Derivadas de Ordem Superior

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Derivadas de Ordem Superior Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Derivadas de Ordem Superior 1.Derivadas segunda, terceira e de ordem superior.aceleração

3 1. Derivadas segunda, terceira e de ordem superior A derivada de f é a derivada segunda de f e se representa por f. d f ' f " ( ) ( ) Derivada segunda d = A derivada de f é a derivada terceira de f e se representa por f. d f '' f "' ( ) ( ) Derivada terceira d = Continuando o processo, obtêm-se as derivadas de ordem superior de f. 3

4 1. Derivadas segunda, terceira e de ordem superior Eemplo 1: Cálculo de derivadas de ordem superior f = 4 ( ) 3 Função original ( ) = 8 6 Derivada primeira ' 3 f '' f ( ) = 4 6 Derivada segunda ( ) = 48 Derivada terceira ''' f f (4) ( ) = 48 (5) f = Derivada quarta ( ) 0 Derivada quinta 4

5 1. Derivadas segunda, terceira e de ordem superior Notação para Derivadas de Ordem Superior a ' ' d d 1. 1 derivada:, f ( ),, [ f ( ) ], D [ ] d d a '' '' d d. derivada:, f ( ),, f ( ), D d d 3 3 a ''' ''' d d derivada:, f ( ),, f ( ), D 3 3 d d 4 4 a (4) (4) d d derivada:, f ( ),, f ( ), D 4 4 d d n n ma ( n) ( n) d d n 5. n derivada:, f ( ),, f ( ), D n n d d [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 5

6 1. Derivadas segunda, terceira e de ordem superior Eemplo : Ache o valor de g () para a função g t t t t 4 3 ( ) = Comecemos diferenciando três vezes. ' 3 g ( t) = 4t + 6t + 1 Derivada primeira '' g t t t ( ) = Derivada segunda ( ) = Derivada terceira ''' g t t 6

7 1. Derivadas segunda, terceira e de ordem superior Calculemos então a derivada terceira de g em t =. g ''' () = 4() + 1 = 36 Valor da derivada terceira Os eemplos 1 e mostram como achar derivadas de ordem superior de funções polinomiais. Note que, a cada diferenciação sucessiva, o grau do polinômio diminui de uma unidade. Ao final, as derivadas de ordem superior de funções polinomiais se reduzem a uma constante. 7

8 1. Derivadas segunda, terceira e de ordem superior Especificamente, a derivada de ordem n de um polinômio de grau n é a função constante n f ( ) = a + a + a + a n n 1 n ( n) f = n! a n onde n! = n. Todas as derivadas de ordem superior a n são zero. Os polinômios são as únicas funções com esta característica. Para outras funções, a diferenciação sucessiva nunca resulta em uma função constante. 8

9 1. Derivadas segunda, terceira e de ordem superior Eemplo 3: Cálculo de derivadas de ordem superior 1 Função original 1 = ( 1) = Derivada primeira = ( 1)( ) = Derivada segunda 3 6 = ( 1)( )( 3) = Derivada terceira 4 4 = ( 1)( )( 3)( 4) = Derivada quarta 5 1 = = ' '' 3 ''' 4 (4) 5 9

10 . Aceleração Na aula relativa a Taas de Variação, vimos que a velocidade de um objeto em movimento retilíneo é dada pela derivada de sua função posição. Em outras palavras, a taa de variação da posição em relação ao tempo é definida como a velocidade. Analogamente, a taa de variação da velocidade em relação ao tempo é definida como a aceleração do objeto. 10

11 . Aceleração s = f ( t) Função posição ds = dt d s dt ' f t = f ( ) Função velocidade '' ( t) Função aceleração 11

12 . Aceleração Eemplo 4: Uma bola é atirada para o ar do topo de um rochedo de 160 pés, conforme a figura a seguir. A velocidade inicial da bola é de 40 pés/s, o que implica que a função posição é s = t + t onde o tempo t é dado em segundos. Ache a altura, a velocidade e a aceleração da bola quando t = 3. 1

13 . Aceleração Inicie diferenciando, para achar as funções velocidade e aceleração. s = t + t + ds dt d s dt Função posição = 3t + 48 Função velocidade = 3 Função aceleração 13

14 . Aceleração Para achar a altura, a velocidade e a aceleração quando t = 3, faça t = 3 em cada uma das funções acima. s ds dt d s dt = + + = 16(3) 48(3) pés = 3(3) + 48 = 48 pés/s = 3 pés/s 14

15 . Aceleração Eemplo 5: A velocidade v (em pés/s) de um automóvel que parte do repouso, é v 80t = t + 5 onde t é o tempo (em s). A figura a seguir mostra a posição do automóvel. Ache a velocidade e a aceleração do automóvel com intervalos de 10 s, de t = 0 a t =

16 . Aceleração Para achar a função aceleração, diferenciamos a função velocidade. dv ( t + 5)(80) (80 t)(1) 400 = = dt ( t + 5) ( t + 5) 16

17 . Aceleração t (s) v (pés/s) 0 53,3 64,0 68,6 71,1 7,7 73,8 dv/dt (pés/s ) 16 1,78 0,64 0,33 0,0 0,13 0,09 Na tabela acima, note que a aceleração tende para zero na medida em que a velocidade tende a se estabilizar. Esta observação está de acordo com a eperiência: ao dirigirmos um automóvel em aceleração, não sentimos a velocidade, e sim a aceleração. Em outras palavras, sentimos a variação na velocidade. 17