4 O Método de Análise Hierárquica

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1 4 O Método de Aálse Herárquca 4.. Itrodução O método de aálse herárquca é um dos métodos multatrbuto mas utlzados e dfuddos o mercado mudal (Gomes, 007). Isso se deve, provavelmete, a duas razões. A prmera é o seu poersmo. Fo desevolvdo em meados da década de 970 pelo pesqusador amercao Thomas L. Saaty, quado se começava a abordar problemas complexos sob a vsão de múltplos crtéros smultâeos. Não hava, a época, mutas abordages desse tpo. A seguda é o seu caráter smples e tutvo. Ao cohecer as suas premssas, rapdamete o usuáro começa a utlzá-lo, estruturado crtéros, atrbudo valores e selecoado alteratvas. Em glês esse método é cohecdo como Aalytc Herarchy Process sedo muto usada a sua sgla de referêca AHP. A déa básca do AHP é que um problema decsóro pode ser estruturado de maera herárquca, ode o topo da herarqua cotém a sua descrção geral e os íves mas abaxo estão os crtéros (ou atrbutos) que são levados em cosderação para a abordagem. Esses crtéros poderão ser subdvddos em subcrtéros e assm sucessvamete. No últmo ível da estrutura herárquca serão ecotradas as alteratvas cosderadas a aálse. O sgfcado do poscoameto das alteratvas a base é que cada uma dessas alteratvas passará a ser aalsada dvdualmete, somete sob a óptca desses subcrtéros (ou crtéros) as últmas ramfcações da estrutura. Assm, será como se um problema decsóro complexo fosse subdvddo em problemas meores que serão abordados separadamete, para depos serem agregados e assm chegar a solução fal para o problema complexo maor. A fgura 4. lustra a estrutura herárquca descrta este parágrafo. Na lteratura também é

2 4. O Método de Aálse Herárquca 40 possível ecotrar a deomação Árvore de Crtéros como sômo para Estrutura Herárquca. PROBLEMA DECISÓRIO CRITÉRIO CRITÉRIO CRITÉRIO CRITÉRIO ALTERNATIVA SUBCRITÉRIO SUBCRITÉRIO ALTERNATIVA ALTERNATIVA ALTERNATIVA ALTERNATIVA ALTERNATIVA Fgura 4.: Modelo de estrutura herárquca do AHP (Passos, 00) Após a defção dos crtéros que serão utlzados, a aálse do problema por partes pode ser feta de váras formas. Uma delas é etregado aspectos específcos para especalstas em determados assutos, que avalarão sua área com mas propredade. Como exemplo hpotétco, em um problema de seleção de proetos de Exploração e Produção de petróleo, aspectos téccos serão bem avalados somete por egeheros que coheçam o assuto. Aspectos faceros serão bem avalados somete por pessoas que coheçam o assuto e sabam aalsar o mercado para quatfcar proeções de recetas futuras e cofrotar com os vestmetos assocados. Somete depos dsso será possível defr a sua vabldade ecoômca. Nas seções segutes serão aalsados os detalhes do método tomado como referêca o processo decsóro proposto a seção.3. Para facltar o etedmeto do método há um estudo de caso o fal deste texto ode são selecoadas tecologas de comucações para o Exércto Braslero (Rbero et al, 009). Essa aplcação está detalhada o ANEXO B.

3 4. O Método de Aálse Herárquca Estruturação do modelo O processo decsóro proposto o capítulo sugere que a prmera atvdade a ser realzada é a determação dos tomadores de decsão (ou decsores) e aalstas de decsão. A seguda atvdade é a aálse detalhada do problema. Ambas ão possuem aspectos específcos detro do AHP. A modelagem utlzado o AHP pode ser feta de duas maeras báscas. Na prmera defe-se o problema decsóro e partdo desse problema geral complexo haverá a segmetação os crtéros que devem ser levados em cosderação para tomar a decsão, coforme descrto a seção ateror. Na seguda maera, o tomador de decsão ca a abordagem detfcado as dversas alteratvas dspoíves para escolha ou ordeação. Somete depos dsso pesa-se a estruturação da árvore de crtéros. Vale ressaltar que em algus tpos de problemas é vável car a modelagem da seguda maera devdo ao grade úmero de alteratvas dspoíves. Um exemplo possível é o problema de seleção de caddatos a vagas de emprego. Esse é um típco problema multatrbuto e, geralmete, a quatdade de pessoas dspoíves para a vaga é muto grade e, a maora das vezes descohecda. Resta, portato, defr dretamete o couto de crtéros a serem cosderados o processo de seleção. Sob a vsão do processo decsóro é como se fosse possível optar pela fase 3 (determação das alteratvas) ou fase 4 (defção dos crtéros relevates) depos de ter termado a fase (aálse do problema). É mportate destacar que as premssas geras defdas o capítulo valerão e serão utlzadas aqu, a costrução do modelo. Assm, as cco característcas do couto de crtéros descrtas por Keeey e Haffa (976) deverão ser levadas em cosderação.

4 4. O Método de Aálse Herárquca Coleta de dados sobre os crtéros Após defr a estrutura herárquca para o problema decsóro, o passo segute é a atrbução de valores relatvos para os crtéros. A faldade dessa etapa é defr o quato um crtéro é mas mportate que o outro detro de toda a abordagem. Para defr esses valores, Saaty sugere que seam fetas dversas aálses partáras (ou por pares) ode os crtéros são comparados etre s dos a dos. Esse procedmeto é defeddo pelo autor do AHP, pos ele o cosdera tutvo. Esses ulgametos são armazeados em uma matrz quadrada chamada matrz de comparações partáras. A tabela 4. lustra uma matrz de comparações partáras geérca. Crtéros Crt... Crt p... Crt m Crt... a p... a m Crt p a p... a pm Crt m a m... a mp... Tabela 4.: Matrz de comparações partáras Para preecher essa matrz é utlzada uma escala cohecda como Escala Fudametal de Saaty. Essa escala possu váras característcas a serem destacadas. A prmera é que ela relacoa valores umércos com valores verbas. Assm haverá correspodêca dreta etre os úmeros e expressões detro de suas lhas. Outra característca otável é que seus valores varam de até 9. Uma das bases cocetuas para ustfcar esse valor está assocada à lmtação humaa para dstgur íves de tesdade os dversos setdos: audção, olfato, paladar etc. Essas característcas foram descrtas por Mller (956) e usada por Saaty como subsído para crar essa escala. Outra característca mportate assocada a esse ulgameto é que depedete do tpo de crtéro usado (quattatvo ou qualtatvo/subetvo) a escala é aplcável. Como exemplo,

5 4. O Método de Aálse Herárquca 43 se a avalação de um automóvel dos dos crtéros em questão forem coforto tero e cosumo de combustível, para ambos deve-se usar os valores da tabela. Outro aspecto a ser destacado é que ela está sedo defda uma escala de razões. Assm, os seus valores ao serem preechdos a matrz de comparações partáras represetarão o quato que um crtéro é mas atraete que o outro. Isso quer dzer que a atrbução do valor 3 dca que um crtéro possu mportâca moderada sobre o outro e que um crtéro é três vezes mas mportate que o outro. Essa escala está lustrada a tabela 4.. ESCALA NUMÉRICA ,4,6,8 ESCALA VERBAL Mesma mportâca Importâca moderada de um sobre o outro Importâca essecal ou forte Importâca muto forte Importâca extrema Valores termedáros Tabela 4.: Escala fudametal de Saaty Uma característca a ressaltar a matrz de comparações partáras é que ela possu um tpo de smetra em relação à sua dagoal prcpal, da segute forma: ambos os elemetos tratam do ulgameto etre os mesmos crtéros, etretato um ulgameto é o verso do outro dcado a = /a. Isso sgfca que se o valor a = 5, tem-se que o crtéro é 5 vezes mas mportate que o crtéro ou que o crtéro possu mportâca essecal ou forte quado comparado ao crtéro. Já o elemeto smétrco a = /5 dcará que o crtéro possu um quto da A razão para sso é que em mutas vezes a relação exstete etre a satsfação assocada a um veículo que cosome meos e os valores umércos de cosumo ão é lear. E aturalmete, será mas adequado levar em cosderação as preferêca, de fato, do tomador de decsão, que estão mplíctas a escala fudametal.

6 4. O Método de Aálse Herárquca 44 mportâca do crtéro ou, da mesma forma, que o crtéro possu mportâca essecal ou forte quado comparado ao crtéro. Após preecher a matrz de comparações partáras deverá ser obtdo o vetor de pesos assocado a essa matrz. Cada compoete desse vetor dcará a mportâca relatva de cada crtéro quado comparado aos outros. Esse vetor pode ser obtdo de váras formas. Aqu sugermos que ele sea calculado da segute maera: a. Calcular a méda artmétca de cada lha da matrz de comparações partáras. Observar que cada lha estará assocada a um crtéro e a uma compoete do vetor de pesos. b. Normalzar as compoetes dvddo seus valores pela soma de todas as compoetes. Com sso, os valores dos pesos dos crtéros estarão etre 0 e e sua soma será gual a. Crtéro Crtéro Crtéro 3 Crtéro 4 Crtéro 5 Crtéro Crtéro Crtéro 3 /5 /3 5 3 Crtéro 4 /7 /7 /5 /5 Crtéro 5 /5 /3 /3 5 Tabela 4.3: Exemplo geérco de matrz de comparações partáras (adaptado de Kuchler, 009) A tabela 4.3 lustra um exemplo de matrz de comparações partáras preechda utlzado a escala fudametal de Saaty. A tabela 4.4 mostra o vetor de pesos assocado a essa matrz. Crtéro Crtéro 0.58 Crtéro Crtéro

7 4. O Método de Aálse Herárquca 45 Crtéro Tabela 4.4: Vetor de pesos assocado à tabela Avalação das alteratvas em relação aos crtéros Após a defção da mportâca relatva etre os crtéros o próxmo passo o processo decsóro proposto é avalar as alteratvas em relação aos crtéros. No AHP sso pode ser feto de duas maeras dsttas assm deomadas: medção relatva ou medção absoluta. A avalação com medção relatva é muto semelhate ao que fo descrto a seção ateror para a potuação relatva dos crtéros. Nela as dversas alteratvas dspoíves são aalsadas sob a vsão de cada crtéro dvdualmete. Assm, para um crtéro geérco todas as alteratvas cosderadas para o problema decsóro são comparadas duas a duas com a escala fudametal de Saaty. Esses ulgametos são cosoldados em uma matrz de comparações partáras. De forma aáloga à seção ateror é defdo um vetor de pesos para essa matrz. Esse vetor de pesos dca o quato uma alteratva é boa quado comparada às outras sob a vsão do crtéro. Esse procedmeto ão é utlzado essa dssertação. Para mas detalhes é sugerda a cosulta a Saaty (006), detalhado as referêcas. Quado a quatdade de alteratvas o problema é muto grade fazer a medção relatva pode ser vável devdo a grade quatdade de ulgametos ecessára para preecher as matrzes de comparações partáras. Fazer a medção absoluta resolve (ou reduz) esse problema. A medção absoluta cosste em assocar potuações absolutas a cada uma das alteratvas através de uma escala prevamete defda pelo decsor. Essa escala pode ser costruída de váras maeras. Saaty Para uma matrz de comparações partáras de ordem, ão sedo ulgados os valores da dagoal prcpal (sempre gual a ) e os valores abaxo dessa dagoal (devdo à smetra dos ulgametos e a = /a ) a quatdade total de ulgametos a ser serda em cada matrz é ( -)/. Para um problema que possua, por exemplo, 0 alteratvas serão ecessáros 90 ulgametos para completar cada matrz de comparações partáras assocada a um crtéro. Preecher uma matrz dessa forma pode levar a erros por fadga.

8 4. O Método de Aálse Herárquca 46 (opus ct.) sugere que seam assocados valores quattatvos a uma escala de ulgametos subetvos coforme o exemplo a segur. Em Kuchler (009) fo apresetado um problema de detfcação de áreas propesas à ocupação em reserva ambetal. Para lustrar a utlzação da medção absoluta será usado um dos crtéros cosderados aquele problema decsóro, que é o crtéro uso do solo. Na reserva ambetal foram detfcadas algus tpos de uso do solo: solo exposto, mata, mata desa, gramíeas e aflorameto rochoso. A quatdade de regões a serem potuadas sob a vsão do crtéro uso do solo era muto grade. Por sso foram assocados a cada um dos tpos de uso do solo valores umércos. Essa assocação é feta através da matrz de comparações partáras coforme descrto a tabela 4.5. Solo Exposto Mata Mata Desa Aflorameto Gramíeas Solo Exposto Mata /5 3 3 /5 Mata Desa /9 /3 / /9 Aflorameto /9 /3 /9 Gramíeas Tabela 4.5: Julgametos das classes de usos do solo em Kuchler (009) Após estabelecer esses ulgametos busca-se obter uma escala umérca de maera semelhate ao exemplo de medção relatva: a. Calcula-se a méda artmétca das lhas da matrz; b. Dvde-se cada um dos valores obtdos o tem a) pelo maor dos valores. Com sso são obtdos valores etre 0 e, mas sem a déa mportâca relatva etre eles. A escala fal obtda está descrta a tabela 4.6. Solo Exposto Mata 0,3

9 4. O Método de Aálse Herárquca 47 Mata Desa 0,08 Aflorameto 0,4 Gramíeas Tabela 4.6: Escala de valores para o crtéro uso do solo, em Kuchler (009) Com sso, sempre que for ecotrada uma regão (alteratva) com aflorameto rochoso, p.ex., será assocado a ela o valor 0,4. Em regões com gramíeas será assocado a elas o valor. Em ambos os procedmetos para potuar as alteratvas em relação aos crtéros (medção relatva e medção absoluta) é obtdo ao fal um vetor de potuações que armazea os ulgametos que foram efetuados para cada alteratva em relação ao crtéro especfcado Aálse de cosstêca Após o preechmeto de cada matrz de comparações partáras é ecessáro aalsá-las para levatar a exstêca de cosstêcas. A cosstêca ocorre devdo a erros os ulgametos de valor. É ecessáro que seam respetadas as relações de preferêca etre os crtéros. Dados três crtéros A, B, C, para que ão haa cosstêca, deve ocorrer que se A é preferível a B e B é preferível a C, etão A deve ser preferível a C. Outro problema que ocorre está relacoado com a tesdade com a qual um crtéro é preferível em relação a outro. Geralmete, ocorre que a pq a pv. a vq, ode a são elemetos da matrz de comparações partáras, p e q represetam lha e coluas quasquer, v é um crtéro termedáro e a determa o quato um crtéro é preferível ao crtéro. Saaty (006) estabeleceu que um valor acetável para o ídce de cosstêca é 0,. Para medr este ídce de cosstêca da matrz, exstem procedmetos específcos. Supodo uma matrz de comparações partáras etre crtéros que sea cosstete. Dados os pesos para cada crtéro como sedo,..., e a como o elemeto geérco, pode-se escrevê-la como sedo

10 4. O Método de Aálse Herárquca 48 A Isso ocorre devdo a uma razão smples. A cosstêca perfeta va ocorrer se a k = a a k para qualquer,, k ode é a ordem da matrz. Se acotecer que a com, =,...,, etão: a ak ak também, k k a a Com sso, fca bem caracterzada uma matrz de comparações partáras cosstete. Dado que os vetores x = (x,..., x ) e y = (y,..., y ) compõem a segute equação matrcal A x = y Esta equação tem o segute sgfcado matemátco a x y,..., Utlzado a hpótese de cosstêca da matrz A, é possível escrever que a e assm, a Dessa maera,

11 4. O Método de Aálse Herárquca 49 a,..., ou a,..., Isso é equvalete à equação matrcal A = Quado se trata de álgebra lear, a equação acma dca que é um autovetor de A que possu autovalor. Esta equação matrcal, quado é escrta em sua forma total, fca como, Em um caso prátco ode se desea estabelecer pesos para os crtéros (ou alteratvas) por meo de comparações partáras, procura-se, portato, achar uma matrz que sea o mas cosstete possível. Quato mas cosstete for a matrz, mas os pesos (determados por seu autovetor) serão corretos. Como a motagem da matrz A depede de ulgametos subetvos, tora-se dfícl ão cometer os erros que toram a matrz cosstete. Para avalar este problema, são utlzadas os segutes resultados Se,..., são úmeros que satsfazem a equação matrcal, Ax = x

12 4. O Método de Aálse Herárquca 50 que, Etão, é autovalor da matrz A. Se a = para todo, etão tem-se Se a equação matrcal A = é válda, somete um dos autovalores ão será dferete de zero, será e por sso, será o maor autovalor de A. Outro resultado mportate a ser utlzado para o desevolvmeto dessas déas é que se os elemetos de uma matrz recíproca postva A forem varados em pequeos valores, etão os seus autovalores também rão varar em pequeos valores. Utlzado os resultados obtdos, se a matrz recíproca A possur dagoal prcpal gual a e se for cosstete, pequeas varações os seus elemetos a farão com que o autovalor máxmo max permaeça com seu valor próxmo de e com que os outros autovalores permaeçam com seus valores próxmos de zero. Dessa maera, com a faldade de ecotrar o vetor de prordades, o autovetor da matrz A poderá ser determado pela equação A = max Desea-se ter uma solução ormalzada, de forma que a soma de todos os sea gual a. Para sso, basta dvdr todos os ecotrados pelo seu somatóro. O desvo de max em relação a determará uma medda de cosstêca, á que pequeas varações em a mplcarão em pequeas varações em max. Toma-se, portato, o ídce de cosstêca como sedo max

13 4. O Método de Aálse Herárquca 5 As cosstêcas fazem parte dos ulgametos humaos e por sso é muto ormal que seam ecotradas os modelos de aálse de decsão. Porém, depededo do grau de cosstêca da matrz, devese rever os pesos estabelecdos para que se teha certeza sobre os ulgametos. Em decsões em grupo, é ormal que as pessoas que esteam partcpado da costrução de um modelo específco possuam formações dferetes e por sso trasmtam opões dferetes, causado cosstêcas. É ormal que haa desateção e se façam ulgametos de maera errada ou mesmo que ão haa boa compreesão do que deve ser feto. Porém, se o decsor tver plea certeza dos seus ulgametos e achar que ada deve ser modfcado, devem ser matdos os valores, mesmo com íves de cosstêca altos. O softare Expert Choce, desevolvdo com a partcpação do própro Thomas Saaty, forece recursos automátcos para o cálculo dessa cosstêca. Para fs prátcos recomeda-se que a Razão de Cosstêca (RC) ão exceda certos lmtes que rão varar de acordo com a ordem da matrz. A tabela 4.7 mostra o valor máxmo de RC recomedado para cada matrz RC meor que 0,05 0,08 0, Tabela 4.7: Lmtes sugerdos para a razão de cosstêca (RC) 4.4. Obteção do resultado fal Após defdos os vetores de pesos dos crtéros e o vetor de potuações das alteratvas em relação aos crtéros, o próxmo passo é agregar esses valores para a obteção do resultado fal. No AHP cada alteratva receberá uma potuação através de uma fução de valor adtva. As alteratvas com maor valor serão as preferíves, de acordo com o método. Por sso, é possível ordear as alteratvas e assm

14 4. O Método de Aálse Herárquca 5 classfcar o AHP como um método Pγ 3. A fução de valor para cada alteratva é dada a segur. f(a) v (a) Ode: = peso do -ésmo crtéro; v = desempeho da alteratva a com relação ao -ésmo crtéro Aálse de sesbldade A realzação de aálse de sesbldade é muto mportate para a coclusão da modelagem. É comum que exstam dúvdas os ulgametos realzados pelos tomadores de decsão. Ao fal, depos da obteção dos resultados, algus parâmetros podem ser alterados para que sea feta uma aálse do seu mpacto a resposta fal do problema. Se mudaças resduas ão afetam a resposta, aturalmete será grade a cofaça o resultado. Caso essas alterações mplquem em mudaças a resposta, deverá se chegar a um coseso quato aos valores que de fato serão escolhdos. No aexo B é mostrada a aálse de sesbldade feta para o problema exemplo utlzado o softare EC.5 da Expert Choce Decsão em grupo Para levar em cosderação os ulgametos de város decsores smultaeamete, o AHP possu um equacoameto própro. O procedmeto adotado é efetuar a méda geométrca de cada elemeto 3 Devdo a grade flexbldade do AHP é possível ecotrar aplcações em que ele é usado para classfcar e escolher alteratvas. Por sso, ele também pode ser vsto com um método Pα e Pβ.

15 4. O Método de Aálse Herárquca 53 dos vetores de peso. Depos dsso deve-se ser-los a equação que forece o ulgameto fal como descrto a segur. f (a) v (a) Ode: f(a) = valor fal da alteratva s s (k) k (k) = peso assocado ao crtéro defdo pelo decsor k. v decsor k. s (a) s v k(a) k v k (a) = valor da alteratva a assocado ao crtéro, feto pelo s = úmero de decsores o problema.