Física III Escola Politécnica GABARITO DA PS 13 de julho de 2017

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1 Física III Escola Politécnica GABARITO DA PS 13 e julho e 2017 Questão 1 1) Um capacitor esférico é formao por ois conutores em equilíbrio eletrostático. O conutor interno possui formato esférico, e raio a, e está carregao com uma carga total +Q. O seguno conutor, e raio interno 2a e raio externo 3a, está carregao com uma carga total Q. (a) (1,0 ponto) Determine o vetor campo elétrico em too o espaço e inique como as cargas elétricas estão istribuías em caa um os conutores. (b) (1,0 ponto) Determine o potencial elétrico em too o espaço. Assuma que o potencial é zero no infinito. (c) (0,5 ponto) Calcule a capacitância o capacitor. 1

2 Solução a questão 1 (a) As cargas elétricas estão concentraas na superfície o conutor, conforme a figura abaixo: Para r < a e 2a < r < 3a, o campo elétrico é zero, pois a região está no interior o conutor. O campo elétrico na região a < r < 2a poe ser obtio a partir a lei e Gauss: E A = Q ɛ 0 = 4πr 2 E = Q ɛ 0 = E = Q 4πɛ 0 r 2 r. Para r > 3a, o campo elétrico é zero, pois utilizano a lei e Gauss para uma superfície gaussiana e raio r > 3a, a carga interna total é zero. Portanto: 0 para r > 2a Q E = r para a < r < 2a 4πɛ 0 r2 0 para r < a (b) A partir o campo elétrico obtio no item anterior, o potencial elétrico é obtio por meio a equação B V B V A = E l e a continuiae o potencial. Assim, 0 para [ r 2a Q 1 V = 4πɛ 0 r 1 ] para 2a Q para r a 8πɛ 0 a A a r 2a (c) A iferença e potencial entre as placas o capacitor é V = Q/8πɛ 0 a. Logo, utilizano a relação C = Q/V, obtém-se C = 8πɛ 0 a. 2

3 Questão 2 Uma espira quaraa e lao 2b é percorria por uma corrente no sentio anti-horário. A corrente varia com o tempo e é aa por I(t) = Ct, one C > 0 é uma constante. (a) (1,5 ponto) Usano a lei e Biot-Savart calcule o vetor campo magnético prouzio pela espira quaraa na origem o sistema e coorenaas. (b) (1,0 ponto) Consiere um anel conutor e raio a << b centrao na origem. Calcule a corrente inuzia no anel pela espira quaraa e inique seu sentio. Consiere que o anel possui resistência R. Sugestão: Assuma que o campo magnético prouzio pela espira quaraa é uniforme próximo a origem o sistema e coorenaas. 3

4 Solução a questão 2 (a) O campo magnético na origem evio ao trecho inferior é calculao através e B = µ 0I(t) l r 4π r 3 = µ 0Ct 4π (x î) ( x î + b ĵ) = µ 0Ct (x 2 + b 2 ) 3/2 4π b x k (x 2 + b 2 ) 3/2 B = µ 0 b C t 4π b b x (x 2 + b 2 ) k = µ 0 b C t 3/2 4π x b 2 (x 2 + b 2 ) 1/2 b b = µ 0 C t 2π k 2 b Pela simetria, o campo magnético prouzio pelos quatro laos é obtio multiplicanose o campo magnético acima por 4, ou seja B = 2µ 0 C t π 2 b k (b) Primeiro eterminamos a força eletromotriz através a lei e Faraay a inução E = Φ m t = Bπa 2 = 2µ 0 C a 2 2 b one aotamos a normal na ireção k inuzia pelo percurso na ireção anti-horária. O sinal e menos mostra que a corrente, aa por I anel = E R = 2µ 0 C a 2 R 2 b, possui sentio horário (em concorância com a lei e Lenz). 4

5 Questão 3 Uma espira quaraa conutora e lao a e resistência R está orientaa paralelamente a um fio conutor infinito a uma istância. a a (a) (1,5 ponto) Calcule a inutância mútua o sistema. (b) (1,0 ponto) Se o fio infinito é percorrio e baixo para cima por uma corrente I = At, one t é o tempo e A é uma constante positiva, calcule a corrente inuzia i na espira quaraa. Determine e explique o sentio a corrente inuzia. 5

6 Solução a questão 3 (a) Vamos calcular o fluxo magnético que o fio prouz na espira quaraa. Para isto precisamos o campo magnético prouzio pelo fio quano ele é percorrio por uma corrente I. B O fluxo magnético na espira é r Φ m = S I B A = +a Por simetria B = B(r) θ. A lei e Ampère fornece B l = B l = B(r) l = B2πr = µ 0 I = B(r) = µ 0 I 2πr θ. ( ) µ0 I (ar) = µ 0Ia 2πr 2π ln ( a + ). A inutância mútua é M = Φ m I = µ ( ) 0a a + 2π ln. (b) A fem inuzia na espira é E = M I t = MA = µ 0aA 2π ln Portanto a corrente inuzia é em móulo, i = E R = MA R ( a + = µ ( 0aA a + 2πR ln O fluxo magnético na espira prouzio pela corrente no fio aumenta para entro a página. Conforme a lei e Lenz, a fem inuzia na espira procura compensar esse aumento prouzino um fluxo magnético para fora a página. Portanto, a corrente inuzia é no sentio anti-horário. ). ). 6

7 Questão 4 Consiere uma ona eletromagnética plana que se propaga no vácuo com campo elétrico ao por E(z, t) = E 0 cos(k z ω t) î. (a) (1,0 ponto) Escreva a expressão para campo magnético corresponente, justificano sua resposta. (b) (1,0 ponto) Calcule o vetor e Poynting S e a intensiae I a ona. (c) (0,5 ponto) Suponha que essa ona incie normalmente sobre um isco, e raio R, perfeitamente absorveor. Calcule a energia que atravessa o isco num intervalo e tempo igual ao períoo a ona. 7

8 Solução a questão 4 (a) A ona se propaga na ireção k, E B está na ireção e propagação a ona e E = c B. Portanto, B = 1 c k E = E 0 c cos(k z ω t) ĵ. (b) O vetor e Poynting é A intensiae a ona I = S S = 1 µ 0 E B = E 2 0 µ 0 c cos2 (k z ω t) k. I = S = E2 0 µ 0 c cos2 (k z ω t) = 1 2µ 0 c E2 0. (c) O vetor e Poynting fornece a energia por uniae e tempo por uniae e área transportaa pela ona, assim a energia U através o isco é U = IAT = ( ) ( ) 1 2π 2µ 0 c E2 0 (πr 2 ) = π2 R 2 E0 2 ω µ 0 c ω. 8

9 E = 1 q 4πɛ 0 r ˆr, 2 B V B V A = A Formulário E l, V = 1 q 4πɛ 0 r, E = V, C = Q/V, u e = ɛ 0E 2 2, B A = 0, F = I l B, B = µ 0I 4π x (x 2 + c 2 ) = x 3/2 c 2 (x 2 + c 2 ), E l = B A, 1/2 t Φ total = Nφ espira = LI, B l = µ 0 I+µ 0 ɛ 0 t B = µ 0 J + µ0 ɛ 0 E t, E A = q int ɛ 0, l ˆr r 2, E = Φ m t, Φ total 21 = N 2 φ espira = M 21 I 1, u m = B2, U = LI2 2µ 0 2, E A, I = 2 E = µ0 ɛ 0 2 E t 2, J A, E = ρ ɛ 0, B = 0, E = B t, 2 B = µ0 ɛ 0 2 B t 2, c = 1 µ0 ɛ 0, E = cb, E = E m cos(kx ± ωt + φ) ĵ, B = Bm cos(kx ± ωt + φ) k, k = 2π λ, ω = 2π T, k c = ω, f = 1/T, S 1 = E B, S = uc, u = ue + u m = ɛ 0 E 2 + B2, I =< S >, µ 0 2 2µ 0 < cos 2 (kx ωt+φ) >=< sen 2 (kx ωt+φ) >= 1/2, < cos(kx ωt+φ) sen(kx ωt+φ) >= 0. 9