Notas em Matemática Aplicada 9

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1 Notas em atemátca Aplcada 9 Edtado por Elaa XL de Adrade Uversdade Estadual aulsta - UNES São José do Ro reto, S, Brasl Rubes Sampao otfíca Uversdade Católca do Ro de Jaero Ro de Jaero, RJ, Brasl Geraldo N Slva Uversdade Estadual aulsta - UNES São José do Ro reto, S, Brasl Socedade Braslera de atemátca Aplcada e Computacoal

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3 Notas em atemátca Aplcada Restauração de Images com Aplcações em Bologa e Egehara Geraldo Cdade, Atôo Slva Neto e Nlso Costa Roberty Fudametos, otecaldades e Aplcações de Algortmos Evolutvos Leadro dos Satos Coelho 3 odelos atemátcos e étodos Numércos em Águas Subterrâeas Edso Wedlader 4 étodos Numércos para Equações Dferecas arcas ara Crsta de Castro Cuha e ara Améla Novas Schlecher 5 odelagem em Bomatematca Joyce da Slva Bevlacqua, arat Rafov e Cláuda de Lello Courtoue Guedes 6 étodos de Otmzação Radômca: algortmos geétcos e smulated aealg Sezmára F erera Saramago 7 atemátca Aplcada à Fsologa e Epdemologa H Yag, R Sampao e A Sr Raga

4 v 8 Uma Itrodução à Computação Quâtca Reato ortugal, Carlle Campos Lavor, Luz arao Carvalho e Nelso acula 9 Aplcações de Aálse Fatoral de Correspodêcas para Aálse de Dados Dr Homero Chab Flho, Embrapa 0 odelos atemátcos baseados em autômatos celulares para Geoprocessameto arlto Sachotee de Aguar, Fába Amorm da Costa, Graçalz erera Dmuro e Atôo Carlos da Rocha Costa Computabldade: os lmtes da Computação Regva H N Satago e Beamí R C Bedregal odelagem ultescala em ateras e Estruturas Ferado Rochha e Alexadre adurera 3 odelagem em Bomatemátca - odelagem matemátca do comportameto elétrco de eurôos e algumas aplcações - Redes complexas e aplcações as Cêcas 3 - ossíves íves de complexdade a modelagem de sstemas bológcos Corac alta, - Reyaldo D to, - José Carlos ombach e 3 - Herque L Lez, Waldemro de Souza Romaha e arcelo elao-achado 4 A lógca a costrução dos argumetos Agela Cruz e José Eduardo de Almeda oura

5 ALICAÇÕES DE ANÁLISE FATORIAL DE CORRESONDÊNCIAS ARA ANÁLISE DE DADOS Dr Homero Chab Flho - EBRAA homero@cpacembrapabr Socedade Braslera de atemátca Aplcada e Computacoal São Carlos - S, Brasl 004

6 v Coordeação Edtoral: Véra Luca da Rocha Lopes Coordeação Edtoral da Sére: Geraldo Nues Slva Edtora: SBAC Impresso a Gráfca: Epecê Gráfca Capa: atheus Botoss Trdade atrocío: SBAC Copyrght c 004 by Dr Homero Chab Flho Dretos reservados, 004 pela SBAC A publcação esta sére ão mpede o autor de publcar parte ou a totaldade da obra por outra edtora, em qualquer meo, desde que faça ctação à edção orgal Catalogação elaborada pela Bbloteca do IECC/UNICA Chab Flho, Homero Aplcações de Aálse Fatoral de Correspodêcas para Aálse de Dados - São Carlos, S : SBAC, 004 x, 60 p - (Notas em atemátca Aplcada; 9) ISBN Dados ultdmesoas Aálse de dados 3 Aálse fatoral 4 Aálse de Dados qualtatvos I Chab Flho, Homero II Título III Sére CDD - 595

7 refáco Há algus aos traduz parte do lvro Téccas de aálss de datos multdmesoales, do rof o Luco Judez da Uversdade oltécca de adr, para dar um treameto sobre essas téccas a Embrapa Cerrados esava para este m curso fazer uma tradução tegral daquele texto orém, pareceu mas coveete apresetar o tratameto teórco do rf o Judez apeas o tópco de Aálse Fatoral de Correspodêcas que é o foco desse m curso ara os demas tópcos traduz textos do lvro Aalyses factoralles smples et multples de Brgtte Escofer e Jérôme agès A rof a Escofer fo precursora as téccas de aálse de dados multdmesoas e oferece um texto que aborda todos os aspectos dessas téccas sem o rgor matemátco aprestados pelo rof o Judez, o que cosdere mas adequado para esse m curso Textos de outros autores também foram traduzdos e aprovetados em dversos locas a composção do texto fal Em ossa pága da Iteret eles aparecerão com maor preseça A motvação para compormos esse texto e apresetarmos esse m curso vê do fato de que os das de hoe, é bastate comum afrmações do tpo: os dados são o que há de mas mportate orém, é bem sabdo que, de um mesmo couto de dados podem ser extraídas as formações mas dversas, depededo da escolha e do emprego de uma metodologa de aálse Em 97, ao escrever o prefáco do lvro Itroducto à l Aalyse des Doées, de F Callez e J- ages, G orlat afrmava que poda ser detfcada, por aquela época, uma csão dos estatístcos em duas categoras: uma que pratcava uma estatístca clássca, que pretede formalzar a dução, e segue a escola aglosaxôca; e outra que passou a se apoar uma vsão puramete algébrca e vsava a descrever, reduzr e classfcar as observações multdmesoas: esta categora segue a escola fracesa da aalyse des doées (chamada aálse de dados multdmesoas) O texto aqu apresetado fo motado a teção de torar famlar, aos pesqusadores e estudates, a escola fracesa de aalyse des doées, represtada pelos chamados: métodos fatoras de aálse de dados multdmesoas Tas métodos são utlzados para que se obteha a sítese de vastos coutos umércos, com uma vsão geométrca, permtdo aos aalstas observar dos própros dados as evdecas das relações exstetes em tas coutos ara sso, são abordados aspectos cocetuas e teórcos, extraídos de autores assumram que a essa escola como uma alteratva ao estudo dos dados Buscamos o texto, dar uma déa dos dversos métodos de aálse de dados multdmesoas, dssertado sobre a Aálse v

8 em Compoete rcpas (o método fudametal) e realzado uma abordagem teórca, um pouco mas detalhada, da Aálse Fatoral de Correspodêcas, método que é cosderado o mas útl para as mas dversas aplcações e partcularmete os assutos relatvos à produção agrícola Também, é feta uma rápda abordagem da Aálse Fatoral de correspodêcas últplas, um método dervado da Aálse Fatoral de Correspodêcas, para o tratameto de dados qualtatvos or fm, são lstadas algumas aplcações realzadas detro da Embrapa Cerrados (udade de pesqusa ecorregoal da Embrapa, para os Cerrados) Assm, este texto busca cotrbur para a expasão da capacdade de aálse de dados dos pesqusadores brasleros e (é bastate pretesoso) coduzr os estudates a uma ova seara detro da estatístca matemátca Exemplos de aplcação desses métodos ecotrar-se-ão a pága do m curso, em desevolvmeto v

9 Agradecmetos Gostara de agradecer ao rof Lucío Judez, que, desde adr, evou seu estímulo para realzação deste m curso Ada que o materal aqu apresetado teha sdo retrado de dversos lvros, dos foram os báscos, de ode traduzmos o coteúdo presete: o do rof Judez, Téccas de aálss de datos multdmesoales, de ode retramos as lhas geras que orteou ossa adaptação; e o Aalyses factorelles smples et multples, de Brgtte Escofer e Jérome agès, cua otação fo adaptada àquela do rof Judez Também agradeço à Embrapa Cerrados e aos colegas de trabalho, por permtrem a dvulgação das aplcações realzadas Agradecemos à SBAC a oportudade de dfudrmos osso efoque a aálse de dados Agradecemos especalmete à Rosaa arts de Castro Chab, mha esposa e compahera, pela auda a tradução e o carho cetvador x

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11 Coteúdo ága Capítulo Sobre dados multdmesoas Itrodução 0 Geeraldades sobre dados multdmesoas 0 Tabelas quattatvas (ou de dvíduos x característcas) 0 Tabelas de Cotgêca 0 3 Tabelas lógcas, tabelas dsutas completas 04 4 Tabelas de dados ordas 04 5 Tabelas de dstâcas, de proxmdades 06 3 Os prcpas métodos de aálse multdmesoal 06 Capítulo - Noções de Aálse de Compoetes rcpas Dados e obetvos de estudo 07 esos de dvíduos 08 esos das varáves 09 Trasformação de dados 09 3 Nuvem dos dvíduos 0 4 Nuvem das varáves 5 Represetação da uvem de dvíduos 5 Idvíduos suplemetares 3 6 Represetação da uvem de varáves 4 6 Compoetes prcpas 4 6 Varáves suplemetares 5 63 Efeto talle (de valor da varável) 5 7 Dualdade e fórmulas de trasção a AC 6 7 Iércas 6 7 Fatores 6 73 Relações de trasção 8 74 Represetação smultâea 9 75 roeção de vetores utáros da represetação de dvíduos 9 8 Auda à terpretação 9 8 Defções 0 8 Qualdade de represetação de um elemeto um exo 9 8 Qualdade de represetação de uma uvem sobre um exo 0 83 Cotrbução de um elemeto à érca de um exo 9 Téccas de agrupameto 9 Aálse Fatoral Dscrmate 9 Téccas de Classfcação Capítulo 3 Aálse Fatoral de Correspodêcas:Fudametos Teórcos 3 Itrodução 3 3 Obetvos da Aálse Fatoral de Correspodêcas 3 3 Nuvem de potos-observações e potos-varáves 4

12 x 3 erfs de observações e varáves 4 3 Costrução da uvem de potos-observações 5 33 Costrução da uvem de potos-varáves 7 34 ropredade de equvalêca dstrbutva 8 33 Aálse da uvem de potos-observação Exos fatoras 3 33 Cálculo prátco dos exos fatoras Compoetes prcpas Característcas Estudo da dspersão dos potos-observações Cotrbução absoluta da observação ao exo Cotrbução relatva da observação ao exo Represetação smultâea ótma de potos-observações e potosvaráves sobre um exo Aálse da uvem de potos-varáves (aálse dual) Característca das varáves G e estudo da dspersão dos potosvaráves Relações de trasção 4 37 Represetação de observações e varáves suplemetares 43 Capítulo 4 - Aálse Fatoral de Correspodêcas ultplasnoções e cocetos Teórcos 4 Itrodução 45 4 Os Dados 45 4 Codfcação codesada Tabela dsuta completa Tabela de Burt 46 4 Obetvos 47 4 Estudo dos dvíduos 47 4 Estudo das varáves Estudo das modaldades Coclusão sobre os obetvos A ACF aplcada a uma Tabela Dsuta Completa AFC e AFC Nuvem de dvíduos Nuvem das modaldades Relações de trasção e represetação smultâea As varáves através de suas modaldades Barcetro das modaldades de uma varável Subespaço egedrado pelas modaldades de uma varável Sítese das varáves qualtatvas Represetação das varáves a AFC Codfcação das varáves qualtatvas orque trasformar as varáves cotíuas em qualtatvas? Escolha do úmero de classes Escolha das classes 56

13 Capítulo Sobre Dados ultdmesoas Itrodução Os aalstas (matemátcos ou estatístcos) que executam a tarefa de terpretar os dados obtdos por outros pesqusadores, devdo ao predomío de um efoque a codução das aálses de dados, podem se deparar com stuações como a segute: depos de realzar as aálses e alcaçar um resultado, alguém lhe perguta qual o ível de cofaça dos resultados Exstem questoametos fetos a codução de uma aálse de dados que estão estrtamete lgados ao efoque adotado A perguta sobre o ível de cofaça está detro do marco das aálses baseadas em ferêcas As téccas de aálse de dados multdmesoas, lgadas à escola fracesa de aalyses des doées são uma alteratva para a aplcação de um efoque dferete, por estarem baseadas em desevolvmetos essecalmete algébrcos que, além de oferecer uma terpretação geométrca dos resultados, permtem aos própros dados evdecarem as relações exstetes detro do couto aalsado Ademas, como os obetvos estão relacoados à redução, classfcação e agrupameto das varáves (ou dvíduos), ão são ecessáros mas que elemetos da estatístca descrtva, para que seam obtdas tpologas a partr de uma dada massa de dados Assm, para a perguta: mas qual é o grau de cofaça dessa tpologa?, ão exste uma resposta detro do campo da aálse de dados multdmesoas As téccas podem ser resumdas as segutes: Aálse em Compoetes rcpas, Aálse Fatoral de Correspodêcas, Aálse Fatoral de Correspodêcas últplas, Aálse Fatoral Dscrmate e Téccas de Classfcação Neste capítulo serão abordados, prmeramete, aspectos relacoados à orgazação dos dados, aos quas se aplcarão as téccas Em seguda, o capítulo, será dada uma oção do desevolvmeto teórco da Aálse em Compoetes rcpas, sedo cocluído o capítulo com uma rápda meção sobre a mportâca da Aálse Dscrmate e das téccas de classfcação, sem, cotudo, qualquer aprofudameto teórco No capítulo 3 é feta uma abordagem um pouco mas detalhada dos aspectos teórcos da Aálse Fatoral de Correspodêcas, equato o capítulo 4 a Aálse Fatoral de Correspodêcas últplas é levada em cosderação Geeraldades sobre dados multdmesoas São chamados dados multdmesoas, àqueles que compõem o couto de valores de um certo úmero de varáves estatístcas, observadas sobre um dvíduo de uma população dada odemos, etão, cosderá-los como a realzação de um vetor aleatóro, defdo sobre a população, com valores em um espaço a defr Cosderemos, por exemplo, o peso, a altura, a dade e o sexo de uma pessoa que faz parte de uma população qualquer Supomos que essa pessoa pese 60 g, meça,65 m, teha 6 aos e sea do sexo femo A realzação do vetor aleatóro (peso, altura, dade,

14 sexo) defdo sobre um dvíduo do grupo estudado é o dado multdmesoal (60 g,,65 m, 6 aos, femo) Uma tabela multdmesoal é, etão, uma amostra de um vetor aleatóro: as mesmas varáves são meddas sobre um certo úmero de dvíduos, vdo, de outro lado, elas mesmas costtuírem-se em vetores aleatóros também A maora das tabelas tem a segute forma: x x x x p x Fgura O termo da -ésma lha e -ésma colua é o valor observado para a varável x sobre o dvíduo A segur são apresetados dferetes tpos de tabelas de dados ecotradas a prátca, e para o que se segue é defdo I{,,,,,} e J{,,,,,p} Tabelas quattatvas (ou de dvíduos x característcas) Esse é o tpo mas smples das tabelas, tem o formato como o da fgura, acma: os compoetes de vetor aleatóro (x, x, x, x p ) são varáves quattatvas, de valores reas, ão ecessaramete cotíuos O termo x é, etão, um úmero real que represeta a medda da varável (característca) x sobre o dvíduo Tabelas de Cotgêca Numa tabela de cotgêca forece-se a repartção de uma população estatístca por dos caracteres qualtatvos expressos, cada um, por modaldades exclusvas (um dvíduo da população ão pode possur mas de uma modaldade) e exaustvas (possurá uma e somete uma modaldade) elo fato de que lhas e coluas represetam característcas, em uma tabela de cotgêca, os papes que desempeham são smlares Nesse tpo de tabela, os dvíduos da população ão aparecem dretamete; etretato, certos autores se referem às lhas como dvíduos e às coluas como varáves No seu devdo tempo estabeleceremos ossa otação Os dados socoecoômcos são freqüetemete apresetados a forma de tabelas de cotgêca; em efeto, as varáves apresetadas são freqüetemete qualtatvas: categora sóco-profssoal do chefe de famíla; setor de atvdade de uma empresa, etc or outro lado, pode ocorrer, fora desse campo, stuações em que será útl represetar em uma tabela de cotgêca, dados que represetam meddas físcas O caso dos dados socoecoômcos pode ser lustrado as tabelas do IBGE Já o segudo caso é lustrado a pága segute, uma tabela ode são ecotradas 5 varedades de maga, como dvíduos (ou observações) e, as coluas, tpos de patologas ecotradas, em dversos graus de cdêca, como varáves

15 Tabela de cotgêca ode as varáves (característcas) são: a - festação de atracose; o - festação de oído; ma - festação de macha de lágrma; mo - ocorrêca ou ão de mosca do fruto; po - ocorrêca ou ão de podrdão peducular; am - ocorrêca ou ão de amolecmeto do fruto; rh - ocorrêca ou ão de Rhzopus; As lhas correspodem às varedades de maga (os dvíduos) Cada célula é a quatdade de frutos de uma dada varedade fectada por um determado patógeo, um ível de tesdade (os úmeros dcam este ível) a a a6 o o o3 o4 o5 o6 ma a ma3 ma4 ma5 ma6 mo mo po po rh rh a3 a4 a5 am am v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v

16 4 3 Tabelas Lógcas, Tabelas Dsutas Completas Nas tabelas lógcas dcam-se a pertêca de cada dvíduo de uma população estatístca a um grupo partcular em que, o que é evdete, a modaldade de uma varável dada possu aquela característca O códgo utlzado é o códgo lógco:, quado exste a pertêca 0, caso cotráro Cada dvíduo pertece a um e somete um grupo Os dados são apresetados a segute forma: p x Tabela 3 Tabela lógca O termo x, da -ésma lha e -ésma colua, tem valor ou 0, segudo o dvíduo perteça ao grupo (ou se possu a modaldade de um caráter qualtatvo) ou ão: assm, cada em cada lha, apeas um termo será gual a Dá-se o ome de Tabela Dsuta Completa àquela formada pela ustaposção de dversas tabelas lógcas Uma Tabela Dsuta Completa tera o segute aspecto, para o caso de três tabelas lógcas Tabela 4 Tabela Dsuta Completa p p 3 p 3 x x x 3 O termo x será gual a ou 0, segudo o dvíduo perteça, ou ão, ao grupo, para,, 3, este caso Cada lha da Tabela Dsuta Completa coterá tatos quatas seam as Tabelas Lógcas 4 Tabelas de Dados Ordas As tabelas de dados ordas são muto utlzadas em téccas de comercalzação Em efeto, os especalstas dessas téccas cosderam freqüetemete que uma resposta dada sob a forma de classfcação aporta uma formação mas coerete que uma resposta dados, por exemplo, sob a forma de ota: é solctado, uma equête, que se classfque um certo úmero de obetos (tes, marcas), por ordem de preferêca

17 5 No caso em que os ex-aequos ão são permtdos, os dados se apresetam da segute forma: p x Tabela 5 Tabela de dados ordas O termo x, da -ésma lha e -ésma, é a classfcação dada para o dvíduo cosderado o obeto Como os ex-aequos ão são admtdos, teremos: J J e I x x x, A soma de uma lha é costate e gual à soma dos p prmeros úmero teros, ou sea: p(p+)/ No caso em que os ex-aequos seam admtdos, a codfcação é um pouco mas complcada; se procede como se segue: se obetos tem classfcação ex-aequos a posção l, cada um será codfcado l ( l + ( l + ) + + ( l + )) de maera que a soma da lha fque gual a p(p+)/ Ex: dos obetos classfcados a 4 a posção serão codfcados como 4,5; três obetos classfcados a 6 a posção serão codfcados 7 Exemplo de dados ordas Uma empresa pretede laçar um ovo detfríco em caráter acoal; uma equête aplcada a uma amostra represetatva da população é efetuada para determar as característcas do produto e a sesbldade do públco a certos argumetos Solctamos etão às pessoas terrogadas que classfquem por ordem de preferêca os tes abaxo: bracura dos detes pureza do hálto 3 proteção cotra cáres 4 lmpeza da gegva 5 elmação de tártaros 6 possur um gosto agradável Uma pessoa terrogada respode da segute maera: O tem bracura dos detes fcou em tercero lugar; o tem pureza do hálto em segudo; o lmpeza da gegva em prmero, etc p ode-se eteder por empates

18 6 5 Tabelas de dstâcas, de proxmdades Da mesma forma que as tabelas ordas, as tabelas de dstâcas ou de proxmdades são freqüetemete utlzadas em téccas de comercalzação recsamos, calmete as oções de dstâcas ou de proxmdades: Sea dado uma população estatístca I, chamamos: Ídce de dstâca: uma fução smétrca com valores reas e postvos defda etre dos dvíduos e ; quato mas os dvíduos e se assemelham, mas o valor desse ídce é fraco Defmos I, I tem se d(, ) d(, ) 0 e d(, ) 0 ídce de proxmdade, uma fução a valores reas defda etre dos dvíduos, e, e smétrca: quato mas os dvíduos e se assemelham, mas o valor do ídce de proxmdade se eleva Escrevemos, etão: I, I tem se p(, ) p(, ) Vê-se que podemos deduzr faclmete um ídce de dstâca de um ídce de proxmdade e recprocamete; escolhemos freqüetemete um ídce de proxmdade etre - e, por aaloga com o coefcete de correlação Uma tabela de dstâca aparece sob a segute forma: d(, ) d(,) 0 0 Ode d(, )d(,) 0 3 Os prcpas métodos de aálse multdmesoal Cosderamos que a base para o desevolvmeto das téccas de tpfcação é a Aálse em Compoetes rcpas, porém as Téccas de Dscrmação e Classfcação audam muto esse estudo or sua vez, a Aálse Fatoral de Correspodêcas aborda dados de uma maera mas geral ao ter as tabelas de cotgêca o obeto de aálse A segur, faremos uma apresetação geérca e rápda da Aálse em Compoetes rcpas e dcamos a utlzação da aálse dscrmate e as téccas de classfcação Nos dos capítulos segutes, abordamos a Aálse Fatoral de Correspodêcas e a Aálse Fatoral de Correspodêcas últplas

19 7 Capítulo Noções de Aálse em Compoetes rcpas (Extraído de Escofer, B e agès,, 998) Dados e obetvos de estudo Vte aos desde as prmeras publcações e aplcações, os métodos de aálse de dados demostraram largamete sua grade utldade os estudos de grades massas complexas de formação Esses são os métodos, dtos multdmesoas, que tratam de mas de duas varáves smultaeamete Eles permtem a cofrotação de umerosas formações, o que é ftamete mas rca que seu exame separadamete A Aálse em Compoetes rcpas (AC), aplca-se a tabelas, chamadas de forma cocsa, de IdvíduosxVaráves quattatvas, ou IdvíduosxCaracterístcas quattatvas, como vsto aterormete Nessas tabelas as lhas represetam os dvíduos e as coluas as varáves A terseção etre lha e a colua exprme o valor da varável observado o dvíduo, como vsto a tabela x x x x p x Tabela O termo da -ésma lha e -ésma colua é o valor observado para a varável x sobre o dvíduo Ressaltamos que os termos dvíduos e varáves podem expressar oções dversas or exemplo, depededo do estudo, a tabela pode ser composta de dvíduos que represetam vhos e as varáves os dversos crtéros de aprecação do vho (acdez, adstrgêca, etc) As questões que propomos aos dvíduos e para as varáves ão são da mesma atureza Com respeto a dos dvíduos, deseamos avalar as semelhaças exstetes etre eles: dos dvíduos se assemelharão, quato mas próxmos forem seus valores detro do couto de varáves Em AC, a dstâca d(, ) etre dos dvíduos e é defda por: d (, ) J ( x x ), ode J(,,, p) Com respeto a duas varáves, deseamos avalar sua lgação (como se relacoam, se possuem terdepedêcas, etc) Na AC, a lgação etre duas varáves é medda pelo coefcete de correlação lear (em raras stuações utlza-se a covarâca), deotado, usualmete, como ñ Ou sea:

20 8 sedo covarâc a(, ) ρ (, ) varâca( )varâca ( ) I x ( x s x )( x x e s a méda e o desvo-padrão da varável e I(,,, ) Aplcada a uma tal tabela, a AC obetva a realzação de: Um balaço das semelhaças etre dvíduos Buscamos respoder às segutes questões: quas são os dvíduos que se assemelham? Quas são os mas dsttos? Exstem grupos homogêeos de dvíduos? odemos colocar em evdêca uma tpologa dos dvíduos? Um balaço das lgações etre varáves As questões podem ser as segutes: quas varáves se correlacoam postvamete? Quas são as varáves, duas a duas, em que exstdo a mesma característca, uma é marcate uma e outra é débl, podedo-se dzer que essas varáves se opõem (correlacoam-se egatvamete)? Exstem grupos de varáves correlacoadas etre s? odemos evdecar uma tpologa das varáves? Um outro aspecto do estudo das lgações etre varáves cosste em expressar um couto delas por um pequeo úmero de varáves stétcas chamadas aqu de compoetes prcpas Esse poto de vsta está bastate lgado ao precedete: um compoete prcpal pode ser vsto como o represetate (a sítese) de um grupo de varáves lgadas etre s (que possuem fortes relações que as lgam de uma ou outra forma) Naturalmete, esses dos potos de vsta ão são depedetes da dualdade erete ao estudo de uma tabela retagular: a estrutura da tabela pode ser aalsada tato por meo da tpologa de dvíduo, como por meo da tpologa de varáves Assm, buscamos, em geral, realzar as duas tpologas ara tato, caracterzaremos classes de dvíduos por certas varáves (selecoaremos, etão, varáves para as quas os dvíduos de uma classe formam um couto que possu valores partcularmete grades ou pequeos) Da mesma forma, caracterzaremos grupos de varáves lgadas etre s por dvíduos típcos (selecoaremos, etão, os dvíduos que possuem valores partcularmete grades ou pequeos para um couto de varáves correlacoadas postvamete) Efm, uma stuação deal, as duas tpologas poderam ser superpostas: cada grupo de varáves caracterza um grupo de dvíduos e cada grupo de dvíduos é formado pelos dvíduos típcos de um grupo de varáves esos de dvíduos Na maor parte dos casos, os dvíduos desempeham o mesmo papel Somos, etão, levados a dar a mesma mportâca a cada dvíduo, atrbudo-lhes o mesmo peso or comoddade, tomamos o peso de maera a que a massa total dos dvíduos sea gual a : a cada dvíduo atrbuímos o peso / Etretato, em certos casos, poderemos atrbur pesos dsttos aos dvíduos Essas stuações ocorrem quado os dvíduos represetam, s )

21 9 cada um, subpopulações; atrbuímos, etão, a cada dvíduo os pesos proporcoas ao valor efetvo da sub-população por ele represetada Esses pesos tervêm o cálculo da méda de cada varável (por assm dzer, a defção de um dvíduo teórco médo), o cálculo da varâca de cada varável e, assm, a medda da lgação (o coefcete de correlação) etre varáves Etão, chamado ao peso atrbuído a um dvíduo (ode ): x x s ( x x x x x r (, ) ( )( ) s s Os programas de AC permtem troduzr dvíduos poderados esos das varáves É muto raro, a prátca, avalarmos varáves com mportâcas dsttas, ao observarmos um mesmo dvíduo Essa assertva é tão forte que a maora dos programas de AC ão permte que seam atrbuídos pesos dsttos às varáves or sso, cosderaremos, a pror, que as varáves têm o mesmo peso No etato, para ão descosderar a possbldade de que sea dada mportâca dstta às varáves, um coefcete, chamado peso das varáves, será utlzado Deotado por m o peso da varável a dstâca etre dos dvíduos e é defda por: d (, ) J m ( x Etretato, como veremos adate, esses pesos ão fluecam em ada os prcípos geras da aálse Assm, para ão complcarmos, cosderaremos, este capítulo, os mesmos pesos aos dvíduos ( qualquer que sea I ) assm como para as varáves ( m qualquer que sea J ) Trasformação de dados Em AC, as tabelas de dados devem ser, ates de tudo, cetradas De cada valor umérco, dever ser subtraída a méda da varável em questão: ( x x ) Esse procedmeto ão provoca ehuma alteração sobre as propredades que possam ser ecotradas o couto de dados orgal Embora a AC possa ser realzada sobre o couto de dados cetrados, seus resultados serão sesíves às udades de medda exstetes Geralmete, se esco lhe meddas segudo udades arbtráras: em exemplos clásscos de meddas de amas, a varável altura pode ser expressa em metros ou cetímetros Essa escolha pode levar a uma grade fluêca sobre a medda de semelhaça etre dvíduos A forma clássca para se evtar as dfereças causadas pelas dferetes udades de medda, cosste em reduzr as varáves cetradas: dvde-se o dado cetrado (subtraído da x ) x )

22 0 méda correspodete à varável ) pelo desvo-padrão da varável ( x x ) / s Todas as varáves apresetam etão a mesma varabldade e desse modo a mesma fluêca sobre o cálculo das dstâcas sobre os dvíduos pos o Em estudos que ão apresetam dfereças etre udades de medda, a etapa de reduzr varáves pode ser suprmda rocededo assm, estamos atrbudo a cada varável um peso gual à sua varâca, d (, ) ( x x ) Segudo um outro poto de vsta, a defção de d(, ) s J mostra que a varâca da varável é gual à cotrbução méda da varável ao quadrado da dstâca etre dvíduos Isso se deduz da defção da varâca s ( x x ), Desde poto em date as varáves são cosderadas cetradas e reduzdas 3 Nuvem dos dvíduos É teressate cosderar os dvíduos como uma ustaposção de lhas A cada dvíduo é assocada uma sére de p úmeros Segudo essa abordagem, um dvíduo p pode ser represetado como um poto o espaço vetoral à p dmesões, deotado R, ode cada dmesão represeta uma varável O couto de dvíduos costtu a uvem I com cetro de gravdade G cocddo com a orgem O dos exos, de fato cetrado; G represeta os dvíduo médo prevamete ctado Essas oções são represetadas a fgura, abaxo p R p x x s OG I varável x x s Fgura Tabela de dados cetrados e reduzdos e uvem dos dvíduos assocados ao espaço R p Devdo aos dados serem cetrados, a orgem dos exos cocde com o cetro de gravdade da uvem No espaço R p, a oção de semelhaça etre dos dvíduos, ão será mas que a dstâca eucldaa usual Essa terpretação geométrca costtu uma ustfcatva, a posteror, decsva para a escolha da medda de semelhaça: o fato dela ser uma dstâca

23 eucldaa cofere-lhe um grade úmero de propredades matemátcas dspesáves o que segue O couto das dstâcas terdvduas costtu o que chamaremos a forma da uvem I Realzar um balaço dessas dstâcas, equvale a estudar a forma da uvem, ou sea, detfcar partções de potos ou das dstâcas etre eles Sedo p superor a 3, o estudo da uvem é mpossível devdo a termos uma lmtação vsual a três dmesões Da o teresse os métodos fatoras em geral, e da AC em partcular, que forecem as mages de plaos que aproxmam, o melhor possível, a uvem de potos stuada um espaço de grade dmesão 4 Nuvem das varáves Cosderado-se a tabela de dados como sedo uma ustaposção de coluas, cada varável estará assocada à sére de úmeros Defe-se, dessa forma, uma varável que pode ser represetada como um vetor do espaço vetoral à dmesões, deotado por R, ode cada dmesão represeta um dvíduo: por exemplo, a varável é represetada por um vetor z ode a -ésma compoete é ( x x ) / s O couto das extremdades dos vetores que represetam as varáves costtu a uvem J Observado-se a fgura abaxo, tem-se uma oção dessas otações z z z p x x s R J z z Idvíduo Fgura Tabela de dados e uvem de varáves assocadas ao espaço R p x x s A escolha da dstaca em R cosste em assocar a cada dmesão um coefcete gual ao peso de cada dvíduo a uvem I de R p No caso geral, em que esses pesos são dêtcos, a dstâca utlzada, com coefcetes /, é a eucldaa usual Com essa dstâca, os vetores represetado as varáves cetradas e reduzdas, possuem as segutes propredades: a) Cada vetor represeta uma varável de orma Ou sea: x x s varável z

24 A uvem J está, assm, stuada uma esfera de rao (os refermos a uma hperesfera quado R tem dmesão maor que 3) or essa razão, a AC sobre dados cetrados e reduzdos é dta ormalzada b) O cosseo do âgulo formado pelos vetores represetado as varáves z e z, obtdo ao se calcular o produto escalar, <z, z >, dos dos vetores, é gual ao coefcete de correlação etre tas varáves: x cos(z, z )<z, z > x x x correlação(z, z ) s s Iterpretar uma correlação como sedo o cosseo defe uma propredade bastate teressate porque dá um suporte geométrco, logo vsual, ao coefcete de correlação Essa propredade ecessta que as varáves seam cetradas, ustfcado assm a trasformação dos dados apresetada aterormete, como uma técca termedára Essa propredade, também ustfca a escolha da métrca e mplca que, a represetação de varáves, se poderá, sobretudo, cohecer as dreções determadas pelas varáves, ou sea, cohecer os vetores porém, e sobretudo, para ode apotam suas extremdades O comprmeto dos vetores que represetam as varáves é gual a, a coordeada da proeção de uma varável sobre uma outra se terpreta como um coefcete de correlação Assm, buscar a coleção dos coefcetes de correlação etre as varáves equvale a estudar os âgulos etre os vetores que defem a uvem J A dmesão de R tora mpossível um estudo dreto desses coefcetes O teresse a AC é defr varáves stétcas que costtuem uma sítese do couto das varáves cas e expressam uma base para uma represetação um plao aproxmado, das varáves e seus âgulos 5 Represetação da uvem de dvíduos Neste poto, o obetvo é forecer as mages, o plao aproxmado, da uvem I stuada o espaço R p Obetvamete, buscamos uma sére {u :,,, h} de dreções prvlegadas de R p chamadas exos fatoras que, fxados dos a dos, defrão plaos fatoras sobre os quas proetamos a uvem I Cada dreção u retém (ou explca) a érca máxma com respeto à orgem O (que se cofude com o cetro de gravdade, pelo fato dos dados terem sdo cetrados) da proeção de I sobre u Na busca dessa sére, obrgamos que cada exo fatoral sea ortogoal aos á ecotrados ode ser mostrado que o plao egedrado pelos dos prmeros exos u e u retém o máxmo da érca proetada sobre o plao por eles defdo Em se tratado de R p, para p>, dar-se-á o mesmo aos três prmeros exos e os segutes Quado as varáves forem apeas cetradas, seu comprmeto será gual ao desvo padrão e dzemos que o AC é ão ormal

25 3 Isso é equvalete a reter o máxmo de F ou reter o mímo de e Essa seguda expressão, forma clássca do crtéro dos mímos quadrados, mostra que os exos R G0 z e F u I Fgura 3 Represetação da uvem de potos dos dvíduos O dvíduo tem proeção F sobre u Buscamos ecotrar u que reteha o máxmo da érca F Depos, ecotraremos u ortogoal a u, que satsfaz o mesmo crtéro e assm por date No caso em que os dvíduos teham pesos p dferetes, o crtéro cosste em u reter o máxmo de F fatoras retêm o meor desvo padrão etre a uvem de dvíduos e sua proeção Do fato dos dados serem cetrados, o crtéro (érca máxma com respeto à orgem ou ao cetro de gravdade G) permte terpretar os exos fatoras como os de comprmeto máxmo da uvem de potos I, as dreções por eles defdas Dzemos também que esses são os prcpas fatores de varabldade, pos o que é possível dão a medda da dversdade dos dvíduos odemos mostrar que, ada do fato dos dados terem sdo cetrados, a explcação do máxmo de F é equvalete a explcar o máxmo de ( F ) l F Esta últma expressão é de fato a dstâca etre os potos proetados A proeção ocorre de maera a reduzr a dstâca etre os potos, os exos fatoras aprecem uma dreção tal que as dstâcas etre os potos proetados aproxmam-se o mas possível das dstâcas dos potos homólogos a uvem I Segudo os obetvos da aálse, adate mostramos outras terpretações do crtéro de maxmzar a érca explcada R p G H H I u Fgura 4 Represetação das dstâcas terdvduas Represetado por H e H as proeções de e (os valores orgas da varáves trasformadas z e z ) sobre o exo u (assocadas a F e F ), esse exo explcam etão a érca ( OH ) l OH máxma, ou sea d ( H H ) é tal que é a mas próxma possível de d ( ) 5 Idvíduos suplemetares Com freqüêca chegamos à coclusão do teressate que é de que certos dvíduos ão terveham a determação dos exos; porém, mesmo assm, é deseável que se coheça a posção de sua proeção sobre os exos determados pelo restate da

26 4 população Isso pode ser feto, atrbudo-se pesos ulos a esses dvíduos, o crtéro de austameto Esses dvíduos são chamados dvíduos suplemetares Itroduzremos um dvíduo suplemetar a aálse, quado é deseado que ele partcpe da terpretação que faremos dos dados, porém ão da costrução dos exos fatoras Esse é o caso dos dvíduos que apresetam característcas excepcoas, ou que suspetamos de erros de medda ou, efm, cosderamos que o dvíduo destaca-se dos demas por qualquer motvo 6 Represetação da uvem de varáves ara obtermos a sére de varáves stétcas {v : s,, h} e uma represetação aproxmada das correlações etre varáves, a AC aplca à uvem J, das varáves, o mesmo efoque aplcado à uvem de dvíduos R O J H v v Fgura5 Represetação da uvem de varáves Sea H proeção do poto (G ) que represeta a varável y (trasformada, ou a varável orgal) sobre o exo v rocuramos v que explca o máxmo de OH Em seguda, procuramos v, ortogoal à v, que satsfaça o mesmo crtéro e assm por date O crtéro (érca proetada máxma) que coduz à escolha dos exos é exatamete o mesmo que para a uvem de dvíduos Ele, porém, terá uma sgfcação dferete pelo fato da proeção daquela uvem ão ser mas cetrada (seu cetro de gravdade ão é mas a orgem) e de que todos seus potos estarem stuados detro da esfera utára: serão, etão, os âgulos, etre os vetores que represetam as varáves, que serão deformados pelas proeções, e ão as dstâcas etre os potos da uvem Em efeto, o plao (v, v ), ao maxmzar a érca à orgem da uvem proetada, explca o máxmo da soma dos cosseos quadrados dos âgulos etre os vetores e sua proeção: este plao austa os vetores e deforma o meos possível seus âgulos 6 Compoetes prcpas O vetor v, que caracterza a dreção da érca máxma, defe uma ova varável As varáves estudadas estão cetradas e reduzdas, sua proeção sobre v é gual ao

27 5 coefcete de correlação deste exo com essa varável Desse fato, procurar o vetor v que explca o máxmo valor de OH equvale a procurar a combação lear o mas assocado possível a estas varáves (o setdo do crtéro que maxmza a soma dos quadrados das correlações) Assm, esse será o exo que melhor stetza o couto das varáves cas Os exos fatoras, que são ortogoas dos a dos, põem em evdêca uma sére de varáves stétcas, as compoetes prcpas, ão correlacoadas etre elas, que melhor resumem o couto de varáves cas 6 Varáves suplemetares As varáves, como os dvíduos, podem ser tratadas como suplemetares Essas serão aquelas que smplesmete são proetadas os exos que foram determados pelas outras varáves, dtas atvas ode-se, etão, cohecer as correlações etre quasquer varáves e os compoetes prcpas; mesmo aquelas que ão pertecem ao domío de estudo 63 Efeto talle (de valor da varável) Se, um couto de dados, as varáves são todas correlacoadas duas a duas, etão a uvem J está dstate da orgem, próxma da superfíce da esfera O prmero exo fatoral se refere, etão, prcpalmete à posção de J com respeto à orgem: paralelamete, a forma da uvem J é mal represetada, o setdo de que as proeções das R J v Fgura 6 O efeto talle em R As varáves, correlacoadas duas a duas, formam etre s âgulos agudos A uvem de potos J fca cocetrada sobre um pequeo setor da esfera A proeção das varáves sobre o prmero exo fatoral, defdo por v, se refere prcpalmete à posção de J em relação a O varáves são todas próxmas umas das outras O caso dessa fgura é, a Fraça, costumeramete chamado efeto talle: ele correspode à stuação a qual, lembrado o fato de que as varáves se correlacoam duas a duas, certos dvíduos possuem pequeos valores com respeto a um couto de varáves, outros possuem grades valores com respeto a outras varáves e outros, efm, valores termedáros etre esses extremos Exste, este caso, uma estrutura comum, característca, assocada ao couto das varáves: essa característca típca é o que traduz a prmera compoete prcpal

28 6 7 Dualdade e fórmulas de trasção a AC A uvem I, dos dvíduos, e J, das varáves, são duas represetações de uma mesma tabela: uma pelas lhas e outra por suas coluas Algumas relações bastate expressvas, lgado essas duas uves, são chamadas relações de dualdade 7 Iércas Deve-se saber, ates de tudo, que a érca total dessas duas uves é a mesma; ela é gual ao úmero de varáves (desde que as varáves seam cetradas e reduzdas) x Iérca total de I (ou de J ) x s A proeção de cada uma dessas duas uves sobre uma sére de exos ortogoas correspode a uma decomposção da érca total ode-se mostrar que as decomposções são dêtcas: as ércas das uves proetadas sobre os exos fatoras de mesma dmesão, são guas Será, para o -ésmo exo ecotrado: Iérca(I/u )Iérca(J/v ) ë, ode ë é o valor própro assocado ao -ésmo exo 7 Fatores O couto das proeções de todos os dvíduos, potos da uvem de dvíduos I, sobre os -ésmo exo fatoral u, chamado -ésmo fator sobre os dvíduos, costtu uma ova varável, deotada F Demostra-se que essa varável se cofude com a - ésma compoete prcpal obtda a aálse da uvem de varáves as precsamete, o quadrado da orma do fator F (um vetor de R ), é a soma dos quadrados de suas coordeadas, por ë s ; a relação etre o -ésmo fator sobre I e o -ésmo exo fatoral de R se escreve: v F λ Assm, as proeções plaas em R p são represetações gráfcas de pares de varáves stétcas obtdas em R Os resultados obtdos do estudo de cada uma dessas duas uves possuem fudametalmete a mesma sgfcação, mesmos se são expressos em termos de dvíduos em us casos ou de varáves em outros Na fgura 7, a segur, lustra-se esses resultados

29 7 Os atrbutos da uvem de dvíduos e da uvem de varáves são, em certa medda, p R F R G F I u F J F N Fgura 7 Uma das duas formas da dualdade As coordeadas de I sobres u (-és mo exo fatoral de I) costtuem o -ésmo fator sobre os dvíduos (deotado por F ) O vetor F em R p é colear à v (-ésmo exo fatoral de J) smétrcos, e a dualdade se formula de maera aáloga ao traçar o papel das duas uves: a proeção das p varáves sobre o -ésmo exo fatoral v, da uvem J, defe um valor para cada uma das p varáves: esses valores costtuem o -ésmo fator sobre as varáves (deotado G ) que é, de alguma maera, um dvíduo ovo Essa oção de dvíduo típco (ou característco) é meos clássca que a de compoete prcpal (estamos, pratcamete, cosderado ates de tudo, dvíduos reas como dvíduos típcos) Etretato, em casos partculares, como aqueles em que os dvíduos estão em uma curva e as varáves são seus valores em p potos de dscretzação, esses dvíduos são represetáves e assm utlzados ostra-se que o poto em R p represetado esse dvíduo típco está stuado sobre o -ésmo exo da uvem dos dvíduos as precsamete: R J v G R I G G u G var N Fgura 8 A seguda forma da dualdade As coordeadas de J sobre v (-ésmo exo fatoral de J) costtuem o -ésmo fator sobre os dvíduos (deotado por G ) O vetor G em R p é colear ao -ésmo exo fatoral de I, u

30 8 u λ G Essa relação mostra que, referdo-se ao coefcete λ, valor própro do fator G, as coordeadas das varáves sobre v são os coefcetes da combação lear das varáves que costtuem o exo u de R p Essa propredade é uma característca dos prcpas exos (compoetes prcpas) e essecal para a terpretação (versamete à dfculdade de terpretação dos coefcetes da regressão múltpla quado eles ão são do mesmo sal dos coefcetes de correlação assocados) 73 Relações de trasção Chamam-se relações de trasção etre os -ésmos fatores, F e G, à expressão algébrca das propredades lustradas as duas últmas fguras Cosderado λ s, e a érca proetada de I (ou de J) sobre o -ésmo exo, essas relações se escrevem como a segur: x x F s( ) G ( ) λ s x x G ( ) F ( ) λ s A prmera relação exprme o fato de que a proeção F () de um dvíduo, é uma combação lear das proeções G () de todas as varáves Nessa combação lear, o coefcete de uma varável será postvo se o valor x dessa varável, com respeto ao dvíduo, ultrapassa a méda x Caso cotráro, o coefcete será egatvo Assm se olhamos smultaeamete os dos gráfcos, um dvíduo estará ao lado das varáves que possuírem valores fortes (altos) e estará em oposção àquelas que possuírem valores fracos (pequeos) O gráfco de dvíduos é uma represetação aproxmada da dstâca exstete etre eles O das varáves pode ser cosderado como o elemeto explcatvo dessa represetação: dos dvíduos stuados a mesma extremdade de um exo estarão próxmos porque os dos terão, geralmete, valores altos (sgfcatvos) com respeto às varáves stuadas o mesmo lado e valores sgfcates as varáves stuadas em lado oposto Recprocamete, o gráfco dos dvíduos pode tervr de maera a audar a terpretação do gráfco das varáves: se duas varáves são fortemete correlacoadas postvamete, elas estarão stuadas do mesmo lado sobre um exo Sobre o exo correspodete da uvem de dvíduos, os dvíduos que possuírem valores expressvos para aquelas duas varáves, fcarão stuados ao lado delas e os que tverem valores sem expressão se stuarão em lado oposto Os dvíduos mas expressvos com respeto àquelas

31 9 varáves se ecotrão mas afastados da orgem São faclmete reparados, aqueles dvíduos partculares que duzem a essas correlações fortes 74 Represetação smultâea A ecessdade de uma terpretação couta das represetações dos dvíduos e das varáves coduz à sua superposção É mportate ressaltar que a ustfcatva para uma tal represetação smultâea, de dvíduos e varáves, é essecalmete pragmátca: a represetação das varáves auda a fazer uma terpretação dos dvíduos e recprocamete Ela apota, ão obstate, o problema da represetação sobre um mesmo gráfco de potos de atureza dstta, avalados em espaços dferetes Essa dfculdade ão é somete de prcpo: a preseça smultâea, de dvíduos e varáves sobre um mesmo plao, egedra as proxmdades etre varáves e dvíduos que, por sua vez, pode sugerr déas que ão se verfcam detro dos dados As observações segutes garatem que se pode utlzar sem pergo a represetação smultâea a AC: As fórmulas de trasção relêem a coordeada sobre um exo de um dvíduo com o couto de coordeadas de todas as varáves sobre um exo de mesma ordem Não se pode terpretar a posção de um dvíduo pela ocorrêca de uma só varável e recprocamete Fudametalmete, as varáves são vetores e ão potos Não é a posção etre um dvíduo e um couto de potos, que represetam as varáves, que é mportate, mas o desvo que tem o dvíduo com respeto à dreção defda por daquele couto de varáves 75 roeção de vetores utáros da represetação de dvíduos Uma outra déa, tedo em vsta a represetação smultâea de dvíduos e varáves, cosste em proetar os vetores utáros de R p sobre os exos u Obtém-se, etão, uma represetação sobreposta mas atural que a precedete, o setdo de que os obetos represetados provêem do mesmo espaço ela relação etre u e G, e observado que a -ésma coordeada de u é gual à proeção sobre u do vetor utáro do -ésmo exo de R p, essa ova represetação das varáves é homotétca à precedete exo a exo uma razão costate de 8 Auda à terpretação λ s Os exos fatoras forecem uma magem aproxmada de uma uvem de potos Se faz ecessáro poder medr a qualdade de aproxmação, tato para cada poto, como para a uvem como todo Ou sea, os plaos fatoras represetam as coordeadas dos potos e ão as ércas que levam à sua determação É etão bastate útl cosultar essas ércas Resulta, assm, um estudo do plao realzado com a cosulta de um couto de dcadores reagrupados sob o termo de auda à terpretação

32 0 8 Defções 8 Qualdade de represetação de um elemeto um exo A qualdade de represetação de um elemeto (dvíduo ou varável) um exo s é medda pela relação QLT ()[érca da proeção do elemeto sobre o exo ]/[érca total de ] que é também o cosseo quadrado do âgulo è etre o segmeto O e o exo u (fgura 9) O θ H u Fgura 9 Qualdade de represetação de um elemeto em um exo H é a proeção de sobre o -ésmo exo QLT () H / O cos Essa defção se geeralza o caso de um plao Além dsso, pelo fato da ortogoaldade dos exos fatoras, a qualdade de represetação de um elemeto um plao (exo, exo h) é a soma das qualdades de represetação de sobre o exo e sobre o exo h É também o cosseo quadrado do âgulo etre o vetor O e o plao de proeção Se a qualdade de represetação da proeção de um poto sobre um exo, ou sobre o plao, é bastate próxma de, etão este poto estará bem próxmo do exo ou do plao Tratadose de um dvíduo, sua dstâca ao cetro de gravdade (que é o poto médo) é etão vsível sobre a proeção Ela ão será vsível (dstguível) o caso cotráro (quado a qualdade de represetação é próxma de zero) Da mesma forma, a dstâca etre dos potos sobre um plao, traduz tão bem sua dstâca a uvem a mesma medda em que esses potos tverem uma qualdade de represetação Tratado-se de uma varável cetrada e reduzda o vetor tem orma gual a e sua qualdade de represetação é o quadrado do tamaho de sua proeção Sobre um plao, ela se vsualzada dretamete por sua proxmdade ao círculo de rao, traçado de uma hperesfera de rao sobre o plao fatoral Esse círculo é chamado, usualmete, círculo das correlações 8 Qualdade de represetação de uma uvem sobre um exo A defção precedete se geeralza ao couto de uma uvem pela relação: érca da proeção da uvem sobre o exo/érca total da uvem Este dcador, chamado porcetagem de érca assocada a um exo mede, por sua vez, a mportâca relatva de um exo fatoral a varabldade dos dados θ

33 Como o caso de um úco elemeto, essas percetages podem ser acumuladas sobre város exos; falamos etão da porcetagem de érca extraída por um plao ou pelos K prmeros fatores Devdo à dualdade é equvalete calcular essas porcetages de érca a partr da uvem de dvíduos ou daquela das varáves 83 Cotrbução de um elemeto à érca de um exo Um exo fatoral cotrbu com o máxmo (sob a codção de ortogoaldade com os exos precedetes) da érca proetada de uma uvem Essa érca proetada da uvem pode ser decomposta poto por poto O cocete da érca proetada do elemeto sobre o exo pela érca da proeção do couto da uvem sobre esse mesmo exo, represeta a cotrbução do elemeto à érca do exo Esse dcador se geeralza aos subcoutos dos elemetos Sua cotrbução à érca de um exo é a soma das cotrbuções dos elemetos que o compõem Essa razão é precosa para por em evdêca o subcouto de elemetos que cotrbuem prcpalmete à costrução do exo e sobre o qual se apóa em prmero lugar a terpretação 9 Téccas de agrupameto 9 Aálse Fatoral Dscrmate As orges da aálse fatoral dscrmate se screvem os aos 30, do século passado, sedo os prmeros desevolvmetos se devem a RA Fsher, sob a hpótese de ormaldade das varáves Detro do escopo da aálse de dados multdmesoal a aálse dscrmate pode ser tomada quado, ao caracterzarmos grupos de varáves (por exemplo, aquelas que compõem um fator qualfcado uma varável sítese) se tem obetvos como os abaxo: De caráter descrtvo, quado: Deseamos obter uma represetação do couto de observações que os permta verfcar se estamos realmete a preseça de grupos bem dferecados; retedemos ecotrar a varável, ou couto de varáves, que melhor dscrmam a grupos preestabelecdos de observações Quado forem para uma tomada de decsão: e se tratar de reclassfcar certas observações do couto cal I, tem-se por faldade, classfcar ovas observações (observações que ão estavam presetes o couto I cal) em um dos grupos exstetes O quadro de dados, obeto de uma aálse dscrmate, é um do tpo de dupla etrada, de varáves e observações, o qual exste uma partção préva destas últmas Ou sea, se I{,,,,, } é o couto de observações, deverá exstr uma partção em q grupos, I, I,, I h,, I q, com,,, h,, q elemetos, respectvamete, de tal maera que se verfca: U q I h h q h h I e

34 Em osso caso cada subcouto de I pode ser caracterzado a partr dos fatores obtdos pela aplcação de uma AC ou de uma aálse fatoral de correspodêcas Grupos I Lhas Coluas,, L I h L x q + q + x valor da varável a observação I q p Fgura 0 Quadro para defção dos dados de etrada para uma Aálse Fatoral Dscrmate 9 Téccas de Classfcação Segudo Judez (p 47) a hstóra da classfcação pode ser remotada à dade atga, ecotrado-se em trabalhos de Gale e Arstóteles, sedo posterormete desevolvdas o domío bológco (séculos XVII e IXI) e da zoologa Os dados sobre os quas se aplcam as téccas de classfcação são do tpo de dupla etrada o qual um couto de observações I{,,,,, } está caracterzado por um couto de varáves J{,,,,, p} As varáves podem ser do tpo quattatvo ou qualtatvo e os coutos I e J ão apresetam ehuma partção préva As téccas de classfcação compõem o que se costuma chamar taxooma umérca e seu obetvo é obter um couto de classes, dsutas ou ão, de elemetos de I ou de J Dvde-se em dos grades grupos as téccas que se ocupam da obteção de classes dsutas: as téccas herárqucas e ão herárqucas, ou de agrupameto As téccas herárqucas coduzem a um couto de partções dos elemetos de I ou de J que podem ser represetadas segudo uma árvore de classfcação Etre as téccas ão herárqucas mas utlzadas, ecotram-se as chamadas téccas otmzates Essa técca, assm como a aálse dscrmate é de grade auda para tpfcação de varáves e dvíduos a aálse de dados multdmesoas

35 3 3 Itrodução Capítulo 3 Aálse Fatoral de Correspodêcas Fudametos Teórcos (Extraído de Judez, L, 988) Embora certos trabalhos, dos aos quareta, de R A Fsher e Guttma, seam ctados como precursores da Aálse Fatoral de Correspodêcas (AFC), é recohecdo que fo os aos sesseta que J Bezecr e B Escofer que desevolveram suas propredades algébrcas Em sua orgem, a AFC estava assocada ao estudo de tabelas de cotgêca (ou tabelas cruzadas) Tas tabelas, como á fo vsto, costtuem-se de dados relatvos ao úmero de elemetos exstetes as modaldades combadas, de duas característcas meddas or exemplo: cosdere o úmero de varedades de maga que cotraem algum tpo de patologa ode-se elaborar uma tabela em que se cofrotam as característcas varedadexpatologa: cada lha da tabela correspoderá a uma modaldade devdo à varedade e cada colua a uma modaldade devdo à patologa Cada valor detro da tabela será o úmero de frutos de uma varedade o qual se observou a exstêca de uma certa patologa De uma maera geral, se cruza o caráter I{,,,,,}, que expressa modaldades, com o caráter J{,,,,,p}, expressado p modaldades Os valores costates a tabela serão N que represetam o úmero de udades estatístcas que possuem, smultaeamete, a modaldade do caráter (característca) I e a modaldade do caráter (característca) J Embora, como se pode otar, a dstção etre varáves e observações sea artfcal, para esse tpo de tabela, adotaremos a prátca de deomar as modaldades do caráter dsposto as coluas de varáves e àquelas do caráter que defe as lhas de observações Isso os permtrá ter como base os resultados devdos ao desevolvmeto da AC Embora os resultados obtdos o desevolvmeto teórco da AFC se refram, partcularmete, ao estudo dos quadros de cotgêca, veremos que exstem outros tpos de tabelas às quas a aplcação da AFC pode obter exceletes resultados 3 Obetvos da Aálse Fatoral de Correspodêcas De uma maera geral pode-se cosderar que os obetvos que se perseguem quado se aplca a AFC são smlares aos buscados com a AC De maera resumda são os segutes: Estudo das relações exstetes o teror do couto I e o teror do couto J Ou sea, o estudo das relações etre as modaldades, detro do caráter I ou J

36 4 Estudo das relações exstetes etre os elemetos do couto I e os elemetos do couto J Quer dzer, o estudo das relações exstetes etre as modaldades das característcas I e J Desevolvmeto Teórco or poder ser cosderado como um caso partcular da AC, o desevolvmeto teórco da AFC é aálogo ao daquela técca Assm, serão aalsadas as uves de observações (dvíduos) e varáves, como a AC, porém, este caso, serão costruídas as uves de perfs dos potos-observações e de perfs dos potos-varáves No etato, ates de efetuarmos essas aálses, examaremos a costrução de dtas uves, mostrado uma de suas propredades (da equvalêca dstrbutva), que costtu, em certos casos, a vatagem de se fazer utlzação da AFC, em relação a AC 3 Nuvem de potos-observações e potos-varáves 3 erfs de observações e varáves Numa tabela de cotgêca seam: p N N total de udades estatístcas da modaldade N N total de udades estatístcas da modaldade N N N N total de udades estatístcas do couto de modaldades Uma prmera caracterzação das modaldades do caráter I (observações ) pode ser feta a partr do peso relatvo de cada modaldade de J a modaldade : N N N N,, K,, K, N N que chamaremos perfl da observação e é a dstrbução de freqüêcas codcoas do caráter J para I De um modo aálogo podemos caracterzar as modaldades da característca J, pelo que deomaremos perfs da varável : N N N N N N N,, K,, K, N N N que é a dstrbução de freqüêcas codcoas do caráter I para J Cosderado, etão: N N ; ; p

37 5 como as freqüêcas coutas e das característcas I e J, respectvamete, pode-se reescrever a tabela de cotgêca orgal da segute maera: I J Total lhas p Total coluas Sedo que: Em fução dessas freqüêcas, o perfl da observação será: p,, K,, K, e da varável, será:,, K,, K, 3 Costrução da uvem de potos-observações Os perfs das observações, defdos acma, podem ser represetados medate vetores x um espaço vetoral de p dmesões: x x x x x p sedo Assoca-se a cada perfl, que correspode a um poto em R p, um peso (que pode ser expresso como a mportâca relatva de o couto I) Na AFC a dstâca que se defe etre potos ão é a eucldaa clássca, seão uma dstâca chamada χ, cua expressão é: x

38 6 ( ) p p x x d ), ( ) ( ) ( x x x x ode: p p L O L L é a métrca assocada à mecoada dstâca Trasformação da caracterzação dos potos-observações para trabalhar com a métrca eucldaa clássca Fazedo as devdas cosderações, qualquer métrca pode ser trasformada a eucldaa clássca No caso presete, bastará caracterzar as observações, segudo o segute vetor: sedo p x x x x x x Deste modo pode ser verfcado como a dstâca eucldaa etre os potos e os coduz a ) ( ) ( p x x x x Vemos, pos, que a eleção da métrca χ, que cosste em multplcar por os vetores que caracterzam o perfl das observações, tem como coseqüêca o fato de que a dstâca etre os potos ão está domada, forçosamete, pelas varáves de maor mportâca (maor peso) Essa poderação ão tem uma terpretação tão evdete, porém se ustfcará adate ao ser abordada a equvalêca dstrbutva e a codção de ótmo da represetação smultâea de observações e varáves Ressaltamos, efm, que a AFC cosste bascamete em uma AC da uvem de potos-observações e potos-varáves Essas aálses se efetuam, como vsto, em valores cetrados e reduzdos Assm, tedo em cota que a méda m da varável x é:

39 7 m as observações serão caracterzadas por vetores z : p z de z z z z o z 33 Costrução da uvem de potos-varáves Como fo vsto o capítulo ateror, a caracterzação da uvem de potos-varáves se dá de maera aáloga à de potos-observações artdo de seus perfs, assocados a vetores N-dmesoas, tem-se: y de y y y y o y oderados (afetados) por um peso, se defe em R, uma dstâca χ, como a segur: d ), ( ) ( ) ( y y y y sedo: L O L L

40 8 Trasformação da caracterzação dos potos-varáves para trabalhar com a métrca eucldaa clássca Caracterzado as varáves segudo vetores y : y y y sedo y y y se obtém a dstâca d(, ) expressada em ( y y ) ( y y ) utlzado a fórmula para defr a dstâca eucldaa clássca O traslação da orgem de R ao cetro de gravdade da uvem de potos-varáves faz com que, para proceder a aálse, seus potos devam ser caracterzados por vetores w, tas que: w w w ode w w, w Devemos otar falmete que a caracterzação que fzemos dos potos-varáves correspode à que sera feta às observações se traspuséssemos a tabela de cotgêca Esse aspecto de smetra etre observações e varáves, da aálse de correspodêca, ão se ecotra a AC 34 ropredade de equvalêca dstrbutva Equvalêca dstrbutva em R p Se dos potos z e z se cofudem em R p etão:, ou sea, se temos: para todo, para todo,

41 9 a substtução dos potos e por um outro, 0, cuos valores dos efetvos seam N N N 0 + ão varará a dstâca etre os pares de potos em em R p ou em R Demostração da varâca das dstâcas em R p A dstâca etre pares de potos, excluídos e, ão varará Deve-se demostrar, etão, que a dstâca etre qualquer poto e (ou ) é a mesma que aquela etre e 0 Como para todo, tem-se: N N N N N N (E) e assm, a expressão da dstâca etre o poto e outro qualquer em R p é escrta da segute maera: p d ), ( e, por (E), pode-se obter ), ( ), ( ), ( 0 d d d Demostração da varâca das dstâcas em R Como: d ), ( + +, para demostrar a varâca da dstâca em R basta mostrar que: (E) Cosderado que 0 0 o prmero membro da expressão (E) será, etão:

42 30 ( + 0 ) 0 0 o que demostra a gualdade (E), pos N + N N Equvalêca dstrbutva em R ela smetra exstete etre a uvem de potos-varáves e a uvem de potosobservações a demostração ateror põe também em evdêca que se em R dos potos w e w se cofudem, ou sea, se: sua substtução por um úco para todo w 0 tal que N N N + para todo ão 0 modfca as dstâcas etre pares de potos em em R em em R p Esta propredade de equvalêca dstrbutva em R ou em R p mostra que a substtução de modaldades (tato em I como em J) que têm um perfl aproxmado por uma úca, ão muda os resultados da aálse, o que faz com que tas resultados seam, em certa medda, depedetes das modaldades que se estabeleçam para caracteres obeto de estudo 33 Aálse da uvem de potos-observação Esta aálse cosste em uma AC O poto de partda é o couto de elemetos de I caracterzados pelos vetores z de um espaço vetoral R p dotado de uma métrca eucldaa clássca or outra parte, como á fo assalado, a cada poto-observação se assocará um peso A matrz de dados para a aálse será: Z p [ z z Lz ] L Ates de obter os exos fatoras a partr desta matrz de dados, apresetaremos as expressões da érca com respeto à orgem, da érca explcada por uma dreção e da matrz de érca, para esse caso partcular H ( Iérca da uvem de potos I com respeto à orgem é defda por: I,0) p ( ) d (,0) z Esta expressão é a da estatístca para o teste χ de depedêca e será ula se os caracteres I e J forem depedetes N

43 3 Defe-se a Iérca da uvem de potos I explcada pela dreção ude R p I, ) H( u F ode, como a AC, F é a proeção do poto sobre o exo utáro u (que chamaremos smplesmete exo u ) Assm: F ( z ) u Deomado F ao vetor cuas compoetes dão as proeções dos elemetos de I sobre u, como a AC, teremos: F ( Z) u utlzado-se a expressão da érca explcada de I com relação à dreção u resulta em: tedo: H( ) I, u F F 0 L 0 0 L 0 I a matrz dos perfs 0 0 O Com sso podemos otar que H( I, u ) u Z I Z u e defr a matrz de érca S I como sedo: S I Z I (Z) O termo geral desta matrz, s,é a covarâca das varáves z e z que é a mesma que das varáves x e x : s z z A matrz de érca S I é, etão, uma matrz de varâcas-covarâcas e tem as propredades: a) é uma matrz smétrca; b) pelo fato de ser o produto de uma matrz por sua trasposta, se trata de uma matrz defda ão egatva e ão possu autovalores egatvos; d) O traço da matrz (a soma de sua dagoal prcpal) é gual à érca de J com respeto à orgem (é a soma das varâcas das varáves) 33 Exos fatoras Na abordagem da AC, a busca dos exos fatoras e a proeção dos dvíduos sobre eles, foram ecotradas relações que, esta abordagem para a AFC, pode ser escrta como se segue: I

44 3 S I u λ u Tal expressão evdeca que os exos fatoras da matrz de érca S I Algumas propredades dos vetores e valores própros O vetor u 0, defdo por: u 0 é um vetor própro de S assocado ao valor própro λ 0 I u são a verdade vetores própros 0 Os valores própros de S I são meores que Coseqüêcas dessas propredades: a) Chamado u0, u, L, u, L, u p aos p exos fatoras da uvem de potos I, assocados aos valores própros λ0, λ, L, λ, L, λ p a codção de ortogoaldade dos vetores u mplca em: p u 0 u u 0 para,,, p- b) A érca explcada por um exo fatoral é gual, como a AC, ao valor própro assocado ao exo Assm, a érca explcada por u 0 é ula, o que mplca, como veremos, que todos os elemetos de I se proetem sobre um só poto do exo u 0 c) A érca com respeto à orgem da uvem de potos-observações I será, como a AC, gual à soma dos p valores própros de S I Sedo λ 0 0, essa érca terá a segute expressão: H( I,0) λ A parte de érca explcada (HE) pelos h prmeros exos fatoras, será: HE h p h p λ λ

45 33 Demostração da propredade Se u 0 é um vetor própro de S, assocado a um valor própro λ 0 0, se verfcará: ou sea: orém, como: p s u p z h I S u u 0 I 0 λ 0 0 su0h λ 0u0h 0 para,,, p h 0 h h 0h h h h desde que : z u 0 h h h h h 0, o que demostra a propredade h h h h h 33 Cálculo prátco dos exos fatoras Lembremos: s Cosderemos agora a matrz Q I [q ] ode, Esta matrz tem as segutes propredades: q ara todo 0 o vetor própro u assocado ao valor própro λ da matrz S I é também vetor própro assocado a um mesmo valor própro da matrz Q I Demostração: Seam u vetor própro de Q I assocado ao valor própro λ, etão: Q I u desevolvedo, temos: p q p λ u e q huh ë u h u h h h h h h, para,,, p h u h

46 34 h h h h h u h, pela codção de ortogoaldade huh 0 para 0 Logo os vetores u, para 0, são também vetores própros da matrz Q I como defda acma h O vetor própro u 0 de S I, que está assocado ao valor própro λ 0 0, é também vetor própro de Q I, porém assocado a um valor própro λ 0 Demostração: Cosderado que para,,, p se verfca: tem-se que 0 p h q hu0 h h h h h Q I u 0 u 3 Chamado A à uma matrz x p, cuos elemetos a têm a segute defção: a I AA pode ser verfcada a segute gualdade: Q Estas propredades mplcam em: a) A propredade tem como coseqüêca que os exos fatoras de I são os vetores própros de Q I b) A seguda propredade evdeca que a érca total com respeto à orgem da uvem potos-observações I será a soma de todos os valores própros de Q I, à exceção do valor própro λ 0, á que o vetor própro u 0 ão cotrbu para a explcação da érca c) A tercera propredade será útl para a defção das relações de trasção 333 Compoetes prcpas Característcas Uma vez obtdos os exos fatoras u podemos represetar, como a AC os elemetos de I medate suas proeções sobre os exos F Ou sea, poderemos caracterzar as observações a partr das ovas observações, ou varáves, (que são as compoetes prcpas) F São as segutes, as característcas dessa ovas varáves: a) O valor da varável F a observação, F, em fução das freqüêcas e das compoetes do exo fatoral u, é o segute: p p F ( ) z u u u, para 0

47 35 Deve ser otado que F 0 0 para todo, pos p F 0 ( z ) u0 O que reafrma o fato de que, este caso, todos os elemetos de I se proetam em um só poto demostrado que u 0 ão cotrbu para explcar a érca obtda b) A méda de F é ula: p mf F u 0 c) A varâca de F é a érca explcada pelo exo u, λ : v ( ) F F u S I u λ d) A correlação etre F e F é ula (os fatores são ortogoas) 334 Estudo da dspersão dos potos-observações Como a AC, a dspersão dos potos observação é estuda os plaos fatoras defdos pelos fatores, como a fgura abaxo 3 5 F 7 F 8 F F N Fgura 3 Dspersão dos potos-observações o prmero plao fatoral No etato algus valores audam este estudo

48 Cotrbução absoluta da observação ao exo Expressa a parte da érca explcada pelo exo de ordem atrbuída à observação : se a érca explcada pelo exo u é λ F ( a) C ( a) ao exo será: F C, e se vê que F λ λ, etão a cotrbução absoluta de 334 Cotrbução relatva da observação ao exo Se defe como sedo p p ( r) F etão C d (,0) C F ( r), tedo em cota que d,0) d (,0) p p ( z F, Fgura 3 roeção de um vetor varável sobre um fator e o âgulo, cuo cosseo determará a z θ correlação etre a varável e o fator r A cotrb ução relatva é o cosseo quadrado (cos C ( ) cos θ ) do âgulo formado pelo vetor z e o exo F Quato mas próxmo a, mas próxmo do exo estará o poto Essa cotrbução pode ser terpretada como um coefcete de correlação etre a observação e o exo Os potos que possuem uma forte cotrbução relatva, sem ter uma cotrbução absoluta mportate, deomam-se potos lustratvos do exo 34 Represetação smultâea ótma de potos-observações e potosvaráves sobre um exo Seam F, para,,, as proeções dos potos-observações sobre o exo, e seam G, para,,, p as proeções dos potos-varáves sobre o mesmo exo Defamos F F p G, F

49 37 como o cetro de gravdade das proeções das varáves, sedo estas poderadas por seu peso a observação (à varável será atrbuído um peso / ) Sea, por outra parte, defdo sobre o mesmo exo, a varável como cetro de gravdade das proeções das observações F, atrbudo a estas uma poderação gual a seu peso a varável / : G F Em geral, é mpossível que as expressões acma se verfquem smultaeamete Cosdera-se que a represetação couta ótma de varáves e observações é aquela que assoca o mas possível, as coordeadas de varáves e observações a F e G Dadas, etão, as segutes relações: F c G, G c F trata-se de ecotrar um valor de c>0 que mas se aproxme de Se coservamos, para a coordeada F, o valor da proeção de sobre o prmero exo fatoral, etão: F U, para que esta expressão sea gual ao valor obtdo aterormete: F G λ o que defe c / λ e a expressão para G, que dá a represetação ótma smultâea sobre o exo de varáves e de observações, será: G U λ Veremos que esta é a proeção do poto-varável sobre o prmero exo fatoral da uvem de potos J ara demostrar que c / λ é o maor valor própro de Q I dstto de, teremos dos potos:,

50 38 logo Cosderado que, de um lado, F c G etão F c / é o cetro de gravdade dos potos G, G,, G, G p, em coseqüêca, se tas potos ão cocdem: F m G < < max G, c or outro lado, de F max < max G c G c F tem-se que G / c é o cetro de gravdade dos potos F, F,, F, F, ovamete se esses potos ão cocdem, teremos: logo G G m F < < max F, c max < max F, o que coduz a G max cf c F max < max G < max cf, c max <, resultado em: o que mplca que c>; c será um se tato os potos F como os G se cofudrem em um só poto Nesta seguda etapa, mostraremos que ë / c é um valor própro da matrz Q I, pelo que, para satsfazer ao poto, ë será o maor valor própro dstto de um, desta matrz Das expressões precedetes para F e G obtemos: G p h c Gh h Fazedo a segute mudaça de varável: D h hgh, tem-se: D h c D ou sea: h h h

51 39 Se dssermos que: c D h h h D h (E3) D D D D D p a expressão (E3) correspoderá à -ésma equação do segute sstema: QI D D c ode /c é um valor própro da matrz Q I 35 Aálse da uvem de potos-varáves (aálse dual) Como para a uvem I, a aálse da dspersão e das relações etre os elemetos da uvem J das varáves, é feta a partr de uma AC desta uvem O poto partda desta aálse é a matrz de dados W [ w w L L ] w w p a qual os vetores w represetam os potos-varáves pertecetes a um espaço R dotado de uma métrca eucldaa clássca Esses potos estão assocados a um peso A smetra exstete etre o couto I e o couto J a AFC, faz com que as expressões á obtdas para o caso da uvem I, possam ser utlzadas este caso smplesmete vertedo-se os ídces Assm, os lmtaremos a recaptular cocetos e expressões á vsto para aquele caso Iérca da uvem J com respeto a orgem: Iérca da uvem J com respeto a orgem Chamado ( w ) v érca explcada por esse vetor, será: ( ) H (J, 0) G à proeção da varável sobre o exo utáro v, etão a H G (, v ) J Defdo adequadamete a G, pode-se chegar a H ( J, v ) G G

52 40 Se a matrz de érca se escreve como S J w w etão a érca explcada pode ser escrta como: H ( J, v ) v SJ v Os exos fatoras v da uvem J serão os vetores própros de S J expressos a equação: S J v ë v A smetra etre as uves de dados coduz a que as propredades da matrz de érca assocada à uvem de dvíduos seam aálogas às da uvem de potos -varáves Ou sea: O valor própro ë 0 assocado ao vetor própro v 0 tem valor 0, o que mplca que Os valores de S J são meores que v 0 para todo 0 A matrz Q J tem os mesmos valores própros e vetores própros v que S J, para,,, - O vetor v 0 é um vetor própro de Q J assocado ao valor própro gual a A matrz Q J pode ser colocada em fução da matrz A, aterormete defda Essa propredade põe em evdêca que o úmero de vetores própros assocados a valores própros ão ulos da matrz Q J será o mesmo que o da matrz Q I AA, á que ambas são smétrcas e têm o mesmo posto 35 Característca das varáves G e estudo da dspersão dos potosvaráves Novamete, a smetra exstete etre observações e varáves a AFC leva cosgo que as característcas das varáves G (compoetes prcpas da uvem J) seam aálogas às de F, ou sea: As varáves G são combações leares das varáves cas Neste caso, a expressão da proeção da varável o exo será, para 0: G w v v pos como á fo vsto v 0 para 0 O valor de G 0 será ulo para todo, posto que os elemetos de v 0 são e em coseqüêca 0 G J v

53 4 A méda das varáves G é ula e sua varâca é gual à érca explcada pelos exos v 3 As varáves G são ão correlacoadas duas a duas or outra parte, a dspersão e as relações etre os potos do couto J se estudam da mesma forma como as dos potos do couto I: medate as proeções dos potos em plaos fatoras, utlzado-se como audas para a terpretação as cotrbuções absolutas e relatvas das varáves aos exos, que este caso serão: Cotrbução absoluta da varável ao exo : com ( a) C p C ( a) ë G Cotrbução relatva da varável ao exo : com 36 Relações de trasção C ( r) p C G d (,0) ( r) Como o caso da AC, as relações de trasção permtem obter os exos fatoras da uvem de potos J (uvem de potos I) e coordeadas dos elemetos de J (elemetos de I) sobre dtos exos, em fução dos exos fatoras do couto I (couto J), o que evta ter que efetuar duas AC, sobre cada uvem Estas relações de trasção os permtem, por outra parte, ressaltar as propredades barcêtrcas das proeções dos potos-varáves e dos potos-observações Estas propredades permtem a represetação smultâea de varáves e observações, que ão está pleamete ustfcada a AC As relações de trasção a AFC são as segutes: v u ë ë A u A v

54 4 Se u é um vetor própro de Q I zero, se verfca : AA assocado ao valor própro ë dferete de AA u ë u pré-multplcado por A, temos: ( A A) (A u ) ë (A u ) logo A u é um vetor própro de Q I assocado ao valor própro ë Um vetor utáro v que teha a mesma dreção de A u será o exo fatoral de J, que explcará uma érca gual a ë, logo: v ca v ode c é uma costate tal que se verfque v v, ou sea: como á vmos que: logo: c v AA v v c / λ λ A u A equação para u é obtda de maera aáloga Como coseqüêca dessas relações de trasção, as coordeadas F das observações podem ser obtdas em fução dos exos fatoras v de J, e as coordeadas G das varáves em fução dos exos fatoras de I Em efeto: Demostração Recordado que: e que F G λ v (E4) λ u (E5) a

55 43 F p a equação (E4) pode ser obtda do valor para v : u v p p p au u λ λ λ u λ F De modo smlar pode ser deduzda a equação para u, partdo-se do valor de G em (E5) elas equações obtdas para F e G pode ser mostrado como as proeções dos potos-observações fcam próxmos do cetro de gravdade dos potos- varáves e vceversa artdo-se da expressão ateror para G e substtudo v por (E4), obtém-se: G De modo aálogo, obtém-se: v F λ As equações acma têm formas aálogas às obtdas a busca da represetação ótma das coordeadas Característca que ão exste a AC Esta propredade de ótmo utamete com a de equvalêca dstrbutva, costtuem as vatages mas otáves da AFC date da AC 37 Represetação de observações e varáves suplemetares Em algumas crcustâcas tas como quado exste um grade úmero de elemetos as uves I ou J, ou quado se desea ressaltar a preseça de uma certas característcas em relação às demas etc, é coveete, para facltar a terpretação, realzar a AFC cosderado somete uma parte dos elemetos dos coutos (aqueles que se desea dar relevâca) Os elemetos excluídos da obteção dos exos podem ser posterormete proetados sobre tas exos e, como á fo vsto, se deomam observações ou varáves suplemetares As equações acma proporcoam as expressões para obter as mecoadas proeções: o A proeção do poto suplemetar 0 da uvem I sobre o fator, será: λ G F

56 44 F 0 λ p N N 0 o G o e a proeção do poto suplemetar 0 da uvem J sobre o fator, será: G 0 λ N N 0 0 Desta forma é possível um mesmo plao fatoral compor varáves stétcas que permtem tpfcar as relações etre os dados e observar o comportameto daquelas tratadas como suplemetares date das que dão a forma da aálse dos dados orgas F

57 45 4 Itrodução Capítulo 4 Aálse Fatoral de Correspodêcas últplas Noções e cocetos Teórcos (Extraído de Escofer, B e agès,, 998 Extraído de Judez, L, 988) 4 Os Dados A Aálse de Fatoral Correspodêcas últplas (AFC) permte estudar uma população de I dvíduos descrtos por J varáves qualtatvas Uma varável qualtatva (ou omal) é uma aplcação de um couto de I dvíduos um couto fto sobre o qual ão defmos uma estrutura partcular: or exemplo, um couto de três cores (azul, braca e vermelha) Os elemetos desse couto são chamados modaldades da varável e dzemos, por exemplo, que um dvíduo azul possu a modaldade azul A aplcação mas comum da AFC aparece o tratameto de dados de resposta a uma equête Cada questão costtu uma varável a qual as modaldades são respostas a propostas (etre as quas de que o etrevstado deve fazer apeas uma escolha) Faremos uma revsão de dferetes formas de trascrever umercamete o couto desses dados 4 Codfcação codesada Esses dados podem ser rearraados uma tabela do tpo IdvíduosxVaráves em tudo aáloga àquela estudada a AC As lhas represetam dvíduos (ou observações), as coluas represetam as varáves: a terseção etre a lha e a colua ecotramos o valor x (dremos também a codfcação codesada) do dvíduo devdo à varável Geralmete, x dca em o úmero da modaldade (varável ) Naturalmete, os valores x são codfcações que ão possuem propredades umércas Se a varável é a cor dos dvíduos, essa cor pode ser codfcada assm: azul; braca; vermelha3 É claro que a méda de azul e vermelha ão faz setdo e ão pode ser cosderada como braca arece, etão, ser mpossível tratar tal couto de dados pela ACO (ou AFC) As tabelas IdvíduosxVaráves qualtatvas costtuem-se de suas especfcdades e devem ser tratadas com um método específco 43 Tabela Dsuta Completa Uma outra forma de represetar os mesmos dados é pela costrução de uma Tabela Dsuta Completa (TDC) Nessa tabela, as lhas represetam os dvíduos e as coluas as modaldades das varáves: o valor x que represeta a terseção da lha com a colua

58 46, será gual a ou 0, segudo o dvíduo possua a modaldade, ou ão A orgem da termologa Tabela Dsuta Completa é a segute: o couto de valores x de um mesmo dvíduo, para as modaldades de uma mesma varável, comporta o valor uma vez (completa) e somete uma vez (dsuta) varável varável varável p K K Soma lha p x p p Soma colua I I I K p Fgura 4 Tabela de dados sob a forma dsuta completa Al se tem: K úmero e couto das modaldades da varável ; p K K é úmero e couto das modaldades de todas as varáves dsttamete; x se o dvíduo possu a modaldade, 0 seão; K K x para todo (,) x p para todo I K x I para todo I para todo As coluas dessa tabela têm fuções umércas defdas sobre o couto dos dvíduos, são chamadas dcatrzes da modaldade (obs: dcamos por uma dcatrz a varável que tem maor peso, pela qual os dvíduos podem ser caracterzados) 44 Tabela de Burt ode-se fazer uma geeralzação da aálse de correspodêcas o estudo de mas de duas varáves, costrudo uma tabela cotedo o couto de tabelas de cotgêca etre as varáves duas a duas A Tabela de Burt ão é exatamete uma tabela de cotgêca, porém uma ustaposção de tas tabelas; cada dvíduo aparece J vezes As tabelas cruzam a dagoal as varáves com elas mesmas: elas apresetam valores guas a zero fora da dagoal que, por sua vez, cotêm os efetvos das modaldades

59 47 4 Obetvos A problemátca da AFC se parece com aquela da AC mas pode ser também cosderada uma geeralzação de AFC Esses dos aspectos estão mas ou meos presetes os obetvos de aálse da AFC apresetados aqu em três famílas de obetos que tervêm a AFC: os dvíduos, as varáves e as modaldades das varáves 4 Estudo dos dvíduos De maera aáloga à AC, um dos obetvos da AFC é realzar uma tpologa dos dvíduos Essa tpologa se apóa uma oção de semelhaça tal que dos dvíduos serão bastate próxmos se possuírem um grade úmero de modaldades em comum or outro lado, em grade parte das aplcações de AFC, os dvíduos são muto umerosos e ão são cohecdos, seão pelas suas característcas, presetes a tabela de dados or exemplo, uma pesqusa de opão, ão dspomos para cada dvíduos de qualquer outro cohecmeto que ão aquele presete as respostas Nesse caso, os dvíduos são estudados através de classes defdas pelas varáves Assm, uma equête de opão, os teressamos, por exemplo, pelas mulheres, pelos oves, pelos aposetados etc Uma aálse dos dvíduos por suas classes deve ser tal que duas classes se assemelharão tato mas quato os perfs das partções do couto de modaldades seam próxmos 4 Estudo das varáves rocededo da mesma forma que a AC, podemos adotar dos potos de vsta o estudo das varáves O prmero é aquele de realzar um vetáro das lgações etre as varáves O estudo das relações etre duas varáves qualtatvas ecessta levar em cosderação a tabela cruzada de suas modaldades Um levatameto pouco detalhado das relações mplca, etão, em se stuar o ível das modaldades, aquém daquele das varáves O segudo cosste em expressar o couto de varáves orgas (qualtatvas) por um pequeo úmero de varáves umércas or exemplo, podemos buscar expressar um couto de varáves sóco-profssoas por um dcador de status socal O teresse essas varáves stétcas provém do fato delas serem lgadas às varáves estudadas Assm, uma varável somete poderá ser cosderada como um dcador de status socal se estver lgada, ao mesmo tempo, à categora sóco-profssoal, a dploma etc 43 Estudo das modaldades Estudar o couto das modaldades correspode a realzar um levatameto de seus relacoametos Ode uma modaldade pode ser cosderada segudo dos potos de vsta: Uma varável dcatrz, correspodete a uma colua, que abarca os dvíduos, da Tabela Dsuta Completa; Uma classe de dvíduos em que a repartção sobre o couto de modaldades, sea uma lha ou colua a Tabela de Burt

60 48 A oção de semelhaça que se estabelece etre as modaldades dfere segudo o poto de vsta adotado No prmero caso, as semelhaças etre duas modaldades devem repousar sobre sua assocação mútua: duas modaldades se assemelham quato mas elas estverem presetes, ou ausetes, smultaeamete em um grade úmero de dvíduos As outras modaldades ão tervrão No segudo caso, a semelhaça etre duas modaldades é aáloga àquela utlzada a tabela de freqüêcas Uma lha da Tabela de Burt caracterza a assocação da modaldade com as modaldades de todas as varáves: duas modaldades se assemelham quato forte, ou fraca, é sua assocação às mesmas modaldades 44 Coclusão sobre os obetvos O estudo de uma tabela IdvíduosxVaráves qualtatvas pões em ogo três famílas de obetos: dvíduos, varáves e modaldades Resulta uma problemátca mas rca e complexa que a tpologa clássca: tpologa de lhas, tpologa das coluas e as relações etre as duas tpologas Essa rqueza ão deve, etretato, dexar esquecer a ucdade da tabela: ela ao pode ser um problema para o estudo separado dos dferetes aspectos da problemátca por métodos sem relação etre eles ratcamete, essa ucdade é verfcada ao se artcular as terpretações em toro da tpologa das modaldades Em efeto, essa tpologa permte estudar a assocação mútua etre as modaldades, ou sea, as lgações etre os pares de varáves Ela permte abordar os dvíduos aos examar o comportameto médo de classes de dvíduos 43 A ACF aplcada a uma Tabela Dsuta Completa 43 AFC e AFC Embora a AFC, como método de aálse de tabelas de freqüêca, ão sea aproprada a aplcação a TDC, os cálculos que são realzados pelos programas de AFC, podem ser aplcados a essas tabelas orém, depededo do caso, esses cálculos devem ser reterpretados em fução da atureza partcular da tabela Esses cálculos, mudos dessa ova terpretação, costtuem um método à parte, cohecdo por Aálse de Correspodêcas Fatoral últplas (em algus casos Aálse de Correspodêcas últplas) A AFC de uma TDC ão é mas que uma forma prátca de realzar os cálculos, de resto completo porque gora a oção de varável e ão lhes forece algum resultado que as cocere Dessa forma, segumos esse camho hstórco e cômodo para apresetar a Aálse de Correspodêcas últplas Uma TDC possu ão somete uma atureza dstta daquela de uma tabela de cotgêca (se codfca os dados dferetemete) mas também das propredades umércas partculares As mas mportates são: os valores a tabela são 0 ou ; as colua podem ser reagrupadas por pacotes (que correspodem cada um a uma varável) ode o resultado é uma colua composta de ;

61 49 a soma dos úmeros de uma mesma lha é costate e gual a J, úmero total de varáves As seções segutes mostram que as dstâcas, os pesos e os fatores da AFC de uma TDC correspode aos obetvos prevamete fxados 43 Nuvem de dvíduos A margem sobre I é costate, a trasformação em perfs lha pratcamete ão modfca os dados Um dvíduo é represetado pelas modaldades que possu Dos dvíduos se assemelham se apresetam globalmete as mesmas modaldades as precsamete, a dstâca etre dos dvíduos e é defda por: d p x x (, ) I p p p I ( x x ) A expressão ( x x ) l vale 0 ou e ão é mas que 0, seão para aquelas modaldades presetes em um só dos dos dvíduos cosderados A dstâca d(,l) cresce com o úmero de modaldades que dferem para os dvíduos e l (o que é lógco!) Uma modaldade tervém essa dstâca com pesos N/I, que são o verso de sua freqüêca A preseça de uma modaldade rara dstaca seu ou seus possessores de todos os outros dvíduos A dstâca duzda pela AFC aplcada a uma TDC é etão satsfeta O peso correspodete a cada um dvíduo é o mesmo (pelo fato da margem ser costate) 433 Nuvem das modaldades A modaldade é represetada pelo perfl da colua Os úmero da TDC ão são dferetes de 0 ou, o perfl da colua somete poderá ter, por sua vez, os valores 0 ou /I Em outras palavras, o cetro de gravdade da uvem de modaldades, que se cofude com o perfl da margem sobre I, é caracterzado por um perfl perfetamete plao Resulta que o perfl da colua se assemelha tato mas ao perfl médo quato maor é o úmero de dvíduos possudores da modaldade Recprocamete, uma modaldade rara se assemelhará o meos possível do cetro de gravdade da uvem de modaldades A dstâca etre duas modaldades e h é defda por: d (, h) d x (, h) I Utlzado o fato de que ( x ) x I I h x I h e desevolvedo o termo quadrado, obtemos: úmero de dvíduos que possuem uma e somete uma das modaldades h e Essa dstâca cresce com o úmero de dvíduos que possuem uma e somete uma das duas modaldades h e, e decresce com o efetvo de cada uma dessas modaldades Duas modaldades de uma mesma varável são obrgatoramete bastate dstate uma da

62 50 outra o espaço Duas modaldades possuídas pelo mesmo dvíduo se cofudem As modaldades raras estarão afastadas de todas as outras Essa dstâca traduz bem o prmero dos dos potos de vsta sobre a semelhaça etre modaldades dcados os obetvos Ao aplcar esse cálculo à dstâca etre uma modaldade e o cetro de gravdade G da uvem de modaldades (equvalete à uma modaldade possuída por todos os dvíduos), ecotramos: d (, G ) ( / I ) ; que especfca a fluêca dos efetvos de uma modaldade sobre sua dstâca ao poto médo O peso da modaldade vale I / p ; o que é proporcoal ao efetvo I Observações Um elemeto (lha ou colua) flueca a costrução dos exos por termédo de sua érca com relação ao cetro de gravdade Um cálculo smples resulta: I Iérca de com relação à G ( ) p Esse resultado mostra que, sob fluêca de uma modaldade rara, o pequeo peso será sufcete para compesar seu dstacameto or exemplo, uma modaldade presete em apeas % da população possu uma érca (ou exercerá uma fluêca) duas vezes maor que uma modaldade presete em 50% a população Cocretamete sso sgfca que é costumero ver os prmeros exos fatoras de uma AFC determados quase que exclusvamete por essas modaldades bastate raras repartdas pelos mesmos dvíduos Como, freqüetemete, será bem mas teressate observar os feômeos de uma maera geral, buscamos, a prátca, evtar essas modaldades raras ela soma das ércas das modaldades, mostramos faclmete que a érca total da uvem estudada vale ( K / p) Na AFC, como a AC, mas dferetemete da AFC, a érca total das uves ão tervém a terpretação A érca das K modaldades da varável vale ( K ) / p Essa érca, estado lgada dretamete ao úmero de modaldades da varável, leva a exgr que o úmero de modaldades sea gual para todas as varáves atvas De fato, essa dfereça de érca etre as varáves que possuem úmero dferete de modaldades vale para todo o espaço R Desde o mometo em que cosderamos apeas uma dreção de R, que é o caso dos exos fatoras, a érca da uvem de K modaldades de uma mesma varável é certamete feror a /p, quatdade que ão depede de K Isso resulta em que ão será daoso, realzar uma terveção smultâea os efetvos das varáves que possuem úmeros dsttos de modaldades 434 Relações de trasção e represetação smultâea Com lãs otações á utlzadas a AC e a AFC, as relações de trasção da AFC aplcadas à uma TDC, se escrevem como a segur:

63 5 x F s( ) Gs( ) λ K p s x G s ( ) Fs ( ) λ I s I Do fato de que x ão possu valores outros que 0 ou, essas relações de trasção têm uma terpretação smples Na proeção sobre o exo s, o dvíduo é colocado, com coefcete / próxmo do barcetro das modaldades que ele possu Iversamete, a λs modaldade é colocada, com coefcete / λs próxmo do barcetro dos dvíduos que a possuem Dsso resulta que, sobre um exo, uma modaldade (colua da TDC) represeta uma dlatação próxma da méda dos dvíduos que a possuem Também, o estudo de sua proeção, podemos cosderar uma modaldade como o barcetro de uma classe de dvíduos e como a dcatrz de uma varável O coefcete de dlatação vara com os exos, o que ão é cômodo pos a terpretação dos resultados se faz fator a fator e prma por examar coutamete as preferêcas dos exos ercas comparáves (prcípo comum à todas as aálses fatoras) Essa equvalêca deve ser feta sem que se esqueça que as modaldades, de uma parte equato dcatrzes e de outra parte equato barcetros, estão stuadas em espaços dferetes Dsso resulta que as qualdades de represetação de uma mesma modaldade segudo cada poto de vsta ão são relacoadas Em outras palavras, a oção de proxmdade etre esses dos tpos de obetos, dfere Em efeto, a proxmdade etre dcatrzes dá a medda de sua assocação mútua De outra parte, a proxmdade das médas das classes dos dvíduos se depreede das dstâcas defdas etre os dvíduos: duas classes de dvíduos e h estarão próxmas daquelas com característcas dêtcas o que dz respeto ao couto de varáves, ou sea, as modaldades e h se assocam da mesma maera às modaldades de todas as varáves Essa oção de proxmdade correspode ao segudo poto de vsta sobre as semelhaças etre modaldades lstado os obetvos Observamos que, exceto as dlatações os exos, as duas oções de proxmdade, fudametadas em prcípos dferete, coduzem aos mesmos gráfcos a aálse de uma TDC Na prátca as duas oções de proxmdade se utlzam coutamete; em partcular, terpretamos freqüetemete a proxmdade etre modaldades de varáves dferetes tato quato a assocação de modaldades e a proxmdade etre modaldades de uma mesma varável, como do poto de vsta da semelhaça das classes de dvíduos or exemplo, ao descrever um plao fatoral o qual aparecem dferete aspectos socas, terpretamos a proxmdade etre as duas modaldades segutes, aposetados e mas de 60 aos, em termos de assocação (serão próxmos os mesmos dvíduos que possuem essas modaldades) e a proxmdade etre 60 a 65 aos e mas de 65 aos em termos de semelhaça (as duas classes de dvíduos possurão característcas dêtcas o que dz respeto às outras varáves) Assm, as relações de trasção, mesmo se ão são utlzadas o marco estrto de uma represetação smultâea, coferem à represetação das modaldades as propredades esperadas, emaadas a exposção dos obetvos

64 5 435 As varáves através de suas modaldades As varáves qualtatvas ão são troduzdas explctamete uma AFC de uma TDC Elas aparecem ada mas que através do couto de suas modaldades As subuves de modaldades de uma mesma varável têm propredades que são teressates de compreeder para terpretar os resultados, mas também para codfcar quasquer varáves em vas de serem tratadas como qualtatvas uma AFC 435 Barcetro das modaldades de uma varável Como mostra a relação abaxo, o barcetro das modaldades de uma varável se cofude com aquele do couto da uvem I x K I A proeção coserva essa propredade O couto das modaldades de uma mesma varável é etão cetrada sobre a orgem para todos os gráfcos; os fatores permtem que se comparem, ao mesmo tempo, as modaldades de todas as varáves com as de uma só varável 435 Subespaço egedrado pelas modaldades de uma varável Cosderado a característca dsuta de uma TDC, os vetores de R,que passam pela orgem, (á cetrada) defda pelas modaldades de uma mesma varável são, ortogoas etre eles O couto de r modaldades de uma varável egedra um subespaço de dmesão gual a r Cosderado a característca de uma TDC ser completa, todos esses subespaços possuem uma dreção comum: aquela que coverge apara a orgem do cetro de gravdade da uvem or essa dreção estar elmada devdo a cetralzação, podemos cosderar que, em AFC, uma varável apresetado r modaldades egedra um subespaço de dmesão gual a r- daí resulta que, por represetar perfetamete as r modaldades de uma mesma varável, são ecessáros ao meos (r-) fatores Essa propredade possu váras coseqüêcas prátcas: qualquer que sea a estrutura da tabela, a porcetagem de érca assocada a cada fator, em partcular o prmero, é ecessaramete baxa desde que as varáves apresetam mutas modaldades; mesmo que um fator estea fortemete lgado a uma varável (o setdo de que ele reagrupa os dvíduos que possuem a mesma modaldade daquela varável), é mpossível que todas essas modaldades seam bem represetadas por esse fator; a elaboração de uma tabela de dados, mesmo quado o úmero de dvíduos é muto grade, ão é útl multplcar as modaldades de uma mesma varável: o gaho de defção que se pode obter obtdo, corre o rsco de ão ser aprovetado A érca de uma varável com r modaldades (gual a ( r ) / p ) é etão repartda um subespaço de r- dmesões De outra forma, pode ser mostrado que ela é gual à / em todas as dreções desse subespaço Daí resulta que uma varável com um grade úmero de modaldades, ada que egedrado uma érca mportate em R, ão flueca a oretação do prmero fator de forma prvlegada, porque essa mportate érca está, de qualquer forma, dluída um subespaço de grade dmesão

65 Sítese das varáves qualtatvas Um aspecto do estudo de um couto de varáves é colocar em evdêca um pequeo úmero de varáves stétcas, lgadas mas possível ao couto de varáves orgas ara mostrar que os fatores da AFC costtuem essas varáves stétcas, os utlzamos correlação, que mede a lgação etre uma varável umérca (aqu o fator) e uma varável qualtatva Relembrado a defção de correlação Uma varável qualtatva defe as partções sobre o couto de dvíduos em tatas classes quatas seam as modaldades Utlzado o teorema de Huyges, a érca total (ou varâca) de uma varável umérca pode se decompor a soma da érca ter (e érca dos cetros de gravdades das classes) e das ércas tra (e érca dos dvíduos com relação ao cetro de gravdade da classe à qual ele pertece, a qual ele partcoa) A correlação é o quocete da érca ter pela érca total Ela vara etre 0 e Quado ele é próxmo de, os dvíduos de uma mesma classe estão bem reagrupados e as classes são tdamete separadas umas das outras: essa é ode exste uma stuação de lgação bastate forte etre a varável umérca (o fator) e a varável qualtatva Quado ele é próxmo de 0, as médas das classes são bastate próxmas da méda geral e os dvíduos de uma mesma classe são bastate dspersos: a varável qualtatva e a varável umérca ão são lgadas Na fgura abaxo, lustra-se a stuação ρ ρ 0 Fgura 4 Ilustração de dos valores extremos da correlação para 8 dvíduos represetados por um símbolo dferete segudo sua modaldade para uma varável qualtatva, sobre um exo represetado a varável umérca Deotado por G Fs vale: o barcetro dos dvíduos ode se ecotra a modaldade, a correlação etre uma varável e o fator I ( Fs ( G )) érca ter K ρ ( Fs, ) érca total λ Ao utlzar o fato de que, em AFC, a modaldade tem peso I / p e se ecotra próxma (por um coefcete) do barcetro dos dvíduos que a possuem, sea: Ecotramos: ρ ( F, ) p s K g g g r r g r g g r érca Gs ( ) Fs ( G ) / λs das modaldade s de, proetadas sobre o exo de ordem s Notamos que a relação de correlação está compreedda etre 0 e, a érca da sub-uvem das modaldades de uma mesma varável sobre um exo está compreedda etre 0 e /: ela vale / se F s pertece ao subespaço egedrado pelas modaldades da varável

66 54 A quatdade maxmzada pelos exos fatoras o subespaço R é a érca proetada da uvem do couto das modaldades Ao reagrupar as modaldades de uma mesma varável, esse crtéro ão é outro que a méda das correlações etre o fator e cada uma das varáves Isso resulta em que os fatores da AFC são as varáves umércas com maor lgação ao couto de varáves qualtatvas estudadas e, esse setdo, costtuem etão as varáves stétcas aucadas As propredades eucadas os dos últmos parágrafos permtem aprecar a fluêca relatva de uma varável a AFC: para um dado exo a mportâca a pror de cada varável é a mesma, mas o úmero dos exos sobre os quas uma varável pode flur está dretamete lgado ao úmero de suas modaldades Isto mplca otadamete que se algumas varáves muto rcas em modaldades são lgadas etre elas, os prmeros fatores ão expressarão mas que essas lgações e será, etão, ecessáro avaçar a seqüêca dos fatores para perceber outras lgações 437 Represetação das varáves a AFC O coceto de varável (e ão mas de modaldades) aparece a AFC e coduz a auda à terpretação Esses ídces completam aqueles á obtdos em uma AFC smples da TDC coceretes aos dvíduos e modaldades A cotrbução de uma varável à érca de um fator é a soma das cotrbuções de todas suas modaldades, ela permte também medr a lgação (a correlação) etra a varável e o fator É teressate começar a aálse dos resultados de uma AFC pela cosulta sstemátca desses coefcetes que coloca em evdêca as varáves que estão mas lgadas a cada um dos fatores ode ser útl costrur para avalar a dspersão o prmero plao fatoral ode a abscssa e a ordeada fguram dos fatores, por exemplo: F s e F t Nesse quadrate, podemos represetar cada varável por um poto cua coordeada sobre F s (respectvamete F t ) é a correlação etre a varável e F s (respectvamete F t ) Ademas, mostramos que esse gráfco se terpreta também como a proeção de uma uvem a qual cada poto represeta uma varável, a proxmdade etre dos potosvaráves expressam a semelhaça etre as partções egedradas pelas duas varáves 44 Codfcação das varáves qualtatvas Na prátca as varáves qualtatvas estudadas a AFC resultam freqüetemete de uma trasformação de varáves umércas Além dsso, mesmo quado a varável é por atureza qualtatva, exste com freqüêca, para descrevê-la, uma escolha etre váras partções mas ou meos fas Os resultados depedem da escolha das partções assocadas às varáves, esse problema é crucal Na aálse de dados chamamos geralmete codfcação a costrução, a partr de dados brutos de uma tabela prota para ser aalsada: esse setdo, o problema da escolha das classes é um problema de codfcação e ão exste método sstemátco para realzá-la A prátca e a teora têm, etretato, esboçado um certo úmero de prcípos que é prudete respetar Ademas, os resultados de uma aálse permtem a valdação ou a recosderação

67 55 da codfcação utlzada Detalharemos aqu apeas algus problemas relatvos à codfcação das varáves umércas como varáves qualtatvas 44 or que trasformar as varáves cotíuas em qualtatvas? Dos obetvos prcpas coduzem a codfcar por classes das varáves cotíuas partdo seu tervalo de varação Ates de tudo, podemos querer torar homogêeos dados que se compõem calmete por varáves umércas e qualtatvas Assm, a aálse de um couto de evetos socas (sexo, profssão, dade, reda etc) o fato de trasformar as varáves umércas dade e reda em varáves qualtatvas permte tratar o couto dessas varáves pela AFC odemos também ter teresse em realzar uma codfcação qualtatva mesmo quado dspomos de um couto de varáves umércas sobre o qual uma AC pode de toda maera ser aplcada Em efeto, a AFC sobre essas mesmas varáves codfcadas em classes oferece uma outra aproxmação dos dados Ao represetar cada varável pela mesma quatdade de potos quatas são as classes, a AFC pode colocar em evdêca, se elas exstem, as lgações ão leares etre as varáves Esse tpo de lgação é bastate freqüete porque mutos feômeos apresetam efetos de umbral: um estado patológco pode ser caracterzado por um valor muto fraco ou muto elevado; um queo será tão mas aprecado quato for salgado até um certo poto (desse poto de vsta, os dos extremos do tervalo de varação do caráter salgado são tão próxmos etre eles como de sua méda) Cocretamete, sobre os gráfcos a proxmdade de modaldades extremas demostra a attude da AFC em colocar em evdêca as lgações ão leares Tas feômeos são aturalmete vsíves os resultados de uma AC que ão dão cota mas do que de suas lgações leares aradoxalmete, reduzdo a formação tratada (a pertêca a uma classe ou a um tervalo é meos precso que um valor umérco), aumetamos a rqueza do resultado! Notamos por exemplo que a méda de uma classe de dvíduos compreededo dvíduos muto grades e dvíduos muto pequeos, correspode a um dvíduo médo para uma varável umérca embora ela correspoda a uma partção detro dos dos extremos por ela mesma codfcada como qualtatva A AFC de varáves umérca codfcadas como varáves qualtatvas é uma aproxmação de uma aálse ão lear, o segute setdo: tratamos de ecotrar as varáves stétcas que são combações leares de fuções quasquer das varáves estudadas e ão, como a AC, das varáves elas mesmas Esse problema ecotra-se tãosomete detro dos lmtes de um modelo ode a população é fta Na prátca, a AFC sobre uma população fta, em lugar de cosderar o couto das fuções de uma varável, dvdmos o tervalo dos valores da fução em sub-tervalos e cosderamos o couto das fuções costates em cada sub-tervalo Em efeto, quado tratamos pela AFC uma varável qualtatva, essa varável está represetada em R pelo subespaço E egedrado pelas dcatrzes de suas classes; E ão é outro seão o couto das varáves que possuíam o mesmo valor para todos os elemetos de uma mesma classe O prmero fator é a combação lear dos elemetos desses subespaços E (cada elemeto é uma

68 56 fução costate sobre as classes de uma varável) que melhor se aproxma desses subespaços Essa codfcação permte também estudar varáves em que as dstrbuções são bastate rregulares e para as quas o coefcete de correlação é uma medda de lgação adequada or exemplo se um elemeto tem um valor muto afastado dos valores dos outros elemetos flu de maera prepoderate sobre os coefcetes de correlação e uma codfcação qualtatva o eutralza 44 Escolha do úmero de classes ara codfcar por classes uma varável cotíua, quer dzer dvdr seu tervalo de varação em sub-tervalos que defem a mesma quatdade de modaldades, é precso determar de uma parte o úmero classes e de outra parte seus lmtes Essa separação é um pouco formal a medda em que as duas escolhas são freqüetemete efetuadas smultaeamete Quatas classes é precso utlzar? Nem mutas, em poucas Dmudo o excesso de úmero de classes, reagrupamos cada vez mas dvíduos dferetes, perdemos assm muta formação As modaldades atgem etão as stuações mas varadas e seu estudo ão coloca em evdêca ada mas que os feômeos á os mas destacados Aumetado o úmero de classes arrscamos obter classes com um pequeo efetvo com todos os coveetes que sto comporta Se o efetvo da população é muto grade, descartamos esse rsco e somos tetados a tomar um grade úmero de classes Cotudo, o úmero de classes excessvamete grade ão dexa de apresetar problemas Quato mas cramos classes mas arrscamos fazer aparecer as lgações potuas etre as modaldades De outra parte, cada varável tervém a aálse pelo subespaço de dmesão r- egedrado por suas r modaldades Assm que aumetamos r, o úmero de fatores sobre os quas uma varável pode flur aumeta e o aspecto stétco da aálse ão melhora, muto pelo cotráro! Idcamos, para fxar as déas, que a experêca mostra que ão é útl ultrapassar o úmero de oto modaldades a codfcação de varáves quattatvas e que 4 ou 5 são freqüetemete bem sufcetes 443 Escolha das classes ara escolher as classes, examamos prmeramete se exstem lmtes aturas, ou clásscos, para a varável medda Dessa maera, em um estudo socal, a dade para a aposetadora é um lmte atural Ada que esse poto de vsta ão é sufcete, estudamos as rregulardades da repartção dos valores ara sto costruímos um hstograma com umerosas classes Os vazos a repartção sugerem cortes o tervalo de varação Ada que os dos prcípos precedetes ão mpoham ehum lmte, realzamos uma dvsão sstemátca do tervalo de varação O prcípo a respetar esta operação é o de obter classes de mesmo efetvo ao vés de tervalos com mesma ampltude Esse procedmeto de dvsão está sempre prevsto os programas para aálse de dados

69 Exste ustfcações teórcas para essa prátca Um certo úmero de argumetos dretos mltam por essa escolha As modaldades represetam um couto de dvíduos e para que a comparação etre eles teham setdo é deseado que esses coutos seam aálogos do poto de vsta de seus efetvos Isso é partcularmete mportate a AFC ode a dstâca das modaldades ao barcetro cresce quado o efetvo decresce Esse procedmeto evta as modaldades de efetvo pequeo que os apotamos ode ressaltamos o efeto perturbador Além dsso, o perfl dessas modaldades é muto sesível às pequeas varações da população; sto é partcularmete embaraçoso mesmo que essa população sea proveete de um amostra 57

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71 Ídce Aálse em Compoetes rcpas,, 6, 7 Aálse Fatoral de Correspodêcas,, 6,, 3 Aálse Fatoral de Correspodêcas últplas,, 6, 45, 48 Aálse Fatoral Dscrmate,, 6,, Aálse Herárquca, Barcetro, 5, 5, 53, 57 Classe Dsuta, Compoetes prcpas, 8, 4, 5, 8, 34, 40 Cotrbução Absoluta, 36 Relatva, 36 Correlação, 7 Dstâca Eucldaa, 0 X, 5 Estatístca descrtva, opulação,, 6 Udade,, 3 Exos fatoras,, 3 Equvalêca dstrbutva, 4, 8, 30, 43 Idvíduos, Nuvem de, 0 esos de, 8 suplemetares, 3 Teórco médo, 9 Tpologa de, 8 Iérca, explcada, 35 total, 53 Ivarâca, 9 Lear combação 5, 8, 40, 55 Correlação, 7 atrz de Iérca, 30 Nuvem De Idvíduos, 0 Observação, (ver dvíduo) Ortogoal, lao Fatoral, 0 roeção, Qualdade de represetação

72 ÍNDICE 60 De um elemeto um exo, 0 De uma uvem um exo, 0 Reduzda, 0 Represetação Tabela Nuvem de dvíduos,, 9 Nuvem de varáves, 4, 54 Smultâea, 9, 36, 50 De observações e varáves suplemetares, 43 de Cotgêca,, 3, 3 Dsutas Completas, 4, 45 dvíduos característcas,, 7 IdvíduosxVaráves, 7, 45 Lógcas, 4 multdmesoal, de Dados Ordas, 4 Valor própro, 6, 8, 3, 33, 38, 39, 40, 4 Varâca, 9, 0, 35, 53 Covarâca, 3 Vetor própro, 3, 33, 34