ESTATÍSTICA APLICADA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ ASSESSORIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS ESPECIALIZAÇÃO EM GESTÃO EMPRESARIAL NA MODALIDADE SEMIPRESENCIAL ESTATÍSTICA APLICADA Prof. João Furtado

2 2 Capítulo I - A Natureza da Estatístca 1.1. Método Estatístco a. O método centífco É um conjunto de meos dspostos convenentemente para se chegar a um fm que se deseja. b. O método expermental Consste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e varar esta causa de modo que o pesqusador possa descobrr seus efetos, caso exstam. c. O método estatístco Dante da mpossbldade de manter as causas constantes, admte-se todas essas causas presentes varando-as, regstrando essas varações e procurando determnar, no resultado fnal, que nfluêncas cabem a cada uma delas A Estatístca É uma parte da Matemátca Aplcada que fornece métodos para a coleta, organzação, descrção, análse e nterpretação de dados e para a utlzação dos mesmos na tomada de decsões. Obs.: A coleta, a organzação e a descrção dos dados estão a cargo da Estatístca Descrtva, enquanto a análse e a nterpretação desses dados fcam a cargo da Estatístca Indutva ou Inferencal Fases do método Estatístco Podemos dstngur no método Estatístco as seguntes fases: Coleta de dados Após cudadoso planejamento e a devda determnação das característcas do fenômeno coletvamente típco que se quer pesqusar, damos níco à coleta dos dados numércos à sua descrção. A coleta pode ser dreta e ndreta: - Dreta: é quando é feta sobre elementos nformatvos de regstro obrgatóro. A coleta dreta de dados pode ser classfcada, relatvamente ao fator tempo, em: a. Contínua (regstro) quando feta contnuamente. b. Peródca quando feta em ntervalo constante de tempo. c. Ocasonal quando feta extemporaneamente, a fm de atender a uma conjuntura ou uma emergênca. - Indreta: quando é nferda de elementos conhecdos (coleta dreta) e/ou do conhecmento de outros fenômenos relaconados com o fenômeno estudado Crítca dos dados Obtdos os dados, eles devem ser cudadosamente crtcados, à procura de possíves falhas e mperfeções, a fm de não ncorrermos em erros grosseros ou de certo vulto, que possam nflur sensvelmente nos resultados.

3 Apuração de dados Nada mas é do que a soma e o processamento dos dados obtdos e a dsposção medante crtéros de classfcação Exposção ou apresentação dos dados Por mas dversa que seja a fnaldade que se tenha em vsta, os dados devem ser apresentados sob forma adequada (tabelas ou gráfcos), tornando mas fácl o exame daqulo que está sendo objeto de tratamento estatístco e ulteror obtenção de meddas típcas Análse dos resultados O objetvo últmo da Estatístca é trar conclusões sobre o todo (população) a partr de nformações fornecdas por parte representatva do todo (amostra). Assm, realzadas as fases anterores (Estatístca Descrtva), fazemos uma análse dos resultados obtdos, através dos métodos da Estatístca Indutva ou Inferencal, que tem por base a ndução ou nferênca, e tramos desses resultados conclusões e prevsões. Exercícos 1ª. Complete: O método expermental é o mas usado por cêncas como... 2ª. As cêncas humanas e socas, para obterem os dados que buscam, lançam mão de que método? 3ª. O que é a Estatístca? 4ª. Cte as fases do método estatístco. 5ª. Para você, o que é coletar dados? 6ª. Para que serve a crítca dos dados? 7ª. O que é apurar dados? 8ª. Como podem ser apresentados ou expostos os dados? 9ª. As conclusões, as nferêncas pertencem a que parte da Estatístca? 10ª. Cte três ou mas atvdade do planejamento empresaral em que a Estatístca se faz necessára. 11ª. O método estatístco tem como um de seus fns: a. Estudar os fenômenos estatístcos. b. Estudar qualdades concretas dos ndvíduos que formam grupos. c. Determnar qualdades abstratas dos ndvíduos que formam grupos. d. Determnar qualdades abstratas de grupos de ndvíduos. e. Estudar fenômenos numércos.

4 4 Capítulo II - População e Amostra 2.1. Varáves É convenconalmente, o conjunto de resultados possíves de um fenômeno. a. Varável qualtatva Quando seus valores são expressos por atrbutos. b. Varável quanttatva Quando seus valores são expressos por números. c. Varável contínua É a varável que pode assumr, teorcamente, qualquer valor entre dos lmtes. d. Varável dscreta É a varável que só pode assumr valores pertencentes a um conjunto enumerável População e Amostra População Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característca comum denomnamos população estatístca ou unverso estatístco Amostra É um subconjunto fnto de uma população Amostragem Exste uma técnca especal amostragem- para recolher amostras, que garante tanto quanto possível, o acaso na escolha Amostragem casual ou aleatóra smples Este tpo de amostragem é equvalente a um sorteo lotérco Amostragem proporconal estratfcada Mutas vezes a população se dvde em subpopulações estratos. Como é possível que a varável em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que o sorteo dos elementos da amostra leve em consderação tas estratos. É sto que fazemos quando empregamos a amostragem proporconal estratfcada que, além de consderar a exstênca dos estratos, obtém os elementos da amostra proporconal ao número de elementos dos mesmos Amostragem sstemátca Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessdade de construr o sstema de referênca. Nestes casos, a seleção dos elementos que constturão a amostra pode ser feta por um sstema mposto pelo pesqusador. A esse tpo de amostragem denomnamos sstemátca.

5 5 Exercícos 1ª. Classfque as varáves em quanttatvas ou qualtatvas (descontínuas ou contínuas): a. Unverso: alunos de uma escola. Varável: cor dos cabelos -... b. Unverso: casas resdentes em uma cdade. Varável: número de flhos -... c. Unverso: as jogadas de um dado. Varável: o ponto obtdo em cada jogada -... d. Unverso: peças produzdas por certa máquna. Varável: número de peças produzdas por hora -... e. Unverso: peças produzdas por certa máquna. Varável: dâmetro externo ª. Dga quas das varáves abaxo são dscretas e quas são contínuas: a. População: alunos de uma cdade. Varável: cor dos olhos -... b. População: estação meteorológca de uma cdade. Varável: precptação pluvométrca, durante um ano -... c. População: bolsa de valores de SP. Varável: número de ações negocadas -... d. População: funconáros de uma empresa. Varável: saláros -... e. População: pregos produzdas por uma máquna. Varável: comprmento ª. Em uma escola há otenta alunos. Obtenha um a amostra para doze alunos. Sugestão: decda, juntamente com a classe e seu professor, o uso da Tabela de Números Aleatóros. 4ª. Uma população é formada por 140 notas resultantes da aplcação de um teste de ntelgênca: Obtenha uma amostra formada de 26 elementos, tomando, ncalmente, a 1ª lnha da esquerda para a dreta.

6 6 5ª. O dretor de uma escola, na qual estão matrculados 280 mennos e 320 mennas, desejoso de conhecer as condções de vda extra-escolar de seus alunos e não dspondo de tempo para entrevstar todas as famílas, resolveu fazer um levantamento, por amostragem, em 10% dessa clentela. Obtenha, para esse dretor, os elementos componentes da amostra. 6ª. Uma cdade X apresenta o segunte quadro relatvo às suas escolas de 1º grau: Obtenha uma amostra proporconal estratfcada de 120 estudantes. 7ª. Uma população encontra-se dvdda em três estratos, com tamanhos, respectvamente n 1 = 40, n 2 = 100 e n 3 = 60. Sabendo que, ao ser realzada uma amostragem estratfcada proporconal, nove elementos da amostra foram retrados do 3º estrato, determne o número total de elementos da amostra. 8ª. Mostre como sera possível retrar uma amostra de 32 elementos de uma população ordenada formada por elementos. Na ordenação geral, qual dos elementos abaxo sera escolhdo para pertencer à amostra, sabendo-se que o elemento de ordem a ele pertence? a º. b. 290º. c. 725º. d º. e º.

7 7 Capítulo III Séres Estatístcas 3.1. Tabela É um quadro que resume um conjunto de observações. Uma tabela compõe-se de: a. Corpo: Conjunto de lnhas e colunas que contêm nformações sobre a varável em estudo. b. Cabeçalho: Parte superor da tabela que especfca o conteúdo das colunas. c. Coluna ndcadora: Parte da tabela que especfca o conteúdo da lnha. d. Lnhas: Retas magnáras que facltam a letura, no sentdo horzontal, de dados que se nscrevem nos seus cruzamentos com as colunas. e. Casa ou Célula: Espaço destnado a um só número. f. Título: Conjunto de nformações, as mas completas possíves, respondendo às perguntas: O quê? Quando? Onde?; localzadas no topo da tabela. Obs.:. Há anda a consderar os elementos complementares da tabela, que são a fonte, as notas e as chamadas colocadas, de preferênca, no seu rodapé.. De acordo com a resolução 886 da Fundação IBGE, nas casas ou células devemos colocar: Um traço horzontal (-) quando o valor é zero; Três pontos (...) quando não temos os dados; Um ponto de nterrogação (?) quando temos dúvda quanto à exatdão de determnador valor; Zero (0) quando o valor é muto pequeno para ser expresso pela undade utlzada. Se os valores são expressos em numeras decmas, precsamos acrescentar à parte decmal um número correspondente de zeros (0,0; 0,00; 0,000;...) Séres Estatístcas Denomnamos sére Estatístca toda tabela que apresenta a dstrbução de um conjunto de dados estatístcos em função da época, do local ou da espéce. Obs.: Podemos nferr que numa sére estatístca observamos a exstênca de três elementos ou fatores: o tempo, o espaço e a espéce. Conforme vare um dos elementos da sére, podemos classfcá-la em hstórca, geográfca e específca Séres hstórcas, cronológcas, temporas ou marchas Descrevem os valores da varável, em determnado local, dscrmnados segundo ntervalos de tempo varáves Séres geográfcas, espacas, terrtoras ou de localzação Descrevem os valores da varável, em determnado nstante, dscrmnados segundo regões Séres específcas ou categórcas Descrevem os valores da varável, em determnado tempo e local, dscrmnados segundo especfcações ou categoras.

8 Séres conjugadas: Tabela de dupla entrada Quando apresentamos em uma únca tabela, a varação de valores de mas de uma varável, sto é, fazer uma conjugação de duas ou mas séres. Conjugando duas séres em uma únca tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma tabela desse tpo fcam cradas duas ordens de classfcação: uma horzontal (lnha) e uma vertcal (coluna) Dstrbução de freqüênca É um conceto estatístco de suma mportânca, portanto, será destnado um capítulo à parte Dados absolutos e dados relatvos Os dados estatístcos resultantes da coleta dreta da fonte são chamados dados absolutos, sem outra manpulação senão a contagem ou medda. Dados relatvos são o resultado de comparações por quocente (razões) que se estabelecem entre dados absolutos, e têm por fnaldade realçar ou facltar as comparações entre quantdades As percentagens O emprego da percentagem é de grande vala quando é nosso ntuto destacar a partcpação da parte no todo. Obs.: Do mesmo modo que podemos tomar 100 para a base de comparação, também podemos tomar um outro número qualquer, entre os quas destacamos o número 1. É claro que, supondo o total gual a 1, os dados relatvos das parcelas serão todos menores que 1. Em geral, quando usamos 100 para a base, os dados são arredondados até a prmera casa decmal; e quando tomamos 1 por base, são arredondados até a tercera casa decmal Os índces: Índces econômcos Os índces são razões entre duas grandezas tas que uma não nclu a outra Os coefcentes Os coefcentes são razões entre o número de ocorrêncas e o número total (número de ocorrêncas e número de não-ocorrêncas) As taxas As taxas são os coefcentes multplcados por uma potênca de 10 (100, 100, 1000, etc.) para tornar o resultado mas ntelgível.

9 9 Capítulo IV Gráfcos Estatístcos 4.1. Gráfco Estatístco É uma forma de apresentação dos dados estatístcos, cujo objetvo é o de produzr, no nvestgador ou no públco em geral, uma mpressão mas rápda e vva do fenômeno em estudo, já que os gráfcos falam mas rápdo à compreensão que as séres. Smplcdade: O gráfco deve ser desttuído de detalhes de mportânca secundára, assm como de traços desnecessáros que possam levar o observador a uma análse morosa ou com erros. Clareza: O gráfco deve possbltar uma correta nterpretação dos valores representatvos do fenômeno em estudo. Veracdade: O gráfco deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo. Os prncpas tpos de gráfcos são os dagramas, os cartogramas e os pctogramas Dagramas Os dagramas são gráfcos geométrcos de, no máxmo, duas dmensões; para sua construção, em geral, fazemos uso do sstema cartesano Gráfco em lnha ou em curva Este tpo de gráfco se utlza a lnha polgonal para representar a sére estatístca Gráfco em coluna ou em barra É a representação de uma sére por meo de retângulo, dsposta vertcalmente (em coluna) ou horzontalmente (em barras) Gráfcos em colunas ou em barras múltplas Este tpo de gráfco é geralmente empregado quando queremos representar, smultaneamente, dos ou mas fenômenos estudados com o propósto de comparação Gráfcos em setores Este gráfco é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a partcpação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fca dvddo em tantos setores quantas são as partes Gráfco Polar É o gráfco deal para representar séres temporas cíclcas, sto é, séres temporas que apresentam em seu desenvolvmento determnada perodcdade. O gráfco polar faz uso do sstema de coordenadas polares Cartograma O cartograma é a representação sobre uma carta geográfca Representar dados absolutos (população) Neste caso, lançamos mão, em geral, dos pontos, em número proporconal aos dados.

10 Representar dados relatvos (densdade) Neste caso, lançamos mão, em geral, de hachuras Pctograma O pctograma consttu um dos processos gráfcos que melhor fala ao públco, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestva. A representação gráfca consta de fguras. Exercícos 1ª. Represente a sére abaxo usando o gráfco de lnha. COMÉRCIO EXTERIOR BRASIL ANOS QUANTIDADE (1.000 t) EXPORTAÇÃO IMPORTAÇÃO FONTE: Banco do Brasl. 2ª. Represente as tabelas usando o gráfco em colunas: CHEGADA DE VISITANTES BRASIL ANOS NÚMERO (mlhares) a. b. FONTE: EMBRATUR. ENTREGA DE GASOLINAS PARA CONSUMO BRASIL ANOS QUANTIDADE (1.000 m 3 ) FONTE: IBGE. 3ª. Usando o gráfco em barras, represente as tabelas: a. PRODUÇÃO DE OVOS DE GALINHA BRASIL 1988 QUANTIDADE REGIÃO (1.000 dúzas) Norte Nordeste

11 11 Sudeste Sul Centro-Oeste FONTE: IBGE. b. CONSUMO DA BORRACHA NA INDÚSTRIA BRASIL 1988 ESPECIFICAÇÃO QUANTIDADE (t) Pneumátcos Câmaras de ar Correas Materal de conserto Outros artefatos FONTE: Mnstéro da Indústra e Comérco. 4ª. Represente as tabelas usando o gráfco em setores: a. FONTE: IBGE. ÁREA TERRESTRE BRASIL REGIÕES RELATIVA (%) Norte 45,25 Nordeste 18,28 Sudeste 10,85 Sul 6,76 Centro-Oeste 18,86 TOTAL 100,00 b. PRODUÇÃO DE LAMINADOS NÃO PLANOS BRASIL 1988 UNIDADES DA FEDERAÇÃO QUANTIDADE (t) Mnas Geras Ro de Janero São Paulo Ro Grande do Sul 476 Outros Estados 797 TOTAL FONTE: Insttuto Braslero de Sderurga.

12 12 5ª. Represente a tabela por meo de um gráfco de colunas múltplas: a. VAGAS OFERECIDAS NAS UNIVERSIDADES BRASIL ANOS DEPENDÊNCIAS ADMINISTRATIVAS FEDERAIS ESTADUAIS PARTICULARES FONTE: IBGE. 6ª. Represente as tabelas por meo de gráfcos polares: a. PREÇO DO DÓLAR MERCADO PARALELO NOVEMBRO 1990 DIAS CRUZEIROS Dados fctícos. b. PRECIPTAÇÃO PLUVIOMÉTRICA MUNICÍPIO DE SÃO PAULO 1989 MESES PRECIPTAÇÃO (mm) Janero 359,2 Feverero 326,5 Março 185,1 Abrl 96,2 Mao 30,4 Junho 44,4 Julho 144,7 Agosto 32,3 Setembro 82,5 Outubro 65,4 Novembro 82,4 Dezembro 121,7 FONTE: IBGE. 7ª. Procure, em revstas e jornas especalzados, dos exemplos de cada um dos gráfcos estudados.

13 13 Capítulo V Dstrbução de Freqüênca 5.1. Tabela Prmtva É a tabela cujos elementos não foram numercamente organzados. ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO CÓLEGIO A Rol É a tabela obtda após a ordenação dos dados, ordenação crescente ou decrescente. ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO CÓLEGIO A Dstrbução de freqüênca Denomnamos freqüênca o número de dados que fca relaconado a um determnado valor da varável. Obtemos, assm, uma tabela que recebe o nome de dstrbução de freqüênca. Obs.: Se agruparmos os valores da varável em ntervalos este é chamado em estatístca de classe Elementos de uma dstrbução de freqüênca Classe São ntervalos de varação da varável Lmtes de classe São os extremos de cada classe Ampltude de um ntervalo de classe É a medda do ntervalo que defne a classe. É obtdo pela dferença entre os lmtes superor e nferor dessa classe e ndcado por h. h = L l, L é o lmte superor e l é o lmte nferor Ampltude total da dstrbução (AT) É a dferença entre o lmte superor da últma classe (lmte superor máxmo) e o lmte nferor da prmera classe (lmte nferor mínmo). AT = L(máx.) l(mín.) Ampltude amostral (AA) É a dferença entre o valor máxmo e o valor mínmo da amostra.

14 14 AA= x(max.) x(mn.) Ponto médo de uma classe (x ) É como o própro nome ndca, o ponto que dvde o ntervalo de classe em duas partes guas. l L x Freqüênca smples ou absoluta (f ) É o número de observações correspondentes a uma classe ou a esse valor Número de classes ntervalos de classe Para a determnação do número de classes de uma dstrbução podemos lançar mão da regra de Sturges, que nos dá o número de classes em função do número de valores da varável. 1 3,3.log n, onde é o número de classe e n o número total de dados Além da regra de Sturges, exstem outras fórmulas empírcas que pretendem resolver o problema da determnação do número de classes que deve ter a dstrbução. Decddo o número de classes que deve ter a dstrbução, devemos resolver o problema da determnação da ampltude do ntervalo de classe, o que consegumos dvdndo a ampltude total pelo número de classes: h AT 5.5. Tpos de freqüêncas Freqüênca smples ou absoluta (f ) São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe Freqüênca relatva (f r ) São os valores das razões entre as freqüêncas smples e a freqüênca total. f f r f Freqüênca acumulada (F ) É o total das freqüêncas de todos os valores nferores ao lmte superor do ntervalo de uma dada classe. Fk f1 f2... fk ou F f ( 1,2,3,..., k) k

15 Freqüênca acumulada relatva (F r ) É a freqüênca acumulada da classe, dvdda pela freqüênca total da dstrbução. F F r f 5.6. Dstrbução de freqüênca sem ntervalos de classe Quando se trata de varável dscreta de varação relatvamente pequena, cada valor pode ser tomado como um ntervalo de classe (ntervalo degenerado), tomando a segunte forma: x x 1 x 2 x n f f 1 f 2 f n f n 5.7. Representação gráfca de uma dstrbução Uma dstrbução de freqüênca pode ser representada grafcamente pelo hstograma, pelo polígono de freqüênca e pelo polígono de freqüênca acumulada Hstograma É formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localzam sobre o exo horzontal, de tal modo que seus pontos médos concdam com os pontos médos dos ntervalos de classe. Obs.: A área de um hstograma é proporconal à soma das freqüêncas. No caso de usarmos as freqüêncas relatvas, obtemos um gráfco de área untára. Quando queremos comparar duas dstrbuções, o deal é fazê-lo pelo hstograma de freqüêncas relatvas Polígono de freqüênca É um gráfco em lnha, sendo as freqüêncas marcadas sobre perpendculares ao exo horzontal, levantadas pelos pontos médos dos ntervalos de classe.

16 Polígono de freqüênca acumulada É traçado marcando-se as freqüêncas acumuladas sobre perpendculares ao exo horzontal, levantadas nos pontos correspondentes aos lmtes superores dos ntervalos de classe A curva de Freqüênca Mostra de modo mas evdente, a verdadera natureza da dstrbução da população. Obs.: O polígono de freqüênca nos dá a magem real do fenômeno estudado, a curva de freqüênca nos dá a magem tendencal A curva de freqüênca Curva polda É a curva resultante de um grande número de dados. Porém podemos afrmar que ela assemelha-se mas à curva de freqüênca do que ao polígono de freqüênca obtda de uma amostra lmtada. f 2 f f fc

17 As formas das curvas de freqüênca Curvas em forma de sno Caracterza-se pelo fato de apresentarem um valor máxmo na regão central. * Curva smétrca * Curva assmétrca

18 Curvas em forma de jota São relatvas a dstrbuções extremamente assmétrcas, caracterzadas por apresentarem o ponto de ordenada máxma em uma das extremdades Curvas em forma de U São caracterzadas por apresentarem ordenadas máxmas em ambas as extremdades. Exercícos 1ª. As notas obtdas por 50 alunos de uma classe foram: a. Complete a dstrbução de freqüênca abaxo: NOTAS x f Σ f = 50 b. Agora, responda:. Qual a ampltude amostral?. Qual a ampltude da dstrbução?. Qual o número de classes da dstrbução? v. Qual o lmte nferor da quarta classe? v. Qual o lmte superor da classe de ordem 2? v. Qual a ampltude do segundo ntervalo de classe?

19 19 c. Complete: 1. h 3 =...; 2. n =...; 3. l 1 =...; 4. L 3 =...; 5. x 2 =...; 6. f 5 =... 2ª. Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguntes: Forme uma dstrbução de freqüênca sem ntervalos de classe. 3ª. Consderando as notas de um teste de ntelgênca aplcado a 100 alunos: Forme uma dstrbução de freqüênca. 4ª. A tabela abaxo apresenta as vendas dáras de um determnado aparelho elétrco, durante um mês, por frma comercal: Forme uma dstrbução de freqüênca sem ntervalos de classe. 5ª. Complete a tabela abaxo: 6ª. Dada a dstrbução de freqüênca: Determne: a. Σ f ; b. As freqüêncas relatvas; c. As freqüêncas acumuladas; d. As freqüêncas relatvas acumuladas. 7ª. A tabela abaxo representa uma dstrbução de freqüênca das áreas de 400 lotes:

20 20 Com referênca a essa tabela, determne: a. A ampltude total; b. O lmte superor da qunta classe; c. O lmte nferor da otava classe; d. O ponto médo da sétma classe; e. A ampltude do ntervalo da segunda classe; f. A freqüênca da quarta classe; g. A freqüênca relatva da sexta classe; h. A freqüênca acumulada da qunta classe;. O número de lotes cuja área não atnge 700m 2 ; j. O número de lotes cuja área atnge e ultrapassa 800m 2 ; k. A percentagem dos lotes cuja área não atnge 600m 2 ; l. A percentagem dos lotes cuja área não atnge 600m 2 ; m. A percentagem dos lotes cuja área seja maor ou gual a 900m 2 ; n. A percentagem dos lotes cuja área é de 500m 2, no mínno, mas nferor a m 2 ; o. A classe do 72º lote; p. Até que classe estão ncluídos 60% dos lotes. 8ª. A dstrbução abaxo ndca o número de acdentes ocorrdos com 70 motorstas de uma empresa de ônbus: 9ª. Complete os dados que faltam na dstrbução de freqüênca: 10ª. Consderando as dstrbuções de freqüênca seguntes, confeccone, para cada uma:

21 21 a. O Hstograma; b. O Polígono de freqüênca; c. O Polígono de freqüênca acumulada. 11ª. Confeccone o gráfco da dstrbução: 12ª. Confeccone a curva polda relatva à dstrbução de freqüênca: 13ª.

22 22 14ª. Cte o tpo de curva correspondente a cada dstrbução a segur. a. Número de mulheres de 15 a30 anos, em uma dada população, casadas, classfcadas segundo o número de vezes que hajam contraído matrmôno. b. Notas de alunos que cursam a últma sére do 2º grau, em uma dada população; c. Coefcentes de mortaldade por acdente, por grupo de dade. d. Tempo de estaconamento de veículos motorzados em uma área de congestonamento. e. Número de homens capactados, por grupo de dade, que estão desempregados em uma determnada época. 15ª. Conhecdas as notas de 50 alunos: Determne: a. A dstrbução de freqüênca começando por 30 e adotando o ntervalo de classe de ampltude gual a 10; b. As freqüêncas acumuladas; c. As freqüêncas relatvas; d. O hstograma e o polígono de freqüênca. 16ª. A tabela abaxo apresenta os coefcentes de lqudez obtdos da análse de balanço em 50 ndústras: a. Forme com esses dados uma dstrbução com ntervalos de classe guas a 3, tas que os lmtes nferores sejam múltplos de 3; b. Confeccone o hstograma e o polígono de freqüênca correspondentes.

23 23 17ª. Um grau de nebulosdade, regstrado em décmos, ocorre de acordo com a dstrbução abaxo: Construa o hstograma correspondente. 18ª. Consderando a dstrbução abaxo: Confeccone: a. Um hstograma; b. Um polígono de freqüênca; c. A curva polda, ndcando as freqüêncas reas por meo de pequenos círculos.

24 24 Capítulo VI - Meddas de Posção 6.1. Meddas de Posção Representam uma sére de dados orentando-nos quanto à posção da dstrbução em relação ao exo horzontal (exo das abscssas). Obs.: As meddas de posção mas mportantes são as meddas de tendênca central, que recebem tal denomnação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centras. Dentre estas destacamos: (a) a méda artmétca; (b) a medana; (c) a moda Méda Artmétca ( x ) É o quocente da dvsão da soma dos valores da varável pelo número deles: x n x 1 onde x é o valor da varável e n o número de valores Dados não-agrupados Quando desejamos conhecer a méda dos dados não-agrupados, determnamos a méda artmétca smples Desvo em relação à méda ( d ) É a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda. d x x Propredades da méda a) A soma algébrca dos desvos tomados em relação à méda é nulo. k 1 d 0 b) Somando-se (ou subtrando-se) uma constante () c a de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. y x c y x c c) Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante () c, a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. x x y x c y x c ou y y c c

25 Dados agrupados Sem ntervalo de classe Como as freqüêncas são números ndcadores da ntensdade de cada varável, elas funconam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a méda artmétca ponderada, dada pela fórmula: x xf f Com ntervalo de classe Neste caso convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo, e determnamos a méda artmétca ponderada por meo da fórmula: x xf f onde x é o ponto médo da classe Processo breve Com o ntuto de elmnarmos o grande número de cálculos que às vezes se apresentam na determnação da méda, empregamos o que denomnamos processo breve, baseado em uma mudança de varável x por outra y, tal que: y x x h o onde x 0 é uma constante arbtrára escolhda convenentemente dentre os pontos médos da dstrbução de preferênca o de maor freqüênca. x x 0 y f f h Fases para o cálculo da méda pelo processo breve: 1) Abrmos uma coluna para os valores x. 2) Escolhemos um dos pontos médos (de preferênca o de maor freqüênca) para valor de x 0. 3) Abrmos uma coluna para os valores de y e escrevemos zero na lnha correspondente à classe onde se encontra o valor de x 0 ; a seqüênca 1, -2,,-3,..., logo acma do zero, e a seqüênca 1, 2, 3,..., logo abaxo. 4) Abrmos uma coluna para os valores do produto y f, conservando os snas + ou -, e, em seguda, somamos algebrcamente esses produtos. 5) Aplcamos a fórmula.

26 Emprego da méda A méda é utlzada quando: a) desejamos obter a medda de posção que possu a maor establdade; b) houver necessdade de um tratamento algébrco ulteror A Moda (Mo) Denomnamos moda o valor que ocorre com maor freqüênca em uma sére de valores Dados não-agrupados Quando ldamos com valores não-agrupados, a moda é faclmente reconhecda: basta, de acordo com a defnção, procurar o valor que mas se repete. a) amodal: Quando não apresenta moda. b) bmodal: Quando apresenta duas modas Dados agrupados Sem ntervalo de classe Uma vez agrupados os dados, é possível determnar medatamente a moda: basta fxar o valor da varável de maor freqüênca Com ntervalo de classe A classe que apresenta a maor freqüênca é denomnada classe modal. Pela defnção, podemos afrmar que a moda, neste caso, é o valor domnante que está compreenddo entre os lmtes da classe modal. Moda bruta l* L* Mo 2 onde l* é o lmte nferor da classe modal e L* é o lmte superor da classe modal. Fórmula de Czuber D Mo l h D D 1 * * 1 2 onde h* é a ampltude da classe modal, D 1 =f* - f(ant); D 2 =f* - f(post), f* a freqüênca smples da classe modal, f(ant) a freqüênca smples da classe anteror à classe modal e f*(post) a freqüênca smples da classe posteror à classe modal As expressões gráfcas da moda Na curva de freqüênca, a moda é o valor que corresponde, no exo das abscssas, ao ponto de ordenada máxma. Assm, podemos ter:

27 Emprego da moda A moda é utlzada: a) quando desejamos obter uma medda rápda e aproxmada de posção; b) quando a medda de posção deve ser o valor mas típco da dstrbução A medana (Md) É outra medda de posção defnda como o número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostvos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenado segundo uma ordem de grandeza, é o valor stuado de tal forma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos Dados não-agrupados Estando ordenados os valores de uma sére e sendo n o número de elementos da sére, o valor medano será: n 1 - o termo de ordem, se n for ímpar; 2 n n - a méda artmétca dos termos de ordem e 1, se n for par. 2 2

28 28 Obs.: O valor da medana pode concdr ou não com um elemento da sére. A medana e a méda artmétca não têm, necessaramente, o mesmo valor. A medana depende da posção e não dos valores dos elementos na sére ordenada. A medana é desgnada, mutas vezes, por valor medano Dados agrupados O cálculo da medana se processa de modo muto semelhante àquele dos dados não-agrupados, mplcando, porém, a determnação préva das freqüêncas acumuladas. Anda aqu, temos que determnar um valor tal que dvda a dstrbução em dos grupos que contenham o mesmo número de elementos. 2 f Sem ntervalo de classe Neste caso, é o bastante dentfcar a freqüênca acumulada medatamente superor à metade da soma das freqüêncas. A medana será aquele valor da varável que corresponde a tal freqüênca acumulada. Obs.: No caso de exstr uma freqüênca acumulada (F ), tal que: a medana será dada por: f F 2 Md x x Com ntervalo de classe a) Determnamos as freqüêncas acumuladas. f b) Calculamos 2 c) Marcamos a classe correspondente à freqüênca acumulada medatamente superor à 2 f - classe medana- e, em seguda, empregamos a fórmula: Md l * 2 f F( ant) h* f * na qual: l* é o lmte nferor da classe medana, F(ant) é a freqüênca da classe anteror à classe medana, f* é a freqüênca da classe medana e h* é a ampltude do ntervalo da classe medana.

29 Emprego da medana Empregamos a medana quando: a) desejamos obter o ponto que dvde a dstrbução em partes guas b) há valores extremos que afetam de uma manera acentuada a méda c) a varável em estudo é saláro Posção relatva da méda, medana e moda Quando uma dstrbução é smétrca, as três meddas concdem. Porém, a assmetra torna-as dferentes e essa dferença é tanto maor quanto maor é a assmetra. Assm, em uma dstrbução em forma de sno, temos: x Md Mo, no caso da curva smétrca; Mo Md x, no caso da curva assmétrca postva; x Md Mo, no caso da curva assmétrca negatva; 6.6. As separatrzes Denomnamos de separatrz à medda que dvd uma sére de valores em grupos que apresentam o mesmo número de valores Os quarts Denomnamos quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro partes guas. Há, portanto, três quarts: Quando os dados são agrupados, para determnar os quarts usamos a mesma técnca do cálculo da medana, bastando substtur, na fórmula da medana, f por: 2 k f 4 sendo k o número de ordem do quartl. Assm, temos:

30 30 Q k k l* 4 f F( ant) h* f * Os percents Denomnamos percents os noventa e nove valores que separam uma sére em 100 partes guas. Quando os dados são agrupados, para determnar os percents usamos a mesma técnca do cálculo da medana, bastando substtur, na fórmula da medana, por: sendo k o número de ordem do percentl. Assm, temos: k f f P k k f 100 l* F( ant) h* f *

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32 32 Capítulo VII - Meddas de Dspersão ou de Varabldade 7.1. Dspersão ou varabldade Chamamos de Dspersão ou Varabldade a maor ou menor dversfcação dos valores de uma varável em torno de um valor de tendênca central tomado como ponto de comparação. Portanto, para qualfcar os valores de uma varável, ressaltando a maor ou menor dspersão ou varabldade entre esses valores e a sua medda de posção, a Estatístca recorre às meddas de dspersão ou de varabldade Ampltude total Dados não-agrupados É a dferença entre o maor e o menor valor observado: Dados agrupados Sem ntervalo de classe Com ntervalo de classe AT= x(máx.) x(mín.) AT= x(máx.) x(mín.) AT= L(max.) l(mín.) 7.3. Varânca, Desvo Padrão Varânca s 2 x x 2 f porém f n s 2 x x 2 n Desvo Padrão s x x 2 n s 2 2 x x n n Propredades do desvo padrão: a) Somando-se (ou subtrando-se) uma constate a de todos os valores de uma varável, o desvo padrão não se altera:

33 33 y x c sy sx b) Multplcando-se todos os valores de uma varável por uma constante (dferente de zero), o desvo padrão fca multplcado por essa constante: Dados não agrupados y c x sy c sx s 2 2 x x n n Dados agrupados Sem ntervalo de classe 2 fx fx s n n Com ntervalo de classe s 2 2 x x n n Processo breve Baseado na mudança da varável x por outra y, tal que: y x h x 0 podemos obter. s f y f y n n h 2 Fases para o cálculo do desvo padrão pelo processo breve: a) Abrmos uma coluna para os valores x (ponto médo). b) Escolhemos um dos pontos médos (de preferênca o de maor freqüênca) para valor x 0.

34 34 c) Abrmos uma coluna para os valores de y e escrevemos zero na lnha correspondente à classe onde se encontra o valor de x 0 ; a seqüênca -1, -2, -3,..., logo acma do zero, e a seqüênca 1, 2, 3,..., logo abaxo. d) Abrmos uma coluna para os valores do produto f y, conservando os snas + ou -, e, em seguda, somamos algebrcamente esses produtos. e) Abrmos uma coluna para os valores do produto f y 2, obtdos multplcando cada f y pelo seu respectvo y, e, em seguda, somamos esses produtos. f) Aplcamos a fórmula Coefcente de Varação s CV 100 x

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36 36 Correlação e Regressão 1- Introdução Quando consderamos observações de duas ou mas varáves, surge um novo problema: as relações que podem exstr entre as varáves estudadas. Neste caso, as meddas estudadas não são efcentes. Quando consderamos duas ou mas varáves, procuramos verfcar se exste alguma relação entre as varáves de cada um dos pares e qual o grau dessa relação. Para sso, é necessáro o conhecmento de novas meddas. Sendo a relação entre as varáves de natureza quanttatva, a correlação é o nstrumento adequado para descobrr e medr essa relação. Uma vez caracterzada a relação, procuramos descreve-la através de uma função matemátca. A regressão é o nstrumento adequado para a determnação dos parâmetros dessa função. 2- Correlação Quando duas varáves estão lgadas por uma relação estatístca, dzemos que exste correlação entre elas Relação funconal e relação estatístca a) relação funconal Quando exste uma relação exata entre as varáves b) relação estatístca Quando não exste uma relação exata entre as varáves 2.2- Dagrama de dspersão É o conjunto de pares ordenados (x, y ), representados em um sstema coordenado cartesano ortogonal. Esse dagrama nos fornece uma déa grossera, porém útl da correlação exstente 2.3- Correlação lnear Quando os pontos obtdos, vstos em conjunto, formam uma elpse em dagonal. Podemos magnar que, quanto mas fna for a elpse, mas ela se aproxmará de uma reta. Dzemos, então, que a correlação de forma elíptca tem como magem uma reta, sendo, por sso, denomnada correlação lnear. É possível verfcar que a cada correlação está assocada como magem uma relação funconal. Por esse motvo, as relações funconas são chamadas relações perfetas. Uma correlação pode ser: a) lnear postva Se os pontos têm como magem uma reta ascendente b) lnear negatva Se os pontos têm como magem uma reta descendente c) não - lnear Se os pontos têm como magem uma curva Se os pontos apresentam-se dspersos, não oferecendo uma magem defnda, concluímos que não há relação alguma entre as varáves em estudo.

37 Coefcente de correlação lnear O nstrumento empregado para a medda de correlação lnear é o coefcente de correlação. Esse coefcente deve ndcar o grau de ntensdade da correlação entre duas varáves e, anda, o sentdo dessa correlação (postvo ou negatvo). Faremos uso do coefcente de correlação de Pearson, que dado por: r n x y x y n x x n y y onde n é o número de observações. Os valores lmtes de r são 1 e + 1, sto é, o valor de r pertence ao ntervalo [-1, +1]. Assm: a) se a correlação entre duas varáves é perfeta e postva, então r =+1 b) se a correlação entre duas varáves é perfeta e negatva, então r =-1 c) se não há correlação entre as varáves, então r = 0 Obs: Para que uma relação possa ser descrta por meo do coefcente de correlação de Pearson é mprescndível que ela se aproxme de uma função lnear. Para podermos trar algumas conclusões sgnfcatvas sobre o comportamento smultâneo das varáves analsadas, é necessáro que: 0,6 r 1 se 0,3 r 0,6, há uma correlação relatvamente fraca entre as varáves se 0 r 0,3, a correlação é muto fraca e, pratcamente, nada podemos conclur sobre a relação entre as varáves em estudo. 3- Regressão

38 Ajustamento de reta Podemos dzer que a análse de regressão tem por objetvo descrever, através de um modelo matemátco, a relação entre duas varáves, partndo de n observações das mesmas. A varável sobre a qual desejamos fazer uma estmatva recebe o nome de varável dependente e a outra recebe o nome de varável ndependente. Assm, supondo X a varável ndependente e Y a dependente, vamos procurar determnar o ajustamento de uma reta à relação entre essas varáves, ou seja, vamos obter uma função defnda por: Y ax b onde a e b são os parâmetros. 2 2 n x y x y a n x x e b y ax onde n é o número de observações x é a méda dos valores x x y é a méda dos valores y y n n x y Obs: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o resultado, na realdade, é uma estmatva da verdadera equação de regressão. Sendo assm escrevemos: Ŷ ax b onde ˆ Y é o Y estmado Interpolação e extrapolação a) Interpolação Quando queremos estmar um valor dentro do ntervalo b) Extrapolação Quando queremos estmar um valor fora do ntervalo

39 39 Bblografa CRESPO, Antono Arnot ESTATÍSTICA FÁCIL. São Paulo: Sarava, 1994.

40 40 Capítulo IX - Probabldade 9.1. Introdução A maora dos fenômenos de que trata a Estatístca são de natureza aleatóra ou probablístca. Conseqüentemente, o conhecmento dos aspectos fundamentas do cálculo de probabldades é uma necessdade essencal para o estudo da Estatístca Indutva ou Inferencal Expermento aleatóro Expermentos ou fenômenos aleatóros são aqueles que, mesmo repetdos váras vezes sob condções semelhantes, apresentam resultados mprevsíves Espaço amostral Ao conjunto de resultados possíves de expermento damos o nome de espaço amostral ou conjunto unverso, representado por S. Obs.: Cada um dos elementos de S que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral Eventos Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um expermento aleatóro. Assm, qualquer que seja E, se E S (E está contdo em S), então E é um evento de S. Se E = S, E é chamado evento certo. Se E S e E é um conjunto untáro, E é chamado evento elementar. Se E, E é chamado evento mpossível. Um evento é sempre defndo por uma sentença Probabldade Chamamos de probabldade de um evento A ( A S) o número real P(A), tal que: na ( ) PA ( ) ns ( ) onde: n(a) é o número de elementos de A; n(s) é o número de elementos de S. Obs.: A probabldade do evento certo é gual a 1 P(S) = 1 A probabldade do evento mpossível é gual a zero P(S) = 0

41 41 A probabldade de um evento E qualquer ( E S) é um número real P(E), tal que: 0 PE ( ) 1 A probabldade de um evento elementar E qualquer são, lembrando que n(e) = 1: 1 PE ( ) n 9.6. Eventos complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabldade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabldade de que ele não ocorra (nsucesso), para um mesmo evento exste sempre a relação: p q 1 q 1 p 9.7. Eventos ndependentes Dzemos que dos eventos são ndependentes quando a realzação ou não realzação de um dos eventos não afeta a probabldade da realzação do uotro e vce versa. Se dos eventos são ndependentes, a probabldade de realzação de que eles se realzem smultaneamente é gual ao produto das probabldades de realzação dos dos eventos. Assm, sendo p 1 a probabldade de realzação do prmero evento e p 2 a probabldade de realzação do segundo evento, a probabldade de que tas eventos se realzem smultaneamente é dada por: p p1 p Eventos mutuamente exclusvos Dzemos que dos ou mas eventos são mutuamente exclusvos quando a realzação de um exclu a realzação do(s) outro(s). Se dos eventos são mutuamente exclusvos, a probabldade de que um ou outro se realze é gual à soma das probabldades de que cada um deles se realze: p = p 1 + p 2

42 42

43 43

44 44 Gráfco em lnha ou em curva Gráfco em coluna ou em barra

45 45 Gráfco em coluna ou em barra múltplas Gráfco em setores

46 46 Gráfco Polar Cartograma

47 47 Pctograma

48 48

49 49

50 50

51 51 Bblografa CRESPO, Antono Arnot ESTATÌSTICA FÀCIL. São Paulo: Sarava, 1994.