APLICAÇÕES DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA NA CARTOGRAFIA E NA ASTRONOMIA

Transcrição

1 APLICAÇÕES DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA NA CARTOGRAFIA E NA ASTRONOMIA Aplica-se a trigonometria esférica na resolução e muitos problemas e cartografia, principalmente naqueles em que a forma a Terra é consieraa como seno esférica. Apesar a forma a Terra não ser esférica, em primeira aproximação poe-se consiera-la como tal. Em que pese os erros inerentes a esta abstração, principalmente o que concerne na substituição a superfície física por um moelo matemático, estes poem ser perfeitamente aceitáveis caso estejam entro e uma tolerância prescrita. As aplicações à astronomia serão vistas com mais ênfase ao longo e too o curso. 1 A Terra esférica Numa primeira aproximação, poe-se consierar a superfície a Terra substituía por uma superfície esférica, isto é, fazeno-a coinciir com uma esfera, cujo raio é aproximaamente 6372 km. Nesta aproximação faz-se também a Terra homogênea e com istribuição constante e massas, isto é, coloca-se a massa a Terra entro a esfera consierano-a com ensiae constante. Os principais elementos efiniores a posição e um objeto na superfície esférica a Terra esférica (figura 7.1) serão mostraos seguir. eixo e rotação Z vertical Greenwich A latitue Q O Q' A' meriiano o ponto A equaor longitue Figura 7.1 Terra esférica P s

2 a) Eixo e rotação O movimento e rotação a Terra, isto é, o movimento e revolução o planeta em torno e si mesmo, se processa em torno e um eixo e rotação, que poe ser efinio como o lugar geométrico os pontos cuja velociae tangencial e rotação é nula, ou o lugar os pontos que coinciem com o eixo principal e inércia o movimento. No caso a Terra esférica um iâmetro específico materializará este eixo. b) Pólos terrestres são pontos a superfície esférica a Terra esférica, iametralmente opostos, nela eterminaos pelo eixo e rotação. O polo norte, boreal ou ártico situa-se na região ártica a Terra, já o polo sul, austral ou antártico situa-se no continente Antártico. c) Equaor terrestre é a circunferência máxima cujo plano corta perpenicularmente o eixo e rotação a Terra. Divie a Terra esférica em ois hemisférios: hemisfério norte e hemisfério sul. ) Meriiano terrestre é o circunferência máxima cujo plano contém o eixo e rotação a Terra, geralmente aquele que contem os pólos e um ponto a superfície esférica é enominao e meriiano o lugar ou meriiano o observaor. e) Vertical o lugar é uma linha imaginária que materializa o vetor aceleração a graviae em um ponto a superfície esférica. O fio e prumo é o instrumento utilizao na materialização a vertical. No caso a Terra esférica e homogênea, a vertical o lugar coincie com o raio a superfície esférica que contém o ponto consierao. f) Meriiano e Greenwich é um meriiano particular a Terra, que passa pelo instrumento "círculo meriiano" o Observatório e Greenwich (histórico) situao na ciae e Lonres na Inglaterra. Por convenção foi aotao como meriiano origem para o posicionamento na Terra. g) Distância esférica entre ois pontos a Terra esférica é a menor istância meia sobre um arco e circunferência máxima que une estes pontos. h) Ortorômica é a istância esférica entre ois pontos a Terra esférica utilizaa na navegação, também enominaa e navegação ortorômica. i) Latitue astronômica e um ponto ( ) é o ângulo formao pela vertical o lugar e sua projeção sobre o plano o equaor terrestre, ou é o arco e meriiano contao ese o equaor até o ponto consierao. Por convenção varia e 0 o a +90 o no

3 hemisfério norte e e 0 o a -90 o no hemisfério sul. A latitue e um ponto o Centro Politécnico é : -25 o 26' 54,27" S. j) Longitue astronômica e um ponto ( ) é o ângulo iero formao entre o meriiano que passa por um ponto a terra esférica e o meriiano e Greenwich, ou é o arco e equaor contao ese o meriiano e Greenwich até o meriiano e um ponto consierao. Por convenção a longitue varia e 0 o a o no sentio leste e Greenwich e e 0 o a -180 o por oeste e Greenwich. Às vezes a longitue é expressa em horas, minutos e segunos. A longitue e um ponto o Centro Politécnico é -49 o 13' 51.52" W e Greenwich. k) Posição e um ponto na superfície a Terra esférica a posição e um ponto qualquer a superfície a Terra esférica fica univocamente efinio pela sua latitue e sua longitue com respectivos hemisférios e posição em relação a Greenwich. l) Meriiana ou linha norte-sul é uma linha reta, tangente ao meriiano e um ponto consierao, poe ser visualizaa em um plano tangente a superfície esférica. Na ireção o pólo norte projeta o ponto careal norte e na ireção o pólo sul o ponto careal sul (figura 7.2). linha norte-sul N A tr r W t E t P s meriiano e t ortorômica tr P s S Figura 7.2 Azimute a ortorômica tr m) Azimute esférico e uma ortorômica é o ângulo iero formao entre o meriiano e a ortorômica no ponto consierao contao a partir o ponto careal norte no sentio horário. O azimute varia e 0 o a 360 o, expresso em graus, minutos e segunos.

4 n) Dimensões a Terra esférica Supõe-se que o raio a Terra suposta esférica é a orem e 6372 km, poe-se a partir essa imensão calcular o comprimento o equaor ou e um meriiano: c = 2 R que resulta em: c = km como uma volta completa equivale a 360, poe-se então calcular o comprimento e um grau sexagesimal na Terra: 1 = 111 km e igual forma poe-se calcular o valor e um minuto sexagesimal na Terra 1' = 1852 m, que por efinição é uma milha náutica. Poe-se aina, calcular o valor e um seguno sexagesimal na Terra: 1" = 30m A milha náutica em muitos propósitos é subiviia em 2000 jaras. A longitue astronômica eve obrigatoriamente ser meia no equaor evio a convergência os meriianos, como exemplo, toma-se a istância meia no equaor entre ois meriianos, igual a 60 milhas náuticas (1 grau sexagesimal em longitue na Terra); se a istância for meia no paralelo 30 será e 52 milhas náuticas, no paralelo 60 e 30 milhas náuticas e zero milhas náuticas no polo P. 2 Cálculo a istância esférica entre ois pontos Seja na figura 7.3, os pontos t e r a Terra esférica, cuja istância esférica () everá ser eterminaa. O ponto t possuí latitue astronômica ( ), representaa pelo arco t't e longitue astronômica ( ) representaa pelo arco t'g', enquanto que o ponto r possuí latitue astronômica ( ') representaa pelo arco rr' e longitue astronômica ( ') representaa pelo arco r'g'. Na superfície esférica a Terra esférica, aparece o triângulo esférico rt, o qual poe-se obter os seguintes elementos:

5 t Greenwich 90 o - Q' Q t A 90 o - ' t' g' ' r r' ' = ' - r P s Figura Distância esférica a) lao t: este lao será o complemento a latitue astronômica e t, assim: t = 90 o - b) lao r: este lao será inicialmente fornecio pelo esenho como: r = 90 o + '; como convencionalmente a latitue e um ponto no hemisfério sul é negativa essa expressão poe ser rescrita levano em conta esta convenção: r = 90 o - ' c) ângulo no : o ângulo o triângulo esférico por efinição é o ângulo iero formao pelos planos os círculos máximos que contém os seus laos, neste caso o ângulo formao no pólo norte será obtio pela iferença e longitue entre os pontos aos: = ' - está expressão já leva em conta o sinal convencional a longitue astronômica. Portanto, são aos três elementos (ois laos e um ângulo) o triângulo esférico tr e eseja-se obter um quarto (o lao tr) que é a istância esférica () objeto o nosso problema; poe-se então, aplicar a lei os cossenos (aplicaa a laos) na solução o problema. A fórmula geral a lei os cossenos é aa pela expressão: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A substituino-se pelos laos expressos no triângulo esférico tr obtém-se: cos = cos(90 o - ) cos(90 o - ') + sen(90 o - ) sen(90 o - ') cos

6 que poe ser simplificaa: cos = sen sen ' + cos cos ' cos (7.1.a) que é a expressão utilizaa no cálculo a istância esférica entre ois pontos a Terra esférica. O resultao fornecio por está expressão será em uniaes angulares, porém muitas vezes nos interessa o valor a istância expresso em uniaes e meia linear (uniae o raio a superfície esférica), que poe ser obtio pela expressão: D = R x ' (7.1.b) one ' é a istância esférica expressa em raianos. Exemplo: Calcular a istância esférica e o azimute esférico inicial entre ois marcos geoésicos situaos nas ciaes e Curitiba e e Calcutá, supono a Terra com raio igual a 6372 km. As coorenaas os pontos são: local latitue Longitue Curitiba = 25 o 26' 52" S = 49 o 13' 50" W Calcutá ' = 22 o 33' 25" N '= 88 o 20' 12" E Poe-se visualizar o problema na figura 7.4 a seguir. G 90 o - ' 90 o - Ca Q' Ct A Q Ct A Ca P s Figura 7.4 Distância Curitiba (Ct) - Calcutá (Ca) a) Cálculo a istância esférica Curitiba- Calcutá Calculano inicialmente o valor e :

7 ou, finalmente: = ' - = 88 o 20' 12" - (-49 o 13' 50"), = 137 o 34' 02" Utilizano-se a expressão euzia anteriormente (7.1.a): cos = sen sen ' + cos cos ' cos substituino os valores numéricos: cos =sen(-25 o 26' 52")sen(22 o 33' 25")+cos(-25 o 26' 52")cos(22 o 33' 25")cos(137 o 34' 02") calculano, resulta em: cos = -0, e, portanto, encontra-se no 2 o ou no 3 o quarante. Como o triângulo esférico é euleriano escolhe-se a solução no 2 o quarante: e, [] = 38, o = 141 o 17' 18" É interessante também, o valor a istância expressa em quilômetros, obtia a 7.1.b: ou, D = R ' D = 6372 km x 2, ra D = Km b) Cálculo o azimute esférico inicial Curitiba-Calcutá. Na realiae o azimute esférico varia e ponto a ponto a ortorômica, por esse motivo esta se calculano somente o azimute inicial o trajeto. Aproveita-se o problema para euzir a expressão o azimute inicial. São conhecias as coorenaas latitues e longitues astronômicas os pontos, esejano-se o ângulo A o triângulo esférico. Como solução utiliza-se a fórmula as cotangentes:

8 sen b cotg a = sen C cotg A + cos b cos C que poe ser substituía pelos valores o triângulo esférico P s Ct Ca: ou, sen(90 o - )cotg (90 o - ')=sen cotg A + cos(90 o - ) cos cos tg ' = sen cotg A + sen cos aina, trabalhano algébricamente: sen tg A = cos tg ' - sen cos Aplicano os valores numéricos, obtém-se: tg A = 11, Nota-se que A poe pertencer ao 1 o ou ao 3 o quarante, seno que no caso em pauta, será aotao o 1 o quarante em função as proprieaes o triângulo esférico. Assim, ou, finalmente: [A] = 85, o A = 85 o 05' 32" 3 Introução a navegação entre ois pontos na Terra Esférica Por tratar-se e um assunto vasto e específico, tratar-se-á neste item somente a aplicação simples a trigonometria esférica em navegação. Uma forma econômica e navegar é viajar na ortorômica, pois é a menor istância entre ois pontos, no entanto, há uma pequena ificulae no que iz respeito a materializa-la na prática, pois isto só é possível ponto a ponto. Uma forma simples e navegar é através a loxorômica que poe ser efinia como uma linha imaginária e azimute constante. A loxorômica é uma linha espiralaa que passa pelos pólos a Terra, portanto iferente e uma ortorômica. Seu uso é isseminao pela faciliae o uso a bússola magnética ou a bússola giroscópica.

9 Uma maneira e unir a faciliae com a economia é efetuar-se uma navegação sobre uma ortorômica, previamente iviia em trechos e loxorômicas e comprimentos constantes, o que poe ser visualizao na figura 7.5. Ponto inicial a rota "Waypoint" N a ortorômica perna a rota loxorômica b Figura 7.5 Navegação ponto estino Os pontos e controle a rota enominaos e "waypoint", são comuns a loxorômica e a ortorômica. Um trecho e loxorômica é enominao e pernaa ou perna a rota, em navegação. Do ponto e vista a trigonometria esférica, poe-se mostrar o problema como uma subivisão e um triângulo esférico, como mostra-se na figura 7.6. ' 90 o - 90 o - ' 90 o - 90 o - 1 ' t A 1 A 2 A3 A 4 A 5 t 1 t2 t 3 t 4 t 5 r t A 1 t 1 Figura Navegação no triângulo esférico

10 Nesta figura a ortorômica tr foi iviia em 5 partes iguais e comprimento, e uma parte cujo comprimento é menor que, gerano portanto seis novos triângulos esféricos que permite o cálculo a latitue astronômica e a longitue astronômica os pontos t 1 a t 5 e os azimutes os trechos e loxorômica a navegar A 1 a A 6 (este último não representao na figura). 4 Exercícios propostos 1) Calcular a istância esférica entre os pontos cujas coorenaas são apresentaas abaixo: local latitue Longitue Curitiba = 25 o 26' 52" S = 49 o 13' 50" W Foz o Iguaçu ' = 25 o 32 45" S '= 54 o 35' 08" W Diviir esta ortorômica em trechos e 50 milhas naúticas, para consiera-las como loxorômicas, calcule os azimutes e a posição geográfica (latitue e longitue astronômicas) os "waypoints". 2) Calcular as istâncias esféricas entre toos os pontos listaos na tabela a seguir: local latitue Longitue Tóquio = 35 o 39' 19" N = 139 o 44' 29" E Greenwich = 51 o 28' 38" N = 00 o 00' 00" Wellingonton = 41 o 17' 04"S = 174 o 46' 04" E Rio Branco = 09 o 58' 21,5" S = 67 o 48' 40,4" W Vacaria = 28 o 30' 09,1" S = 50 o 56' 12,6" W Valparaiso = 33 o 01' 50" S = 71 o 38' 30" W Constantinopla ' = 41 o 00' 16" N '= 28 o 58' 14" E 3) Diviir a ortorômica que une Curitiba a Vaparaiso, em loxorômicas com 500 milhas naúticas e comprimento, calculao os elementos necessários à navegação.

11 4) Daos ois pontos a Terra esférica, situaos no mesmo paralelo (30 o S), com iferença e longitue entre eles e 45 o, calcular a istância esférica entre eles e a istância meia no paralelo, comparano-as. 5) Daos ois pontos a Terra esférica cujas coorenaas encontram-se abaixo: local latitue Longitue Ponto 1 = 35 o 19' 19" S = 119 o 33' 40" W Ponto 2 ' = 35 o 19' 19" N '= 54 o 22' 10" E pee-se a longitue o ponto e latitue nula pertencente ao arco e circunferência máxima que os liga. [Gemael, 1981] 6) Um avião partiu o aeroporto e coorenaas = 25 o 19' S e = 49 o 13' W viajano sobre seu meriiano na ireção norte. Outro avião partiu e outro aeroporto com coorenaas ' = 41 o 17' S e '= 174 o 46' E com azimute esférico 300 o (contao o norte no sentio horário). Calcular as coorenaas astronômicas (latitue e longitue) o ponto e interseção e suas rotas. 7) Quanto tempo leva um veículo espacial para viajar numa ortorômica entre as estrelas Spica ( = 13h 25min 06s e = -11 o 06' 29") e Canopus ( = 06h 21min 55s e = -52 o 40' 57"), supono-se a istância méia estas estrelas a Terra é a orem e 10 anos-luz, e a velociae o veículo seja e 30 km/s.