UNIFEI-Campus Itabira Eletromagnetismo Lista de Exercicios #1

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1 UNIFEICampus Itabira Eletromagnetismo Lista e Eercicios #1 ** rof. Dr. Miguel Tafur ** Livro e referencia: Física III: Eletromagnetismo. R. Resnick e D. Halliay 1 Carga Elétrica e Lei e Coulomb Questão 1.1: Três partículas carregaas repousam em uma linha reta e são separaas pela istância. As cargas q 1 e q 2 são mantias fias. A carga q 3, que é livre para moverse, está em equilíbrio sobre a ação as forças elétricas. Ache q 1 em função e q 2. Questão 1.2: Um cubo e lao a possui uma carga pontual q em caa canto. Mostre que a força elétrica resultante sobre qualquer as cargas está na iagonal o cubo e sentio para fora o cubo e é aa por: F = 0, 262q2 ε 0 a 2 Questão 1.3: Ache a força em uma carga pontual positiva q posicionaa a uma istância o fim e um bastão e comprimento L com cargas positivas uniformemente istribuías Q, ver Figura1a. Questão 1.4: Consiere o bastão e a carga q 0, ver Figura1c. One poe ser posta uma seguna carga pontual q (igual à carga no bastão) e tal forma que q 0 esteja em equilíbrio (não consiere a graviae). Resolva esse problema supono que (a) q é positivo, q é negativo e mostre que o equilíbrio e q 0 é instável. Questão 1.5: Suponha que o bastão a Figura1c tenha uma ensiae uniforme e cargas positivas λ na metae superior o bastão e ensiae uniforme e cargas negativas λ na metae inferior o bastão. Ache a força resultante na carga pontual q 0. Questão 1.6: Uma carga Q é fiaa em caa um e ois cantos opostos e um quarao. A carga q é posicionaa em caa um os outros ois cantos opostos o quarao. (a) Se a resultante a força elétrica em Q é ero, como Q relacionase com q. oeria q ser escolhia para faer com que a resultante as forças elétricas em caa carga seja nula. Questão 1.7: Duas bolas minúsculas, similares, e massa m estão penuraas por fios e sea e comprimento L e possuem cargas iguais q, ver Figura1b. Suponha que θ é tão pequeno que tan θ poe ser assumio ser aproimaamente igual a sin θ. ara esta aproimação é mostrao que, para o equilíbrio: q 2 L = ( 2πε 0 mg )1/3 Questão 1.8: Uma certa carga Q está para ser iviia em uas partes, Q q e q. Qual a relação e Q com q se estas uas partes, postas com uma aa separação, teriam a máima repulsão e Coulomb. Questão 1.9: Duas cargas positivas Q são mantias fiaas a uma istância e separação. Uma partícula com carga q e massa m é posicionaa a maio caminho as cargas, então, é ao à partícula um pequeno eslocamento perpenicular a uma linha hipotética que liga as cargas e epois é liberaa. Mostre que a partícula escreve um movimento harmônico simples e períoo: T = ( ε 0mπ 2 3 qq )1/2 1

2 Questão 1.10: Duas cargas pontuais com carga q são mantias separaas por uma istância e 2a. Uma carga e teste é posicionaa em um plano que é normal a uma linha imaginária que liga estas cargas e a meia istância entre estas. Determine o raio R e um círculo nesse plano no qual a força sobre a partícula e teste tem o valor máimo. Ver Figura1. 2 Campo Elétrico Questão 2.1: O mostraor e um relógio tem cargas pontuais negativas q, 2q, 3q,..., 12q fias nas posições corresponentes aos numerais. Os ponteiros o relógio não perturbam o campo. A que horas o ponteiro e horas aponta na mesma ireção e mesmo sentio o campo elétrico eistente no centro o mostraor. Questão 2.2: Um tipo e quaripolo elétrico é formao por quatro cargas localiaas nos vértices e um quarao e lao 2a. O ponto esta a uma istância o centro o quaripolo e sobre uma linha paralela aos ois laos o quarao. ara a, mostre que o campo elétrico em é ao aproimaamente por: (Dica: Trate o quaripolo como ois ipolos) E = 3(2qa2 ) 2πε 0 4 Questão 2.3: Uma fina haste e viro é obraa em um semicírculo e raio r. Uma carga q é uniformemente istribuía ao longo a metae superior e uma carga q é uniformemente istribuía ao longo a metae inferior. Determine o campo elétrico E em, o centro o semicírculo. Questão 2.4: Uma haste isolaora e comprimento L tem carga q istribuía uniformemente ao longo o seu comprimento. Determine o campo elétrico no ponto, que esta a uma istância a a etremiae a haste, faça a seguinte aproimação a L e calcule E. Questão 2.5: Um campo uniforme vertical E é estabelecio no espaço entre uas granes placas paralelas. Uma pequena esfera conutora e massa m é suspensa entro o campo através e um fio e comprimento L. Determine o períoo este pênulo quano é aa à esfera uma carga q, se a placa inferior (a) está carregaa positivamente e está carregaa negativamente. Questão 2.6: Mostre que os componentes e E evios a um ipolo são aos, para pontos istantes, por: E = 1 3p 4πε 0 ( 2 2 ), E 5/2 = 1 p(2 2 2 ) 4πε 0 ( 2 2 ) 5/2 one e são as coorenaas o ponto na Figura2a. Questão 2.7: A Figura2b mostra um tipo e quaripolo elétrico. Ele consiste e ois ipolos cujos efeitos em pontos eternos não se cancelam totalmente. Mostre que o valor e E sobre o eio o quaripolo para pontos a uma istância o seu centro (supono é ao por: E = 3Q 4πε 0 4, one Q = 2q 2 é chamao o momento e quaripolo a istribuição e carga. Questão 2.8: Uma haste semiinfinita isolaora, ver Figura2c, tem uma carga constante por uniae e comprimento λ. Mostre que o campo elétrico no ponto fa um ângulo e π/4 com a haste e que este resultao é inepenente a istancia R. Questão 2.9: Uma taça hemisférica não conutora e raio interno R tem uma carga total q istribuía uniformemente ao longo a sua superfície interna. Determine o campo elétrico no centro e curvatura. Questão 2.10: Um elétron é forçao a se mover ao longo o eio e um anel carregao. Mostre que o elétron poe esenvolver pequenas oscilações, através o centro o anel com uma freqüência aa por: eq w = 4πε 0 mr 3 2

3 3 Lei e Gauss Questão 3.1: Uma carga pontual q está /2 istante e uma superfície quaraa com lao e está eatamente acima o centro o quarao, ver Figura3a. Determine o fluo elétrico através o quarao. Questão 3.2: Uma carga pontual q está posicionaa em um os vértices e um cubo e aresta a. Qual é o fluo através e caa uma as faces esta. Questão 3.3: Duas laminas finas, granes e não conutoras, com cargas positivas, estão frente a frente conforme inicao na Figura3b. Qual é o campo E em pontos (a) à esquera as lâminas, entre as lâminas, e à ireita as lâminas. Consiere a mesma ensiae superficial e carga para caa lâmina. Consiere apenas pontos que não estejam próimos as boras e cuja istância até as lâminas seja pequena em comparação com as imensões esta. Questão 3.4: Duas granes placas metálicas carregaas estão frente a frente, ver Figura3c, com ensiae e carga superficial σ e σ em suas superfícies internas. Determine E em pontos (a) à esquera as lâminas, entre as lâminas, e à ireita as lâminas. Consiere apenas pontos que não estejam próimos as boras e cuja istância até as lâminas seja pequena em comparação com as imensões esta. Questão 3.5: Uma longa casca cilínrica não conutora, com raio interno R e raio eterno 2R, recebe carga uniformemente istribuía em toa a sua etensão. Em que posição raial abaio a superfície eterna com carga istribuía, a intensiae o campo elétrico será igual à metae a intensiae o campo elétrico na superfície. Questão 3.6: Um cilinro infinitamente longo com raio R é carregao uniformemente em too a sua etensão. (a) Mostre que E a uma istância r o eio o cilinro (r < R) é ao pela epressão: one ρ é a ensiae e carga volumétrica. E = ρr eε 0 Questão 3.7: Uma pequena esfera e massa m tem uma carga q. A esfera pene no campo gravitacional a Terra e uma linha e sea, faeno um ângulo θ com uma lâmina grane, não conutora e uniformemente carregaa, ver Figura3. Calcule a ensiae e carga uniforme σ para a lâmina. Questão 3.8: Um cilinro conutor muito longo (comprimento L) com carga resultante q é envolvio por uma casca cilínrica conutora, com carga resultante 2q, ver Figura3. Use a lei e Gauss para calcular (a) o campo elétrico em pontos no eterior a casca conutora, a istribuição e carga na casca conutora, e o campo elétrica na região entre os cilinros. Questão 3.9: A Figura4a apresenta uma carga q na forma e uma esfera conutora uniforme e raio a. localiaa no centro e uma casca esférica conutora, com raio interno b e raio eterno c. A casca eterna está carregaa com q. Determine E(r) nas posições (a) no interior a esfera (r < a), entre a esfera e a casca (a < r < b), no interior a casca (b < r < c), e () no eterior a casca (r > c). Questão 3.10: Uma grane superfície plana e não conutora tem ensiae e carga, σ, uniforme. Foi feito um pequeno furo circular e raio R, no centro a superfície, ver Figura4b. Despreanose as istorções nas linhas e campo elétrico nas proimiaes e toas as arestas, calcule o campo elétrico no ponto a uma istância o centro o furo e sobre o seu eio (normal ao plano a superfície). Questão 3.11: A Figura4c mostra uma seção transversal e ois cilinros finos, longos e concêntricos, com raios a e b. Os cilinros têm cargas por uniae e comprimento, λ, iguais e e sentios opostos. rove, usano a lei e Gauss, que (a) E = 0 para r < a e que entre os ois cilinros E é ao pela epressão: E = 1 λ 2πε 0 r Questão 3.12: Uma casca esférica metálica, fina, escarregaa tem em seu interior uma carga pontual q. Usano a lei e Gauss, etermine as epressões para o campo elétrico (a) no interior a casca e no eterior a casca. A casca influência e alguma maneira o campo gerao por q. () A presença e q influência e alguma forma a casca. Questão 3.13: A região esférica a < r, b tem carga por uniae e volume ρ = Ar 1 one A é uma constante. No centro (r = 0) a caviae envolvia pela esfera, eiste uma carga pontual q. Qual everia ser o valor e A para que o campo elétrico na região a < r < b tenha intensiae constante. 3

4 Questão 3.14: Uma placa plana e espessura tem uma ensiae e carga volumétrica uniforme ρ. Determine a intensiae o campo elétrico em toos os pontos no espaço (a) no interior e no eterior a placa, em termos e, a istancia meia o plano méio a placa. Questão 3.15: Uma esfera maciça, não conutora, e raio R tem ensiae e carga não uniformemente istribuía, ρ = ρ s r/r, one ρ s é uma constante e r é a istância até o centro a esfera. Mostre que (a) a carga resultante na esfera é Q = πρ s R 3 e o campo elétrico no interior a esfera é ao por: E = 1 4πε 0 Q R 4 r2 Questão 3.16: Uma esfera conutora com carga Q é envolvia por uma casca esférica conutora. (a) Qual a carga resultante na superfície interna a casca. Uma outra carga q é colocaa no eterior a casca. Agora, qual a carga resultante sobre a superfície interna a casca. () Se q é eslocaa para uma posição entre a casca e a esfera, qual a carga resultante sobre a superfície interna a casca. 4 Energia otencial Elétrica e otencial Elétrico Questão 4.1: Uma partícula com carga q é mantia em uma posição fia no ponto e uma seguna partícula e massa m, teno a mesma carga q, é inicialmente mantia em repouso a uma istância r 1 e. A seguna partícula é então liberaa e é repelia pela primeira. Determine sua velociae no instante que está a uma istância r 2 e. Questão 4.2: É suposto que uma partícula e carga Q tenha uma posição fia em. Uma seguna partícula e massa m e com carga q eslocase a uma velociae constante em um circulo e raio r 1 com centro em. Obtenha uma epressão para o trabalho W que eve ser realiao por um agente eterno sobre a seguna partícula para crescer o raio o circulo e movimento, centrao em, para r 2. Questão 4.3: O campo elétrico e uma esfera não conutora e raio R, conteno uma ensiae uniforme e carga, está raialmente irigia e tem a intensiae : E = qr 4πε 0 R 3 one q é a carga total sobre a esfera e r é a istância a partir o centro a esfera. (a) Encontre o potencial V entro a esfera, supono que V = 0 quano r = 0. Qual a iferença no potencial elétrico entre um ponto sobre a superfície e o centro a esfera. Se q é positivo, qual ponto tem o maior potencial. Mostre que o potencial na istância r a partir o centro one r < R, é aa por: V = q(3r2 r 2 ) 8πε 0 R 3 one o potencial ero é aotao para r =. or que este resultao ifere aquele a parte (a). Questão 4.4: Uma partícula e massa m, com carga q > 0 e com energia cinética inicial K é arremessaa (e uma separação infinita) em ireção ao núcleo pesao e carga Q, que é suposto ter uma posição fia seguno o sistema e referência aotao. Se a pontaria for perfeita, quão perto o centro o núcleo estará a partícula quano esta atingir instantâneamente o repouso. Questão 4.5: A Figura mostra, em corte, uma placa fina infinita e ensiae e carga σ. (a) Quanto trabalho é realiao pelo campo elétrico a placa fina à meia que uma pequena carga e teste positiva q 0 é eslocaa a sua posição inicial sobre a superfície a placa fina para uma posição final a uma istância perpenicular à superfície. Utilie o resultao anterior para mostrar que o potencial elétrico e uma superfície infinita e carga poe ser escrita: V = V 0 σ 2ε 0 one V 0 é o potencial a superfície a placa fina. Questão 4.6: A quantiae total e carga positiva Q é espalhaa em um anel circular nãoconutor, plano, com raio interno a e raio eterno b. A carga é istribuía e tal forma que a ensiae e carga é aa por 4

5 σ = kr 3, one r é a istância o centro o anel até qualquer ponto sobre ele. Mostre que (com V = 0 no infinito) o potencial no centro o anel é ao por; V = Q 8πε 0 ( a b ab ) Questão 4.7: ara a configuração e carga a Figura, mostre que V (r) para os pontos sobre o eio vertical, supono r, é ao por: V = 1 ( q 2 )(1 4πε 0 r r ) (Sugestão: A configuração e carga poe ser vista como a soma e uma carga isolaa e um ipolo.) Suponha V = 0 no infinito. Questão 4.8: A carga por uniae e comprimento λ é istribuía uniformemente ao longo e um bastão elgao e comprimento L. (a) Determine o potencial (escolheno ero no infinito) no ponto a uma istância y e uma as pontas o bastão em linha com ele, ver Figura. Utilie o resultao anterior para calcular a componente o campo elétrico em na ireção y (ao longo o bastão). Determine a componente o campo elétrico em na ireção perpenicular ao bastão. Questão 4.9: Sobre um bastão elgao e comprimento L posicionao ao longo o eio com uma ponta na origem ( = 0), ver Figura; eiste uma carga istribuía por uniae e comprimento aa por λ = kr, one k é uma constante e r é a istância a partir a origem. (a) Supono que o potencial eletrostático no infinito seja nulo, ache V no ponto sobre o eio y. Determine a componente vertical, E y, o campo elétrico em a partir o resultao a parte (a) e aina por calculo ireto. or que E, a componente horiontal o campo elétrico em, não poe ser achaa utilianose o resultao a parte (a). () A que istância a partir o bastão ao longo o eio y o potencial é igual à metae o valor o lao esquero o bastão. Questão 4.10: Consiere uma casca esférica elgaa conutora, isolaa, que é uniformemente carregaa com uma ensiae e carga constante σ. Quanto trabalho é necessário para mover uma pequena carga e teste positiva q 0 (a) a superfície a casca para o seu interior, através e um pequeno furo; e um ponto para o outro sobre a mesma superfície, não importano qual caminho; e um ponto ao outro ambos entro a casca; e () e qualquer ponto no eterior a casca por qualquer caminho, furano ou não a casca, e volta para. 5 Capacitores e Dieléctricos Questão Q9.14; Questão 9.6; Questão 9.8; Questão 9.22; Questão 9.38; Questão 9.39; Questão 9.40; Questão 9.48; Questão 9.50; Questão 9.51; Questão 9.54; Questão 9.55; Questão 9.57; Questão 9.59; Questão 9.60; Questão 9.61; Questão 9.62; Questão 9.63; Questão 9.70, Questão 9.73; Questão 9.78; Questão 9.80; Questão 9.81; Questão 9.82; Questão 9.84; Questão 9.85; Questão 9.87; Questão 9.90; Questão 9.93; Questão 9.94; Questão 9.96; Questão 9.97; Questão 9.100; Questão Corrente e Resistência Elétrica Questão 10.21; Questão 10.24; Questão 10.26; Questão 10.46; Questão 10.59; Questão 10.61, Questão 10.69; Questão 10.70; Questão 10.71; Questão 10.74; Questão 10.76; Questão 10.81; Questão 10.83; Questão 10.87; Questão 10.94; Questão 10.95; Questão ; Questão

6 (a) L q (a) q θ θ L q 0 q q q q p p () q q R q a a R Figura 1: Questão1 Figura 2: Questão1 (a) (e) q q q /2 a b c () σ θ m,q (a) q 2q a b R Figura 3: Questão2 Figura 4: Questão3 6