2-Geometria da Programação Linear

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1 I 88 Otmzação Lear -Geometra da Programação Lear ProfFeradoGomde DC-FEEC-Ucamp

2 Coteúdo. Poledros e cojutos coveos. Potos etremos vértces soluções báscas factíves 3. Poledros a forma padrão 4. Degeeração 5. Estêca de potos etremos 6. Otmaldade de potos etremos 7. Represetação de poledros lmtados 8. Projeções de poledros: elmação de Fourer-Motzk DC-FEEC-Ucamp

3 -Poledros e cojutos coveos Defção. Um poledro é um cojuto que pode ser descrto por { R b} é uma matrz (m ) b um vetor do R m. Restrções de gualdade = b (forma padrão) é um poledro Defção. Um cojuto S R é lmtado se este uma costate K tal que o valor absoluto de toda compoete de todo elemeto de S é meor que ou gual a K. Defção.3 Seja a um vetor do R e b um escalar. (a) (b) O cojuto { R a' = b} é um hperplao. O cojuto { R a' b} é um semespaço. Um poledro é a terseção de um úmero fto de semespaços 3 DC-FEEC-Ucamp

4 a 3 ' = b 3 a ' = b H a 3 a a' < b a 4 S a 4 ' = b 4 a a 5 a ' = b S a' > b a 5 ' = b 5 a' = b a a H Poledro P = { R a ' b = 5} a H = { R a ' = b } Hperplao H e dos semespaços S e S 4 DC-FEEC-Ucamp

5 Defção.4 Um cojuto S R é coveo se para qualquer y S e qualquer λ [] temos λ + ( λ) y S. y S y Q coveo ão coveo coveo?? 5 DC-FEEC-Ucamp

6 Defção.5 Sejam k vetores em R e λ.. λ k escalares ão egatvos cuja soma é a udade. k (a) O vetor λ é a combação covea de k (b) evoltóra = covea (cove hull) dos vetores k é o cojuto de todas as combações coveas destes vetores evoltóra covea de k 6 DC-FEEC-Ucamp

7 Teorema. (a) (b) (c) (d) Iterseção de cojuto coveos é covea. Poledros são cojutos coveos. Combação covea de um úmero fto de elemetos de um cojuto coveo pertece a este mesmo cojuto Evoltóra covea de um úmero fto de vetores é um cojuto coveo. Prova : (a)sejam S Seja λ []. Como cada S λ + ( λ) y S I cojutos coveos e supoha que y I à terseção dos cojutos S é coveo e cotém e y temos o que mostra que este poto também pertece. PortatoI I S é coveo. I S. (bcd) EPC. 7 DC-FEEC-Ucamp

8 -Potos etremos vértces soluções báscas factíves Defção.6 Seja P um poledro. Um vetor P é um poto etremo de P se ão podemos ecotrar dos vetores y z P dferetes de e um escalar λ [] tal que = λy + ( λ) z. v w u P y z 8 DC-FEEC-Ucamp

9 Defção.7 Seja P um poledro. Um vetor P é um vértce de P se este algum c tal que c < c y para todo y satsfaz y P e y. w {y c y =c w} P c c {y c y =c } 9 DC-FEEC-Ucamp

10 DC-FEEC-Ucamp escalares 3 b M b M b M b R = a a a a Poledro defdo pelas segutes restrções de desgualdade e gualdade Defção.8 Se um vetor * satsfaz a * = b para algum M M M 3 etão a restrção correspodete está atva em *. 3 B C D P E

11 Teorema. Seja * um elemeto do R e I = { a * = b } o cojuto de ídces das restrções atvas. s segutes afrmações são equvaletes: (a) (b) (c) Estem vetores o cojuto {a I } que são LI. O espaço gerado pelos vetores a I é o R sto é todo elemeto do R pode ser epresso como uma combação lear dos vetores a I. O sstema de equações a = b I possu solução úca. DC-FEEC-Ucamp

12 Prova : ( ) Supoha que vetores a tem dmesão dm e são LI (Teorema. 3). ( spa({ a I gerem o R. Etão o espaço gerado por a I I})) = e destes vetores formam uma base R ( ) Supoha que dos vetores a vetores tem do R dm( spa{ a I}) = e deve ser gual ao R é uma combação lear dos vetores a I sejam LI.O subespaço gerado por estes. Logo todo elemeto I. (equvalêca (a) e (b)). Equvalêca etre (bc) EPC. a learmete depedetes restrções correspodetes são LI Teorema.(a): temos restrções LI atvas em *. DC-FEEC-Ucamp

13 Defção.9 Cosdere um poledro P defdo por restrções de gualdade e desgualdade e seja * um elemeto de R. (a) O vetor * é uma solução básca se () todas as restrções de gualdade estão atvas () etre as restrções que estão atvas em * delas são LI (b) Se * é uma solução básca que satsfaz todas as restrções etão ela é uma solução básca factível. E B D C F 3 DC-FEEC-Ucamp

14 Teorema.3 Seja P um poledro ão vazo e * P. s segutes afrmações são equvaletes: (a) (b) (c) * é um vértce. * é um poto etremo. * é uma solução básca factível. Prova :ssume P represetado por Vértce Poto etremo.supoha que * P é um vértce. Defção.7 c R Se y P z P y * z * c * < c z * mplca que c * < c ( λy + ( λ) z). Portato λy + ( λ) z a b tal que c * < c y y P y *. e λ etão c * < c y e e ão pode ser represetado por uma combação covea de dos outros elemetos de P. Logo * é poto etremo. e a = b. Poto etremo solução básca factível EPC Solução básca factível vértce EPC 4 DC-FEEC-Ucamp

15 Coroláro. Dado um úmero fto de restrções desgualdade leares este somete um úmero fto de soluções báscas ou soluções báscas factíves. Prova : Cosderar m restrções leares de desgualdade mpostas a R Estem restrções atvas learmete depetes em todas as soluções báscas. restrções atvas learmete depetes Logo soluções báscas dsttas correspodem a gualdade learmete depedetes dsttos úmero de soluções báscas tem um lmte superor que é o úmero de combações que podemos escolher restrçoes o total de m. defem um úco poto. cojutos de restrções de. OBS: úmero fto mas pode ser muto grade! Eemplo: cubo utáro { R = K} restrções soluções báscas factíves. 5 DC-FEEC-Ucamp

16 soluções báscas adjacetes: duas soluções báscas dsttas de um cojuto de restrções leares o R são adjacetes se podemos ecotrar restrções learmete depedetes que estão atvas em ambas. D E F D e E são adjacetes a B e C são adjacetes a D B C Se duas soluções báscas adjacetes também são factíves etão o segmeto de reta que as coecta e chamado de uma aresta do cojuto de soluções factíves. Eemplo: DE DC etc. 6 DC-FEEC-Ucamp

17 3-Poledros a forma padrão Poledro { R = b } matrz (m ) b vetor do R m. Hpótese: m lhas de são LI m (LD redudâca) Soluções báscas restrções atvas LI em todas elas Soluções báscas satsfazem = b m restrções atvas Para obter restrções atvas LI ( m) das varáves = ( atvas) Escolha das ( m) varáves ão pode ser arbtrára 7 DC-FEEC-Ucamp

18 Teorema.4 Cosdere as restrções = b e e assuma que a matrz (m ) tem lhas learmete depedetes. Um vetor R é uma solução básca se e somete se = b e estem ídces B() B(m) tas que (a) s coluas B() B(m) são learmete depedetes (b) Se B() B(m) etão =. Prova : ( ) Cosdere R (a) e (b). as restrções atvas m = B( ) B( ) = = Comoas coluas B( ) e supoha que estem dces B()... B( m) que satsfaçam = = b = K = e = b mplcam que são LI B( m) são úcamete determados. Logo o sstema de equações formado pelas restrções atvas possu solução úca. Pelo Teorema. estem restrções atvas LI e sso sgfca que é uma solução básca. ( ) EPC B() K 8 DC-FEEC-Ucamp

19 Procedmeto para costrução de soluções báscas.. 3. Escolher m coluas LI Seja = para todo B() K.B( m ). cujas cógtas são B() B() K K B( m) B( m) Resolver o sstema de m equações = b.. solução é ão egatva solução básca factível solução básca e factível pode ser obtda pelo procedmeto (a) Se é uma solução básca (b) B() K B( m) B() K varáves restates: varáves ão báscas coluas báscas base B( m) para or varáves m báscas. 9 DC-FEEC-Ucamp

20 DC-FEEC-Ucamp [ ] factível ão básca 6) ( báscas: factível básca 6) 4 8 ( báscas: ) ( básca matrz ) ( () ) ( () () m m B m B B B m B B B = = = = = = = B b B B M L

21 Iterpretação geométrca 3 b 4 = DC-FEEC-Ucamp

22 DC-FEEC-Ucamp. soluções báscas dferetes correspodem a bases dferetes. bases dferetes podem prover a mesma solução básca Eemplos: b = e soluções degeeradas 3. Soluções báscas adjacetes bases adjacetes Forma padrão: matrzes báscas possuem as mesmas coluas eceto uma comum em atvas LI restções ses 7 6) ( : 6) 4 8 ( : e = = = =

23 Hpótese ρ () posto pleo ( full rak) Teorema.5 Seja um poledro P = { R = b } ão vazo e uma matrz (m ) cujas lhas são a..a m. Supoha que ρ () = k < m e que as lhas a K a sejam learmete depedetes. Cosdere o poledro k Q = { a = b K a = b } k k Etão Q = P. Prova : (a) P Q pos qualquer elemeto de (b) Q P EPC P satsfaz as restrções que defem Q. 3 DC-FEEC-Ucamp

24 Soluções degeeradas Defção. Uma solução básca R é degeerada se o úmero de restrções atvas em é maor do que. B D P C E 4 DC-FEEC-Ucamp

25 Pequeas mudaças as restrções de desgualdade podem evtar soluções degeeradas P P 5 DC-FEEC-Ucamp

26 Soluções degeeradas a forma padrão Defção. Cosdere um poledro a forma padrão P = { R = b } e seja uma solução básca. Seja m o úmero de lhas de. O vetor é uma solução básca degeerada se o úmero de compoetes ulas de é maor do que ( m). 4 = P 5 = B = 6 m = 4 ( m) = 3 = = = 6 = ão degeerada B degeerada 6 DC-FEEC-Ucamp

27 Degeeração ão é uma propredade geométrca sto é ão é depedete da represetação 3 P = { ( 3 ) = = 3 > } P a forma padrão ( ) ( ) ão degeerada ( ) degeerada ( ) P = { ( 3 ) = = 3 > } P = forma ão padrão = 3 m = ( m) = ( ) ão degeerada ( ) ão degeerada 7 DC-FEEC-Ucamp

28 5-Estêca de potos etremos Defção. Um poledro P R cotém uma lha (reta) se este um vetor P e um vetor d R tal que + λd P para todo escalar λ. P Q Não cotém uma reta Possu potos etremos Cotém uma reta Não possu potos etremos 8 DC-FEEC-Ucamp

29 Teorema.6 Cosdere um poledro P = { R a b = m} ão vazo. s segutes afrmações são equvaletes: (a) (b) (c) O poledro P possu o mímo um poto etremo O poledro P ão cotém uma lha reta Etre os m vetores a a m estem deles que são LI. Prova: (a) (b) P I = { a = b } + λ * d Se a LI é solução factível básca por defção. Seão a I estão em um subespaço própo do R e este um vetor d tal que a d = I. y = + λd a y todas restrções atvas ao logo da reta y = + λd até λ = λ *. = a + λa d = b 9 DC-FEEC-Ucamp

30 (b) (a) Se P tem um poto etremo é solução factível básca (Teor..3) e estem restrções que estão atvas em com os respectvos vetores a LI. (c) (b) EPC Coroláro. Todo poledro ão vazo e lmtado e todo poledro a forma padrão possu o mímo uma solução básca factível. Prova: Poledro lmtado ão cotém uma reta. Foma padrão está o prmero quadrate { } e este ão cotém uma reta. 3 DC-FEEC-Ucamp

31 6-Otmaldade de potos etremos Teorema.7 Cosdere um problema de programação lear de mmzar c sobre um poledro P. Supoha que P teha o mímo um poto etremo e que esta uma solução ótma. Etão este uma solução ótma que é um poto etremo de P. Prova: Seja Q cojuto de todas as soluções ótmas. Seja P = Q = { R { R b} e v o valor ótmo de c. b c = v} é um poledro. P Q P e P ão cotém uma reta (Teor..6) logo Q também ão cotém uma reta e possu um poto etremo. Q * 3 DC-FEEC-Ucamp

32 Seja * poto etremo de Q. Vamos mostrar que * também é poto etremo de P Se * ão époto etremo de P etão y z P y z * λ [] * = λy + ( λ) z v = c * = λc y + ( λ) c z. Como v é o valor ótmo c y v e c z v. Logo c y = c z = v e y Q e z Q o que cotradz o fato de * é poto etremo de P. lém dsso como* Q * é umasolução ótma. 3 DC-FEEC-Ucamp

33 Teorema.8 Cosdere um problema de programação lear de mmzar c sobre um poledro P. Supoha que P teha o mímo um poto etremo. Etão ou o valor da fução objetvo é ou este um poto etremo que é a solução ótma. Prova: EPC Coroláro.3 Cosdere um problema de programação lear de mmzar c sobre um poledro ão vazo. Etão ou o valor da fução objetvo é ou este uma solução ótma. 33 DC-FEEC-Ucamp

34 7-Represetação de poledros lmtados Poledros: represetados por desgualdades Poledros: evoltóra covea de seus potos etremos Teorema.9 Um poledro ão vazo e lmtado é a evoltóra covea de seus potos etremos. Prova: EPC y z P u Q a = b * * 34 DC-FEEC-Ucamp

35 8-Projeção de poledros e elmação F-M = ( K ) R k 3 S Projeção : π k ( ) = π k ( K ) = ( K k ) Π k ( S) = { π k ( ) S} S φ Π k ( S) φ Π (S) Verfcar P R φ Π ( P) K Π ( P) Π (S) Dado P = { R j= a j b = Km} elmar e costrur Π ( P) 35 DC-FEEC-Ucamp

36 lgortmo de elmação Fourer-Motzk -Reescrever cada restrção Σ j= a j j b j a forma a a j= j j + b = Km se a dvdr ambos lados por a. Fazedo = ( - ) obtemos uma represetação de P evolvedo as segutes restrções d j d d k j + f + f k + f se se se a a a j j > < = d d j d k escalares f f j f k R - -Seja Q o poledro o R - defdo pelas restções d j d + f d k j + f k + f se se a a j > e = a j < 36 DC-FEEC-Ucamp

37 37 Eemplo algortmo de elmação reescrevedo ) ( 3) ( ) ( ) ( / / / / + + Poledro Q em R 3) ( 5 ) ( ) ( 5 3) ( 4) ( ) ( ) ( 4) ( / / / / / / / / DC-FEEC-Ucamp

38 Teorema. O poledro Q costruído pelo algortmo de elmação é gual à projeção Π - (P) de P. Coroláro.4 Seja P R +k um poledro. Etão o cojuto { R este y R k tal que (y) P} também é um poledro. Coroláro.5 Seja P R +k um poledro e uma matrz (m ). Etão o cojuto Q = { P} também é um poledro. Coroláro.6 evoltóra covea de um úmero fto de vetores é um poledro. 38 DC-FEEC-Ucamp

39 Observação Este materal refere-se às otas de aula do curso I 88 Otmzação Lear da Faculdade de Egehara Elétrca e de Computação da Ucamp. Não substtu o lvro teto as referêcas recomedadas e em as aulas epostvas. Este materal ão pode ser reproduzdo sem autorzação préva dos autores. Quado autorzado seu uso é eclusvo para atvdades de eso e pesqusa em sttuções sem fs lucratvos. 39 DC-FEEC-Ucamp