30 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos

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1 30 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos (RicaroCoutinho@mathistutlpt) 301 Equações iferenciais e orem n Comecemos com consierações gerais sobre equações e orem n; nomeaamente sobre a sua relação com sistemas e equações e primeira orem e a consequente existência e uniciae e soluções Uma equação iferencial e orem n a forma y (n) f t, y, y 0,y 00,,y (n 1) poe ser reuzia a um sistema e equações e primeira orem: efinino x 1 (t) y (t) x 2 (t) y 0 (t) x 3 (t) y 00 (t) obtemos x n (t) x 0 1 x 2 x 0 2 x 3 y (n 1) (t) x 0 n 1 x n x 0 n f (t, x 1,x 2,x 3,, x n ) Pelo que se poe aplicar o Teorema e Picar-Linelöf ( Teorema 241) Ou seja, se a função f (t, x 1,x 2,x 3,, x n ) é contínua num aberto D R n e localmente lipschitziana em relação a (x 1,x 2,x 3,, x n ) em D; entãoao(t 0,c 1,c 2,c 3,,c n ) em D oseguinteproblemaevalor inicial y (t 0 ) c 1 y (n) f y 0 (t 0 ) c 2 t, y, y 0,y 00,,y (n 1) com y 00 (t 0 ) c 3 y (n 1) (t 0 ) c n tem uma única solução y (t) e classe C n efinia numa vizinhança e t Equação linear e orem n e coeficientes constantes y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y h (t) one a n 1, a n 2 a 2, a 1 e a 0 são constantes (escalares; números reais) Mas h (t) éuma função (aa) efinia num intervalo real I e y y (t) é a função procuraa (incógnita) Pelo a fórmula a variação as constantes (Teorema 291) poemos resolver esta equação se resolvermos a equação homogénea: y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y 0 (H)

2 30 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) Matriz companheira e polinómio característico Tal com anteriormente, temos (equivalência e (H) a um sistema e equações e 1 a orem) y 0 Ay one e A y y y 0 y 00 y (n 1) a 0 a 1 a n 2 a n 1 Esta última matriz constante A esigna-se por matriz companheira a equação linear (H) Poe-se resolver então a equação (H) calculano a exponencial esta matriz ( e ta ) Não seguiremos irectamente este caminho, no entanto é útil calcular o polinómio característico esta matriz: et (A λ) Exercício 301 et (A λ) ( 1) n λ n + a n 1 λ n 1 + a n 2 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 Este resultao sugere a seguinte efinição: Definição 301 O polinómio característico a equação linear (H) é P (λ) λ n + a n 1 λ n 1 + a n 2 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 (301) Determinano as raizes (os zeros) este polinómio λ 1, λ 2 λ j, e as suas multipliciaes (orem os zeros) respectivas m 1, m 2 m j, poemos obter a seguinte factorização o polinómio ocaracterístico(301): P (λ) (λ λ 1 ) m 1 (λ λ 2 ) m2 (λ λ j ) m j One λ k éumaraizep (λ) com multipliciae m k eportanto m 1 + m m j n one n é o grau o polinómio (a orem a equação)

3 30 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) Operaores iferenciais A equação (H) poe-se escrever na forma µ n t + a n 1 n n 1 t + a n 1 n 2 n 2 t n a 2 2 t 2 + a 1 t + a 0 y 0 (H) Poemos encarar o símbolo n t n + a n 1 n 1 t n 1 + a n 2 n 2 t n a 2 2 t 2 + a 1 t + a 0 como um operaor num espaço e funções que a uma função y faz corresponer a função y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y Este tipo e operaores esignam-se por operaores iferenciais lineares e coeficientes constantes e possibilitam a formalização e um cálculo simbólico Exemplo 301 Consiere-se a equação y 00 +3y 0 +2y 0 (302) Temos Mas por outro lao µ y 00 +3y y t +3 2 t +2 y y 00 +3y 0 +2y y 00 + y 0 +2(y 0 + y) t (y0 + y)+2(y 0 + y) µ t +2 (y 0 + y) µ µ t +2 t +1 y ou aina one µ 2 t +3 2 t +2 y 00 +3y 0 +2y y 00 +2y 0 + y 0 +2y t (y0 +2y)+y 0 +2y µ t +1 (y 0 +2y) µ µ t +1 t +2 y µ µ µ µ t +2 t +1 t +1 t +2

4 30 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 4 Note-se que o polinómio característico é λ 2 +3λ +2(λ +2)(λ +1) ;portantoλ 2 e λ 1 são as raizes este polinómio característico Por outro lao +2 y 0é y 0 +2y 0que tem como solução (é uma equação linear e t 1 a orem) y ke 2t Do mesmo moo +1 y 0 y ke t Como a e 2t e e t são t linearmenteinepenentesesoluçõese(302)queéumaequaçãoeorem2, concluímos que a solução geral esta equação é y (t) k 1 e 2t + k 2 e t one k 1 e k 2 são constantes arbitrárias (a eterminar por conições iniciais ou e fronteira) Estas constantes poerão ser eterminaas impono novas conições a y (t) como por exemplo as conições iniciais y (0) 0; y 0 (0) 1, que levam aos cálculos: y (0) k 1 + k 2 0 y 0 (t) 2k 1 e 2t k 2 e t y 0 (0) 2k 1 k 2 1 portanto k 1 k 2 e k 2 2k 1 k 2 1, one y (t) e t e 2t Facilmente se reconhece que estabelecer igualaes com estes operaores é equivalente a estabelecê-las para os polinómios que se obtêm estes operaores substituino o operaor t pela variável (complexa) λ 305 Solução geral a equação homogénea y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y 0 (H) Teorema 301 Se λ 1, λ 2 λ j são as raizes o polinómio característico e m 1, m 2 m j as suas respectivas multipliciaes, então y (t) t p e λ kt p 0,, m k 1 k 1,, j constituem n (m 1 + m m j n) soluções linearmente inepenentes a equação (H) Consierao a factorização o polinómio característico, obtemos que a equação (H) é equivalente a µ m1 µ m2 µ mj t λ 1 t λ 2 t λ k t λ j y 0 (H) Notano que, para p {0,, m k 1}, vem µ m1 µ m2 µ mj t λ 1 t λ 2 t λ j t λ k y 0, oteoremaficará emonstrao quano mostramos que y (t) t p e λkt é solução e t λ k y 0

5 30 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) Soluções t p e λ kt Comecemos por notar que (p > 0) µ t λ k t p e λ kt pt p 1 e λ kt + t p λ k e λ kt λ k t p e λ kt pt p 1 e λ kt Então (p {0,, m k 1}) t λ k t p e λ kt 1 µ t λ k t λ k t p e λ kt 1 p t λ k t p 1 e λ kt peλ k t p (p 1) 1 t λ k 0 Exercício 302 Mostrar que t p e λ kt, p 0,,m k 1, k 1,, j, são funções (e t) linearmente inepenentes (Note-se λ k 6 λ k 0 se k 6 k 0 ) 3052 Raizes complexas conjugaas Se λ é uma raiz complexa com multipliciae m e um polinómio característico com coeficientes (a n 1, a n 2 a 2, a 1 e a 0 ) reais, então o número λ (complexo conjugao e λ ) também é raiz, com a mesma multipliciae m, o mesmo polinómio Pelo que neste caso temos as soluções (a equação linear homogénea) t p e λt e t p e λt com p {0,, m 1}Então as seguintes combinações lineares estas aina são soluções: 1 2 tp e λt tp e λt e 1 2i tp e λt 1 2i tp e λt Portanto, obtemos as seguintes soluções reais linearmente inepenentes one α Reλ e β Imλ t p e αt cos (βt) e t p e αt sen (βt),

6 30 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) Exemplos Exemplo 302 y 000 6y y 0 16y 0 Polinómio característico: λ 3 6λ 2 +16λ 16 λ 2éumaraiz( ) Regra e Ruffini Polinómio característico λ 3 6λ 2 +16λ 16 (λ 2) λ 2 4λ +8 (λ 2) (λ 2) 2 +4 Raizes o polinómio característico: λ 2; λ 2+i2; λ 2 i2 Soluções linearmente inepenentes: e 2t ; e 2t cos(2t); e 2t sen(2t) Solução geral: one k 1 k 2 e k 3 são constantes arbitrárias y (t) k 1 e 2t + k 2 e 2t cos(2t)+k 3 e 2t sen(2t), Exemplo 303 y 000 8y y 0 26y 0 Polinómio característico: λ 3 8λ 2 +25λ 26 λ 2éumaraiz( ) Regra e Ruffini Polinómio característico λ 3 6λ 2 +16λ 16 (λ 2) λ 2 6λ +13 (λ 2) (λ 3) 2 +4 Raizes o polinómio característico: λ 2; λ 3+i2; λ 3 i2 Soluções linearmente inepenentes: e 2t ; e 3t cos(2t); e 3t sen(2t) Solução geral: one k 1 k 2 e k 3 são constantes arbitrárias y (t) k 1 e 2t + k 2 e 3t cos(2t)+k 3 e 3t sen(2t), Exemplo y +2 2 y + y 0 t 4 t 2 Polinómio característico: λ 4 +2λ 2 +1 λ Raizes o polinómio característico: λ i; λ i ambas com multipliciae 2 Soluções linearmente inepenentes: cos t; sen t; t cos t e t sen t Solução geral: y (t) k 1 cos t + k 2 sen t + k 3 t cos t + k 4 t sen t, one k 1, k 2, k 3 e k 4 são constantes arbitrárias