QUESTÕES COMENTADAS DE MECÂNICA

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1 QUESTÕES COMENTDS DE MECÂNIC Prof. Inácio Benvegnú Morsch CEMCOM Depto. Eng. Civil UFGS

2 ) Calcule as reações em para a viga isostática representaa na figura () kn/m,5 m Solução: Este cálculo fica simplificao se trabalharmos com ois triângulos. kn / m m P kn 0,5 kn / m,5 m P 0, 75 kn,5 m kn 0,5 0,5 kn/m Figura () Com estas cargas aplicaas conforme esquema ao lao, poe-se calcular as reações no engaste. H 0 F 0 V + 0,75 0 V 0, 65 kn M 0 0,75 0,67 M 0 M 0, 55 knm 0,67 0,75 kn ) Para o perfil Z enrigecio representao na figura () etermine os momentos principais centrais e inércia. epresente também a orientação os eios principais centrais e inércia inicano qual eio fornece o valor e inércia máimo Solução: Os eios centrais poem ser eterminaos sem necessiae e cálculo através e simples inspeção visual a peça Figura () 75 (mm) Os momentos centrais e inércia são eterminaos pelas epressões abaio. 0 5,5 5 I 795,8 cm 5 0 5,5 I + 5,5 8,75 55,08 cm O prouto e inércia em relação aos eios centrais e é eterminao pela epressão [ 0 + (,5 5),5 8,75] [ 0 + (,5 5) (,5) ( 8,75) ] I 0 7,8 cm Os eios principais centrais e inércia são localizaos pelo ângulo ( 7,8) tan θ 0,6 55,08 795,8 o θ 9,9 795,8 + 55,8 I me 97,95 cm 55,8 795,8 8056,5 cm + ( 7,8) I ma 97, ,5 00 cm I min 97, ,5 697, 6 cm posição os eios e máimo e mínimo está inicaa na figura anterior.

3 ) Determine os momentos principais centrais e inércia para o conjunto representao na figura () sabeno-se que os momentos e inércia e um perfil C em relação aos seus eios centrais valem I 0, cm e I 0, cm Y Obs. espessura a (mm) chapa é constante. Solução: Figura () Em primeiro lugar eve-se localizar o centróie e um os perfis C. Como este perfil tem simetria concluí-se iretamente que 5 mm. Para o cálculo e aota-se um eio e referência que passa no meio o retângulo 50 6 que forma o perfil C. Deste moo, o cálculo e fica ( 7, 0,6) 5,5, 9 cm 5 0,6 + 7, 0,6,88 O próimo passo é calcular o quanto sobe o centróie o conjunto evio a chapa que é colocaa sobre os perfis C. Este cálculo fica simplificao aotano-se como eio e referência o próprio eio central o perfil C. Seguino este proceimento poe-se escrever ( 6 0,8) ( 8,,9) 7,85, 7 cm, ,8 97,6 X c X au 0,88 cm Obs. área e um perfil C vale,6 ( 5 + 7,) O cálculo os momentos centrais e inércia é feito mais facilmente se utilizarmos os momentos e inércia que foram fornecios na questão. 0,8 6 I 0,,88 7, , ,5 7, cm 6 0,8 I 0,,88, ,8 ( 8,,9,7) 6, cm Como o eio Y o conjunto é também um eio e simetria poe-se afirmar que I 0. Logo concluí-se que os momentos centrais e inércia são os próprios momentos principais centrais e inércia.

4 ) Calcule as reações nos pontos e B a figura (). kn/m Solução: Para se encontrar a carga equivalente trabalha-se com os triângulos e carga efinios na figura. P kn.5 (m) B,5 P, 5 kn Figura () M 0 0,67,5,5 +,5V 0 B 0,67 kn,5 kn,0 V B, 7 kn e V,5,7, kn B

5 5) Determine os momentos principais centrais e inércia a peça representaa na figura (). Solução: 0 semicírculo 6,98 mm π 60 peça peça π 0 6,98 π π 5 +,5 mm 0 0 Ø0 0 Ø0 figura () (mm) 0, Xc Xau I c π π + π mm 6, cm 0 0 π 5 I c + 0 0,5 + π 5,5 π 0 π 0 π 0 + 6,98 +,7 8 I c 6 mm, cm Como I c é eio e simetria, o prouto e inércia em relação aos eios X c e Y c é necessariamente igual a zero, logo estes eios são os eios principais centrais e inércia e os momentos I c e I c são os momentos principais centrais e inércia.

6 6) O carro ilustrao na figura repousa sobre meiores e força, e nesta posição a leitura para as roas ianteiras e traseiras é aa por F D e F T. Demonstre como eterminar a posição o centro e graviae o carro sabeno a istância entre eios, o iâmetro a roa e que os elevaores poem posicionar os eios traseiros e ianteiros em alturas istintas. Solução: Inicialmente faz-se a meição as forças com os eios ianteiros e traseiros na mesma altura. Para esta situação o iagrama e corpo livre fica F T X G Y F D F T P F D Logo poe-se escrever que FD + FT P em que P é o peso total o veículo. Chamano-se e l a istância entre eios FD l obtém-se F D l P 0, ou seja. P Fazeno-se agora a meição as forças com os eios ianteiros e traseiros em alturas istintas, obtém-se o iagrama e corpo livre a seguir. Chamano-se e h o esnível entre o eio ianteiro e o eio traseiro, poe-se escrever h senθ l M D 0 l cosθ F T ( l ) Psenθ a 0 + Pcosθ [ P( l ) F l] cosθ a T Psenθ e a + em que é o iâmetro a roa. F T P θa F D

7 7) Determine as reações nos apoios e B a figura (). Solução: kn/m m P kn/m m + kn/m + 0,89 m kn/m (m).5 Figura () B kn/m 0.5 kn Logo o iagrama e corpo livre resultante é Para o qual poe-se escrever M D 0 V +,5 0,89 0 B 0,89 kn H B kn V B 0,085 kn V 0,085,95 kn e 0 H B V V B

8 8) Determine a área a superfície lateral e o volume o objeto gerao pela rotação a curva ilustraa na figura () em torno o eio e rotação. Empregue os teoremas e Pappus-Gulinus. Solução: Localização o centróie a curva geratriz: 0 Segmento l.l , 5 85, ,,6 70, Total,85 905,9 Figura () (mm) 905,9 7,75 mm,85 π 7,75, ,8 mm 578,9 cm π π geraora ( 50 0 π ) π 699,9 mm V π,8 699, ,89 mm 979 cm,8 mm

9 9) Inique as epressões abaio que representam o momento e inércia I o semi-círculo. Justifique a sua resposta. a) I π 8 π π π b) I π 8 π + C c) ) I I π π π π π Solução: solução este problema está baseaa no conhecimento o Teorema e Steiner que iz que o momento e inércia e uma área em relação a um eio qualquer é igual ao momento e inércia em relação ao eio central a área mais o prouto a área a figura pelo quarao a istância entre os ois eios, ou seja I I c + a. O eio é o eio que passa na base o semi-círculo e seria o eio central o círculo, caso este fosse completo. Logo, o momento e inércia I vale metae o momento e inércia o círculo, ou seja I π, que é um termo que se 8 encontra em toas as opções e resposta. Consierano-se o enunciao o Teorema e Steiner verifica-se que as alternativas b) e c) estão erraas. Na alternativa π b) soma-se o momento e inércia I com, o que viola o Teorema e Steiner já que I não é o momento e inércia central o semi-círculo e a istância, entre os eios e, não é meia em relação ao eio central o semicírculo. Na alternativa c) a istância aotao entre os eios é a correta, ou seja +, mas continua-se empregano o π momento e inércia I como se fosse o momento e inércia central o semi-círculo. O momento e inércia central o semi-círculo, I, é obtio aplicano o Teorema e Steiner consierano que a istância entre os eios e vale, ou seja π π π π π 6 π 8 I + I 8 π 8 9π 8 9π Poe-se notar que a alternativa a) calculo o momento e inércia corretamente. alternativa ) é igual a b) com eceção que aquela consiera um termo a mais que é. O significao este termo poe ser obtio o Teorema e Steiner. ntes a eliminação a integral referente ao momento estático e ª orem a epressão o teorema fica como I I + S + a. Como o eio aotao era consierao eio central c tem-se que S 0. Entretanto, caso o eio aotao não fosse central a epressão o teorema ficaria I ' + S' + a I em que e são simplesmente ois eios paralelos. Calculano-se S tem-se S S em que S Consierano-se a equação a circunferência: resolveno-se a integral resultante tem-se +, e

10 S [] S + + Logo o termo S, o que faz com que a alternativa ) também esteja correta. Efetivamente poe-se notar que operano-se sobre a epressão a alternativa a) obtém-se a alternativa ) comprovano o raciocínio apresentao.

11 0) Determine o peso o carvão contio na carvoeira, ilustraa na figura (), quano esta está totalmente cheia. Consiere o peso específico o carvão igual a 7,85 kn/m e amita que há 0% e volume perio por vazios e ar. proime a curva que efine o formato a carvoeira pela parábola inicaa na figura. esolva o problema aplicano o Teorema e Pappus-Gulin. Y m Solução: Para resolver este problema é necessário calcular a área geratriz, bem como a posição o centróie esta em relação ao eio e rotação. Para tal aota-se uma faia e integração e área ( 6 ) conforme ilustrao na figura abaio. m Y 6 m 6 m 6- X X Cálculo a área geratriz: 0 0 ( 6 ) 6 m Cálculo o momento estático e ª orem S Figura () S Localização o centróie: ( 6 ) 6 6,5 m S,5,5 m Volume bruto: VBruto π π,5 8,8 m Volume líquio: ( 0,) 8,8 67,86 m V Líquio Peso 7,85 67,86 5,7 kn