SOLENÓIDE E INDUTÂNCIA

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1 EETROMAGNETSMO SOENÓDE E NDUTÂNCA O SOENÓDE Campos magnéticos prouzios por simples conutores ou por uma única espira são bastante fracos para efeitos práticos. Assim, uma forma e se conseguir campos magnéticos com intensiaes maiores é através e um solenóie. Um solenóie é um enrolamento helicoial, conforme é mostrao na figura 1.1 abaixo. Consieremos que o enrolamento ilustrao possua N voltas igualmente istribuías ao longo o comprimento o solenóie. A corrente que flui pelo enrolamento é A. Se o espaçamento ao entre espiras for muito pequeno em relação ao raio e caa espira, poemos substituir o enrolamento por uma lâmina e corrente superficial e ensiae laminar K one: K = N (A / m) (1.1) N Figura Um solenóie com N espiras enrolaas. Para encontrarmos a ensiae e fluxo magnético no centro o solenóie, consieremos uma seção a lâmina com espessura elementar x, como se fosse uma única espira, cuja corrente é: e = Kx = N x (A) (1.) O exemplo 9. mostrou como se calcular o campo magnético gerao por um anel circular e corrente ao longo o seu eixo. Tomano a relação constitutiva =- µ H, a ensiae e fluxo evio a caa anel e corrente e raio R em uma posição genérica x ao longo o eixo este anel é aa por: µ e R = (Wb / m ) 3 (1.3) R + x Ou, para o elemento e espessura x consierano (1.), a ensiae elementar e fluxo em caa espira percorria pela mesma corrente é: µ NR = R + x 3 x (Wb / m ) (1.4)

2 EETROMAGNETSMO 106 Desta forma, a ensiae total no centro o solenóie é obtia pela integração ao longo a lâmina e corrente, consierano seus extremos em relação a este centro. ogo: µ NR = Realizano a integração obtemos: = / R x / + µn 4R + x 3 (Wb / m (Wb / m ) ) (1.5) (1.6) Se o comprimento o solenóie for muito maior o que o seu raio, a expressão (1.6) se reuz a: one K é a ensiae laminar e corrente em A.m -1. µ N = = µ K (Wb / m ) (1.7) As equações (1.6) e (1.7) fornecem o valor a inução magnética no centro o solenóie. Muano os limites e integração para 0 e, teremos a inução magnética nos extremos o solenóie. Assim, que é a metae o valor no centro a bobina. µ N µ N µ K = = (Wb / m ) (1.8) R + Exemplo 1.1 Um solenóie uniforme possui 400 mm e comprimento, 100 mm e iâmetro, 100 espiras e uma corrente e 3 A. Encontre a inução magnética no eixo o solenóie: a) - no seu centro, b) - em uma extremiae e c) - a meio caminho entre o centro e a extremiae. Solução a) no centro = µ 0 N 4R + (T) 7 4π = = 0,915 (mt) 4 0,05 + 0,4 b) em uma as extremiaes = µn R + 7 4π 10 3 = 0,05 + 0,4 (T) = 0,468 (mt) c) - entre o centro e uma as extremiaes. Faça-o como exercício, consierano como origem a integração um ponto a 1/4 e 3/4 e caa extremiae respectivamente. Vamos agora encontrar o torque que impõe um conjugao e tene a girar o solenóie, se este for imerso em um campo magnético. É fácil ver que o torque será máximo quano o eixo o solenóie se encontrar na ireção perpenicular à o campo magnético externo, conforme é mostrao na figura 1., one o eixo e rotação estará no centro o solenóie. Supono que este seja e seção quaraa e lao, a componente a força tangencial e torque F t num único segmento e espira sob interação magnética é: F t =.cosβ (N) (1.9)

3 EETROMAGNETSMO 107 / / r r F F t β Fig Torque no solenóie Mas: cos β = (1.10) r Se consierarmos as uas espiras extremas, conforme a figura acima, teremos um torque prouzio por quatro forças e mesma intensiae F t. efinia em (1.9) Portanto: t = T= 4F.r = A (N.m) (1.11) one A = é a área a seção reta o solenóie. Observe que este torque é inepenente a istância as espiras ao centro o solenóie. Esteneno o raciocínio, o torque total estará istribuío entre as uas metaes ao longo o comprimento o solenóie e moo que: one m' = NA é o momento magnético o solenóie. N T m = A = NA = m. (N.m) (1.1) 1. - NDUTORES E NDUTÂNCA Um inutor é um ispositivo capaz e armazenar energia no campo magnético. Ele eve ser visto como uma contraparte no magnetismo ao capacitor, que armazena energia no campo elétrico. Exemplos típicos e inutores são formaos por espiras simples, enrolaas em solenóies, em toróies, etc. As linhas e fluxo magnético prouzias pela corrente que percorre o enrolamento e um solenóie formam caminhos fechaos, uma característica e um campo solenoial. Caa linha e fluxo que passa por too o solenóie concatena a corrente um número N e vezes. Se toas as linhas e campo se concatenam com toas as espiras, o fluxo magnético concatenao resultante Λ (lamba maiúsculo) é igual a: Λ = Nψ (Wb.esp) (1.13) m Por efinição, a inutância é a razão entre o fluxo concatenao total e a corresponente corrente. Assim, Nψ m Λ = = (H) (1.14)

4 EETROMAGNETSMO 108 A efinição acima é satisfatória para meios com permeabiliae magnética constante, como no ar. Como será visto mais tare, a permeabiliae e materiais ferromagnéticos não é constante e nestes casos a inutância é efinia como seno a razão entre a muança infinitesimal no fluxo concatenao, pela muança infinitesimal na corrente. Daí: Λ = (H) (1.15) A inutância tem imensão e fluxo por corrente, e a sua uniae no Sistema nternacional e Uniaes é o henry (H). Assim como a resistência e a capacitância, a inutância epene apenas a geometria e o meio one o inutor se encontra, referenciao por sua permeabiliae magnética µ. É importante ressaltar aqui que a capaciae e armazenar energia no campo magnético estene-se até a um simples conutor retilíneo conuzino corrente, como veremos aiante nutores e Geometria Simples A inutância e iversos tipos e inutores poe ser calculaa a partir e sua geometria. Como exemplos, as inutâncias e um solenóie longo, um toróie, um cabo coaxial e uma linha formaa por ois conutores paralelos serão aqui calculaas nutância e um Solenóie Na seção 1.1 euzimos uma expressão para o campo magnético no centro e um solenóie. Como visto, a inução era menor nos extremos o solenóie, o que é evio à ispersão o fluxo magnético. Se o solenóie for suficientemente longo, poemos consierar que o valor a inução magnética é constante em too o interior o solenóie, e igual ao valor calculao em seu centro. A expressão para a inução magnética no centro e um solenóie muito longo é: µ N = (Wb / m ) (1.16) Utilizamos a letra ao invés a letra, para representar o comprimento no solenóie, para evitar ambigüiaes com relação à simbologia e inutância (). O fluxo concatenao pelo solenóie será então: A inutância será então por (1.14): one: (H) nutância o solenóie (A) Corrente no solenóie µ (H.m -1 ) Permeabiliae magnética o meio A (m ) Seção reta o solenóie (m) Comprimento o solenóie N Número e espiras o solenóie µn A Λ = (Wb) (1.17) µ N A = (H) (1.18)

5 EETROMAGNETSMO 109 Exemplo 1. Calcule a inutância e um solenóie e 000 espiras, enrolao uniformemente sobre um tubo e papelão e 500 mm e comprimento e 40 mm e iâmetro. O meio é o ar. Resolva-o como exercício nutância e um toróie Se um solenóie longo é curvao em forma e círculo e é fechao sobre si mesmo, um toróie é obtio. Quano esse toróie possui um enrolamento uniforme, o campo magnético é praticamente too confinao em seu interior, e é substancialmente zero fora ele. Se a relação R/r for muito grane (figura 1.3), poemos utilizar a expressão para o campo magnético em um solenóie para eterminar o fluxo total concatenao Λ. Assim, Λ =NA (Wb) (1.19) µ N µ N πr Λ = N A = (Wb) (1.0) πr N µ r Λ = (Wb) (1.1) R R r i i Figura 1.3 Um enrolamento toroial. A inutância o toróie será: µ N r = (H) (1.) R nutância e um cabo coaxial Consiere agora uma linha e transmissão co-axial, muito utilizaa em sistemas e telecomunicações, conforme poe ser mostrao na figura 1.4. A corrente no conutor interno é, e o retorno ela se á pelo conutor externo. Consieraremos então que o fluxo magnético esteja confinao à região entre os conutores ( ext = 0). Portanto: µ = (1.3) πr O fluxo total concatenao para um comprimento c a linha e transmissão é:

6 EETROMAGNETSMO 110 Λ= A inutância para o comprimento c esse cabo fica: b cµ b r cµ b c r = = ln (Wb) a π (1.4) a r π a Λ µ c b = = ln (H) (1.5) π a a b c - - b a c Figura 1.4 Cabo co-axial nutância e um cabo bi-filar Outro tipo e linha e transmissão utilizaa é o cabo bi-filar, formao por ois fios paralelos (figura 1.5).O raio e caa um é a, e a istância entre seus centros é D. Sabemos que para qualquer um os cabos, a uma istância raial r ele, a inução magnética é aa por: µ = (Wb / m ) (1.6) πr O fluxo concatenao para um comprimento c este cabo será igual à vezes a integral expressa em (1.4). Portanto, a inutância para um comprimento c esse cabo é: Λ µ c D = = ln (H) (1.7) π a raio o conutor = a - D Fig. 1.5 Cabo bi-filar Energia armazenaa em um nutor Como já mencionao, um inutor armazena energia no campo magnético, analogamente ao capacitor, que armazena energia em um campo elétrico. A armazenagem a energia se á com a variação o campo magnético. Quano a corrente elétrica é alternaa, existe uma permanente troca e energia entre o inutor e a fonte a meia que o tempo passa. Quano a corrente elétrica é contínua, a energia

7 EETROMAGNETSMO 111 é armazenaa urante o períoo transitório que ocorre até que o seu valor em regime permanente se estabeleça. Uma vez retiraa a corrente, a energia armazenaa no campo magnético flui o inutor para a fonte externa, urante o transitório que ocorre até a corrente atingir o valor nulo. A potência instantânea entregue pela fonte e alimentação ao inutor é aa por: one : V (V) Tensão sobre o inutor, igual a. i t. i (A) Valor instantâneo a corrente p (W) Potência instantânea no inutor A energia entregue pela fonte ao inutor, W m, é aa por: p = V.i (V.A) (1.8) W i 1 = pt = i t (J) (1.9) t m = 0

8 EETROMAGNETSMO 11 EXERCÍCOS 1) Calcule a inutância por uniae e comprimento e um cabo coaxial cujo conutor interno possui raio a = 3 mm envolvio por outro e raio interno b = 9 mm. Para efeitos magnéticos suponha µ r = 1. ) Um solenóie uniforme e 10 mm e iâmetro, 600 mm e comprimento e 300 espiras é percorrio por uma corrente e 5 A. Uma bobina e 400 mm e iâmetro e 10 espiras é colocaa com o seu eixo coinciino com o eixo o solenóie. Qual eve ser a corrente na bobina e moo a anular o campo magnético em seu centro se esta estiver (a) no centro o solenóie, (b) na extremiae o solenóie e (c) a meio caminho entre o centro e a extremiae o solenóie? 3) Determine a inutância e um solenóie montao em um núcleo e ar, ao longo e um comprimento e 1,5 m formano 500 espiras circulares e espaçamento uniforme e raio e cm. 4) Calcule a inutância por uniae e comprimento e ois conutores aéreos e paralelos com raio e,5 cm separaos por uma istância e 7,5 m. 5) Um conutor circular com 6 cm e raio encontra-se a 8 m e altura o solo. Determine a inutância em caa metro e comprimento. 6) Encontre a inutância e um toróie com núcleo e ar apresentano uma secção reta circular e raio 4 mm, 500 espiras e raio méio 0 mm. 7) Dao um toróie com núcleo e ar formao por 700 espiras, com raio interno e 1 cm, raio externo e cm e altura 1,5 cm, etermine a sua inutância empregano (a) a expressão correta em função a sua geometria; (b) a expressão para um toróie genérico que supõe o campo H uniforme num raio méio. 8) Um certo toróie com núcleo e permeabiliae magnética igual à o ar com secção reta retangular apresenta um raio interno r i = 80 cm, raio externo r e = 8 cm, altura h = 1,5 cm e encontra-se envolvio por 700 espiras. Calcule a sua inutância usano as uas fórmulas o problema anterior e compare os resultaos. 9) Um toróie com seção transversal quaraa é limitao pelas superfícies r = 10 cm e r = 1 cm, z = 1,0 cm e z = 1,0 cm. Obviamente, o raio méio o toróie é 11 cm e este é enrolao com uma única camaa e 700 espiras e excitao com uma corrente e,5 A na ireção em r = 10 cm. (a) Encontre a inutância o toróie e o campo magnético H r no seu centro. (b) Como muará esta resposta se a seção transversal o toróie for reuzia à metae, manteno-se os mesmos raios interno e externo? (c) Com esta área reuzia, qual é a ensiae laminar e corrente fluino na superfície o cilinro interno necessária para prouzir o mesmo resultao o item (a)? â z