Conceitos Básicos Mariana Dias Júlia Justino Novembro 2010

Transcrição

1 Conceitos Básicos Mariana Dias Júlia Justino Novembro

2 Conteúdo Cálculo Algébrico. Conjuntos de Números..... Conjuntodosnúmerosnaturais..... Conjuntodosnúmerosinteiros..... Conjuntodosnúmerosracionaisoufraccionários..... Conjuntodosnúmerosreais.... Epressões Algébricas Polinómios..... FracçõesAlgébricas EquaçõeseInequaçõesAlgébricas Equações de o grau..... Equações de o grau..... Equaçõesbi-quadradas..... Inequações de o grau.... EquaçõeseInequaçõescomMódulos....5 Eercícios Propostos Soluções... 6 Geometria no Plano 6. Vectores no Plano Estudo da Recta Equações da recta Cónicas..... ElipseeCircunferência..... Parábola..... Hipérbole Eercícios Propostos Soluções... 5 Funções Reais de Variável Real 55. Definição Representação Gráfica Transformações do gráficodeumafunção Propriedades Classificação Paridade Funçõesperiódicas Sinal Monotonia Etremos Concavidade Pontos de Infleão Função Limitada Operações com Funções... 7

3 .6 Funções Algébricas Função afim Funçãoquadrática Função cúbica Funçãoalgébricaracionalfraccionária Funçãoalgébricairracional Eercícios Propostos Soluções Complementos sobre Equações e Inequações Algébricas 7. Equações Fraccionárias Inequações de o grau Inequações Fraccionárias Eercícios Propostos Soluções...

4 Cálculo Algébrico. Conjuntos de Números.. Conjunto dos números naturais N = {,,,...},onden = {,,,,...}... Conjunto dos números inteiros Z = {...,,,,,,...},ondez + = {,,...} = N e Z = {...,,, }... Conjunto dos números racionais ou fraccionários Definição Designa-se fracção àepressão a onde a éonumerador e b o denominador. Se o numerador é menor que o denominador, a fracção diz-se própria (por eemplo b,, ); se o numerador é maior ou igual ao denominador a fracção diz-se imprópria (por 5 eemplo, 5, 6 ); se o numerador é múltiplo do denominador a fracção diz-se aparente (por 5 eemplo 6,, 8). 6 Definição Chamam-se fracções equivalentes às fracções que representam a mesma parte do todo (por eemplo,,, 6 são equivalentes). Para encontrar fracções equivalentes, basta multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural (por eemplo, = = 6 são algumas fracções equivalentes a ). Uma fracção pode ser simplificada se se dividir ambos os termos da fracção pelo factor comum (por eemplo, 9: = : é uma fracção simplificada de 9 ). Uma fracção que não possa ser simplificada, porque os termos não possuem nenhum factor em comum, diz-se fracção irredutível. O conjunto dos números racionais ou fraccionários é constituído por números que se podem escrever na forma de fracção em que o numerador e o denominador são números inteiros tais que o denominador nunca se anula, ou seja, a Q = b : a Z e b Z \{} = {n os racionais}, onde números racionais são números representáveis por dízimas finitas ou dízimas infinitas periódicas. Operações com números fraccionários Adição e subtracção Denominadores iguais: Para somar ou subtrair fracções com denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador. Eemplo + = 6 = ; 5 = = Denominadores diferentes: Para somar ou subtrair fracções com denominadores diferentes, utiliza-se o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) para obter fracções equivalentes, de denominadores iguais ao m.m.c. Depois soma-se ou subtrai-se normalmente as fracções. Eemplo 5 + 5, onde o m.m.c.(5,)=. Logo, 5 ( ) + 5 ( 5) = =. Novembro de

5 Multiplicação: Na multiplicação de fracções, basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. Eemplo 5 = 5 = = 6 5. Divisão: Na divisão de fracções, deve-se multiplicar a primeira fracção pelo inverso da segunda. Eemplo 5 = 5 = 8 5. Potenciação: Na potenciação, quando se eleva uma fracção a um determinado epoente, está-se a elevar o numerador e o denominador a esse epoente. Eemplo 5 5 = = Radiciação: Na radiciação, quando se aplica uma raíz a uma fracção, está-se a aplicar essa raíz ao numerador e ao denominador. Eemplo 6 q = 5 5 = 5... Conjunto dos números reais R = Q {n os irracionais}, onde os números irracionais são números representáveis por dízimas infinitas não periódicas, tais que R \ Q = {n os irracionais}. Propriedade.. R = Q (R \ Q);. N Z Q R, istoé: Q R N Z R \ Q Eemplo 7 = =.; =.5; =.8 8(8) são números racionais e 8 =....; e =.78...; π = são números irracionais. Novembro de

6 . Epressões Algébricas Definição Uma epressão com uma variável diz-se algébrica quando, sobre a variável, não incidem outras operações além de adição, subtracção, multiplicação, divisão ou etracção de raíz. Definição Chama-se domínio da epressão algébrica, e representa-se por D, ao conjunto dos números que, substituídos no lugar da variável, dão sentido à epressão. Eemplo 8 A epressão algébrica tem como domínio D = R \{} ; a epressão algébrica + tem como domínio D =[, + [... Polinómios Definição 5 Chama-se polinómio de grau n numa variável atodaaepressãoalgébrica de tipo: a n n + a n n a + a onde a n,a n,...,a,a R e a n 6=. Neste caso, a n n,a n n,..., a, a dizem-se termos do polinómio, a n,a n,...,a,a coeficientes e a diz-se o termo independente. Definição 6 Seja P () um polinómio de grau n. Diz-se que α R éumaraíz real de P se P (α) =. Propriedade Considerando um qualquer polinómio de grau, a +b+c, as suas raízes reais podem ser obtidas através da Fórmula Resolvente: α = b ± b ac, a onde = b ac édesignadoporbinómio discriminante. Se >, então há duas raízes reais e distintas =, entãoháumaraízreal <, então não há raízes reais. Eemplo 9 Determine as raízes reais de P () = +. Resolução: Usando a fórmula resolvente, tem-se que P () = Logo, e são as raízes de P. Observação. = ±..( ). = ± 9+6 = ± 5 = ±5 = =. Qualquer polinómio de grau n tem no máimo n raízes reais distintas; Todo o polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raíz real. Novembro de

7 Definição 7 Dois polinómios dizem-se idênticos se e só se são iguais os coeficientes dos termos do mesmo grau. Definição 8 Denominam-se de termos semelhantes aos termos do mesmo grau. Definição 9 Um polinómio diz-se completo quando eistem todos os termos desde o termo de maior grau até ao termo independente. Definição Um polinómio com um só termo diz-se monómio, com dois termos binómio e com três termos trinómio. Eemplo O polinómio + é um binómio não completo de grau que não admite raízes reais ( <). Operações com polinómios Adição: Para adicionar dois polinómios, aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes. Eemplo = = = ( + ) = Subtracção: Para subtrair dois polinómios, adiciona-se ao aditivo o simétrico do subtrativo. Eemplo = = = 5 +( + )+ = + +. Multiplicação: Para calcular o produto de dois polinómios, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes. Eemplo = = = Casos Notáveis: Há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência com variadas aplicações na Matemática e que merecem especial atenção: o quadrado do binómio e a diferença de quadrados. Quadrado do Binómio - o quadrado do binómio obtém-se adicionando o quadrado do primeiro termo com o dobro do produto do primeiro pelo segundo e com o quadrado do segundo termo: (a + b) = a + ab + b. a ab a ab b b a b De notar que se os dois termos do binómio têm o mesmo sinal, o termo ab é Novembro de

8 positivo e se têm sinais contrários, o termo ab é negativo. Logo, (a b) = a ab + b. Diferença de Quadrados - o produto de dois polinómios que só diferem no sinal de um dos termos é igual à diferença dos quadrados dos termos: (a + b)(a b) =a b. a a a b b b b Divisão: Efectuar a divisão inteira de um polinómio chamado dividendo D () de grau n, por outro polinómio chamado divisor d () de grau m, onde m<n,é encontrar um polinómio quociente q () de grau (n m) e um polinómio resto r () de grau <m, em que D () {z } dividendo = d () {z } divisor q () {z } quociente + r (). {z} resto A este processo dá-se o nome de Algoritmo da Divisão. Eemplo Calcule o quociente e o resto da divisão +. Resolução: Assim, q () = e r () =, ou seja, D () = + =( ) Observação Quando o polinómio r () é nulo, ou seja, D () =d () q (), então a divisão inteira dos polinómios é denominada eacta. Diz-se, neste caso, que D () é divisível por d (). 5 Novembro de

9 Regra de Ruffini - serve para dividir um polinómio D () de grau n por um binómio de tipo ( α). Se D () =a n + a n + a n a n + a n, aregrade Ruffini assume o seguinte aspecto: a a a... a n a n α αq αq αq n αq n a a + αq a + αq... a n + αq n a n + αq n k k k k k q q q q n r () Assim, D () =( α) q n + q n q n + r (). Eemplo 5 Calcule o quociente e o resto da divisão +. Resolução: Assim, q () = e r () =, ou seja, D () = + =( ) Decomposição de polinómios em factores Se um polinómio na variável, de grau n, a n n + a n n a + a admite n raízes reais, α, α,...,α n, pode escrever-se como um produto: a n ( α )( α )...( α n ),a n 6=. Eemplo 6 Decomponha em factores do o grau os seguintes polinómios:. + ;. ( ) ( ). Resolução:. zeros: + = = ± 8 = = 5. Assim, + = ( )( 5).. ( ) ( ) =( )[ ( ) ] =( )( 5). Propriedade Todo o polinómio P () com coeficientes reais pode ser representado como produtodocoeficiente do termo de maior grau (a n ) por polinómios do o grau do tipo α (em que α toma os valores das raízes reais do polinómio) e polinómios de segundo grau do tipo + b + c, sem raízes reais. Eemplo = ( ) + é um polinómio de grau com uma única raíz real: α =. 6 Novembro de

10 Método dos coeficientes indeterminados Este método baseia-se no princípio de que dois polinómios são idênticos se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais. Eemplo 8 Calcule o quociente e o resto da divisão Resolução: O quociente q () será um polinómio de o grau, por isso da forma q () =a + b, eorestor () nãopodeecederoprimeirograu,daformar () =c + d, com a, b, c e d R e a 6=. Como vem D () =d () q ()+r () = (a + b)+(c + d). Efectuando-se os cálculos no o membro = a + b a b + c + d = a + b + (c a) + (d b). Obtem-se dois polinómios, um no o membro e outro no o, que são idênticos. Pode-se então escrever = a a = = a = = b b = b =. = c a = c c = 5 = d b 5 = d d = 7 Então q () = + e r () = 7... Fracções Algébricas Definição Dados dois polinómios P () e Q (), onde Q () é um polinómio não nulo, designa-se fracção algébrica a toda a epressão da forma P(), isto é, o quociente entre Q() dois polinómios. A incógnita poderá tomar qualquer valor real, desde que o seu valor não anule o denominador. Ao conjunto de números que, substituídos no lugar da variável, dão sentido à epressão dá-se o nome de domínio da fracção algébrica, e representa-se por D. Eistem muitas semelhanças nas definições e operações entre fracções algébricas e números fraccionários. Definição Consideremos uma fracção algébrica P() tal que Q () 6=. Se P () e Q () Q() são divisíveis pelo mesmo polinómio d (), então eistem dois polinómios M () e N () que: P () =M () d () e Q () =N () d () com N () 6=, verificando-se: P () M () d () = Q () N () d () = M () N (). Diremos que M() N() éasimplificação de P() Q(). 7 Novembro de

11 Assim, para simplificar fracções algébricas, depois de factorizados o numerador e o denominador, dividem-se ambos os termos pelos factores comuns, não esquecendo o domínio em que a simplificação é válida. Definição Duas fracções P() da outra. e M() Q() N() são equivalentes se uma delas é a simplificação Eemplo 9 Simplifique as seguintes fracções algébricas, indicando os respectivos domínios: ;. ( )( ) ( )(+)( ). Resolução: +. = + =, onde D = R \{ }. ++ (+) +. ( )( ) = ( )(+)( )(+) ( )(+)( ) ( )(+)( ) = (+)( ) ( ), onde D = R \{,, }. Definição Dadasasfracções P() e M() Q() N() tais que Q () 6= e N () 6=, as epressões P () N () Q () N () e M () Q () N () Q () são epressões algébricas equivalentes às dadas e com igual denominador. A Q () N () dá-se o nome de denominador comum. Método para determinar o Mínimo Denominador Comum. Factorizam-se os polinómios dos denominadores;. Multiplicam-se todos os factores diferentes;. Se eistem factores com a mesma base, mas epoente diferente, considera-se o que tem maior epoente. Operações com Fracções Algébricas Adição e subtracção: Para somar ou subtrair duas ou mais fracções algébricas, devem-se reduzir todas ao mesmo denominador comum e só depois somar ou subtrair os polinómios. P () Q () ± M () P () N () M () Q () = ± N () Q () N () Q () N () P () N () ± M () Q () =. Q () N () Multiplicação: Para multiplicar duas ou mais fracções algébricas, devem-se multiplicar os polinómios dos numeradores entre si, e os denominadores entre si. P () Q () M () P () M () = N () Q () N (). 8 Novembro de

12 Divisão: O quociente de duas fracções algébricas fica definido através da multiplicação da primeira fracção pelo inverso da segunda. P () Q () M () N () = P () Q () N () P () N () = M () Q () M (). Eemplo Efectue os cálculos e simplifique, indicando os respectivos domínios:. + + ;. + ; ; Resolução:. + + = + (+ ) + (+ ) = (+) (+) (+)(+) = + (+)(+) = ++, onde D = R \{, }.. + = =, onde D = R \{} = ( +)(+) ( )(+) = (+)(+) ( )(+)(+) =. + + = + = (+)( ) + ( +). Equações e Inequações Algébricas, onde D = R \{,, }. = + +, onde D = R \{, }. Definição 5 A equação algébrica é uma igualdade entre duas epressões matemáticas que podem conter uma ou mais variáveis (ou incógnitas) sujeitas a operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação). Por eemplo, a + b =, =, a = b. O objectivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores que podem assumir as incógnitas da equação. Toda a equação tem: uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas; um sinal de igualdade (=) ; umaepressãoàesquerdadaigualdade,denominadaprimeiromembrooumembroda esquerda; uma epressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita. As epressões do o e o membros da equação chamam-se termos da equação. incógnita % {z + } o membro = {z} o membro 9 Novembro de

13 Resolver uma equação significa obter o valor da incógnita ou das incógnitas, isto é, obter as raízes da equação. Quando se adiciona (ou se subtrai) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, ao multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. É este o processo que permite resolver uma equação... Equações de o grau Definição 6 As equações de o grau comumavariávelsãodaformam + b =, com m, b R, m6=. Eemplo Resolva a seguinte equação algébrica + =. Resolução: + = Equação inicial + = Subtraímos ambos os membros por = 6 = 6 Dividimos ambos os membros por = C.S. = { } é a solução da equação... Equações de o grau Definição 7 Uma equação de o grau na incógnita édaformaa +b +c =, onde os números a, b e c são os coeficientes da equação, sendo a 6=. Estasequaçõespodemser completas,setodososcoeficientes são diferentes de zero, ou incompletas, se b = ou c = ou b = c =. Resolução de equações completas Sabemos que uma equação completa de o grauéumaequaçãodotipoa +b+c =, onde todos os coeficientes são diferentes de zero. Para a resolver, basta usar a fórmula resolvente. Eemplo Resolva as seguintes equações completas de o grau: = ;. + 5 = ; =. Resolução: = = 6± 6 > = 6± = 6± = =, ou seja, a equação tem duas raízes reais, C.S. = {, } = = ± = = 6± =, ou seja, a equação tem uma raíz real, C.S. = {} = = ± 8 < = ±, ou seja, a equação não tem raízes reais, C.S. =. Novembro de

14 Resolução de equações incompletas Equações do tipo a = Basta dividir toda a equação por a (a 6= ) para se obter =. Assim, a equação tem como conjunto solução C.S. = {}. Equações do tipo a +c = Bastadividirtodaaequaçãopora (a 6= ) e passar o termo constante para o segundo membro para se obter = c. Se c <,não eiste solução no conjunto dos números a a reais; se c >,a equação tem duas raízes, = p c = p c, sendooconjunto a a a solução C.S. = p c, p ª c a a. Equações do tipo a +b = Neste caso, factorizando a equação, obtem-se (a + b) =. Assim, a equação terá duas raízes = = b a, sendo o conjunto solução C.S. =, b a ª. Eemplo Resolva as seguintes equações incompletas de o grau:. = ;. 8 = ;. + 5 = ;. =. Resolução:. = = =, ou seja, C.S. = {}.. 8 = = 8 = 8 = = =, ou seja, C.S. =, = = 5 equação impossível, ou seja, C.S. =.. = ( ) = = = = = = = = =, ou seja, C.S. = {, }... Equações bi-quadradas Definição 8 As equações bi-quadradas são equações de o grau na incógnita de forma geral a + b + c =. Na verdade, esta equação pode ser escrita como uma equação de o grau, através da substituição =, obtendo-se a + b + c =. Para resolver este tipo de equação, aplica-se a fórmula resolvente à última equação e obtêm-se as soluções e. O procedimento final deve ser cuidadoso, uma vez que as possíveis soluções serão = = ese ou for negativo, estas não eistirão para. Eemplo Resolva as seguintes equações bi-quadradas:. 5 6 = ; =. Novembro de

15 Resolução:. 5 6 = 5 6 = = 5± 5+ = 5± 69 = 5± = = 9 =, ou seja, = 9 = {z } = =. impossível Logo, C.S. = {, } = = = ± 69 = ± 5 = = ±5 = 9 =, ou seja, = 9 {z } = {z }. impossível impossível Logo, C.S. =. Definição 9 Relacionadas com as equações algébricas, eistem as chamadas inequações algébricas (ou desigualdades algébricas), que são sentenças matemáticas com uma ou mais variáveis (ou incógnitas) em que os termos estão ligados por um dos quatros seguintes sinais de desigualdades: < (menor); > (maior); (menor ou igual); (maior ou igual). Nas inequações, o objectivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores que podem assumir as incógnitas da equação... Inequações de o grau Definição As inequações de o grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas: m + b<, m + b>, m + b ou m + b, com m, b R, m 6=. Eemplo 5 Resolva as seguintes inequações algébricas de o grau:. 7 ;. + 7 <. 5 Resolução: Logo,C.S. = 7, < 5 < 7 > 7 5 > 5 6.Logo,C.S. = 5 6, +.. Equações e Inequações com Módulos Definição O módulo (ou valor absoluto) deumnúmero real, queseindicapor, édefinido por:, =, <. Isto é, se é positivo ou zero, é igual ao próprio (por eemplo, = ), se é negativo, éiguala (por eemplo, = ). Geometricamente, o módulo de um número real é igual à distância do ponto que o número representa na recta real ao ponto de origem. Assim: Novembro de

16 Se <a(com a>)significa que a distância entre e a origem é menor que a, isto é, deve estar entre a e a, ou seja, <a a <<a. a a Se >a(com a>)significa que a distância entre e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ouàesquerdade a, ou seja, >a >a < a. a a Definição Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação com módulos. Eemplo 6 Resolva as seguintes equações com módulos:. 5 = 6;. 6 =. Resolução:. 5 = 6 5 = 6 5 = = = = = 6 = =. Logo, C.S. = {,,, 6}.. 6 = 6 = 6 = ( ) + = + 6 = + 6 = 9 = = =. Logo, C.S. = {, }. Definição Chama-se inequação com módulos a uma inequação em que a incógnita está contida num módulo. Eemplo 7 Resolva as seguintes inequações com módulos:. + 6 <;. +. Resolução:. + 6 < + 6 < + 6 > < 6 > 6 < > 8 < Logo, C.S. =], [. > 8 < >. Novembro de

17 Logo, C.S. =, 7, +. Observação Considerando os números reais e, tem-sepordefinição, que = = e. Daí pode-se concluir que q = só é verdadeiro se. Se <, por eemplo =, teríamos ( ) 6=. Assim, usando a definição de módulo, pode escrever-se =, R. De uma forma mais geral: n n =, R e n par, R e n ímpar. Novembro de

18 .5 Eercícios Propostos Eercício Efectue as seguintes operações e simplifique o resultado:. ;. h +. q 9 5 ; 9. 5 ; 5. 7 ; 6. ; 6 6 i ; 7. 6; ³ Eercício Indique, justificando, quais dos seguintes números reais são racionais ou irracionais:. 5;. ;. ln ;.. (); 5..75; Eercício Indique o domínio das seguintes epressões algébricas:. + ;. + 5;. ;. + + ; 5.. Eercício Do polinómio indique:. o termo independente;. o coeficiente do termo de grau ;. o grau do polinómio. 5 Novembro de

19 Eercício 5 Qual é o grau de cada um dos seguintes polinómios?. 5 ;. + ; Eercício 6 Dado o polinómio 5 + +,. ordene-o segundo as potências crescentes de ;. indique o seu grau e justifiqueseécompletoouincompleto. Eercício 7 Considere o polinómio Ordene-o segundo as potências decrescentes de.. É um polinómio completo ou incompleto? Porquê? Eercício 8 Dê um eemplo de um polinómio do o grau:. completo;. incompleto. Eercício 9 Averigue se os polinómios seguintes admitem as raízes, e :. + ;. + ;.. Eercício Determine as raízes reais dos seguintes polinómios:. ;. + ;. + ;. + ; Eercício Escreva na forma de polinómio a soma dos seguintes pares de polinómios:. + + e ;. + e + ;. e +. 6 Novembro de

20 Eercício Considere os polinómios P () =5 e Q () = +. Calcule:. a sua soma;. a soma de P () com o simétrico de Q (). Eercício Sendo M () =5 + e N () = + +, defina na forma de polinómio:. M () N ();. N () M (). Eercício Dados os polinómios R () = +, S () = + 5 e T () = + 5, calcule:. R + S + T;. R (S + T);. R S + T. Eercício 5 Considere os polinómios A () = +, B () = + + e C () = +. Calcule:. A B + C;. (C A) (A B);. (A + B) C;. C A. Eercício 6 Escreva na forma de polinómio:. + ( );. ( )( + ) ( + ) ;. +. ( );. ( + )( ) ( + )( ). Eercício 7 Sendo A () = +, B () = + e C () =, verifique que:. A.B = B.A;. (A.B).C = A. (B.C). Eercício 8 Dados os polinómios M =, N = + e P = +, calcule:. M N + P;. M N + P ;. (M + N) (M + P). 7 Novembro de

21 Eercício 9 Calcule os números reais a e b de modo que a epressão designatória a + b se transforme num polinómio equivalente à epressão ( )( + ). Eercício Usando o algoritmo da divisão, calcule o quociente e o resto da divisão de:. + por + ;. + por ; por + ;. por ; 5. + por + ; 6. por + ; 7. + por + ; por + ; por ;. + + por +. Eercício Complete: +9 Eercício UsandoaregradeRuffini,calculeoquocienteeorestodadivisãode:. + por + ; por + ;. 5 + por ;. + por + ; por +. Eercício Mostre que 5 + é divisível por +. Eercício Mostre que + é divisível por e determine as suas outras raízes. 8 Novembro de

22 Eercício 5 Determine o valor de m de modo que o polinómio m + seja divisível por. Eercício 6 Escreva o polinómio de o grau que admite raízes e e dividido por + dê resto. Eercício 7 Calcule o resto da divisão de n +, n N, por + se:. n épar;. n éímpar. Eercício 8 Utilize a regra de Ruffini para efectuar as seguintes divisões:. por ;. + + por + ; por +. Eercício 9 Calcule o parâmetro real k de modo que seja o resto da divisão do polinómio + k + por. Eercício Dados os polinómios A () = + e B () = Determine α R, demodoquea () e B () divididos por α dêm restos iguais;. Indique o resto comum da alínea anterior. Eercício Sem efectuar a divisão, verifique que o polinómio P () = 7+6 é divisível por epor +. Eercício Considere o polinómio Verifique que o polinómio é divisível por + ;. Aproveite o resultado anterior para decompor o polinómio num produto. Eercício Para cada valor natural n, aepressão( + 5) n +( + 6) n representa um polinómio em de coeficientes reais. Prove que esse polinómio é divisível por ( + 6)( + 5). Eercício Factorize:. 5 6;. + 6;. + ;. + + ; 5. 5t + t t; Novembro de

23 Eercício 5 Decomponha em factores o mais elementares possível os polinómios:. + 8; sabendo que admite as raízes e ;. 6 + sabendo que é divisível por ; sabendo que admite a raíz. Eercício 6 Para todo o k R, a epressão + k transforma-se num polinómio do o grau.. Calcule k de modo que o polinómio admita como zero;. Substitua k pelo valor encontrado e factorize o polinómio. Eercício 7 Determine o polinómio do o grau que admite como zero único o número e que dividido por + dá resto igual a 5. Eercício 8 Considere + a + b, coma, b R.. Calcule a e b de modo que o polinómio seja divisível por ( )( ).. Para os valores encontrados determine o terceiro zero do polinómio e factorize. Eercício 9 Seja A () um polinómio em : A () = Determine B () tal que A () =( ).B ().. Escreva A () como um produto de factores do o grau. Eercício Considere o polinómio P () = Verifique que ézerotriplodep ().. Factorize o polinómio. Eercício Calcule a e b pertencentes a R de modo que para todo o valor real de se tenha + a + =( b). Eercício Determine k, m e n de modo que sejam equivalentes as epressões +m+ n e ( ) + k. Eercício Determine os números reais a, b e c de modo que: ( a) +( b) c = Eercício Considere o polinómio P () = c, onde c R. Sabendo que éraízdep, determine o valor de c e as restantes raízes de P. Novembro de

24 Eercício 5 Para cada valor real de m, aepressão + m +(m + ) éum polinómio em.. Determine o valor de m paraoqualopolinómioédivisívelpor.. Considere o valor m obtido na alínea anterior e prove que é uma raiz de multiplicidade desse polinómio. Factorize. Eercício 6 Determine a e b de modo que +a+b seja divisível por ( )( + ). Eercício 7 Calcule m R de modo que + + m seja equivalente ao quadrado de um polinómio. Eercício 8 Calcule os zeros do polinómio P () sabendo que P ( ) = Eercício 9 Determine o domínio, em R, de cada uma das seguintes epressões:. + ;. + + ;. ( )( +7+) ;. + ; 5. + ; Eercício 5 Simplifique as fracções, indicando o respectivo domínio:. ;. (+) ( +) + ;. + ;. 9 + ; 5. + ; 6. + ; ; 8. + ; ; Novembro de

25 Eercício 5 Considere as seguintes epressões designatórias, em R, A=,B= C = Determine o domínio de cada uma das epressões anteriores;. Calculeesimplifique A + B, ABC e ( C B ). +A Eercício 5 Efectue, no respectivo domínio, as seguintes adições:. + ; + e 5. +;. a+ + a+. a 6a Eercício 5 Efectue, no respectivo domínio, as operações indicadas e, se possível, simplifique o resultado: ; ; Eercício 5 Calcule os parâmetros A e B de modo que sejam equivalentes, no respectivo domínio, as epressões:. A + B e ; ( )( ). A B e Eercício 55 Efectue as multiplicações, simplifique os resultados e indique os valores da variável para os quais a simplificação é válida:. ; +. ;. +; + +. ; ; ; Eercício 56 Efectue as seguintes divisões, simplifique o resultado e indique os valores de para os quais são válidas as operações e as simplificações:. ( ) : + ;. : + ; Novembro de

26 . 5 5 : ;. ++ : Eercício 57 Efectue as operações, simplifique o mais possível e indique o domínio de validade:. ; ;. + ;. + + (+) ; 6. 6 ; ; Eercício 58 Transforme numa fracção racional irredutível equivalente cada uma das epressões racionais seguintes e determine o domínio:. + 7 : + ; ³. + + ³ 9 ;. + a + + a + + ; + a + 8 ( )( 9) (+ 7 ) Eercício 59 Simplifique as fracções e determine o domínio:. ++ ; a. b ab. a ab+b Eercício 6 Efectue as operações seguintes e simplifique o resultado. Indique os domínios de validade: ³. + : (+) (+) ;. a 6ab+9b ac +6bc. c a 9b Eercício 6 Resolva as seguintes equações algébricas:. + = ;. 6 = ;. 6 = ; Novembro de

27 . = ; 5. + = ; 6. = ; 7. + = ; = 8; = ; = ;. = ;. + 5 = ;. 9 8 = ;. + 8 = ; = ; 6. = ; 7. 8 = ; = ; 9. ( + )( 5) =;. ( ) =; = ;. ( ) ( ) =. Eercício 6 Resolva os seguintes sistemas de equações: + =. + = ;. + = + = 8 ;. + = =. Eercício 6 Resolvacadaumadasseguintesinequações:. 5;. <;. 6 ;. 5>. Novembro de

28 Eercício 6 Resolva, em R, as seguintes condições com módulos:. 7 = ;. + = ;. = ;. ; 5. > ; 6. + ; 7. + <+. 5 Novembro de

29 .6 Soluções Solução Solução.. n o irracional.. n o racional.. n o irracional.. n o racional. 5. n o racional. 6. n o irracional. Solução.. D = R \{}.. D =[ 5, + [.. D = R \{}.. D = R. 5. D = R +. Solução Novembro de

30 Solução Indeterminado. Solução ; incompleto (falta o termo de grau ). Solução incompleto (falta o termo independente). Solução Solução 9.. Admite a raíz.. Admite as raízes, e.. Admite a raíz. Solução.. α =.. α = e α =.. α =.. α = e α =. 5. α = 5 e α = + 5. Solução Novembro de

31 Solução Solução Solução Solução Solução Solução Solução Novembro de

32 Solução 9 a = e b =. Solução.. q () = 7 e r () =8.. q () = + e r () =.. q () = e r () =.. q () = e r () =. 5. q () = 5 e r () = q () = + e r () =. 7. q () = e r () =. 8. q () = e r () = q () = e r () =5 +.. q () = 5 + e r () = 7. Solução Solução q () = e r () =8.. q () = e r () = q () = + e r () =6.. q () = + 6 e r () =5. 5. q () =8 e r () =. Solução - Solução α = e α = 5. Solução 5 m =. Solução Novembro de

33 Solução Solução 8.. q () = + + e r () = 5.. q () = q () = 7 Solução 9 k =. Solução.. α =... Solução - Solução. e r () = 9. e r () = ( + ) ³ ³ =( + ) 7 77 Solução - Solução.. (5 )(5 + ).. ( + ) ( ). 5. 5t (t + ) t Solução 5.. ( )( 6).. ( )( + )( )( + ).. + ( )( + ).. ( + )( + ) Novembro de

34 Solução 6.. k =.. ( ) +. Solução Solução 8.. a = e b =.. 5; + 5 ( )( ). Solução 9.. B () = A () =( )( )( ). Solução.. -. ( + ). Solução a = e b = ou a = e b =. Solução k =, m = e n =. Solução a =, b = e c = ±. Solução c =, α = e α =. Solução 5.. m = 9.. ( )( ) ( + ). Solução 6 a = e b =. Solução 7 m = 9. Solução 8 e. Solução 9.. D = R\{}.. D = R\{, }.. D = R\{,, }.. D = R\{, }. 5. D = R. 6. D = R. Novembro de

35 Solução 5.. +, D = R \{}.. (+),D= R..,D= R \{}.., D = R. 5.,D= R \{, }. 6.,D= R\{, }. 7.,D= R\{, }. 8.,D= R\{,, }. ( )( ) 9. 6 ( ),D= R\,,ª.. ( )(+) +,D= R\{, }. Solução 5.. D A = R \{},D B = R \{, } e D C = R \{ }.. A + B = + +8 (+)( ),ABC= e ( C B ) +A = + (+). Solução ,D= R\{}. 6. 5,D= R\{}.. a +8a+9 a,d= R\ {}. Solução 5.. +,D= R\{, }. +.,D= R\{, } ,D= R\,ª. Solução 5.. A = e B =.. A = B =. Novembro de

36 Solução ,D= R\{ }..,D= R\ {}. 6.,D= R\{ } ,D= R\{}. 5. (+),D= R\{,, }. 6.,D= R\{, }. (+) 7., D = R\{, }. Solução ,D= R\{ }..,D= R\{}.. 5,D= R\{ 5, } ,D= R\ {,, }. Solução 57..,D= R \{, }.. ( ++),D= R \{, }..,D= R \{, }. +. 5( +),D= R \{,,, }. (+)(+) 5. ( ) +,D= R \{, }. 6.,D= R \{,, }. + 7.,D= R \{,, }. + Solução 58..,D= R\{,, }. +.,D= R\{,, }.., D = R\{,, }..,D= R\{,, }. +7+ Novembro de

37 Solução ,D= (, ) R : 6= ª.. ab a b,d= (a, b) R : a 6= b ª. Solução 6..,D= (, ) R : 6= + 6= ª.. a b,d= (a, b, c) R : c 6= a b 6= a + b 6= ª. Solução 6.. C.S. = { }.. C.S. = {}.. C.S. = ª.. C.S. = {}. 5. C.S. = {, }. 6. C.S. = {, }. 7. C.S. =. 8. C.S. =. 9. C.S. = { }.. C.S. = { }.. C.S. = {, }.. C.S. =.. C.S. =,.. C.S. = {, 8}. 5. C.S. =,ª. 6. C.S. = ª. 7. C.S. = {, }. 8. C.S. = {,,, }. 9. C.S. =, 5 ª.. C.S. =,, ª. Novembro de

38 . C.S. = {, }.. C.S. =,ª. Solução 6.. C.S. = {(, )}.. C.S. = {(, 8), (8, )}.. C.S. = {(, )}. Solução 6.. C.S. =[, + [.. C.S. =,.. C.S. =[, + [.. C.S. =,. Solução 6.. C.S. =, ª 7.. C.S. = {, }.. C.S. = ª.. C.S. =],] [6, + [. 5. C.S. = R. 6. C.S. =[, + [. 7. C.S. =], + [. 5 Novembro de

39 Geometria no Plano. Vectores no Plano Definição O referencial cartesiano ortogonal associado a um plano é constituido por dois eios perpendiculares entre si que se cruzam na origem. Ao eio horizontal dáse o nome de eio das abscissas (eio ou eio OX), onde é representada a variável independente. Ao eio vertical dá-se o nome de eio das ordenadas (eio ou eio OY), onde é representada a variável dependente. A cada um dos eios está associado o conjunto de todos os números reais (R). Os dois eios dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes, cujos os nomes são indicados no sentido anti-horário. Define-se ponto do plano como sendo um par ordenado de números reais, P =(, ), em que a a coordenada se designa de abscissa ea a coordenada se designa de ordenada. Eio das Ordenadas º Quadrante º Quadrante P = (,) Eio das Abscissas º Quadrante - º Quadrante Figura : Referencial cartesiano ortogonal Definição 5 Um vector u é um ente matemático que representa um movimento ou uma força, sendo caracterizado por uma direcção, um sentido e um comprimento. Este é representado no plano através de um segmento de recta orientado OP com origem no ponto O =(, ) e com etremidade no ponto P =(, ), ou seja, u = OP. u r O=(,) P=(,) Definição 6 Um vector que tenha comprimento é denominado vector unitário. Definição 7 Um referencial (, e, f ) diz-se ortonormado (o.n.) se os vectores e e f forem perpendiculares e unitários. u ur f O u r e r u Neste referencial as coordenadas de um vector u são (u,u ), sendo este definido por u = u e + u f,onde u e e u f são as suas componentes. Definição 8 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontos A =(a,a ) e B =(b,b ),ovector AB édefinido pela diferença entre os dois pontos, isto é AB = B A =(b a,b a ). 6 Novembro de

40 Definição 9 O comprimento de um vector u =(u,u ) num referencial o.n. pode ser obtido através da norma de u, que é dada por: q u = u + u. Definição Seja u =(u,u ) um vector qualquer num referencial o.n.. Define-se versor de u como sendo o vector unitário com direcção e sentido de u dado por: Ã! vers u u u = p, p. u + u u + u Definição Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontos P =(, ) e P =(, ),adistância de P a P é dada por: d (P,P )= P P = q( ) +( ). Definição Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontos P =(, ) e P =(, ), define-se ponto médio M do segmento de recta P P como sendo o ponto cujas coordenadas são as médias das coordenadas correspondentes aos pontos P e P,istoé: µ + M =, +. Definição Considerando um referencial ortonormado dum plano, um ponto A =(, ) eumvector u =(u,u ), a soma do ponto A com o vector u éopontob dado por: B = A + u =( + u, + u ). B u u r A O u Definição Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois vectores u =(u,u ) e v =(v,v ), a soma destes vectores éovector: u + v =(u + v,u + v ). O u r r v r r u + v Definição 5 Considerando um referencial ortonormado dum plano e o vector u =(u,u ), o produto do número real k 6= pelo vector u éumvectordadopor: k u =(ku,ku ). 7 Novembro de

41 Este vector tem a direcção de u, sentido de u se k>,sentido contrário se k<tal que k u = k u. Se k = ou u =,então k u =. u r ku r O Definição 6 Se u e v sãodoisvectoresnãonulos,oproduto interno dos vectores é: u v = u v cos u ^ v, onde u ^ v = ^ u, v [ o,9 o ]. Se u = ou v =,então u v =. Num referencial o.n., conhecidas as coordenadas dos vectores u =(u,u ) e v =(v,v ) tem-se: u v = u v + u v. Enestecaso, cos u v + u v u ^ v = u v, u ^ v 9 o.. Estudo da Recta.. Equações da recta Definição 7 A equação de qualquer recta pode ser escrita na forma geral A + B + C = onde A e B não são ambos nulos. Em particular, a recta vertical = a pode ser representada pela forma geral earectahorizontal = b pela forma geral a = b =. Definição 8 O declivedeumarectanãoverticaléamedidadonúmerodeunidades que a recta sobe (ou desce) verticalmente para cada unidade de deslocamento horizontal, da esquerda para a direita. Considerando dois pontos (, ) e (, ) de uma recta, o seu declive m é dado por: m = =, 6=. = = 8 Novembro de

42 Se m é positivo, então a recta cresce da esquerda para a direita; se m =, então a recta é horizontal; se m é negativo, então a recta decresce da esquerda para a direita. O declive não está definido para rectas verticais. m> m= m< m indefinido Emgeral,quantomaiorforovalorabsolutododeclivedeumarecta,maisíngremeelaé. Pode-se considerar também o declive de uma recta não vertical como sendo a tangente do ângulo que a recta forma com a parte positiva do eio, isto é, m = tg α, α 6= 9 o. α Definição 9 Uma equação da recta com declive m que passa pelo ponto (, ) é dada por: = m ( ). Definição A equação reduzida da recta com declive m cuja intersecção com o eio éem(, b), onde b édesignadoporordenada na origem, é dada por: = m + b. Eemplo 8 Determine a equação reduzida da recta que passa pelos pontos P =(, ) e P =(, ). Resolução: A equação reduzida é da forma = m + b, onde m = =. Uma equação da recta com declive m = que passa pelo ponto P =(, ) (por eemplo) é = ( ) =. Definição UmaequaçãodarectaquepassapelopontoP =(, ) e tem a direcção do vector u =(u,u ) é dada por: =. u u Desta forma, o declive é m = u u. Eemplo 9 EscrevaaequaçãoreduzidadarectaquepassapelopontoP =(, ) eque tem a direcção do vector u =(, ). Resolução: A equação reduzida é da forma = m + b. Uma equação da recta ponto (, ) e tem a direcção do vector u = (, ) é dada por: = + 6 = = Novembro de

43 Definição Define-se ângulo (no sentido positivo) de duas rectas de declives m e m respectivamente, como sendo o ângulo θ [ o,9 o [ tal que: tg θ = m m + m m. θ tg α = m α α tg α = m Definição Duas rectas distintas não verticais são paralelas se e só se os seus declives forem iguais, isto é, m = m. m m=m m Definição Duas rectas distintas não verticais são perpendiculares se e só se os seus declives forem inversos negativos entre si, isto é, m = m. m m=-/m m Eemplo Determine a equação reduzida da recta que passa pelo ponto (, ) equeé:. paralela à recta = 5;. perpendicular à recta = 5. Resolução:. A recta = 5 pode ser escrita na sua forma reduzida como = 5 = + 5 = 5, onde o seu declive é dado por m =. Arectaquepassanoponto(, ) e é paralela à recta dada também tem o declive e é definida pela seguinte equação: + = ( ) = = 7..Calculandooinversonegativododeclivedarectadada,pode-sedeterminarodeclive de uma recta perpendicular a essa: m = =. Assim, a recta que passa pelo ponto (, ) eéperpendicularàrectadadatema seguinte equação: + = ( ) = + = +. Novembro de

44 Definição 5 A distância de um ponto P = (, ) aumarectade equação reduzida = m + b é dada por: d = m b. + m Se a recta for definida pela equação geral A + B + C =, então: d = A + B + C. A + B Eemplo Determine a distância do ponto P =(, ) àrecta =. Resolução: A distância é dada por 8 ( )+5 ( )+7 d = = =. Definição 6 A mediatriz de um segmento de recta AB éolugargeométricodospontos do plano que estão à mesma distância do ponto A = (, ) edopontob = (, ). Nesse caso um ponto X =(, ) está na mediatriz se e só se q d (X, A) =d (X, B) ( ) +( ) = q ( ) +( ). Mediatriz A M B Propriedade A mediatriz de um segmento de recta AB tem as seguintes propriedades:. éeiodesimetriadeab;. passa pelo ponto médio de AB;. é perpendicular a AB. Eemplo Escreva a equação da mediatriz do segmento de recta AB, onde A =(, ) e B =(, ). Resolução: Sendo M o ponto médio de AB, M =, + =, e AB = A B = =(, ). Sendo m odeclivedarectaab, m =. Como a mediatriz é perpendicular à recta AB, tem declive, sendoasuaequaçãodaforma = + b. Além disso, passa pelo ponto M. Assim, = + b = + b b = + b =. Uma equação da mediatriz de AB é: = + 8. Definição 7 A bissectriz de duas rectas é a recta que passa pelo vértice do ângulo formado por estas e que o divide ao meio. Eemplo A bissectriz dos quadrantes pares é a recta = =- - - Novembro de

45 . Cónicas O primeiro estudo sistemático das cónicas deve-se a Apolónio (6- a.c.). Este estudou as cónicas como resultado de secções feitas por um plano num cone e num duplo cone de base circular. Foi Apolónio que atribuiu às cónicas as designações ainda hoje utilizadas elipse, parábola e hipérbole. Definição 8 Uma superfície cónica de revolução é a superfície gerada pela rotação completa de uma recta (geratriz) em torno de outra recta (eio), formando com esta sempre o mesmo ângulo, até completar uma revolução (volta completa). Ao ponto comum à geratriz e ao eio chama-se vértice. É chamada de cónica toda a linha que se obtém como intersecção de um plano que não passa pelo vértice (plano secante) com uma superfície cónica, as quais vamos estudar de uma forma mais aprofundada. Quando o plano que intersecta a superfície cónica passa pelo vértice, a secção obtida é uma cónica degenerada (um ponto, uma recta ou um par de rectas concorrentes). Este tipo de cónicas não será estudado. René Descartes (596-65) generalizou a utilização das cónicas e identificou-as como equações do o grau. Mas nem todas as equações do o grau representam cónicas. Propriedade 5 As cónicas são curvas definidas por equações do o grau em e de tipo: onde A e C não são ambos nulos. Em particular, as equações do tipo A + B + C + D + E + F = Equação Geral A + C + D + E + F = (B = ) definem cónicas em que os eios de simetria são paralelos aos eios coordenados. Propriedade 6 Considerando = B AC, as cónicas dividem-se em três grandes grupos:. Elipse ou Circunferência, caso <;. Parábola, caso = ;. Hipérbole, caso >. Para cada caso, é sempre possível passar da equação geral para a respectiva equação reduzida. Novembro de

46 .. Elipse e Circunferência Se o plano secante intersecta todas as posições da geratriz e é oblíquo em relação ao eio,a linha obtida é uma elipse. Se o plano é perpendicular ao eio, a elipse obtida é uma circunferência. Definição 9 Uma elipse é um conjunto de pontos P do plano em que a soma das distâncias de P a dois pontos fios F e F (chamados focos da elipse), designadas d e d respectivamente, é constante e maior que a distância entre F e F. vértice P eio menor a d d eio maior vértice F F b c vértice centro vértice d + d = a (constante) Equação Reduzida da Elipse Considerando uma elipse de centro (c,c ) em que os focos estão na recta = c,paralela ao eio (caso a>b), ou na recta = c,paralelaaoeio (caso b>a), obtem-se a seguinte equação reduzida da elipse: ( c ) a + ( c ) b =. Propriedade 7 A elipse tem as seguintes características:. é simétrica em relação às rectas = c e = c ;. a soma das distâncias do ponto P aos focos é dada por d + d = a;. a distância entre os focos (distância focal) é c e a>c; Novembro de

47 . centro da elipse: (c,c ); 5. vértices: (c ± a, c ) e (c,c ± b); Focos sobre a recta = c (a>b) Focos sobre a recta = c (b>a) a = b + c b = a + c Focos: (c ± c, c ) Focos: (c,c ± c) Eio maior: a Eio maior: b Eio menor: b Eio menor: a Ecentricidade: e = c, onde <e< a Ecentricidade: e = c, onde <e< b Directrizes: = c a e e = c + a e Directrizes: = c b e = c e + b e = c c b a F F c = c c b c F a c c F Definição 5 Uma circunferência é um conjunto de pontos do plano equidistantes de um mesmo ponto (centro). c r c Equação da Circunferência A circunferência é um caso particular da elipse, cuja ecentricidade (desvio do centro) é nula. Considerando a equação reduzida da elipse e tomando a = b = r, obtem-se a equação reduzida da circunferência de centro (c,c ) eraior:.. Parábola ( c ) r + ( c ) r = ( c ) +( c ) = r. Se o plano secante é paralelo apenas a uma posição da geratriz, a linha obtida é uma parábola. Novembro de

48 Definição 5 Uma parábola éumconjuntodepontosp do plano em que a distância d de P aumpontofio F (chamado foco da parábola) é igual à distância d de P aumarecta fia D (chamada directriz da parábola). D d P p d centro vértice F d = d Equação Reduzida da Parábola Considerando uma parábola de vértice (c,c ) em que o foco está na recta = c ou na recta = c, obtem-se uma das seguintes equações reduzidas da parábola: c = p ( c ) ou c = p ( c ). Propriedade 8 A parábola tem as seguintes características:. é simétrica em relação à recta que passa pelo foco e é perpendicular à directriz;. a distância do ponto P ao foco ou à directriz é dada por d = d = p ;. a distância do foco à directriz é p ;. vértice: (c,c ); 5. a ecentricidade da parábola (que indica a razão das distâncias de qualquer um dos pontos ao foco e à directriz) é e = ; Foco sobre a recta = c ³ Foco: c + p Directriz: = c p p> p< voltada para a direita voltada para a esquerda D D c F c F c c 5 Novembro de

49 Foco sobre a recta = c ³ Foco: c,c + p Directriz: = c p p> p< voltada para cima voltadaparabaio D F c c c D c F.. Hipérbole Se o plano secante é paralelo ao eio, a linha obtida é uma hipérbole. Definição 5 Uma hipérbole éumconjuntodepontosp doplanoemqueomóduloda diferença das distâncias de P a dois pontos fios F e F (chamados focos da hipérbole), designadas d e d respectivamente, é constante e menor que a distância entre F e F. A A eio não transverso a d c b P F F d eio transverso centro vértice d d = a (constante) Equação Reduzida da Hipérbole Considerando uma hipérbole de centro (c,c ) em que os focos estão na recta = c ou na recta = c, obtem-se uma das seguintes equações reduzidas da hipérbole: Focos sobre a recta = c Focos sobre a recta = c ( c ) a ( c ) b = ( c ) b ( c ) a = 6 Novembro de

50 Propriedade 9 A hipérbole tem as seguintes características:. é simétrica em relação à recta que passa pelos focos;. o módulo da diferença das distâncias do ponto P aos focos é dado por d d = a;. a distância entre os focos (distância focal) é c e c>a;. centro da hipérbole: (c,c ); 5. c = a + b ; 6. Assimptotas: = c b a ( c ) e = c + b a ( c ); Focos sobre a recta = c Focos sobre a recta = c Vértices: (c ± a, c ) Vértices: (c,c ± b) Focos: (c ± c, c ) Focos: (c,c ± c) Eio transverso: a Eio transverso: b Eio não transverso: b Eio não transverso: a Ecentricidade: e = c, onde e> Ecentricidade: e = c, onde e> Directrizes: = c a e e = c + a e Directrizes: = c b e e = c + b e = c F c b a F F = c c b a c c F Eemplo Considere a cónica definida pela equação + =. Determine a sua equação reduzida, identifiqueotipodecónica erepresente-a graficamente. Resolução: + = + = = = ( + ) +( ) = (+) + ( ) = Equação reduzida da hipérbole ( ) ( + ) =. vertical de centro (, ),onde a = e b =. 8 6 ( ) ( + ) = Novembro de

51 . Eercícios Propostos Eercício 65 Em que quadrantes se encontram os pontos (, ) tais que >? Eercício 66 Considere o ponto A =(, ). Indique as coordenadas dos pontos simétricos a A em relação:. à origem O;. ao eio ;. ao eio. Eercício 67 Num referencial o.n., considere os pontos A =(, ) e B =(, ).. Calcule as coordenadas de AB;. Determine a norma e o versor de AB;. Indique o valor lógico da seguinte afirmação: "A distância de A a B é maior do que ". Eercício 68 Determine as coordenadas do ponto P do eio queéequidistantedospontos A =(, 5) e B =(, ). Eercício 69 CalculeadistânciadopontoP =(, ) ao ponto médio do segmento de recta AB, onde A =(, ) e B =(5, ). Eercício 7 Num referencial o.n., considere o ponto A =(, ) eosvectores u =(, ) e v =(, )..Calculeascoordenadasdosseguintesobjectos: A + u e u v. Represente-os no plano.. Determine o coseno de u ^ v. Eercício 7 Considere a recta r cuja equação é dada por + + =.. Indique o declive e a ordenada na origem de r;. Determine a abcissa do ponto de r cuja ordenada é 5. Eercício 7 Escreva uma equação da recta que passa pelos pontos A =(, ) e B =(, ). Eercício 7 Escreva a equação reduzida da recta s que passa pelo ponto P =(, ) eque tem a direcção do vector u =(, ). Eercício 7 Considere o ponto A = (, ) e a recta r definida pela equação =.. Indique a equação reduzida da recta paralela à recta r que passa pelo ponto A;. Determine a distância do ponto A àrectar;. Escreva a equação reduzida da mediatriz do segmento de recta AB, onde B =(, ). 8 Novembro de

52 Eercício 75 Determine o ponto de intersecção das rectas + = e + + =. Eercício 76 Determine o centro, os focos, os vértices e as directrizes da elipse cuja equação reduzida é + (+) =. Represente-a graficamente. Eercício 77 Mostre que a equação = representa uma elipse e calcule as coordenadas do seu centro, dos focos e dos vértices; escreva as equações das directrizes. Eercício 78 Escreva a equação reduzida da circunferência e represente-a graficamente:. de centro (, ) eraio;. de centro (, ) eraio ;. que passa pelos pontos (, ), (, ) e (9, ). Eercício 79 Represente a parábola dada pela equação = ( + ) +, apresentando orespectivofocoedirectriz. Eercício 8 Escreva a equação reduzida da parábola cujo vértice é o ponto (5, ) ecuja directriz é = 8. Indique as coordenadas do foco. Eercício 8 A equação = representa uma hipérbole. Determine o seu centro, focos, vértices e assimptotas. Eercício 8 Identifique as seguintes cónicas e faça um esboço do seu gráfico: = ; = ;. 8 =. Eercício 8 A Terra move-se à volta do Sol com uma órbita elíptica e o Sol ocupa um dos focos. O comprimento do eio maior é 957 km e a ecentricidade é, 67. Determine aquedistânciaaterrafica do Sol, quando esta se situa no vértice mais próimo do Sol. Eercício 8 O tecto de uma igreja tem metros de largura e a forma de uma semi-elipse. No centro da igreja a altura é de 6 metros e as paredes laterais têm de altura metros. Determine a altura da igreja a 5 metros de uma das paredes laterais. 6m m m 5m m 5m 9 Novembro de

53 Eercício 85 A figura representa o esquema de uma ponte que se apoia no solo em A e B. AOB éumarcodeparáboladeeiodesimetriaod. Sabemos que d (A, B) =8 me d (O, D) = m. Tomando por unidade metro e considerando o referencial ortonormado de origem O cujo semieio positivo das abcissas é OC. E O C T S A D B Determine:. Uma equação da parábola que contém o arco AOB;. As coordenadas dos pontos da parábola cuja distância ao solo é 9 m;. A altura do poste [AS], sabendo que ST étangenteàparábolacomdeclive. Eercício 86 Os cabos de suspensão da ponte (na figura)estãopresosaduastorresque distam 8 metêm6 m de altura. Os cabos tocam a ponte no centro. Determine a equaçãodaparábolaquetemaformadoscabos. (,6 ) O 5 Novembro de

54 .5 Soluções Solução 65 No o e o quadrantes. Solução 66.. (, ).. (, ).. (, ). Solução 67.. AB =(, ).. AB = e vers AB =. Falso. Solução 68 P = 7,. Solução Solução 7. ³,.. A + u =(, ) e u v =(, ). A + u r - r r u v cos u ^ v = 5. 5 Solução 7.. m = e b =.. = 5. Solução 7 6 =. Solução 7 = +. Solução 7.. = d = 6.. =. 5 Novembro de

55 Solução 75 (5, 6). Solução 76 Centro: C = ( ) ³, Focos: F = (, ) e F = (, ), Vértices: A =(, ),A =(, ),B =, ³ e B =, +, Directrizes: = e =. B A - C A F F - - B Solução ³ 77 Centro: C = ( ), Focos: F = (, ) e F = (, ), Vértices: A = + ³,,A = +,,B = (, ) e B = (, 6), Directrizes: = e = 6. Solução 78.. ( + ) +( ) = ( + ) = ( 5) +( ) = Novembro de