## RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MATERIAL BÁSICO DE ESTUDO ## , determine t 1 3. Isolando o vetor t : Temos o vetor t procurado!

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1 ## RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MATERIAL BÁSICO DE ESTUDO ## LISTA DE EXERCÍCIOS Operações com Vetores na Forma Algébrica [Analítica] no R [página 7] 5) Daos os vetores u i j Inicialmente, antes e substituir os vetores 3 t (4u w) 5 t u w 4 e w 3i, etermine t 3 e moo que: 3 t (4u w) 5 t u w 4 u i j e w 3i aos, vamos simplificar a epressão Assim: 3 Eliminano os parênteses: 5 5 3t 4u w 5t u w 4 Unino os termos semelhantes: 5 5 3t 5t 4u u w w Realiano o mmc no º membro a equação: 4 6u 0u 5w 8w 8t Reunino os termos semelhantes: 4 6u 3w 8t Isolano o vetor t : 4 6u 3w t Agora, substituino os vetores u (, ) e w (3, 0) : 3 t 6(, ) 3( 3, 0) 3 Multiplicano os vetores pelos respectivos escalares: ( 5, 6) ( 69, 0) t 3 Subtraino os vetores e ajustano a epressão: (, 6) t (, 6) 3 3 Multiplicano o escalar pelo vetor: 6 t, 3 3 Simplificano a coorenaa : 3 t, 3 6 Temos o vetor t procurao! 6) Determine algebricamente o vetor resultante nos casos a seguir e, ao final, represente-o graficamente: a) Observano o gráfico ao no eercício, temos que: u (0,3), v ( 4, ), t ( 0, ) e w ( 3, ) E o vetor resultante procurao, que chamaremos e R, é ao por: R u v t w Assim: R u v t w R ( 0,3) (4, ) (0, ) ( 3, ) R (, ) A representação gráfica e R está apresentaa ao lao 0 R Página e

2 LISTA DE EXERCÍCIOS Paralelismo [ou Colineariae] e Vetores [página 35] ) Dao o vetor w = (3,, 5), eterminar a e b e moo que os vetores u = (3,, ) e v = (a, 6, b)+ w sejam paralelos Inicialmente, vamos calcular o vetor v v ( a, 6, b) w v ( a, 6, b) (3,, 5) v ( a, 6, b) (6, 4,0) v ( a 6,0, b 0) Agora, como os vetores u e v evem ser paralelos, aplicamos a conição e paralelismo: n a b 3 Observe que: n 5 Resolveno a epressão separaamente, temos: a b a 30 b 0 0 a 8 b 30 a 9 5 b Que são os valores procuraos! LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo o Móulo e um Vetor + Vetor Unitário [página 39] 6) Calcule a istância o ponto T(, 9) à origem O problema solicita o cálculo a istância o ponto (, 9) Aplicano a fórmula a istância entre ois pontos no TO TO TO TO 5 ( T O ) ( T O ( 0) ( uc 5 0) ) T até a origem (0, 0) R, teremos: Observe na representação abaio, que a istância o ponto (, 9) O T até a origem (0, 0) O é, na verae, o móulo o vetor posição OT Então poeríamos calcular iretamente, consierano o vetor posição OT (, 9) Assim: OT ( ) OT 44 8 (9) OT 5 5 TO uc T 9 O Página e

3 9) Daos os pontos A(3, m, 4) e B(8, m, m), eterminar m e moo que AB 35 Inicialmente vamos efinir o vetor AB Então: AB B A ( 8, m, m) (3, m, 4) (5, m, m 4) Como ( 5, m, m 4) AB e AB 35, aplicano a fórmula o móulo e um vetor, teremos: AB 35 (5) ( m ) ( m Desenvolveno os quaraos 35 5 m m 8m 6 Elevano ambos os membros ao quarao 35 m 8m 4 35 m Organiano a equação o º grau 8m 6 0 Resolveno-a, teremos: 3 m e m 8m 4 Logo, os valores procuraos para m formam o conjunto solução { 3, } m ( ) m 4m 3 0 S 4) ) Obter um ponto P, o eio as cotas, cuja istância ao ponto T(,, ) seja igual a 3 P Este eercício tem uas maneiras iferentes para ser resolvio, embora utiliem o mesmo raciocínio ª MANEIRA: Se um ponto P pertence ao eio a cotas (eio ) então ele tem a forma: P ( 0, 0, ) Temos então que: PT 3, conforme o enunciao a questão Aplicano a fórmula a istância entre ois pontos, teremos: Então, substituino os valores PT ( P T ) ( P T ) ( P T 3 (0 ) (0 ) ( Desenvolveno os quaraos (*) ( 3) 4 9 Elevano ambos os membros ao quarao Resolveno a equação o º grau, encontramos: 0 ) e 4 3 ) T Logo, o ponto P poerá ser: P (0, 0, 0) ou ( 0, 0, 4) P ª MANEIRA: Se um ponto P pertence ao eio a cotas (eio ) então ele tem a forma: P ( 0, 0, ) Poemos consierar então o vetor TP, entre os pontos aos, que escreveremos: P TP P T ( 0, 0, ) (,, ) (,, ) A istância entre os pontos T e P também é o móulo o vetor TP, ou seja, TP 3 PT 3 T Aplicano a fórmula o móulo e um vetor, temos: TP () ( ) ( ) E aí segue que a resolução é iêntica à anterior partino a equação (*) veja acima Página 3 e

4 [Eercício Resolvio Bônus] Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 5), B(3, ) e C( 3, ) é isósceles; e calcule o seu perímetro Primeiramente, queremos provar que o triângulo ABC (veja o esquema ao lao) é isósceles A Poemos então consierar os vetores sobre seus laos: u AB Então:, v BC e w CA u AB B A ( 3, ) (0, 5) u ( 3, 7) v BC C B ( 3, ) (3, ) v (6, 0) w CA AC ( 0, 5) ( 3, ) w (3, 7) Calculano as istâncias através os móulos os vetores, temos: AB BC CA u v w (3) ( 6) (3) ( 7) (0) (7) C Note que, inicialmente, não sabemos quais os laos o triângulo têm o mesmo comprimento, e também não estamos preocupaos com a posição esse triângulo no sistema e coorenaas cartesianas Assim, o triângulo [acima] o nosso esquema e raciocínio é genérico! B Como AB temos que o triângulo ABC é isósceles [como queríamos provar] CA BC Agora, o seu perímetro ( p ) é: p p 6 58 uc AB BC CA 6) Determine as istâncias o ponto P(, 4, ) aos eios coorenaos, e, representano P no R 3 Inicialmente representaremos o ponto P no R 3 Veja: Para eterminarmos as istâncias solicitaas no eercício em questão, poeríamos utiliar uma relação [no R 3 ] que calcule a istância entre um ponto P e uma reta qualquer (que neste caso seria um os eios coorenaos, ou ) Entretanto, neste momento, aina não conhecemos tal relação Toavia temos que: A istância o ponto P ao eio será a istância o ponto P (, 4, ) ao ponto P (, 0, 0) A istância o ponto P ao eio será a istância o ponto P (, 4, ) ao ponto ( 0, 4, 0) P P ( 0, 0, A istância o ponto P ao eio será a istância o ponto P (, 4, ) ao ponto ) Veja na figura a seguir! Página 4 e

5 Desta forma, teremos os vetores: PP P PP (0, 4, ) PP P PP (, 0, ) P (, 0, 0) (, 4, ) P ( 0, 4, 0) (, 4, ) P P P PP P PP (, 4, 0) P ( 0, 0, ) (, 4, ) Calculano as istâncias através os móulos os vetores, temos: PP (0) (4) () uc P aoeio P aoeio 5 PP ( ) (0) () uc P aoeio P aoeio 5 PP ( ) (4) (0) P aoeio 7 uc P aoeio PS: uma boa observação no R 3 permite verificar os valores iretamente através o Teorema e Pitágoras LISTA DE EXERCÍCIOS Versor e um Vetor [página 4] ) Determinar o valor e a para que u = (a, a, a) seja um versor Para que um vetor qualquer seja um VERSOR, ele everá inicialmente ser unitário, ou seja, ter móulo Se o vetor u ( a, a, a) é um VERSOR, então ele everá ser unitário Assim, aplicano a fórmula o móulo e um vetor unitário, teremos: ( a ) ( a) (a) a 4a 9a 9 a 4a a 9 a 3 3) Daos os pontos A(,, 3), B( 6,, 3) e C(,, ), eterminar o versor o vetor w, tal que w 3BA BC Precisamos efinir o vetor w Para isso, escreveremos inicialmente os vetores BA e BC Assim: Página 5 e

6 BA A B (,, 3) ( 6,, 3) (7, 4, 0) BC C B (,,) ( 6,, 3) (7, 4, ) Agora, calcularemos o vetor w, pois: w 3BA BC w 3(7, 4, 0) (7, 4, ) w (,, 0) (4, 8, 4) w (7, 4, 4) O eercício solicita eterminar o VERSOR e w Então, aplicano a fórmula o VERSOR e um vetor, teremos: vers w w w w (7) (4) (4) (7, 4, 4) vers w vers w,, Que é a resposta procuraa! 5) Determinar o vetor e móulo 5, paralelo ao vetor v = (,, ) Inicialmente, vamos calcular o móulo o vetor ao v v () ( ) () 4 v v 6 Agora, calcularemos o seu VERSOR, que é unitário (tem móulo ), que tem mesma ireção (paralelo) e mesmo sentio vers v v,, ) vers v ( v 6 vers v,, Como queremos um vetor e móulo 5, multiplicamos o t 5 vers v t ,, t,, vers v por (5) e teremos o vetor peio que chamaremos e t Entretanto, como o sentio o vetor procurao t não foi efinio no problema, poeríamos ter multiplicao o ( 5), e assim teríamos um outro vetor que também satisfa as conições aas Então: vers v por t 5 vers v t 5 0,, Portanto, os vetores possíveis são: t 5,, LISTA DE EXERCÍCIOS Prouto Escalar [página 50] 4) Os pontos A, B e C são vértices e um triângulo equilátero com lao e 0 cm Calcule o prouto escalar entre AB e AC Observano o esquema ao lao, poemos escrever: B AB AC AB AC AB AC AB AC cos 0 0cos 60º 00(/ ) AB AC 50 Que é a resposta procuraa! A 60º º 60º 0 C Página 6 e

7 6) Calcular n para que seja e 30º o ângulo entre os vetores u = (, n, ) e j Inicialmente vamos calcular o móulo os vetores u e j Então: u () ( n) () j (0) () (0) u n 4 j (0) () (0) u n 5 j 0 0 j Obs: Vale lembrar que o vetor j é o VERSOR o eio e, portanto é fato que j (0,, 0) e j, tornano o cálculo o seu móulo (ao lao) esnecessário Agora, calcularemos o prouto escalar entre os vetores u e j Então: u j u j (0) n() (0) u j 0 n 0 u j n Como sabemos (pelo enunciao) que o ângulo entre os vetores aos é e 30º, aplicamos os valores encontraos anteriormente na efinição geométrica o prouto escalar Assim: u j u j cos n n 5 ()cos 30º 3 n 5 n 3n 5 n 3n 5 n ( n ) 3n 5 4n 3n 5 n 5 5 n Que é a resposta procuraa! 7) Daos os vetores a = (,, m), b = (m+, 5, ) e c = (m, 8, m), eterminar o valor e m para que o vetor a b seja ortogonal ao vetor c a Inicialmente vamos calcular os vetores a b e c a a b (,, m) ( m, 5, ) ( m 4, 4, m ) c a ( m, 8, m ) (,, m) (m, 7, 0 ) Então: Agora, para que ois vetores sejam ortogonais, o prouto escalar entre eles eve ser ZERO Conforme o enunciao ( a b) ( c a ), então [ a b] [ c a] 0 Aplicano a efinição algébrica o prouto escalar, teremos: [ a b] [ c a] 0 ( m 4)(m ) ( 4)(7) ( m )(0 Substituino os valores ) Efetuano as multiplicações 0 m m 8m Organiano 0 6m 36 Resolveno a equação o º grau, teremos: 3 m m ( ) 3m 8 0 m e 6 m Logo, os valores procuraos para m formam o conjunto solução {6, 3} S Página 7 e

8 9) Sabeno que o ângulo entre ois vetores u (,, ) e v (,, m ) é / 3, eterminar m ) Qual o valor e m para que os vetores a m i 5j 4k e b (m ) i j 4k sejam ortogonais? Página 8 e

9 3) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor (,, ) v Página 9 e

10 5) Determinar o vetor v, sabeno que v 5, v é ortogonal ao eio O, v w 6 e que w j k 3 9) Daos os vetores u (, a, a ), v ( a, a, ) e ( a,, ), etermine o valor e a e maneira que u v ( u v) w w Página 0 e

11 7) Na torre a figura ao lao [veja a figura no Material Básico e Estuo], etermine o ângulo formao entre os cabos AB e AC, e o ângulo aguo que o cabo AD forma com a linha vertical Página e