período de captalzação, têm-se cocetos dferetes de juros, que podem ser Juros Smples ou Juros Compostos. Juros smples: quado somete o prcpal rede juros, após cada período de captalzação, ao logo da vda do vestmeto. Juros compostos: quado, após cada período de captalzação, os juros são corporados ao prcpal, passado o motate a reder juros. No caso dos juros smples, tem-se o caso de uma progressão artmétca, e o caso dos juros compostos, trata-se do caso de uma progressão geométrca.

6 4 Represetado por P o prcpal, por N o úmero de períodos de captalzação, por os juros e por S o motate ao fal do período de captalzação, tem-se: No caso de juros smples: No caso de juros compostos: S = P (+.) S = P ( + ) Doravate, para fs de estudos, trataremos sempre de juros compostos, exceto quado expressamete dcado em cotráro. c) Taxa efetva x taxa omal: Quado o período a que o juro está referdo cocde com o período de captalzação, tem-se o caso de uma Taxa Efetva de Juros. por: Sedo, por exemplo, dados os segutes parâmetros: - valor do prcpal = $ 00,00 - taxa de juros = 2 % a.a. - período de captalzação = ao. Nesse caso, ao fal do período de ao, o valor do motate será dado S = 00 ( + 0,2) = 00.,2 = $ 2,00 O valor dos juros esse período é dado por: J = 2,00-00,00 = $ 2,00. Observe-se que, ao logo de período, os juros realzados foram de $ 2,00 sobre os $ 00,00 aplcados, correspodedo a uma taxa efetva de 2 % a.a.. Quado, o etato, o período a que se refere o juro ão cocde com o período de captalzação, tem-se o caso de uma Taxa Nomal de Juros. Tomem-se agora, por exemplo, os segutes dados: - valor do prcpal = $ 00,00 - taxa de juros = 2 % a.a. - período de captalzação = 6 meses (período de captalzação semestral). No presete caso, ao fal do período de ao, o valor do motate será dferete do ateror, e dado por: J = 2 / 2 = 6 % a.s., captalzados semestralmete; portato, ao fal de 2 semestres, S = 00 (+ 0,06) 2 = 00.,236 = $ 2,36 O valor dos juros esse período fo de: J = 2,36-00,00 = $ 2,36.

7 5 Observe-se que, este últmo caso, uma taxa de juros omal de 2,00 % a.a. fo equvalete a uma taxa efetva de juros de 2,36 % a.a.. Chamado: N = taxa omal de juros, referda ao período N; m = taxa de juros referda ao período m, sedo m = úmero de períodos de captalzação o tempo N ef = taxa efetva de juros, podemos escrever: e: m = N / m ( + m ) m = ( + ef ) assm, a relação etre a taxa efetva e a taxa omal de juros pode ser expressa por: N + ef = + m ( ) m [7] No exemplo aterormete cosderado, os cálculos pertetes resultaram: logo, + = 0, + 2 ef = 236, 2 ( ) ef = 0,236 2,36 % a.a. 2 d) Captalzação cotíua: Numa extesão do coceto de taxa efetva de juros versus taxa omal de juros, podemos troduzr o coceto de Captalzação Cotíua, que ocorre quado os períodos de captalzação são muto pequeos. Matematcamete, podemos represetar essa stuação a partr da equação [7], ode agora admtmos que o período N é muto grade em relação ao período de captalzação, resultado, portato em valor de m muto grade (tededo ao fto). chamado: A equação [7] pode ser trasformada em: ( + co ) = + m m = k N N m N N

8 6 temos: + = + co k ( ) ou, explctado: co N k N k = + k o caso de captalzação cotíua, temos que tato m quato k são muto grades, tededo ao fto, e portato a equação acma resulta: como: co k = Lm + k k N resulta: Lm + = e k k co k = e N [8] Por exemplo, a taxa efetva de juros correspodete à taxa omal de 2 %a.a., captalzados cotuamete, sera de: co = e 0,2 - co 2,75 % a.a. efetvos. 2.2 EXERCÍCIOS SUGERIDOS a) A cadereta de poupaça paga juros reas de 6 % a.a., e efetua mesalmete o depósto dos juros a cota. Descosderado a correção moetára, qual sera o valor do saldo em cadereta de um depósto de $ 00,00 após ao? A taxa de 6 % a.a. aucada é uma taxa efetva ou omal? b) Se uma etdade facera, objetvado atrar vestdores, aucar que remuerará vestmetos pagado juros de 2 % a.a. sobre os valores vestdos, com juros captalzados daramete, qual será o valor de um vestmeto de $ 00,00 ao cabo de ao? E se a captalzação dos juros fosse feta a cada hora?

9 7 3 O CONCEITO DE EQUIVALÊNCIA Dada a exstêca dos juros, ão se pode comparar dretamete valores faceros, quado estes ão estão referdos à mesma época ou às mesmas datas de referêca. Uma questão clássca a esse respeto cosste em respoder à perguta: - o que vale mas: R$.000,00 hoje, ou R$.080,00 daqu a ao? As respostas a essa questão são varadas, depededo, clusve, do regme flacoáro do ambete em que se está stuado. Descosderado, por equato, a questão da flação, que pode merecer, como se cometará mas adate, adequado tratameto, pode-se refazer a perguta, supodo agora uma moeda estável (ouro, ou dólar, por exemplo): - o que vale mas: $.000,00 hoje, ou $.080,00 daqu a ao? Mesmo com moeda estável, ão podemos comparar dretamete os valores, sem ates referí-los à mesma data. A técca adequada para a comparação etre valores que ocorrem em datas dsttas, cosste em se estabelecer uma Data de Referêca e em se determar, para cada valor correspodete a determada época, o seu Valor Equvalete a data de referêca. E, para a determação desse valor equvalete, é ecessáro cosderar a remueração do captal ao logo do tempo. Ou seja, para comparação etre valores ocorrete em épocas dsttas, tas valores devem ser referdos à mesma data de referêca, cosderado a adequada taxa de juros. No caso da questão aterormete colocada, poderemos comparar os valores se cohecermos a taxa de juros que remuera o captal, dgamos, de 7,2 % a.a., captalzados mesalmete. Nessas codções, o juro efetvo a cosderar será de: ef = ( + 0,072 / 2) 2 - = 0,07442 (ou 7,442 % a.a., efetvo) O valor equvalete aos $.000,00 de hoje, daqu a ao, será:.000,00 (+0,07442) = $.074,42 (meor que $.080,00 daqu a ao). Alteratvamete, poder-se-a calcular o valor atual (hoje) equvalete aos $ 080,00 daqu a ao:.080,00 / ( + 0,07442) = $.005,9 (maor que os atuas $.000,00). Faceramete, essas codções de juros, sera preferível cotar com $ 080,00 daqu a ao. Mas cocetualmete, o que teressa é eteder que, para a taxa de juros cosderada, o valor de $.000,00 a data de hoje é equvalete ao valor de $.074,42 daqu a ao; da mesma forma, o valor de $.080,00 daqu a ao é equvalete a $.005,9 a data de hoje.

10 8 4 FLUXOS DE CAIXA A cosderação de valores ocorretes em épocas dferetes e, portato, a cosderação de juros, de períodos e demas elemetos que devem ser cosderados as comparações e/ou para os cálculos de valores equvaletes, fca facltada se os represetarmos em forma tabular ou em forma gráfca, costtudo os deomados Fluxos de Caxa. Na represetação dos fluxos de caxa em forma gráfca, são empregados dagramas, tas como o da fgura abaxo, que cosderam: - em escala horzotal: os tempos, assalado-se os períodos (teros) de captalzação; -em escala vertcal: os valores faceros, smbolzados por setas, com a coveção:. para cma (+) : etradas de dhero, ou recebmetos;. para baxo (-) : saídas de dhero, ou pagametos Represetação gráfca de um Fluxo de Caxa tempo = 6,00 % a.a. A represetação de fluxos de caxa a forma tabular é teccamete equvalete, cosstdo bascamete a apresetação (dscrmada, se for o caso, segudo város tes) dos valores faceros, em correspodêca com as respectvas datas de referêca. Por exemplo, a tabela está apresetada parte de um fluxo de caxa, ode se dscrmam valores auas de recetas e de dspêdos pertetes a um vestmeto. Ao TABELA - FLUXO DE CAIXA DE RECEITAS E DISPÊNDIOS Receta Bruta (US$) Custos Operacoas (US$) Trbutos s/recetas (US$) Aqusção de Dretos (US$) Cotrbução Socal (US$) Imposto de Reda (US$) , , , ,00.773, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,59 FONTE DOS DADOS BRUTOS: LEE, Shu Ha (996).

11 9 Para o tratameto adequado dos fluxos de caxa, devem ser estabelecdos prevamete as coveções e crtéros a serem cosderados quato aos elemetos que os costtuem. Assm, por exemplo, os valores que ocorrem detro de um período de referêca por exemplo, o ao 9 do fluxo de caxa da tabela pode estar, em prcípo, ocorredo em qualquer dos das do ao 9. Para valdar os cálculos pertetes ao fluxo de caxa, deve ser etão estabelecda uma coveção adequada, cosderado que todos os valores detro de um período são cosderados como ocorretes o íco do período (valores atecpados) ou o fal do período (valores postecpados). Da mesma forma, há que se estabelecer prevamete os períodos de captalzação a serem cosderados se dáros, mesas, auas, ou outros períodos de teresse. Nos casos em que é especfcada uma taxa de juros, deve-se especfcar a que tpo e codções de captalzação se refere a taxa de juros a cosderar o fluxo de caxa. Para maor facldade e uformdade de tratameto, será utlzada, doravate, a segute otação e coveções, exceto quado expressamete dcada em cotráro: = taxa efetva de juros; N = taxa omal de juros; m = período de captalzação dos juros; = úmero de períodos de captalzação; P = prcpal ou valor atual do captal; S = motate ou valor do captal ao fal de períodos; R = sére uforme de pagametos; G = sére de pagametos em Gradete [G, 2G, 3G,...(-)G]. Serão assumdos sempre juros compostos e efetvos, e a cosderação de séres postecpadas, ou seja, com valores cosderados como cocetrados ao fal de cada período de referêca.

12 0 5 CÁLCULO DE VALORES EQUIVALENTES Partdo do coceto de equvalêca de valores e admtda a exstêca dos juros, pode-se desevolver as expressões para cálculo dos valores equvaletes. 5. VALORES EQUIVALENTES A UM VALOR ÚNICO Chamado o valor V 0, referdo à data presete ou data zero, de Valor Presete ou Valor Atual, e deomado por V o valor referdo ao fal dos períodos, pode-se determar: 0 2 k - % a.p. V 0 Vk ( = P) = ( + ) k V k V ( = S) = V ( + ) k k 5.2 VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE DE VALORES % a.p. 0 2 k - V V 2 V k V - V V 0 V V2 Vk V V ( = P) = k ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) 2 k V ( = S) = V ( + ) + V ( + ) V ( + ) V ( + ) + V 2 k 5.3 VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE UNIFORME DE VALORES % a.p. 0 2 k - R R R R R

13 Calculado prmeramete o Motate S: k V ( = S) = R ( + ) + R ( + ) R ( + ) R ( + ) + R k [ 2 ] V ( = S) = R ( + ) + + ) ( + ) ( + ) + e, aplcado a fórmula [6]: (+ ) S = R O valor presete (valor atual) equvalete à sére uforme, a data zero, pode ser calculado smplesmete por: ou: S P = (+ ) ( + ) P = R ( + ) 5.4 VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE GRADIENTE DE VALORES % a.p G 2G (-2)G A sére gradete equvale à soma de (-) séres uformes, com pagametos de valor G, a prmera sére começado o período 2, a seguda o período 3 e assm por date. Essas (-) séres e os respectvos motates resultam: ª sére: sére uforme de (-) pagametos G % a.p. (-)G G G G G S ( + ) = G

14 2 2ª sére: sére uforme de (-2) pagametos G % a.p S 2 2 ( + ) = G G G G (-)ª sére: sére uforme de pagameto G % a.p S = G ( + ) A soma dessas (-) séres será dada por: G S k k= S = 2 ( + ) ( + ) ( + ) S = G G S = [ ) ( ( ) 2... ( ) ( ) ] {[ ] } 2 ( ) ( )... S = G observado que a expressão etre colchetes é dada por: ( ) [( + ) + ( + ) ] = + 2 resulta: ou: G ( + ) S = ( + ) S = G 2

15 3 por: ou: O valor presete ou valor atual da sére gradete, a data zero, será dado S P = (+ ) ( + ) P = G 2 ( + ) 5.5 EXERCÍCIOS SUGERIDOS a) Qual o valor da sére uforme equvalete à sére gradete? (sugestão: faça S U = S G ). b) Um equpameto pode ser adqurdo à vsta por $ ,00 ou em 5 parcelas de $ ,00 cada, sedo a prmera à vsta e 4 parcelas mesas, totalzado $ ,00. Cosderado uma taxa de juros de 0% a.m. como represetatva do valor do dhero o mercado, cludo a flação, qual sera a melhor opção de pagameto? rosto: c) Uma etdade facera empresta dhero as segutes codções de - valor do empréstmo: $ 2 mlhões; - juros de 6 % sobre o valor do empréstmo, cobrados atecpadamete; - pagameto do empréstmo em 6 parcelas semestras, de $ 2 mlhões cada, totalzado $ 2 mlhões. Quas os valores de juros semestras e de juros mesas efetvos cobrados pelo empréstmo?

16 4 6 FÓRMULAS, TABELAS E PLANILHAS As fórmulas aterormete vstas permtem que se proceda ao cálculo de quasquer equvalêcas, permtdo, assm, trasformar os mas dferetes fluxos de caxa em fluxos padrozados ou em fluxos mas smples, para fs de comparações ou avalações. Essas fórmulas podem, também ser empregadas para o cálculo de fatores multplcadores, que podem ser tabelados, para fs de trasformações e cálculos de equvalêcas em séres de valores com característcas regulares. Atrbudo omes aproprados para esses fatores, pode-se resumí-los, jutamete com as devdas fórmulas, coforme exposto a tabela 2 adate. TABELA 2 FATORES E RESPECTIVAS FÓRMULAS PROBLEMA FÓRMULA FÓRMULA DE CÁLCULO DO FATOR Dado P achar S S = P. FPS(,) FPS(, ) = ( + ) Dado S achar P P = S. FSP(,) FSP(, ) = ( ) + Dado S achar R R = S. FSR(,) FSR(, ) = + ( ) Dado P achar R R = P. FPR(,) ( ) FPR(, ) = + ( ) + Dado R achar S S = R. FRS(,) ( ) FRS(, ) = + Dado R achar P P = R. FRP(,) ( ) FRP ( ) (, ) = + + Dado G achar R Dado G achar P R = G. FGR(,) P = G. FGP(,) FGR (, ) = ( + ) ( + ) FGP(, ) = 2 ( + ) Fo adotada, para fs de referêca, a otação utlzada por PUCCINI (973); essa otação ão é padrozada, havedo outras, gualmete prátcas, tas como a sugerda por FLEISHER (973). Idepedetemete da otação, tas fatores são absolutamete equvaletes.

17 5 7 AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS Em plaejameto de rodovas, são freqüetes os casos em que há ecessdade de se proceder à avalação de dferetes alteratvas de vestmetos, seja para se proceder à escolha daquela ou daquelas julgadas mas teressates, ou para se defr se é ou ão justfcável vestr recursos faceros a mplemetação de determados projetos. Também freqüetes, são os problemas assocados com a aálse de codções de facametos, ou de alteratvas de facametos, para tomada de decsões quato aos custos de aporte de recursos, ou quato aos mpactos sobre os custos de empreedmetos, sob dferetes hpóteses de facameto. São exemplos desses tpos de problemas as avalações de vabldade ecoômca comumete proceddas como exgêcas prévas das etdades de desevolvmeto para o facameto de obras rodováras, e os estudos para fs de aálse e/ou dmesoameto de processos de cocessões de rodovas. Em todos os casos, observadas as respectvas peculardades 2, e cosderados à parte os aspectos polítcos e subjetvos, a avalação de vestmetos pode ser feta matematcamete, uma vez que sejam defdos ou cohecdos os fluxos de caxa dos valores resultates desses vestmetos. Se os fluxos de caxa estverem defdos os custos (despesas ou saídas de recursos) e os recebmetos (recetas ou etradas de recursos), relacoados às respectvas épocas de ocorrêca, é possível julgar se vale a pea efetuar os vestmetos (ou, depededo do caso, se vale a pea tomar os recursos) através de dferetes processos ou da obteção de dferetes dcadores. Os processos quattatvos, ou Crtéros de Avalação, e respectvos dcadores mas utlzados, são: - a Relação Beefíco/Custo (B/C); - o Valor Atual (VA); - a Taxa Itera de Retoro (TIR). Embora absolutamete equvaletes e produzdo ecessaramete os mesmos resultados, esses processos, chamados de Crtéros de Retabldade, têm peculardades, vatages e desvatages eretes a cada caso em partcular. 7. O CONCEITO DE CUSTO DE OPORTUNIDADE Em qualquer dos crtéros de retabldade acma relacoados, a déa básca é avalar um vestmeto ou empreedmeto através do seu fluxo de caxa, ode estejam dscrmados os valores de gressos e egressos, adequadamete relacoados às respectvas épocas de ocorrêca. 2 São exemplos de cudados peculares à atureza de cada estudo, a cosderação de preços e valores ecoômcos (excluídos os mpostos) os casos de avalações ecoômcas de vestmetos em obras rodováras a cargo do poder públco, e a cosderação de preços e valores faceros (cluídos os mpostos) os casos de estudos de aálse e dmesoameto de cocessões de rodovas ou de empreedmetos executados pela catva prvada.

18 6 Mas, para que se possa trabalhar com os valores desse fluxo de caxa, calculado os valores equvaletes para fs de comparações, é ecessáro cohecer qual a taxa de juros a ser cosderada os cálculos. Essa taxa de juros, quado se procede a avalações por crtéros de retabldade, é o que se deoma de Custo de Oportudade do Captal (COC), e o etedmeto do seu sgfcado é fudametal para a compreesão da telgêca que exste por trás desses processos de avalação, e que valda a aplcação dos respectvos dcadores resultates. Talvez a forma mas smples e abragete de defr o custo de oportudade do captal seja dzer que ele represeta o redmeto que se obtera o melhor vestmeto alteratvo. Cosderado o caso de se estar aalsado o teresse em se vestr um determado empreedmeto, o fluxo de caxa correspodete deverá cosderar, como custo de oportudade do captal, uma taxa de juros equvalete à do redmeto que esse captal tera se ão fosse aplcado o empreedmeto sob aálse, caso em que devera ser logcamete aplcado um vestmeto alteratvo, ode propcasse o melhor resultado facero. Essa é a déa sempre embutda os processos de avalação: um empreedmeto ou vestmeto uca é cosderado de forma solada, mas sempre de forma comparatva, seja com outros empreedmetos ou com vestmetos hpotétcos represetados pela cosderação do custo de oportudade do captal. 7.2 A RELAÇÃO BENEFÍCIO/CUSTO Por defção, a Relação Beefíco/Custo (ou relação B/C) cosste o quocete etre o valor dos beefícos resultates de um empreedmeto e o valor dos respectvos custos. É um ídce ou dcador admesoal, cujo valor é terpretado da segute forma: B/C < : vável (beefícos meores que os custos); B/C = : dferete (beefícos guas aos custos); B/C > : vável (beefícos maores que os custos). É claro que o valor dos beefícos (B) a ser cosderado deve ser o valor equvalete de todos os beefícos que fguram o fluxo de caxa, referdo a uma certa data (data ou período de referêca), em geral a data 0 (zero), ao qual deve ser também referdo o valor dos custos (C), que deve ser, por sua vez, equvalete às dversas parcelas de custos que fguram o fluxo de caxa.

19 7 B 0 b b 3 b b c 3 c c 2 = COC c 0 C 0 = COC No fluxo de caxa represetado a fgura, se fxarmos a data zero como data de referêca, os valores de b e de c são "trazdos" para a data de referêca 0, sto é, calcula-se a soma dos valores atuas dos beefícos a data 0 (B 0 ), e a soma dos valores atuas dos custos a data 0 (C 0 ). Com os valores de beefícos e de custos ( B 0 e C 0 ) referdos à mesma data, pode ser feta a comparação desejada, ou seja, pode-se calcular a relação B 0 /C 0 : = COC C = c + c c ( + ) + ( + ) c ( + ) B0 = b 0 + b b 2 2 b ( ) ( + ) ( + ) Relação B/C = B 0 / C O VALOR ATUAL Outra forma de estudar a vabldade (ou ão) de um vestmeto ou empreedmeto é, ao vés de aalsar o quocete etre o beefíco total referdo a uma certa data e o custo total referdo à mesma data, aalsar smplesmete a dfereça etre esses valores. Comumete, se escolhe a data zero como data de referêca, sedo os valores de beefícos totas e de custos totas referdos a essa data os respectvos valores atuas de beefícos e de custos, e a dfereça etre esses valores deomada smplesmete de Valor Atual (VA). No caso geérco represetado a fgura e equações do tem 7.2 ateror, o Valor Atual sera dado por: VA = B 0 - C 0, ode o custo de oportudade do captal está cosderado o cálculo dos valores atuas de beefícos (B 0 ) e de custos (C 0 ).

20 8 O Valor Atual, expresso em udades moetáras, é terpretado da segute forma: VA < 0 : vável (beefícos meores que os custos); VA = 0 : dferete (beefícos guas aos custos); VA > 0 : vável (beefícos maores que os custos). 7.4 A TAXA INTERNA DE RETORNO Uma tercera forma de avalar a vabldade (ou ão) de um vestmeto ou empreedmeto, através de seu fluxo de caxa, é calcular a taxa de juros para a qual os valores equvaletes de beefícos são guas aos valores equvaletes dos custos, e que é deomada de Taxa Itera de Retoro (TIR). Em termos mas smples, o processo cosstra em se determar a taxa de juros para a qual o Valor Atual se aula ou para a qual a Relação B/C se tora utára (B 0 - C 0 = 0 ou B 0 /C 0 = ). Como o cálculo dos valores atuas de beefícos e de custos, em fução da taxa de juros, evolve polômos em de ordem, há em tese raízes 3, ou seja, valores de taxa de juros que satsfazem a codção B 0 - C 0 = 0 ou B 0 /C 0 =. Na prátca, toma-se a prmera raz postva, ou seja, a mas próxma de zero, como valor represetatvo da taxa tera de retoro, sedo o resultado terpretado comparatvamete com o custo de oportudade de captal da segute forma: TIR < COC : vável (o vestmeto alteratvo tem melhor retabldade); TIR = COC : dferete (o vestmeto alteratvo tem a mesma retabldade); TRI > COC : vável (o empreedmeto tem retabldade superor à do melhor vestmeto alteratvo). 7.5 CONSIDERAÇÕES SOBRE OS CRITÉRIOS DE RENTABILIDADE Os 3 métodos de avalação por crtéro de retabldade vstos a relação B/C, o VA e a TIR são absolutamete equvaletes. Caso um vestmeto resulte vável, vável ou dferete segudo um dos métodos, os demas métodos deverão dcar ecessaramete a mesma codção. Da mesma forma, se um cojuto (pacote) de alteratvas de vestmetos resultar o mas vatajoso segudo um dos métodos, os demas métodos deverão apotar dêtco resultado. 3 Esse é o motvo pelo qual, para o cálculo da TIR através de plalhas eletrôcas, os comados demadam a dcação de um valor cal ou "semete".

21 9 Para sso, o etato, há cudados especas a serem observados para que os métodos ão resultem em dstorções que possam coduzr a terpretações errôeas dos resultados oferecdos. Na aálse de vestmetos solados, bastara calcular um dos dcadores de retabldade (B/C, VA ou TIR) para ferêcas a respeto do empreedmeto; a prátca, pela facldade de cálculo e pela maor rqueza de terpretação possbltada, costuma-se calcular os 3 dcadores. Para lustrar o procedmeto, cosdere-se o caso hpotétco e smplfcado de um vestmeto o melhorameto de uma estrada, com os segutes dados e codções, coforme fluxo de caxa lustrado a fgura a segur: $ 00 $ 00 $ 00 $ 00 $ $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 300 COC = 2 % a.a. - custo dos vestmetos o melhorameto gual a $ 300 a data 0; - beefícos líqudos auas decorretes dos vestmetos guas a $ 00; - custos auas para mauteção do empreedmeto guas a $ 0; - vda útl dos melhorametos de 5 aos; - custo de oportudade do captal = 2 % a.a. Os valores atuas de custos e de beefícos, referdos à data zero, serão: B 0 = $ 3,48 e C 0 = $ 336,05 (verfque). E os dcadores de retabldade resultam: B 0 /C 0 = 3,48 / 336,05 =,07 B 0 - C 0 = 3,48-336,05 = $ 24,43 TIR = 5,24 % Observe-se que, como esperado, todos os dcadores apotaram para a vabldade do empreedmeto. É curoso, o etato, observar que depededo dos crtéros que se utlzem para cosderar o que seja beefíco ou custo, podem resultar valores umercamete dferetes para a relação B/C. Se, por exemplo, os custos de mauteção (de $ 0/ao) forem cosderados ão propramete como custos, mas como "beefícos egatvos", sto é, como parcelas que devem ser deduzdas dos beefícos auas para que se possa obter os beefícos líqudos a cada ao, o fluxo de caxa aterormete lustrado passara a ter a cofguração mostrada a fgura a segur.

22 20 $ 90 $ 90 $ 90 $ 90 $ $ 300 COC = 2 % a.a. Nesta cofguração, os valores atuas de custos e de beefícos, referdos à data zero, serão agora: B 0 = $ 324,43 e C 0 = $ 300,00 (verfque) B 0 /C 0 =,08 B 0 - C 0 = $ 324,43 - $ 300,00 = $ 24,43 TIR = 5,24 %. Observe-se que o VA e a TIR ão foram alterados, apesar da mudaça o valor da relação B/C; observe-se também que, apesar da mudaça o valor da relação B/C, o dcador cotuou a apotar a vabldade do empreedmeto. Este é, a rgor, o "defeto" deste ídce de retabldade, em que pese o fato de que ão altera o julgameto quato à vabldade ou ão do empreedmeto. Outros cudados devem ser também observados quado da utlzação desses ídces, coforme se tratará adate. 7.6 COMPARAÇÕES ENTRE DUAS ALTERNATIVAS As comparações etre alteratvas de vestmetos devem ser fetas com certos cudados, prcpalmete quado são utlzados, como elemetos de decsão, os dcadores resultates da relação Beefíco/Custo, ou a Taxa Itera de Retoro, que é utlzada com muta freqüêca, os casos prátcos. Tomem-se, por exemplo, 2 vestmetos hpotétcos, smplfcados para fs lustratvos, com valores de vestmetos e de retoros dcados a fgura abaxo, um ambete em que o custo de oportudade do captal seja de 6 % a.a.. Ivestmeto A $.20 Ivestmeto B $ $.000 COC = 6 %a.a. 0 $ 0 COC = 6 %a.a.

23 2 O vestmeto A resultara vável, com os segutes dcadores (verfque): - B 0 /C 0 =,06; - TIR = 2,0 % a.a. Da mesma forma, o vestmeto B resultara vável, com os segutes dcadores (verfque): - B 0 /C 0 =,08; - TIR = 5,0 % a.a. Qual a melhor alteratva de vestmeto? Tato a relação B/C como a taxa tera de retoro correspodetes à alteratva B resultaram melhores do que os correspodetes à alteratva A, o que podera duzr o aalsta a decdr-se por vestr a alteratva B. Há, o etato, uma mportate cosderação a ser feta: caso se decda vestr a alteratva B, aparetemete a melhor, o que se fará com o saldo remaescete, de recursos, que motam a $ $ 0 = $ 400? Esse saldo, que ão é vestdo os empreedmetos em aálse, deverá ser vestdo o melhor vestmeto alteratvo, que rede o equvalete ao custo de oportudade do captal, o caso, 6 % a.a.. Assm, vestr a alteratva B equvale a 2 vestmetos: - de $ 0, com redmeto (TIR) de 5,0 % a.a., e - de $ 400, com redmeto (COC) de 6,0 % a.a.. Já o fluxo de caxa do vestmeto a alteratva A pode ser decomposto, cosderado-se a dfereça dos fluxos de caxa das alteratvas A e B, em: Fluxo A = Fluxo [ B ] + Fluxo [ A - B ] Represetado o fluxo de caxa correspodete à dfereça [ A - B ]: Ivestmeto A $.20 Ivestmeto B $ 690 Ivestmeto A - B $ COC = 6 %a.a. $.000 = 0 $ 0 COC = 6 %a.a. 0 $ 400 COC = 6 %a.a. O fluxo de caxa [ A - B ] é equvalete a um vestmeto de $ 400, com TIR de 7,5 % a.a. (verfque). Assm, vestr a alteratva A equvale a 2 vestmetos: - de $ 0, com redmeto de 5 % a.a. (gual ao vestmeto B), e - de $ 400, com redmeto de 7,5 % a.a. (gual ao fluxo A - B).

24 22 Percebe-se que a alteratva A é superor à alteratva B, devedo ser, portato, a escolhda, embora os dcadores da alteratva B teham resultado, soladamete, melhores. Chegar-se-a à mesma coclusão caso o dcador de vabldade escolhdo fosse a relação Beefíco/Custo ao vés da Taxa Itera de Retoro; o procedmeto para se efetuar a comparação é pratcamete o mesmo, dexado-se como exercíco ao letor a verfcação quattatva pertete. 7.7 ESCOLHAS DENTRE PACOTES DE ALTERNATIVAS Quado ao vés de apeas 2 alteratvas mutuamete exclusvas estão evolvdas váras alteratvas, que podem compor dferetes elecos de vestmetos, com recursos lmtados e ão sufcetes para atedmeto a todas as alteratvas smultaeamete, tem-se o clássco problema de defção do melhor pacote de vestmetos a executar com os escassos recursos dspoíves. O problema pode ser resolvdo, com resultados absolutamete equvaletes, de formas dferetes, tas como: I - estudado os dversos pacotes, ou combações de alteratvas, em ordem crescete de valor total de vestmeto, através do processo de comparação vsto acma, e selecoado o mas vatajoso (o que é razoavelmete complcado); ou, II - relacoado os dversos pacotes e calculado os respectvos Valores Atuas (VA), selecoado que correspoder ao maor Valor Atual. Esta seguda forma é de aplcação bem mas smples, e resultará, como aterormete afrmado, em coclusões matematcamete equvaletes. No caso do exemplo aterormete vsto, por exemplo, bastara calcular e comparar os Valores Atuas dos respectvos fluxos de caxa A e B, que resultaram: - VA A = B 0 - C 0 = $ 56,; - VA B = B 0 - C 0 = $ 50,94; Portato, a alteratva de vestmeto A resultara mas vatajosa do que a alteratva de vestmeto B, como aterormete demostrado. Um exemplo que evdeca a pratcdade da aálse de pacotes de alteratvas de vestmeto através da cosderação do Valor Atual é o formulado por Flescher (973), que sugere as 3 alteratvas resumdas a tabela 3 adate.

25 23 TABELA 3 DADOS PARA ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS ALTERNATIVA INVESTIMENTO BENEFÍCIOS TIR () VA 0 DE NO ANO 0 ANUAIS (0a) INVESTIMENTO ($) (%) ($) ($) B/C () A ,20 B ,5 C ,0 () Cosderou-se um Custo de Oportudade do Captal de 6 % a.a.. FONTE: Flescher, 973, p A partr desses dados, pode-se estudar qual sera o pacote de alteratvas de vestmeto mas teressate, caso houvesse dspobldade de recursos de $ para vestr, a um Custo de Oportudade do Captal de 6 % a.a.. Relacoado dversos pacotes de alteratvas de vestmeto que se poderam motar combado as alteratvas dadas, com os respectvos Valores Atuas, chegar-se-a aos valores da tabela 4 abaxo. TABELA 4 PACOTES DE ALTERNATIVAS PACOTE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO VALOR INVESTIMENTO VALOR ATUAL OBSERVAÇÕES I Não fazer ada $ 0 $ 0 II Somete vestmeto A $ $.982 III Somete vestmeto B $ $ IV Somete vestmeto C $ $ V Ivestmetos A + B $ $ 4.96 VI Ivestmetos A + C $.000 $ 6.84 VII Ivestmetos B + C $ $ VIII Ivestmetos A + B + C $ $ Ivável A partr desses valores, pode-se faclmete estudar as alteratvas mas vatajosas para dferetes cosderações. Assm, por exemplo, caso as alteratvas fossem equvaletes e mutuamete exclusvas sob o poto de vsta técco, sera mas teressate vestr a alteratva C (pacote IV); caso as alteratvas ão fossem mutuamete exclusvas, o pacote mas teressate sera o VII, ao qual correspodera o maor Valor Presete (o pacote VIII compreede vestmetos que superam a capacdade de vestr, lmtada a $ ). Pode-se verfcar que se chegara a essas mesmas coclusões adotadose o processo de comparar os pacotes através dos outros dcadores (TIR e/ou B/C), mas a extesão dos cálculos pertetes tora desacoselhável seu uso.

26 24 8 FUNÇÕES DO EXCEL COMUMENTE EMPREGADAS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA VP ( taxa ; úm_períodos ; pag_uforme ; Valor_Futuro ; Tpo ) = Valor Presete equvalete VF ( taxa ; úm_períodos ; pag_uforme ; Valor_Presete ; Tpo ) = Valor Futuro equvalete VPL ( taxa ; valores_ ; valores_2 ;...) = Valor Presete Líqudo de fluxos de valores TIR ( valores ; estmatva ) = Taxa Itera de Retoro MTIR ( valores ; taxa_seguraça ; taxa_de_rsco ) = Taxa Itera de Retoro Modfcada. VP ( t ; ; R ; F ; Tpo ) Valor Presete (data 0) equvalete a um fluxo uforme de pagametos de valor R, cosderado a taxa de descoto t; Opcoal: exstêca de um valor futuro F, a data, equvalete a um pagameto ou a um saldo remaescete; Opcoal: cosderação de Tpo = 0 (défault) para fluxos postecpados; e Tpo = para fluxos atecpados. VP VP ( 2% ; 5 ; - ) = 26,29 t = 2 % a.p. VP VP ( 0,2 ; 5 ; - ; 00 ) = 59,54 t = 2 % a.p. VF ( t ; ; R ; P ; Tpo ) Valor Futuro (data ) equvalete a um fluxo uforme de pagametos de valor R, cosderado a taxa de descoto t; Opcoal: exstêca de um valor presete P, a data 0, equvalete a um valor ou saldo cal ou a um pagameto cal; Opcoal: cosderação de Tpo = 0 (défault) para fluxos postecpados; e Tpo = para fluxos atecpados. VF VF ( 0,2 ; 5 ; - ) = 38,7 t = 2 % a.p.

27 25 VF VF ( 2% ; 5 ; - ; - 00 ) = 557,4 00 t = 2 % a.p. VPL ( t ; valores_ ; valores_2 ;... ) Valor Presete Líqudo (data 0) equvalete a séres ou fluxos de valores. A B t = 2 % a.p. 00 VPL(2%;A2:A6) = - 280,26 VPL(0,2;A2:A3;-80;A5:A6)= - 280,26 TIR ( valores ; estmatva ) Taxa Itera de Retoro de um fluxo de valores; valores: bloco com fluxo de valores a avalar; estmatva: valor estmado para semete (proporção ou % ). B C D t = 2 % a.p. TIR ( C5:C9 ; 0% ) = 2,826% TIR ( C5:C9 ; 0,2 ) = 2,826%

28 26 MTIR ( valores ; taxa_seguraça ; taxa_de_rsco ) VA A B C D =(B + C) C.O.C. = 0 % a.p. TIR (B:C6 ; 0%) = 7,46 % (VA ) = VPL(0,;D2:D6) = 39,63 FONTE: Casarotto Flho (994) Taxa Itera de Retoro Modfcada: equvale a cosderar um fluxo em que os dspêdos são atualzados ao Custo de Oportudade do Captal (taxa de seguraça, o caso = 0 % a.p.), ao passo que os recebmetos são aplcados a uma taxa de rsco, por exemplo, de 2 % a.p.. Nesse caso, o fluxo de caxa da fgura acma pode se represetado pelos respectvos valores equvaletes de dspêdos, atualzados para a data 0 medate a aplcação da taxa de seguraça, e de recebmetos, captalzados para a data 5 medate a aplcação da taxa de rsco, resultado a cofguração represetada abaxo.,2^5*vpl(0,2;c2:c6) = 382, VPL(0, ; B2) = - 90,9 Este fluxo equvale a um vestmeto com taxa tera de retoro ( ) que pode ser calculada por: 90,9. ( + ) 5 = 382,35 ou: 382, 35 = 5 = 0, 490 4, 90% a. p. 90, 9 O mesmo resultado pode ser obtdo pela fução MTIR: MTIR(D:D6;0%;2%) = 4,90 %.

29 27 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CASAROTTO FILHO, Nelso et KOPITTKE, Bruo Hartmut. Aálse de vestmetos. São Paulo : Edtora Atlas S/A, p. 2 FLEISCHER, Gerald A. Teora da aplcação do captal : um estudo das decsões de vestmeto. São Paulo : Ed. Edgar Blücher Ltda., 973. Trad. por SANTORO, Mguel Cezar. 272 p. 3 PUCCINI, Abelardo de Lma. Matemátca facera e aálse de vestmetos. Ro de Jaero : Forum Edtora Ltda., p. 4 MISHAN, E.J. Aálse de custos-beefícos : uma trodução formal. Ro de Jaero : ZAHAR Edtores, p. Trad. por JUNGMANN, Ruy. 5. Elemetos de aálse de custos-beefícos. Ro de Jaero : ZAHAR Edtores, p. Trad. por GARSCHAGEN, Doaldso M. 6 De FARO, Clóvs J. Daudt. Matemátca facera. Ro de Jaero : APEC Edtôra [sc] S/A, ed., 440 p. 7 LEE, Shu Ha. Cocessão de rodovas à catva prvada : crtéros para lmtação de tarfas em processos de lctação. Floraópols, 996. Dssertação (Mestrado em Ifra-Estrutura e Gerêca Vára) Egehara Cvl, Uversdade Federal de Sata Catara. 96 p. 8 MELLO, José Carlos. Plaejameto dos trasportes. São Paulo : McGraw-Hll do Brasl, p. 9 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR. Bbloteca Cetral. Normas para apresetação de trabalhos. 5. ed. Curtba : Ed. da UFPR, v. : l.