3.1 Exercícios 164 CÁLCULO. h x x 2 2x 3. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites. B y cy 6. 2,7 h 1 lim. 2,8 h 1 lim.

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1 64 CÁLCULO 3. Eercícios. (a) Como é efinio o número e? (b) Use uma calculaora para estimar os valores os ites,7 h h l 0 h e com precisão até a seguna casa ecimal. O que você poe concluir sobre o valor e e?. (a) Esboce, à mão, o gráfico a função f e, prestano particular atenção em como o gráfico cruza o eio. Que fato lhe permite fazer isso? (b) Que tipos e funções são f e e t e? Compare as fórmulas e erivação para f e t. (c) Qual as funções a parte (b) cresce mais rapiamente quano é grane? 3 3 Derive a função. 3. f 86,5 4.,8 h h l 0 h f s30 9. t A s 4. s 5 5. R a 3a S p sp p e 4 s h u Au 3 Bu Cu s h 3 B c h t s 4 t 4e t s S R 4 R s t u s u s3u 5. f 5 6. F j,4 e,4 6. k r e r r e 7. f f t,4t 5,5t 6,7 7. H 3 8. ae v b v c v

2 REGRAS DE DERIVAÇÃO (a) Use uma calculaora gráfica ou computaor para fazer o gráfico a função f na janela retangular 3, 5 por 0, 50. (b) Usano o gráfico a parte (a) para estimar as inclinações, faça um esboço, à mão, o gráfico e f (veja o Eemplo 7 na Seção.8). (c) Calcule f e use essa epressão, com uma ferramenta gráfica, para fazer o gráfico e f. Compare com seu esboço a parte (b). 4. (a) Use uma calculaora gráfica ou computaor para fazer o gráfico a função t e 3 na janela retangular, 4 por 8, 8. (b) Usano o gráfico a parte (a) para estimar as inclinações, faça um esboço, à mão, o gráfico e t (veja o Eemplo 7 na Seção.8). (c) Calcule t e use essa epressão, com uma ferramenta gráfica, para fazer o gráfico e t. Compare com seu esboço a parte (b) Encontre a primeira e a seguna erivaas a função 9. u s 5 t 4st v s s 3 3. z A 3. Be e Encontre uma equação a reta tangente à curva no ponto ao. 33. s 4,, 34. 4, Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto ao e, 0, 36. 4, Encontre uma equação a reta tangente à curva no ponto ao Ilustre com o gráfico a curva e a reta tangente na mesma tela ,, 38. s, Encontre f. Compare os gráficos e f e f e use-os para eplicar por que sua resposta é razoável. 39. f f f G r sr s 3 r Encontre a primeira e a seguna erivaas a função. Verifique se suas respostas são razoáveis, comparano os gráficos e f, f e f. 45. f f e 3, 0, 0, 47. A equação e movimento e uma partícula é s t 3 3t, em que está em metros e t, em segunos. Encontre (a) a velociae e a aceleração como funções e t, (b) a aceleração epois e s e (c) a aceleração quano a velociae for A equação e movimento e uma partícula é s t 4 t 3 t t, em que s está em metros e t, em segunos. (a) Encontre a velociae e a aceleração como funções e t. (b) Encontre a aceleração epois e s. (c) Trace o gráfico as funções e posição, velociae e aceleração na mesma tela. 49. A Lei e Bole iz que, quano uma amostra e gás é comprimia em uma pressão contante, a pressão P o gás é inversamente proporcional ao volume V o gás. (a) Suponha que a pressão e uma amostra e ar que ocupa 0,06 m 3 a 5 ºC seja e 50 kpa. Escreva V como uma função e P. (b) Calcule V P quano P 50 kpa. Qual o significao a erivaa? Quais são suas uniaes? 50. Os pneus e automóveis precisam ser inflaos corretamente porque uma pressão interna inaequaa poe causar um esgaste prematuro. Os aos na tabela mostram a via útil o pneu L (em milhares e quilômetros) para um certo tipo e pneu em iversas pressões P (em kpa). P L (a) Use uma calculaora gráfica ou computaor para moelar a via o pneu como uma função quarática a pressão. (b) Use o moelo para estimar L P quano P 00 e quano P 300. Qual o significao a erivaa? Quais são suas uniaes? Qual é o significao os sinais as erivaas? 5. Ache os pontos sobre a curva 3 3 one a tangente é horizontal. 5. Que valores e fazem com que o gráfico e f e tenha uma reta tangente horizontal? 53. Mostre que a curva e não tem reta tangente com inclinação. 54. Encontre uma equação para a reta tangente à curva s que seja paralela à reta Encontre equações para ambas as retas que são tangentes à curva 3 e que são paralelas à reta. 56. Em qual ponto sobre a curva e 3 a reta tangente é paralela à reta 3 5? Ilustre fazeno o gráfico a curva e e ambas as retas. 57. Encontre uma equação para a reta normal à parábola 5 4 que seja paralela à reta One a reta normal à parábola no ponto (, 0) intercepta a parábola uma seguna vez? Ilustre com um esboço. 59. Trace um iagrama para mostrar que há uas retas tangentes à parábola que passam pelo ponto 0, 4. Encontre as coorenaas os pontos one essas retas tangentes interceptam a parábola. 60. (a) Encontre as equações e ambas as retas pelo ponto, 3 que são tangentes à parábola. (b) Mostre que não eiste nenhuma reta que passe pelo ponto, 7 e que seja tangente à parábola. A seguir, esenhe um iagrama para ver por quê. 6. Use a efinição e erivaa para mostrar que, se f, então f. (Isso emonstra a Regra a Potência para o caso n.) 6. Encontre a n-ésima erivaa e caa função calculano algumas as primeiras erivaas e observano o parão que ocorre. (a) f n (b) f 63. Encontre um polinômio e seguno grau P tal quer P 5, P 3 e P.

3 66 CÁLCULO 64. A equação é chamaa equação iferencial, pois envolve uma função esconhecia e suas erivaas e. Encontre as constantes A, B e C tais que a função A B C satisfaça essa equação. (As equações iferenciais serão estuaas no Capítulo 9, no Volume II.) 65. Encontre uma função cúbica a 3 b c cujo gráfico tenha tangentes horizontais nos pontos, 6 e, Encontre uma parábola com a equação a b c que tenha inclinação 4 em, inclinação 8 em, e passe pelo ponto (, 5). 67. Consiere f se se f é erivável em? Esboce gráficos e f e f. 68. Em quais números a seguinte função t é erivável? t se 0 se 0 se Dê uma fórmula para t e esboce os gráficos e e. 69. (a) Para quais valores e a função f t 9 t é erivável? Ache uma fórmula para f. (b) Esboce gráficos e f e f. 70. One a função h é erivável? Dê uma fórmula para h e esboce os gráficos e h e h. 7. Encontre a parábola com equação a b cuja reta tangente em (, ) tem equação Suponha que a curva 4 a 3 b c tenha uma reta tangente quano 0 com equação, e uma reta tangente quano com equação 3. Encontre os valores e a, b, c e. 73. Para quais valores e a e b a reta b é tangente à parábola a quano? 74. Encontre o valor e c tal que a reta 3 6 seja tangente à curva cs. 75. Consiere f se m b se Encontre os valores e m e b que tornem f erivável em toa parte. 76. Uma reta tangente à hipérbole c é traçaa em um ponto P. (a) Mostre que o ponto méio o segmento e reta cortao essa reta tangente pelos eios coorenaos é P. (b) Mostre que o triângulo formao pela reta tangente e pelos eios coorenaos sempre têm a mesma área, não importa one P esteja localizao sobre a hipérbole Calcule l 78. Trace um iagrama ilustrano uas retas perpeniculares que se interceptam sobre o eio, ambas tangentes à parábola. One essas retas se interceptam? 79. Se c, quantas retas pelo ponto 0, c são normais à parábola? E se c? 80. Esboce as parábolas e. Você acha que eiste uma reta que seja tangente a ambas as curvas? Em caso afirmativo, encontre sua equação. Em caso negativo, eplique por que não.

4 REGRAS DE DERIVAÇÃO 7 3. Eercícios. Encontre a erivaa f e uas formas: usano a Regra o Prouto e efetuano primeiro a multiplicação. As respostas são iguais?. Encontre a erivaa a função F s e uas formas: usano a Regra o Quociente e simplificano antes. Mostre que suas respostas são equivalentes. Qual métoo você prefere? 3 6 Derive. 3. f 3 e e t H u (u su )(u su ) J v v 3 v v 4 v F f z e z z e z t s e e f t t 4 t t t 6. t 4 3t t 7. e p (p psp ) 8. s ke s 9. v3 vsv v 0. z w 3 w ce w. t st f t t. t t st t 3 3. f A e 4. f B Ce e a b 5. f 6. f c c 7 30 Encontre f e f. 7. f 4 e 8. f 5 e 9. f 30. f 3 3 Encontre uma equação a reta tangente à curva no ponto especificao. 3., 3. e, 0,, e Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto especificao. 33. e, 34. 0, 0,, 35. (a) A curva é chamaa brua e Maria Agnesi. Encontre uma equação a reta tangente a essa curva no ponto (, ). (b) Ilustre a parte (a) fazeno o gráfico a curva e a tangente na mesma tela. 36. (a) A curva é enominaa serpentina. Encontre uma equação a reta tangente a essa curva no ponto 3 0,3. (b) Ilustre a parte (a) fazeno o gráfico a curva e a tangente na mesma tela. 37. (a) Se f 3 e, encontre f. (b) Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparano os gráficos e f e f. 38. (a) Se f e, encontre f. (b) Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparano os gráficos e f e f. 39. (a) Se f, encontre f e f. (b) Verifique se suas respostas em (a) são razoáveis, comparano os gráficos e f, f e f. 40. (a) Se f e, encontre f e f. (b) Verifique se suas respostas em (a) são razoáveis, comparano os gráficos e f, f e f. 4. Se f, encontre f. 4. Se t e, encontre t n. 43. Suponha que f 5, f 5 6, t 5 3 e t 5. Encontre os seguintes valores. (a) ft 5 (b) f t 5 (c) t f Suponha que f 3, t 4, f e t 7. Encontre h. (a) h 5f 4t (b) h f t (c) h f () h t t f 45. Se f e t, one t 0 e t 0 5, encontre f Se h 4 e h 3, encontre h 47. Se t f, one f 3 4 e f 3, encontre uma equação a reta tangente ao gráfico e t no ponto one Se f 0 e f f para too, encontre f. 49. Se f e t são as funções cujos gráficos estão ilustraos, sejam u f t e v f t. (a) Encontre u. (b) Encontre v 5. É necessário uma calculaora gráfica ou computaor. As Homework Hints estão isponíveis em

5 7 CÁLCULO 50. Sejam P F G e Q F G, one F e G são as funções cujos gráficos estão representaos a seguir. (a) Encontre P. (b) Encontre Q Se t for uma função erivável, encontre uma epressão para a erivaa e caa uma as seguintes funções. (a) t (b) (c) t t 5. Se f for uma função erivável, encontre uma epressão para a erivaa e caa uma as seguintes funções. (a) (b) f f (c) f () 53. Quantas retas tangentes à curva ) passam pelo ponto,? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva? 54. Encontre as equações e retas tangentes à curva que sejam paralelas à reta. 55. Encontre R 0, one R Dica: em vez e encontrar R primeiro, eie f ser o numeraor e t, o enominaor e R, e compute R 0 e f 0, f 0, t 0 e t Use o métoo o Eercício 55 para computar Q 0, one Q e e f F G g f s 57. Neste eercício, estimaremos a taa seguno a qual a rena pessoal total está subino na área metropolitana a ciae e Richmon-Petersburg, Virgínia. Em julho e 999, a população essa área era e , e estava cresceno aproimaamente em 9.00 pessoas por ano. O renimento anual méio era e $ per capita, e essa méia crescia em torno e $.400 por ano (bem acima a méia nacional, e cerca e $.5 anuais). Use a Regra o Prouto e os aos aqui fornecios para estimar a taa seguno a qual a rena pessoal total estava cresceno em Richmon-Petersburg em julho e 999. Eplique o significao e caa termo na Regra o Prouto. 58. Um fabricante prouz peças e tecio com tamanho fio. A quantiae q e caa peça e tecio (meia em metros) venia é uma função o preço p (em ólares por metro) logo, poemos escrever q f p. Então, a receita total conseguia com o preço e vena p é R p pf p. (a) O que significa izer que f e f 0 350? (b) Tomano os valores a parte (a), encontre R 0 e interprete sua resposta. 59. (a) Use uas vezes a Regra o Prouto para emonstrar que, se f, t e h forem eriváveis, então fth f th ft h fth. (b) Fazeno f t h na parte (a), mostre que. f 3 3 f f (c) Use a parte (b) para erivar e (a) Se F f t, one f e t têm erivaas e toas as orens, mostre que F f t f t ft. (b) Encontre fórmulas análogas para F e F 4. (c) Conjecture uma fórmula para F n. 6. Encontre epressões para as primeiras cinco erivaas e f e. Você percebe um parão nestas epressões? Crie uma fórmula para f n e emonstre-a usano a inução matemática. 6. (a) Se t for erivável, a Regra o Recíproco iz que t t t Use a Regra o Quociente para emonstrar a Regra o Recíproco. (b) Use a Regra o Recíproco para erivar a função o Eercício 8. (c) Use a Regra o Recíproco para verificar que a Regra a Potência é vália para os inteiros negativos, isto é, n n n para too inteiro positivo n.

6 78 CÁLCULO 3.3 Eercícios 6 Derive.. f 3 cos. 3. f sen cotg t t t 3 cos t 6. sec. f. sec 3. t sen t 4. t 5. f e cossec 6. sen tg 7. Demonstre que cossec cossec cotg. 8. Demonstre que sec sec tg. 9. Demonstre que. cotg cossec f s sen sec cossec t t 4 sec t tg t 7. h u cossec u e u cotg u 8. e u cos u cu 9. tg 0. sen u cos u cos sen sec tg 0. Demonstre, pela efinição e erivaa, que se f cos, então f sen. 4 Encontre uma equação a reta tangente à curva no ponto ao.. sec, 3,. e cos, 3. cos sen,, 4. tg, 0,, 5. (a) Encontre uma equação a reta tangente à curva sen no ponto,. (b) Ilustre a parte (a) fazeno o gráfico a curva e a tangente na mesma tela. 6. (a) Encontre uma equação a reta tangente à curva 3 6 cos no ponto 3, 3. (b) Ilustre a parte (a) fazeno o gráfico a curva e a tangente na mesma tela. 7. (a) Se f sec, encontre f. (b) Verifique se sua resposta para a parte (a) é razoável fazeno os gráficos e f e f para. 8. (a) Se f e cos, encontre f e f. (b) Verifique que suas respostas para a parte (a) são razoáveis fazeno os gráficos e f, f e f. 9. Se H u u sen u, encontre H u e H u. 30. Se f t cossec t, encontre f (a) Use a Regra o Quociente para erivar a função tg f sec (b) Simplifique a epressão para f escreveno-a em termos e sen e cos e, então, encontre f. (c) Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes. 3. Suponha f 3 4 e f 3, e faça t f sen e h cos f. Encontre (a) t 3 (b) h Para quais valores e o gráfico e f tem uma reta tangente horizontal? 33. f sen 34. f e cos 35. Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa (veja a figura). Sua equação e movimento é t 8 sen t, one t está em segunos e, em centímetros. (a) Encontre a velociae e a aceleração no tempo t. (b) Encontre a posição, velociae e aceleração o corpo na posição e equilíbrio t 3. Em que ireção ele está se moveno nesse momento? posição e equilíbrio Uma tira elástica é presa a um gancho e uma massa é presa na ponta inferior a tira. Quano o corpo é puao para baio e então solto, ele vibra verticalmente. A equação o movimento é s cos t 3 sen tt, 0, one s é meio em centímetros e t, em segunos. (Consieremos o sentio positivo como para baio.) (a) Encontre a velociae e a aceleração no tempo t. (b) Faça os gráficos as funções velociae e aceleração. (c) Quano o corpo passa pela posição e equilíbrio pela primeira vez? () A que istância a posição e equilíbrio o corpo chega? (e) Quano a velociae é máima? 37. Uma escaa com 6 m e comprimento está apoiaa em uma paree vertical. Seja u o ângulo entre o topo a escaa e a paree e, a istância o pé a escaa até a paree. Se o pé a escaa escorregar para longe a paree, com que velociae variará em relação a u quano 3? 38. Um objeto e massa m é arrastao ao longo e um plano horizontal por uma força agino ao longo e uma cora ataa ao objeto. Se a cora faz um ângulo u com o plano, então a intensiae a força é mmt F m sen u cos u one m é uma constante chamaa coeficiente e atrito. (a) Encontre a taa e variação e F em relação a u. (b) Quano essa taa e variação é igual a 0? (c) Se m 0 kg, t 9,8 m s e, faça o gráfico e F m 0,6 como uma função e u e use-o para encontrar o valor e u para o qual F 0. Esse valor é consistente com a resposta aa na parte (b)?

7 REGRAS DE DERIVAÇÃO Encontre o ite 39. sen 3 l tg 6t t l 0 sen t sen 3 l sen u ul 0 u tg u tg l p 4 sen cos Encontre a erivaa aa, encontrano as primeiras erivaas e observano o parão que ocorre sen 50. sen Encontre constantes A e B e forma que a função A sen B cos satisfaça a equação iferencial sen. 5. (a) Avalie sen. l sen 4 l 0 sen 6 cos u u l 0 sen u sen 3 sen 5 l 0 sen l 0 l sen (b) Avalie sen. l 0 (c) Ilustre as partes (a) e (b) fazeno o gráfico e sen. 53. Derive caa ientiae trigonométrica para obter uma nova ientiae (ou uma familiar). (a) tg sen (b) sec cos cos cotg (c) sen cos cossec 54. Um semicírculo com iâmetro PQ está sobre um triângulo isósceles PQR para formar uma região com um formato e sorvete, conforme mostra a figura. Se A é a área o semicírculo e B é a área o triângulo, encontre P A l 0 B A( ) B( ) 55. A figura mostra um arco e círculo com comprimento s e uma cora com comprimento, ambos subentenios por um ângulo central u. Encontre s l Seja f. s cos (a) Faça o gráfico e f. Que tipo e escontinuiae parece ocorrer em 0? (b) Calcule os ites laterais e f em 0. Esses valores confirmam sua resposta para a parte (a)? R s Q 0 cm 0 cm

8 REGRAS DE DERIVAÇÃO Eercícios 6 Escreva a função composta na forma f t. [Ientifique a função e entro u t e a e fora f u.] Então, encontre a erivaa.. sen e s Encontre a erivaa a função. 7. F F F s f 4 3. t t t 4 3. f t s 3 tg t 3. cos a a 3 cos 3 5. e k 6. e t cos 4t f t 3 6 h t t 3 t 3 F t 3t 4 t s e G r sr t sen t 9. F t e 30. F v 3. sen tg 3. sec m sen p e 35. cos e 36. s e e 37. cot sen u 38. e s4 3 tg sen s e f s s s 4 e u e u e u e u v 6 v 3 k tg f t tg e t e tg t 40. sen sen sen 4. f t sen e sent 4. s s s 43. t ra r n p cosssen tg p 46. sen Encontre e. 47. cos 48. cos 49. e a sen b 50. e e 5 54 Encontre uma equação a reta tangente à curva no ponto ao. 5. 0, 0, 5. s 3,, sen sen,, sen sen, 0, (a) Encontre uma equação a reta tangente à curva e no ponto 0,. (b) Ilustre a parte (a) fazeno o gráfico a curva e a tangente na mesma tela. 56. (a) A curva s é chamaa curva ponta e bala. Encontre uma equação a reta tangente a essa curva no ponto,. (b) Ilustre a parte (a) fazeno o gráfico a curva e a tangente na mesma tela. 57. (a) Se f s, encontre f. (b) Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável comparano os gráficos e f e f. 58. A função f sen sen, 0, aparece em aplicações à síntese e moulação e frequência (FM). (a) Use um gráfico e f, feito por uma calculaora gráfica, para fazer um esboço rústico o gráfico e f. (b) Calcule f e use essa epressão, com uma ferramenta gráfica, para fazer o gráfico e f. Compare com o gráfico obtio no item (a). 59. Encontre toos os pontos o gráfico a função f sen sen nos quais a reta tangente é horizontal. 60. Encontre as coorenaas e toos os pontos sobre a curva sen sen nos quais a reta tangente é horizontal. 6. Se F f t, one f 8, f 4, f 5 3, t 5 e t 5 6, encontre F 5. É necessário usar uma calculaora gráfica ou computaor SCA Requer sistema e computação algébrica. As Homework Hints estão isponíveis em

9 86 CÁLCULO 6. Se h s4 3f, one f 7 e f 4, encontre h. 63. Uma tabela e valores para f, t, f e t é fornecia. f t f t (a) Se h f t, encontre h. (b) Se H t f, encontre H. 64. Sejam f e t as funções no Eercício 63. (a) Se F f f, encontre F. (b) Se G t t, encontre G Se f e t forem as funções cujos gráficos são mostraos, sejam u f t, v t f, e w t t. Encontre caa erivaa, se ela eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) u (b) v (c) w 66. Se f for a função cujo gráfico é mostrao, sejam h f f e t f. Use o gráfico e f para estimar o valor e caa uma as erivaas. (a) h (b) t 67. Se t sf, one o gráfico e f é mostrao, avalie t =ƒ 68. Suponha que f seja uma erivável em e, um número real. Sejam F f e G f. Encontre epressões para (a) F e (b) G. 69. Suponha que f seja erivável em. Sejam F f e e G e f. Encontre epressões para (a) F e (b) G. 70. Sejam t e c f e h e k f, one f 0 3, f 0 5 e f 0. (a) Encontre t 0 e t 0 em termos e c. (b) Em termos e k, encontre uma equação a reta tangente para o gráfico e h no ponto one 0. f g f 7. Seja r f t h, one h, t 3, h 4, t 5 e f 3 6. Encontre r. 7. Se t for uas vezes erivável e f t, encontre f em termos e t, t e t. 73. Se F f 3f 4 f, one f 0 0 e f 0, encontre F Se F f f f, one f, f 3, f 4, f 5 e f 3 6, encontre F. 75. Mostre que a função e A cos 3 B sen 3 satisfaz a equação iferencial Para quais valores e r a função e r satisfaz a equação iferencial 4 0? 77. Encontre a 50ª erivaa e cos. 78. Encontre a 000ª erivaa e f e. 79. O eslocamento e uma partícula em uma cora vibrante é ao pela equação s t 0 4 sen 0pt one s é meio em centímetros e t, em segunos. Encontre a velociae a partícula após t segunos. 80. Se a equação e movimento e uma partícula for aa por s A cos t, izemos que a partícula está em movimento harmônico simples. (a) Encontre a velociae a partícula no tempo t. (b) Quano a velociae é zero? 8. Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais visível essa constelação é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo e tempo entre os brilhos máimos é e 5,4 ias. O brilho méio essa estrela é e 4,0, com uma variação e 0,35. Em vista esses aos, o brilho e Delta Cefeu no tempo t, one t é meio em ias, foi moelaa pela função B t 4,0 0,35 sen 5,4 pt (a) Encontre a taa e variação o brilho após t ias. (b) Encontre, com precisão até uas casas ecimais, a taa e crescimento após ia. 8. No Eemplo 4 a Seção.3 chegamos a um moelo para a uração a luz o ia (em horas) em Ancara, Turquia, no t-ésimo ia o ano: L t,8 sen p 365 t 80 Use esse moelo para comparar como o número e horas e luz o ia aumenta em Ancara em e março e em e maio. 83. O movimento e uma mola sujeita a uma força e atrito ou a uma força e amortecimento (tal como o amorteceor em um carro) é frequentemente moelao pelo prouto e uma função eponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação e movimento e um ponto nessa mola seja s t e,5t sen pt one s é meio em centímetros e t, em segunos. Encontre a velociae após t segunos e faça o gráfico as funções posição e velociae para 0 t. 84. Sob certas circunstâncias, um boato se propaga e acoro com a equação p t ae kt

10 REGRAS DE DERIVAÇÃO 87 one p t é a proporção a população que já ouviu o boato no tempo t e a e k são contantes positivas. [Na Seção 9.4 veremos que esta é uma equação razoável para p t.] (a) Encontre t l p t. (b) Encontre a taa e propagação o boato. (c) Faça o gráfico e p para o caso a 0, k 0,5, one t é meio em horas. Use o gráfico para estimar quanto tempo será necessário para o boato atingir 80% a população. 85. Uma partícula se move ao longo e uma reta com eslocamento s t, velociae v t e aceleração a t. Mostre que a t v t v s Eplique a iferença entre os significaos as erivaas v t e v s. 86. Ar está seno bombeao para entro e um balão cático esférico. Em qualquer tempo t, o volume o balão será V t e seu raio será r t. (a) O que as erivaas V r e V t representam? (b) Epresse V t em termos e r t. 87. O flash e uma câmera opera armazenano carga em um capacitor e liberano-a instantaneamente ao ser isparao. Os aos na tabela à esquera escrevem a carga Q armazenaa no capacitor (meia em microcoulombs, C) no tempo t (meio em segunos após o flash ter sio isparao). t 0,00 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 Q 00,00 8,87 67,03 54,88 44,93 36,76 (a) Use uma calculaora gráfica ou computaor para encontrar um moelo eponencial para a carga (veja a Seção.5). (b) A erivaa Q t representa a corrente elétrica (meia em microampères, A, que flui o capacitor para a lâmpaa o flash. Use a parte (a) para estimar a corrente quano t 0,04 s. Compare com o resultao o Eemplo na Seção A tabela fornece a população o Méico (em milhões) em anos e censo no século XX. Ano População Ano População 900 3, ,9 90 5, , 90 4, , , , 940 9, , ,8 (a) Use uma calculaora gráfica ou um computaor para ajustar uma função eponencial com os aos. Faça um gráfico os pontos aos e o moelo eponencial. Quão bom é o ajuste? (b) Estime as taas e crescimento populacional em 950 e 960 fazeno a méia e inclinações e retas secantes. (c) Use sua eponencial a parte (a) para encontrar um moelo para as taas e crescimento a população o Méico no século XX. () Use seu moelo na parte (c) para estimar as taas e crescimento em 950 e 960. Compare com sua estimativa a parte (b). SCA SCA 89. Os SCA têm comanos que erivam funções, mas a forma a resposta poe não ser conveniente e, portanto, comanos posteriores poem ser necessários para simplificar a resposta. (a) Use um SCA para encontrar a erivaa o Eemplo 5 e compare com a resposta ele. A seguir, use o comano simplificar e compare novamente. (b) Use um SCA para erivar a função o Eemplo 6. O que acontecerá se você usar o comano simplificar? O que acontecerá se você usar o comano fatorar? Qual forma a resposta é melhor para localizar as tangentes horizontais? 90. (a) Use um SCA para erivar a função e para simplificar o resultao. (b) One o gráfico e f tem tangentes horizontais? (c) Faça os gráficos e f e f na mesma tela. Os gráficos são consistentes com sua resposta a parte (b)? 9. Use a Regra a Caeia para emonstrar o que segue. (a) A erivaa e uma função par é uma função ímpar. (b) A erivaa e uma função ímpar é uma função par. 9. Use a Regra a Caeia e a Regra o Prouto para ar uma emonstração alternativa a Regra o Quociente. [Sugestão: Escreva f t f t.] 93. (a) Se n for um inteiro positivo, emonstre que senn cos n n sen n cos n (b) Encontre uma fórmula para a erivaa e cos n cos n que seja similar àquela a parte (a). 94. Suponha que f seja uma curva que está sempre acima o eio e que não tenha uma tangente horizontal, seno f erivável em toa a parte. Para quais valores e a taa e variação e 5 em relação a é 80 vezes a taa e variação e em relação a? 95. Use a Regra a Caeia para mostrar que, se u for meio em graus, então sen u p u 80 cos u (Isso á uma razão para a convenção e que a meia em raianos é sempre usaa quano tratamos o cálculo e funções trigonométricas: as fórmulas e erivação não seriam tão simples se usássemos a meia e graus.) 96. (a) Escreva s e use a Regra a Caeia para mostrar que (b) Se, encontre f e esboce os gráficos e f e f. One f não é erivável? (c) Se t sen, encontre t e esboce os gráficos e t e t. One t não é erivável? 97. Se f u e u t, one f e t são funções uas vezes eriváveis, mostre que u u u u f sen f Se f u e u t, one f e t possuem três erivaas, encontre a fórmula para 3 3 análoga à aa no Eercício 97.

11 94 CÁLCULO 3.5 Eercícios 4 (a) Encontre erivano implicitamente. (b) Resolva a equação eplicitamente isolano e erive para obter em termos e. (c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituino a epressão por na sua solução para a parte (a) cos s Encontre / por erivação implícita s s e. sen 4. sen 3. 4 cos sen 4. e sen 5. e 6. s 7. tg 8. sen sen 9. e cos sen 0. tg. Se f f 3 0 e f, encontre f.. Se t sen t, encontre t Consiere como a variável inepenente e como a variável epenente e use a erivação implícita para encontrar sec tg 5 3 Use a erivação implícita para encontrar uma equação a reta tangente à curva no ponto ao. 5. sen cos, 6. sen, 7. 3,, (elipse) 8.,, (hipérbole) (0, ) ( 3s3, ) (carioie), 4, (astroie) (a) A curva com equação 5 4 é chamaa kample (o grego, curvao) e Euoo. Encontre uma equação a reta tangente a essa curva no ponto,. (b) Ilustre a parte (a) traçano a curva e a reta tangente em uma tela comum. (Se sua ferramenta gráfica puer traçar curvas efinias implicitamente, então use esse recurso. Caso não seja possível, você poe aina criar o gráfico essa curva traçano suas metaes superior e inferior separaamente.) 34. (a) A curva com equação 3 3 é enominaa cúbica e Tschirnhausen. Encontre uma equação a reta tangente a essa curva no ponto,. (b) Em que pontos essa curva tem uma tangente horizontal? (c) Ilustre as partes (a) e (b) traçano a curva e as retas tangentes sobre uma tela comum Encontre por erivação implícita. SCA (3, ) (0, ) (lemniscata) (curva o iabo) s s a Se e e, encontre o valor e no ponto one Se 3, encontre o valor e no ponto one. 4. Formas etravagantes poem ser criaas usano-se a capaciae e traçar funções efinias implicitamente e um SCA. (a) Trace a curva com equação Em quantos pontos essa curva tem tangentes horizontais? Estime as abscissas esses pontos. (b) Encontre as equações as retas tangentes nos pontos (0, ) e (0, ). (c) Encontre as abscissas eatas os pontos a parte (a). () Crie curvas aina mais etravagantes moificano a equação a parte (a). 4. (a) A curva com equação foi comparaa com um vagão sacolejante. Use um SCA para traçar essa curva e escubra o porquê esse nome. (b) Em quantos pontos essa curva tem retas tangentes horizontais? É necessário usar uma calculaora gráfica ou computaor SCA Requer sistema e computação algébrica. As Homework Hints estão isponíveis em

12 REGRAS DE DERIVAÇÃO 95 Encontre as coorenaas esses pontos. 43. Encontre os pontos sobre a lemniscata o Eercício 3 one a tangente é horizontal. 44. Mostre, fazeno a erivação implícita, que a tangente à elipse a b no ponto 0, 0 é 45. Encontre uma equação a reta tangente à hipérbole a b no ponto 0, Mostre que a soma as coorenaas as intersecções com os eios e e qualquer reta tangente à curva s s sc é igual a c. 47. Mostre, usano a erivação implícita, que qualquer reta tangente em um ponto P a um círculo com centro O é perpenicular ao raio OP. 48. A Regra a Potência poe ser emonstraa usano a erivação implícita para o caso one n é um número racional, n p q, e f n é suposta e antemão ser uma função erivável. Se p q, então q p. Use a erivação implícita para mostrar que p q Encontre a erivaa a função. Simplifique quano possível G s arccos tg ( s ) h t cotg t cotg t 56. F u arcsen ssen u 57. sen 58. b a cos 59. arccos s cos sen t 0, a b 0 a b cos, 60. arctg 0 a 6 6 Encontre f. Verifique se sua resposta é razoável comparano os gráficos e f e f. 6. f s arcsen 6. f arctg 63. Demonstre a fórmula para cos pelo mesmo métoo usao para sen. 64. (a) Uma maneira e efinir sec é izer que sec &? sec e 0 ou 3. Mostre que, com essa efinição, sec 0 b p q 49. tg s 50. stg 5. sen 5. t s sec s (b) Outra maneira e efinir sec que é às vezes usaa é izer que sec &? sec e 0, 0. Mostre que, com essa efinição, sec s Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpeniculares em caa ponto e intersecção. Mostre que as famílias aas e curvas são trajetórias ortogonais uma em relação a outra, ou seja, toa curva e uma família é ortogonal a toa curva a outra família. Esboce ambas as famílias e curvas no mesmo sistema e coorenaas r, a b 0 a, c, a 3, k 3 b 69. Mostre que a elipse a b e a hipérbole A B são trajetórias ortogonais se A a e a b A B (logo, a elipse e a hipérbole possuem os mesmos focos). 70. Encontre o valor o número a e tal moo que as famílias as curvas c e a k 3 sejam trajetórias ortogonais. 7. (a) A Equação e van er Waals para n mols e um gás é P b n a V V nb nrt one P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura o gás. A constante R é a constante e gás universal e a e b são constantes positivas que são características e um gás em particular. Se T permanece constante, use a erivação implícita para encontrar V P. (b) Encontre a taa e variação e volume em relação à pressão e mol e ióio e carbono em um volume e V 0 L e uma pressão e P,5 atm. Use a 3,59 L -atm mol e b 0,0467 L mol. SCA 7. (a) Use a erivação implícita para encontrar se 0. (b) Trace a curva a parte (a). O que você observa? Demonstre que o que você observa está correto. (c) Em vista a parte (b), o que você poe izer sobre a epressão para que você encontrou na parte (a)? 73. A equação 3 representa uma elipse giraa, isto é, uma elipse cujos eios não são paralelos aos eios coorenaos. Encontre os pontos nos quais essa elipse cruza o eio e mostre que as retas tangentes nesses pontos são paralelas. 74. (a) One a reta normal à elipse 3 no ponto, intersecta a elipse uma seguna vez? (b) Ilustre a parte (a) fazeno o gráfico a elipse e a reta normal. 75. Encontre toos os pontos sobre a curva one a inclinação a reta tangente é. 76. Encontre as equações e ambas as retas tangentes para a elipse 4 36 que passem pelo ponto (, 3). 77. (a) Suponha que f seja uma função injetora, erivável e que sua função inversa f seja também erivável. Use a erivação implícita para mostrar que f f f ese que o enominaor não seja 0. (b) Se f 4 5 e f 4 3, encontre f 5.

13 96 CÁLCULO 78. (a) Mostre que f e é injetora. (b) Qual o valor e f? (c) Use a fórmula o Eercício 77(a) para eterminar f. 79. A Função e Bessel e orem 0, J, satisfaz a equação iferencial 0 para toos os valores e e seu valor em 0 é J 0. (a) Encontre J 0. (b) Use a erivação implícita para encontrar J A figura mostra uma lâmpaa localizaa três uniaes à ireita o eio e uma sombra originaa pela região elíptica 4 5. Se o ponto 5, 0 estiver na bora a sombra, qual a altura a lâmpaa acima o eio?? 0 _ =5

14 REGRAS DE DERIVAÇÃO Eercícios. Eplique por que a função logarítmica natural ln é usaa mais vezes no cálculo o que as outras funções logarítmicas log a. Derive a função.. f ln 3. f sen ln f s 5 ln f log f sen ln 5 0. f u t ln(s ) h ln( s ) G ln s 4. t r r ln r 5. F s ln ln s tg ln a b ln e e 0. H z ln a z a z. log 0s. log e cos 3 6 Encontre e. 3. ln ln( s ) 6. ln sec tg 7 30 Derive f e encontre o omínio e f. f ln sen f ln s 5 f log 5 e ln t t 3 ln cos ln ln u ln u 7. f 8. f s ln ln 9. f ln 30. f ln ln ln 3. Se f ln, encontre f. 3. Se f ln e, encontre f Encontre uma equação a reta tangente à curva no ponto ao. 33. ln 3, 3, ln,, Se f sen ln, encontre f. Verifique se sua resposta é razoável comparano os gráficos e f e f. 36. Encontre as equações as retas tangentes para a curva ln nos pontos, 0 e e, e. Ilustre fazeno o gráfico a curva e e suas retas tangentes. 37. Seja f c ln cos. Para qual valor e c ocorre f 4 6? 38. Seja f log a 3. Para qual valor e a ocorre f 3? Use a erivação logarítmica para achar a erivaa e função s e s e cos 45. sen 46. s 47. cos 48. sen ln 49. tg 50. ln cos 5. Encontre se ln. 5. Encontre se. 53. Encontre uma fórmula para f n se f ln Encontre. 8 ln Use a efinição a erivaa para emonstrar que 56. Mostre que e para qualquer 0. n l n ln l 0 n É necessário usar uma calculaora gráfica ou computaor. As Homework Hints estão isponíveis em

15 REGRAS DE DERIVAÇÃO 3 EXEMPLO 5 Um homem ana ao longo e um caminho reto a uma velociae e,5 m/s. Um holofote localizao no chão a 6 m o caminho é mantio focalizao no homem. A que taa o holofote está girano quano o homem está a 8 m o ponto o caminho mais próimo a luz? SOLUÇÃO Desenhamos a Figura 5, one é a istância entre o homem e o ponto o caminho mais próimo ao holofote. Seja o ângulo entre o feie o holofote e a perpenicular ao caminho. Foi-nos ao que t,5 m s e nos foi peio para encontrar t quano 8. A equação que relaciona e poe ser escrita a partir a Figura 5: então tg u 6tgu 6 Derivano caa lao em relação a t, obtemos t 6 sec t t 6 cos t Quano 8, o comprimento o feie é 0, logo cos 3 5 e u t O holofote está girano a uma taa e 0,09 ra/s. 6 cos u,5 4 cos u 9 0, FIGURA Eercícios. Se V for o volume e um cubo com aresta e comprimento e, à meia que o tempo passa, o cubo se epanir, encontre V t em termos e t.. (a) Se A é a área e um círculo com raio r e o círculo se epane à meia que o tempo passa, encontre A t em termos e r t. (b) Suponha que petróleo vaze por uma ruptura e um petroleiro e espalhe-se em um parão circular. Se o raio o petróleo erramao crescer a uma taa constante e m/s, quão rápio a área o vazamento está cresceno quano o raio é igual a 30 m? 3. Caa lao e um quarao está aumentao a uma taa e 6 cm/s. A que taa a área o quarao está aumentano quano a área o quarao for 6 cm? 4. O comprimento e um retângulo está aumentano a uma taa e 8 cm/s e sua largura está aumentano numa taa e 3 cm/s. Quano o comprimento for 0 cm e a largura for 0 cm, quão rápio a área o retângulo está aumentano? 5. Um tanque cilínrico com raio e 5 m está seno enchio com água a uma taa e 3m 3 min. Quão rápio a altura a água está aumentano? 6. O raio e uma esfera está aumentano a uma taa e 4 mm/s. Quão rápio o volume está aumentano quano o iâmetro for 80 mm? 7. Suponha s, one e são funções e t. (a) Se t 3, encontre t quano 4. (b) Se t 5, encontre t quano. 8. Suponha , one e são funções e t. (a) Se t 3, encontre t quano e 3 s5. (b) Se t 3, encontre t quano e 3 s5. 9. Se z 9, t 5 e t 4, encontre z t quano,, z,,. 0. Uma partícula está se movimentano ao longo e uma hipérbole 8. Quano atinge o ponto 4,, a coorenaa está ecresceno a uma taa e 3cm s. Quão rápio a coorenaa o ponto está variano nesse momento? 4 (a) Quais são as quantiaes aas no problema? (b) Qual é a incógnita? (c) Faça um esenho a situação para qualquer instante t. É necessário usar uma calculaora gráfica ou computaor. As Homework Hints estão isponíveis em

16 4 CÁLCULO () Escreva uma equação que relacione as quantiaes. (e) Termine a resolução o problema.. Um avião voa horizontalmente a uma altitue e km, a 800 km/h, e passa iretamente sobre uma estação e raar. Encontre a taa seguno a qual a istância entre o avião e a estação aumenta quano ele está a 3 km além a estação.. Se uma bola e neve errete e forma que a área e sua superfície ecresce a uma taa e cm /min, encontre a taa seguno a qual o iâmetro ecresce quano o iâmetro é 0 cm. 3. Uma luz e rua é colocaa no topo e um poste e 6 metros e altura. Um homem com m e altura ana, afastano-se o poste com velociae e,5 m/s ao longo e uma trajetória reta. Com que velociae se move a ponta e sua sombra quano ele está a 0 m o poste? 4. Ao meio-ia, o navio A está a 50 km a oeste o navio B. O navio A está navegano para o leste a 35 km/h e o navio B está navegano para norte a 5 km/h. Quão rápio a istância entre os navios está variano às 6h? 5. Dois carros iniciam o movimento partino e um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30 km/h e o outro viaja para o oeste a 7 km/h. A qual taa a istância entre os carros está aumentano uas horas epois? 6. Um holofote sobre o solo ilumina uma paree m istante ele. Se um homem e m e altura ana o holofote em ireção à paree a uma velociae e,6 m/s, quão rápio o comprimento e sua sombra iminui sobre a paree quano ele está a 4 m ela? 7. Um homem começa a anar para o norte a, m/s a partir e um ponto P. Cinco minutos epois uma mulher começa a anar para o sul a,6 m/s e um ponto 00 m a leste e P. A que taa as pessoas estão se istanciano 5 min após a mulher começar a anar? 8. Uma quara e beisebol é um quarao com um lao e 90 pés (7,43 m). Um bateor atinge a bola e corre em ireção à primeira base com uma velociae e 4 pés/s (7,35 m/s). (a) A que taa ecresce sua istância a seguna base quano ele está a meio caminho a primeira base? (b) A que taa aumenta sua istância a terceira base no mesmo momento?. Ao meio-ia, o navio A está a 00 km a oeste o navio B. O navio A está navegano para o sul a 35 km/h e o navio B está navegano para norte a 5 km/h. Quão rápio a istância entre os navios está variano às6h?. Uma partícula move-se ao longo a curva sen p. Quano a partícula passa pelo ponto ( 3,), sua coorenaa cresce a uma taa e s0 cm s. Quão rápio a istância a partícula à sua origem está variano nesse momento? 3. Está vazano água e um tanque cônico invertio a uma taa e cm /min. Ao mesmo tempo, água está seno bombeaa para entro o tanque a uma taa constante. O tanque tem 6 m e altura e o iâmetro no topo é e 4 m. Se o nível a água estiver subino a uma taa e 0 cm/min quano a altura a água for m, encontre a taa seguno a qual a água está seno bombeaa entro o tanque. 4. Um cocho tem 6 m e comprimento, e suas etremiaes têm a forma e triângulos isósceles com m e base e 50 cm e altura. Se o cocho for preenchio com água a uma taa e, m 3 /min, quão rápio o nível a água estará subino quano ela tiver 30 cm e profuniae? 5. Um cocho e água tem 0 m e comprimento e uma secção transversal com a forma e um trapezoie isósceles com 30 cm e comprimento na base, 80 cm e etensão no topo e 50 cm e altura. Se o cocho for preenchia com água a uma taa e 0, m 3 /min, quão rápio o nível a água estará subino quano ela tiver 30 cm e profuniae? 6. Uma piscina tem 5 m e largura por 0 m e comprimento, m e profuniae na parte rasa e 3 m na parte mais funa. Sua secção transversal está mostraa na figura. Se a piscina for enchia a uma taa e 0, m 3 /min, quão rápio o nível a água estará subino quano sua profuniae no ponto mais profuno for e m?,5 3 4,5 90 pés 7. Uma esteira transportaora está escarregano cascalho a uma taa e 3 m 3 /min, constituino uma pilha na forma e cone com o iâmetro a base e altura sempre igual. Quão rápio a altura a pilha cresce quano está a 3 m e altura? 9. A altura e um triângulo está aumentano a uma taa e cm/min enquanto a área o triângulo está aumentano a uma taa e cm /min. A que taa a base o triângulo está variano quano a altura for 0 cm e a área for 00 cm? 0. Um bote é puao em ireção ao ancoraouro por uma cora que está ataa na proa o bote e que passa por uma polia sobre o ancoraouro (colocaa m mais alto que a proa). Se a cora for puaa a uma taa e m/s, quão rápio se aproima o bote o ancoraouro, quano ele estiver a 8 m ele?

17 REGRAS DE DERIVAÇÃO 5 8. Uma pipa a 50 m acima o solo move-se horizontalmente a uma velociae e m/s. A que taa ecresce o ângulo entre a linha e a horizontal epois e 00 m e linha serem soltos? 9. Dois laos e um triângulo têm 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está cresceno a uma taa e 0,06 ra/s. Encontre a taa seguno a qual a área está cresceno quano o ângulo entre os laos e comprimento fio for Quão rápio o ângulo entre o solo e a escaa está variano no Eemplo quano a parte e baio a escaa estiver a 3 m a paree? 3. O topo e uma escaa esliza, por uma paree vertical a uma taa e 0,5 m s. No momento em que a base a escaa está a 3 m a paree, ela afasta-se a paree à velociae e 0, m s. Qual o comprimento a escaa? 3. Uma torneira está preencheno uma pia hemisférica e 60 cm e iâmetro com água a uma taa e L min. Encontre a taa na qual a água está aumentano na pia quano estiver cheia até a metae. [Use os seguintes fatos: L é 000 cm 3. O volume e uma porção e uma esfera e raio r com altura h a partir a base é V (rh 3 h 3 ), como será mostrao no Capítulo 6.] 33. A Lei e Bole afirma que quano uma amostra e gás está seno comprimia a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV C, one C é uma constante. Suponha que, em um certo momento, o volume seja e 600 cm 3, a pressão e 50 kpa, e a pressão cresça a uma taa e 0 kpa/min. A que taa está ecresceno o volume nesse instante? 34. Quano o ar se epane aiabaticamente (sem ganhar ou perer calor), sua pressão P e volume V estão relacionaos pela equação PV,4 C, one C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume seja e 400 cm 3 e a pressão, 80 kpa, e esteja ecresceno a uma taa e 0 kpa/min. A que taa está cresceno o volume nesse momento? 35. Se ois resistores com resistências R e R estão conectaos em paralelo, como na figura, então a resistência total R, meia em ohms ( ), é aa por R R R Se R e R estão aumentano a taas e 0,3 /s e 0, /s, respectivamente, quão rápio R está variano quano R 80 e R 00? R R 36. Nos peies, o peso B o cérebro como uma função o peso corporal W foi moelao pela função potência B 0,007W 3, one B e W são meios em gramas. Um moelo para o peso corporal como uma função e comprimento e corpo L (meio em centímetros) é W 0,L,53. Se, em 0 milhões e anos, o comprimento méio e uma certa espécie e peies evoluiu e 5 cm para 0 cm a uma taa constante, quão rápio estava cresceno o cérebro essa espécie quano o comprimento méio era e 8 cm? 37. Dois laos e um triângulo têm comprimento e m e 5 m. O ângulo entre eles está aumentano a uma taa e min. A que taa o comprimento e um terceiro lao está aumentano quano o ângulo entre os laos e comprimento fio for 60º? 38. Duas carretas, A e B, estão conectaas por uma cora e m que passa por uma polia P (veja a figura). O ponto Q no chão está 4 m iretamente abaio e P e entre as carretas. A carreta A está seno puaa para longe e Q a uma velociae e 0,5 m/s. A que velociae a carreta B está se moveno em ireção a Q no instante em que a carreta A estiver 3 m e Q? A Q 39. Uma câmera e televisão está posicionaa a.00 m e uma base e lançamento e foguete. O ângulo e elevação a câmera eve variar a uma taa na qual possa focalizar o foguete. O mecanismo e foco a câmera também eve levar em conta o aumento a istância entre a câmera e o foguete em subia. Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com velociae e 00 m/s quano já tiver subio 900 m. (a) Quão rápio estará variano a istância a câmera ao foguete naquele momento? (b) Se a câmera e televisão se mantiver sempre na ireção o foguete, quão rápio estará variano o ângulo e elevação ela naquele mesmo momento? 40. Um farol está localizao em uma pequena ilha, e a istância entre ele e o ponto P mais próimo em uma costa reta o continente é e 3 km. Sua luz gira quatro revoluções por minuto. Quão rápio o feie e luz está se moveno ao logo a costa quano ele estiver a km e P? 4. Um avião voa horizontalmente a uma altitue e 5 km e passa iretamente sobre um telescópio no chão. Quano o ângulo e elevação for 3, esse ângulo estará iminuino a uma taa e 6 ra min. A que velociae o avião está viajano naquele instante? 4. Uma roa-gigante com raio e 0 m está girano a uma taa e uma revolução a caa ois minutos. Quão rápio um passageiro estará subino quano seu assento estiver 6 m acima o nível o solo? 43. Um avião voano a uma velociae constante e 300 km/h passa sobre uma estação e raar no solo a uma altitue e km e subino em um ângulo e 30º. A que taa está cresceno a istância o avião em relação à estação e raar minuto mais tare? 44. Duas pessoas começam a anar a partir o mesmo ponto. Uma ana para o leste a 4 km/h e a outra ana para noreste a km/h. Quão rápio a istância entre as pessoas está variano após 5 minutos? 45. Um velocista corre numa pista circular com raio e 00 m numa velociae constante e 7 m/s. O amigo o correor está parao a uma istância 00 m o centro a pista. Quão rápio a istância ente os amigos está variano quano a uma istância entre eles é e 00 m? 46. O ponteiro os minutos e um relógio mee 8 mm, enquanto o as horas tem 4 mm e comprimento. Quão rápio está variano a istância entre a ponta os ponteiros à hora? P 4 m B

18 APÊNDICES A67 CAPÍTULO 3 EXERCÍCIOS 3.. (a) Veja a Definição o Número e (b) 0,99,,03,7 e,8 3. f 0 5. f 5 7. f t () A (s) 60/s 6 5. R (a) 8a 6 7. S (p) p 9. 3e h (u) 3Au Bu C 3. 3 s s 3 s 5. j (),4, H u 5 t 4 5 0t 3 3. z 0A/ Be Tangente: normal: f () (a) (c) f f f 5 4 4, f (a) v t 3t 3, a t 6t (b) m s (c) a 6m s 49. (a) V 5,3/P (b) 0,00 taa instantânea e variação o volume com relação à pressão em 5 C m 3 /kpa ,,, 6 5, , P Não =f() (, ) 0 =fª() (a) Não erivável em 3 ou 3 f se 3 se 3

19 A68 CÁLCULO (b) a, b 75. m 4, b EXERCÍCIOS f () e ( 3 3 ) 5. e 3 7. t 5 9. H (u) u. F t t4 4t 7 t 4 3t 7. e p 3 s p p ps p 9. v sv 4 t. f t 3. f ( st) ACe B Ce 5. f e e (a) (b) 37. (a) e ( 3 3 ) (b) f f 4( 3 ) ( ) ( ) (b) 4 _6 9 f f (a) 6 (b) 0 9 (c) (a) 0 (b) 3 _ 5. (a) t t (b) t t (c) ƒ c ( c) fª (_, 0,5) 6 0 ƒ 0 3 3, ,5 f t t t fª _ 53. Dois, $,67 bilhão/ano 59. 3e 3 6. f e, f 4 e, f 6 6 e, f 4 8 e, f e f (n) n n n e EXERCÍCIOS 3.3. f () 6 sen 3. f () cos cossec t t 3t cos t t 3 sen t h u cossec u cotg u e u cotg u cossec u 9. tg sec tg. f u (t t)cos t sen t t f e cossec cotg. s3 3 s3 3. p 5. (a) (b) 7. (a) sec tg 9. u cos u sen u cos u u sen u 3. (a) f tg sec (b) f cos sen 33. n 3, n um inteiro 35. (a) v t 8 cos t, a t 8 sen t (b) 4s3, 4, 4s3 para a esquera m/ra s 49. cos 5. A 3 0, B (a) sec (b) sec tg sen cos cos cotg (c) cos sen cossec 55. EXERCÍCIOS cos ( ) 9 5. e s (s) 7. F F. t t t t sen a e k k 7. f h (t) 3 t /3 (t ) (0t 8t ). 3e s e / (ln 5)/ 7. (r ) 3/ 9. F (t) e t sen t (t cos t sen t) 3. cos(tg ) sec () 33. sen p p ln cos p ( s3, ( s3)) 4e e 3π sen e e cos u cotg sen u cossec sen u f t sec e t e t e tg t sec t f t 4 sen e sen t cos e sen t e sen t sen t cos t 43. t r p ln a ra r n p a r 0 π, π sec u tg u sec u π

20 APÊNDICES A p cos tg p sec p senssen tg p ssen tg p 47. sen( ) 4 cos( ) sen( ) 49. e a b cos b a sen b e a a b sen b ab cos b p 55. (a) (b) 3 (0, ) 33. (a) 9 5 (b) 5 (, ) 35. 8/ / /e 4. (a) 4 Oito 0,4,,58 _ (a) f s 59. n,3, 3 n,, n um inteiro (a) 30 (b) (a) 4 (b) Não eiste (c) 67. 6s 69. (a) F e f e (b) G e f f cos 79. v t 5 cos 0 t cm s B 8. (a) 7p pt cos (b) 0,6 t 54 5,4 83. v t e,5t p cos pt,5 sen pt 5 _,5 3 (b), 3 (c) 3s3 ( 5 4s3, 5 4) 0 a 0 b s 5. s 53. G () arccos 55. h t 0 s 57. sen 59. sa b a b cos arcsen s s v t é a taa e variação a velociae com relação ao tempo v s é a taa e variação a velociae com relação ao eslocamento 87. (a) Q ab t one a 00,044 e b 0, (b) 670,63 ma 89. (b) A forma fatoraa 93. (b) n cos n sen n EXERCÍCIOS 3.5. (a) 6 (b) 4 3, (a) (b), tg tg e e sen cos 9. e sen cos(). 6 e 3 cos cos() V 3 (nb V) 7. (a) (b) 4,04 L/atm PV 3 n av n 3 ab ( s3, 0) 75. (, ), (, ) 77. (b) 79. (a) 0 (b) EXERCÍCIOS 3.6. A fórmula e erivação é mais simples. cos ln 3. f 5. f 5s 5 ln f 9. 3 ln 0. t 3. f () sen G 0 5. F s a 7. sec (ln(a b)) s ln s a b 9.. ln 0 log 0 3. ln 3 ln 5. s 3 ln 7. f ln, e e, cos ln(5)

21 A70 CÁLCULO 9. f, 0, cos ln sen 45. sen cos ln 47. cos tg ln cos 49. tg sec ln tg tg f n n n! n EXERCÍCIOS 3.8. Cerca e , t (b) (c) 0.63 bactérias h () ln 00 ln 4, 3, h 5. (a) 508 milhões, 87 milhões (b) 6 milhões (c) 3 97 milhões guerras na primeira metae o século, epectativa e via aumentaa na seguna metae 7. (a) Ce 0,0005t (b) 000 ln 0,9 s 9. (a) 00 t 30 mg (b) 9,9 mg (c) 99,3 anos. 500 anos 3. (a) 58 C (b) 98 min 5. (a) 3,3 C (b) 67,74 min 7. (a) 64,5 kpa (b) 39,9 kpa 9. (a) (i) $3.88,84 (ii) $3.840,5 (iii) $3.850,08 (iv) $3.85,6 (v) $3.85,0 (vi) $3.85,08 (b) A t 0,05A, A EXERCÍCIOS 3.9. V t 3 t cm s m min 7. (a) (b) (a) A altitue o avião é e km e sua velociae é e 800 km/h. (b) A taa na qual a istância entre o avião e a estação aumenta quano ele está a 3 km além a estação (c) () (e) 3 s5 km h 3. (a) A altura o poste (6 m), a altura o homem ( m) e a velociae o homem (,5 m/s) (b) A taa em que a ponta a sombra o homem está se moveno quano ele está a 0 m o poste (c) ( 6 9 (e) 4 m s km/h s8 334,400,79 m s 70 9.,6 cm/min. 3 55,4 km h p 9, cm 3 min cm min p 0,4 m min 9. 0,3 m s 3. 5m cm 3 07 /min ,3 s 37. 0,396 m/min 39. (a) 0 m/s (b) 0,07 ra s km min s3 96 km h s5 6,78 m s