tica Professor Renato Tião

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1 Números complexos Algumas equações do segudo grau como x + 1 = 0 ão possuem solução o uverso real e o estudo destas soluções ão pareca ecessáro até o século XVI quado o matemátco aphael Bombell publcou uma obra que dscute a resolução de equações de tercero grau. Nesta obra ecotramos a resolução da equação x = 15x+ 4 por um processo smlar ao apresetado a segur: Prmero a equação é comparada à detdade (a + b) ab(a + b) + A + B, com A = a e B = b. Faedo x = a + b, esta detdade obtemos o sstema: ab = 15. A + B = 4 De ab = 15 temos ab = 5, relação que elevada ao cubo fca: a b = 15, ou seja: AB = 15. A + B = 4 Agora basta resolver o sstema para obtermos x = A + B. A B = 15 A resolução deste sstema passa pela equação quadrátca = 0, em que a cógta represeta tato A quato B, mas esta equação apreseta dscrmate é egatvo: = 484. Até esta publcação, ehum matemátco hava se deparado com a ecessdade de terpretar a ra quadrada de um úmero egatvo. E, se ão fosse o fato de que a equação x = 15x+ 4 tem solução real x = 4, provavelmete ão teríamos crado o cojuto dos úmeros complexos. O cojuto dos úmeros complexos Em 179, uma publcação do matemátco Leoard Euler sugere o símbolo para represetar 1 e, sedo assm, uma expressão como 9 = 9 ( 1) = 1 fca represetada por. Chamamos o úmero de udade magára, e seus múltplos ão ulos como e formam um cojuto umérco deomado de cojuto dos úmeros magáros puros. O cojuto dos úmeros complexos é formado por todas as possíves adções etre úmeros reas e magáros puros: Todas as propredades artmétcas váldas em N, também são váldas em Z. Além dsso, o cojuto Z apreseta propredades cocebíves em N como, por exemplo, a regra de sal: ( = +). Esta relação etre cojutos umércos é chamada de HEANÇA. Se dos cojutos umércos A e B são tas que A B, etão B herda todas as propredades artmétcas váldas em A e apreseta ovas propredades a respeto de seus ovos elemetos, desde que estas ovas propredades ão cotrarem as propredades herdadas. Desta forma cojuto dos úmeros complexos herda todas as propredades váldas o cojuto dos úmeros reas e apreseta, detre outras propredades, úmero cujos quadrados são egatvos. Há dos mportates subcojutos de C que devem ser levados em cosderação: o cojuto dos úmeros reas e o cojuto dos úmeros magáros puros. C * a + b é úmero real b = 0 a + b é magáro puro a = 0 e b 0 Desta forma temos, por exemplo, que o úmero 4 é um complexo real, pos pode ser escrto a forma a + b, com a = 4 e b = 0, ou seja: 4 = 4 + 0, ao passo que o úmero 4 é magáro puro, pos com a = 0 e b = 4, temos que: a + b = = 4. Já o úmero é complexo, mas ão é real em magáro puro.

2 Igualdade em C Curso de lguagem matemátca Dados dos úmeros complexos em suas formas algébrcas = a + b e w = c + d temos que estes dos úmeros são guas se, e somete se, tverem a mesma parte real e a mesma parte magára. a = c = w a + b = c + d b = d Adção em C + w = ( a + b) + ( c + d ) = a + c + b + d = ( a + c) + ( b + d) Multplcação em C w = a + b c + d = ac + ad + cb + cd = ac bd + cb + ad Números Iteros de Gauss ( ) ( ) ( ) ( ) No íco do século XIX o astrôomo e matemátco Carl Fredrch Gauss publcou algus artgos que tratam dos úmeros complexos da forma a + b com a e b teros. Cohecdos hoje como teros de Gauss, estes úmeros podem ser represetados geometrcamete por uma malha quadrculada de potos coplaares como mostram as fguras a segur: Uma ve escolhdo um poto desta malha para represetar o úmero ero, temos que os quatro potos mas próxmos do poto ero represetam os úmeros 1 (à dreta), 1 (à esquerda), (acma) e (abaxo). Potêcas teras da udade magára As potêcas teras da udade magára formam um cclo com período de quatro termos, sedo eles os úmeros 1,, 1 e. Como o cojuto dos complexos herda do cojuto dos reas a propredade que d ser utára toda potêca de expoete ulo, temos que 0 = 1 e, portato: , 0 = 1, 1 =, = 1, =, 4 = 1, =, = 1, =, = 1, =, = 1, r + Assm, para tero, temos: =, em que r {0, 1,, } é o resto da dvsão de pelo úmero O plao de Wessel-Argad-Gauss No século XVI, matemátcos como afael Bombell, efretaram a ecessdade da terpretação de raíes quadradas de úmeros egatvos. Dos séculos depos, estes estudos foram amplados por Wessel, Argad e Gauss que hoje são cosderados os cradores da teora dos úmeros complexos. Parte da evolução desta teora deve-se à represetação cartesaa dos úmeros complexos proposta, em 1797, pelo topógrafo orueguês Gaspar Wessel, e posterormete por obert Argad em 1806, mas fo um trabalho publcado por Gauss, em 181, que realmete dfudu a déa do plao complexo. Trata-se de uma adaptação do plao cartesao tradcoal, a qual o exo das abscssas cotua represetado o cojuto dos úmeros reas equato o exo das ordeadas, com exceção da orgem, passa a represetar o cojuto dos magáros puros. Assm, um úmero complexo = a + b passa a ser represetado, o plao complexo, por seu afxo: o par ordeado ( a;b) Cclo das potêcas teras da udade magára

3 A prmera, das fguras a segur, apreseta um úmero complexo o segudo quadrate, ou seja, com parte real egatva (a<0) e parte magára postva (b>0); a seguda fgura apreseta o vetor Z assocado, e a tercera fgura destaca o módulo e o argumeto desse vetor. O módulo de um úmero complexo ão ulo = a + b é o úmero real postvo que represeta o tamaho do vetor Z, e pode ser obtdo como a medda da dagoal do retâgulo de lados a e b a seguda fgura, aplcado-se o teorema de Ptágoras: a b = a + b = a + b. Uma ve que a = e() e b = Im() são úmeros reas, temos que seus quadrados são postvos, sedo etão desecessáro dcá-los em módulo detro do radcal. Desta forma temos que: = e() + Im() O argumeto de um úmero complexo é a medda, em graus ou radaos, de um arco trgoométrco determado pelo vetor assocado ao úmero complexo e o sem-exo dos úmeros reas postvos. Como o modelo trgoométrco admte a exstêca de dversos arcos côgruos chamamos de argumeto prcpal ao arco de meor valor postvo. Assm, temos que os arcos de 40º, 10º e 480º podem, por exemplo, ser argumetos de um mesmo úmero complexo e, este caso, seu argumeto prcpal será gual a 10º. As relações etre o módulo de um úmero complexo, suas partes real e magára, e seu argumeto prcpal θ são expressas por: Im() seθ = Im( ) = seθ e() ( ) θ = Arg cosθ = e( ) = cosθ Im() tgθ = e() O par ordeado (, θ), formado pelo módulo de um complexo e um de seus argumetos, apreseta o que chamamos de coordeadas polares do complexo. As coordeadas polares de um úmero complexo são usadas para represetá-lo em sua forma trgoométrca: ( ) = cosθ+ seθ Fórmulas de Movre Cosdere dos úmeros complexos Z e W cujas partes reas são respectvamete a e c, as partes magaras são respectvamete b e d e cujos argumetos são respectvamete α e β. Assm podemos represetar esses úmeros de dversas formas: Z = a + b = ( a ; b ) = Z ( cos α + se α) = Z cs( α) = ( Z ; α ) W = c + d = ( c ; d ) = W ( cosβ + se β) = W cs( β) = ( W ; β ) Forma algébrca Coordeadas cartesaas (Afxo) Z a Forma trgoométrca Forma trgoométrca abrevada Coordeadas polares Para efetuar a adção e a subtração etre estes dos úmeros complexos recomeda-se o uso da forma algébrca. Multplcações e dvsões podem ser efetuadas com efcêca tato a forma algébrca quato as formas trgoométrcas ou a forma polar. Já a potecação e a radcação são efetuadas com mas efcêca pelas formas trgoométrcas ou pela forma polar. b θ = Arg()

4 Para obter o produto etre dos úmeros complexos Z e W, a formas trgoométrcas ou a forma polar, basta multplcarmos os módulos e somarmos seus argumetos: ( ) ( ) Z W = Z W cos α + β + se α + β ( Z ; α) ( W ; β ) = ( Z W ; α + β ) Para obter o quocete etre os úmeros complexos Z e W 0, a formas trgoométrcas ou a forma polar, basta dvdrmos seus módulos e subtrarmos seus argumetos: Z W = Z cos( ) se ( ) W α β + α β ( ) ( W ; ) Z ; α Z = ; α β β W Para obter a -ésma potêca de um úmero complexos Z, a formas trgoométrcas ou a forma polar, basta elevarmos seu módulo à -ésma potêca e multplcarmos por o seu argumeto: ( ) ( ) Z = Z cos α + se α ( ) Z ; α = ( Z ; α ) Agora, para resolver equações evolvedo úmeros complexos expressos as formas trgoométrcas ou a forma polar, devemos atetar ao fato de que um mesmo úmero complexo pode ser apresetado por dversos argumetos dferetes. Por exemplo, se Z é um úmero magáro puro como, etão seu módulo é gual a mas seu argumeto pode ser expresso tato por 90º como por 70º ou 60º. Assm, a forma polar, temos que: (, 90º) = (, 70º) = (, 60º) Quado escrtos uma da formas trgoométrcas ou a forma polar, os úmeros complexos obedecem às segutes propredades: Z é real α = k π, com k Z π Z é magáro puro α = + k π, com k Z Exercícos: 1. esolver em C a equação x x + 5 = 0.. Sedo = 4 e w = + determe: a) + w b) w c) w d) e) w w f) w Z = W Z = W α = β + k π, com k Z Fuvest. Sabedo que α é um úmero real e que a parte magára do úmero complexo etão α é: + α + é ero, A) 4 B) C) 1 D) E) 4 4. Sedo Z o úmero complexo que satsfa à equação Z + 4Z = em que é a udade magára e Z dca o cojugado do úmero Z, etão o produto gual a: A) B) 4 C) 8 D) 16 E) Z Z é

5 5. Sedo a udade magára, calcule o valor da expressão E = Cosdere a fução p(x) = x 81 e faça o que se pede em cada um dos tes a segur: a) Decompoha p(x) em fatores de prmero grau. b) esolva à equação p(x) = 0 o uverso dos úmeros complexos. c) epresete, o plao complexo, cada uma das soluções ecotradas, escreva suas coordeadas polares e suas respectvas formas trgoométrcas. 8. No plao complexo, os vértces A e B de um quadrado ABCD são respectvamete represetados pelos afxos dos úmeros complexos = 0 e w = 4 +. Sabedo que o vértce D pertece ao segudo quadrate pode-se coclur que o vértce C é represetado pelo afxo do úmero A) 7 + B) C) + 6 D) 6 + E) + 9 Ufesp. Os úmeros complexos 1, = e = a + a, ode a é um úmero real postvo, represetam o plao complexo vértces de um trâgulo eqülátero. Dado que 1 =, o valor de a é A) B) 1 C) D) E) 1 d) Calcule a área do polígoo cujos vértces são os afxos das soluções da equação p(x) = 0. 7 Ufesp. Quatro úmeros complexos represetam, o plao complexo, vértces de um paralelogramo. Três dos úmeros são 1 =, 5 = 1 e = 1+. O quarto úmero tem as partes real e magára postvas. Esse úmero é: A) + 11 B) + C) D) + E) FGV. Um poto do plao cartesao pode ser descrto pelas suas coordeadas retagulares ( x, y ) ou pelas suas coordeadas polares ( r, θ ), sedo r a dstâca etre o poto e a orgem do sstema e θ a medda, em radaos, do arco que o exo x descreve o setdo at-horáro, até ecotrar OP. Em geral, 0 θ < π. As relações utladas para que se passe de um sstema de coordeadas a outro são as segutes: y x y r = x + y ; seθ = ; cosθ = ; tgθ = r r x As coordeadas polares do poto P(1,1) são: A) (, π ) π B), π C), 4 π D), 4 π E),

6 11. Sedo Z = 1 + e W = +, calcule: a) Z + W = b) Z W = 1. Escreva os úmeros Z e W do exercíco ateror a forma trgoométrca. 16 Fuvest. A fgura represeta o úmero 1+ w = o plao complexo, sedo = 1 a udade magára. w 1. Utlado as formas trgoométrcas dos úmeros complexos Z e W obtdas o exercíco ateror, determe os valores de: a) Z W = Nestas codções, determe: a) as partes real e magára dos úmeros 1 w e w. 1 b) Z W = c) Z + W = 5 b) a represetação dos úmeros 1 w e w a fgura. 14 Uesp. Cosdere o úmero complexo π π = cos + se. O valor de 6 6 A) B) 1 + C) D) E) é: c) as raíes complexas da equação 1 = Uesp. As soluções da equação é um úmero complexo e = 1, são: 1 =, ode 15. Determe o meor tero postvo para o qual 1 + seja real. A) B) C) D) E) 1 = ± + ou =. 1 = ± ou =. 1 = ± + ou =. 1 = ± ou =. 1 = ± ou =.