Controle de Processo de Produção do Alto Forno por meio de Técnicas Estatísticas Multivariadas em Tempo Real

Transcrição

1 Eduardo Perera da Rocha Thomsen Controle de Processo de Produção do Alto Forno por meo de Técncas Estatístcas Multvaradas em Tempo Real Dssertação apresentada à banca examnadora como parte ntegrante dos requstos para obtenção do título de Mestre em Estatístca. Professora orentadora: Suel Aparecda Mngot Insttuto de Cêncas Exatas da UFMG Belo Horzonte MG Dezembro de 005 1

2 Lvros Gráts Mlhares de lvros gráts para download.

3 Agradecmento Agradeço especalmente à Sderpa, Sderúrgca Paulno Ltda., na pessoa do grande amgo Márco Prates Paulno Neto, pelo apoo ncondconal durante o desenvolvmento desta dssertação.

4 A Marcelo Henrque, João Felpe e Alne. 3

5 Resumo A lteratura técnca apresenta numerosas técncas para Controle Estatístco de processos CEP. No entanto, muto pouco exste a respeto da sua utlzação no controle da produção de ferro-gusa em alto-forno a carvão vegetal. São váras as empresas sderúrgcas no setor, e poucas dspõem de tecnologa de montoração do processo produtvo, e as que dspõem desta tecnologa não fazem cartas de controle para verfcação deste processo. Trata-se de um processo produtvo complexo, com mutas varáves envolvdas e uma grande varabldade. Cartas de controle ndvduas (unvaradas) carregam consgo o problema da dmnução do nível de sgnfcânca ao serem analsadas de forma conunta, além de pressupor determnadas dstrbuções de probabldade para os dados observados, o que nem sempre ocorre na prátca. No ntuto de contrbur para a análse e o controle deste processo produtvo, dos métodos de controle multvarados serão propostos, a Estatístca T de Hotellng e a Estatístca de Hayter e Tsu, que podem ser mplementados sem conhecmento prévo das dstrbuções de probabldade das varáves utlzadas desde que tenha-se um conunto de dados do processo que permtam a construção de dstrbuções empírcas com precsão dessas estatístcas. Paralelamente à mplementação das estatístcas de controle, proporemos também três tpos de gráfcos de controle para a varabldade do processo, o de desvos-padrão móves, de dferenças absolutas móves e o gráfco de controle para a correlação lnear de Pearson. Esses dos últmos gráfcos são novadores e estão sendo propostos e testados nessa dssertação. Palavras chaves: Ferro-gusa, alto-forno, controle multvarado de processos, correlação lnear. T de Hotellng, Hayter e Tsu, varabldade, 4

6 Sumáro 1. Produção de Ferro-Gusa Introdução O Alto-Forno a Carvão Vegetal e Produção de Ferro Fusa Montoração do Processo Produtvo Problemas Operaconas Obetvos e Organzação desta Dssertação 14. Controle estatístco de processos.1 - Gráfcos de Controle Unvarados A Dstrbução Normal Multvarada A Estatístca T de Hotellng Gráfco de Controle Multvarado Através da Estatístca Varáves com Dstrbução Normal k-varada com Parâmetros T de Hotellng 9 Conhecdos Varáves com Dstrbução Normal k-varada com Parâmetros Desconhecdos Varáves com Dstrbução Conunta Desconhecda A Estatístca de Hayter e Tsu Gráfco de Controle Através da Estatístca de Hayter e Tsu Varáves com Dstrbução Normal k-varada com Parâmetros Conhecdos Varáves com Dstrbução Conunta Desconhecda Comparação entre Estatstcas T de Hotellng e a Estatístca de Hayter e Tsu Gráfcos de Controle para a Varabldade Gráfco de Controle Unvarado para o Desvo Padrão Móvel Gráfco de Controle Multvarado para a Varabldade do Processo A Estatístca A O Coefcente de Correlação Lnear de Pearson A Correlação Lnear Aplcada ao Controle de Processos 59 5

7 4. Estratéga de Execução Amostra em Condções Ideas Implementação Computaconal em Stuação Real O Alto-Forno da Sderpa O Software de Montoração e Controle de Processos Aplcação / Estudo de Casos Dscussão Sobre as Estatístcas de Controle Consderações Fnas Referêncas 90 6

8 1 Produção de Ferro-Gusa 1.1 Introdução Segundo (FIEMG, 005), aproxmadamente 40% de todo aço produzdo no Brasl vêm de Mnas Geras. A ndústra sderúrgca no estado de Mnas Geras é responsável por 6% do PIB ndustral do país e pela cração e manutenção de aproxmadamente empregos dretos e mutos outros ndretos, assm como a geração de grande rqueza. A matéra prma básca para a produção de aço é o ferro gusa. Além do aço, o ferro gusa é matéra prma para mutos outros produtos, prncpalmente na área de fundção. É costume dzer que em todos os obetos metálcos há ferro gusa. Desde os óculos que usamos até em quase todos os componentes metálcos de um veículo. Nos últmos dos anos, com o crescmento da economa, o ferro gusa teve uma grande recuperação em termos de preços naconas e nternaconas. A ndústra voltou a níves de cerca de vnte anos atrás em termos de capacdade de produção. Novos altos fornos estão sendo construídos por todo o estado. Novos empregos gerados, o que sgnfca crescmento. Apesar de ser lucratva, a margem de contrbução representa cerca de 15% do preço fnal de venda para o ferro gusa de menor preço no mercado - a produção é feta da mesma forma que há cerca de 100 anos. Muto pouco se novou em termos de processo produtvo. Os altos fornos são construídos desde então da mesma forma. Talvez tenha havdo uma ou outra melhora em termos de equpamentos acessóros, tas como motores ndustras, mas como um todo, muto pouco fo novado. Fazendo uma analoga com a ndústra automoblístca, nesta temos robôs e um nível enorme de automação e prncpalmente controle, o que não ocorre na ndústra do ferro gusa. Há muto pouco em termos de automação e controle efetvo da produção. Em termos de qualdade há dos tpos de ferro gusa: o a carvão coque (carvão mneral) e o a carvão vegetal. O prmero é utlzado bascamente para a produção de aço e o segundo para aço e todos os outros produtos a base ferro funddo. Este últmo tpo de ferro gusa tem maor preço, sua produção é menor, mas dfícl, devdo 7

9 prncpalmente à varabldade das matéras prmas e exge muta experênca do pessoal envolvdo, além de controles mas complexos no processo produtvo. 1. O Alto-Forno a Carvão Vegetal e a Produção de Ferro-Gusa Quando o homem conseguu a quantdade necessára de calor para fundr o mnéro de ferro, encerrou a Idade do Bronze e deu níco à Idade do Ferro. Na produção de ferro gusa há a necessdade de três matéras prmas báscas: ferro, oxgêno e carbono. O ferro é encontrado em toda crosta terrestre, fortemente assocado ao oxgêno e à sílca. O mnéro de ferro é um óxdo de ferro, msturado com area fna. O carbono é também relatvamente abundante na natureza e pode ser encontrado sob dversas formas. Na produção de ferro gusa o carbono é fornecdo através do carvão vegetal. Fnalmente, o oxgêno é retrado da atmosfera terrestre. Durante o processo produtvo, o carbono (carvão vegetal) é colocado untamente com o ferro (mnéro de ferro) e outros fundentes no topo do alto-forno sob consttundo as cargas. O oxgêno é soprado através das ventaneras, localzadas na base do altoforno. Dentro do alto-forno o processo metalúrgco se dá através de uma reação químca de redução, na qual as cargas descem em contra corrente em relação aos gases provenentes da quema do carbono (carvão vegetal) com o oxgêno do ar quente soprado. O carvão exerce duplo papel na fabrcação do ferro-gusa. Como combustível, permte alcançar altas temperaturas (cerca de o 1500 Celsus) necessáras à fusão do mnéro. Como redutor, assoca-se ao oxgêno que se desprende do mnéro com a alta temperatura, dexando lvre o ferro. O processo de remoção do oxgêno do ferro para lgar-se ao carbono chama-se redução e ocorre dentro do alto-forno. No processo de redução, o ferro se lquefaz e é chamado de ferro gusa ou ferro de prmera fusão. O processo em s gera dos subprodutos que são posterormente aprovetados. O prmero é chamado escóra e é formada bascamente por alumna, Cão e sílca A escóra é matéra-prma para a ndústra de cmento. O segundo subproduto é um gás rco em monóxdo de carbono, ou CO. Este gás é utlzado na própra sderúrgca como combustível para geração de energa elétrca em usnas termelétrcas e também para o 8

10 aquecmento do ar soprado dentro do alto-forno, em equpamentos chamados glendons. O CO é asfxante e nflamável, porém o poder calorífco é nferor a outros gases, como o hdrogêno. A produção de energa elétrca a gás de altos-fornos é um processo muto recente. Poucas sderúrgcas possuem este recurso. De acordo com o tpo de ferro gusa a ser produzdo, outras matéras prmas são utlzadas. Esta utlzação pode ser antes do enfornamento ou após a produção do ferrogusa. Como exemplo, para aumentar o teor de slíco e reduzr o teor de fósforo do ferro-gusa, algumas sderúrgcas desvam o ferro-gusa produzdo anda sob a forma líquda para uma panela (chamada panelão) onde recebe um tpo de tratamento. Este ferro-gusa é chamado tratado. Posterormente o ferro-gusa é lngotado normalmente ou até venddo anda sob a forma líquda. O valor agregado a este tpo de ferro-gusa é bem maor que o produzdo de forma dta normal. A Fgura 1 mostra de manera muto smplfcada como funcona um alto-forno e a produção de ferro-gusa. Fgura 1: Esquema de um alto-forno a carvão vegetal. Para fornecer o oxgêno necessáro à produção de ferro-gusa, utlza-se o ar da atmosfera com o auxílo de grandes motores. Este ar passa por um equpamento chamado glendon, onde é pré-aquecdo antes de ser soprado dentro do alto-forno. O glendon é um equpamento dentro do qual passa uma tubulação que leva o ar dreto ao alto-forno. Por fora desta tubulação o glendon recebe o gás CO que é ncnerado, 9

11 gerando calor e aquecendo o ar que será netado dentro do alto-forno. A Fgura mostra de forma smplfcada o funconamento de um glendon. Fgura : Glendon. Coma descda das cargas e a subda do ar aquecdo, o alto-forno nternamente fca com o contorno como mostrado na Fgura 3. Fgura 3 : Contorno de um alto-forno com cargas. 10

12 1.3 Montoração do Processo Produtvo No ano de 1997 fomos procurados por técncos da Sderpa Sderúrgca Paulno Ltda., localzada em Sete Lagoas, Mnas Geras, para desenvolver um Sstema de Informações em que se permtsse montorar parâmetros operaconas dos seus dos altofornos. Após alguns meses de desenvolvmento e testes consegumos untamente com alguns colaboradores e prncpalmente o pessoal da área ndustral da Sderpa, desenvolver um equpamento que consegua ler, armazenar e recuperar dados operaconas do alto-forno. O níco das atvdades de montoração se deu efetvamente em unho de O equpamento desenvolvdo é um computador com sstema operaconal Wndows montado em um gabnete especal pressurzado e especalmente proetado para operar em ambentes hosts. O local de operação em geral é na área ndustral, perto da base do alto-forno, onde há uma grande concentração de pó e outros agentes nocvos ao equpamento. Há duas placas de aqusção de dados, uma para receber o snas externos e outra para tratar os snas e dsponblzá-los para um programa que faz a consstênca, armazenagem e tratamento posteror dos dados. Para envo dos dados armazenados, o equpamento possu placa de rede padrão ethernet ou wreless, para que as nformações geradas possam ser compartlhadas na rede corporatva da empresa e até mesmo na Internet. Os dados chegam ao equpamento de montoração através de sensores nstalados no alto-forno. Para temperaturas usam-se termopares, que são equpamentos específcos para medr a temperatura. Para vazão, pressão e potênca de motores são utlzados sensores específcos. As nformações são concentradas em um panel localzado em uma sala nas medações do alto-forno, chamada Sala de Prometra ou smplesmente Prometra. Cabos são conectados a este panel e ao equpamento de montoração. O software de montoração está dvddo em dos módulos de funconamento ndependentes. O prmero fca nstalado no equpamento e faz a letura, consstênca e 11

13 armazenagem dos dados. O segundo módulo mostra de forma nnterrupta os parâmetros ldos sob a forma de gráfcos. A Fgura 9 mostra um exemplo desta saída. O equpamento produz duas tabelas dáras de dados, em formato texto. A prmero Quadro contém dados ldos a cada segundo e a segunda dados ldos a cada mnuto. O formato das tabelas é o mesmo. Para cada regstro (segundo ou mnuto) têmse a data, hora, temperatura dentro do equpamento e as leturas dos dezesses parâmetros. As Fguras 4, 5 e 6 mostram respectvamente um equpamento pronto para nstalação, e dos equpamentos em operação nas empresas Scafe Produtos Sderúrgcos Ltda. e Uspar Sderurga Ltda., em Sete Lagoas, MG. Fgura 4: Equpamento pronto para ser nstalado. 1

14 Fgura 5: Equpamento em funconamento na Scafe Produtos Sderúrgcos Ltda. Notar panel de prometra (amarelo) ao lado do equpamento. Fgura 6: Equpamento de montoração em funconamento na Uspar em Sete Lagoas, MG. Notar o panel de prometra do lado dreto do equpamento. Nesta sderúrgca, o equpamento se localza a cerca de 4 metros da base do alto-forno. 13

15 Na operação do alto-forno, sem o equpamento de montoração, os parâmetros são ldos no panel de prometra e anotados a cada uma hora em um documento chamado planlha de operação. Através dos dados desta planlha é que se toma conhecmento de como o alto-forno está sendo operado. O grande problema é o ntervalo de tempo em que se colhem os dados. Veremos a segur que uma anomala operaconal grave pode ocorrer em cerca de 10 mnutos, tempo muto nferor àquela uma hora de ntervalo entre leturas. A Fgura 7 mostra um alto-forno em construção na Uspar, em Sete Lagoas MG. Notar o anel em volta do alto-forno. Este local se chama coroa e é por onde o ar aquecdo provenente dos glendons é soprado no nteror do alto-forno. A Fgura 8 mostra um corte esquemátco em um alto-forno e os locas onde são coletados os dados dos parâmetros operaconas. Fgura 7 : Alto-forno em construção na Uspar em Sete Lagoas MG 14

16 Fgura 8: Corte esquemátco de um alto-forno com locas de leturas de parâmetros operaconas. Como vsto, o alto-forno é um local onde ocorre de forma contínua uma reação químca da qual muto calor é lberado. A reação é controlada no sentdo de se fornecer mas ou menos carvão vegetal, que é o combustível da reação, assm como a quantdade de ar dentro do alto-forno. Sendo assm, temperaturas, untamente com meddas relaconadas com o ar soprado, tas como pressões e vazões são de grande mportânca no controle do processo em s. Os números dspostos na Fgura 8 dentfcam os locas onde estas meddas são coletadas, que são: 1 Temperatura de Topo: temperatura em graus Celsus dos gases que saem do alto-forno. Em geral tem-se apenas uma temperatura, mas pode se ter até três leturas de temperaturas em locas dferentes. Temperatura de Coroa: temperatura em graus Celsus do ar quente soprado dentro do alto-forno. 3 Vazão: quantdade de ar que passa através da carga no alto-forno. Medda em Normas-Metros Cúbcos por Hora ( 3 NM / h ). Uma observação mportante é que a quantdade de ferro-gusa produzda é dretamente proporconal à vazão. Na verdade esta medda é feta na casa de máqunas, e não dentro do alto-forno. 15

17 4 e 5 Pressão de coroa (4) e topo(5) Pressão do ar medda em MCA metros de coluna d água na coroa e topo respectvamente. Fgura 9: Exemplo de tela do Sstema de Montoração. Váras outras grandezas operaconas mportantes podem ser calculadas em função destas dtas mas báscas, como a permeabldade que bascamente é uma razão entre vazão e uma função das pressões de topo e coroa. Uma vez mostrados ao pessoal técnco da operação ndustral, os dados sob a forma de gráfcos seqüencas são de grande mportânca para aqueles que sabem nterpretá-los. Dsponblza-se o hstórco de todos os parâmetros montoráves nas últmas 1 horas de forma nstantânea, de modo que cada turno de operação sabe, ao começar a trabalhar, como o alto-forno se comportou durante as últmas horas. Outros fatores mportantes são poder rastrear todos os problemas de operação de manera medata, além de vablzar os dados para, como no caso deste trabalho, estudo posterores e rastreabldade de comportamentos passados. 1.4 Problemas Operaconas A montoração do alto-forno á está consoldada nas empresas em que exste e faz parte do cotdano operaconal. No entanto, esta operação é complexa devdo ao 16

18 grande número de fatores que têm que ser verfcados e controlados. Problemas ocorrem a todo nstante. Um destes problemas operaconas talvez o maor deles se dá quando ocorre uma gaola. Como vsto anterormente, as cargas, na medda em que ocorre o processo de redução, vão descendo no nteror do do alto-forno. Se por algum motvo as cargas param de descer, ocorre uma gaola. Há dos tpos de gaola. A gaola de cuba e a gaola de rampa, segundo os locas onde ocorrem (vde Fgura 8). O processo de detecção de uma gaola é feto verfcando-se o aumento da pressão e dmnução da vazão, vsto que o ar contnua a ser soprado no alto-forno e não passa pelas cargas acma, fcando retdo. Para contornar o problema o pessoal da operação do alto-forno faz um corte de gaola, que é o corte no fornecmento de ar que ra para o alto forno. Ocorre então um arramento, onde a carga presa desce de forma rápda no nteror do alto-forno, que por sua vez fca vazo. O problema maor da gaola é o posteror arramento, que pode danfcar a estrutura superor do alto-forno, ocasonando até mesmo uma nterrupção na produção. Com o esvazamento súbto do alto-forno, novas cargas devem ser colocadas, para que o alto-forno não fque vazo e produza de manera pouco efcaz. O consumo de carvão vegetal, portanto, aumenta drastcamente, pos o processo torna-se nefcnete. O gráfco da Fgura 9, na págna 1, mostra dados da operação do alto-forno no da /1/003 na Sderpa. A últma letura dos dados fo às 16h15mn. O gráfco mostra a ocorrênca de uma gaola de proporções maores precsamente às 15h15mn. Notar o aumento na pressão de coroa e dmnução na vazão de ar (abaxo à dreta na Fgura). A Fguras 10,11 e 1 mostram gráfcos seqüencas de parâmetros operaconas em um da que ocorreu uma gaola consderada pequena, na cuba do alto-forno (ver Fgura 8 para a regão chamada cuba no alto-forno). Observar a dmnução súbta da vazão de ar no e o aumento da pressão de ar. Por conseqüênca, a permeabldade do alto-forno dmnu drastcamente. O ar está bloqueado e não passa pela carga acma. Esta gaola ocorreu em 04/0/004 às 00h48mn na Sderpa e sequer fo observada na planlha de operações (dáro de bordo) do da. Notar o tempo que leva para que os parâmetros voltem a níves anterores no alto-forno. 17

19 Gaola - vazão e pressão de Coroa Vazao Pres_Cor 5 0 Valores parâmetros Tempo (segundos) Fgura 10: Ocorrênca de uma gaola. Notar o aumento da pressão de coroa e a dmnução da vazão. A Fgura 11 mostra a permeabldade do alto-forno durante uma gaola. Mede a facldade com a qual o ar passa pelas cargas do alto-forno. Quanto maor a permeabldade, maor a produtvdade. Permeabldade 4 3,5 3 Permeabldade,5 1,5 1 0, Tempo (segundos) Fgura11: Permeabldade durante uma gaola. Notar a dmnução súbta. 18

20 Teperaturas de Topo após gaola Centro Dreto Esquerdo Temperaturas de Topo Tempo (Segundos) Fgura 1: Temperaturas de topo durante uma gaola. Notar o aumento dos valores das três temperaturas após a gaola. A temperatura de topo alta ndca alto-forno vazo e baxas produtvdade e efcênca. 19

21 1.5 Obetvos e Organzação desta Dssertação O obetvo maor desta dssertação de mestrado é tentar propor a mplementação em nível operaconal do controle estatístco de processos (CEP) usando técncas estatístcas multvaradas para controle das estruturas de médas e varabldade do processo. Para o controle de médas são utlzadas as estatístcas propostas por Hayter e Tsu (1994) e a T de Hotellng (1947) que nessa dssertação são mplementadas de forma não-paramétrca em vsta do fato de não termos um processo com dstrbução normal multvarada no que se refere a dstrbução conunta das varáves usadas para sua montoração. Para o controle da varabldade serão propostas o uso de duas metodologas: a prmera fundamenta-se na utlzação de gráfcos de controle unvarados para o desvopadrão de cada varável de controle do processo, que será chamado de gráfco de desvos-padrão móves. A segunda é um gráfco de dferenças absolutas móves construído adaptando-se a metodologa de controle multvarado de Hayter e Tsu (1994). Além dsso, propõe-se o uso do gráfco de controle fundamentado na correlação lnear de Pearson entre tentando verfcar como a correlação as varáves consderadas mas mportantes do processo se comporta em stuações onde o processo se encontra sob condções adequadas de operação e fora destas condções. Tanto o gráfco das dferenças absolutas quanto o de correlações de Pearson são novadores dentro da área de controle de processos como um todo e prncpalmente no controle de operação do alto-forno e consttuem em contrbuções novas dessa dssertação para a área de controle de processos. Além dsso, destaca-se como outra contrbução desse trabalho a mplementação em tempo real (on-lne) de técncas de controle de qualdade multvaradas a um processo consderado de dfícl montoração, que é o caso do altoforno mostrando, que seu controle por meo de técncas de Estatístca é vável. Logcamente os gráfcos de controle devem ter a maor sensbldade possível à ocorrênca de problemas operaconas, prncpalmente gaolas. Nesse sentdo, fez-se uma avalação do comportamento das estatístcas multvaradas de controle propostas nessa dssertação no ntuto de verfcar se atendam a esse requsto e se dentre elas 0

22 havera alguma mas aproprada do que outra para a montoração do processo de operação do alto-forno. Analsando o contexto pelo lado prátco, á exste uma grande base de dados da empresa Sderpa, vsto que há dados desde unho de 1998, dsponíves em medções a cada mnuto, sendo que nos últmos dos anos os dados operaconas são ldos e gravados a cada segundo Assm, devdo a esta dsponbldade de nformações reas, temos um número de observações amostras grande o bastante para estudar o processo na sua essênca, não havendo, a prncípo, necessdade de se fazer smulações nesta dssertação. Esta dssertação está organzada da segunte forma: no capítulo (Controle Estatístco de Processos) e 3 (Gráfcos de Controle para a Varabldade) são ntroduzdos os gráfcos de controle unvarados e multvarados com seus aspectos metodológcos e que são obetos de dscussão desse trabalho; no capítulo 4 (Estratéga de Execução) apresentamos a estratéga de execução utlzada para mplementação do controle do processo em termos de obtenção de dados, seleção das varáves de montoração e avalação das estatístcas que seram utlzadas no controle; no capítulo 5 (Implementação em Stuação Real) mostramos a mplementação das técncas estatístcas de controle no caso real consderando-se os dados que nos foram gentlmente fornecdos pela empresa Sderpa de Sete Lagoas e dscutmos os resultados obtdos. Fnalmente no capítulo 6 (Consderações Fnas) colocamos nossos comentáros fnas e posterormente as referêncas bblográfcas. 1

23 - Controle Estatístco de Processos..1 - Gráfcos de Controle Unvarados A qualdade é nversamente proporconal à varabldade (Trola, 1998). Em Controle de Qualdade, o conceto de dstânca é muto utlzado para estudar a varabldade. Tem-se um valor-alvo estabelecdo através de padrões pré-determnados e estuda-se o padrão de comportamento ao longo do tempo de varáves nerentes ao processo produtvo. Quanto mas dstantes os valores das varáves estverem destes valores-alvo, maor a varabldade e por conseqüênca, maores as chances do processo estar fora de controle. A ferramenta mas utlzada para mostrar o padrão de comportamento de determnada varável ao longo do tempo chama-se Gráfco de Controle. Trata-se de um gráfco seqüencal no qual são mostrados um valor-alvo e valores-lmte que estabelecem as fronteras entre valores normas e excepconas. Os valores dtos excepconas podem ser outlers ou ndcação de que o processo está fora de padrões pré-estabelecdos. Os lmtes de controle são calculados de acordo com o comportamento das dstrbuções de probabldade das varáves utlzadas. Em geral, especfca-se um lmte (superor e/ou nferor) como sendo o valor abaxo ou acma do qual a probabldade de ocorrênca de um valor nestas regões devdo ao acaso sea tão baxa que, se acontecer, há fortes ndícos de que não sea mero acaso. O nome genérco atrbuído aos gráfcos de controle para uma varável resposta é Gráfco de Shewhart em homenagem ao engenhero Walter Andrew Shewhart, que fez carrera na Bell Laboratores e fo o crador e ponero na sua utlzação (1939). Na Fgura 13 apresenta-se um exemplo real de um gráfco de controle, no qual a varável de controle é a vazão de um alto-forno. O valor-alvo é de 0,06 NM3/h e os lmtes de controle nferor e superor são respectvamente 19,41 Nm3/h e 0,71 NM3/h. Estes valores correspondem a 3 desvos-padrão amostras acma ou abaxo da méda. Se a vazão tver uma dstrbução de probabldade normal com méda 0,06 NM3/h, e varânca conhecda gual a 0,04694 NM3/h, a probabldade de ocorrênca de um valor

24 acma ou abaxo destes lmtes, devdo puramente a uma causa aleatóra é de 0,007 e esta é a probabldade de se dzer que o processo está fora de controle quando ele realmente não está. Gráfco de Controle para Vazão de ar 1 0,5 0 19, , Vazão (Nm3/h) Vazão LIC LSC Alvo Tempo (Mnutos) Fgura 13: Gráfco de controle para vazão. Um outro gráfco de controle é apresentado na Fgura 14. Desta vez a varável estudada é o porcentual de potênca máxma dos motores na Casa de Máqunas de uma sderúrgca. O valor-alvo é de 89,3% e os lmtes de controle nferor e superor são respectvamente 88,05% e 90,5%, também correspondentes a 3 desvos-padrão acma ou abaxo do valor-alvo. Supondo que o porcentual de potênca tem dstrbução normal com méda 89,3% e varânca 0,16538%, a probabldade de se dzer que o processo está fora de controle quando ele realmente não está é de 0,007. 3

25 Gráfco de controle para % utlzado da potênca máxma % utlzado 91 90, , , , , Tempo (Mnutos) Potenca Alvo LIC LSC Fgura 14: Gráfco de controle para Corrente Nos dos casos os valores das varáves estudadas estão dentro dos lmtes de controle especfcados. Portanto, consderando apenas esse aspecto, o processo é consderado sob controle. Além da regra de decsão para falta de controle que smplesmente compara o valor numérco amostral da estatístca usada para a construção do gráfco com os lmtes de controle estabelecdos, há outros crtéros. Nesses, a dsposção dos pontos amostras dentro dos lmtes de controle é observada para verfcar a exstênca de tendêncas ou comportamentos das observações não esperadas com freqüênca em gráfcos seqüencas da dstrbução normal quando o processo está sob controle. (Kume, 1993). Nesta dssertação esses crtéros não serão utlzados para tomada de decsão sob o controle ou não do processo. Quando há váras característcas de qualdade sendo montoradas smultaneamente, têm-se duas opções: trabalhar com a dstrbução conunta das duas varáves construndo-se regões de confança ou então traçar gráfcos de controle unvarados para cada varável separadamente. O problema que ocorre com a construção de gráfcos de controles separados para varáves e posterormente fazer a análse conunta refere-se ao valor do nível de sgnfcânca global do teste conunto. Por exemplo, para as duas varáves grafadas anterormente nas Fguras 13 e 14, o nível de sgnfcânca para cada um é de 0,007. 4

26 Ao fazer a análse smultânea das duas varáves, a probabldade de que o processo estea sob controle consderando ambas as varáves é (1-0,007)(1-0,007) = 0,9946. Portanto, o nível de sgnfcânca do teste conunto é gual a 0,0054, e é maor do que aquele usado para cada varável separadamente. Na medda em que se aumenta o número de varáves, o nível de sgnfcânca global aumenta drastcamente pos é dado por α k global = 1 (1 α ) onde k é o número de varáves sendo analsadas e α é o nível de sgnfcânca usado para construr os lmtes de controle para cada varável. Por exemplo, no caso de k = 10 varáves, teríamos um nível de sgnfcânca de 0,067, ou sea, cerca de 10 vezes maor que o nível se sgnfcânca utlzado para cada varável separadamente (α = 0,007). O problema pode ser contornado utlzando-se a dstrbução conunta das varáves, ou sea, levando-se em consderação todas as varáves smultaneamente de forma que o nível de sgnfcânca global do teste conunto contnue sendo o mesmo para se tomar uma decsão fnal. Uma alternatva sera austarem-se os níves de sgnfcânca de cada gráfco em separado de forma que ao fnal se tvesse um teste no nível de sgnfcânca α global pré-especfcado. Uma forma de fazer sto é usar a proposta de Bonferron (Jonhson e Wchern, 00), na qual, para um dado nível de sgnfcânca α, e para k gráfcos α separados, para cada gráfco usa-se o nível se sgnfcânca, de modo que na análse k conunta, tem-se o nível α global mantdo. No entanto, a proposta tem o nconvenente de construr gráfcos separados com grande ampltude, dfcultando assm a dentfcação de eventuas falhas no processo produtvo quando se analsa os ntervalos de confança de cada varável de forma ndvdual. Alternatvas são apresentadas nos próxmos tópcos, levando-se em consderação a dstrbução de probabldade conunta das varáves que caracterzam a qualdade do processo. 5

27 . - A Dstrbução Normal Multvarada Sea X uma varável aleatóra contínua com méda µ e varânca σ. Então dzemos que X tem dstrbução de probabldade normal com méda µ e varânca se a função de densdade tem a forma: σ ( µ ) 1 f(x) = e x σ πσ (.1) para qualquer x ( + ; ), µ ( ; + ) e σ > 0. É mportante notar que o termo no expoente da dstrbução normal pode ser escrto sob a forma: 1 ( x µ )'( σ ) ( x µ ) (.) Esta quantdade representa a dstânca Eucldana ponderada ao quadrado de X à méda µ, sendo o fator de ponderação o nverso da varânca σ. Sea o vetor aleatóro X = ( 1 k X... X )', com k varáves, o vetor de médas µ = ( µ... 1, µ µ k )', onde µ é a méda da varável X, para todo = 1,...,k, e a matrz de varâncas e covarâncas Σ kxk, denotada por: Σ kxk σ =.. σ k 11 1 σ σ 1k.. σ kk (.3) onde σ = var( X ) = σ e σ l = cov( X, X ), para l. l 6

28 Dzemos que o vetor X tem dstrbução de probabldade normal k-varada com vetor de médas µ e matrz de covarâncasσ se a função densdade de X puder ser expressa da forma: kxk f(x) = (π ) 1 1 ( x µ ) Σ 1 ( x µ ) k e / 1/ Σ kxk (.4) onde x= x... x ), x ( ; + ), µ ( ; + ), σ ( 0 ; + ), ( 1 k σ ( ; + ), Σ kxk uma matrz postva defnda, k é o número de varáves e kxk Σ o determnante da matrz Os parâmetros µ e Σ kxk, =1,,..,k. Σ kxk podem ser estmados como descrto a segur. Sea X 1,..., X n uma amostra aleatóra do vetor X, onde X = ( X 1... X k ), sendo que X representa a medda da varável do elemento, para qualquer = 1,..., n e = 1,..., k. Então, a matrz de covarâncas Σ kxk será estmada pela matrz de covarâncas amostral S kxk dada por: 1 n S kxk = ( X X )( X X ) 1 = n 1 (.5) onde _ X k X = ( X,..., )' é o vetor de médas amostral de X. Desta forma, as varâncas 1 amostras são calculadas como: S n = 1 ( X n 1 = 1 _ X ) (.6) as covarâncas amostras são calculadas como: S l n 1 = ( X n 1 = 1 X )( X l X k ) (.7) 7

29 Pode ser mostrado (Anderson, 003) que tanto o vetor de médas amostral _ X quanto a matrz de covarâncas amostral Σ kxk respectvamente, sto é: S kxk são estmadores não tendencosos de µ e E ( X _ ) = µ e E( S kxk ) = Σ kxk. Berger, 00). Estes estmadores são obtdos através do método de momentos (Casella e A matrz de correlação do vetor aleatóro X, denotada por P kxk matrz de correlação amostral R kxk, cuo elemento genérco Rl é dado por:, é estmada pela Sl R l = ; R 1/ l [ 1 ; 1] (.8) S S ) ( ll As Fguras 15 e 16 mostram gráfcos da dstrbução normal b-varada com coefcente de correlação gual a 0,8 e 0,3 respectvamente, com médas guas a zero e desvos padrão untáros. D s t r b u ç ã o N o r m a l B v a r a d a d e p r o b a b l d a d e C o r r e la ç ã o : 0, 8 0, 3 5, 0 f ( x 1, y 1 ) 0, 0, 1, 5 0, 0 x 1 0, 0 -, 5 5, 0, 5 0, 0 -, 5 y 1 Fgura 15: Dstrbução normal b-varada com correlação lnear gual a 0,8. A relação lnear entre as varáves, medda através do coefcente de correlação lnear ρ, é de grande mportânca dentro da dstrbução normal b-varada. Faz com que a elpse correspondente à proeção da superfíce de resposta, f(x,y), no plano XY 8

30 tenha valor menor ou maor para a medda de excentrcdade na medda em que se tem uma correlação baxa ou alta entre as varáves. D s t r b u ç ã o N o r m a l B v a r a d a d e p r o b a b l d a d e C o r r e la ç ã o : 0,3 f ( x, y ) 0, 1 5 0, 1 0 0, 0 5, 5 5, 0 0, 0 x 0, 0 0 -, 5 5, 0, 5 0, 0 -, 5 y Fgura 16: Dstrbução normal b-varada com correlação lnear gual a 0,3. varáves É mportante notar que os valores para os parâmetros méda e desvo padrão das X também nfluencam no aspecto da superfíce de resposta. A méda tem a propredade de alterar o deslocamento da curva no plano XY enquanto que o desvo padrão altera a escala..3 A Estatístca T de Hotellng. Sea a estatístca unvarada t de Student defnda como: x µ t = (.9) s / n onde _ x é o valor da méda amostral calculada com base em uma amostra aleatóra de tamanho n obtda de uma população com dstrbução normal com méda µ e varânca σ. Sea s o desvo padrão amostral calculado como: n ( x x) = 1 s= ( n 1) _ (.10) 9

31 A estatístca t de Student é utlzada em procedmentos nos quas se desea testar a hpótese nula H 0 : µ = µ 0 contra hpóteses alternatvas do tpo H 1 : µ µ 0, H 1 : µ> µ 0 ou fnalmente H 1 : µ< µ 0. O valor de µ é estmado através do valor de _ x. Se a amostra provém de uma população com dstrbução normal, então a estatístca t terá dstrbução de Student com (n-1) graus de lberdade. Como se verfca em (.9), para valores fxos de s e n, quanto maor for a dferença entre _ x e µ, maor será o valor da estatístca t calculada. Por conseqüênca, menor será a probabldade da amostra ser provenente de uma população com méda µ. Nos casos em que a varabldade for grande, ou sea, s for grande em relação a _ x, mesmo que o valor de ( _ x - µ ) sea expressvo, o teste fcará conservador, tendendo a produzr uma estatístca t com valor numérco pequeno, o que levará à não reeção de H 0. A forma descrta em (.9) também poderá ser escrta como: _ 1 t = ( x µ ) s n (.11) Se elevarmos a expressão (.11) ao quadrado, obtemos: t _ µ ( x ) 1 = = n ( x µ )' ( s ) ( x µ ). (.1) s / n O valor obtdo para t é defndo como a dstânca Eucldana ao quadrado entre a méda amostral _ x e µ, ponderada pelo nverso da varânca amostral. Na medda em que _ x se aproxma de µ, o valor de t se aproxma de zero. Hotellng (1947) extendeu a utlzação da estatístca t de Student unvarada para o caso multvarado. O procedmento é descrto a segur. 30

32 Sea 1 X n uma amostra de n observações onde ( X 1... X k )' X,..., X =, = 1,..,n, obtda de uma população com dstrbução normal k-varada com vetor de médas µ e matrz de covarâncas Σ kxk. Sea a estatístca T defnda por 1 T = n( X µ )' S ( X µ ), (.13) Sea H 0 : µ = µ 0 onde µ 0 = ( µ µ 0k )' um vetor com valores pré-especfcados e sea H 1 : µ µ 0. Então sob H 0, a estatístca ( n 1) k ( n k) T tem dstrbução F k,( n k ). Ou sea, T ( n k) ( n 1) k tem dstrbução F com k e ( n k) graus de lberdade, onde n é o tamanho da amostra para se obter _ X e S kxk e k é o número de varáves observadas (Mayson and Young, 00). Quando Σ kxk é conhecda a estatístca T defnda em (.13), substtundo-se lberdade (Anderson,003). 1 S por É possível mostrar que 1 Σ, tem dstrbução Qu-quadrado com k graus de ( 1 0 kk µ 0 T = X µ )' Σ ( X ) (.14) tem dstrbução Qu-quadrado com k graus de lberdade ( χ ), quando conhecda e que k Σ kxk é T = X µ )' S 1 ( ) (.15) ( 0 X µ 0 ( n 1) k tem dstrbução F k,( n k ) ( n k) quando Σ kxk é desconhecda, sendo X = ( X X... X k )' 1,..., n. Neste caso a matrz de covarânca amostral, S, é 1 = utlzada no lugar de Σ kxk (Mayson e Young, 00). 31

33 Um caso partcular da estatístca T é aquele em que se consderam as varáves X padronzadas pelas respectvas médas e desvos padrão, =1,,...,k. Assm, sea Z ( X µ ) =, onde X = ( X1... X k )' é um vetor aleatóro com dstrbução normal k- σ varada com vetor de médas µ e matrz de covarâncas Σ kxk conhecdos. Neste caso, a matrz de covarâncas do vetor aleatóro Z = ( Z Z... Z )' será a matrz de correlação 1 k teórca do vetor X, sto é, a matrz P kk. O vetor aleatóro Z terá dstrbução normal com vetor de médas zero. Então, se Z 1...Z n é uma amostra aleatóra de tamanho n da dstrbução do vetor Z, Z = ( Z, Z,..., Z 1 k )', a estatístca T * 1 = ( Z)' P ( Z) (.16) terá dstrbução Qu-quadrado com k graus de lberdade. Quando a matrz de correlação P kk é desconhecda, esta pode ser estmada pela matrz de correlação amostral Rkk defnda anterormente e a matrz Pkk é substtuída pela matrz Rkk na fórmula de * T dada em (.16). Neste caso, * T terá dstrbução ( n 1) k ( n k) F k,( n k ), ou anda, T * ( n k) ( n 1) k tem dstrbução F com k e (n-k) graus de lberdade sendo _ Z o vetor de médas amostras de Z, sto é, _ Z k Z = ( Z Z... )'. 1 _ Na prátca as varáves X são padronzadas pela méda amostral e o desvo padrão amostral, sto é, Z ( X X ) = e os resultados para s * T contnuam sendo váldos em termos de dstrbução de probabldades. 3

34 .4 Gráfco de Controle Multvarado Através da Estatístca T de Hotellng Vamos consderar a construção do gráfco de controle utlzando a estatístca T de Hotellng em três stuações dstntas. Para as três stuações consderaremos uma amostra aleatóra de tamanho n com k característcas de qualdade de um processo (varáves) onde cada elemento amostral x representa a observação ( = 1,...,n) da varável ( =1,...,k). Na prmera stuação as varáves têm dstrbução normal k- varada com parâmetros conhecdos µ e Σ kxk. Na segunda stuação consderaremos a que as varáves têm dstrbução normal k-varada, porém com os parâmetros µ e desconhecdos, e fnalmente uma stuação em que as varáves de controle não tem dstrbução conhecda. Σ kxk.4.1 Varáves com Dstrbução Normal k-varada com Parâmetros Conhecdos. Para cada observação do processo tem-se o vetor a estatístca da forma: x = x..., x )' e calcula-se ( 1 k 1 kk T = ( x µ )' Σ ( x µ ) (.17) que tem dstrbução qu-quadrado com k graus de lberdade. Para um determnado nível de sgnfcânca α, o lmte acma do qual o processo será consderado fora de controle será dado pelo valor crítco da dstrbução qu-quadrado a este nível de sgnfcânca. Qualquer valor de T acma do valor crítco ndcará que o processo está fora de controle. O lmte nferor de controle é zero (Jang, 004). 33

35 Como exemplo, consderemos os dados a segur, com três varáves aleatóras X tendo dstrbução normal com vetor de médas µ ' = (6,04 6,1 5,65) e, X e X 1 3 matrz de covarâncas Σ 3x3 = 3,33 0,08 0,41 0,08 4,3 0,17 0,41 0,17 e,56 0,30 1 Σ3 x 3 = 0,07 0,03 0,7 0,03 0,01 0,03 0,01 0,5 Sea uma amostra aleatóra de n=10 observações deste processo, nas três varáves. Para cada observação a estatístca dada em (.17) será calculada produzndo os resultados no Quadro 1 a segur. Quadro 1 - Valores das Estatístcas X 1 X 3 T com parâmetros µ e X T 1 7,63 6,1 4,45 1,01 6,3 5,18 9,85 4,74 3 8,00 9,40 6,8 4,4 4 6,10 8,10 7,39 1,69 5 5,04 3,94 5,13 1,71 6 3,87 8,84 5,38 3,04 7 6,50 4,55 4,97 0,83 8 7,75 8,3 4,44,17 9,58 5,77 7,43 4,1 10 8,60 5,60 7,14,84 Σ kxk conhecdos O lmte superor de controle será dado pelo valor 7,81, que representa o valor crítco de uma dstrbução Qu-quadrado com três graus de lberdade a um nível de sgnfcânca de 5%. O gráfco de controle terá a forma como mostrado na Fgura 17. Uma análse do gráfco nos permte dzer que até a ultma observação o processo se encontra sob controle estatístco, uma vez que o valor da estatístca o valor crítco de controle. T não ultrapassou 34

36 T com parâmetros conhecdos 9,00 8,00 Observações 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00 1,00 0, T T Crtco Fgura 17: Gráfco de controle para a estatístca qual com µ e Σ kxk conhecdos. T para o exemplo no.4. Varáves com Dstrbução Normal k-varada com Parâmetros Desconhecdos. Para cada observação do processo, calcula-se a estatístca da forma: _ 1 T = ( x x)' S ( x x) _ (.18) ( n 1) k que tem dstrbução F k,( n k ). Para um determnado nível de sgnfcânca α, o ( n k) lmte acma do qual o processo será consderado fora de controle será dado pelo valor ( n 1) k crítco de F k,( n k ) a este nível de sgnfcânca. A matrz S e o vetor x _ são ( n k) estmadores de Σ kxk e µ respectvamente, calculados com base em uma amostra aleatóra de tamanho n. Qualquer valor de processo está fora de controle. T acma do valor crítco ndca que o Como exemplo, para a construção do gráfco, consderemos uma amostra aleatóra com n=0 observações do processo apresentado no Quadro, nas varáves X, X e X 1 3. Com base nesta amostra obtém-se a matrz de covarânca amostral S e o vetor de médas amostral _ x, dados respectvamente por _ x = (6,11 6,1 6,14), 35

37 S 3x3 = 3,43 0,1 0,16 0,1 3,47 0,8 0,16 0,8 3,77 com 0,9 1 S 3x3 = 0,01 0,01 0,01 0,30 0,06 0,01 0,06. 0,8 Portanto, para cada observação do processo calcula-se a estatístca T como dado em (.18). Os valores observados para T estão no Quadro. Tabela Valores da estatístca T para parâmetros µ e T X1 X X3 1 7,63 6,1 4,45 1,54 6,3 5,18 9,85 3,67 3 8,00 9,40 6,8 4,73 4 6,10 8,10 7,39 1,83 5 5,04 3,94 5,13,56 6 3,87 8,84 5,38 3,5 7 6,50 4,55 4,97 1,51 8 7,75 8,3 4,44,63 9,58 5,77 7,43 4, 10 8,60 5,60 7,14, ,13 7,6 6,06 0,94 1 7,95 6,31 7,69 1, ,93 6,50 7,57 1, ,7 10,38 8,64 8, ,66 5,39 4,7 1, ,06 7,67 9,6 3,97 17,55 5,48 3,71 5, ,5 6,10 8,53 1, ,73 4,04 8,98 6,9 0 5,80 4,14 7,7 1,41 Σ kxk desconhecdos O lmte superor de controle será dado pelo valor 1,88, que representa o valor (0 1)3 crítco de uma dstrbução F3, 17 a um nível de sgnfcânca de 0,05. O gráfco (0 3) de controle é da forma como mostrado na Fgura 18. O gráfco mostra um processo sob controle estatístco, uma vez que nenhum ponto da estatístca controle. T ultrapassa o lmte de 36

38 T parâmetros desconhecdos 5,00 0,00 15,00 T 10,00 5,00 0, Observações T_amostra Crtco Fgura 18: Gráfco de controle para desconhecdos. T - normal com os parâmetros µ e Σ kxk.4.3 Varáves com Dstrbução Conunta Desconhecda. Na stuação em que as varáves de um processo não têm dstrbução conunta conhecda, os lmtes do gráfco de controle para a estatístca T podem ser obtdos com base na dstrbução empírca da própra estatístca. Para tal escolhe-se um período de operação dentro do qual o processo estea sendo operado em condções adequadas, calcula-se a estatístca para todas as observações deste período e com base nestes valores obtem-se o percentl de ordem (1-α ), que será o lmte de controle para o gráfco. Notar que para a obtenção destes valores de uma amostra de tamanho grande do processo deverá ser obtda. T e do lmte crítco de controle, Para cada observação da amostra do processo, tem-se o vetor x = x..., x )' e ( 1 k calcula-se a estatístca T da forma: _ 1 T = ( x x)' S ( x x) _ (.19) 37

39 onde S é a matrz de covarâncas amostral e _ x o vetor de médas amostral. Quando os parâmetros µ e Σ kxk são conhecdos, a estatístca dada em (.19) é calculada substtundo _ x por µ e S por Σ kxk, respectvamente. Como exemplo, tomando como base um período consderado em boas condções operaconas de um alto-forno a carvão vegetal, obteve-se n=65534 observações de 4 varáves de controle, vazão, temperatura de coroa, pressão de topo e pressão de coroa. Com estas observações foram obtdos o vetor de médas amostral e a matrz de covarâncas amostral S, dados por : 76,766 0,103 S 3x3 = 0,6 0,171 0,103 0,006 0,001 0,033 0,6 0,001 0,075 0,018 0,171 0,033, x _ = (678,84 0,940 1,13 6,04). 0,018 0,0314 Portanto, 0, ,370 S 3x3 = 0,185 0,35 0, ,6 9,17 6,96 0,185 9,17 17,945 1,711 0,35 6,96. 1,711 43,550 Com base nestes dados obtem-se os valores para da estatístca T,=(1,...,n), constró-se a dstrbução empírca de T obtendo-se o valor correspondente ao percentl (1-α ) que será 9,86, correspondente a um valor de α = 0,05. O lmte de controle de 99% será dado pelo valor 16,8 (ver hstograma na Fgura 19). Após a obtenção dos valores crítcos, passa-se a calcular a estatístca T para cada observação do da de operação no qual se desea verfcar o nível de controle do alto-forno. Para qualquer valor de T que ultrapassar o lmte de controle, o alto forno será consderado como fora de controle para o nível de sgnfcânca correspondente ao da construção do gráfco. 38

40 O Quadro 3 mostra 0 observações de um da de operação rotnero do altoforno e os valores amostras da estatístca T. Quadro 3 Valores de dstrbução desconhecda. T com parâmetros µ e Σ kxk desconhecdos e dados com I Pressão Temperatura Pressão de de Coroa Topo Vazão Coroa T 1 677,05 1,1 1,1 5,89,97 676,95 1,1 1,36 5,87 1, ,47 1,13 1,1 5,91 7, ,05 1,1 1,1 5,86, ,64 1,11 1,36 5,87 1, ,64 1,1 1,05 5,87 7, ,64 1,1 1,1 5,85, ,16 1,13 1,1 5,87 5, ,64 1,1 1,1 5,83 5, ,74 1,11 1,36 5,83 3, ,81 1,11 1,36 5,84 0, ,4 1,11 1,1 5,83, ,33 1,11 1,36 5,84 4, ,57 1,1 1,36 5,83, ,05 1,1 1,1 5,84 4, ,47 1,11 1,51 5,86, ,3 1,09 1,51 5,86 9, ,05 1,1 1,66 5,83 7, ,05 1,11 1,51 5,83, ,64 1,11 1,51 5,8 3,01 A Fgura 19 mostra um hstograma da dstrbução empírca da estatístca T usado para obter os lmtes de controle. As Fguras 19 e 0 mostram respectvamente um hstograma da dstrbução empírca da estatístca T e um gráfco de controle do processo com lmtes de controle de 95% e 99%. Uma análse do gráfco mostra um processo sob controle, mas com uma observação próxma ao lmte de controle de 95%. 39

41 8000 Hstograma dstrbução emprca da estatstca T Frequenca T Fgura 19: Hstograma da dstrbução empírca de T. Gráfco de Controle para a Estatístca T de Hotellng Estatstca T de Hotellng Tempo T L 95% L 99% Fgura 0: Gráfco de T Dados com dstrbução conunta desconhecda. 40

42 O gráfco de controle de T tem o nconvenente de não ndcar dretamente a(s) varável(es) resposável(es) pela falta de controle do processo. Uma sugestão é dada por (Runger,Alt e Montgomery,1996). Quando para uma observação o valor de T ultrapassa o valor crítco do gráfco de controle, para cada varável da observação o segunte cálculo pode ser feto: d = T T onde T é o valor da estatístca T sem a observação da varável. Quando o vetor aleatóro X tem dstrbução normal, k-varada, d tem dstrbução Ququadrado com um grau de lberdade. Assm para um dado nível de sgnfcânca α, o valor de d que ultrapassar o valor crítco da dstrbução Qu-quadrado ndcará que a varável é responsável pela falta de controle do processo (Montgomery, 004)..5 - A Estatístca de Hayter etsu Hayter e Tsu (1994) propuseram uma estatístca para controle de processos multvarados que é uma alternatva à estatístca T de Hotellng. Sea X = [ X 1...X k ] um vetor aleatóro contendo k característcas de qualdade de nteresse, com dstrbução normal k-varada, com vetor de médas µ e matrz de covarâncas Σ kxk. Sea a constante C R, α tal que: X µ P( CR, α, para todo = 1,...,k) = (1-α ), 0 α 1. (.0) σ Portanto, a probabldade do ntervalo aleatóro dado por X σ C ; X + σ C ) conter o parâmetro µ, com =,...,k é gual a 1-α, onde ( Rα Rα µ e σ são a méda e desvo padrão de X, respectvamente. 41

43 O valor de C R, α é obtdo usando-se uma dstrbução normal k-varada e levandose em consderação o relaconamento lnear exstente entre as k varáves. Portanto, os valores da matrz de covarâncas Σ nfluencam dretamente nos tamanhos dos ntervalos aleatóros construídos. O procedmento garante o nível de sgnfcânca global do teste como deseado, pos a equação (.0) garante que a probabldade de todos os ntervalos conterem os respectvos valores µ é gual a (1-α ). A dentfcação de quas varáves causam a falta de controle do processo é de forma medata, bastando verfcar para qual varável X o valor X σ µ excedeu o valor de C R, α pré-estabelecdo. Além dsso, permte que se compare o valor de cada varável com o respectvo ntervalo de confança. Para uma boa operação, um nível mas amplo de controle pode ser razão para não parar o processo mesmo que em uma varável estea fora de controle, desde que perto o bastante dos lmtes de controle estabelecdos. A determnação do valor da constante crítca C R, α depende da dstrbução da coordenada máxma do vetor aleatóro X padronzado em valor absoluto.. Exstem tabelas para k = (Bechhofer e Dunnet,1988). No entanto, para um número de varáves superor a, a determnação de descrto na Fgura 1. C R, α é feta computaconalmente através do algortmo 1. Gerar um grande número N de vetores de observações de uma normal k- varada com vetor de médas zero e matrz de correlações P kxk, denotados por 1 Z,..., Z N.. Calcular a estatístca M para cada um dos vetores Z = ( Z 1... Z ), gerados no passo 1, sto é, para todo = 1,...,N, calcular: N M = max{ Z, = 1,..., k} 3. Encontrar o percentl de ordem ( 1 α) da dstrbução empírca da amostra 1 M,..., M N e usar o valor encontrado como sendo o valor crítco para C R, α. 4

44 Fgura 1: Algortmo para obtenção da estatístca M de Hayter e Tsu. Em um segundo caso, Hayter e Tsu (1994) propõem a obtenção da estatístca M através de um método dto não-paramétrco. Neste método, os valores de µ e estmados como em (1.5), Σ kxk são com base em um número de observações de uma amostra aleatóra de X. Segundo os autores do artgo, se este número de observações é grande, maor ou gual a 500 observações, então uma aproxmação não paramétrca para a dstrbução da estatístca M pode ser encontrada, sem a necessdade de se assumr dstrbução normal k-varada, como na Fgura 1, para o vetor aleatóro X. O método é mplementado de manera smlar ao algorítmo descrto na Fgura 17, com a exceção de que os valores da dstrbução empírca da estatístca M não serão obtdos sob a hpótese de normaldade, mas sm dos elementos amostras em s. Mas especfcamente, para cada elemento amostral calcula-se a estatístca: _ M max x x / = s (.1) x, = 1,..., n ; = 1,..., k, onde x representa a observação da varável para o elemento amostral, _ x é a méda amostral da varável, s é a estmatva do desvo padrão teórco da varável calculado como em (1.7), =1,,...,k. A dstrbução empírca da estatístca M é construída com estes valores e para um dado nível de sgnfcânca α, um valor crítco para ser obtdo escolhendo o valor correspondente ao percentl de ordem (1-α ). C R, α pode Para cada novo vetor de observações x= x... x )' obtdo do processo, o valor da ( 1 k estatístca M será calculado. Para um nível de sgnfcânca α, o processo será consderado como fora de controle se M > C R, α. Se o processo for consderado fora de controle, bastará verfcar para quas varáves o valor de _ x s supera o valor de C R, α x / Nesta aproxmação não-paramétrca uma nova observação é comparada com um grupo de observações obtdas do processo em sua forma de operação rotnera e não se assume qualquer dstrbução de probabldade para as varáves estudadas, enquanto 43