José Álvaro Tadeu Ferreira. Cálculo Numérico. Notas de aulas

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Isttuto de Cêcas Eatas e Bológcas Departameto de Computação José Álvaro Tadeu Ferrera Cálculo Numérco Notas de aulas Iterpolação Polomal Ouro Preto 3 (Últma revsão em ovembro de 3)

2 Sumáro - Itrodução Estêca e ucdade do polômo terpolador Erro de trucameto Métodos de obteção do polômo terpolador Método de Lagrage Método das dfereças dvddas O operador dfereça dvdda O polômo terpolador com dfereças dvddas Método das dfereças ftas ascedetes O Operador Dfereça Fta Ascedete O polômo terpolador com dfereças ftas ascedetes Compledade dos métodos de terpolação Cosderações fas... 3 Aeos... 5 a) Teorema do Valor Médo... 5 b) Operador lear... 6 Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco

3 Iterpolação polomal - Itrodução Em geral, dspõe-se de dados que são forecdos em um cojuto dscreto de valores, detro de um cotíuo de possbldades. Etretato, pode ser ecessáro fazer estmatvas em potos que estão etre os valores dscretos, ou seja, ão costam do cojuto. Ocorre, também, a stuação a qual se faz ecessára uma versão smplfcada de uma fução complcada. Ambas as aplcações são cohecdas como ajuste de curvas. Há duas abordages geras para o ajuste de curvas, as quas se dstguem com base a quatdade de erro assocada com os dados. Prmero, quado os dados ebrem um grau sgfcatvo de erro, a estratéga será determar uma úca curva que represete a tedêca geral dos dados. Como cada poto dvdual poderá estar correto, ão será feto qualquer esforço para passar a curva por todos os potos. Em vez dsto, a curva é escolhda para segur o padrão dos potos cosderados como um grupo. Uma abordagem desta atureza é chamada de regressão por mímos quadrados. Segudo, quado se souber que os dados são muto precsos, a abordagem básca é ajustar uma curva ou uma sére de curvas que passam dretamete por cada um dos potos. Este tpo de abordagem, que é o objeto deste teto, é chamada de terpolação. Iterpolar uma fução, = f(), em um tervalo fto (a, b), cosste em substtuí-la, ou apromá-la, por outra fução, = g(). A ecessdade de se utlzar este procedmeto ocorre, bascamete, quado a fução: a) ão é cohecda a sua forma aalítca, mas, apeas por meo de um cojuto de potos (, ), =,,..., ; esta stuação ocorre com muta freqüêca, a prátca, quado se trabalha com dados obtdos de forma epermetal; b) é cohecda aaltcamete, mas operações como a dferecação e a tegração são dfíces (ou mesmo mpossíves) de realzar, ou seja, a fução é de dfícl tratameto. Teorcamete, a fução = g() pode ser qualquer, mas o caso mas comumete cosderado é aquele em que pertece à classe das fuções polomas. A apromação de fuções por polômos é uma das déas mas atgas da aálse umérca, e ada das mas utlzadas. É fácl eteder a razão. Os polômos são faclmete computáves, suas dervadas e tegras são, ovamete, polômos, seus zeros podem ser determados com facldade, etc. O uso de polômos terpoladores é mportate, por eemplo, para a obteção de valores termedáros em tabelas, a tegração umérca, o cálculo de raízes de equações e a resolução de equações dferecas ordáras. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 3

4 As fuções terpolates polomas são as mas populares ão só por suas propredades algébrcas, mas, sobretudo, pela justfcatva forecda pelo teorema de apromação de Weerstrass que, de fato, garate a estêca de um polômo capaz de apromar uma fução f tão bem quato se quera. Teorema (Weerstrass) Se f é uma fução cotíua em um tervalo fechado [a, b], etão, dado >, este alguma fução polomal, p, de ordem = (), tal que f() p() <, para [a, b] Apesar de justfcar a estêca da fução terpolate polomal, este teorema ão é costrutvo, sto é, ão forece modos ou crtéros para a sua obteção. Neste teto apresetam-se algus dos procedmetos mas usuas para a obteção de fuções terpolates polomas. Objetvo Sedo (, ), =,,..., ; potos, com abscssas dsttas, de uma fução = f(), obter o polômo, = p() tal que: p( ) = f( ) =, =,,..., - Estêca e ucdade do polômo terpolador Teorema. Se (, ) =,,..., ; são ( + ) potos com abscssas dsttas, de uma fução, = f(), etão este um, e só um, polômo, = p(), de grau mámo, tal que: Demostração p( ) = f( ) =, =,,..., O objetvo é apromar uma fução, = f(), por um polômo, = p(), ou seja, desejase obter p() a a -... a a tal que p( ) = f( ) = para todo =,,,..., Com esta codção, tem-se: Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 4

5 p( p( p( ) a ) a ) a a a a a... a... a Que é um sstema de ( + ) equações leares com ( + ) cógtas a, a, a,..., a. A sua matrz dos coefcetes é dada por: a a a X (.) Trata-se de uma ma matrz de Vadermode. O seu determate é calculado da segute maera det(x) = ( ) ( )... ( ) ( ) ( 3 )... ( )... ( - ) Como, por codção,,,..., são valores dsttos, etão tem-se que o determate de X é ão ulo e o sstema lear admte solução úca. Portato, este um úco polômo, = p(), tal que p( ) = f( ) =, =,,...,. Coclu-se, ada, que o polômo tem grau mámo, uma vez que os coefcetes, a, =,,..., ; podem assumr qualquer valor real, zero clusve. 3 - Erro de trucameto Teorema 3. Sejam: () (, ), =,,..., potos com abscssas dsttas de uma fução = f(); () = f() uma fução com ( + ) dervadas cotíuas o tervalo [, ]. Etão, para cada [, ], este um úmero ξ (, ), que depede de, tal que f () - p() f ( ()) Et () ( - ).( - )...( - ). ( )! (3.) Ode f + (.) é a dervada de ordem ( + ) de = f() e = p() é o polômo que a terpola os potos (, ), =,,...,. A epressão (3.) é chamada de termo do erro ou erro de trucameto. É o erro que se comete quado se substtu a fução pelo polômo que a terpola, o poto. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 5

6 A mportâca do Teorema 3. é mas teórca do que prátca, uma vez que ão é possível determar o poto ξ. Na prátca, para estmar o erro cometdo, quado a fução é dada aaltcamete, é utlzado o coroláro a segur. Coroláro 3. Se f() e suas dervadas até a ordem ( + ) são cotíuas o tervalo [, ], etão: E () ( - t ).( - )...( - M ). ( )! (3.) Ode M = ma f () o tervalo [, ]. Eemplo 3. Sabedo-se que os potos a segur são da fução f() =.e 3., calcular um lmtate superor para o erro de trucameto quado se avala para =,5. Solução De (3.) tem-se que,,3,4 f( ),8,4596 3,3 E () ( - t ).( - )...( - M ). ( )! Ode M = ma f ''' () o tervalo [,;,4]. Como f() =.e 3., segue que: f () = e 3. ( + 3.) f () = e 3..(6 + 9.) f () = 7.e 3..( + ) No tervalo [,;,4], f () é máma para =,4. Logo M = f (,4) = 5,4998. Sedo assm: Et (,5) Et (,5),78 5,4998 (,5 -,).(,5 -,3).(,5 -,4). 3! Note-se que = p() ão ecessaramete coverge para = f() em [a, b] à medda que se aumeta o úmero de potos de terpolação. Polômos terpoladores de grau elevado podem produzr grades osclações os etremos do tervalo, é o Feômeo de Ruge. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 6

7 Este feômeo demostra que polômos de grau elevado são ormalmete pouco recomedáves para a terpolação porque aumetam o erro em valores prómos aos etremos do tervalo de terpolação e melhoram a apromação em valores prómos ao cetro. O problema pode ser evtado usado terpolação polomal por partes com polômos de grau moderado. Desta forma, pode-se tetar dmur o erro de terpolação aumetado o úmero de peças de polômos usadas, em vez de aumetar o grau do polômo. Eemplos típcos: terpolação lear por partes (uma reta para cada par de potos) e terpolação quadrátca por partes (uma parábola para cada três potos), curvas sple. 4 - Métodos de obteção do polômo terpolador Os város métodos para a determação do polômo terpolador têm em comum o coceto de que um polômo ada mas é do que uma combação lear de polômos. O que dfere um método do outro é a forma como este coceto é utlzado, ou seja, a maera de como o polômo terpolador é cocebdo. 4. Método de Lagrage Neste método, o polômo, = L(), que terpola uma fução, = f(), em um cojuto de potos (, ), =,,..., é cocebdo da forma L() ode os L (), =,,,...,..L ().L ().L () (4.) Para que este modelo resulte em um polômo terpolador é ecessáro que L( ) = f ( ) =, =,,..., Sejam, etão L( ) =.L ( ) +.L ( ) +.L ( ) + +.L ( ) Para que L( ) = é ecessáro que L ( ) = e L ( ) = L ( ) = = L ( ) = Cosdere-se agora L( ) =.L ( ) +.L ( ) +.L ( ) + +.L ( ) Para que L( ) = é ecessáro que L ( ) = e L ( ) = L ( ) = = L ( ) = Portato, para que (4.) seja o polômo terpolador de = f() os potos (, ) os L (); =,,,..., ; devem ser tas que L ( ) = L ( j ) = ;, j =,,,..., ; j Assm, os L () são polômos de grau uma vez que cada um tem zeros. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 7

8 Para determar cada L (), =,,..., ; basta cosderar que todo j, j =,,..., ; é um zero de L () quado j. Seja a determação de L (). Tem-se, por codção, que: L ( ) = L ( j ) = ; j =,,..., Portato, cohecedo os zeros de L (), pode-se escrevê-lo a forma fatorada: L () = c.( ).( )... ( ) Para determar o coefcete c basta cosderar o valor umérco de L () em = que, por codção, é gual a. L ( ) = c.( ).( )... ( ) = c ( )( ) ( ) Tem-se, etão, que L ( )( ) ( ) () ( )( ) ( ) (4.) Seja, agora, a determação de L (). Por codção, tem-se que L ( ) = L ( j ) = ; j =,,..., E, etão, L (), pode ser escrto a forma L () = c.( ).( )... ( ) De modo aálogo ao que fo feto aterormete, para determar o coefcete c basta cosderar o valor umérco de L () em = que, por codção, é gual a, obtedo-se etão L ( ) = c.( ).( )... ( ) = c ( )( ) ( ) Tem-se, etão, que Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 8

9 ( )( ) ( ) L() ( )( ) ( ) (4.3) Cosderado os resultados 4. e 4.3, coclu-se que ( )( ) ( )( ) ( ) L (), =,,..., (4.4) ( )( ) ( )( ) ( ) Eemplo 4. Seja = f() uma fução dada os potos a segur. Utlzado terpolação polomal, método de Lagrage, determar o polômo que a terpola. Solução O polômo terpolador é: L() =.L () +.L () +.L () + 3.L 3 () Seja, etão, a obteção de L (), =,,, 3 L ( - )( - )( - 3) () ( - )( - )( - 3 ) ( -).( - ).( - 4) L() ( ( - - )( - )( - 3) )( - )( - ) 3 ( - ).( - ).( - 4) L () ( ( - - )( - )( - 3) )( - )( - ) 3 ( - ).( -).( - 4) L3() ( ( )( - )( - ) )( - )( - ) 3 3 ( - ).( -).( - ) Obtém-se, etão, que L() = Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 9

10 Eemplo 4. Sedo = f() uma fução cohecda os potos: Pede-se:,9,,66,543,4536 () Utlzado terpolação polomal, método de Lagrage, estmar o valor de para =,7. Solução O polômo terpolador é: L() =.L () +.L () +.L () Neste tem, pede-se para calcular L(,7) que é dado por: L(,7) =.L (,7) +.L (,7) +.L (,7) Tem-se que ( - )( - ) ( -).( -,) () L (,7) -,5 ( - )( - ) (,9 -).(,9 -,) L ( - )( - ) ( -,9).( -,) () L (,7),5 ( - )( - ) (-,9).(-,) L ( - )( - ) ( -,9).( -) () L (,7),595 ( - )( - ) (,-,9).(,-) L Portato L(,7) = (,66).(-,5) + (,543).(,5) + (,4536).(,595) L(,7) =,48 () Sabedo-se que os potos dados são relatvos à fução = cos(), estmar o erro de trucameto mámo cometdo o tem (). Solução Sabe-se que o erro de trucameto mámo cometdo é dado por: E () ( - ode M = má f + () o tervalo [, ]. t ).( - )...( - M ). ( )! Tem-se que f () = se(), cujo módulo é mámo o tervalo [,9;,] para =, e f (,) =,89 = M. Sedo assm,,89 Et (,7) (,7 -,9).(,7 -).(,7 -,). Et (,7) 5,3 3! Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco - 5,

11 4. Método das dfereças dvddas 4.. O operador dfereça dvdda Defção 4. Dada uma fução, = f(), a sua prmera dervada é defda como: f f ( h) - f() '() lm (4.5) h h Sedo (, ), =,,..., ; um cojuto de potos da fução, etão: Seja f '( ) lm h f ( h) - f( ) h Sedo assm f '( ) + h = + h = + - f ( ) - f( ) lm (4.6) - Defção 4. Sedo (, ), =,,..., ; um cojuto de potos, com abscssas dsttas, de uma fução = f(), defe-se o operador dfereça dvdda de prmera ordem como: D f ( ) - f( ) -, =,,..., (4.7) - - Observe-se que este operador ada mas é do que uma apromação do valor umérco da prmera dervada de uma fução em um poto. Pode ser demostrado que as dfereças dvddas de ordem superor são apromações para as dervadas de ordem superor. A dfereça dvdda de seguda ordem é defda como: D D - D, =,,..., (4.8) - A dfereça dvdda de tercera ordem é defda como: D 3 D - D, =,,..., 3 (4.9) 3 - Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco

12 Cosderado as defções (4.7), (4.8) e (4.9), tem-se que a dfereça dvdda de ordem k, é defda como: D k D k - k - D - k - k,,,,...,,..., - k (4.) Sedo a dfereça dvdda de ordem zero defda como: D =, =,,..., (4.) 4.. O polômo terpolador com dfereças dvddas Neste método, o polômo, = p(), que terpola uma fução, = f(), em um cojuto de potos (, ), =,,..., ; é cocebdo da forma: p() = a + a.( ) + a.( )( ) a.( )( )... ( - ) (4.) Tedo em vsta que = p() deve ser tal que p( ) = f( ) =, =,,..., Etão p( ) = a a = = D (4.3) p( ) = + a.( ) = Vem, etão, que - a (4.4) - Tedo em vsta a defção 4.7, verfca-se que 4.4 é a dfereça dvdda de prmera ordem, ou seja a = D (4.5) O polômo 4. deve terpolar = f() o poto (, ). Portato p( ) = + D.( ) + a.( )( ) = (4.6) Sabe-se que: - D Y Y - -Y = D ( - ) - DY Y - -Y = D ( - ) Cotrbução do Professor José Amérco Trvellato Messas Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco

13 Somado-se as duas equações, tem-se: Y -Y + Y -Y = D ( - ) + D ( - ) Y Y = D ( - ) + D ( - ) (4.7) Eplctado a em (4.6), tem-se que: a Y - Y - D( ) ( )( ) Tedo em vsta (4.7), vem que: a D ( ) D( ) - D( ( )( ) ) D. D. D( ) - D a ( )( ) D. D ( ( ) - D )( D ). Portato D( ) - D ( ) a ( )( ) D - D a (4.8) - Com base a defção 4.8, coclu-se que 4.8 é a dfereça dvdda de seguda ordem. Sedo assm a = D (4.9) Cosderado os resultados (4.3), (4.5) e (4.9), pode-se coclur que: e que 4. é um polômo da forma: a = D, =,,... p() = + ( ).D + ( )( ).D ( )( )... ( - ).D (4.) Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 3

14 Teorema 4. (Valor Médo de Lagrage Geeralzado) Se = f() é uma fução com dervadas cotíuas o tervalo [, ], etão este um poto ξ [, ] tal que f ( ) D! (4.) Demostração Seja e() = f() p() Ode p() é o polômo que terpola f() os potos dados. Assm sedo, a fução e() tem + zeros dsttos, o que mplca, pelo Teorema de Rolle Geeralzado, que e`() tem zeros em [, ] e, assm, sucessvamete. Assm, coclu-se que este um ξ [a,b] tal que e (ξ) =. Ou seja = f (ξ) p (ξ) = f (ξ) D.! c.q.d. Coroláro 4. Sob as hpóteses do teorema ateror, tem-se que f () D f ()! (4.) Coroláro 4. Se = f() e suas dervadas até a ordem ( + ) são cotíuas o tervalo [, ], etão: E T () ( ). ( )..... ( ).má D + f() Tedo em vsta o teorema 4. e o coroláro 4., a ausêca de formação sobre f + (), uma estmatva para o erro de trucameto mámo pode ser obtda utlzado-se uma dfereça dvdda de ordem ( + ), caso estas ão varem muto. Eemplo 4.3 A tabela a segur apreseta valores da voltagem, V, em fução da correte elétrca, I. Utlzado terpolação polomal, método das dfereças dvddas, estmar o valor de V quado I = 3A. 3 I = 4 8 V = Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 4

15 3 m 8 m parede A parede B Depto de Computação Isttuto de Cêcas Eatas e Bológcas Uversdade Federal de Ouro Preto Solução Icalmete, são determados os valores das dfereças dvddas. Tem-se, etão: I = V = D D D 3-6 5,5 -, ,5, , p() = + ( - ).D + ( - ).( ).D + ( - ).( ).( ).D 3 p(3) = + (3 - ).(- 6) + (3 - ).(3 ).(5,5) + (3 - ).(3 ).(3 4).(-,64) p(3) = 8,8V Eemplo 4.4 Uma barra de metal está presa em duas paredes separadas pela dstâca de m. A 5m da parede A, um corpo apoado sobre a barra faz com que esta toque o solo. Os potos de egate as duas paredes estão a 8m (parede A) e 3m (parede B) do solo, coforme mostra a fgura a segur. Usado terpolação polomal, Método das Dfereças Dvddas, pede-se estmar: a) a altura, em relação ao solo, de um poto da barra localzado a m da parede A; b) qual deve ser a altura da barra o poto localzado a m da parede A, para que o trecho compreeddo até 5m da mesma seja represetado por um polômo de grau um. SOLO d=m Solução a) Os potos a cosderar são os da tabela a segur. V = D D 8 -,6,69 5,49 3 Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 5

16 p() = + ( - ).D + ( - ).( ).D p() = 8 + ( - ).(-,6) + ( - ).( 5).(,69) p() = 3,786m b) Pede-se para determar a altura da barra a m da parede A. Os potos a cosderar e as dfereças dvddas estão a tabela a segur. D D 8 5 Para que este trecho seja represetado por um polômo de grau um, é ecessáro que a dfereça dvdda de seguda ordem seja ula. Etão, fazedo: = 4,8m 4.3 Método das dfereças ftas ascedetes 4.3. O Operador Dfereça Fta Ascedete Defção 4.3 Sedo (, ), =,,..., ; potos de uma fução, = f(), tas que + = h = costate; =,,..., ; defe-se a dfereça fta ascedete de prmera ordem como: f() = f( + h) f() (4.4) Em um poto tem-se que f( ) = f( + h) f( ) = +, =,,,..., (4.5) Da defção (4.4), verfca-se que o operador (.) é lear (ver aeo), sedo assm, as dfereças ftas ascedetes de ordem superor são defdas, por recorrêca, da segute maera. Seguda ordem. [ ] = [ + ] = +, =,,,..., (4.6) Tercera ordem. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 6

17 [ ] = [ +,] 3 = +, =,,,..., 3 (4.7) Geeralzado, tem-se que a dfereça fta ascedete de ordem k é defda como: k = k - + k - k,,,...,,..., - k (4.8) Sedo a dfereça fta ascedete de ordem zero defda como: = ; =,,,..., (4.9) As dfereças ftas ascedetes estão tmamete relacoadas com as dervadas de uma fução. Tedo em vsta as defções 4. e 4.3, verfca-se que f () h é uma apromação para a prmera dervada de uma fução = f(). O teorema a segur geeralza esta déa. Teorema 4.3 Sedo = f() uma fução com dervadas cotíuas até a ordem k, tem-se que: k f() = h k.f (k) ( k ) para algum k (, + k.h) (4.3) Demostração A demostração será feta por dução sobre k. Base de dução: a relação vale para k = f() = f( + h) f() = h.f (ξ) (Teorema do Valor Médo) Hpótese de dução Admta-se que a relação vale para k. k f() = h k.f k (ξ k ), ξ k (, + (k ).h) Passagem de dução Provar que a relação é válda para k. k [f()] = k - [ [f()]] = k - [f( + h) f()] = k - [f( + h)] k - [f()] k - [f( + h)] = h k - f (k ) (µ ) com µ ( + h, + h + (k )h) = ( + h, + h.k) k [f()] = h k f (k ) (µ ) com µ (, + (k )h) Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 7

18 Usado agora o (T.V.M) para f (k ) tem-se ξ k (µ, µ ) ou (µ, µ ) : f (k ) (ξ ) f (k ) (ξ ) = hf (k) (ξ k ) Vem, etão, que k [f()] = k [f( + h)] k [f()] = h k (f (k ) (µ ) f (k ) (µ )) = h k hf (k) (ξ k ), ξ k (µ, µ ) = h k f (k) (ξ k ), ξ k (, + k.h) c.q.d. Coroláro 4.3 [ k f() / h k ].é uma apromação para f (k) () e o erro cometdo tede a zero quado h tede a zero O polômo terpolador com dfereças ftas ascedetes Teorema 4. Se (, ), =,,..., ; são potos de uma fução, = f(), tas que + = h, =,,..., ; etão vale a relação: D k k, k =,,,..., ; =,,,..., k (4.3) h k.k! Demostração: A demostração é feta por meo de dução fta em k. Base de dução: ordem D = = h, =,,,, - h.! Hpótese de dução Admta-se que o argumeto é váldo para a ordem k. k k- D, =,,,, k + k h.(k )! Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 8

19 Passagem de dução Provar que é váldo para ordem k. Por defção D k D k k D k, =,,,, k Sedo + k = k.h,,tem-se que D k h k k.(k )! h k.h k k.(k )!, =,,,, k k D k k - k h.h.k.(k )!, =,,,, - k Portato D k h k k, k =,,,..., ; =,,,..., k.k! c.q.d. Seja a varável De ode vem que = + h.z - = h.z = ( + h) = h = h.z h = h.(z ) = ( +.h) =.h = h.z.h = h.(z )... - = h.[z ( - )] - z (4.3) h Efetuado as substtuções o polômo terpolador com dfereças dvddas, 4., obtém-se que o polômo terpolador com dfereças ftas ascedetes: z(z ) z(z )(z ) 3 z(z )...[z ( )] p( h.z) z....! 3!! (4.33) Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 9

20 Eemplo 4.5 Os potos a segur relacoam a solubldade, S, da água o óleo meral, em partes por mlhão, com a temperatura, t, em graus cetígrados. Utlzado terpolação polomal, método das dfereças ftas ascedetes, estme o valor de t quado S = ppm. S t Δ Δ Δ Sabe-se que Logo z z,7 h z(z ) z(z )(z ) 3 p( h.z) z.! 3! z(z ) z(z )(z ) p( h.z) 5 z.(35).( 9).(3)! 3! Sedo assm, o polômo terpolador é dado por: p( + h.z) =.7.Z 3 6.Z + 48,83.Z + 5 Tem-se, etão, que p() = 6,4 o C Eemplo 4.6 Uma hdroelétrca tem capacdade máma de 6MW, que é determada por três geradores de 3MW, 5MW e 5MW, respectvamete. A demada de eerga vara um cclo de 4h, sedo que a demada míma ocorre etre h e 5h e a máma etre 4h e 7h. Utlzado terpolação polomal, método das dfereças ftas ascedetes, estme a demada míma e a máma e o horáro em que cada uma ocorre, cosderado os dados a segur. 3 Hora ( ) Demada ( ) 6,4 5, 4,9 6, Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco

21 Solução Demada míma 3 Hora ( ) Demada ( ) 36,5 43, 34, 3, Icalmete, são calculados os valores das dfereças ftas ascedetes. 3 Sedo 6,4 -,,9,5 - z 3 5, -,3,4 h 4 4,9, 3 5 6, etão z = e = + z O polômo terpolador tem a forma z(z ) z(z )(z ) 3 p( h.z) z.! 3! Assm, z(z ) z(z )(z ) p( z) 6,4 z.(,) (,9) (,5)! 3! 3 p( z),8.z,.z -,48.z 6,4 Para estmar a demada míma basta obter a prmera dervada de p( + z) e determar os seus zeros. Tem-se, etão: p ( + z) =,4.z +,4.z,48 = Trata-se de uma fução do segudo grau. Seus zeros são 3,46, que ão tem setdo para este problema, e,79. A questão, agora, é verfcar que z =,79 é abscssa de poto de mímo. Para sto toma-se a seguda dervada de p( + z) e verfca-se, faclmete, que: p ( + z) =,48.z +,4 > z > Logo z =,79 é, de fato, abscssa de um poto de mímo. Portato p(3,79) = 4,8MW é uma estmatva para a demada míma e. = 3,79, que correspode a 3h48m, é o horáro apromado o qual a ela ocorre. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco

22 Demada máma Cálculo das dfereças ftas ascedetes. 3 Sedo 4 36,5 6,5-5,5,7 - z 5 43, - 9 6, h 6 34, -, , etão z = 4 e = 4 + z O polômo terpolador tem a forma z(z ) z(z )(z ) 3 p( h.z) z.! 3! Assm, z(z ) z(z )(z ) p(4 z) 36,5 z.(6,5) ( 5,5) (,7)! 3! 3 p(4 z) 3,6.z 8,6.z,48.z 36,5 Dervado p(4 + z) tem-se a fução: p (4 + z) =,86.z - 37,.z +,48 Cujos zeros são z =,74 e z =,69. Basta, agora, calcular o valor umérco da seguda dervada de p(4 + z) em cada um destes potos para verfcar qual deles é abscssa de poto de mámo. Sedo p (4 + z) =,7.z - 37, Para z =,74, tem-se que p (4,74) = -,3 e, para z =,69, p (6,69) =,3. Portato, z =,74 é abscssa de poto de mámo e, calculado o valor umérco do polômo terpolador este poto, tem-se a estmatva para a demada máma que é p(4,74) = 43,7MW e verfca-se que ela ocorre às 4h44m, apromadamete. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco

23 5 Compledade dos métodos de terpolação É mportate, quado se avala a efcêca de um algortmo qualquer, saber como ele se comporta com relação ao úmero de operações artmétcas em fução do tamaho da sua etrada. Esta é a aálse de compledade de tempo do algortmo. Quado se avala a quatdade de memóra ecessára em fução do tamaho da etrada, tem-se a aálse de compledade de espaço. Este uma vasta teora sobre téccas de avalação formal destas compledades. Neste teto cosdera-se, estrtamete, o úmero de operações artmétcas. Os métodos de terpolação de Lagrage, Dfereças Dvddas e Dfereças Ftas Ascedetes realzam, cada um, um úmero específco de operações artmétcas, ou seja, cada um tem a sua compledade. A tabela 5. apreseta uma sítese da aálse feta para cada um destes métodos. Método Adções Multplcações Dvsões Total Lagrage Dfereças dvddas Dfereças ftas ascedetes Tabela 5.: Compledade dos métodos de terpolação ( é o grau do polômo) Tomado como eemplo um polômo terpolador de grau dez verfca-se que o úmero total de operações efetuadas pelo Método de Lagrage é gual a 45, pelo Método das Dfereças Dvddas 85 e, pelo Método das Dfereças Ftas Ascedetes, 76. O que leva a verfcar que o Método das Dfereças Ftas Ascedetes apreseta maor efcêca quado comparado com os outros dos métodos estudados. 6 Cosderações fas (a) Os métodos que utlzam dfereças (dvddas ou ftas ascedetes) são efcetes quado se deseja aumetar (ou dmur) o grau do polômo obtdo, pos basta, smplesmete, acrescetar (ou retrar) termos. Logo, para cálculos eploratóros, estes métodos, em geral, são preferíves. (b) No método de Lagrage a alteração do grau do polômo ege que os cálculos sejam, todos, refetos. (c) O método de Lagrage ocupa meos memóra, uma vez que ão é ecessáro o cálculo e o armazeameto de uma tabela de dfereças dvddas ou ftas ascedetes. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 3

24 (d) A desvatagem a utlzação do Método das Dfereças Ftas Ascedetes é a egêca de que as abscssas dos potos a utlzar para a terpolação devam ser, ecessaramete, eqüdstates. (e) Nos métodos que utlzam dfereças dvddas ou ftas ascedetes, a estmatva do erro de trucameto pode ser faclmete tegrada ao algortmo, uma vez que utlza uma dfereça. (f) No método de Lagrage, a estmatva do erro de trucameto pode ser obtda somete se a fução terpolada for cohecda aaltcamete. (g) O método de Lagrage é um pouco mas fácl de ser mplemetado. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 4

25 Aeos a) Teorema do Valor Médo Se = f() é uma fução que satsfaz as codções: () é cotíua o tervalo fechado [ a, b ] () é dervável o tervalo aberto ( a, b ) Etão, este pelo meos um úmero c em (a, b), tal que: f(b) - f(a) f '(c) b - a Geometrcamete, o teorema do valor médo dz que se f é uma fução "suave" que lga os potos A= ( a,f( a )) e B = ( b,f( b )) este pelo meos um poto c, etre a e b, tal que a reta tagete ao gráfco de f em c é paralela a reta secate que passa por A e B. A fgura a segur lustra o teorema. O teorema do valor médo é a tradução matemátca para um fato que aparece de forma corrquera em mutas stuações cotdaas. Por eemplo, se a méda de velocdade, em uma vagem de carro é de 8 km/h, etão, em algum mometo da vagem, o velocímetro do carro deve ter marcado 8km/h. Para traduzr a afrmação em termos matemátcos, cosdere-se que s(t) é a posção do carro em um state t. Se a vagem começa em t = a (horas) e terma em t = b (horas), a velocdade méda é dada por: s(b) - s(a) v m b - a A afrmação de que em algum mometo da vagem a velocdade statâea deve ser gual à velocdade méda, sgfca que em algum tempo c tem-se: v m s(b) - s(a) b - a v(c) s '(c) O Teorema do Valor Médo estabelece as codções mímas que uma fução s deve satsfazer para que a gualdade acma seja verdadera. Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 5

26 b) Operador lear Um operador é lear se, e somete se: ().(u ± w) =.u ±.w ().(k.w) =k.(.w), ode k é uma costate real Etão, de fato, o operador (.) é lear, pos: (f + g)() = (f + g).( + h) (f + g)() = f( + h) + g( + h) f() g() = f( + h) f( ) + g( + h) g() = f() + g() e (k.f()) = (k.f( + h)) (k.f()) = k.f( + h) k.f() = k.[f( + h) f()] = k..f() Prof. José Álvaro Tadeu Ferrera - Notas de aulas de Cálculo Numérco 6