Acadêmico(a) Turma: Capítulo 4: Derivada. A derivada por ser entendida como taxa de variação instantânea de uma função e expressa como:

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1 1 Acaêmico(a) Turma: Capítulo 4: Derivaa 4.1 Definição A erivaa por ser entenia como taxa e variação instantânea e uma função e expressa como: f (x) = y = y x Eq. 1 Assim f (x) é chamao e erivaa a função f. Uma função f é erivável ou iferenciável em a, se f (x) existir. Se f for iferenciável em a, então f é contínua em a. Outra notação para erivaa e uma função f, é aa por: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Consierano y = f(x), se x variar e um valor x0 até um valor x1, representa-se essa variação e x por Δx = x1 x0, e a variação e y é aa por Δy = f(x1) f(x0), representao pela figura a seguir: Figura 1: Variação e y em função e x.

2 2 O quociente as iferenças ao por y = f(x 1) f(x 0 ) x x 1 x 0, é a taxa e variação méia e y em relação a x, no intervalo [x 0, x 1 ]. O limite essas taxas méias e variação, quano x 0 é chamao e taxa e variação instantânea e y em relação a x, em x = x0. Logo: Taxa e variação instantânea = f(x 1 ) f(x 0 ) f(x 0 + x) f(x 0 ) lim = lim x 1 x 0 x 1 x 0 0 x Portanto a taxa e variação instantânea e uma função em um ponto é aa pela sua erivaa neste ponto 4.2 Regras e erivação Derivação e uma função constante: Exemplo utilizano a efinição e erivaa: x (c) = 0 Eq. 2 a) Daa uma função: f(x) = c Logo: b) x (4) = 0 f f(x + h) f(x) c c (x) = lim = lim h 0 h h 0 h = lim 0 = 0 h Funções Potências Para n = 1 Para n = 2 Para n = -1 x (xn ) = n x n 1 Eq. 3 x (x) = 1 x1 1 = 1 x (x2 ) = 2 x 2 1 = 2x x (1 x ) = x (x 1 ) = 2 ( 1) x 1 1 = 1 x 2

3 3 c) Multiplicação por uma constante: Se c for uma constante e f, uma função erivável, então: [c f(x)] = c f(x) Eq. 4 x x a) x (3x4 ) = 3 x (x4 ) = 3 (4x 3 ) = 12x 3 b) ( x) = ( 1) (x) = ( 1) 1 = 1 x x ) Regra a Soma ou subtração Se f(x) e g(x) forem ambas eriváveis, logo: [g(x) ± f(x)] = g(x) ± f(x) Eq. 5 x x x a) x (x7 + 4x 2 3x) = x (x7 ) + 4 x (x2 ) 3 x (x) = 7x6 + 8x 3 b) x (2x3 4) = 2 x (x3 ) (4) = 6x3 x e) Funções Exponenciais A erivaa a função exponencial é a função exponencial vezes o prouto o ln a base, ou seja: x (ax ) = a x ln a Eq. 6 a) x (2x ) = 2 x ln 2 A erivaa a função exponencial natural é a própria função exponencial natural, ou seja: f) função logarítmica x (ex ) = e x Eq. 7 A erivaa a função logarítmica é um iviio pelo logaritmano vezes o logaritmo natural a base, ou seja:

4 4 (log x a x) = 1 x ln a Eq. 8 y = a) y = log(2x + 1) 1 (2x + 1) log 10 x (2x + 1) = 1 (2x + 1) log 10 2 Partino a Eq. 8, consierano a = e, tem-se que: ln a ln e = 1 Logo, obtém-se a formula para a erivaa a função logarítma natural: 4.3 Regra o Prouto a) y = ln(3x) x (ln x) = 1 x Eq. 9 y = 1 3x x (3x) = 3 3x = 1 x A regra o prouto iz que a erivaa e um prouto e uas funções é a primeira função vezes a erivaa a seguna função mais a seguna função vezes a erivaa a primeira função, ou seja: [f(x) g(x)] = f(x) [g(x)] + g(x) [f(x)] Eq. 10 x x x a) Seja a função f(x) = xe x, calcule f (x). f (x) = x (xex ) = x x (ex ) + e x x (x) = xex + e x 1 = (x + 1) e x b) Calcule a seguna erivaa.

5 5 f (x) = x [(x + 1) ex ] = (x + 1) x (ex ) + e x x (x + 1) = (x + 1) ex + e x Regra o Quociente f (x) = (x + 2) e x A Regra o Quociente iz que a erivaa e um quociente é o enominaor vezes a erivaa o numeraor menos o numeraor vezes a erivaa o enominaor, toos iviios pelo quarao o enominaor, logo: x [f(x) ] = g(x) g(x) a) y = x2 +x 2 x 3 +6 x [f(x)] f(x) x [g(x)] [g(x)] 2 Eq Regra a Caeia (x 3 + 6) y = x (x2 + x 2) (x 2 + x 2) x (x3 + 6) (x 3 + 6) 2 = (x3 + 6) (2x + 1) (x 2 + x 2) (3x 2 ) (x 3 + 6) 2 = (2x4 + x x + 6) (3x 4 + 3x 3 6x 2 ) (x 3 + 6) 2 = x4 2x 4 + 6x x + 6 (x 3 + 6) 2 Se g for erivável em x e f for erivável em g(x) então a função composto F=f º g efinia por F(x)=f(g(x)) é erivável em x e F é ao pelo prouto: F (x) = f (g(x)) g (x) Eq. 12 Consierano y = f(x) e u = g(x) funções eriváveis, então: y = y u x y x Eq. 13

6 6 a) Solução 1- F(x) = x logo F (x) = f (g(x)) g (x), one f(u) = u e g(x) = x Uma vez que: f (u) = 1 2 u 1 2 = 1 2 x e g (x) = 2x F (x) = 1 2 x x = x x Solução 2 Consierano u = x e y = u F (x) = y x u x = 1 2 u 2x = 1 2 x x = b) y = (x 3 + 1) 100 Consierano u = x e y = u 100, tem-se que: x x y = y u u x = 100u99 (3x 2 ) = 300x 2 (x 3 + 1) 99

7 7 Lista e exercícios 1- Calcule a erivaa e f(x) = x 4 pela efinição e erivaa e pela erivaa e funções potencias. 2- Calcule a erivaa e: a) f(x) = x 1000 b) f(x) = 12x 3 c)f(x) = x 5 )f(x) = 3x 2 e)f(x) = 5 x 3 f)f(x) = 4 x 3 3- Derive a função: a) f(x) = 186,5 b) 5x 1 c)f(x) = x 3 4x + 6 ) f(t) = 1,5t 5 2,5t 2 6,7 e) f(x) = x 2 5 f) f(a) = 12 a 5 g) s(p) = p p h) b(y) = xy 6 i)g(x) = (x xy) j) y = 3e x x k) y = x+x x 2 l) y = x 5/3 x 2/3

8 8 4- A Lei e Boyle iz que, quano uma amostra e gás é comprimia em uma pressão constante, a pressão P o gás é inversamente proporcional ao volume V o gás. a) Suponha que a pressão e uma amostra e ar que ocupa a 25 ºC seja e 50 kpa. Escreva V como uma função e P. b) Calcule V P uniaes? quano P = 50kPa.Qual o significao a erivaa? Quais são suas 5- A equação e movimento e uma partícula é aa por s = t 4 2t 3 + t 2 t, em que s está em metros e t em segunos. a) encontre a velociae e aceleração como função e t. b) qual a aceleração epois e 1s? 6- Derive utilizano a regra o prouto ou quociente: a) f(t) = t(a + bt) b)f(h) = 4x 5 ( 3x 2 ) c) y = x2 +x 2 x 3 +6 ) h(x) = (x 3 + 2)e x e)g(t) = 3t 1 3t+1 f) y = t (t 1) 2 g) f(t) = 2t 2+ t 7- Derive usano a regra a caeia: a) y = (2x + 3) 50 b) f(x) = e x c) y = 4x 2 ) f(x) = (x 3 + 3x 5 2) 5 e) f(x) = (1 + 4x) 3 5 f) 5 1 x g) y = e ex 8- A função o custo e um certo prouto é: C(x) = x 0,09x 2 + 0,0004x 3 a) Encontre C (100) b) Compare C (100)com o custo e prouzir o 101º item.

9 9 9- A lei e Gravitação e Newton iz que a intensiae e F a forçar exercia por um corpo e massa m sobre um corpo e massa M é: F = GmM r 2 One G é a constante gravitacional e r a istância entre os corpo. a) Encontre F e explique seu significao. O que o sinal e menos inica? r b) Suponha que seja conhecio que a terra atraia um objeto com uma força que ecresce com uma taxa e 2 N/km quano r = km. Quão rápio a força varia quano r = km?