FÍSICA 3. Capacitância e Dielétricos

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1 FÍSICA 3 Capacitância e Dielétricos Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba Ementa Carga Elétrica Campo Elétrico Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e resistência Circuitos Elétricos em Corrente Contínua Campo Magnético Indução Magnética Indutância Magnetismo em Meios Materiais Atividades 1

2 Definição Elementos básicos de um circuito: Resistores Capacitores indutores Um capacitor é um dispositivo que armazena energia potencial elétrica e carga elétrica. São fabricados colocando-se um material isolante (dielétrico) entre dois condutores. Aplicações Filtros de fontes de alimentação; Removedores/limitadores de surtos de corrente; Filtros seletivos para sinais AC/DC; Circuitos integradores e diferenciadores; Armazenadores de carga para acionamento de flashes e lasers Capacitância A característica de acúmulo de cargas entre suas placas é ditada por uma constante denominada de capacitância. A capacitância depende das dimensões do dispositivo, da geometria das placas condutoras e do material dielétrico colocado entre elas. Capacitores possuem, inicialmente, carga líquida igual a zero. Para que possam armazenar cargas é preciso que sejam carregados. Carregamento é realizado aplicando-se uma diferença de potencial (tensão) \ entre suas placas. 2

3 chave Carregamento + - capacitor Outra forma de representação: Capacitância Campo elétrico em qualquer ponto na região entre os condutores é proporcional ao módulo Q da carga existente em cada condutor. Assim, a diferença de potencial V ab entre os condutores também é proporcional a Q. Ao se dobrar a quantidade de carga entre as placas, dobra-se também A intensidade do campo elétrico e a diferença de potencial entre as mesmas. Contudo, a razão entre a carga e a diferença de potencial não muda. Essa razão é chamada de capacitância do dispositivo e é dada por: A unidade de capacitância no sistema SI é o Farad. C = Q V ab A capacitância caracteriza a capacidade do capacitor em armazenar energia. 1 F = 1 farad = 1 C / V = 1 coulomb / volt 3

4 Capacitor com Placas Paralelas O Capacitor mais simples é constituído por duas placas condutoras paralelas, cada uma com uma área A, separadas por uma distância (pequena em comparação com o tamanho das placas). Quando as placas são carregadas o campo elétrico é quase completamente localizado na região existente entre as placas (ver figura acima, a direita). Neste caso, pode-se afirmar que o campo é UNIFORME. Capacitor com Placas Paralelas Anteriormente, calculamos (usando o princípio da superposição ou a Lei de Gauss), o módulo do campo elétrico originado por UMA placa carregada com uma densidade de carga σ é expresso por: E = σ / (2 ε 0 ) Quando se tem duas placas paralelas carregadas com a mesma densidade de carga, a soma dos respectivos campos em um ponto situado entre as placas será dado por E = σ / ε 0 Nota-se que o módulo do campo não depende da distância entre as placas. 4

5 Capacitor com Placas Paralelas A densidade de cargas σ é determinada pela razão entre a quantidade de cargas Q pela área da placa A: σ = Q / A Portanto, o módulo do campo elétrico será determinado por: E = σ / ε 0 = Q / (ε 0 A) Como o campo é uniforme entre as duas placas separadas por d, a diferença de potencial V ab entre as duas placas é calculada por V ab = E d = ( Q d) / (ε 0 A) Capacitor com Placas Paralelas Assim, a capacitância do capacitor com placas paralelas no vácuo é dado por: C = Q Q = V ab Qd ε 0 A = ε 0 A d Portanto, neste caso, a capacitância é diretamente proporcional à área e Inversamente proporcional à distância entre as placas. Note que a capacitância não depende nem da carga e nem da diferença de Potencial aplicada entre as placas. 5

6 Análise das Unidades no Sistema SI Se A é dado em metros quadrados e d é dado em metros e ε 0 é dado em C 2 /N.m 2, então 1 F = 1 [C 2 /N.m 2 ] [m 2 ] / [m] = 1 C 2 /N.m Como 1 V = 1 J / C (energia por unidade de carga), então 1 F = 1 C / V Um Farad é uma unidade muito grande Exemplo 1 Um capacitor com placas paralelas possui capacitância igual a 1 F. Se a distância entre as placas for igual a 1,0 mm, qual será a área de cada Placa? Considere o vácuo como o meio existente entre as placas. A = Cd ε 0 ( ) ( ) m = 1F 8, F / m =1,1 108 m 2 Um Farad é uma capacitância muito grande. Geralmente, os valores de capacitância mais comuns encontram-se na faixa de micro, nano e picofarads. Capacitância - do flash de máquina fotográfica: centenas de microfarads - de circuito de corrente alternada de radio: 10 a 100 picofarads. 6

7 Exemplo 2 A distância entre as placas de um capacitor com placas paralelas é igual a 5,0 mm e a área da placa é de 2,0 m 2. Uma diferença de potencial de V (10 KV) é aplicada entre elas. Calcule a (a) capacitância, (b) a carga de cada placa e (c) o módulo do campo elétrico existente entre elas. Solução do Exemplo 2 ( )( 2, 0 m 2 ) A a) C = ε 0 d = 8, F / m 5, m = 3, F b) Q = CV ab = ( 3, C /V)( ) = 3, C = 35, 4µC c) E = σ ε 0 = Q ε 0 A = 3, C ( 8, C 2 / Nm 2 ) 2, 0m 2 ( ) = N / C 7

8 Exemplo 3 Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. a casca interna possui carga total +Q e raio externa r a e a casca externa possui carga Q e raio interno r b. Calcule a capacitância desse capacitor esférico. Para se resolver este problema deve se usar a definição de capacitância: carga sobre diferença de potencial entre as cascas esféricas. Solução do Exemplo 3 Para se calcular a carga utiliza-se a Lei de Gauss: r E da r = Q esf ε 0 Como o problema apresenta simetria, E é paralelo a da em cada ponto da superfície. Assim, E( 4π r 2 ) = Q esf E = Q esf ε 0 4πε 0 r 2 O campo elétrico ENTRE AS ESFERAS é determinado pelas cargas posicionadas sobre a superfície interna. A superfície externa não contribui para esse campo (por quê?) 8

9 Solução do Exemplo 3 Como se calcula a diferença de potencial a partir do campo? O resultado obtido para E é o mesmo que o produzido por uma carga puntiforme Q localizada no centro da esfera interna. Ou seja, V Q 4πε 0 r Assim, o potencial do condutor interno (positivo) para r = r a em relação ao potencial do condutor externo (negativo) para r = r b é: V ab = V a V b = Q Q = 4πε 0 r a 4πε 0 r b Q 4πε 0 r b r a r a r b Solução do Exemplo 3 Finalmente, a capacitância será calculada como: C = Q Q = V ab Q r b r a 4πε 0 r a r b = 4πε 0 r a r b r b r a 9

10 Exemplo 4 Um cilindro condutor longo possui um raio r a e uma densidade de carga linear +λ. Ele está circundado por uma casca cilíndrica co-axial condutora com raio interno r b e densidade de carga linear λ. Calcule a capacitância por unidade de comprimento desse capacitor, supondo que exista vácuo entre as superfícies cilíndricas. Solução: procedemos da mesma forma como no caso anterior. Como a densidade de cargas é fornecida, então a carga total é calculada como: Q = λ L (L é o comprimento do cilindro) O potencial entre as cascas cilíndrica é calculada usando-se o resultado do potencial para um fio muito longo. Solução do Exemplo 4 O potencial em um ponto situado no exterior de um cilindro carregado A uma distância r do seu centro é dado por: λ 2π ε r r 0 V = ln 0 Em que r 0 corresponde ao raio (arbitrário) para o qual V=0. Da mesma forma Como no caso anterior, esse resultado pode ser usado para determinar o potencial entre as cascas cilíndricas, uma vez que a casca cilíndrica externa não contribui par o campo. No exemplo, no lugar de r 0 escolhe-se o rai r b da superfície intrna da casca cilíndrica externa (de modo que o cilindro externo possui V = 0. 10

11 Solução do Exemplo 4 Portanto, V ab = λ 2π ε 0 r ln r b a Assim, a capacitância desse cilindro condutor será determinada por C = e Q V ab C 2πε 0 = L rb ln r λ L = λ rb ln 2π ε r a 0 a 2π ε 0 L = rb ln r a (capacitância por unidade de comprimento) Capacitores em Série Em uma ligação em série, a carga elétrica acumulada em cada placa é sempre igual a Q. A carga total entre placas vizinhas de capacitores adjacentes é sempre zero. A tensão total é calculada pela soma das tensões em cada capacitor. a V ab = V +Q -Q +Q -Q c C 1 C 2 V ac = V 1 = Q / C 1 V cb = V 2 = Q / C 2 b 11

12 Capacitores em Série A capacitância equivalente é definida como a capacitância de um único capacitor, carregado com carga Q e submetido à diferencial de potencial V. A capacitância equivalente é calculada pela soma dos inversos de cada uma das capacitâncias em série. a V ab = V = V 1 +V 2 = Q C 1 C 2 V Q = 1 C eq = 1 C C 2 V +Q -Q C eq Para N capacitores em série, tem-se: 1 b C eq = 1 C C 2 +L+ 1 C N Capacitores em Paralelo Em uma ligação em paralelo a diferença de potencial é a mesma através de todos os capacitores. Entetanto, as cargas acumuladas nos capacitores não são iguais. a V ab = V + Q 1 + Q b Q 1 = C 1 V Q 2 = C 2 V 12

13 Capacitores em Paralelo a V ab = V b + Q = Q 1 +Q 2 C eq - A carga total é a soma das cargas individuais: Q = Q 1 +Q 2 = ( C 1 V +C 2 V) =V ( C 1 +C 2 ) Q V = C 1 +C 2 Assim, a combinação em paralelo é equivalente a um único capacitor com a mesma carga total Q. Portanto, a capacitância equivalente de uma combinação de capacitores ligados em paralelo é igual à soma das capacitâncias individuais: C eq = C 1 + C 2 Exemplo 1 Sejam dois capacitores com capacitâncias C 1 = 6,0 µf e C 2 = 3,0 µf. Considere que tais capacitores possam ser colocados em série e paralelo. A tensão aplicada em cada caso é de 18 V. Calcule a capacitância equivalente, a carga acumulada e a diferença de potencial em cada caso. Capacitores em série: Carga acumulada: 1 = = C eq C 1 C C eq = C 2 +C 1 C 1 C 2 = (3+ 6) 10 6 ( ) Q = C eq V = ( ) 18 = 36µC ( ) C eq = Diferença de potencial: V C1 = Q = 36µC C 1 6µF = 6, 0V V C 2 = Q = 36µC =12, 0V C 2 3µF 13

14 Exemplo 1 (continuação) Capacitores em paralelo: Capacitância equivalente: C eq = C 1 +C 2 = 6µF + 3µF = 9µF Carga acumulada: Q 1 = C 1 V = ( F) 18V =108µC Q 2 = C 2 V = ( F) 18V = 54µC Diferença de potencial: como os capacitores estão em paralelo a diferença de potencial sobre cada um é a mesma, ou seja, 18 V. Exemplo 2 Calcule a capacitância equivalente para a seguinte combinação de capacitores. 14

15 Solução do Exemplo 2 Passo 1: Cálculo da capacitância equivalente dos capacitores em série de 12 µ e 6µF. C eq = C 1C 2 = 12 6 µf = 4µF C 1 +C ( ) Solução do Exemplo 2 Passo 2: Para os três capacitores em paralelo, a capacitância resultante ee dada pela soma das capacitâncias individuais. C eq = C 1 +C 2 +C 3 = ( )µF =18µF 15

16 Visualizacão da Solução do Exemplo 2 Solução do Exemplo 2 Passo 3: A capacitância equivalente total é dado pelo cálculo dos dois capacitores em série com valores de 9 e 18 µf, respectivamente. Assim: C eq = C 1C 2 = 18 9 C 1 +C ( ) µf = = 6µF 16

17 Armazenamento de Energia A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor carregado é exatamente igual ao trabalho realizado para carregá-lo (trabalho necessário para separar cargas elétricas e depositá-las nas placas metálicas do capacitor). Durante seu carregamento, o trabalho dw necessário para transferir um elemento de carga adicional dq será calculado por dw = q C dq O trabalho total será então: W = dw = W 0 Q 0 q Q2 dq = C 2C Armazenamento de Energia Ao definir-se como zero a energia potencial do capacitor descarregado, o valor W corresponde à energia potencial U do capacitor carregado. Assim, U = Q2 2C = 1 2 CV 2 = 1 2 QV onde foi utilizada a relação Q = CV. A equação acima se assemelha à equação para a energia potencial elástica de um sistema com mola, no qual U = ½ (k x 2 ). A carga Q é semelhante ao deslocamento da mola e o inverso da capacitância desempenha o papel da constante k. A energia fornecida para carregar um capacitor é análoga ao trabalho que se realiza para produzir uma deformação na mola. 17

18 Energia do Campo Elétrico A energia potencial elétrica está armazenada no campo elétrico existente entre as placas. O volume de um capacitor com placas paralelas é dado: A d, onde A é a área da placa e d a distância entre elas. Portanto, a densidade de energia será u = 1 2 CV 2 Ad Ao mesmo tempo a capacitância para este caso é: C = ε 0 (A/d). E o campo elétrico entre as placas do capacitor com placas paralelas é: V = E d. Finalmente, u = 1 2 ε 0E 2 Exemplo 1 Deseja-se armazenar 1,0 J de energia potencial em um volume de 1,0 m 3 no vácuo. Qual o módulo do campo elétrico necessário? Caso o módulo do campo fosse dez vezes maior, qual seria a quantidade de energia armazenada por metro cúbico? Densidade de energia: u = 1,0 J / 1,0 m 3 E = 2u ε 0 = 2( 1, 0 J / m 3 ) 8, C 2 / Nm = 4, V / m No caso de o campo ser dez vezes maior, a densidade de energia armazenada teria que ser 100 vezes maior! 18

19 Exemplo 2 Um capacitor esférico possui cargas +Q e Q sobre os condutores do interior e do exterior da esfera. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância (ver solução desenvolvida) e integrando a densidade de energia do campo elétrico. A capacitância para este caso foi calculada como: C = 4πε 0 r a r b r b r a Onde r a é o raio da esfera interna e r b o raio da esfera externa. U = Q2 2C = Q2 8πε 0 r b r a r a r b Exemplo 2 (continuação) O campo elétrico é igual a zero no interior da esfera interna e também fora da esfera externa, pois a carga elétrica total (considerando que as superfícies sejam carregadas com +Q e Q) é zero! Portanto, só existirá campo elétrico no espaço existente entre as duas esferas (r a < r < r b ). Q O campo elétrico existente no espaço entre as duas esferas é: E = 4πε 0 r 2 Portanto, a densidade de energia em um ponto entre r a < r < r b será: u = 1 2 ε 0 E 2 = 1 2 ε Q 0 4πε 0 r 2 2 = Q 2 32π 2 ε 0 r 4 19

20 Exemplo 2 (continuação) É necessário lembrar que a densidade de energia não é uniforme no espaço entre as esferas metálicas, pois o módulo do campo varia com a razão 1/r 2. Portanto, é necessário integrar a densidade de energia u (energia por unidade de volume) sobre o volume entre a esfera condutora interna e externa. Considerando-se que o diferencial de volume de uma casca esférica de área superficial 4π r 2 e espessura dr é dv = 4π r 2 dr, tem-se: U = udv = r b r a Q 2 4πr 2 dr 32π 2 ε 0 r 4 ( ) = Q2 8πε 0 r b r a dr r = Q2 2 8πε = Q2 r b r a r b r a 8πε 0 r a r b Tal resultado é o mesmo obtido pelo cálculo anterior. Ementa Carga Elétrica Campo Elétrico Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e resistência Circuitos Elétricos em Corrente Contínua Campo Magnético Indução Magnética Indutância Magnetismo em Meios Materiais Atividades 20

21 Capacitores com Dielétricos Vantagens de se utilizar um dielétrico entre as placas dos capacitores: Resolve o problema mecânico de se manter duas placas metálicas separadas; Torna-se possível aumentar a diferença de potencial entre as placas, pois dielétricos conseguem suportar campos elétricos de maior amplitude (do que o ar). capacitor pode acumular mais carga e energia. A capacitância de um capacitor com dimensões fixas, quando há um dielétrico entre as placas, é maior do que a capacitância quando existe apenas o vácuo entre elas. Capacitores com Dielétricos Ao se medir a capacitância de um capacitor com e sem dielétrico, verifica-se que a diferença de potencial entre as placas é menor para o caso com o dielétrico. Consequentemente, a capacitância torna-se maior, quando se tem a mesma quantidade de carga Q entre as placas. C 0 = Q V 0 sem dielétrico Q C = com dielétrico V A razão K = C/C 0 denomina-se constante dielétrica do material. Quando a carga é constante tem-se: Q = C V = CV 0 0 V0 V = K 21

22 Capacitores com Dielétricos MATERIAL K Vácuo 1 Teflon 2,1 Mica 3-6 Germânio 16 Glicerina 42,5 Água 80,4 Titanato de Estrôncio 310 Valores de K para T = 20 C Polarização causada pelo Dielétrico Quando a carga é mantida constante, a diferença de potencial entre as placas diminui por um fator K. Portanto, o campo elétrico também diminui pelo mesmo fator. E = E 0 / K A densidade de carga superficial também deve ser menor. A carga superficial sobre as placas condutoras não varia, mas surge uma carga induzida com sinal oposto ao da carga da placa em cada superfície do material dielétrico. 22

23 Polarização causada pelo Dielétrico Polarização causada pelo Dielétrico As cargas induzidas surgem em função de uma redistribuição de cargas no interior do material dielétrico, fenômeno conhecido como polarização. Nas equações ao lado, σ é a densidade de cargas Na placa sem o dielétrico e σ i é a densidade de cargas com o dielétrico. E 0 = σ ε 0 E = σ σ i ε 0 Assim, o campo elétrico é menor para o caso com o dielétrico entre as placas. 23

24 Capacitor com Dielétrico Substituindo as equacões anteriores na relação entre E = E 0 /K, obtém-se: σ i = σ 1 1 K Essa equação mostra que quando K é muito grande,σ i e aproximadamente igual aσ. Neste caso,σ i praticamente cancelaσ, e o campo e a diferença de potencial são muito menores do que seu valores no vácuo. O produto ε= K ε 0 denomina-se permissividade do dielétrico. Capacitor com Dielétrico Substituindo a expressão σ i = σ 1 1 K em E = σ σ i ε 0 obtém-se: E = σ Kε 0 = σ ε Em um capacitor com placas paralelas tem-se: C = KC 0 = Kε 0 A d =ε A d u = 1 2 Kε 0 E2 = 1 2 εe2 24

25 Exemplo 3 Suponha que cada uma das placas de um capacitor de placas paralelas possua uma área igual a 2000 cm 2 (2 x 10-1 m 2 ) e que a distância entre as placas seja de 1 cm (1x10-2 m). O capacitor é carregado até que atinja a diferença de potencial de V 0 = 3000 V. Após o carregamento um material dielétrico é inserido entre as placas, fazendo com que a tensão se reduza para V = 1000 V, enquanto a carga em cada placa permanece constante. Calcule: a)a capacitância original C 0 b)o módulo da carga Q em cada placa c)a capacitância C após inserido o dielétrico d)a constante dielétrica K e)a permissividade ε do dielétrico f)o módulo da carga induzida Q i em cada face do dielétrico g)o campo elétrico original entre as placas h)o campo elétrico depois que o dielétrico é inserido i)a energia total acumulada no campo elétrico j)a densidade de energia antes e depois do dielétrico ser inserido. Solução do Exemplo 3 a) A capacitância original C 0 : ( ) 2, m 2 C 0 = ε 0 A d = 8, F / m b) O módulo da carga Q em cada placa: 177 pf 1, m Q = C 0 V 0 = ( 177 pf ) ( 3000V) = 0, 531µC c) A capacitância C após inserido o dielétrico: C = Q V = 0, 531µC 1000V = 531pF 25

26 Solução do Exemplo 3 d) A constante dielétrica K K = C C 0 = 531pF 177 pf = 3, 0 e) A permissividade ε do dielétrico: ε = KCε 0 = ( 3,0 )( 8, F / m) = 2, C 2 / N m 2 f) O módulo da carga induzida Q i em cada face do dielétrico σ i = σ 1 1 Q i K A = Q A 1 1 Q i = 0, 531µC K ( ) 1 1 = 3, C 3, 0 Solução do Exemplo 3 g) O campo elétrico original entre as placas: E 0 = V 0 d = 3000V 1, m = V / m h) O campo elétrico depois que o dielétrico é inserido. E 0 = V 0 d = 1000V 1, m =1 105 V / m E = σ σ i ε 0 = Q Q i ε 0 A = ( 0, 531 0,354)µC 8, C 2 / N m 2 E = E 0 K = V / m = V / m 3, 0 Ou ( )( m 2 ) = V / m Ou 26

27 Solução do Exemplo 3 i) A energia total acumulada no campo elétrico U 0 = 1 2 C V02 0 = 1 ( 177 pf ) 3000V 2 ( ) 2 = 7, J U = 1 2 CV 2 = 1 ( 2 531pF )( 1000V) 2 = 2, J j) A densidade de energia antes e depois do dielétrico ser inserido. u 0 = 1 2 ε 0 E 2 0 = 1 ( 2 8, C 2 / N m 2 )( N / C) 2 = 0,398J / m 3 u = 1 2 εe2 = 1 ( 2 2, C 2 / N m 2 )( N / C) 2 = 0,133J / m 3 Síntese Quando um dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor e a carga de cada placa permanece constante, tem-se: A permissividade cresce de um fator K O campo elétrico decresce de um fator 1/K A densidade de energia decresce de um fator 1/K Por quê a energia diminui? Para onde ela foi? 27

28 Síntese O campo exerce uma força que atrai o dielétrico, puxando-o para o interior e realizando trabalho sobre o dielétrico à medida que ele se desloca. Portanto, como o trabalho é realizado pelo campo sobre o dielétrico, a a densidade de energia existente entre as placas, diminui. Problema Membranas celulares têm cerca de 7,5 nm de espessura. densidades de cargas iguais, porém com sinal contrário, se formam das faces internas e externas dessas membranas. É possível modelar uma membrana celular como um capacitor com placas paralelas, cuja constante dielétrica (originada de material orgânico existente entre elas) é igual a 10. a)qual é a capacitância por centímetro quadrado dessa parede celular? b)em seu estado de repouso, uma célula possui uma diferenca de potencial de 85 mv. Qual é o campo elétrico no interior dessa membrana? 28

29 Ruptura Dielétrica É possível aplicar sobre o capacitor qualquer tensão e aumentar indefinidamente a carga acumulada sobre suas placas? Para uma determinada diferencial de potencial aplicada entre as placas ocorre um fenômeno conhecido como ruptura dielétrica. O dielétrico passa a funcionar como um condutor. Quando o campo elétrico é intenso, este desloca os elétrons, que normalmente são ligados fracamente às moléculas. Assim, esses elétrons são liberados de seus átomos e são acelerados pelo campo elétrico existente entre as placas. Tais elétrons se chocam com elétrons de outras móleculas e acabam libertando mais elétrons de suas moléculas criando um processo de avalanche. O processo cria um arco voltaico no dispositivo fundindo ou queimando o material. Ruptura Dielétrica O módulo do campo elétrico máximo que um material pode suportar sem que ocorra ruptura dielétrica é chamado de rigidez dielétrica. Tal grandeza sofre influencia da temperatura, impurezas e irregularidades existentes nos eletrodos metálicos. Material Const. Dielétrica, K Ar ( 1 atm) 1, x10 6 Policarbonato 2,8 3x10 7 Poliéster 3,3 6x10 7 Poliestireno 2,6 2x10 7 Vidro pirex 4,7 1x10 7 Rigidez Dielétrica, E max (V/m) 29

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