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1 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino - Derivação implícita. Consiere a unção y einia por y. Então, y ) y y ) y) yy Uma unção eplícita e y em epressa eplicitamente y em termos e e poem ser ierenciaas ou erivaas) e acoro com as regras estuaas até agora. relação a. Uma unção implícita algumas equações o tipo,y) ) não poem eplicitar y em Eemplo: y + y y ) y + + y ) ) y + y + y y ) y y + y' + yy' + y) y' y y y + y) ' Eercícios: ) Calcular as erivaas as seguintes unções einias implicitamente: ) + y ) y + y ) y + seny ) cos y y ) + y 6) cos y + y sen ) / + y / - Dierencial e e y y Até agora, oi consierao como lim y e separaamente. Dessa orma, einimos: y. Em alguns casos é interessante interpretar

2 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino Dierencial e : Dierencial e y : y y ' Eemplos: ) Se ) Se y então y ' y então y ' ) ) ) ) uv) [ u' v + u v' ] uv) u' v + u v' uv) vu + uv ) Para ver como essa iéia unciona num caso simples, seja o lao e um quarao e y a sua área. Se caa lao aumenta e uma quantiae pequena h, então o incremento a área é y ' h

3 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino 6) Utilize o conceito e ierencial para calcular o valor e.. Sabe-se que y y ' y, +, +,, 6 - Derivaas sucessivas A erivaa a primeira erivaa é a seguna erivaa. A erivaa a seguna erivaa é a terceira erivaa, e assim por iante. n é chamaa e primeira é chamaa e seguna é chamaa e terceira é é chamaa chamaa e e quarta n Notações a erivaa e orem n: ésima erivaa erivaa erivaa erivaa erivaa n y n n y n) D n y 6 E. Calcular as erivaas e orem superior e

4 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino E. Calcular as erivaas e orem superior e cos sen cos 6 8 sen cos sen cos sen sen Eercícios: ) Calcular as erivaas sucessivas e caa uma as unções seguintes: ) ) ) ) ) 6) e ) sen 8) cos 9) ) sen ) sen + ) e cos ) cos ) e sen ) e cos ) + 9) + )ln 6) e sen + cos 8) ) ln +

5 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino ) e ) + ln ) ) + ) ln + e ) 6) + ) e ) ln 8) e + e + ln - Aplicações o estuo e erivaas. Máimos e Mínimos. Pontos e inleão. A unção é ita crescente no ponto se >. A unção é ita ecrescente no ponto se <. Eemplo: Ache o intervalo em que a unção y + é crescente e o intervalo em que ela é ecrescente. ' 6 ' > 6 > > ' < 6 < < Portanto, a unção +. - Pontos e máimo e e mínimo y é crescente para > e é ecrescente para <. Dizemos que c é ponto e máimo relativo ou local) a unção, se para too pertencente a uma vizinhança e c. Nesse caso, izemos que é o máimo relativo ou local) a unção no ponto c.

6 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino 6 Dizemos que c é ponto e mínimo relativo ou local) a unção, se para too pertencente a uma vizinhança e c. Nesse caso, izemos que é o máimo relativo ou local) a unção no ponto c. Observações:. Se possui um máimo ou um mínimo relativo em c, então. não implica na eistência e um máimo ou e um mínimo relativo em c, mesmo que e sejam contínuas em c.. Um máimo ou um mínimo relativo no ponto c implica em somente se e orem contínuas em c.. - Critérios para localização e pontos e máimo e e mínimo.. Calcule ;. Encontre os pontos críticos a unção: as raízes a equação e/ou os pontos e escontinuiae inita ou ininita);

7 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino. Veriique a muança e sinal em torno os pontos críticos: Se mua e + para, então é um máimo relativo. Se > para < c e < para > c então c é um ponto e máimo e. Se mua e para +, então é um mínimo relativo. Se < para < c e > para > c então c é um ponto e mínimo e. Se não mua e sinal, então c é um ponto e inleão. Se < para < c e < para > c então c é um ponto e inleão e. Se > para < c e > para > c então c é um ponto e inleão e.

8 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino 8 Eemplos: ) Encontre os máimos e/ou mínimos relativos a seguinte unção: + Solução: ' ', ',), e ',6), Portanto,, é um ponto e mínimo relativo. ) Encontre os máimos e/ou mínimos relativos a seguinte unção: + Solução: ' 6 ' 6 ou ',),) 6,),6 ',),) 6,), ',9),9) 6,9), ',),) 6,),6 Portanto, é um ponto e máimo relativo e é um ponto e mínimo relativo.. - Critérios para a eterminação a concaviae e os pontos e inleão. Se > para too ε D, então é tem a concaviae voltaa para cima em D. Se < para too ε D, então é tem a concaviae voltaa para baio em D.

9 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino 9 e. e. Se > para too < c e < para too > c, então c é um ponto e inleão Se < para too < c e > para too > c, então c é um ponto e inleão Eercícios: Estuar ) o crescimento e o ecrescimento, ) as concaviaes e os pontos e inleão, ) os pontos e máimo e e mínimo e caa uma as seguintes unções: ) + ) + 9 ) + 6 ) + + ) 6) + ), 8) e 9) + ) + ) + 8 Máimos e Mínimos Absolutos. ) Dizemos que c é ponto e máimo absoluto a unção no intervalo [a, b], se > para too pertencente a esse intervalo. Nesse caso, izemos que é o máimo absoluto a unção no intervalo. Dizemos que c é ponto e mínimo absoluto a unção no intervalo [a, b], se < para too pertencente a esse intervalo. Nesse caso, izemos que é o mínimo absoluto a unção no intervalo. Eemplos: Encontre os etremos absolutos e y +. No intervalo [, ]. No intervalo [, ). No intervalo, ) e

10 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino Eercício: Encontre os máimos e mínimos a unção + +. No intervalo [-, ]. No intervalo [-, ) 6. No intervalo -, ) 9 - Critérios para localização e pontos e máimo e e mínimo com a erivaa e seguna orem. Seja uma unção, erivável em a e a orens em c, com e ' Se ' e '' > Se ' e '' < Se ' e '', c é um mínimo relativo;, c é um máimo relativo;, testar a vizinhança e c. contínuas. Então: Eemplo: Daa a unção +, calcule seus etremos relativos e inique se são máimos ou mínimos. + '

11 Matemática II 9. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: amasceno.ino ' / ou '' 6 '' /) 6 / ) < '') 6 > A unção + mínimo local em., possui um máimo local em / e um Eemplo: Daa a unção +, calcule seus etremos relativos e inique se são máimos ou mínimos. + ' ' '' 6 '') ',),, > ',),, > O amor é a orça mais poerosa que possui o muno e, entretanto, ela é a mais humile que se possa imaginar. Mahatma Ganhi