Distribuições de Probabilidade

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1 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 Distribuições e robabiliae Consiere a seguinte situação: O Departamento e sicologia a Universiae YZ resolveu azer um eperimento para eterminar a eistência o enômeno a percepção etra-sensorial O eperimento consiste em colocar uma pessoa que alega ter poeres etra-sensoriais atrás e um biombo e o eperimentaor (um proessor o epartamento o outro lao o biombo com um baralho conteno apenas 5 cartas Caa carta contém um símbolo ierente: uma cruz, uma estrela, um círculo, um triângulo e um quarao A caa roaa, o eperimentaor embaralha as cartas e tira uma o bolo aleatoriamente, eiano-a viraa para baio sem olhar para ela A pessoa atrás o biombo tem então que izer qual é o sinal contio na carta que oi retiraa Depois isso, o eperimentaor vira a carta para cima e anota se a pessoa acertou ou não o símbolo Vamos eiar e lao a questão sobre a eistência ou não a ES e pensar no eperimento acima como uma instância e um eperimento binomial Se a pessoa que está atrás o biombo estiver chutano as respostas, a caa repetição o eperimento a chance e ela acertar o símbolo correto é e 1/5 (temos cinco símbolos igualmente prováveis ortanto, se o eperimentaor repetir o eperimento vezes, a chance e que a pessoa investigaa acerte K vezes, por puro acaso, é aa pela probabiliae binomial: ( K, 0,0! K!( K! K K = (0,0 (0,80 Usano a órmula a probabiliae binomial, poemos calcular a probabiliae e que a pessoa atrás o biombo acerte qualquer número e 1

2 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 vezes, e 0 até, em repetições o eperimento, se estiver chutano a caa repetição or eemplo, vamos supor que = 30 Os valores as probabiliaes poem ser colocaos em uma tabela ou, o que permite uma visualização mais imeiata, em um gráico em que os números e acertos são colocaos no eio- e os valores as respectivas probabiliaes são colocaos no eioy Este gráico está ao abaio Distribuição e robabiliaes robabiliae 0,0 0,15 0,10 0,05 0, úmero e Acertos ote que o número mais provável e acertos, com base em chutes, é K = 7 úmeros e acertos acima e K = 13 têm probabiliaes praticamente nulas Isto inicaria que, se a pessoa atrás o biombo acertar algum número grane e vezes, como 16 ou mais, por eemplo, este seria um evento muito pouco provável para ser obra o acaso Este gráico com as probabiliaes os iversos números possíveis e acertos é um eemplo e uma istribuição e probabiliaes Uma istribuição e probabiliaes á as probabiliaes e que uma aa variável aleatória possa assumir eterminaos valores

3 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 A variável é chamaa e aleatória porque, a caa repetição o eperimento, ela poe assumir um ao valor ao acaso, isto é, não temos como prever eatamente o valor que ela vai assumir oemos apenas calcular a probabiliae e que ela assuma um ao valor or convenção, variáveis aleatórias são esignaas por letras maiúsculas, Y, Z enquanto que os valores realmente meios essas variáveis são esignaos por letras minúsculas, y, z Se o eperimento que estivermos azeno or o tipo binomial, como o eemplo ao, então as probabiliaes serão calculaas seguno a órmula a istribuição binomial e teremos um gráico como o a transparência anterior Se o eperimento or escrito por outro tipo e probabiliae, então teremos um gráico e istribuição e probabiliaes ierente Há ois tipos e variáveis aleatórias: iscretas ou contínuas Variáveis aleatórias iscretas: Uma variável iscreta poe assumir apenas um número inito ou uma quantiae enumerável (que se poe numerar por números inteiros e valores Eemplos: número e ilhos e um casal; número e bactérias em uma lâmina; número e ias sem emprego; gasto mensal em rerigerantes por omicílio ote que os valores as variáveis não precisam ser números inteiros, como no último eemplo ao, em que os valores estão limitaos a até uas casas ecimais (os centavos Variáveis aleatórias contínuas: Uma variável contínua poe assumir um número ininito e valores Dao um intervalo, ela poe ter qualquer valor entro ele, com a precisão que se queira Eemplos: alturas as pessoas; tempo e resposta a um estímulo; 3

4 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 istâncias percorrias por caminhões e transporte e mercaoria em um ano; valor a pressão arterial Tanto para variáveis iscretas como contínuas, poemos ter istribuições e probabiliae ara o caso iscreto, já vimos um eemplo a istribuição binomial A istribuição e probabiliaes e uma variável iscreta é representaa matematicamente por ( e, graicamente, por um gráico o tipo abaio A altura a barra á a probabiliae o evento i : ( i ara que uma istribuição iscreta como a o gráico anterior seja uma istribuição e probabiliaes, ela tem que satisazer as seguintes conições: 1 ( i = 1, one é o número máimo e valores possíveis; i= 1 0 ( i 1 para too i Uma unção importante associaa a uma istribuição e probabiliaes iscreta ( é a chamaa unção e istribuição acumulaa F ( Ela á a probabiliae e que assuma qualquer valor menor que um ao : F = ʹ ( ʹ 4

5 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 Um eemplo e ( e a sua corresponente F ( é ao abaio A istribuição ( usaa é a binomial ote que o retângulo mais à ireita a unção e istribuição acumulaa F ( tem altura 1 É comum que istribuições e probabiliae epenam e parâmetros or eemplo, seja a istribuição e probabiliaes = λ, = 1,,3, 4 λ + λ + λ ( 6 one λ é algum número real ierente e zero Ele é chamao e parâmetro a istribuição ote que qualquer que seja o valor e λ, ( > 0 para = 1,, 3, e (1 + ( + (3 = 1 Embora o valor o parâmetro λ seja esconhecio, a unção einia acima satisaz as conições para que seja uma istribuição e probabiliaes ara caa valor possível e λ teremos um gráico ierente e ( ara variáveis contínuas, como temos ininitos valores entro e um intervalo não tem sentio einirmos a probabiliae e um valor especíico, mas apenas a probabiliae e obtermos um valor e entro e um intervalo especiicao, (a b 5

6 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 Daa uma variável aleatória contínua assumino valores entro e um intervalo I eine-se uma unção ensiae e probabiliae (, que é positiva e einia para too no intervalo I, e maneira que a probabiliae e que a variável aleatória assuma um valor entro e um intervalo que vai e a a b é aa pela integral Esta einição implica que, ( a < < b = ( a < < b = ( a < b = ( a < b = ( a b b a Graicamente, temos: A probabiliae e que ocorra um evento com valor entre ois números, a e b, é aa pela área sob a curva ( entre a e b ote que no eemplo o gráico assumiu-se que o intervalo I vai e 0 a Uma unção ensiae e probabiliae eve satisazer à seguinte proprieae: 6

7 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 I = 1, ou seja, a área total abaio a curva ( por too o seu intervalo e einição I eve ser igual a 1 Usano o Teorema Funamental o Cálculo, a einição a probabiliae e que a variável esteja entre e + h nos á, lim h 0 ( < < + h o que implica que para h pequeno poemos escrever, h =, ( < + h ( h < A unção e istribuição acumulaa F ( associaa à ensiae ( é einia por F ( 0 = 0 Esta einição implica que 0 F ( 1, que F ( é uma unção não ecrescente o seu argumento e pelo Teorema Funamental o Cálculo que ( 0 F = = Valor Esperao e Variância e uma Distribuição e robabiliaes 0 Vamos consierar uma istribuição e probabiliaes para uma variável iscreta, por eemplo, o número e ilhos por amília Vamos supor que oram escolhias amílias aleatoriamente e que a seguinte istribuição e probabiliaes oi montaa: 7

8 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 o e ilhos robabiliae 0,1 0, 0,3 0, 0,1 0,1 O que é caa valor e probabiliae (i ao? É o valor a reqüência relativa o número e ilhos i entro a amostra escolhia or eemplo, o valor e ( = 0,3 inica que, 30% as amílias a amostra têm ois ilhos Como se calcula a méia e ilhos para esta amostra? Chamano e i a reqüência absoluta o número e ilhos i na amostra, a méia é: = ou = , (00 + (11+ ( + (33 + (44 + (55 ara o caso em questão: =,3 ilhos por amília Deine-se o valor esperao e uma istribuição e probabiliaes iscreta, esignao por E( ou, como: E( = = i ( i, n i= 1 one n é o número e valores possíveis que a variável aleatória poe assumir Aplicano a einição e valor esperao à variável aleatória número e ilhos por casal e consierano que (0 = 0,1, (1 = 0,, ( = 0,3, (3 = 0,, (4 = 0,1, (5 = 0,1 e ( 6 = 0, temos que i= 0 E ( = i ( i =,3 8

9 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 umericamente, o valor esperao coincie com a méia e ilhos por casal para a amostra e casais ote, porém, a ierença conceitual entre méia e valor esperao: A méia e uma amostra e elementos baseia-se eplicitamente nos resultaos eperimentais a amostra e é calculaa como, 1 = sem que se precise conhecer as probabiliaes e ocorrência e caa possível valor a variável aleatória; O valor esperao E( ou e uma variável aleatória é uma graneza teórica que epene a istribuição e probabiliaes (, einia para toos os possíveis valores a variável aleatória, cujos valores, em geral, não são conhecios ortanto, é um parâmetro característico a variável aleatória i= 1 i, O conceito e valor esperao e uma variável iscreta poe ser generalizao para o e valor esperao e qualquer unção g( A unção g( é, por si só, uma variável aleatória que poemos chamar e Y, assumino valores y = g( ortanto, E Y = y Y ( y y ( ote que poemos reescrever este valor esperao como E g( = g( (, que é uma maneira mais conveniente e se calcular o valor esperao e Y = g( na prática, pois não necessita que se conheça a istribuição e probabiliaes e Y 9

10 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 Como eemplo, vamos consierar a istribuição e probabiliaes e número ilhos por casal aa acima e calcular o valor esperao e g( = : E( 5 = i= 0 ( i = 0,10 + 0,1 + 0,3 + 0,3 + 0,14 + 0,15 = 6,3 Da einição e valor esperao e g( ecorre a seguinte proprieae e lineariae: Se α e β orem constantes, então a variável aleatória α + β tem o valor esperao, E ( α + β = ( α + β = α + β ( = α + βe( Voltano ao eemplo a amostra e amílias, a variância o número e ilhos por amília é calculaa como: 0 s = (0 ou s = (0(0 1 + (1 + (1(1 + ( + (( 3 + (3 + (3(3 4 + (4 + (4(4 5 + (5, + (5(5 ara o caso em questão, temos s =,0 Deine-se a variância e uma istribuição e probabiliaes iscreta por: n ( E( Var( = σ = p( i= 1 i i O esvio parão a variável aleatória iscreta é einio como a raiz quaraa positiva a sua variância: σ = + σ 10

11 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 ote que a einição acima é, assim como a einição o valor esperao, uma einição teórica Isto implica que a variância σ e uma variável aleatória é, em geral, um parâmetro esconhecio orém, assim como a méia, ela poe ser estimaa tomano-se amostras e elementos a variável aleatória Algumas proprieaes a variância que ecorrem a sua einição são (tente mostrar como eercício: Se or uma variável aleatória com variância σ e α e β orem constantes, então a variável aleatória α + β tem a variância, Var ( α + β = β Var( = β σ A variância e uma variável aleatória poe ser escrita na seguinte orma mais conveniente, e one se obtém que ( ( E( σ = = E, ( = σ E ara istribuições e probabiliaes contínuas, o valor esperao e a variância são einios por órmulas análogas às o caso as istribuições iscretas Apenas se substituem as somatórias por integrais: Valor esperao: + E( = = 11

12 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 + Variância: Var( = ( E( = σ Temos também que o valor esperao e uma unção g( a variável contínua é ao por: + ( g( E = g( As mesmas proprieaes o valor esperao e a variância para o caso e uma variável iscreta se aplicam agora para o caso e uma variável contínua As einições e valor esperao e e variância e uma variável aleatória, iscreta ou contínua, nos permitem provar uma esigualae matemática e grane importância em teoria as probabiliaes e estatística, conhecia como esigualae e Tchebyshev Seja uma variável aleatória, iscreta ou contínua, com valor esperao e variância σ Então, a esigualae e Tchebyshev nos iz que para qualquer constante positiva, σ ( Vamos provar a esigualae e Tchebyshev aqui para o caso e uma variável aleatória contínua no intervalo (, + ; a prova para uma variável aleatória iscreta é essencialmente iêntica ela einição e σ, 1

13 robabiliae e Estatística I Antonio Roque Aula 0 13 ( ( ( ( ( ( ( ( ( = + + = σ Deste resultao ecorre a esigualae e Tchebyshev: ( σ