Eletromagnetismo I. Prof. Ricardo Galvão - 2 Semestre Preparo: Diego Oliveira. Aula 24. A Lei da Indução de Faraday

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1 Eletromagnetismo I Prof. Ricaro Galvão - 2 emestre 2015 Preparo: Diego Oliveira Aula 24 A Lei a Inução e Faraay Na aula passaa iscutimos a força eletromotriz ε = E l em um circuito e mostramos que se o circuito se move através e um campo magnético, surge uma força eletromotriz evio à força magnética f + q v B sobre as cargas. Hoje vamos iscutir em maior etalhe a questão a força eletromotriz em circuitos em movimento, a partir a Lei e Faraay. ε = E φ m φ m = B ˆn Quano queremos escrever esta lei na forma iferencial, utilizamos primeiro o Teorema e tokes, para escrever ε = E l = E) ˆn = ( B ˆn Agora, há uma passagem sutil, mas muito importante, para a qual às vezes não amos a evia importância: se o circuito, e a superfície estiverem fixas, a variação o fluxo magnético com o tempo só poe ser evio à variação o campo magnético com o tempo, e forma que poemos passar a erivaa temporal para entro a integral, ( E) ˆn = ˆn e, como a superfície é arbitrária E = B [ E B ] ˆn = 0 1

2 É importante então ter presente que, escrita nessa forma iferencial, a Lei e Faraay relaciona os campos E e B meios em um mesmo referencial. Da mesma forma, na expressão a Força e Lorentz, F = q( E + v B) a velociae v é a velociae a carga meia no mesmo referencial em que os campos E e B são meios. ircuito em Movimento uponhamos agora que tenhamos um circuito se moveno em relação ao campo magnético, ou seja, o campo magnético e sua variação temporal são meios no referencial o laboratório e queremos eterminar a força eletromotriz em um circuíto se moveno no laboratório. Isto é inicao na figura; toos os pontos o circuito se eslocam com uma velociae u em relação ao campo magnético B( r, t), meio no laboratório. omo expressar a Lei e Faraay neste caso? Primeiramente, temos que entener o significao a força eletromotriz para um circuíto em movimento, A força eletromotriz é a integral no circuito completo o campo elétrico que coloca as cargas em movimento, no referencial o circuito. Portanto, é melhor escrever ε = E l one E é o campo elétrico meio no referencial o circuito. Assim, se o circuíto estiver se eslocano em um campo magnético, E e B não estão seno meios em um mesmo referencial. Neste caso, escrevemos a Lei e Faraay como ε = E B ˆn e neste caso o fluxo magnético através o circuito varia tanto evio a uma variação explícita em B com o tempo como evio ao movimento e com relação B. Vamos então calcular a erivaa temporal o fluxo usano a sua efinição φ m [ ] 1 = lim B( r, t + t) B(t) t 0 t 2 1 2

3 omo se move no campo B, para calcular a variação e fluxo evio a varrer iferentes valores o campo magnético, temos que levar em conta uma importante proprieae este, B = 0 ( B)τ = B ˆn = 0 Vamos aplicar este teorema ao volume formao por 1, 2 e a superfície lateral varria por, em seu eslocamento e t t + t, lembrano, no entanto, que a Lei e Gauss para B se aplica num instante fixo B ˆn = B(t) 2 B(t) 1 B(t)( u T l) = one B(t) significa o campo meio no instante t. A última integral foi escrita notano que u t l á o móulo o elemento e superfície na superfície lateral. Por outro lao seu sentio é para entro a superfície enquanto que, no Teorema e Gauss, a normal à superfície tem que apontar para fora a superfície. Finalmente, para integrar sobre toa a superfície lateral temos que integrar sobre o perímetro e sua base obteno a última integral na expressão acima. Então B(t) 2 B(t) 1 = 2 1 B(t) ( u t l) Mas, para calcular a variação o fluxo magnético, temos que consierar B poe também estar variano explicitamente com o tempo, ou seja, B(t + t) B(t) + B(t) t +... Então a expressão para a erivaa temporal o fluxo magnético fica φ m [ ] 1 = lim B(t) 2 + t t 0 t B(t) 1 1 mas B(t) 2 B(t) 1 = t 2 1 B ( u l) = t ( B u) l então φ m = ( u B) l 3

4 e ε = E B + ( u B) l Que é a Lei e Faraay na forma integral para circuitos se moveno em um campo magnético. Naturalmente, poemos sempre utilizar a Leie Faraay na sua forma original E φ m se calcularmos eviamente toas as variações o fluxo, Mas isto nem sempre é eviente e, nesses casos, a outra formula, aplicaa corretamente, evita contraições. Vamos agora ver alguns exemplos. Ex.1: Um circuito retangular e uas partes e área A esta imerso em um campo magnético constante B, perpenicular a seu plano. Inicialmente a chave está fechaa, curtocircuitano o meior V. Quano a chave for aberta, qual será o valor a força eletromotriz meia por V? Resposta usual: ε = φ m t = 0 : t = t : φ m = B A φ m = 2B A one t é o tempo e abertura a chave. ε = 2B A B A t = B A t Mas acontece que esta resposta está erraa, porque só se trocou um circuito pelo outro sem que houvesse aumento ou iminuição e fluxo através eles. Resposta orreta: B ε = + ( u B) l; = 0; u = 0 ε = 0! 4

5 Ex.2: Uma barra conutora se esloca paralelamente a um fio infinto, ao qual é perpenicular. A barra tem comprimento l e sua extremiae mais próxima o fio está a uma istância ele seno a corrente no fio I e a velociae a barra u. alcule i) a força eletromotriz esenvolvia nas extremiaes a barra. ii) a força necessária para mantê-la com velociae constante i) A barra se esloca no campo magnético o fio, ao por B = µ 0I 2πR êθ em torno o fio. Poemos calcular a força eletromotriz inuzia utilizano a expressão e variação total o fluxo magnético, ou a expressão explícita que erivamos. Vamos começar pela última Neste caso: ε = E B + ( v B) l = 0; B = µ 0 I /2πr ê θ ; v = uê z ; e l = r ê r ε = E l = +l u µ 0I 2πr ( ê r ) r ê r ε = µ 0Iu 2π +l r r ε = µ 0Iu 2π ln + l l. O sinal negativo e ε inica a corrente elétrica apontará no sentio oposto que escolhemos para Vamos agora erivar o mesmo resultao usano a variação e fluxo. Neste caso a barra não forma um circuito fechao. Mas a Lei e Faraay se aplica a qualquer contorno fechao, tenha ele um conutor ou não! Então vamos consierar como o contorno o retângulo varrio pela barra ese o ponto z = 0, e one ele partiu. O fluxo magnético é ao por φ m = µ0 I B = 2πr êθ( ê θ )(ut)r 5

6 one consieramos = zr ( ê θ ) pela convenção a regra a mão ireita, tomano em conta o sentio que aotamos para l. Então φ m = µ 0Iu 2π +l r r = µ 0Iu 2pi ln + l e ε = µ 0Iu 2pi ln + l O sinal e ε eu oposto o anterior porque l foi agora aotao no sentio posto, sobre a barra. ii) omo a barra não esta ligaa a um conutor, não circulará corrente e, portanto, i = 0 f m = i l B = 0 A força eletromotriz aparecerá como uma tensão nos terminais a barra. Ex.3: Uma barra e comprimento l gira em um campo magnético uniforme B = Bê z com velociae angular constante ω. Qual é o valor a força eletromotriz inuzia entre suas extremiaes? a) Vamos primeiro calcular ε utilizano a forma que separa explicitamente a força eletromotriz o movimento ε = ˆn + ( u B) l, l = r ê r = 0; u = r ωê θ ( u B) l = ωbrr ε = ωb l 0 rr ɛ = 1 2 Bl2 ω b) Para utilizar a forma envolveno a variação total o fluxo, ε = B ˆn. temos que efinir uma área. onsieramos a área o setor circular OAB, supono que a barra passe pelo eixo θ em t = 0. Para o sentio que escolhemos para l, utilizano a regra a mão ireita temos que ˆn = ê z. Então B ˆn = B θ l 0 0 ê z ( ê θ )rrθ = 1 2 Bl2 θ 6

7 Então: ε = φ m o mesmo resultao, naturalmente. = 1 θ Bl2 2 ε = 1 2 Bl2 ω Relação entre o campo elétrico em um referencial em movimento e o campo elétrico no laboratório (one B é meio) Vimos na aula passaa que a força eletromotriz em um circuito se moveno em relação a um campo magnético poe ser calculaa como ε = E B ˆn ou ε = E B ˆn + ( v B) l Na primeira equação a erivaa total temporal o fluxo tem que ser calculaa, ou seja, a erivaa evio à variação explícita e B com o tempo e a erivaa evio ao movimento o circuito com relação à B. Naturalmente esta seguna erivaa só é nula se B variar também espacialmente. omo inica a figura, mesmo se B não variar com o tempo, ao se eslocar o circuito entra em região e maior intensiae o campo, aumentano o fluxo através e sua área. Já, na seguna equação, estas uas fontes e variação e fluxo estão explicitamente separaas. A primeira integral só é não nula se B varia explicitamente com o tempo. A seguna integral é evia à variação e fluxo varria pelo circuito se moveno com velociae v. Nestas expressões o campo elétrico E é meio no referencial o circuito. e o circuito estiver imóvel no referencial o laboratório (one B é meio), então E = E; v = 0, e forma que ε = E B ˆn ( E) ˆn = ˆn 7

8 one como já vimos. ou E = B Por outro lao, se o circuito estiver se eslocano com velociae v, temos E ˆn + ( v B) l [ E v B ] B n Aplicano novamente o Teorema e tokes, obtemos [ ( E v B) ] ˆn = ˆn ( E v B) = B Mas / é igual ao campo elétrico meio no laboratório; portanto E = E v B E = E + v B Esta relação poe ser também obtia comparano a força que ois observaores istintos um (A) no referencial o laboratório e outro (B) no referencial o circuito meem sobre um carga fluino no circuito. onsieremos a situação mostraa na figura a seguir. Os campos E( r, t) e B( r, t) são meios no referencial o laboratório. Para o observaor (A), neste referencial, a relação entre E e B é aa pela terceira Equação e Maxwell E = B O observaor (B), por outro lao, mee um força f em seu referencial, que faz as cargas fluírem pelo circuito. Mas como para ele o circuito está parao, a força, magnética q v B é nula, 8

9 e forma que só poe ser evia a um campo elétrico, f = q E Esta mesma força, meia no laboratório, será f = q( E + v B). omo as forças tem que ser iguais, já que um referencial inercial não poe ser istinguio e outros, temos E = E + v B Nota: Existe uma questão sutil sobre a força eletromotriz o movimento. onsieremos uma situação em que / = 0, e forma que ε = ( v B) l omo a força eletromotriz é o trabalho realizao para transportar um carga em too o circuíto, a integral correspone ao trabalho realizao por uniae e carga. Mas sabemos que o campo magnético não realiza trabalho sobre uma carga em órbita no campo; então esta integral não terá que ser sempre nula? Para responer esta pergunta, recoremos como emonstramos que a energia cinética e uma carga em um campo magnético se conserva. Partimos a equação e movimento e multiplicamos escalarmente por B: m v = q v B m v v = q v ( v B) ( mv 2 2 ) = 0 Portanto a entrega cinética se conserva ao longo a órbita a carga. Mas um circuito qualquer não segue necessariamente a órbita a carga no campo magnético, como inicao na figura! e seguisse a órbita teríamos l = v e forma que ( v B) l = 0 Mas para uma órbita qualquer l v e o 9

10 trabalho realizao pela força magnética ao longo o circuíto poe ser não nulo. Ex.1: Uma espira e laos a e b e resistência R está encostaa em um longo fio vertical, conforme mostra a figura. No instante t = 0 a corrente no fio é ligaa e aumenta linearmente com o tempo, seguno a expressão I = I 0 T t one I 0 e T são constantes. No mesmo instante a espira começa a se afastar o fio com velociae constante v = vê r alcule a corrente é inuzia na espira em função o tempo. olução: ampo evio à corrente no fio ε = E B ˆn + ( v B) l B l = µ 0 I B = µ 0I t 2πr T êθ B = µ 0I 0 2πr ˆr θ (veja, nessa erivaa parcial r = cte!!!) B r +a ˆn = µ 0 I 0 r 2πT êθ ( ê θ br ) B ˆn = µ 0I 0 b ( r + a ) 2πT ln r 10

11 A força eletromotriz o movimento será ( v B). l = [ ( )] µ0 I vê r 0 vt 2πr T êθ l = µ 0I 0 vt 2πr T b [ 1 r +a 1 ] µ r = 0 I 0 vt 2πT a r (r +a) Então a força eletromotriz total sera = µ 0I 0 b 2πT ε = µ 0I 0 b 2πT [ ln ( r + a r ) a a+r a r + a ] e i (t) = µ [ ( 0I 0 b a + vt ln 2πT R vt a a + vt )] Esta corrente iverge em t = 0; mas isto é evio somente a termos suposto o fio e imensão nula. e consierarmos que, no instante t = 0, r = δ, one δ é o raio o fio, esta ivergência esaparece; mas e qualquer forma a corrente será muito alta no início. Por outro lao, quano t temos r ln ( ( ) ) r +a a = ln 1 + a r a r 1 a a + vt a r O gráfico ao lao mostra a variação e i (t). i (t) 0 Desafio: Obter o mesmo resultao a partir e ε = φ m /! 11