ISEP LEI AMATA - 1S. 2009/10 CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

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1 ISEP LEI AMATA - S. 9/ CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

2 Cálclo Dierencial em IR Derivaa e ma nção nm ponto Q Q As rectas PQ, PQ epq 3 são rectas secantes à crva. P Q 3 t A recta t é tangente à crva no ponto P. ISEP LEI AMATA S. 9/ Os eclives as rectas secantes PQ, PQ, PQ 3,..., são caa vez mais próimos o eclive a recta tangente t.

3 Cálclo Dierencial em IR s P, Q +, + + Q t s recta secante àcrva qe passa nos pontos P eq. P t recta tangente à crva no ponto P. + ISEP LEI AMATA S. 9/ variação o acréscimo a variável inepenente - variação o acréscimo a variável epenente o nção: + -

4 ISEP LEI AMATA S. 9/ Cálclo Dierencial em IR Declive a recta secante s: Declive a recta tangente t: m s + m s + lim lim lim Deinição: A nção iz se ierenciável nm ponto, sse eistir e representa se por, éa erivaa a nção no ponto + lim + lim ' ' Notação: D ; ; ; ; ; '.

5 Cálclo Dierencial em IR Interpretação geométrica a erivaa O valor a erivaa e ma nção nm ponto P, é nmericamente igal ao valor o eclive a recta t tangente à crva nesse ponto, isto é tgθ t ISEP LEI AMATA S. 9/ θ P θ : ânglo ormao pela irecção positiva o eio OX ea recta t tangente à crva no ponto P.

6 Cálclo Dierencial em IR Recta tangente e recta normal N T T rectae eclive m T, tangente à crva no ponto P. N recta e eclive m N, normal à crva no ponto P. P m T m N m T ISEP LEI AMATA S. 9/ As eqações as rectas tangente e normal à crva no ponto P, são aas por: T N m T m N Se então: a recta tangente é horizontal e a recta normal é vertical

7 Cálclo Dierencial em IR Eemplo Consiere a nção sen einia no intervalo [, π], e os pontos P e Q e abcissas π/ e π/4. Escreva as eqações as rectas tangente e normal à crva nos pontos aos e represente as graicamente. ISEP LEI AMATA S. 9/

8 Cálclo Dierencial em IR Regras básicas e erivação Derivaa o proto Derivaa o qociente Derivaa a potência ISEP LEI AMATA S. 9/ Derivaa a nção eponencial

9 Cálclo Dierencial em IR Regras básicas e erivação Derivaa a nção logarítmica Derivaa e nções trigonométricas ISEP LEI AMATA S. 9/

10 Cálclo Dierencial em IR Eemplos Calcle as erivaas as segintes nções: a b c sen 3 tg 3 ISEP LEI AMATA S. 9/ e 4 [ cot g e ]

11 Cálclo Dierencial em IR Derivaa a nção composta Seja g ma nção e ierenciável e ma nção e ierenciável. Deine se a nção composta og como a nção [g]. g g g A erivaa a nção composta é aa por: ISEP LEI AMATA S. 9/ o g g g g e é etensível a m número maior e variáveis.

12 Cálclo Dierencial em IR Eemplo Seno e, etermine as as ormas possíveis. + ISEP LEI AMATA S. 9/

13 Cálclo Dierencial em IR Fnção inversa Recoremos qe a conição para ma nção amitir inversa é qe seja injectiva. O omínio e contraomínio a nção -- são respectivamente o contraomínio e o omínio a nção. Domínio e Domínio e -- ISEP LEI AMATA S. 9/ D D D D Os gráicos e e -- são simétricos relativamente à recta e eqação.

14 ISEP LEI AMATA S. 9/ Cálclo Dierencial em IR Derivaa a nção inversa Seja ma nção invertível e ierenciável no intervalo ]a,b[ tal qe. A erivaa a nção inversa -- é aa por: A erivaa a nção inversa é igal ao inverso mltiplicativo a erivaa a nção irecta. [] [ ]

15 Cálclo Dierencial em IR Eemplos Seno 3 ln 4, calcle irectamente e através a regra a erivaa a nção inversa. ISEP LEI AMATA S. 9/ Seno 3 ln 4, calcle pela regra a erivaa a nção inversa.

16 ISEP LEI AMATA S. 9/ Derivaa a nção trigonométrica inversa arcsen Cálclo Dierencial em IR Seja arcsen com -< <, cja nção inversa é sen com Aplicano o teorema a erivaa a nção inversa, temos Como cos é positivo no intervalo então teremos e conseqentemente: Assim, Generalizano através a aplicação a erivaa a nção composta teremos: π π < < cos π π < < sen cos + sen arcsen arcsen. arcsen arcsen

17 ISEP LEI AMATA S. 9/ Derivaa a nção trigonométrica inversa arctg Cálclo Dierencial em IR Seja arctg com - < <, cja nção inversa é tg com Aplicano o teorema a erivaa a nção inversa, temos Generalizano através a aplicação a erivaa a nção composta teremos: π π < < tg sec + + arctg. arctg arctg + + +

18 Cálclo Dierencial em IR Derivaas as nção trigonométricas inversas ISEP LEI AMATA S. 9/

19 Cálclo Dierencial em IR Eemplos Calcle seno a arccos 4 b arctg4+ ISEP LEI AMATA S. 9/ c arcsen 3

20 ISEP LEI AMATA S. 9/ Derivaas e orem sperior a m Derivaa e ª orem: Derivaa e ª orem: Derivaa e 3ª orem: Derivaa e orem n: Cálclo Dierencial em IR ; ; 3 3 ; n- n ; n n n Eemplo: Calcle a erivaa e ª orem a nção e

21 Cálclo Dierencial em IR Dierencial ISEP LEI AMATA S. 9/ Avariação qe ma nção sore em conseqência a variação a sa variável inepenente tem ma relação estreita com a sa erivaa. Seja a variação o acréscimo a variável inepenente e +- a variação o acréscimo a variável epenente o nção. Qano a variável inepenente varia e para + avariaçãoeacta a nção é aa por, no entanto, para valores peqenos e, estavariaçãopoeser estimaa por. + P Q + t

22 Cálclo Dierencial em IR Teno em conta a interpretação geométrica a erivaa nm ponto poemos veriicar qe: tgθ comp. cateto oposto comp. cateto ajacente + Q tgθ t a qe se á o nome e ierencial a nção: P θ + ISEP LEI AMATA S. 9/ Através a observação irecta a igra anterior poemos veriicar qe, para valores peqenos e, a variação poe ser aproimaa pelo ierencial.

23 ISEP LEI AMATA S. 9/ Cálclo Dierencial em IR Veriiqemos se o erro cometio qano se toma por é eectivamente peqeno qano comparao com. Consiere se a ierença e calcle se o limite Concli se qe a aproimação é tanto melhor qanto menor or. Seno qe, poemos também representar o ierencial como. [ ] + lim [ ] lim lim lim lim + +

24 Cálclo Dierencial em IR Eemplo Consiere a nção, > área e m qarao. Escreva as epressões analíticas e e, corresponentes a ma variação o lao o qarao. ISEP LEI AMATA S. 9/