O Modelo de Black e Scholes

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1 O Moelo e Black e Scholes Prf. José Fajaro FGV-EBAPE Premio Nobel e Economia 1997 Merton, R.C.: heory of Rational Option Pricing, Bell Jounal of Economics an Management Science, 4(1973), Black, F., an M. Scholes,: he Pricing of Options an Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81(1973), axa e Retornos One S t é o preço o ativo no tempo t e R t a taxa e retorno no tempo t. Agora enotemos o lao ireito por:

2 axa e Retornos Bachelier(19) S Samuelson(1964) Moelo para Preços t S t t ( X X ) 1 S t S Em ambos casos X t é uma variável aleatória com istribuição Normal e X t Vantagems Neste caso usano equação para a taxa e retorno obtenremos: St R log t S t1 S e log S Xt Xt1 e X X È izer, a taxa e retorno também estará Normalmente istribuia t t1

3 No se puee mostrar la imagen en este momento. A Suposição o Preço o Ativo Consiere um ativo cujó preço é S Num períoo curto e tempo e longitue t a variação no preço o ativo é assumio ser normal com méia µs t e esvio parão: S t µ é o retorno esperao e é a volatitilae o ativo: S µ S t + S ε, one ε é N(, t) A Suposição o Preço o Ativo R t+ t St+ t St S µ t + ε, S S t O retorno é uma taxa eterministica mas um choque normal!. Quano t temos a seguinte Equação Diferencial Estocástica: S µ St + SB, one B é N(, t ) t t Simulano a Equação o Preço

4 Solução a EDE A Solução a EDE com conição inicial S S S e ( µ ) + B A Proprieae Lognormal Desta suposição segue: ln S ln S φ µ, or ln S φ ln S + µ, Como o logaritmo e S é normal, S esta istribuia e forma lognormal A Distribuição Lognormal E( S ) S e µ VarS ( ) S µ e ( e 1)

5 A Volatiliae A Volatiliae é o esvio parão a axa e Retorno Continuamente Composta em 1 ano. Estimano a Volatiliae com Daos Históricos 1. ome observações S, S 1,..., S n em intervalos e τ anos. Defina el retorno continuamente composto como: u i S ln S 3. Calcule o esvio parão, s, os u i s 4. A Volitiae Historica estimaa é: i i 1 * s τ Os Conceitos Subjacentes a Black-Scholes O preço a opção & o preço o ativo epenem o mesmo recurso subjacente e incerteza Nos poemos formar uma carteira que consista e um ativo e e uma opção que elimine este recurso e incerteza. A carteira é instantaneamente sem risco e tem que ganhar instantaneamente à taxa livre e risco. Isto nos a a Equação iferencial e Black- Scholes.

6 A Derivação a Equação Diferencial e Black-Scholes S µ S t + S B...(1) ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ µ S + + ½ S t + S B...() S t S S Construimos uma Carteira : 1: Derivativo ƒ + : Uniaes S A equação () é conhecia como a formula e Ito para uma função f(s). A Derivação a Equação Diferencial e Black-Scholes O valor a carteira Π é ƒ Π ƒ + S S ao por : A taxa e variação o valor no tempo ƒ Π ƒ + S S t é aa por : Equação Diferencial e Black & Scholes A taxa e retorno Π r Π t Substituim os ƒ e S por (1) e () na equação Equação Diferência l e Black -Scholes : a carteira eve ser a taxa livre e risco. ƒ ƒ ƒ + rs + ½ S rƒ t S S para obter Daqui a

7 Avaliação Neutra ao Risco A varíavel µ não aparece na equação e Black-Scholes A equação é inepenente e toas as variáveis afetaas pelo risco as preferências Logo a solucão a equação iferencial será a mesma num muno livre e risco como no muno real. Isto nos leva a uma avaliação Neutra em relação ao Risco Aplicano Avaliação Neutra ao Risco 1. Asuma que o retorno esperao o preço o ativo é a taxa livre e risco. Calcule o pago esperao o erivativo 3. Desconte a taxa livre e risco Q r f E ( e f ( S )) Formula e Black e Scholes A solução a Equação iferencial e Black e Scholes, epene a conição e contorno. No caso e uma opção e compra e vena Európéia, temos que f(s )max{s -X,} ou f(s )max{x-s,} Com esta conição e contorno é possível obter uma forma explícita para a solução!

8 As Formulas e Black-Scholes r X S r X S N S N e X p N e X N S c r r ) / ( ) / ln( ) / ( ) / ln( one ) ( ) ( ) ( ) ( As Formulas e Black-Scholes X e S X e S r r / ) / ln( / ) / ln( one Ou também Parâmetros Da Formula e Black e Scholes, toos os parâmetros necesários para calcular o preço são observaos, excepto 1, a volatiliae. Poemos usar a volatiliae histórica. Ou a volatiliae Implícita

9 Volatiliae Implícita A Volatiliae Implicita e uma Opção é a volatiliae para a qual o preço e Black-Scholes é egual ao preço e mercao Existe uma corresponencia 1 a 1 entre preços e volatiliaes implicitas raers e brokers usualmente cotam volatiliae implícita mas que preços. Causas e Volatiliae Volatiliae é usualmente maior quano o mercao esta aberto (i.e. o ativo é negociao) que quano esta fechao Por esta razão o tempo é meio em traing ays e não ías o calenario quano uma opção é avaliaa Calculano o Preço e Uma Opção e Compra Daos: Preço Exercício (k) 56, Preço a Ação (S) 54,9 axa e juros ( r ),11 % a ou,11 Volatiliae ( ) 4, % ou,4 Prazo maturiae (n) 44 ias Pee-se: Calcule o preço a Opção utilizano-se a Fórmula e Black & Scholes

10 Exemplo Faça r5*ln(1+i) Então r5*ln(1,11),77 Logo 1(ln(54,9/56)+(,77+.4^/)*44/5)./(.4*(44/5)^1/) *(44/5)^1/.8715 N(1),6 N(),5347 C54,9*N(1)-56*e^(-.77*44/5)*N()4,495 Calculano o Preço e Uma Opção e Compra(Mercao) C(S, n, k, r, ) S.N( 1 ) - k / (1+ r ) n. N( ) C(S, n, k, r, ) 54,9.N( 1 ) - 56/ (1+,11) 44. N( ) C(S, n, k, r, ) 54,9.N( 1 ) - 53,35. N( ) 1 [Log (S/ (k / ( 1 + r) n ) + /. n/5] /[. (n/5) 1/ ] 1 [Log(54,9/53,35)+(,4) /.44/5]/[,4.(44/5) 1/ ] 1,54,54 -,4. (44 / 5) 1/,8715 Calculano o Preço e Uma Opção e Compra C(S, n, k, r, ) 54,9.N( 1 ) - 53,35. N( ) C(S, n, k, r, ) 54,9.N(,54 ) - 53,35. N(,8715 ) C(S, n, k, r, ) 54,9.,64-53,35.,5347 C(S, n, k, r, ) 4,43

11 Volatiliae Implicita VALED3 So7,5 Rln(1,115) 1/5 X3 cmax,79,cmin,59 Sigma? Limitações o Moelo B&S A Log-Normaliae Eviência Empírica: Os preços os ativos apresentam muitos outliers para poer ser consistente com a variância constante a istribuição log-normal. Os retornos são leptokurticos (Manelbrot [1963]). A volatiliae não é constante no tempo. Problemas com B&S Vale Empiric Normal Hyperbolic NIG GH 3 5 Density LogReturns

12 Problemas com B&S Vale 5 Empiric Normal Hyperbolic NIG GH 1 LogDensity LogReturns Problemas com B&S Ibovespa- 1/3-3/6

13 Ibovespa- 1/3-3/6 Limitações o Moelo B&S A axa e Juros Constante Na prática a menos que a opção esteja longe o seu vencimento, incerteza na taxa e juros não têm muito impacto no preço a opção. Limitações o Moelo B&S Não Existem Divienos O pago e ivienos causa quea no preço o ativo. No caso e ivienos contínuos, a taxa δ, o preço crecerá a uma taxa menor. Por tanto poemos usar a fórmula e Black e Scholes, colocano Se -δ no lugar e S. E no caso iscreto usamos S-D, no lugar e S, one D é o valor presente os ivienos pagos até

14 Limitações o Moelo B&S Mercaos sem Frições Custos e transação axas e juros para empréstimos iferentes Asimétria e Informação Restrições ao créito Líquiez Exercícios ) Suponha que temos a seguinte sequência e retornos anuais e uma tivo: 15%,%,3%,-% e 5% A méia aritmética estes retornos é 14%. Qual é o veraero retorno méio, obtio neste ativo? Exercícios 3) Suponha que a volatiliae e um ativo é,3 ou 3% por ano. Quanto será o esvio parão este ativo numa semana?

15 Exercícios 4) Suponha que se tem aos os preços e um ativo e 1 ias e negócios seguios, após calculo a serie u i ln(s i /S i-1 ), obtivemos os seguintes aos: Σ u i,9531 e Σ u i,36 Encontre a volatiliae. Exercícios 5) O preço avista e um ativo é 4, o preço e exercício e uma opção que vence em 6 mesês é 4, a taxa livre e risco é 1% a.a. e a volatiliae é %. Encontre o preço esta opção caso seja call ou put. Exercícios 6) Encontre o preço e uma call européia num ativo que paga ivienos e.5 em e 5 mesês. O preço o ativo hoje é 4, o preço e exercício é 4, a volatiliae é 3%, a taxa livre e risco é 9% a.a e a maturiae é 6 mesês.

16 Exercícios 7) No contexto o exercício anteriror, sobre a hip. De normaliae, encontre o preço e um erivativo que paga 1 reais aqui a 1mês se o ativo pasa os 45 reais e zero caso contrario.