EXP. 4 - MEDIDA DO COMPRIMENTO DE ONDA DA LUZ POR MEIO DE UMA REDE DE DIFRAÇÃO

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1 Capítulo 4 EXP. 4 - MEDIDA DO COMPRIMENTO DE ONDA DA LUZ POR MEIO DE UMA REDE DE DIFRAÇÃO 4.1 OBJETIVOS Meir a constante e ree e ifração utilizano um comprimento e ona conhecio. Meir os comprimentos e ona e algumas as principais linhas espectrais e um gás e Hg (mercúrio) submetio à escarga elétrica. 4.2 PARTE TEÓRICA Difração A experiência mostra que um furo e pequeno iâmetro em um anteparo opaco ifrata a luz; isto é, o furo, apesar e iluminao por um feixe e raios e luz paralelos, corresponeno a uma frente e ona plana (Fig. 4.1), não eixa passar um cilinro perfeito e luz, mas espalha a luz em toas as ireções no semi-espaço à ireita o furo. É possível verificar que, se o iâmetro o furo tene a zero, este furo espalha a luz uniformemente em toas as ireções nesse semi-espaço, com intensiae constante inepenente a ireção. A ona ifrataa tene para uma ona semi-esférica centraa no furo (ona elementar e Huygens). Nesse experimento, em substituição ao furo utilizaremos fenas finas e comprias, e uso mais prático. Vamos sempre supor que elas são suficientemente finas para ifratar a luz e maneira uniforme num plano perpenicular ao eixo a fena. Como consequência, a ona ifrataa é uma ona cilínrica. 29

2 30 N. B. e Oliveira DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev Luz inciente Ona semi-esférica ifrataa Orifício em um obstáculo Figura 4.1: Difração prouzia por um pequeno orifício Interferência e onas monocromáticas coerentes Quano uas onas monocromáticas (luz e cor pura ou e mesma frequência) se superpõem em um ponto no espaço, observamos o fenômeno a interferência. A intensiae a luz resultante, nesse ponto, epene a iferença e fase existente entre as uas onas. Os efeitos interessantes a interferência só poem ser observaos quano as onas são coerentes entre si, isto é, quano existe em caa ponto o espaço uma relação entre as amplitues e uma relação entre as fases as onas constantes no tempo. Os casos extremos a interferência são a interferência aitiva ou construtiva e a interferência subtrativa ou estrutiva. Na interferência construtiva a iferença entre as fases as onas é nula ou um múltiplo e 2π ra e moo que o pico ou máximo e uma ona coincie com o pico ou máximo a outra ona. Na interferência estrutiva a iferença entre as fases as onas é π ra ou um número ímpar esse valor e moo que o vale ou mínimo e uma ona coincie com o pico ou máximo a outra ona. Uma maneira simples e prática e prouzir uas onas coerentes, evia à T. Young, está ilustraa na figura (Fig. 4.2) one uma frente e ona plana chega simultaneamente em uas fenas finas e caa fena passa a ser consieraa como uma fonte e luz. Luz inciente Duas fenas finas D Anteparo Figura 4.2: Duas fenas finas istantes e um anteparo e sob inciencia e luz paralela. As onas coerentes prouzias por essas fenas propagarão em ireção ao anteparo one ocorrerá a formação a figura e interferência. Para melhor compreener como a

3 4.2. PARTE TEÓRICA 31 intensiae luminosa se istribuirá sobre esse anteparo, consiere a figura (Fig. 4.3) one os raios e luz são traçaos em um plano perpenicular aos eixos as fenas. De fato, se as fenas forem muito comprias, essa figura representa o que ocorre em qualquer plano em uma família e planos paralelos perpeniculares aos eixos as fenas. Em outras palavras, existe uma simetria e translação ao longo o eixo oz (saino o plano o papel) e a figura e interferência no anteparo terá o aspecto e franjas paralelas a esse eixo. y P o x Duas fenas finas D>> Anteparo Figura 4.3: Representação em um plano perpenicular às fenas e ois raios e luz que partem as fenas e chegam ao anteparo. Façamos a hipótese e que o anteparo está muito istante as fenas, D >>. Por exemplo, = 0, 1 mm e D = 100 mm. Nessa conição, o ângulo α formao entre ois raios que partem respectivamente e caa fena e chegam a um ponto P o anteparo vale, aproximaamente, α /D que é muito pequeno, α 0, 001 ra com os valores o exemplo. Isso é equivalente a afirmar que os raios são essencialmente paralelos. Contuo, essas trajetórias tem comprimentos ligeiramente iferentes e essa iferença poe ser importante quano comparaa com o comprimento e ona a luz. Estamos interessaos em avaliar a iferença entre os caminhos percorrios pelos ois raios para poer compará-la com o comprimento e ona. Posicionemos o ponto P no anteparo utilizano o ângulo θ meio com relação à linha horizontal ou então pela coorenaa y no anteparo como mostra a figura (Fig. 4.4). Consierano os ois raios como estritamente paralelos, baixemos uma perpenicular à eles no ponto e saía a fena superior (Fig. 4.5) formano o triângulo ABC. Observano que o ângulo θ também é o ângulo formao entre essa perpenicular e o plano as fenas, a iferença e caminhos BC percorrios pelos ois raios vale BC = senθ. Para pontos ao reor a região central em que θ << 1 ra poemos aproximar o senθ pela tan θ BC = senθ tan θ = y D. Se essa iferença e caminhos for igual a um múltiplo o comprimento e ona, as uas onas interferem-se construtivamente e teremos uma franja com um máximo e intensiae

4 32 N. B. e Oliveira DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev y P y(p) o x Duas fenas finas D>> Anteparo Figura 4.4: Posicionamento o ponto P e chegaa a luz no anteparo. A B C Duas fenas finas Figura 4.5: Diferença entre os caminhos os raios paralelos. luminosa. y D = n λ, n = 1, 2, 3... interferência construtiva. (4.1) Se a iferença e caminhos for um múltiplo ímpar e meio comprimento e ona teremos uma interferência estrutiva e uma franja com um mínimo e intensiae luminosa. y D = (2n 1) λ, n = 1, 2, 3... interferência estrutiva. (4.2) 2 Assim, as posições as franjas claras e escuras no anteparo serão aas respectivamente por y max = n λ D, n = 1, 2, 3... interferência construtiva (4.3) e y min = (2n 1) λ 2 D, n = 1, 2, 3... interferência estrutiva. (4.4) Poe-se mostrar (e será mostrao no curso teórico) que a intensiae luminosa no an-

5 4.2. PARTE TEÓRICA 33 teparo, para pontos próximos o centro, varia conforme a função I = I 0 cos 2 (π y λd ) (4.5) one I 0 é a intensiae no ponto central. A intensiae relativa está representaa na figura (Fig. 4.6) one poemos ver a variação contínua e suave entre os pontos e intensiae máxima e mínima. I/I 0 1 o y Figura 4.6: Intensiae relativa as franjas e interferência, em função a posição, prouzias por uas fenas finas. A interferência prouzia na conição e raios paralelos e luz, ou e moo equivalente, em um anteparo istante é conhecia como interferência e Fraunhoffer. Ela também poe ser obtia em um anteparo próximo, o que é mais conveniente, se utilizarmos uma lente convergente e um anteparo localizao no foco a lente. Os raios paralelos que inciem na lente convergirão em um ponto no plano focal a lente sem introuzir nenhuma alteração na iferença e caminhos percorrios por eles (Fig. 4.7). P o Duas fenas finas Lente convergente Distância focal f Anteparo próximo Figura 4.7: Focalização os raios paralelos por uma lente convergente.

6 34 N. B. e Oliveira DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev Interferência prouzia por muitas fenas Consieremos que uma grane quantiae e fenas equiistantes prouza onas que se interfiram em um ponto P no anteparo istante (ou no anteparo próximo com o auxílio a lente). A iferença e caminhos entre ois raios ajacentes continua a ser expressa a mesma forma (senθ) como no caso e uas fenas (Fig. 4.8) sen 2sen 3sen N ( N-1) sen Figura 4.8: Raios paralelos em uma grane quantiae e fenas equiistantes. Os pontos e máxima intensiae luminosa no anteparo continuam nas mesmas posições. Contuo, a grane quantiae e raios contribui para um estreitamento a curva e intensiae e o aparecimento e picos secunários e pequena amplitue entre os picos e máxima intensiae. Com o aumento a quantiae e fenas, esses picos secunários aumentam em quantiae, mas tem suas amplitues reuzias a valores esprezíveis não seno mais perceptíveis (Fig. 4.9). I/I 0 1 para uas fenas para muitas fenas o y Figura 4.9: Representação a intensiae luminosa para uas fenas e para uma grane quantiae e fenas equiistantes.

7 4.2. PARTE TEÓRICA Ree e ifração Uma ree e ifração em transmissão é um ispositivo óptico constituío por uma lâmina e viro espessa, e faces planas e paralelas. Numa face é gravaa uma grane quantiae e sulcos finos, paralelos e igualmente espaçaos, com uma ponta e iamante em um processo mecânico e alta precisão. As rees poem ter até três mil sulcos por milímetro. Na figura (Fig. 4.10) mostramos um corte bastante ampliao e uma ree e ifração. Figura 4.10: Ree e ifração vista e corte. Em primeira aproximação, os sulcos na ree comportam-se como as fenas na figura (Fig. 4.8). A istância entre ois sulcos (ou uas fenas) ajacentes chama-se constante e ree e é usualmente expressa em Angstrons ( A), nanômetros (nm), microns (µ), micrômetros (µm) ou milímetros (mm). Essa ree e ifração escrita chama-se ree em transmissão. Existem também as rees em reflexão, neste caso, os sulcos são realizaos na superfície e um espelho metálico. O efeito essa ree é facilmente observao pelo reflexo colorio quano a inciência e luz branca. É o que se verifica no reflexo a luz em um CD (compact isk) ou mesmo o que se poe observar na natureza, na carapaça e besouros furta cor (rutelíneos, buprestíeos) ou nas escamas as asas e borboletas (brassolíeos, morphos, liceíeos). Os morphos, e um reflexo azul intenso, na verae são inteiramente cobertos por escamas amarelaas. Uma ree e ifração, com constante e ree conhecia, permite eterminar comprimentos e ona, λ, esconhecios. Com efeito, a equação senθ = n λ n = 0, 1, 2, 3... (4.6) para a interferência construtiva, poemos calcular λ a partir a meia e θ. A meia e θ poe ser feita com um goniômetro óptico Poer e resolução Quano utilizamos uma ree e ifração em um espectrômetro para eterminar o valor o comprimento e ona a raiação luminosa, pela observação e meia a posição angular

8 36 N. B. e Oliveira DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev e uma linha espectral, poemos nos efrontar com o seguinte problema: se uas linhas espectrais tiverem valores e comprimentos e ona λ 1 e λ 2 muito próximos, seremos capazes e istingui-los (separar, resolver)? Em outras palavras, qual é o menor valor λ = λ 1 λ 2 que temos conição e observar com o aparelho? Já comentamos que a largura o pico e intensiae a figura e interferência iminui com o aumento a quantiae e fenas. Em outras palavras, o pico torna-se mais aguo. Se ois comprimentos e ona estiverem muito próximos, poe ocorrer a superposição parcial os picos iniviuais (que não sejam e orem zero). Portanto, para que possamos observá-los como picos iniviuais é necessário que os picos sejam o mais aguo possível e isso é conseguio aumentano-se a quantiae e fenas. Havíamos comentao também que o aumento a quantiae e fenas faz aparecer picos secunários e pequena amplitue ao lao o pico principal. Um critério usao para a resolução e ois comprimentos e ona iz que eles são consieraos resolvios ou separaos quano o pico principal e um comprimento e ona coincie com o primeiro mínimo o outro comprimento e ona. Com esse critério, poe-se mostrar que o poer e resolução e uma ree, efinio por R = λ λ (4.7) one λ é o comprimento e ona méio, é ao por R = n N, n = 1, 2, 3... e N é a quantiae e fenas. (4.8) Assim, quanto maior for a quantiae e fenas, maior será o poer e resolução Dispersão A ispersão angular e uma ree mee o grau e espalhamento angular o espectro ( θ) relacionao à variação o comprimento e ona ( λ). É efinia como D(θ) = θ λ (4.9) e poe ser calculaa iferenciano-se a equação (4.6). Para pequenas variações em λ temos Portanto, cos θ θ = n λ. D(θ) = θ λ n cos θ. (4.10) Como cos θ = 1 sen 2 θ também poemos expressar a ispersão em função o comprimento e ona D(θ) = n 1 sen 2 θ = n 1 ( n λ ) 2 = n 2 (n λ) 2. (4.11) Nessa expressão, poemos notar que a ispersão cresce com a iminuição a istância entre os sulcos e com o aumento o número e orem até a orem máxima que poe

9 4.3. PARTE EXPERIMENTAL 37 ser observaa. Na eterminação o comprimento e ona pela meia o ângulo θ, se consierarmos que o erro θ é constante para uma linha com um eterminao comprimento e ona observaa em várias orens, o erro λ será menor para a linha e maior orem, pois, λ = θ D = 2 (n λ) 2 θ. n 4.3 PARTE EXPERIMENTAL Para observar e meir a posição e uma linha espectral corresponente a uma interferência construtiva com uma ree e ifração, a ree eve ser colocaa no centro a mesa e um goniômetro óptico ou espectrômetro (Fig. 4.11). Colimaor Mesa Telescópio Fena ajustável L 1: lente L : lente Plano focal 2 convergente convergente Observaor Fonte e luz f 1 f 2 Região e raios paralelos Figura 4.11: Goniômetro óptico. Ocular Nesse equipamento temos um colimaor, uma mesa e um telescópio móvel que poe girar ao reor o centro a mesa. O colimaor é constituío por uma fena e abertura ajustável e entraa e uma lente L 1. Sua função é colimar a luz, isto é, prouzir um feixe e raios paralelos que everão inciir perpenicularmente à ree e ifração. O telescópio faz o papel oposto ao colimaor. A lente L 2 converge os raios paralelos, provenientes a ree e ifração, no plano focal. Nesse plano forma-se a imagem a fena que poe ser observaa e ampliaa através o ocular, outra lente convergente e curta istância focal. O telescópio poe girar ao reor a ree a fim e eterminar a posição angular θ as franjas e interferência (Fig. 4.12). Para isso, ele ispõe e um retículo em forma e uma cruz e fio e cabelo localizao no plano focal a lente L 2 que poe ser posicionao sobre a imagem a fena movimentano-se o telescópio.

10 38 N. B. e Oliveira DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev T 1 Colimaor Fonte e luz T 0 T 1 Figura 4.12: Meia o ângulo θ com o telescópio o goniômetro óptico Lista e materiais Ientifique os seguintes equipamentos e materiais que se encontram sobre a mesa: Espectrômetro (ou goniômetro óptico), ree e ifração, lâmpaa e Hg com fonte e alimentação, lanterna para iluminação O espectrômetro Esse equipamento é o mesmo utilizao no experimento MEDIDA DO ÍNDICE DE RE- FRAÇÃO DO VIDRO DE UM PRISMA. Portanto, leia com cuiao no roteiro esse experimento toa a parte referente ao espectrômetro e ao seu moo e utilização.

11 4.3. PARTE EXPERIMENTAL Meias Cuiaos com os aparelhos O espectrômetro é um aparelho e alta precisão e eve ser manuseao com cuiao e elicaeza. Nunca force qualquer um os seus elementos. Em caso e úvia chame seu professor. Não gire o telescópio segurano-o pelo tubo (isso esfocalizará permanentemente o equipamento), use o braço vertical o telescópio. A precisão as meias epene a largura a fena o colimaor. Por isso, trabalhe com a fena mais fina possível, mas que aina possa ser visualizaa com faciliae. A precisão as meias também epene o correto ajuste o bloco ocular. A posição o ocular eve ser ajustaa para o olho o observaor eslocano-o ligeiramente para frente ou para trás e moo a focalizar a imagem a fena e o retículo ( fio e cabelo ) simultaneamente. O telescópio só poe ser movimentao livremente se o parafuso e bloqueio o braço (parafuso central) estiver folgao. Caso contrário, só poe se movimentar com o uso o parafuso micrométrico, girano-o em ambos os sentios (movimento fino). Segure a ree e ifração pelo suporte ou pelas boras. Não toque na superfície a ree. Evite olhar iretamente para a lâmpaa por um períoo muito longo. Se luz estiver muito intensa, coloque uma folha e papel entre a saía a fonte e luz e a fena o colimaor. Ajuste a posição a ree Para que a relação (4.6) possa ser usaa, a ree e ifração eve estar exatamente ortogonal ao feixe e luz paralelo inciente e posicionaa no centro e rotação o telescópio. Coloque a ree sobre o centro a mesa circular o espectrômetro com a face gravaa viraa para o telescópio, tentano colocá-la perpenicular ao eixo o colimaor. Esse ajuste grosseiro não é suficiente para garantir a perpeniculariae. Vejamos como proceer para obter a conição e ortogonaliae com erro inferior a meio grau. Acena a lâmpaa e Hg, espere aquecer por um minuto e ilumine a fena e entraa o colimaor. Os raios e luz paralelos que emergem o colimaor e inciem na ree são por ela ifrataos formano um espectro e linhas brilhantes em ambos os laos a linha central (imagem a fena e cor branca azulaa). Posicione o telescópio em frente ao colimaor e observe, através o ocular, a linha central na posição T 0. Faça o ajuste necessário para a melhor focalização a linha central e o retículo, aperte o parafuso central o telescópio e utilize o parafuso micrométrico para posicionar o retículo no meio a linha brilhante (imagem a fena). Faça a meia essa posição em graus e minutos utilizano o vernier e posicionano a lente para melhor visualização. Folgue o parafuso central e gire o telescópio lentamente no sentio horário (visto e cima) enquanto observa através o ocular. Deverá aparecer um conjunto e linhas colorias que

12 40 N. B. e Oliveira DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev formam o espectro e primeira orem, algumas fracas e outras mais intensas. Observe se você consegue ver uas linhas amarelas alaranjaas, intensas, bastante próximas no extremo o espectro. Estreite a fena o colimaor para que essas linhas sejam vistas como uas linhas separaas e finas. Concentre-se agora na linha vere amarelaa, uma as mais intensas. Posicione manualmente o retículo no centro essa linha, aperte o parafuso central, retoque a posição com o parafuso micrométrico e faça a leitura o ângulo T 1. Folgue o parafuso central e gire o telescópio lentamente no sentio anti-horário (visto e cima) e repita o proceimento para meir agora o ângulo T 1 (preste atenção para meir a linha e mesma cor). Calcule os ângulos θ 1 e θ 1 θ T 1 = 1 T 0, θ 1 = T 1 T 0. Esses ângulos não poem iferir entre si mais que 15. Se isso ocorrer, a ree eve ser reposicionaa e moo iminuir essa iferença. Para isso, tome um pouco menos a metae essa iferença, acrescente esse valor ao menor θ e calcule qual everia ser o ângulo T essa linha. Ajuste no vernier esse ângulo girano o parafuso micrométrico o telescópio. Olhe através o ocular, folgue o parafuso lateral a mesa o telescópio one está a ree e gire um pouco essa mesa e moo que a linha vere amarelaa volte a ficar centralizaa com relação ao retículo. Aperte levemente o parafuso para a ree não sair a posição. Refaça as meias e θ 1, θ 1 e verifique se atingiu o objetivo. Caso contrário repita o proceimento. De agora em iante, não se eve mais tocar na ree. Se, acientalmente, a ree sair e posição por qualquer que seja o motivo, recoloque o telescópio na posição one observou a minimização a iferença entre os ângulos e reposicione a linha sobre o retículo girano a mesa a ree. A seguir, a posição angular θ as linhas será sempre calculaa por θ = 1 T 1 T 1 2 isto é, basta ler a posição a linha, T 1, e a posição e sua simétrica, T 1. Determinação a constante a ree Para esse item você utilizará a linha vere amarelaa intensa cujo comprimento e ona vale 5461 A. Utilize as meias já realizaas em primeira orem e meça aina as posições essa linha em ambos os laos, nos espectros e seguna e terceira orem (se forem visíveis). Determinação os comprimentos e ona O objetivo agora é eterminar os comprimentos e ona as outras linhas o espectro em primeira, seguna e terceira orens se forem visíveis. A meia que a orem aumenta as linhas ficam mais fracas e você só everá enxergar as linhas mais intensas o espectro. Em primeira orem, você everá enxergar uas linhas roxas (forte e fraca, bastante próximas), uma linha azul-roxo intensa, uma linha vere azulaa (intensiae méia), a linha vere amarelaa já meia e uas linhas amarelas alaranjaas. Possivelmente, a epener a

13 4.4. TRABALHO COMPLEMENTAR 41 intensiae a lâmpaa, você poerá ver uma linha vere azulaa fraca, não é necessário mei-la. Faça uma tabela one constem as cores e os ângulos meios, em ambos os laos, para as três orens observaas (se forem visíveis). Determinação a abertura angular a linha No cálculo o erro, intervém a metae a abertura angular a linha em raianos. Essa abertura angular é a abertura angular a imagem a fena o colimaor. Para eterminála, observe a linha central e posicione o retículo, primeiro na bora esquera e meça a posição. Depois, na bora ireita e meça a posição. A iferença entre essas uas posições é a abertura angular a linha em graus sexagesimais. 4.4 TRABALHO COMPLEMENTAR A partir as meias realizaas com a linha vere amarelaa etermine os valores para a constante e ree para as três orens observaas (se foram visíveis). Avalie o erro absoluto cometio na eterminação a constante e ree para as três orens observaa. O cálculo o erro eve levar em conta o erro a meia o ângulo (em raianos) consierano que este erro é metae a abertura angular a linha somaa ao erro o vernier (um minuto e grau). Escreva corretamente o valor a constante a ree com o seu respectivo erro (com apenas um algarismo significativo) para as três orens. Qual valor a constante e ree é mais exato? A partir as meias efetuaas para as outras linhas espectrais e o melhor valor (o que tiver menor erro) para a constante a ree, etermine toos os comprimentos e ona e toas as linhas para as iversas orens visíveis. Determine o erro em caa comprimento e ona. O cálculo o erro eve levar em conta o erro na eterminação a constante a ree e o erro na meia o ângulo. Escreva corretamente os valores os comprimentos e ona para as iversas cores nas orens visíveis. Expresse esses resultaos em uma tabela. Analisano os erros, em quais orens os comprimentos e ona são eterminaos com maior exatião? Compare a separação angular o espectro visível e primeira orem o Hg com a separação angular esperaa para o espectro a luz branca (4000 A A) também e primeira orem. Expresse o resultao em termos percentuais. Calcule a ispersão para a linha vere amarelaa para a primeira e para a seguna orem. Em que orem ocorre a maior ispersão? Trace a curva e calibração o espectrômetro, isto é, comprimento e ona λ versus ângulo θ para as uas primeiras orens. O gráfico eve ocupar pelo menos a metae e uma folha A4 e a curvas evem ser suaves. Qual é a utiliae essa curva?

14 42 N. B. e Oliveira DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev BIBLIOGRAFIA [1], [2], [3], [4], [14], [8], [9], [10], [11], [12], [13] Críticas e sugestões, contate Prof. Newton B. Oliveira - newton@ufba.br