Ajuste de dados experimentais

Transcrição

1 Capítulo 8 8. Itrodução Uma forma de trabalhar com uma fução defda por uma tabela de valores é a terpolação polomal. Etretato esta ão é acoselhável quado:. é precso obter um valor aproxmado da fução em algum poto fora do tervalo de tabelameto,ou seja,quado se quer extrapolar; 2. os valores tabelados são resultado de algum expermeto físco ou de alguma pesqusa, porque,estes casos,estes valores podem coter erros eretes que,em geral,ão são prevsíves. Surge,etão,a ecessdade de se ajustar a estas fuções tabeladas uma fução que seja uma boa aproxmação para os valores tabelados e que permta extrapolar com certa margem de seguraça. Exemplo 8. Cosdere um teste de desempeho de um automóvel. Este é acelerado a partr do repouso e depos vaja com aceleração máxma até que sua velocdade atja km/h. Equato sto, as leturas o velocímetro são realzadas a cada s. Quado a velocdade é grafcada como fução do tempo, obtém-se um cojuto de potos. Sera esperado que estes potos defssem uma curva suave. No etato, erros de medda e outros fatores fazem com que os potos ão fquem tão bem arrajados: algus dos valores regstrados para a velocdade fcam muto altos e outros, muto baxos. Supodo que se desejasse determar a velocdade aos 6, 5s, sera possível terpolar etre as leturas fetas aos 6s e 7s, mas como provavelmete exste algum erro estas meddas, o valor assm obtdo podera ão ser uma boa aproxmação para o valor desejado. O que fazer? A solução para o problema é tetar ajustar uma provável curva ao cojuto de dados. Como épossível que város destes dados ão sejam precsos,esta curva ão precsa,ecessaramete, passar por ehum dos potos. Por outro lado,como os erros de medda provavelmete ão são tão grades,a curva devera pelo meos passar perto de cada poto: provavelmete acma de us eabaxodeoutros. Naverdade,aovés de procurar a fução f que passa por cada um dos dados expermetas,calcula-se a fução que melhor se ajusta a eles. Exemplo 8.2 Supoha que os dados abaxo temperatura T a cada período de tempo t foram obtdos em um expermeto um laboratóro: t T 5, 28, 4 45, 3 58, 6 77, 4 e o gráfco exbdo a fgura 8.2 sugere que esses dados podem ser aproxmados razoavelmete bem por uma reta. Assm, se for ecessárosaberovalordet o tempo t, 5, podemos obter a 46

2 Fgura 8.: Gráfco v t, com erros as meddas de v. Fgura 8.2: Dados expermetas. equação da reta que melhor aproxma os potos obtdos expermetalmete e, etão, calcular o valor de T de acordo com aquela reta. Apergutaquesurgeé: dado um cojuto de dados,como fazer o ajuste? Ao aproxmar uma fução f por uma fução g de uma famíla G, é troduzdo um certo erro r,deomado resíduo, sto é, r(x) f(x) g(x) (8.) Aparetemete,uma boa aproxmação sera obtda fazedo x r(x). No etato,sto ão é verdade. Supoha que,em um certo expermeto,foram obtdos os potos p, p 2, p 3 e p 4. Sabedo que o feômeo é descrto por uma reta,esta é determada de modo a satsfazer x r(x). Pode-se observar a fgura abaxo que as retas que foram traçadas obedecem tal crtéro,o que mostra que x r(x) ão éumaboaescolha. O problema efretado com este crtéro é o cacelameto dos erros postvos com os egatvos. Uma maera de evtar este cacelameto é trabalhar com o quadrado do resíduo e exgr que x r2 (x) sejamímo. O método para aproxmar uma fução f por uma g G utlzado este últmo crtéro é deomado método dos mímos quadrados. A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 47

3 Fgura 8.3: Qual a melhor aproxmação, esse caso? 8.2 Mímos quadrados - domío dscreto Para aproxmar uma fução y f(x) tabelada em potos dsttos x,,, 2,...,,por uma fução g da forma m a k g k (x) (8.2) k Precsa-se determar a,a,...,a m que mmzam a soma dos quadrados dos resíduos os potos x,,, 2,...,. Para mmzar M(a,a,...,a m ) M(a,a,...,a m ) r 2 (x) (f(x ) g(x )) 2 (8.3) é precso que..., (8.4) a a a m Por outro lado,certamete exstem processos aturas que tem um comportameto expoecal, potecal e quadrátco,detro outros. Épossível,para um cojuto de dados expermetas, calcular o quão boa é uma determada aproxmação,escolhda prevamete. A segur,veremos como determar os coefcetes de uma determada fução de ajuste. 8.3 Ajuste lear Neste caso,determa-se os parâmetros a e a da reta a +a x de modo que a soma dos quadrados em cada poto seja míma. Em outras palavras,deseja-se determar a e a que mmzem Para sto,é ecessáro que M(a,a ) r 2 (x) (y a a x ) 2 (8.5) a e (8.6) a (8.7) A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 48

4 ou seja,que a 2 a 2 (y a a x )( ) (8.8) (y a a x )( x ) (8.9) Orgazado estas codções,tem-se { y a + a x x y a x + a x 2 e chega-se ao segute sstema lear: [ x x x2 ][ a ] a [ y ] x y (8.) (8.) deomado sstema ormal. Resolvedo este sstema,são obtdos os valores de a edea,ou seja,determa-se a equação (reta,o caso) de ajustameto. Exemplo 8.3 Como resultado de algum expermeto, supoha que são obtdos os segutes valores para a fução f: x f(x) 4 4 Determe a reta que melhor se ajusta a esta fução segudoométodo dos mímos quadrados. O sstema ormal correspodete é [ ][ ] [ ] 5 a 3 a 3 que tem solução a /5 e a /. Portato, a reta que aproxma f(x) é g(x) x Ajuste polomal Pode-se esteder o coceto de ajustameto de uma reta por mímos quadrados para o caso geral de um polômo de grau p. Neste caso,determa-se os parâmetros a,a,...,a p do polômo a + a x a p x p que mmzem M(a,a,...,a p ) Para sto,é ecessáro que r 2 (x) de ode se obtém o sstema + x... x x xp xp+... (y a a x... a p x p ) 2 (8.2) a a... a p (8.3) xp xp+ x2 p a a. a p y x y. xp y (8.4) Resolvedo este sstema,são obtdos os valores de a,a,...,a p,ou seja,os coefcetes do polômo de grau p. A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 49

5 Exemplo 8.4 Obtehaaexpressão da parábola que se ajusta aos dados da tabela: x y,, 5, 82, 88, 8, 49 O sstema ormal para o caso de uma parábola (p 2)é a a a 2 3, 5 3, 48 9, Asolução deste sstema dca que a parábola que melhor se ajusta a este cojuto de dados é g(x), 2 x 2 +, 2 x +, Ajustameto por fuções ão leares os parâmetros learzação O método dos mímos quadrados pode ser empregado também aproxmar uma fução f por uma fução g de uma famíla ão lear os parâmetros. Exemplos destas fuções são as expoecas, hperbólcas e racoas,etre outras,como veremos a segur Ajustameto por uma fução expoecal A fução y ce ax pode ser learzada tomado-se o logartmo de ambos os lados. No fal, obtém-se uma relação lear etre as varáves trasformadas. O prmero passo é Agora,usado a mudaça de varáves (e de costates) chega-se àrelação lear etre as varáves X e Y : l y lc + ax. (8.5) Y ly, X x, a lc, a a (8.6) Y a X + a, (8.7) Sedo assm,pode-se aplcar o mesmo método utlzado para o ajustameto de uma reta aos dados trasformados {(X,Y )} {(x, l y )}. Oscoefcetesa e a são ecotrados pela solução do sstema [ ( +) x ][ ] [ x a l y ] x2 a x (8.8) l y de forma que c e a e a a determam a fução de ajustameto. Exemplo 8.5 Ajuste os dados da tabela a uma fução expoecal. O sstema lear para este caso é [ x, 5, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 y ][ a ] a [ 22, , 93 ] easuasolução é a, e a, Portato, c e a expoecal procurada é y 2, e, , eafução A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 5

6 8.5.2 Ajustameto por uma fução potêca A fução y ax b pode ser learzada tomado-se o logartmo: l y la + b l x. Com sto, medate a mudaça de varáves Y ly, X lx, a la e a b,o sstema ormal fca [ ( +) l x ][ ] [ l x a (l x ) 2 l y ] a l x (8.9) l y Desta forma,os parâmetros são a e a e b a Ajustameto por uma fução hperbólca Neste caso, y a +a x. A learzação desta fução resulta em y a + a x e o sstema [ ( +) x x x2 ][ a ] [ y a x y ] Ajustameto por uma fução do tpo y x a +a x Neste caso,a learzação é x y a + a x e o sstema obtdo é dado por [ ( +) x ][ ] [ ] x x a y x2 a x 2 y (8.2) Ajustameto por uma fução do tpo y a +a x+a 2 x 2 Neste caso,a learzação resulta y a + a x + a 2 x 2 e o sstema é dado por ( +) x x2 x x2 x3 x2 x3 x4 a a a 2 y x y x 2 y Ajustameto por uma fução do tpo y ae bx+cx2 (8.2) A learzação é empregada da segute forma: Y ly, X x, a la, a b e a 2 c. Sedo assm,o sstema ormal fca ( +) x x2 x x2 x3 a a l y x l y (8.22) a 2 x2 l y x2 x3 x4 8.6 Escolha do melhor ajuste Uma vez cohecdas as dferetes formas de regressão,podemos os dagar: para um determado cojuto de dados expermetas,qual é a melhor forma? Essa perguta pode ser respodda se cosderarmos algumas meddas dos erros evolvdos as regressões,essecalmete comparado o quão dstate um valor expermetal f está do valor y calculado através da equação para as dferetes regressões. Bascamete,podemos cosderar três meddas dferetes: Erro relatvo: Selecoa-se a regressão que tver o meor erro relatvo máxmo, e max m f y f (8.23) A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 5

7 Desvo relatvo em relação àméda: Selecoa-se a regressão que tver o meor desvo relatvo em relação àméda, t max m y ȳ (8.24) ȳ ode ȳ m m y. Coefcete de varação da amostra: Selecoa-se a regressão que apresetar o meor coefcete de varação da amostra, m (y ȳ)2 m D (8.25) ȳ É mportate otar que poderá haver casos em que a escolha de uma ou outra medda favorecerá uma ou outra forma de regressão,coforme pode ser verfcado os exemplos que seguem. Exemplo 8.6 Dada a tabela x f 5, 28, 4 45, 3 58, 6 77, 4 obteha as quatro regressões lear, quadrátca (polomal), potecal e expoecal calculado as meddas para escolha da melhor regressão. Solução: Calculadas as regressões, obtemos os segutes valores para y (arredodados para a prmera casa decmal): e os correspodetes valores das meddas x lear 3, 9 29, 4 44, 9 6, 4 75, 9 quadrátca 5, 28, 9 43, 9 59, 9 77, potecal 4, 7 29, 6 44, 7 59, 9 75, 2 expoecal 7, 4 26, 38, 8 57, 9 86, 4 e t D lear, 77, 6898, 2727 quadrátca, 37, 727, 2729 potecal, 434, 677, 2669 expoecal, 597, 979, 345 Aalsado a tabela acma, vemos que, se o crtéro escolhdo fosse o erro relatvo e, deveríamos escolher a regressão quadrátca, com coefcetes a 2, 4, a 2, 443, a 2, 543; para as outras duas meddas, a regressão escolhda sera a potecal, com a 4, 6535, a, 6 A fgura (8.4) mostra que ambas as regressões, esse caso, aproxmam razoavelmete bem os dados expermetas. Exemplo 8.7 Supoha os dados expermetas dados por x f 2, 783 7, 389 2, , , 432 Obteha as quatro regressões lear, quadrátca (polomal), potecal e expoecal calculado as meddas para escolha da melhor regressão. A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 52

8 Fgura 8.4: Regressão quadrátca versus potecal. Solução: Calculadas as regressões, obtemos os segutes valores para y (arredodados para a prmera casa decmal): e os correspodetes valores das meddas x lear 2, 2, 8 46, 6 8, 5 4, 4 quadrátca 7, 5, 5 8, 66, 2 42, 9 potecal 2,, 6 28, 3 56, 7 97, 4 expoecal 2, 7 7, 4 2, 54, 6 48, 4 e t D lear, 5745, 459, 5739 quadrátca, 768 2, 648, 645 potecal, 433, 4977, 4973 expoecal, 2, 82, 6476 Aalsado a tabela, vemos que, se o crtéro escolhdo fosse o erro relatvo e, deveríamos escolher a regressão expoecal, com coefcetes a,, a 2, 783 o que é óbvo, pos os valores tabulados represetam justamete f e x. Se, o etato, utlzássemos como medda o desvo relatvo em relação àméda, t, escolheríamos a regressão lear, com a 54, 9388, a 33, 8599 que certamete ão sera uma boa escolha; falmete, escolhedo o coefcete de varação da amostra, a regressão potecal sera escolhda, com Exemplo 8.8 Dada a tabela abaxo a, 9785, a 2, 426 x 2 2 f 8, 64 2, 639, , 888 8, 332 A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 53

9 Fgura 8.5: Regressão quadrátca. obteha as quatro regressões lear, quadrátca (polomal), potecal e expoecal calculado as meddas para escolha da melhor regressão. Solução: Calculadas as regressões, com exceção da potecal (a qual ão pode ser calculada sem traslação devdo à preseça de um valor ulo os dados expermetas), obtemos os segutes valores para y (arredodados para a prmera casa decmal): e os correspodetes valores das meddas x lear 4, 2 4, 3 4, 3 4, 3 4, 3 quadrátca 8, 2 2, 3, 4 2, 3 8, 2 expoecal 2, 5 2, 5 2, 5 2, 4 2, 4 e t D lear 7, 2885, 8, 32 quadrátca, 5724, 922, 4275 expoecal 9, 535, 29, 86 Aalsado a tabela, vemos que, se o crtéro escolhdo fosse o erro relatvo e, deveríamos escolher a regressão quadrátca, com coefcetes a, 3675, a, 7, a 2, 9536; já para as outras duas meddas, a regressão escolhda sera a lear, com a 4, 2748, a, 7 Aalsado-se o gráfco a fgura (8.5), observa-se que a regressão quadrátca é melhor, evdetemete. Os exemplos aqu apresetados mostram que o ajuste de dados expermetas é um processo umérco que deve ser usado tomado-se cudado ao se selecoar uma dada regressão,se possível fazedo-se o gráfco dos dados expermetas e da curva de regressão. 8.7 Mímos quadrados - domío cotíuo Mesmo o caso em que a forma aalítca da fução f é cohecda,às vezes é de teresse aproxmála o tervalo I [x I,x F ] por uma fução g da famíla m a k g k (x) (8.26) k A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 54

10 Famíla de fuções Codções Reta - y a + a x f[x +,x ] cost. Parábola - y a + a x + a 2 x 2 f[x +2,x +,x ] cost. Fução expoecal - y ce ax ly x cost. Fução potêca - y ax b ly lx cost. Fução hperbólca - y a + a x y x cost. Fução do tpo y x a + a x x y x cost. Fução do tpo y a + a x + a 2 x 2 y + y x +2 x cost. Fução do tpo y ae bx+cx2 ly + ly x +2 x cost. Tabela 8.: Codções ecessáras para se ajustar potos. A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 55

11 mas coveete. Às vezes,por exemplo,tem-se uma fução com descotudades,mas querse trabalhar com uma fução cotíua. A prmera vsta,sera possível recar o caso dscreto tabelado a fução dada em algus potos; etretato,sto pode causar perda de formação sobre o comportameto do erro. Ao se cosderar a soma dos quadrados dos resíduos em todos os potos do tervalo [x I,x F ], tem-se,o lmte,a tegral do quadrado do resíduo em cada poto do tervalo em que se quer aproxmar a fução dada. Geometrcamete,sto represeta a área etre as curvas f(x) eg(x). Assm,é ecessáro determar a,a,...,a m que mmzam M(a,a,...,a m ) xf x I xf x I xf r 2 (x) dx (f(x) g(x)) 2 dx x I (f(x) a g (x) a g (x)... a m g m (x)) 2 dx (8.27) Como o caso dscreto,o poto de mímo é atgdo quado a a... a m ou seja, ( 2 xf m 2 f(x) a k g k (x)) g l (x) dx l m. (8.28) a l x I k Usado a defção de produto escalar de duas fuções w(x) eq(x) otervalo[x I,x F ]como <w,q> xf x I w(x) q(x) dx tem-se que,o caso em que se quer aproxmar f(x),o sstema ormal fca <g,g > < g,g >... < g,g m > a <g,g > < g,g >... < g,g m > a <g m,g > < g m,g >... < g m,g m > a m <g,f > <g,f >. <g m,f > (8.29) Exemplo 8.9 Aproxme a fução expoecal e x o tervalo [, ] por uma reta utlzado o método dos mímos quadrados. Neste caso, g(x) a + a x. Com a otação utlzada, e o produto escalar, g (x) g (x) x f(x) e x f(x) g(x) dx. Portato, determar a e a pelo método dos mímos quadrados é calcular a solução do segute sstema ormal: [ ][ ] [ ] <, > <, x> a <, e > <x, > < x, x > a <x,e x. > A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 56

12 Como tem-se <, > <, x > <x,x> <, e x > <x,e x > [ a ] a dx xdx 2 x 2 dx 3 e x dx e xe x dx [ e Asolução a 4e e a 8 6 e determaafução aproxmadora g(x) 4e + (8 6 e) x Polômos ortogoas Quado se aproxma uma fução f por uma fução g da famíla ] m a k g k (x) (8.3) k pelo método dos mímos quadrados,é ecessáro resolver um sstema lear de equações deomado sstema ormal. Se um cojuto de fuções {g k }, k,,...,m tas que <g k,g l > k l, k, l m (8.3) o sstema ormal se tora dagoal e os coefcetes a k da fução aproxmadora são determados por a k <g k,f > <g k,g k >, k m (8.32) As fuções que satsfazem a relação (8.3) são deomadas fuções ortogoas. Um polômo de grau k pode ser escrto a forma p k (x) c k x k + c k x k c x + c. Os polômos ortogoas p k (x), k,,... obedecem às segutes relações: para k l (8.33) > para k,,... (8.34) (8.35) Exemplo 8. Costrua os três prmeros polômos ortogoas com relação ao produto escalar <f,g> f(x) g(x) dx e aproxme f(x) e x o tervalo [, ] por um polômo de grau 2. Para este caso, mpoha a codção de que o coefcete do termo de mas alto grau de cada polômo seja gual a. A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 57

13 Sedo assm, p (x) x p (x) x + c x x + c p 2 (x) x 2 + d x + d x x 2 + d x + d A costate c é determada mpodo-se <p,p >,ouseja, <p,p > (x + c )dx 2 + c, Portato, como c 2, p (x) x 2. As outras duas costates, d e d são determadas fazedo-se e ,deodeseobtém p 2 (x) x 2 x + 6. Agora, utlza-se os polômos ortogoas calculados para determar o polômo desejado, de grau 2: que aproxma f(x) e x o tervalo [, ]. De (8.32) tem-se Logo, Portato, a <, ex > <, > a a 2 g(x) a p (x)+a p (x)+a 2 p 2 (x) <x 2,ex > <x 2,x 2 > a k e x dx e dx <x 2 x + 6,ex > <x 2 x + 6,x2 x + 6 > g(x) (e ) + 6 (3 e) ( e x x ) dx 2 ( x 2) 2 dx 6(3 e) ( e x x 2 x + ) dx 6 ( x 2 x + 6 ) 2 dx ( x ) ( +3(7e 9) x 2 x + ) 2 6 3(7e 9) Um exemplo mportate de uma famíla de polômos ortogoas é a dos polômos de Legedre,que obedecem à segute defção: <p,p m > p (x) p m (x) dx (8.36) se m 2 se m 2 + (8.37) A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 58

14 Usado esta defção,pode-se costrur os três prmeros polômos de Legedre: p (x), p (x) x, p 2 (x) 2 (3 x2 ) (8.38) Além desta,ada exstem outras famílas de polômos ortogoas,como os polômos de Hermte,Chebyshev,etc. Estes polômos,tabelados ou prevamete calculados,podem ser empregados para ajustar uma fução f por um polômo g de grau meor ou gual a m em um tervalo [a, b]. Supodo que se teha a dsposção uma tabela de polômos ortogoas em um tervalo [c, d], é precso fazer uma mudaça de varável t(x) αx+β para trasformar learmete f(t),defda o tervalo [a, b],em f(t(x)) F (x) defda o tervalo [c, d]. Faz-se,etão,o ajuste da fução F (x) por um polômo G(x) de grau meor ou gual a m usado os polômos tabelados. Por trasformação versa de varável, x(t) γt+ δ,obtém-se a fução aproxmadora g(t) G(x(t)). Exemplo 8. Aproxme a fução f(t) set o tervalo t π por uma parábola, utlzado os polômos de Legedre. Fazedoamudaça de varável que trasforma learmete o tervalo [,π] em [, ], tem-se t(x) π (x +) 2 Nestas codções, ( π ) f(t(x)) se t(x) se 2 (x +) F (x). Aparábola que se quer obter pelo método dos mímos quadrados é G(x)+a +a x + a 2 2 (3 x2 ) Como os polômos de Legedre são ortogoas, emprega-se (8.32) para determar os coefcetes a, a e a 2 da parábola: a <F,p > <p,p > 2 π a <F,p > <p,p > a 2 <F,p 2 > π [ 2 ] π 2 Desta forma, G(x) 2 π + π [ 2 ] π 2 2 (3 x2 ) para x [, ] Voltado para o tervalo cal [,π] através da trasformação versa, x(t) 2 π t, obtém- g(t) 2 π + [ 2 ] [ [ ] 2 2 π π π t ] se que é a f ução aproxmadora desejada. 8.8 Exercícos Exercíco 8. Utlze o método dos mímos quadrados para ecotrar a reta que melhor se ajusta aos potos da tabela. A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 59

15 x y Exercíco 8.2 Ecotre a fução expoecal que melhor se ajusta aos potos (;, 5), (; 2, 5), (2; 3, 5), (3; 5) e (4; 7, 5). Exercíco 8.3 Ecotre a parábola que melhor se ajusta aos potos ( 3; 3), (; ), (2; ) e (4; 3). Exercíco 8.4 Ecotre a hpérbole que melhor se ajusta aos potos (;, 2), (;, ), (2;, 8), (3;, 6) e (4;, 5). Exercíco 8.5 Cosdere a varação da vscosdade η em fução da temperatura: T 7, 5, 9 4, 5, 6, 8, 2, η Ecotre a melhor fução de ajustameto e determe a vscosdade para T 4 C e T 25 C. Exercíco 8.6 Admta que a veda de pexes de um determado mercado seja coforme a tabela da 5 5 úmero de pexes Determe a fução que melhor se ajusta aos dados. Exercíco 8.7 Ajuste os dados da tabela utlzado. uma fução expoecal; 2. uma fução potêca. x y, 6, 9 4, 3 7, 6 2, 6 Depos, utlze o crtéro dos mímos quadrados para determar qual das curvas, () ou(2), é melhor. Exercíco 8.8 Cosdere a cdêca de câcer, problemas cardíacos e complcações respratóras em pacetes, coforme a dade, mostrados a tabela (por ml habtates). dade cdêca problemas complcações de câcer cardíacos respratóras Idetfque as fuções que melhor se ajustam aos problemas dcados coforme a dade. Exercíco 8.9 Ecotre a costate de aceleração da gravdade g para o segute cojuto de dados: t, 2, 4, 6, 8, x, 96, 7835, 763 3, 345 4, 8975 Exercíco 8. Aproxme a fução 4 x 3 por um polômo de prmero grau, uma reta, o tervalo [x I,x F ][, ]. Exercíco 8. Repta o exemplo 8.9 utlzado os polômos ortogoas obtdos acma e verfque que o resultado obtdo éomesmo. A.L. de Bortol, C. Cardoso, M.P.G. Fach, R.D. da Cuha 6