Regras do Produto e do Quociente. Regras do Produto e do Quociente

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Regras o Prouto e o Quociente A erivaa o prouto e uas funções iferenciáveis é igual ao prouto a primeira função pela erivaa a seguna, mais o prouto a seguna função pela erivaa a primeira. [ f ( ) g ( )] f ( ) g ( ) + g ( ) f ( ) Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Regras o Prouto e o Quociente 1.A regra o prouto.a regra o quociente.simplificação e erivaas.uma aplicação: pressão Demonstração: Algumas emonstrações matemáticas, como a Regra a Soma, são imeiatas. Outras envolvem sutilezas que poem parecer injustificaas. A emonstração que se segue apresenta este último aspecto soma e subtração a mesma graneza. Seja F() f()g(). 5 Na aula anterior, vimos que a erivaa e uma soma ou a iferença e uas funções é simplesmente a soma ou a iferença e suas erivaas. As regras para a erivaa e um prouto ou e um quociente e uas funções não são tão simples. F( + ) F lim 0 f ( + ) g( + ) f g lim 0 f ( + ) g( + ) f ( + ) g + f ( + ) g f g lim 0 g( + ) g f ( + ) f lim f ( ) g g( + ) g f ( + ) f lim f ( + ) lim + lim g lim f g + g f F 6 1

2 Eemplo 1: Ache a erivaa e y + ( )(5 ). Aplicano a Regra o Prouto, poemos escrever Derivaa a Derivaa a ( seguna ) ( primeira ) (Primeira) Seguna y (5 + ) () + (5 + )( ) ( ) f f f f f + 1 f 10 No eemplo seguinte, note que o primeiro passo para iferenciar consiste em escrever a função original sob nova forma. Temos agora uas regras e iferenciação relativas a proutos a Regra o Múltiplo Constante e a Regra o Prouto. A iferença entre essas uas regras é que a Regra o Múltiplo Constante se refere ao prouto e uma constante e uma graneza variável. c é uma Constante F cf, one f() Graneza Variável 8 11 Eemplo : Ache a erivaa e 1 f + 1 ( 1). Reescreva a função e aplique então a Regra o Prouto para achar a erivaa Enquanto que a Regra o Prouto se refere ao prouto e uas granezas variáveis F f g, one f() e g() Granezas Variáveis O próimo eemplo compara essas uas regras. 9 1

3 . A regra o quociente Eemplo : Ache as erivaas as funções a. y ( + ) b. y ( + ) a. Pela Regra o Prouto y ( ) ( + ) + ( + )() Vimos que, aplicano a Regra a Constante, a Regra a Potência, a Regra o Múltiplo Constante e as Regras a Soma e a Diferença, poemos iferenciar qualquer função polinomial. Combinano essas regras com a Regra o Quociente, poemos agora iferenciar qualquer função racional. 16. A regra o quociente Eemplo : Ache as erivaas as funções a. y ( + ) b. y ( + ) b. Pela Regra o Múltiplo Constante y + ()( + ) + 6 A erivaa o quociente e uas funções iferenciáveis é igual ao prouto o enominaor pela erivaa o numeraor, menos o prouto o numeraor pela erivaa o enominaor, tuo iviio pelo quarao o enominaor. f g f f g g g, g ( ) A regra o quociente A Regra o Prouto poe ser estenia a proutos e mais e ois fatores. Por eemplo, se f, g e h são funções iferenciáveise, então Demonstração: Seja F() f()/g(). Tal como na Regra o Prouto, a chave a emonstração consiste em somar e subtrair a mesma epressão. [ f ( ) g ( ) h ( )] f ( ) g ( ) h ( ) + f ( ) g ( ) h ( ) + f ( ) g ( ) h ( ) 15 18

4 . A regra o quociente. A regra o quociente f ( + ) f F( + ) F g( + ) g F lim lim 0 0 g f ( + ) f g( + ) lim 0 g g( + ) g f ( + ) f g + f g f g( + ) lim 0 g g( + ) g( ) f ( + ) f f g( + ) g lim lim 0 0 lim [ g g( + ) ] 0 f ( ) f g( ) g lim g + + lim lim f lim lim [ g g( + ) ] 0 g f f g ( g ) 19 (1/ ) 1 1 y ( 5) 5 y ( + 5 ) ( + 5 )() ( 1)( + 5) + 15 ( ) ( + 5 ) ( + 5 ) + + ( + 5 ). A regra o quociente. A regra o quociente Eemplo : Ache a erivaa e y + ( ) ( ) ( ) ( )( + ( ) y ( ) 0 Nem too quociente eve necessariamente ser iferenciao pela Regra o Quociente. Por eemplo, caa um os quocientes no próimo eemplo poe ser consierao como o prouto e uma constante e uma função e. Em tais casos, a Regra o Múltiplo Constante é mais eficiente.. A regra o quociente. A regra o quociente Eemplo 5: Ache a erivaa e (1/ ) y + 5 Comece escreveno sob nova forma a função original. Aplique então a Regra o Quociente e simplifique o resultao. 1 Eemplo 7: Escreveno sob nova forma antes e iferenciar. Função Original Nova Forma Diferenciar Simplificar a. y y ( + ) y ( + ) y b. y y y ( ) y ( ) 6 c. y y ( ) y ( ) y y y ( ) y ( ) y

5 . Simplificação e erivaas Eemplo 8: Ache a erivaa e (1 )( + ) y 5 Esta função contém um prouto entro e um quociente. Poeríamos primeiro multiplicar os fatores no numeraor e aplicar então a Regra o Quociente. Entretanto, para aquirir prática na utilização a Regra o Prouto entro a Regra o Quociente, iferencie como segue Simplificação e erivaas (1 )( + ) (1 )( + ) 5 y (1 )() + ( + ) (1 )( + )(5) ( 6 6 (1 )( ) (5 ( 11 ) ( ) ( 6) (5 8 1) 6 Aplicano a Regra o Quociente, P t t t t t ( + 1)(50 ) (5 + 15) 50t 00t + 50t 50t 50t 9 Eemplo 9: Na meia em que o sangue corre o coração pelas artérias principais para as capilares e e retorno pelas veias, a pressão sistólica cai continuamente. Consiere uma pessoa cuja pressão P (em milímetros e mercúrio) é aa por t P t , 0 t 10, one t é meio em segunos. A que taa está variano a pressão 5 segunos após o sangue eiar o coração? 7 Quano t 5, a taa e variação é P 00(5) 1,8 mm Hg/s t 6 Portanto, a pressão está caino a uma taa e 1,8 mm Hg por seguno quano t 5 segunos. 0 5