Escola Politécnica FGE GABARITO DA PR 27 de julho de 2007

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1 PR Física III Escola Politécnica FGE GABARITO DA PR 27 e julho e 2007 Questão 1 Uma casca esférica isolante e raio interno a e raio externo tem uma ensiae volumétrica e carga igual a ρ, conforme mostra a figura. a ρ (a) (1,5 ponto) Usano a lei e Gauss, calcule o vetor campo elétrico E em too o espaço. () (1,0 ponto) A partir o campo elétrico calculao no item (a), calcule o potencial V em too o espaço. Coloque V = 0 no infinito. 1

2 Solução a questão 1 (a) r a S Região 1 (0 < r < a) Por simetria, E1 = 0. Para r > a, usano a lei e Gauss S E A = q in ɛ 0, e superfícies gaussianas concêntricas com a casca esférica, otemos Região 2 (a < r < ) 4πr 2 E 2 = 1 4π(r 3 a 3 ) ρ E ɛ (r) = Região 3 (r > ) 4πr 2 E 3 = 1 4π( 3 a 3 ) ρ E ɛ (r) = ρ 3ɛ 0 ρ ) (r a3 ˆr 3ɛ 0 r 2 ( ) 3 a 3 ˆr r 2 () O potencial é ao por B V (B) V (A) = A E l, com V 3 ( ) 0. Devio à continuiae e V, V 3 () = V 2 () e V 2 (a) = V 1 (a) r ρ 3 a 3 Região 3 (r > ) V 3 (r) V 3 ( ) = r = ρ 3 a 3 r 3ɛ 0 r 2 3ɛ 0 r Região 2 (a < r < ) Região 1 (0 < r < a) = V 3 (r) = ρ 3 a 3 3ɛ 0 r r ) ρ V 2 (r) V 2 () = (r a3 r = ρr2 r 3ɛ 0 r 2 6ɛ 0 ρa3 1 3ɛ 0 r = V 2 (r) = ρr2 6ɛ 0 ρa3 3ɛ 0 r + ρ2 2ɛ 0 O potencial é constante r V 1 (r) = V 2 (a) = ρ(2 a 2 ) 2ɛ 0 2

3 Questão 2 Um capacitor plano é constituio por uas placas planas paralelas e área A, com cargas +Q e Q, separaas por uma istância. O espaço entre as placas está preenchio com um material ielétrico e constante ielétrica κ e por uma chapa metálica e espessura /3 e área A, conforme a figura aaixo. Q +Q ieletrico metal ieletrico /3 /3 /3 (a) (1,0 ponto) Calcule o móulo o campo elétrico em too o espaço. () (1,0 ponto) Qual é a capacitância C o sistema? (c) (0,5 ponto) Qual é a ensiae superficial e carga na placa metálica? Justifique sua resposta. Solução a questão 2 (a) O campo elétrico é zero fora o capacitor e entro a chapa metálica. No interior o ielétrico E = E 0 κ = Q κaɛ 0 () A capacitância o sistema é aa por C = Q/V. capacitor é V = E E 3 = 2Q = C = 3κɛ 0A 3κAɛ 0 2 A p V entre as placas o (c) Para que o campo entro a chapa metálica seja zero é necessário cancelar o campo prouzio pelas placas o capacitor. Assim, a ensiae superficial e carga é igual a +Q/A na parte e cima a chapa e Q/A na parte eaixo a placa. 3

4 Questão 3 Consiere uma oina toroial e secção quaraa e laos a e raio interno R. A oina tem N voltas e fio. (a) (1,5 pontos) Calcule exatamente a auto-inutância L a oina toroial levano-se em conta a variação o campo magnético com a istância ao eixo e simetria. Dao: O móulo o campo magnético no interior a oina toroial é B = Nµ 0 I/r, one I é a corrente na oina e r é a istância ao eixo. () (0,5 pontos) Se a corrente no inutor varia com o tempo seguno I(t) = at 2 t, one a, > 0 são constantes, etermine o instante t em que a força contra-eletromotriz se anula. (c) (0,5 pontos) Se a oina toroial é preenchia com um material e permeailiae magnética µ = 1500µ 0, calcule a nova auto-inutância L. 4

5 Solução a questão 3 (a) O fluxo o campo magnético através a oina toroial é R+a ( ) Nµ0 I Φ = N B A = N (ar) = N ( ) 2 µ 0 Ia R + a ln. r R Portanto a auto-inutância é S r=r L = Φ I = N 2 µ 0 a ( R + a ln R () A força contra-eletromotriz inuzia na oina é E = L I t = L(2at ). ). Portanto a força contra-eletromotriz se anula no instante t = 2a. (c) O campo magnético no interior a oina toroial aumenta e um fator µ/µ 0 = 1500, o mesmo aconteceno com o fluxo magnético. Portanto L = 1500L. 5

6 Questão 4 Uma espira quaraa conutora e lao a e resistência R está orientaa paralelamente a um fio conutor como mostra a figura. y a I z x (a) (0,5 ponto) Use a lei e Ampère para calcular o vetor campo magnético prouzio pelo fio no plano a espira. () (1,0 ponto) Calcule a mútua inutância o sistema. (c) (0,5 ponto) Supono que a espira é puxaa para a ireita com velociae v constante, qual é o móulo e o sentio a corrente inuzia? 6

7 Solução a questão 4 (a) I r A lei e Ampère fornece B l = µ 0 I Br = µ 0 I B = µ 0I r φ B B = µ 0I r k, no plano xy. () O fluxo o campo magnético o fio na espira é Φ m = B A = a+ µ 0 I x ax = µ 0Ia log x a+ = µ 0Ia log ( a + ). Portanto, a mútua inutância M = Φ m I = µ 0a log ( ) a + (c) Para compensar o aumento o fluxo e B = B(x)ˆk, que aumenta com x, a corrente inuzia I in eve prouzir um campo magnético na ireção ˆk. Para isto I in eve fluir no sentio horário. I in = E R = 1 Φ m R t, com Φ m = µ ( ) 0Ia a + x(t) log x(t) = I in = µ ( ) 0Ia v R x(t) v a + x(t) e x(t) = + vt. 7