y f(x₁) Δy = f(x₁) - f(x₀) Δx =X₁-X₀ f(x₀) f(x0 + h) - f(x0) h f(x + h) - f(x) h f'(x) = lim 1 DEFINIÇÃO DE DERIVADAS 2 DIFERENCIABILIDADE h 0

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2 DEFINIÇÃO DE Graficamente, poemos efinir a erivaa e um ponto como a inclinação a reta tangente = f() ou a taa e variação instantânea e em relação a. Suponha que temos uma função f() e queremos saber a taa e variação a nossa função em um ponto inicial 0, associao a 0= f(0), em relação a um ponto mais para frente,, com = f(). Vamos ligar os ois pontos por uma reta que cruza a função, chamaa e reta secante. Poemos eterminar a variação entre esses ois pontos meino a variação Δ=f() - f(0) e a variação Δ=-0= h, seno a taa e variação o coeficiente angular a reta a, calculao através e a=δ/δ. f(₁) f(₀) secante Δ = f(₁) - f(₀) Δ =X₁-X₀ X₀ X₁ Se quisermos uma taa instantânea e variação, precisamos aproimar ao máimo os pontos 0 e, como se caminhasse em ireção a 0, com uma variação mínima e Δ e Δ. Ou seja, queremos uma istância esprezível entre 0 e, fazeno h tener a zero. Assim, obtemos uma uma reta tangente ao ponto 0 e, utilizano limites, efinimos: tangente X₀ f'(0) = lim h 0 f(0 + h) - f(0) h 2 DIFERENCIABILIDADE Para que a função f() seja iferenciável, isto é, erivável, em Xo everá eistir o limite: f'() = lim h 0 f( + h) - f() h LEMBRETE! Não esqueça que os limites laterais também evem eistir e evem ser iguais! Poemos ter casos em que a função f() é contínua em 0, porém não é erivável em 0. Os ois casos mais comuns que temos são apresentaos abaio.

3 PONTO DE BICO: tangente X₀ lim f() lim f() 0+ 0 PONTO DE TANGÊNCIA VERTICAL: X₀ lim f() = TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO Para o nosso estuo ficar mais fácil, temos uma tabela resumo com as erivaas mais importantes! ln a 2. - ² - ² + ² + ² ²- ²-

4 4 REGRAS DE DERIVAÇÃO Poemos fazer o cálculo e erivaas pela efinição e erivaa (vimos lá em cima), ou usano regrinhas que facilitam muito mais a nossa via! Então vamos lá ar uma olhaa nas proprieaes e regras básicas e erivação! SOMAS E SUBTRAÇÕES REGRA DO PRODUTO [f() ± g()] = [f()] ± [g()] [f()g()] = f() [g()] + g() [f()] REGRA DO QUOCIENTE f() g() [ ] = g() [f()] - f() [g()] [g()]² REGRA DA CADEIA Usamos essa regra quano queremos erivar uma função composta por uas funções. [f(g())] = f'(g())g'() Eemplo: Derive a seguinte função: Temos h() = sen (² + 2) f = sen f' = cos g = ² + 2 g'= Substituino na equação: h'()=f'(g()). g'()=cos (²+2). 2 Outra maneira e fazermos a regra a caeia é a seguinte:. Ientifique quantas funções eistem na composição. 2. Derive e fora para entro. Eemplo: Derive a seguinte função: h()=sen (²+2) Nossa função e fora é sen e a e entro é ²+2. Primeiro, vamos erivar sen e então multiplicar pela erivaa e ²+2: h'() = cos (² + 2).2 E assim já chegamos rapiinho na resposta!

5 5 DERIVADA IMPLÍCITA Usamos a erivação implícita quano não conseguimos isolar as variáveis a função. [f(u)] = f'(u) O que vamos fazer aqui é fiar embaio uma as variáveis que queremos encontrar () e em cima eiaremos a variável que está seno erivaa (u). Nós vamos erivar as funções em relação às variáveis e epois isolar u/, para obtermos a erivaa. Eemplo: u Calcule /: ² + ³ =cos + ln Vamos calcular as erivaas os ois laos a equação: ². = -sen. +. Iremos eiar toas variáveis que multiplicam / e um mesmo lao a equação (lembre-se /=): 3². -. = - sen -2 (3² - ) = - sen - 2 Agora vamos isolar / para obtermos a resposta final: - (sen + 2). = 3³- 6 TAXAS RELACIONADAS Sabe quano temos muitas coisas variano e epeneno umas as outras. Parece um caos né? Bom, chamamos e Taas Relacionaas quano temos quantiaes que estão variano em relação a outras, as quais nós conhecemos as taas e variação. E, geralmente, temos uas ou mais granezas variáveis relacionaas entre si por uma equação. Um eemplo clássico é o escoamento e um reservatório em formato e um cone invertio, como na figura abaio, one o volume, a altura e o raio epenem o tempo e poem ser relacionaas pela equação o volume e um cone. r h V = πr²h 3 Poemos resolver problemas com taas relacionaas seguino os seguintes passos:. Ientifique caa quantiae que varia com o tempo e outras que possam ser relevantes para a resolução o problema.

6 2. Inique as taas e variação que são conhecias e a taa e variação que eve ser encontraa. Analise caa taa como uma erivaa. 3. Encontre uma relação entre essas variáveis e equacione-as. Geralmente usamos geometria para isso. 4. Derive, através a erivação implícita, ambos os laos a equação em relação ao tempo. Assim obtemos uma relação entre as taas conhecias e a taa esconhecia. 5. Substitua os valores conhecios as taas e as variáveis e resolva a equação encontraa para a taa e variação esconhecia. 7 DERIVADA PRIMEIRA E SEGUNDA Vamos usar um esqueminha para a interpretação gráfica as erivaas primeira e seguna! f() Acima o eio Abaio o eio Sobre o eio Raízes Fora o omínio f''() Crescente Decrescente Ponto crítico Máimos/mínimos Não iferenciável Bico/Ponto e tangência vertical f''() Concaviae positiva Concaviae negativa Suspeito e ser um ponto e infleão Suspeito e ser um ponto e infleão DERIVADA PRIMEIRA DERIVADA SEGUNDA FUNÇÃO GRÁFICO f''() > 0 concaviae f'() > 0 f''() = 0 crescente infleão f''() < 0 concaviae f''() > 0 concaviae f'() < 0 f''() = 0 ecrescente infleão f''() < 0 concaviae f''() > 0 mínimo f'() = 0 f''() = 0 infleão ou f''() < 0 máimo

7 Nota: f()= fora o omínio f'()= não iferenciável ou bico/ponto e tangência vertical f''()= suspeito e ser um ponto e infleão Obs.: O ponto e infleão ocorre quano a erivaa seguna mua e sinal! 8 ESBOÇO DE GRÁFICOS Acompanhe o passo a passo abaio para fazer o esboço e gráficos utilizano conceitos e limites e erivaas.. Encontrar pontos e interesse e f(), se possível, como o valor a função quano =0 e as raízes a função. Poem ser ifíceis e encontrar, mas vamos para o passo 2! 2. Encontrar as assíntotas horizontais. Lembrano que para achar as assíntotas horizontais, temos que: lim f() = K (constante) ± 3. Procurar as assíntotas verticais. Encontramos as nossas assíntotas verticais quano nossa função não eiste, como no caso e ivisão por zero ou raízes e números negativos. 4. Buscar pelos máimos e mínimos. Para isso, erivamos a f(), igualamos a zero, encontramos os pontos críticos e analisamos o sinal. 5. Analisar a concaviae. Para isto, erivamos uas vezes e encontramos a erivaa seguna f (), igualano-a a zero para obtermos os suspeitos e infleão e então analisamos o sinal. 6. Traçar o esboço. Para facilitar o trabalho, esenhamos, abaio o eio, uas linhas, uma para f (O e outra para f (), colocano, respectivamente, os pontos críticos e pontos e infleão, juntamente com as análises e sinais. Vamos ar uma olhaa no esenho abaio! PC PI PC f () 9 TEOREMA DO VALOR MÉDIO O teorema iz que, entre ois pontos [a,b] e uma função iferenciável f, há um ponto c no qual a erivaa f (c) é a inclinação a reta tangente paralela à reta secante que passa pelos ponto [a,b]. f'(b) - f(a) f'(c) = b - a a b c

8 0 REGRA DE L HÔPITAL Aplicamos a regra e L Hôpital quano o lim f() a g() 0 ou ±. A efinição a regra é a seguinte: 0 lim f() = a g() resultar em uma ineterminação o tipo lim f'() g'() a Ela nos iz que o limite e funções racionais é igual ao limite a erivaa o numeraor sobre a erivaa o enominaor com a. Ou seja, temos que erivar a função o numeraor f() e a função o enominaor g() e tentar encontrar o limite. Caso aina resulte em uma ineterminação, evemos continuar erivano. Eemplo: lim 2 ²-4 ²+2-8 =? 0 Note que temos uma ineterminação o tipo, então vamos usar a regra e L Hôpital para 0 resolver esse limite: lim ²-4 2 ² = = = lim

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