Capacitores. Figura 7.1

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1 Capítulo 7 Capacitores 7.1 Introução Capacitor é um ispositivo que armazena energia potencial. Capacitores variam em forma e tamanho, mas a configuração básica consiste e ois conutores e cargas opostas. O exemplo mais simples e um capacitor consiste e ois conutores planos e área A paralelos entre si e separaos por uma istância. Figura 7.1 A experiência mostra que a quantiae e carga Q num capacitor é linearmente proporcional à iferença e potencial entre as placas. Q V Q = C V 97

2 98 CAPÍTULO 7. CAPACITORES em que C - constante e proporcionaliae chamaa capacitância [C] = F (Fara) Fisicamente, capacitância é a meia a capaciae e armazenar carga elétrica para uma iferença e potencial V. Observação 7.1. Lembremos que se chama e carga e um capacitor a carga e uma e suas placas em valor absoluto, pois a carga total é zero. Observação F é uma uniae muito grane como veremos aiante nos exemplos. Figura 7.2 Observação 7.3. Se consierarmos o encerramento completo e um conutor pelo outro, teremos a capacitância inepenente e qualquer fator externo. Se tivéssemos, ao invés isso, iante e uas placas assimétricas não encerraas uma na outra, como mostra a figura acima, poeríamos estar intrigaos com a seguinte questão; qual é a carga que faz o papel e Q, em função a qual se eve efinir a capacitância? A resposta é: a carga que everia ser transferia o conutor 1 ao conutor 2 para igualar seus potenciais.

3 7.2. ENERGIA DE UM CAPACITOR CARREGADO Energia e um capacitor carregao Consiere um capacitor e placas paralelas, inicialmente escarregao. Paulatinamente, este capacitor está seno carregao, por meio a transferência e cargas e uma placa para a outra. Seja, q a quantiae e carga transferia até um instante qualquer t. Neste instante a capacitância é aa por: C = e potencial entre as placas. q, seno V a iferença V Num instante posterior o trabalho necessário para a transferência e uma carga q é: W = V q = q C q O trabalho total realizao na transferência e uma carga Q será: em que W = Q 0 q C q = 1 Q 2 2 C W = 1 2 CV 2 W - trabalho realizao para carregar o capacitor e uma carga Q. É igual a energia que o capacitor possui quano tem uma carga Q. V - Diferença e potencial final entra as placas. 7.3 Cálculos e Capacitâncias Capacitor e placas paralelas C = Q V

4 100 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Figura 7.3 Q = σa V = E = σ ε o C = Q V = σaε o σ C = Aε o Só epene e fatores geométricos!! Capacitância aumenta com a área A quanto maior for a área, maior armazenamento e carga Capacitância inversamente proporcional à istância. C = 1F, = 1mm, A =? A 100Km 2 Energia: U = ε 0 2 E 2 v = ε 0E 2 2 V = ε 0 2 σ 2 A ε 2 0 Como : C = ε 0A e V 2 = σ2 2 ε 2 0 U = 1 2 CV 2

5 7.3. CÁLCULOS DE CAPACITÂNCIAS Capacitor Cilínrico Figura 7.4 L >> b a C =? b V = a E l E =? Figura 7.5 E.s = Q int ε 0 E2πrL = Q E ε = Q 1 o 2πε o L r ˆr V = Q 2πε o L ln (r) b a = Q b 2πε o L ln a

6 102 CAPÍTULO 7. CAPACITORES V = Q b 2πε o L ln a C = Q V = 2πε ol ln b Seno b = + a ln b a = ln a + 1 a a C = 2πε ola = ε oa Capacitor Esférico Figura 7.6 b V = E l a E.s = Q int ε 0 V = Q 1 4πε o r E4πr 2 = Q ε o E = 1 4πε o Q r 2 ˆr b a = Q (a b) V = 4πε o ab Q (b a) 4πε o ab

7 7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 103 C = 4πε oab (b a) limites b a = << a 7.4 Associação e Capacitores Capacitores em Paralelo Figura 7.7 Mesmo potencial: Q 1 = C 1 V Q 2 = C 2 V Q 3 = C 3 V Q 1 + Q 2 + Q 3 = (C 1 + C 2 + C 3 ) V Q = C eq V

8 104 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Para n capacitores em paralelo: C eq = C 1 + C 2 + C 3 C eq = n i=1 C i Capacitores em Série Figura 7.8 V = V 1 + V 2 Mas: Q1 Q = C eq V = C eq (V 1 + V 2 ) = C eq + Q 2 C 1 C 2 Q 1 + Q 2 = Q Q C eq = Q C 1 + Q C 2 Para n capacitores em série : 1 C eq = 1 C C 2

9 7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES C eq = Exercício 7.1. Um capacitor tem placas quaraas e lao a, que formam um ângulo θ entre si. Mostrar que para θ pequeno, a capacitância é aa por ε o a 2 n i=1 1 C i 1 aθ 2 Figura 7.9 Suponha que o capacitor em questão é o capacitor equivalente e uma associação e capacitores em paralelo. Figura 7.10

10 106 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Figura 7.11 Figura 7.12 seno C i = ε oa i = ε oax i i = + xtgθ C eq = i a C i = ε o a 0 x + xtgθ = ε oa tgθ ln ( + xtgθ) a 0 C eq = ε oa + atgθ tgθ ln

11 7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 107 Mas aθ θpequeno tgθ θ C = ε oa θ ln 1 + aθ x2 é pequeno e ln (1 + x) = x + x x C = ε oa θ aθ a2 θ 2 = ε oa aθ 2 Se θ = 0 voltamos ao resultao inicial para capacitores e placas paralelas: C = ε oa 2

12 108 CAPÍTULO 7. CAPACITORES